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晶体定向与结晶符号

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第4章晶体定向与结晶符号

第4章晶体定向与结晶符号


不同晶系中，这三个序号位所代表的方向完全 不同，所以，不同晶系的国际符号写法也不同（每 个晶系的国际符号写法见表4-3）
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晶系
等轴
序号位
1 2 3 1 2 3
代表方向
X或Y或Z方向 三次轴方向 X、Y或X、Z或Y、Z轴之间 四次轴方向，即Z轴方向 与四次轴垂直，在X或Y轴方向 与四次轴垂直，与X或Y成45°角方向
Z Z

X

立方体 Y X Y 八面体
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四方晶系（唯一的L4或Li4）
晶体几何常数为: = = = 90°, a = b ≠ c ●唯一的L4或Li4为 z 轴; 相互垂直的L2, 或相互垂 直的对称面法线, 或适当的晶棱为x, y 轴 z 轴直立，y 轴左右水平，x 轴前后水平
四方
三、六
1 2 3
1 2 3 1
三、六次轴方向，即Z轴方向 与三或六次轴垂直，在X或Y轴方向 与三或六次轴垂直，与X或Y成45°角方向
X轴方向 Y轴方向 Z轴方向 Y方向
斜方
单斜
三斜
1
任意方向
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等轴晶系：
晶系 序号位 代表方向
等轴
1 2 3
（2）在上述前提下，应尽可能使晶轴垂直，并使 轴单位相等，即尽可能使===90, a=b=c
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具体地 ① 优先选Ln或Lin为晶轴； ② 若Ln的数量不足时，则由P的法线方向来补 充作晶轴； ③ 若无足够的Ln和P，则选平行于晶棱的方向 作晶轴； ④ 在以上前提下，选择晶轴尽量使得 α=β=γ=900, a=b=c。
《结晶学》第3章晶体定向和晶面符号

《结晶学》第3章晶体定向和晶面符号


注意：七大晶系中，单斜晶系先确定y 注意：七大晶系中，单斜晶系先确定y轴，其它 晶系均先确定z 晶系均先确定z轴
思考： 思考：
能否根据各晶体晶体常数特点确定属于 何种晶系？ 何种晶系？
§3.3
对称型的国际符号
一、国际符号中对称要素的表示法
对称面：m 对称面： 对称轴：以轴次的数字表示， 对称轴：以轴次的数字表示， 如 1、2、3、4 和 6
Z
举例： 举例：
Y
X
答案（100）（100）（010）（010）（001）（001） 答案（100）（100）（010）（010）（001）（001） ）（100）（010）（010）（001）（001
补充说明： 补充说明：
1）晶面符号中某指数为0，表示该晶面平行于相应晶轴。 晶面符号中某指数为0 表示该晶面平行于相应晶轴。 2）同一晶体中，如有两晶面，对应三组晶面指数的绝 同一晶体中，如有两晶面， 对值全部相等，而正负号恰好全部相反， 对值全部相等，而正负号恰好全部相反，则两晶面必 相互平行。 相互平行。 3）同一晶面符号中，指数的绝对值越大，表示晶面在 同一晶面符号中，指数的绝对值越大， 相应结晶轴上的截距系数值（绝对值）越小； 相应结晶轴上的截距系数值（绝对值）越小；在轴单位 相等的情况下，还表示相应截距的绝对长度也越短。 相等的情况下，还表示相应截距的绝对长度也越短。
即：
◆ ◆ ◆
平行的对称轴或旋转反伸轴； 平行的对称轴或旋转反伸轴； 垂直的对称面； 垂直的对称面； 当这两类对称要素在同一方向上同时存在 则写成分式的形式。 分式的形式 时，则写成分式的形式。
晶
系
序 位 1 2 3 1
代表方向 x或y或z轴方向 三次轴方向 x、y或x、z或y、z轴之间 四次轴, 四次轴,即z方向 与四次轴垂直, 与四次轴垂直,在x或y轴方向 与四次轴垂直,并与位2 与四次轴垂直,并与位2成450 六次或三次轴,即z 方向 六次或三次轴, 与六次或三次轴垂直, 与六次或三次轴垂直,在x或y或u轴方向 与六次或三次轴垂直,并与位2 与六次或三次轴垂直,并与位2成300角 x轴方向 y轴方向 z轴方向 y轴方向 任意方向
3.晶体定向及晶面符号

