下载文档原格式
万有引力定律质点之间的引力与万有引力常数万有引力定律是一个具有广泛应用的物理定律，它描述了质点之间的引力以及与引力相关的万有引力常数。
在本文中，我们将详细介绍万有引力定律以及它的应用。
引力是一种对象间相互吸引的力，它的存在导致天体之间产生了相互的引力作用。
万有引力定律由英国物理学家牛顿在17世纪提出，他发现质点间的引力与它们的质量和距离有关。
根据万有引力定律，两个质点之间的引力与两个质点的质量乘积成正比，与它们的距离的平方成反比。
具体来说，两个质点之间的引力F可以通过以下公式表示：F =G * (m1 * m2) / r^2在这个公式中，F代表引力的大小，m1和m2分别代表两个质点的质量，r代表两个质点之间的距离，而G是一个常数，称为万有引力常数。
万有引力常数G的数值为6.67430 × 10^-11 N·(m/kg)^2。
它是一个宇宙常数，不随时间和空间的变化而改变。
万有引力常数的确定需要通过精确的实验测量，不同的实验方法可能会有不同的测量结果。
万有引力定律的应用十分广泛。
它可以解释地球上物体受到重力的原因，以及行星绕太阳运动的规律。
此外，万有引力定律还有助于理解宇宙中其他天体的运动和相互作用。
根据万有引力定律，我们可以计算出引力的大小。
举个例子，如果我们知道两个质点的质量和它们之间的距离，我们就可以利用上述公式计算出它们之间的引力。
这对于研究天体的运动轨迹、计算卫星轨道、甚至是推导出太阳系中行星的运动规律都非常有用。
尽管万有引力定律在很多情况下是有效的，但在一些特殊的情况下，它可能不适用。
例如，当物体离得很近时，或者物体的质量非常小，那么其他因素如电磁力和量子效应等可能对作用力产生显著影响。
总结起来，万有引力定律描述了质点之间的引力与质点质量和距离的关系。
通过使用引力公式，我们可以计算出引力的大小，并应用于解释和研究许多天体现象。
无论是在天文学、物理学还是其他领域，万有引力定律都是非常重要的基本定律之一。
万有引力定律的发现万有引力定律发现是人类认识史上最重大的事件之一。
在这一发现过程中，牛顿对引力平方反比定律的发现，即所谓“开普勒命题”的证明，起到了关键性作用，它标志着牛顿成熟地掌握了动力学原理是发现万有引力定律的必要前提。
牛顿在惠更斯1673年发表离心力定律之前，结合开普勒周期定律，得到了圆轨道上的平方反比关系；胡克与牛顿在1679年底至1680年初之间的通信，诱发了牛顿首次理解开普勒面积定律的物理意义，并应用几何图形法来解决开普勒命题。
也就是说，牛顿是在1680年才发现我们现在所理解意义上的引力平方反比定律。
一、圆轨道上平方反比关系的发现牛顿对动力学的研究从研究圆周运动问题已经开始的；牛顿借助他有关相撞问题的研究成果，卓有成效地从动力学角度去定量处置圆周运动中力与“运动的发生改变”之间的关系，并利用等价性将直线运动的分析结论推展至圆周运动和椭圆运动，为其有关力学的进一步研究奠定了稳固的基础。
同时期的惠更斯也注意到圆周运动问题，并从运动学角度对它展开了较为深入细致的研究；就离心力定律的辨认出而言，惠更斯跑在牛顿的前面。
牛顿是在1665或1666年写的“仿羊皮手稿”（thevelluomanuscript）中提出“（l/2）r公式”：“一个在直线上从静止开始运动的物体，其所受的力等于作用在沿半径为r的圆周、以速度v运动的同等物体的力；则在圆周上运动的物体通过距离r的时间内，直线上运动的物体将行进（1/2）r距离。
”根据牛顿的手稿，我们可以得到上述公式的推断过程：首先，牛顿得出直线运动、圆周运动状态的初始条件，即同等的时间、物体和力；其次，牛顿依据已认识到的两种运动（量）之间的等价性，推断出来：直线上从恒定已经开始运动的物体，在时间r/v内获得的运动量为mv、末速度为v；最后，牛顿/得到直线上由恒定已经开始运动的物体，在时间r/v内经过的距离为：［（1/2）v］·（r/v）=（1/2）r。
