因式分解(十字相乘)[上学期]--华师大版
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※因式分解知识要点:1、分组分解法:适用于四项以上的多项式。
如多项式a2-b2+a-b中没有公因式,又不能直接利用公式分解。
但是如果前两项和后两项分别结合,把多项式分成两组,再提公因式,即可到达分解因式的目的。
例1分解因式:a2-b2+a-b =〔a2-b2〕+ 〔a-b〕=〔a+b〕〔a-b〕+〔a-b〕=〔a-b〕(a+b+1)⑴这种利用分组来分解因式的方法叫分组分解法。
⑵原那么:分组后可直接提取公因式或直接利用公式,但必须各组之间能继续分解。
⑶有些多项式在用分组分解法时,分组方法不唯一。
无论怎样分组,只要能将多项式正确分解即可。
练习:把以下多项式分解因式⑴a2-ab+ac-bc ⑵2ax-10ay+5by-bx ⑶m2-5m-mn+5n⑷3ax+4by+4ay+3bx ⑸1-4a2-4ab-b2 ⑹a2-b2-c2+2bc⑺x2-2x+1-y2 ⑻x2-y2-z2-2yz ⑼a2+2ab+b2-ac-bc2、十字相乘法二次项系数为1的二次三项式x2+px+q中假设能把常数项q分解成两个因式a,b的积,且a+b 等于一次项系数中的p,那么就可以分解成x2+px+q=x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)㈠x2+(a+b)x+ab型式的因式分解注意:此公式的三个条件要理解二次项系数是1常数项是两个数之积。
一次项系数是常数项的两个因数之和。
㈡对于x2+〔a+b〕x+ab=〔x+a〕〔x+b〕例如x2+3x+2因式分解解:∵2=1×2且3=1+2∴x2+3x+2=(X+1)(X+2)此方法称为十字相乘法十字相乘法分解因式时常数项因数分解的一般规律:★常数项是正数时,它分解成两个同号因数,它们的符号与一次项系数符号相同。
★常数项是负数时,它分解成两个异号因数,其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同。
例2把以下多项式分解因式①x2+9x+14 ②x2+8x+12 ③ x2-7x+10④x2-2x-8 ⑤x2-x-12 ⑥x2-9x-22⑦x2-4x-21 ⑧x2+4xy-21y2 ⑨x2+5x-63.本节达标测试:1.假设x2-px+q=(x+a)(x+b),那么p=( )A abB a+bC -abD –(a+b)2.假设x2+(a+b)x+5b=x2-x-30,那么b=( )A 5B -6C -5D 63.多项式x2-3x+a可分解为〔x-5〕〔x-b〕,那么a,b的值分别为〔〕A 10,-2B -10, 2C 10,2D -10,-24.不能用十字相乘法分解的是〔〕A x2+x-2B 3x2-10x+3C 5x2-6xy-8y2D 4x2+x+25.下述多项式分解后,有相同因式〔x-1〕的多项式有〔〕个①x2-7x+6 ② 3x2+2-1 ③x2+5x-6 ④ 4x2-5x-9 ⑤x4+11x2-12A 2B 3C 4D 56.假设m2-5m-6=(m+a)(m+b),求a,b的值。
分解因式之十字相乘法我们知道x 2 x 3 =x 5x 6,反过来,就得到二次三项式x25x 6的因式分解形式,即x2 5x x 2 x 3,其中常数项 6 分解成2,3两个因数的积,而且这两个因数的和等于一次项的系数5, 即6=2X 3,且2+3=5。
一般地,由多项式乘法,x a x • b i; = x2亠i a • b x • ab,反过来,就得到2x +(a + b)x + ab = (x+a)(x+b)这就是说,对于二次三项式x2 px q,如果能够把常数项q分解成两个因数a、b的积,并且a+b等于一次项的系数p,那么它就可以分解因式,即x2 px x^ a b x a^ x a x b。
运用这个公式,可以把某些二次项系数为1的二次三项式分解因式。
例1把x23x 2分解因式。
分析:这里,常数项2是正数,所以分解成的两个因数必是同号,而2=1X 2=(-1)(-2),要使它们的代数和等于3,只需取1,2即可。
解:因为2=1X 2,并且1+2=3,所以x2 3x x 1 x 2例2把x^7x 6分解因式。
分析:这里,常数项是正数,所以分解成的两个因数必是同号,而6=1 X 6=(-1) X (-6)=2 X 3=(-2) X (-3),要使它们的代数和等于-7 , 只需取-1 , -6即可。
解:因为6=(-1) X (-6),并且(-1)+(-6)=-7 ,所以x2— 7x 6 = x 亠j 1 :| x 亠j 6 :|二x-1 x_6例3把X2—4X—21分解因式。
分析:这里,常数项是负数,所以分解成的两个因数必是异号,-21 可以分解成-2仁(-1) X 21=1X (-21)=(-3) X 7=3X (-7),其中只需取3与-7,其和3+(-7)等于一次项的系数-4。
解:x2 -4x-21二x①凶-7二X 3 x-7例4把X22X -15分解因式。
解: 因为-15=(-3) X 5,并且(-3)+5=2,所以x2 2X -15=||x ■ -3 X 5=x -3 X 5通过例1八4可以看出,把X^ px q分解因式时:如果常数项q是正数,那么把它分解成两个同号因数,它们的符号与一次项系数p的符号相同。