3.晶体定向及晶面符号

晶体的规则连生
第一节、 晶体定向及晶面符号
一、晶体定向
（一）、概念
晶体定向 —— 在晶体中确定一个坐标系统； 1、晶轴 ------ 晶体中的坐标轴； 2、轴单位---- 各晶轴上的量度单位：a、b、c
（二）晶轴的安置
晶轴----晶体中的坐标轴；是交晶体中心一点的 三条或四条直线。（内部构造的三条或四条行 列的方向）
复三方单锥
三方双锥
复六方单锥
复四方单锥
六方双锥
四方双锥
复三方双锥
复六方双锥
复四方双锥
三方柱
六方柱
四方柱
复三方柱
复六方柱
复四方柱
四方四面体
复四方偏三角面体
菱面体
复三方偏三角面体
斜三三方方方四偏偏面方方面体面体体
六六方方偏偏方方面面体体
四方偏方面体
高级晶族的单形
四面体 八面体
立方体 四六面体
偏方复十 二面体
（a1b2：x=1a ，y= 2b ：即1: 2） （a2b4：x=2a ，y= 4b ：即2: 4）
第二节、单形和聚形
1、单形
（1）概念
由对称要素联系起来的一组晶面的总合。
八面体
菱形十二面体
（2）特点
①. 在理想情况下, 同一单形各晶面 同形等大； ②. 在实际晶体上, 同一单形各晶面 性质相同；
1、三轴系统：X 、Y、Z：适用以下5个晶系：
（1）三斜晶系
（2）单斜晶系
（3）斜方晶系
（4）四方晶系
r
（5）等轴晶系
2、四轴系统：适用以下2个晶系：
（1）三方晶系： X 、Y、U、Z （2）六方晶系： X 、Y、U、Z
一
晶 轴： 轴单位：
第三章晶体的定向和晶面符号知识讲解

第三章晶体的定向和晶面符号知识讲解


晶面指数－米氏符号中小括号内的三个数字称晶面指数。
整数定律
晶面在晶轴上的截距 系数之比为简单的整数比
面网密度越大 越简单 简单的
晶面截晶轴于结点 整数比
在确定晶体上晶面的米氏符号时，并不需要知道a， b，c的大小。可以首先选择一个晶面作单位面。单位面 应该是晶体上发育很好、与三个晶轴都相截，而且截距 尽可能相等或相近的晶面。将单位面的符号定为（111 ），即认为该晶面的截距系数p=q=r，截距之比为a：b ：c。确定了单位面之后，其它晶面的符号可通过与单 位面的比较而求得。
第三章晶体的定向和晶面符号
三、如何为晶体定向
1、选择晶轴的原则
（1）晶轴平行行列方向。
优先
其次
晶轴平行 对称轴
对称面的法线
Z +_
_ +Y
+
X_ 再次
平行晶棱
（2）晶轴要尽可能的互相垂直或近于
垂直，即尽可能使 ===90,
具a体=步b=骤c
高次轴 L2 P 法线 显著晶棱
三、如何为晶体定向
（3）等轴、四方、斜方、单斜及 三斜等五个晶系选三个晶轴（X、 Y、Z），其中
同一单形的各个晶面的指 数的绝对值不变，而只有 正负号的区别
知道了单形的一个晶面 的符号，则该单形的其 它晶面的符号即可导出
用单形一个代表晶 面的符号来代表整 个单形
定义：单形符号简称形号，它是指在单形中选择一 个代 表面，把该晶面的晶面指数用“{ }”括 起来，用以表征组成该单形的一组晶面的 结晶学取向的符号
矿物的规则连生体的形态
1、平行连生
同种晶体彼此平行的连生在一起，连生 着的每一个晶体的相对应的晶面和晶棱 都是相互平行的
平行连生从外形来看是多晶体的连生，但它们 的内部格子构造是平行、连续的
第五章晶体定向和晶面符号

第五章晶体定向和晶面符号


聚形的概念
❖ 两个以上的单形的聚合称为聚形。下图分别 表示了四方柱和四方双锥、立方体和菱形十 二面体的 聚合，用粗线勾划出了它们的聚形 的形态。显然，有多少种单形相聚，其聚形 上就会出现多少种不同的晶面，它们的性质 各异；对于理想形态而言，同一单形的晶面 同形等大。
第五章 晶体的定向和晶面符号
晶体定向：设置坐标系 晶面符号：用数学符号表示方位 1 晶体定向 选择坐标轴和确定各轴上轴单位的比值。 1.1 晶轴和晶体几何常数 晶轴：于晶体上所设置的坐标轴。 轴角：每两个晶轴正端之间的夹角。 ＝Y∧Z ＝Z∧X ＝X∧Y
晶体定向的作用：
❖ 晶体定向后就可以对晶体上所有的面、线等 进行标定，给出这些面、线的晶体学方向性 符号；
关系式 ：
θx、θy、θz
h:k:l＝a Cosθx :b Cosθy : c Cosθz 可直接求出晶面指数
❖ 零表示与晶轴的 ❖ 平行关系，负数 ❖ 表示与晶轴负端 ❖ 相交。
四轴：形式（hkil）且h+k+i＝0
h+
（三）单形符号
4 几个概念：
❖ 4.1 晶带
❖
晶面彼此相交的晶棱相互平行的一组晶面的组合。形
式 为〔rst〕
❖ 4.2 晶带定律
❖
晶体上任一晶面至少同时属于两个晶带；而一个晶带
❖ 有对称中心； ❖ 但没有对称面
斜方四面体
❖ 注意：三条边不等长， 所以没有对称面，只有 3个L2，单斜晶系，低级 晶族。
❖ L33L23P ❖ 晶系： ❖ 晶族：
复三方柱
❖ L66L27PC ❖ 晶族： ❖ 晶系：
六方柱
❖ L33P ❖ 晶族： ❖ 晶系：
复三方单锥
三方双锥
晶体定向和晶面符号《结晶学》

