例谈化归思想在中学数学解题中的应用

化归思想在初中数学教学中的应用

化归思想是数学中一种非常重要的思想方法，它在初中数学教学中有着广泛的应用。化归思想的核心是将复杂问题化简为简单问题，并通过解决简单问题来解决复杂问题。化归思想在初中数学教学中的应用主要体现在以下几个方面。

一、化归思想在初中数学解题中的应用

在初中数学解题中，我们经常会遇到一些复杂的问题，如方程、不等式、几何图形的证明等等。而化归思想可以帮助我们将这些复杂的问题化简为简单问题，从而更容易得到解答。

1.方程的化归

在解方程时，通过引入新的变量或进行恰当的变换，可以将复杂的方程化归为一次方程或二次方程，从而更容易求解。例如，对于一个三次方程，我们可以通过令新的变量等于该方程的根，再进行适当的变换，将该三次方程化归为一个二次方程。这样一来，我们只需要求解这个二次方程，就可以找到原方程的解。

2.几何证明的化归

在几何证明中，有时我们遇到的问题相对复杂，而化归思想可以帮助我们将复杂的几何证明化归为简单的证明。例如，在证明一点为某个角的平分线时，我们可以通过绘制一条垂直平分线，将原问题化归为证明两个直角三角形全等的问题。这样一来，我们只需要证明这两个直角三角形全等即可得到结论。

3.不等式的化归 在解不等式时，通过引入新的变量或进行恰当的变换，也可以将复杂的不等式化归为简单的不等式。例如，对于一个含有绝对值的不等式，我们可以通过将绝对值拆分为两个情况，分别进行讨论，从而化归为不含绝对值的简单不等式。这样一来，我们只需要分别求解这两个简单不等式，就可以得到原不等式的解集。

二、化归思想在初中数学教学中的教学模式

化归思想在初中数学教学中还有一种重要的应用，即可以用来引导学生形成良好的解题习惯，提高学生解题能力。

1.引导学生合理化归问题

在教学中，教师可以通过设计一些具体问题，引导学生尝试将复杂问题化归为简单问题。例如，在教学解一次方程时，教师可以设计一些与现实生活有关的问题，让学生先找到问题中的未知数，并通过列方程解决问题。这样一来，学生不仅能够解决实际问题，还能培养他们进行问题化归的思维习惯。