牛顿和苹果的故事
牛顿和苹果的故事是物理学中一个著名的传说，它不仅揭示了自然界的普遍规律，也启发了人们对世界的探索和理解。
据说，17世纪英国物理学家牛顿在一个阳光明媚的秋日午后，坐在果园里的苹果树下，看到一颗苹果从树上掉落，这一幕让他陷入了深思。
牛顿观察到苹果掉落的过程，思考着为什么苹果会落下而不是飘在空中。
这个简单的问题引发了他对地球引力的研究。
经过长时间的思考和实验，牛顿最终提出了他的引力定律，即“物体之间的引力与它们的质量成正比，与它们之间的距离的平方成反比”。
牛顿的引力定律不仅解释了为什么苹果会落下，还揭示了地球和其他天体之间的相互作用规律。
这一发现不仅在物理学上有着深远的影响，也对人类的世界观产生了重大的影响。
牛顿的引力定律成为了古典力学的基础，为后来的科学研究奠定了坚实的基础。
除了引力定律，牛顿还通过研究光的折射和色散，提出了著名的光的粒子说，为光学的发展做出了重要贡献。
他还发明了微积分，为后来的数学和物理学的发展打下了基础。
牛顿和苹果的故事告诉我们，一个简单的观察和思考，有时会引发一场革命性的科学发现。
正是因为牛顿对苹果掉落的思考，才有了引力定律的发现，这种对自然界的探索精神，值得我们学习和借鉴。
总的来说，牛顿和苹果的故事并不只是一个简单的传说，它背后蕴含着丰富的科学内涵和人文精神。
这个故事不仅让我们了解了引力定律的由来，也激励我们在日常生活中多做观察和思考，或许我们也能发现一些隐藏在自然界中的奥秘。
牛顿和苹果的故事，永远激励着人们对世界的探索和发现。
简述万有引力定律万有引力定律是描述物体之间相互作用的力的定律，由英国物理学家牛顿在17世纪提出。
该定律指出，任何两个物体之间都存在着相互吸引的力，这个力与它们之间的质量和距离有关。
万有引力定律可以用如下的方式来表达：两个物体之间的引力与它们的质量成正比，与它们之间的距离的平方成反比。
具体地说，设两个物体的质量分别为m1和m2，它们之间的距离为r，则它们之间的引力F可以表示为：F =G * (m1 * m2) / r^2其中，G为一个常数，被称为万有引力常数，其值约为6.67430 × 10^-11 N·(m/kg)^2。
万有引力定律的发现是牛顿的一大突破，它不仅解释了地球上物体受到重力的原因，也解释了行星运动的规律。
根据这个定律，我们可以看到地球绕着太阳运动，月球围绕地球运动的原因。
在地球上，万有引力定律对于我们的日常生活有着重要的影响。
例如，地球的引力使得我们可以站立在地面上而不会飘走，也使得物体下落时受到重力的作用。
此外，地球的引力还影响着海洋的潮汐现象，引起了地球的形变等。
除了地球上的物体之间存在引力以外，太阳系中的天体之间也存在着引力相互作用。
例如，太阳对行星的引力使得它们绕着太阳运动，而行星之间也存在相互的引力作用。
正是由于太阳对地球的引力，地球才能绕着太阳运动，形成了我们熟悉的四季变化。
在宇宙中，万有引力定律也起着重要的作用。
星系之间的引力相互作用使得它们聚集在一起形成更大的结构，如星团和星系团。
而在更大的尺度上，引力还是宇宙的主导力量，决定了宇宙的演化和结构的形成。
万有引力定律是描述物体之间相互作用的力的定律。
它揭示了物体之间存在着相互吸引的力，并给出了这种引力与物体质量和距离的关系。
这一定律不仅解释了地球上物体受到重力的原因，也解释了行星运动的规律。
在日常生活中，我们可以感受到地球的引力作用，而在宇宙中，万有引力定律也起着重要的作用。