晶体定向和晶面符号《结晶学》


一、晶体定向的概念
晶体定向就是在晶体上选择坐标系统。即选择
坐标轴（或称为结晶轴）和确定各坐标轴上的 单位长（轴单位）之比（轴率）。
Z
Z
U Y X Y
X
1、晶轴：交于晶体中心的三条轴，它们分别称为x、y、z
轴，晶轴之间的夹角称为轴角，分别表示为：（yz）、 （zx）、（xy）。 注意：三方晶系及六方晶系为四轴定向，在水平方向 上为x、y、u三条互成120度夹角的坐标。
B、在上述前提下，应尽可能使晶轴垂直，轴单位
近乎相等。
§3.2各晶系晶体定向的具体原则

三轴定向
等轴、四方、斜方、单斜、三斜

四轴定向
三方、六方
1、等轴晶系
选轴原则：相互垂直的L4或Li4或L2为x、y、z轴
Z
Y
X
晶体常数：a＝b＝c，α ＝β ＝γ ＝９０0
2、四方晶系
选轴原则：以L4或Li4为z轴，以垂直z轴并相 互垂直的L2或P的法线或晶棱方向为x、y轴。
:
OC2
= e:f:g
C2
O
A1 A2
B2
B1
X
Y
1、截距系数之比为整数比
因为晶面是面网，晶轴是行列，晶面与晶轴之交点 为结点，或平移相交于结点。因此，若以晶轴之结 点间距为度量单位，则晶面在晶轴上的截距系数之 比为整数比
c
a
b
2、为简单整数比
晶体面网密度越大，则晶面在晶轴上的截距系数之 比越简单。又依布拉维法则，晶体总是为面网密度 较大的面网所包围，所以为简单整数比。
数为0表示晶棱垂直于相应晶轴。
（4）对于三方、六方晶系的四轴定向，相应晶棱 符号的一般式写作 [u v · w].
第4章 晶体定向与结晶符号(修改)

第4章 晶体定向与结晶符号(修改)

第四章 晶体定向与结晶符号
晶体定向——在晶体中建立一个坐标系，对晶 体中各晶面、晶棱以及对称要素标定方向。 结晶符号——表示晶面、晶棱及对称要素等的 方位的符号。
因晶体的各种特 本章内容——晶体定向的方法 性（形态、物性、 ——32种对称型各对称要素空间分布 结构等）都与晶体 ——国际符号，圣弗利斯符号 的方向有关，故晶 体定向是研究晶体 ——晶面符号及晶棱符号等 的最基本的工作。
我们并不知道晶面截晶轴的截距系数, 但我 们可以知道截距大小相对关系。 例如: 八面体（111）、立方体（100）
（晶面与某晶轴平行，该晶轴 上的晶面指数为0）
27
17
注意事项：
晶面符号的书写有一定的规定：
括号内第一个位置写晶面在X轴上的指数，中间写晶面在Y轴上的指 数，最后位置写晶面在Z轴上的指数。这个顺序不可任意颠倒。
国际符号中： 1,2,3,4,6——对称轴； 1, 2 , 3 , 4 , 6 ——旋转反伸轴，m——对称面。 2 若对称面与对称轴垂直，以斜线或横线隔开，如L2PC——2／m(或 ）
m
(可见，对称中心C不必再表示出来了，因为偶次轴垂直 对称面定会产生一个C)。
27 10
具体写法
设置三个位序（最多只有三个）,每个位序规定了写什么 方向上的对称要素。 位序与方向对应，是国际符号最主要特色 对称意义完全相同方向上的对称要素,不管有多少,只写 一个即可，即在对称型的国际符号中凡是可以通过其它对 称要素可以派生出来的对称要素都省略了。 简化，是国际符号的另一特色
晶带
27
24
晶带定律
晶带——交棱相互平行的一组晶面的组合。 晶带轴——表示晶带方向的直线，即过晶体中心该晶带 各晶面交棱方向直线。晶带轴的符号就是晶棱符号。 通常以晶带轴符号来表示晶带符号，如晶带[001]，表示 以[001]直线为晶带轴的那一组交棱相互平行的晶带。
高职结晶学 五、晶体定向和结晶学符号