・　３８　・　中学数学月刊　２０１０年第９期　

例谈转化思想在初中数学解题中的应用　

卢伟峰　（江苏省张家港市妙桥中学２１５６１５）　

在众多的数学思想方法中，转化思想是我们解　决问题时经常采用的一种方法，它也是一种最基本最　

重要的思想方法．转化思想又称转换或化归思想，是　

一种把待解决或解决的问题经过某种转化过程，归结　到一类已经能解决或比较容易解决的问题中去．可以　

说，在中学数学中转化思想无处不在无时不在．转化　的方法有很多，这里通过例题，谈几种常见转化．　

１　一般与特殊的转化　“从特殊到一般”和“从一般到特殊”是人们正　确认识客观世界的科学方法．在解题过程中使用从　

一般到特殊的思考，即考查具体问题的个性，把一般　原理和方法用到具体问题上去，从而发现行之有效　的特殊方法．　例１　若ａ＜ｂ＜０，则下列结论中正确的是　

（　）．　

（Ａ）ａ＋ｂ＜一＆＋ｂ＜ａ—ｂ＜一ａ—ｂ　（Ｂ）ａ＋ｂ＜ａ—ｂ＜一ａ＋ｂ＜～ａ—ｂ　（Ｃ）一ａ—ｂ＜ａ—ｂ＜～ａ＋ｂ＜ｎ＋ｂ　

（Ｄ）一ａ—ｂ＜ａ＋ｂ＜～ａ＋ｂ＜ａ—ｂ　分析　直接比较四个代数式的大小，由于太抽　象，所以困难较大，但因ａ和ｂ均在一定范围内取值，　

故不妨赋予ａ和ｂ均在一定范围内的特殊值．　

因口＜６＜０，不妨设ｎ一一３，６一一２，　

故ａ十ｂ一一５，一ａ＋ｂ＝１，＆～ｂ一一ｌ，一口一　

ｂ一５．　所以ａ＋ｂ＜ａ—ｂ＜一“＋ｂ＜一ａ—ｂ．选Ｂ．　

当　＞０时，ｇ（　）＜ｇ（０）一０，　所以，当～１＜　＜０时，厂（ｚ）＞０，即厂（ｚ）在　

（一１，Ｏ）上为增函数；　当ｚ＞０时，厂（　）＜０，－厂（ｚ）在（ｏ，＋ｏｏ）上为　

减函数．　故函数＿厂（ｚ）的单调递增区间为（一１，０），单调　

递减区间为（０，＋。。）．　故　一０时，－厂（ｚ）有极大值０．　点评　利用二次求导“挖”出零点，进而实现单　

调性的判断．　３　整合重组型　

此法常见于利用构造法证不等式的题型中，当直　接构造的函数难以求得零点时，我们可以整合重组函　

试题研究＞解题技巧…。。　一…一一一一　一　一一数学舅【学酬稳黼）　投稿邮箱：ｓｘｊｋ＠ｖｉｐ　１６３．ＣＯｒｎ　例谈“转化与化归’’思想　在高中数学解题中应用　“转化与化归”是一种重要的数学　思想方法。通过问题的转化、归类就会　使问题变得简单．虽然转化的方法有很　多．但都遵循转化与化归的原则——熟　悉化原则、简单化原则、直观化原则、正　难则反原则．化归与转化是解决问题的　有效策略．同时也是成功的思维方式．学　生在学数学时掌握好“转化与化归”等　数学数学思想方法．会大大提高分析、　处理和懈决数学问题的能力．本文结合　实例．例谈转化与化归思想在数学解题　巾的一些应用．　陌生与熟悉的转化　倒１已知　ａ＋ｂ　＝　＝　ｏ—Ｄ　Ｃ一Ⅱ　ａｃ＿－ｂ＿ｄ求证：ｍｌ４－ｍ２＋　３＝ｍ１ｍ２ｍ　ａｚ／＋ｃｆｃ　１十　解析塬务件　ｊ’　１＋ｄ＿　１一　÷，ｍ　，令　－－ｔａｎｏｔ，　＝ｔ　ｌＩ＿　’　李文靖　江西瑞金第一中学　３４２５００　则ｍｌ＝ｔａｎ（詈　），ｍｚ＝ｔａｎ（詈书），ｍ，＝　：　＝　１ｔａｎａ＋ｔａｎｆｌ　＝ｔａｎ（１２　一　—　）ｔａｎ（　＋　）　＼　／　因为（　ｑＴ＋　）＋（号　）＋（詈一　）＝　所以ｔａｎ　詈＋　）＋（　）］＝ｔａｎｆｗ一　，即毒器＝　一ｔａｎ（詈一　，一　ａｎＩ＿　一　—　』，　整理得ｔａｎ（詈　）＋ｔａｎ（孑　）＋　＼４　／　＼４　。／　ｔａｎ（詈一　］８）＝ｔａｎ（孑＋　）．ｔａｎ（　）・　ｔａｎ（号　一　）’　所以ｍｌ＋ｍ２＋ｍ３＝ｒｒｔｌｒｔｈｍ３成立．　点评：将陌生问题转化为熟悉的问　题．以利于运用熟知的知识、经验和问　题来解决．本题巧妙地将陌生的分式经　过整理变形．转化为熟悉的两角和差正　切公式来解决．　常量与变量的转化　例２对于满足Ｏ≤ｐ≤４的一切实　数，不等式　＞缸　一３恒成立，试求　的取值范围．　解析：习惯上把　当做自变量，记函　数ｙ　＋　一４）　＋３　，于是问题转化为：　当Ｐ　Ｅ［０，４］时，ｙ＞Ｏ恒成立，求　的取值　范围．解决这个等价的问题需应用二次　函数以及二次方程的区间根原理．可想　而知．这是相＇－３复杂的．　设函毒　ｐ）＝（ｘ－１）ｐ＋（　２－４ｘ＋３），显　然　≠１，则／（ｐ）是ｐ的一次函数，要使　）＞０恒成立，当且仅当　０）＞０，—　４）＞　０时，解得　的取值范围是（一∞，一１）ｕ（３，　＋。。）