它的发现和应用对于人类认识宇宙和推动科学的发展具有重要的意义。
牛顿的万有引力定律牛顿的万有引力定律是经典力学中的重要定律，由英国科学家艾萨克·牛顿于17世纪末提出。
它描述了任意两个物体之间存在的万有引力，并成功预测了行星运动以及地球上物体的自由落体等现象。
在本文中，我们将深入探讨牛顿的万有引力定律的基本原理、数学表达以及应用。
一、基本原理牛顿的万有引力定律是建立在他的三大运动定律的基础上的。
它的基本原理可以简述为：任意两个物体之间的引力与它们的质量成正比，与它们之间的距离的平方成反比。
具体而言，设物体1和物体2的质量分别为m1和m2，它们之间的距离为r，则它们之间的引力F可以表示为：F =G * (m1 * m2) / r^2其中，G是一个常量，被称为万有引力常数，其值约为6.67430 ×10^-11 N·(m/kg)^2。
二、数学表达牛顿的万有引力定律的数学表达形式清晰明了，可以通过计算来预测物体之间的引力。
假设有一个质量为m1的物体位于坐标原点，另一个质量为m2的物体位于坐标(x, y, z)，则它们之间的引力可按以下公式计算：F =G * (m1 * m2) / (x^2 + y^2 + z^2)在这个公式中，x、y、z分别代表物体2在直角坐标系中的坐标。
根据这个公式，我们可以确定两个物体之间的引力大小和方向。
三、应用牛顿的万有引力定律在科学研究和工程应用中具有重要意义。
以下是几个常见的应用：1. 行星运动预测：牛顿的万有引力定律成功预测了行星的运动轨迹，为天文学家提供了重要的理论基础。
例如，根据该定律，我们可以计算出地球和太阳之间的引力，从而解释地球的公转和自转现象。
2. 卫星轨道设计：根据牛顿的万有引力定律，科学家可以计算出卫星需要的速度和轨道高度，从而合理设计卫星轨道。
这对于通信、气象监测等领域的卫星任务非常重要。
3. 地球重力研究：万有引力定律被广泛应用于测量地球重力场的研究中。
利用物体受到的重力加速度，科学家可以推断出地球内部的密度分布和地下资源情况。
万有引力的平方反比定律万有引力的平方反比定律是指两个物体之间的引力与它们之间的距离平方成反比。
这个定律由英国物理学家牛顿在17世纪提出，并成为经典力学的基石之一。
该定律对于解释行星运动、人造卫星轨道以及其他天体运动等现象具有重要的意义。
根据万有引力的平方反比定律，两个物体之间的引力与它们之间的距离的平方成反比。
这意味着如果将两个物体之间的距离增加为原来的两倍，引力将减少为原来的四分之一。
同样地，如果将距离减小为原来的一半，引力将增加为原来的四倍。
这种关系可以用数学公式表示为F=G*(m1*m2/r^2)，其中F表示两个物体之间的引力，G 为万有引力常数，m1和m2分别为两个物体的质量，r为它们之间的距离。
万有引力的平方反比定律对于解释行星运动提供了重要的线索。
根据这个定律，我们可以理解为什么行星围绕太阳运动。
太阳和行星之间存在引力，这个引力使得行星沿着椭圆轨道绕太阳运动。
当行星离太阳较远时，引力较弱，行星的运动速度较慢；当行星离太阳较近时，引力较强，行星的运动速度较快。
这样，行星就能保持稳定的轨道运动。
人造卫星的轨道也可以用万有引力的平方反比定律来解释。
人造卫星绕地球运动，地球对卫星施加引力，使得卫星保持稳定的轨道。
根据万有引力的平方反比定律，卫星距离地球越近，引力越大，卫星的速度就越快。
因此，为了使卫星保持稳定的轨道，需要根据万有引力的平方反比定律来计算卫星的速度和轨道。
除了行星运动和人造卫星轨道，万有引力的平方反比定律还可以用于解释其他天体运动。
例如，根据这个定律，我们可以解释为什么月球围绕地球运动，为什么彗星会出现周期性的轨道等现象。