高职结晶学 五、晶体定向和结晶学符号


三轴定向晶体 h:k:l=a/OH : b/OK : c/OL 四轴定向晶体 由于a＝b＝d≠c h:k:i:l=a/OH : a/OK : a/OI : c/OL
crystallography
例1：确定立方体和八面体各晶面的晶面 符号。 对称型：3L44L36L29PC 晶轴选择：3L4为XYZ轴 晶体几何常数：a＝b＝c； α＝β＝γ＝90o
锆石 a=b≠c， α=β=γ=90o, a:c=1:0.6407
crystallography
三方、六方晶系（四轴定向）


对称特点：有且只有一个L3或L6或Li6。 选轴原则：选择唯一的高次轴作为直立结晶轴z轴，在垂 直 z 轴的平面内选择三个相同的、即互成60°交角的L2或 P的法线，或适当的显著晶棱方向作为水平结晶轴，即x 轴、 y 轴以及 U轴 晶体几何常数：a=b≠c，α=β=90o ，γ=120o 。
方解石（三方）
a:c=1:0.8543
crystallography
3)斜方晶系 对称特点：L2和P的总数不少于三个。 选轴原则：有3 L2时，以3L2为X、Y、Z轴； 在 L22P中，以L2为Z轴， 2P法线为X、Y轴。 晶体几何常数：a≠b≠c，α=β=γ=90o
十字石 a:b:c=0.4734:1:0.6828
crystallography
3.整数定律
晶面在各晶轴上的截距系数之比，恒为 简单整数比。
crystallography
晶轴：行列 晶面：面网 截距系数为整数 截距系数之比为整数比

crystallography
Z
c
a1 a4
X
b1 b2 b3 b4 Y
a3
结晶学4晶体的定向及晶面符号

结晶学4晶体的定向及晶面符号

以L2或P的法线为Y轴，以垂直于Y轴 的主要晶棱方向为X、Z轴
三斜晶系
以三个主要的晶棱方向为X、Y、Z轴
晶体常数特点
a=b=c
a = b = g = 90
a=b≠c
a = b = g = 90
a=b≠c
a = b = 90 g = 120
a≠b≠c
a = b = g = 90
a≠b≠c
a = g = 90 b > 90
三、各个晶系的晶体定向
在七个晶系中，其晶格常数是不一样的，所以各个晶系 中定向原则也是不同的，在七个晶系中，等轴、四方、斜 方、单斜、三斜等晶系选择三轴定向。其中Z轴位于直立 方向，上正下负；X轴位于前后方向，前正后负；Y轴位于 左右方向，右正左负。
三方、六方晶系还要层增加u轴，u轴的前端为负，后端 为正，x、y、u的正端之间的交角为120°
晶系 等轴晶系
选轴原则 以互相垂直的L4或Li4为X、Y、Z轴
四方晶系
L4或Li4为Z轴,以垂直Z轴，并互相垂 直的L2或P的法线为X、Y轴
三方晶系 及六方晶系
以L3或 L6 或Li6 为Z轴，以垂直Z轴并 彼此交角120°的L2或P法线为X、Y、 U
斜方晶系 单斜晶系
以互相垂直的L2或P的法线为X、Y、 Z轴
a≠b≠ c
a b g
第二节 晶面符号的确定
一、晶面符号
1、概念：代表晶面在空间的方位的符号称为晶面符号。晶 体定向后，借助晶面和晶轴的交截关系来确定。晶面符号 有许多种表示方式，目前国际上通用的是米氏符号，这是 英国人米勒在1939年创造的。
米氏符号是用晶面在晶轴上截距系数的倒数比来表示的。
假设有一晶面ABC在X、Y、Z三个晶 轴上的截距分别为OA、OB、OC，轴 单位用a、b、c来度量，则
05 晶体定向和结晶学符号

05 晶体定向和结晶学符号


晶面符号的一般式： 晶面符号的一般式： 三轴定向： 顺序排列。 三轴定向：(hkl)，按X、Y、Z顺序排列。 ， 、 、 顺序排列 四轴定向： 四轴定向：(hkil)，按X、Y、U、Z、顺序 ， 、 、 、 、 排列。 排列。 四轴定向中， 四轴定向中， h +k +i = 0 ,即h、k、i 中 即 、 、 只有两个是独立的， 只有两个是独立的，故一般式又可写作 (h k · l)。 。
⑸三斜晶系
对称特点：只有 对称特点：只有L1和C。 。 选轴原则：以三根合适的晶棱方向为X、 选轴原则：以三根合适的晶棱方向为 、 Y、Z轴。 、 轴 晶轴安置： 轴直立 轴直立， 轴左右并向右 晶轴安置：Z轴直立，Y轴左右并向右 下倾斜， 轴前后并向前下倾斜 轴前后并向前下倾斜。 下倾斜， X轴前后并向前下倾斜。 晶体几何常数： 晶体几何常数：a≠b≠c，α≠β≠γ≠90o 。 ，
三轴定向选择结晶轴的一般顺序是： 三轴定向选择结晶轴的一般顺序是： 有四次轴时，优先选择四次轴； 有四次轴时，优先选择四次轴； 四次轴不够或没有时，选择L 四次轴不够或没有时，选择L2； 不够或没有时，选择P的法线； L2不够或没有时，选择P的法线； 不够或没有时，选择合适晶棱方向； P不够或没有时，选择合适晶棱方向； 在以上的选择中， 在以上的选择中，除单斜晶系优先考虑 轴之外， 优先考虑Z Y轴之外，其余皆 优先考虑Z轴。
立方体 已知晶面在XYZ轴上的截距为： 轴上的截距为： 已知晶面在 轴上的截距为 OH ，∞ ，∞； ； h:k:l＝a/OH : a/∞ : a/∞＝1:0:0； ＝ ＝ ； 米氏符号： 米氏符号：(100)。 。
八面体 已知晶面在XYZ轴上距： 轴上距： 已知晶面在 轴上距 OH=OK=OL； ； h:k:l = a/OH : a/OH : a/OH =1:1:1； ； 米氏符号： 米氏符号：(111)。 。
晶体定向、晶面符号和晶带定律