总结起来，万有引力的平方反比定律是物理学中的一个重要定律，它描述了两个物体之间的引力与它们之间的距离平方成反比的关系。
这个定律对于解释行星运动、人造卫星轨道以及其他天体运动具有重要的意义。
通过理解和应用这个定律，我们可以更好地理解宇宙的运行规律，并为人类的科学研究和技术发展提供指导。
万有引力定律编辑本词条由“科普中国”百科科学词条编写与应用工作项目审核。
[1] 万有引力定律是艾萨克·牛顿在1687年于《自然哲学的数学原理》上发表的。
牛顿的普适的万有引力定律表示如下：任意两个质点有通过连心线方向上的力相互吸引。
该引力大小与它们质量的乘积成正比与它们距离的平方成反比，与两物体的化学组成和其间介质种类无关。
中文名万有引力定律外文名Law of universal gravitation 表达式F=(G×M₁×M₂)/R²提出者艾萨克·牛顿提出时间1687年应用学科数学、自然哲学、物理学、自然学等适用领域范围物理学、自然学等推理依据编辑伽利略在1632年实际上已经提出离心力和向心力的初步想法。
布里阿德在1645年提出了引力平方比关系的思想.牛顿在1665～1666年的手稿中，用自己的方式证明了离心力定律，但向心力这个词可能首先出现在《论运动》的第一个手稿中。
一般人认为离心力定律是惠更斯在1673年发表的《摆钟》一书中提出来的。
根据1684年8月～10月的《论回转物体的运动》一文手稿中，牛顿很可能在这个手稿中第一次提出向心力及其定义。
万有引力与相作用的物体的质量乘积成正比，是发现引力平方反比定律过渡到发现万有引力定律的必要阶段.·牛顿从1665年至1685年，花了整整20年的时间，才沿着离心力—向心力—重力—万有引力概念的演化顺序，终于提出“万有引力”这个概念和词汇。
·牛顿在《自然哲学的数学原理》第三卷中写道：“最后，如果由实验和天文学观测，普遍显示出地球周围的一切天体被地球重力所吸引，并且其重力与它们各自含有的物质之量成比例，则月球同样按照物质之量被地球重力所吸引。
另一方面，它显示出，我们的海洋被月球重力所吸引；并且一切行星相互被重力所吸引，彗星同样被太阳的重力所吸引。
由于这个规则，我们必须普遍承认，一切物体，不论是什么，都被赋与了相互的引力（gravitation）的原理。
万有引力的定律及应用万有引力定律是描述质点间万有引力作用的基本物理定律，由英国物理学家牛顿于1687年提出。
在不受其他力干扰的理想情况下，两个质点间的引力大小与它们质量的乘积成正比，与它们之间距离的平方成反比。
万有引力定律由以下公式给出：F =G * (m1 * m2) / r^2其中，F是两个质量为m1和m2的质点间的引力的大小，G是万有引力常数，它的数值约为6.67430 ×10^-11 N·(m/kg)^2，r是两个质点之间的距离。
应用方面，万有引力定律在天体物理学、工程学、地理学等领域都有广泛的应用。
以下是一些具体的应用：1. 行星运动：万有引力定律可以用于描述行星围绕太阳的轨道运动。
根据万有引力定律，太阳对行星的引力决定了行星的运动轨迹和速度。
利用这一定律，我们可以计算天体的轨道周期、轨道半径、行星速度等重要参数。
2. 卫星轨道：天文学家和航天科学家利用万有引力定律设计和计算卫星的轨道。
例如，地球上的人造卫星绕地球运动的轨道就是通过计算地球对卫星的引力和卫星的惯性力平衡得到的。
3. 理解地球重力：万有引力定律也可以用于解释地球上物体的重力。
地球上的物体受到地球对它们的引力作用，这个引力决定了物体的质量，以及物体受到的重力加速度。
地球上物体的重力加速度约为9.8 m/s^2。
4. 引力势能：根据万有引力定律，物体在引力场中具有势能。
利用万有引力定律，我们可以计算物体在引力场中的势能差。
例如，当物体从地球表面升到高空时，它的势能增加。
5. 测定天体质量：运用万有引力定律，我们可以通过测量天体间的引力和距离，来计算天体的质量。
例如，通过测量地球和月球间的引力和距离，我们可以确定地球和月球的质量。
总之，万有引力定律是一个十分重要的物理定律，它不仅可以解释天体运动、地球重力等现象，还有许多实际的应用。
通过对万有引力定律的研究和应用，我们可以更好地理解自然界中的各种现象，为科学研究和技术发展提供基础。
牛顿引力平方反比定律的发现万有引力定律发现是人类认识史上最重大的事件之一。
国内外科学史界一致公认，在这一发现过程中，牛顿对引力平方反比定律的发现，即所谓“开普勒命题”的证明，起到了关键性作用，它标志着牛顿成熟地掌握了动力学原理，是牛顿在1685至1686年间发现万有引力定律的必要前提。
牛顿在一份约写于1717年的自传体备忘录中，就弓！力平方反比定律的发现曾指出，他是在1666年根据开普勒行星运动周期定律“推出了”力的平方反比关系，未提及人们通常一认为的另一根据一—离心力定律，并认为：“惠更斯先生后来所发表的离心力的理论我相信是在我之前的。
最后，在1676和1677年之间的冬季，我发现了一个命题，那就是在离心力等于和距离的平方成反比的情况下，一个行星必然要统处于椭圆下面一个脐点（即焦点一笔者注）的力心作椭圆运动，同时那画向这个中心的半径所掠过的面积，其大小和所用的时间成正比。
在1683和1684年之间的冬季，这个命题及其论证也写进了皇家学会的记事册。
”牛顿在论及开普勒命题的一份来发表手稿中写道：“在1677年，我应用流数的反求法（即积分一笔者注），发现了开普勒天文学命题的证明，那就是《原理》第一卷的命题Ⅺ：行星在椭圆轨道上运动。
”他在其后追加的一页草稿中又把“证明”的日期“推迟”到1679午。
事实上，《原理》第一卷命题Ⅺ，即开普勒命题的内容是：物体沿椭圆绕转，求指向椭圆焦点的向心力定律；而牛顿有关开普勒命题的论证，是1685年2月13日前不久才写进皇家学会的记事册。
因此，从牛顿晚年因微积分发明权之争而撰造的“剧情说明式的”自述中，我们无法确定牛顿在何时证明了开普勒命题，其对平方反比定律的认识过程，也与史实有出入。
国外史学界认为，牛顿是在17世纪60年代，应用离心力定律和开普勒周期定律，得到圆轨道上的引力平方反比关系，而论及椭圆轨道上引力与距离关系的开普勒命题，是在1679年或1684年得到证明的。
问国内学者对此尚无定论。
笔者认为，国外学者的看法是值得商榷的。
事实上，牛顿在惠更斯1673年发表离心力定律之前，根据他本人提出的“（1/2）R公式”和推广的伽利略落体t2定律，结合开普勒周期定律，得到了圆轨道上的平方反比关系；1676年，牛顿才有可能接触到“原版的”开普勒面积定律；向胡克与牛顿在1679年底至1680年初之间的通信，诱发了牛顿首次理解开普勒面积定律的物理意义，并应用几何图形法来解决开普勒命题；而牛顿有关该命题的几何图形法证明，则记载在成文于1680年的《论椭圆轨道》原始手稿中。
也就是说，牛顿是在1680年才发现我们现在所理解意义上的引力平方反比定律。
鉴于这一问题的特殊重要性，待详述于后，以就教于海内外高朋。
一、牛顿对动力学问题研究的突破点圆周运动问题，是牛顿从事动力学研究的突破点，对这一问题的成功处理，是他作出科学发现的起点。
牛顿在始用于1664年《草算本》（Waste Book）的“定理19”中，首次讨论了匀速圆周运动问题。
牛顿在“定理20”中设计了一小球在圆筒内表面运动的理想实验，以期探求小球的意向力（conatus）与运动状态变化之间的关系。