晶体定向、晶面符号和晶带定律


表4-2:
三、晶面符 号与晶棱符
号
一．晶面符号:
晶体定向后, 晶面在空间的相对位置就可以根据它 与晶轴的关系来确定, 表示晶面空间方位的符号就 叫晶面符号,常用的是米氏符号:晶面在三根晶轴上 的截距系数的倒数比，用小括号括起来。
举例:
某晶面在X,Y,Z轴上的截距为2a,3b,6c, 那 么截距系数为2, 3, 6, 倒数为1/2, 1/3, 1/6, 化简以后的倒数比为3:2:1, 写做 (321),这就是该晶面的米氏符号.
01 晶体外形不可能知道轴单位 ,但根
据对称性可以知道轴单位之间的 比值关系,即： a:b:c
02 例如, 等轴晶系的 a:b:c =?
03 我们将a:b:c 称为轴率, α,β,γ称
轴角,轴率与轴角统称晶体常数. 见表4－1.表中列出的是晶体常 数特点.因为根据晶体的宏观形态 只能定出晶体常数特点,不能定出 晶体常数.
具体的写法为:设置三个序号位(最多只有三个),每个序号 位中规定了写什么方向上的对称要素,对称意义完全相同 的方向上的对称要素,不管有多少,只写一个就行了.
不同晶系中,这三个序号位所代表的方向完全不同,所以, 不同晶系的国际符号的写法也就完全不同,一定不要弄混 淆.
每个晶系的国际符号写法见表4－2(此表熟记！).
在晶体模型上怎么写晶面符号?因为我们并不知道晶面截 晶轴的截距系数, 但我们可以知道截距大小相对关系.
例如: (示范模型): 八面体（111）、四方双锥（hhl）斜方双锥（hkl）
2. 晶棱符号:
为直线符号, 表示这一直线的方向即可. 方法为:将 晶棱(或其他直线)移至经过晶体中心(即坐标原点), 然 后在直线上任取一点,该点在三根晶轴上的坐标系数 比值写进方括号即可:[rst]

第四章：晶体定向与结晶符号

(1).晶面指数——在米氏符号中小 括号内数字称为晶面指数。如晶面符 号（321）中 的321即为晶面指数。 注意：晶面指数是一组无公约数的 整数。
(2).晶面指数特点——均为简单整 数（整数定律或有理数定律）。
4.晶面指数写法 ⑴.三轴定向的晶系 对三轴定向的晶系而言：晶面 指数按X、Y、Z轴的顺序排列。 如果能确定具体数字时，用阿 拉伯数字表示，如果不能确定具 体数字时，用h、k、l表示。 如:（110）（hkl）（hko）
即尽可能使： α=β=γ= 90° a=b=c。
（2）确定晶体常数
晶体常数 轴角 轴角是指晶轴 正端的夹角。通 常用α、β、γ表 示。
α（y∧z） γ（x∧y） β（z∧x）
β x
z α γ y
晶体常数 轴长
晶轴与空间格子中的行列相 对应，行列上结点的间距称为轴 单位（轴长）。 轴单位是结晶轴长度计量的 单位。即：a、b、c。
3.各晶系晶轴选择的原则及 晶体常数特征
（1）等轴晶系
（2）四方晶系
（3）三方晶系及六方晶系
（4）斜方晶系
（5）单斜晶系
（6）三斜晶系
二 结晶符号
1.晶面符号的概念
晶面符号——表征晶面空间方位 的符号。
晶面符号有多种形式，通常采用的是米 氏符号（英国的米勒于1839年创立） 。
2.米氏符号的表示方法 晶面在三个（或四个）结 晶轴上的截距系数的倒数比， 并去掉比例符号，用小括号括 之来表示。
⑵四轴定向的晶系
对四轴定向的晶体而言： 晶面指数按X、Y、U、Z轴顺
序排列，一般写作（hkil）。
注意:
①米氏符号中某个数为0时，表 示该晶面与相应的晶轴平行。 ②同一米氏符号中，晶面指数越 大，表示晶面在相应结晶轴上的截 距系数越小。

晶体定向和晶面符号


等轴晶系的定向: – 晶格常数为: α=β=γ=90°, a = b = c – 三个互相垂直的L4, Li4或L2为X, Y, Z轴 – Z轴直立，Y轴左右水平，X轴前后水平
四方晶系的定向: – 晶格常数为: α=β=γ=90°, a = b ≠ c – 唯一的L4或Li4为Z轴; 相互垂直的L2, 或相互垂直 的对称面法线, 或适当的晶棱为X, Y轴 – Z轴起立，Y轴左右水平，X轴前后水平
无L2及P时： X、Y、U 轴平行晶棱选取
斜方 3L2——X、Y、Z轴；
L22P中：L2——Z轴, 2P的法线——X、Y 轴
单斜 L2或P的法线——Y 轴，垂直Y轴的主要晶棱——X、Z
轴
a=b ≠ c, α=β =90° γ =120 °
a ≠ b ≠ c, α=β=γ=90°
a ≠ b ≠ c, α=γ=90° β＞90°
第八章 晶体定向和晶面符号
一、晶体定向
在晶体中确定坐标系统 以晶体中心为原点建立一个坐标系,由X,Y,Z三轴组成,也 可由X,Y,U,Z四轴组成(对三方晶系与六方晶系).
Z
Y X 三个晶轴不一定垂直
Z U
Y
X
120º
几个基本术语: – 结晶轴：X、Y、Z, 或a、b、c – 轴角：α=b^c，β=c^a，γ=a^b – 轴单位:a、b、c – 轴率：a:b:c – 晶体几何常数：a:b:c, α,β,γ
三斜 以不在同一平面内的三个主要晶棱方向为X、Y、Z轴
a ≠ b ≠ c,
α≠β≠γ ≠ 90°
二、晶面符号
表示晶面在空间相对位置的符号 米氏符号——晶面在三晶轴上截距系数的倒数比（hkl） 晶面指数——h、k、l
h:k:l ＝ a/OX:b/OY:c/OZ

晶体学符号

共有5个点群: 432, m3m, -43m, 23, m3 晶格常数为: a = b = g = 90°, a = b = c 三个互相垂直的L4, Li4或L2为 x, y, z 轴 z 轴直立，y 轴左右水平，x 轴前后水平
晶体学
各晶系的定向法则
等轴晶系的定向
Point group = m3m
晶体学
各晶系的定向法则
单斜晶系的定向:
Point group = 2/m
晶体学
各晶系的定向法则
三斜晶系的定向:
共有2个点群: 1, -1
晶格常数为: a ≠ b ≠ g ≠ 90 °, a ≠ b ≠ c 适当的晶棱为 x, y, z 轴 大致上 z 轴直立， y 轴左右， x 轴前后
晶体学
晶体学
各晶系的定向法则
斜方晶系的定向:
Point group = mmm
晶体学
各晶系的定向法则
单斜晶系的定向:
共有3个点群: 2, 2/m, m 晶格常数为: a = b = 90°, g > 90°, a ≠ b ≠ c L2为 y 轴; 或对称面法线为 y 轴 z 轴起立， y 轴左右水平， x 轴前后向前下倾斜
各晶系的定向法则
三方和六方晶系的四轴定向
选择唯一的高次轴作为直立结晶轴c轴，在垂直 z 轴的 平面内选择三个相同的、即互成60°交角的L2或P的法 线，或适当的显著晶棱方向作为水平结晶轴，即x 轴、 y 轴以及 d 轴(U轴)
共有12个点群:
晶格常数为: a = b = 90°, g =120°, a = b ≠ c z 轴直立， y 轴左右水平， x 轴前后水平偏左30°
以 晶 体 中 心 为 原 点 建 立 一 个 坐 标 系 , 由 X,Y,Z 三 轴 组 成 , 也 可 由 X,Y,U,Z四轴组成(