在“定理22”中，牛顿尝试性地确定两者之间的定量关系：仅考虑小球作半圆周运动，则小球绕半圆运动而力图脱离其运动中心的“全部力”（the whole force），大于能够产生或破坏其运动的力的两倍，即两倍于使小球运动的力。
这样，牛顿在对小球作半圆周运动的分析中，已经考虑了运动状态的选择，意识到确定物体运动方向的重要性，借用了他早期有关碰撞问题研究所形成的力学思想。
尽管牛顿错误地把“全部力”视为连续时间间隔中的一种持续力，他在这里给出的结果也只是一种不等性关系，但牛顿首先明确了在作用意义上的力与运动量变化意义上的力之间，存在着一种数值关系。
牛顿是在《草算本》的页码1（folio．1）中，通过引入一种全新的处理圆周运动的方法一—“多边形方法”，来改进上述的不等性关系。
牛顿假定，物体沿一圆内接正方形运动，物体在正方形的每一个角受到圆一外接正方形的反射或反弹；则有：牛顿进而将上述结论推广到物体沿任意边数内按正多边形的情形，“则全部反射力与使物体运动的力之比，如同全部边长（即圆周）与半径之比”。
这就解释了牛顿为什么在《草算本》中，多处划掉4＋而替之用6＋（周长与半径之比为2π）。
这里的“全部反射力”是指，物体在圆周上运动一周所受到的反射力总和，它是前面提到的“全部力”的两倍。
由此，牛顿明确了“全部力”概念的物理涵义。
牛顿虽然顺利地建立了精确的数值关系，但这一结论却不能导出实际的物理应用。
首先，尽管牛顿考虑了反射力的总和，但并未明确提出它和物体离心倾向（以及强度）之间存在相关性，更不用说等同性了；其外，在无限边数内接正多边形的情形下，反射力总和是一有限值，而物体在各个角所受到的反射力却趋于零，牛顿在当时不太可能用级数求和或积分法来验证上述的数值关系；再者，物体在无数个角处受到的各反射力方向也在持续变化，因而能否对“反射力的总和”给出一个准确的、物理意义上的定义，也是一个值得推敲的问题；第四，牛顿源于杠杆原理中力的平衡思想，在圆周运动问题中引进“反射力的总和”这一外在力，来作为运动物体离心意向力（the centrifugal endeavour ）的相等及相反力，这一认识显然与他后来始于惯性原理而对开普勒命题所进行的分析，是不能自洽的。
间鉴于这些问题的存在，笔者认为，将牛顿的“反射力的总和”等同于惠更斯创立的“离心力”（yi centrifuga ）概念是一种“成见”，进而认为牛顿在此时“发现”了惠更斯在1673年宣布的、与物体运动速度和圆周半径便有可能已包括惠氏提出的“物质的量”（quantita materiae ）概都相关的离心力定律，更是一个谬误。
牛顿在《草算本》中，还把圆周运动的分析结论推广到椭圆运动的情形，牛顿认为：“如果物体在一椭圆轨道上运动，它在每一点（设它在该点的运动已知）上所受的力，可以用一个在该点与椭圆相切的、具有相同曲率的圆求出。
”由此联系到牛顿在《哲学笔记簿》中曾摘录过开普勒周期定律的事实，可以认为，牛顿在1665年已开始考虑椭圆线状运动这一更复杂的问题了。
圆周运动问题作为牛顿早期力学研究的对象，是他所能寻找到的、唯一可能的研究突破点。
牛顿借助于他有关碰撞问题的研究成果，卓有成效地从动力学角度来量化处理圆周运动中力与“运动的改变”之间的关系，并利用等价性将直线运动的分析结论推广到圆周运动和椭圆运动，为其有关力学（尤其是动力学）的进一步研究打下了坚实的基础。
同时期的惠更斯也注意到圆周运动问题，并从运动学角度对它进行了较为深入的研究；就离心力定律的发现而言，毫无疑义，惠更斯走在了牛顿的前面。
二、圆轨道上平方反比关系的发现人们曾围于传统看法，强调离心力定律在牛顿有关平方反比关系发现中的重要性，笔者认为，这一“强调”是不能成立的。