第四章晶体的定向和晶面符号


第四章 晶体的定向和晶面符号
• • • • • 晶体定向的概念 晶体定向的原则 各晶系的定向法则 晶面符号与单形符号 晶带及晶带符号
一、晶体的定向（三轴定向）
在晶体上确定坐标系统，即选坐标轴和确 定各轴上的轴单位长度之比。 (1) 晶轴：是交于晶体中心的三条直线。为x、y、 z（或a、b、c）。 (2) 轴角:α、β、γ (3) 轴长和轴率：晶轴 是晶体中格子构造中 的行列，轴长（轴单位） 是该行列上的结点间距。 分别以 a、b、c表示， a:b:c为轴率。 （4）晶体常数： 轴率a：b：c和轴角α、β、γ
三方和六方晶系的四轴定向：
– 选择唯一的高次轴作为直立结晶轴Z轴，在垂直Z 轴的平面内选择三个相同的、即互成60°交角的L2 或P的法线，或适当的显著晶棱方向作为水平结晶 轴，即x 轴、 y 轴以及 d 轴(U轴) – 晶体几何常数: a = b = 90°, g =120°, a = b ≠ c – z 轴直立， y 轴左右水平， x 轴前后水平偏左30°
斜方晶系 单斜晶系
a = b = g = 90
a≠b≠c a = g = 90 b > 90 a≠b≠c a≠b≠g
以L2或P的法线为Y轴，以垂直于Y轴 的主要晶棱方向为X、Z轴 以不在同一平面的三个主要的晶棱方 向为X、Y、Z轴
三斜晶系
四、晶面符号与单形符号
1.整数定律
• 任何晶面截距系数之比，都是简单的整数比。
a=b≠c a = b = 90 g = 120
a≠b≠c
三方晶系 及六方晶系
以L3或 L6 或Li6 为Z轴，以垂直Z轴并彼 此交角120°（正端）的3个L2或P法线或 晶棱方向为 X 、 Y 、 U ， 在 L i 6 3L 2 3P 对称

晶体定向和晶体学符号

法线
c b O a
邻近两平行晶面间的垂直距离称为 晶面间距； • 从原点作（h k l）晶面的法线； • 法线被最近邻的（h k l）面所交截 的距离即是晶面间距。
•
*
• 立方晶系晶面夹角
晶面夹角 —— 晶面法线之间的夹角
晶面与 晶面的夹角为
• 立方晶系中晶向 [h k l] 与晶面 (h k l) 垂直
晶体学基础
第三章
晶体定向和晶体学符号
Chapter Outline





晶胞选取原则 晶体学坐标系 各晶系的定向方法 原子坐标 晶向指数 晶面指数 晶带指数 晶面间距与晶面夹角
晶胞及其选取原则
空间点阵按照平行六面体划 分为许多形状和大小相同的网 格，此平行六面体称为点阵晶 胞或单元晶胞（Unit cell）。
晶面间距与晶格常数
SUMMARY
• 晶胞选取原则
• 各晶系的定向方法
• 晶向指数 • 晶面指数 • 晶带定律 • 晶面间距与晶面夹角
23
晶向指数
晶向指数
确定晶向指数4步骤
1）确定坐标系，过原点作平行于欲求晶向的直线； 2）求该直线上任一点的坐标（a，b，c）； 3）将此3个坐标值化成最小整数 u，v，w； 4）加以方括号，即[u v w]。
简单立方晶格的晶向标志
立方边OA的晶向 立方边共有6个不同的晶向
晶向族<u v w>
晶向族代表由对称性联系的一系列等同晶向 的组合。
同一晶面族具有类似的指数。
{1010}: (1010), (0110), (1100) (1010), (0110), (1100)
4轴坐标晶向指数 [u v t w]
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a≠b≠c，α≠β≠γ≠90o 。
Z
β α
γ
Y
X
Crystallography
第6章 晶体定向与结晶符号
6.2 各晶系晶轴的选择及晶体几何常数特点
三轴定向选择结晶轴的一般顺序 ❖ 有四次轴时，优先选择四次轴； ❖ 四次轴不够或没有时，选择L2； ❖ L2不够或没有时，选择P的法线； ❖ P不够或没有时，选择合适晶棱方向； ❖ 在以上的选择中，除单斜晶系优先考虑Y轴之
晶轴是格子构造中的行列；
轴单位是相应行列的结点间距。
c
X,Y,Z轴上的轴单位为a,b,c 。
ab
Y
X
Crystallography
第6章 晶体定向与结晶符号
轴单位的连比a:b:c，称为轴率。 轴率通常写成以b为1的连比式。 例如：尖晶石：1:1:1 金红石：1:1:0.6449 橄榄石：0.46575:1:0.58651
U轴右前，后端正。
Y(+)
轴角：
γ
X(+)
α：Z∧Y＝90°
β：Z∧X＝90°
γ：X∧Y＝120°
四轴定向时，三根水平晶轴正端之间的夹角为120 ° Crystallography
第6章 晶体定向与结晶符号
轴单位(axial unit distance)和轴率(axial ratios)
Z
晶轴的度量单位称轴单位。
a=b=c,α=β=γ=90°。
Crystallography
第6章 晶体定向与结晶符号
6.2 各晶系晶轴的选择及晶体几何常数特点
⑴等轴晶系 对称特点
必有互相垂直的3L4或3Li4或3L2。 选轴原则 3L4或3Li4 或3L2 →X、Y、Z轴。 3L4 4L3 6L29PC 晶体几何常数
a =b=c，α=β=γ=90o。
轴角(interaxial angle)
晶轴正端之间的夹角。
α ：Z∧Y； β：Z∧X； γ：X∧Y
Z(+)
β
α
γ
X(+)
Y(+)
Crystallography
第6章 晶体定向与结晶符号
晶轴的名称、安置和轴角
四轴定向
Z(+)
Z轴直立，上端正。
Y轴左右，右端正； X轴左前，前端正；
U(+)
βα
X
晶棱方向为X、Z轴。
晶轴安置 Z轴直立， Y轴左右水平，
晶体几何常数 a≠b≠c， α=γ=90°，
X轴前后并向前下倾斜。 β＞90°
Crystallography
第6章 晶体定向与结晶符号
6.2 各晶系晶轴的选择及晶体几何常数特点
⑸三斜晶系 对称特点
只有L1和C。 选轴原则
以三根合适的晶棱方向为X、Y、Z轴。 晶轴安置 Z轴直立， Y轴左右并向右下倾斜， X轴前并向前下倾斜。 晶体几何常数
Li4 2L2 2P
Z
α β
Y
X
γ
Crystallography
第6章 晶体定向与结晶符号
6.2各晶系晶轴的选择及晶体几何常数特点
⑶斜方晶系
对称特点
L2和P的总数不少于三个。
选轴原则
有3 L2时，3L2为X、Y、Z轴；
在L22P中，以L2为Z轴， 2P 法线为X、Y轴。
晶体几何常数：
3L2 3PC
Z
a=b≠c， α=β=90o ，
Uβ
α
γ=120o 。
Y
γ
X
Crystallography
第6章 晶体定向与结晶符号
6.2 各晶系晶轴的选择及晶体几何常数特点
⑹三方和六方晶系
对称特点 有且只有一个L3或L6或Li6。
选轴原则 以L3或L6或Li6为Z轴， 以3L2或3P法线或3晶棱方向
Crystallography
6.1结晶轴和晶体几何常数
第6章 晶体定向与结晶符号
晶体中的坐标轴称为结晶轴(crystallographic axis) 晶轴是与晶体对称有关的几根假想直线 原点在晶体中心
Crystallography
第6章 晶体定向与结晶符号
晶轴的名称、安置和轴角
三轴定向 Z轴直立，上端为正； Y轴左右，右端为正。 X轴前后，前端为正；
为X、Y、U轴。 晶体几何常数： a=b≠c， α=β=90o ， γ=120o 。
晶体几何常数：
a=b≠c，α=β=γ=90o。
Crystallography
第6章 晶体定向与结晶符号
6.2 各晶系晶轴的选择及晶体几何常数特点
⑵四方晶系
对称特点 必有而且只有一个L4或Li4。
选轴原则 L4或Li4 → Z轴； 2L2 或2P法线或晶棱方向→ X、Y轴
晶体几何常数： a=b≠c，α=β=γ=90o。
第6章 晶体定向与结晶符号
晶体定向与结晶符 号
Crystallography
主要教学内容
第6章 晶体定向与结晶符号
结晶轴与晶体几何常数* 各晶系晶轴的选择及晶体几何常数特征* 晶面符号* 整数定律 单形符号* 晶棱符号和晶带符号* 晶带定律 对称型的国际符号* 对称型的圣佛里斯符号
外，其余皆优先考虑Z轴。
Crystallography
第6章 晶体定向与结晶符号
6.2 各晶系晶轴的选择及晶体几何常数特点
⑹三方和六方晶系 对称特点
L3 3L2 3PC
有且只有一个L3或L6或Li6。 选轴原则
以L3或L6或Li6为Z轴， 以3L2或3P法线或3晶棱方向
为X、Y、U轴。
晶体几何常数：
Z
a≠b≠c，α=β=γ=90o
α β
X
γ
L2 →Z
L2 2P
Y
Crystallography
第6章 晶体定向与结晶符号
6.2 各晶系晶轴的选择及晶体几何常数特点
⑷单斜晶系 对称特点
L2 PC
Z
L2L2 → Y
Y
γ
以两根均垂直Y轴的合适
3Li4 4L3 6P
Z
α β
Y
X
γ
Crystallography
3L24L3 3PC
第6章 晶体定向与结晶符号
6.2 各晶系晶轴的选择及晶体几何常数特点
⑵四方晶系
L4 4L2 5PC
Z
对称特点
必有而且只有一个L4或Li4。 选轴原则
L4或Li4 → Z轴；
α β
Y
X
γ
2L2 或2P法线或晶棱方向→ X、Y轴
a:b:c和α、β、γ合称为晶体几何常数(crystal constants) 。
Crystallography
第6章 晶体定向与结晶符号
6.2 各晶系晶轴的选择及晶体几何常数特点
选择晶轴的原则： ① 优先选择对称轴； ② 对称轴不够或没有时选对称面法线方向； ③对称面不够或没有时选合适晶棱方向； ④ 在满足上述条件下，尽可能使