事实上，离心力定律是在1673年发表的，牛顿旋即了解到惠更斯的结论，但没有提出发现权的要求；而牛顿是根据“（1／2）R 公式”和推广的foil 利略落体 t 2定律，并结合开普勒周期定律，在 1669年前就推导出圆轨道上的平方反比关系。
这一推导过程中，似乎更应强调伽利略落体户定律的重要作用。
牛顿是在 1665或 1666年写的“仿羊皮手稿”（the Velluo Manuscript ）中提出“（l ／2）R 公式”：“一个在直线上从静止开始运动的物体，其所受的力等于作用在沿半径为R 的圆周、以速度V 运动的同等物体的力；则在圆周上运动的物体通过距离R 的时间内，直线上运动的物体将行进（1/2）R 距离。
”根据牛顿的手稿，我们可以得到上述公式的推论过程：首先，牛顿给出直线运动、圆周运动状态的初始条件，即同等的时间、物体和力；其次，牛顿依据已认识到的两种运动（量）之间的等价性，推论出：直线上从静止开始运动的物体，在时间R/V 内获得的运动量为mV 、末速度为 V ；最后，牛顿根据“默顿规则”（the Merton Rule ），得到直线上由静止开始运动的物体，在时间R/V 内经过的距离为：［（1/2）V ］·（R/V ）=（1/2）R 。
“（1/2）R 公式”的提出，表明牛顿承袭伽利略等人所坚持的、力与距离之间存在对应关系的传统，并试图用精确的数值关系来表征这种对应关系，这是牛顿的一大进步。
其另一进步，是他合理地将伽利略重力作用下的t 2定律推广到任意定常力作用的情形。
这两个进步，是牛顿发现圆轨道上平方反比关系的必要条件。
牛顿写于1669年前的《论圆周运动》（On Circular Motion ）手稿，使上述的两个进步得以具体实现。
他在此引入又一种全新的处理圆周运动的方法——“偏离量方法”（the Derivative Method ），即：“物体在由A 到D 图1牛顿应用偏离量方法推出圆轨道平方反比作圆周运动的过程中，退离中心的意向力大小是这样的：即在物体通过AD（假定它很小）的时间内，该力将使物体偏离圆周一段距离DB（见图1一笔者注）……现在，如果这个意向力象重力一样地在一条直线上作用，它将使物体通过的距离与时间的平方成比例”。
这样，牛顿在意向力和距离之间建立了对应关系，并通过推广伽利略重力作用下的t2定律，确定了距离与时间平方之间的比例关系。
这一比例关系在Principia（1687）中“上升”为第一卷第一节的“引理X”，它构成了牛顿应用“线性动力学比”方法证明开普勒命题的数学前提。
可以认为，牛顿至此才找到处理圆周运动问题的数值计算方法。
牛顿在该手稿的第一部分，应用相似三角形的比例关系和近似的方法，得出下述重要的结论：意向力在周期T内使物体偏离的距离DB＝2π2R。
在这之后；牛顿给出了物体受“由于地球的周日运动产生的、在天球赤道上退离地球中心的意向力”的作用、在单位初始时刻行进距离的示例。
事实上，牛顿在这里是由“（1/2）R公式”结合推广的伽利略t2定律，即S∝t2这样的比例关系，得到偏离量DB的数值表达式，然后应用几何方法综合地证明了他的结论。
根据“（1/2）R公式”，在时间t（R/V）内，物体在直线上行进（1/2）R；设在周期T（2πR/V）内，物体在直线上行进DB；依据推广的伽利略t2定律，有：（1/2）R∝t2＝R2/V2DB∝T2＝4π2R2/V2两式相比后简化得：DB＝2π2R这正是牛顿在手稿中给出的重要结论。
应用S∝t2这样的比例关系，我们还可以验算牛顿在示例中给出的数值。
一个重要的验算，是牛顿在这里得到“由于地球周日运动而引起的、物体在1秒内下落的距离为5／9时”，并联系牛顿在“仿羊皮子稿”中由实验获得的重力下落速率196时／秒，根据（意向）力与距离的对应关系，则重力约为物体因地球周日运动而产生的、退离地球中心意向力的350倍。