．　点评：本题看上去是一个不等式问　题，但经过等价转化，把它化归为关于ｐ　的一次函数．利用一次函数的单调性求　解．解题的关键是转换变量角色．在有　几个变量的问题中．常常有一个变元处　于主要地位．我们称之为主元．由于思　维定式的影响，在解决这类问题时．我　们总是紧紧抓住主元不放．这在很多情　况下是正确的．但在桌些特定条件下．　思　化　～　一一一一　题 一　一一一一一　～主圣　例投稿邮箱：ｓｘｊｋ＠ｖｉｐ　１６３．ｃｏｍ一　数学教学通讯（教师版）　试题研究＞解题技巧　此路往往不通，这时若能变更主元，转　移变元在问题中的地位．就能使问题迎　刃而解．　正与反的相互转化　倒３已知函数厂（　）＝４ｘ　一ａｘ＋ｌ在　（０，１）内至少有一个零点，试求实数ａ的　取值范围．　解析：至少有一个零点的情况比较　复杂，而其反面为没有零点，比较容易　处理．　（法一）当函数，（　）＝４ｘ　一ａｘ＋ｌ在　（Ｏ，１）内没有零点时甘缸　一ａｘ＋ｌ＝０在　（０，１）内没有实数根，即在（０，１）内，０≠　４ｘ＋　．而当　∈（０，１）时，４ｘ＋　≥　２、／　・÷＝　￣４ｘ＋１　４，＋　）．　要使Ⅱ＃４ｘ＋　．必有０＜４故满足题　设的实数口的取值范围是［４，＋∞）．　（法二）设，（　）＝缸　一似＋１，对称轴　为　詈，注意到，（０）＝１＞０，故对称轴必　须在＿ｙ轴的右侧．　（１）　＜詈＜１时，即Ｏ＜ａ＜８，　士ｆＡ＝ａ２－１６￣＞Ｏ，　ｆｎ≤－４或Ⅱ≥４，　侗１　ｊ　ｉ　Ｏ）＞０　【ａＥＲ　Ⅱ≤一４或０≥４，此时４≤０＜８；　（２）当詈≥１时，　（１）＜０　５－ａ＜０　ｊ口＞５．此时有口≥８．　综合（１）（２）得实数Ⅱ的取值范围是　［４，＋∞）．　点评：运用法二直接求解时，要有　较强的数形结合能力、分类讨论能力和　较强的洞察力（注意至ＩＪｆ（Ｏ）＝ｌ＞Ｏ），有一　定的难度：若转为先考虑它的反面情形　（法一）．则解题目标与思路会变得更集　中与明确．“正难则反”有时会给我们的　解题带来意想不到的妙处．　方程与函数的转化　例４若关于　的方程ｃｏｓ　＋４船ｉ　＋　口一２＝０在区间［０，　］上有两个不同的解，　则实数ａ的取值范围是———一　角醇析：ｃｏｓ２ｘ＋４嬲ｉｎ　＋口一２＝１－－２ｓｉｎ２ｘ￣ｉ　４璐ｉｒｌ　＋口一２＝一２ｓｉｎ￣ｘ＋４ｏｓｉｎ　＋ｃ卜１．　令ｔ＝ｓｉｎｘ，ｔ∈［０，１］，则原题转化为　方程一２￡　＋４　＋　１＝０在［０，１］上有两个　根．　令　￡）一２ｔ　＋４　＋口－ｌ，由二次函数图　ｆＡ＞０，　Ｉ　１　０１≤０．　象可知￣１；ｏｏ，解得　１＜ｎ≤　．　Ｉｏ＜等＜１，　点评：本题涉及多种转化，一是三　角函数的异名化同名．三角函数转化为　代数问题．二是方程的问题转化为函数　的问题．经过转化题目就迎刃而解了．　宏观整体的高度把握问题的一般规律．　从而达到成批的处理问题的效果．　⑨　数与形的转化　例５求函　（　）－、　而　＋　％／—ｘ￣－１２—ｘ＋３７的最小值．　解析　（　）＝　骊＋　、／　丽　＝、／　两　＋　Ｘ／—（ｘ—－６—）—％—（Ｏ—－１—）２．　），　Ａ　：２，３）　，１）　、　．　０　．　：　ｆ２—３、　图１　设』４（２，３），Ｂ（６，１），Ｐ（ｘ，０），则上述　问题ｔ４－４￣为求Ｉ　ｌ＋ｌ船Ｉ的最小值．如　图１，点Ａ关于　轴的对称点为Ｃ（２，一３），　因为Ｉ　Ｉ＝ｌ彤　馏Ｉ≥ｌＢＣＩ＝　４＂ｋ．／２．所ｖＸｆ（ｘ）最小值为４、／　．　点评：本题如果直接对原式进行变　形．其运算量是比较大的，效率当然也　不高．但是将式子转化为这种点与点距　离公式之后．它的几何意义就凸显出来　了：然后再利用数形结合的方法，把代　数问题转化为几何问题．这样的转化使　题目变得简单多了．　抽象与具体的转化　倒６　）定义域在实数集Ｒ上，　当　＞０时　）＞１，且对于任意实数　，ｙ都　７ｆｆ（ｘ＋ｙ）　（　）　（ｙ），同　（１）＝２，解不　等￣ｆ（３ｘ－ｘ　）　解析：ｄ　＋ｙ）－，（　）　ｙ）中取　＝　０８￣ｔｆ（ｏ）亏　０）　叠　０）＝０，则４＂ｘ＞Ｏ，ｙ＝Ｏ，　ｘ）＝Ｏ－￣ｘ＞Ｏ　）＞１矛盾．所以　０）：　１．　当　＞０时　）＞１＞Ｏ；ｘ＜Ｏ　，　＞０，　－厂（－ｘ）＞ｌ＞Ｏ，・而ｌ，（　）　－ｘ）＝ｌ，　，（　志如・姗为ｆ（Ｏ）＝　１，所以　∈Ｒ，ｆ（ｘ）＞０．设　ｌ，　２∈Ｒ－Ｅｘ１＜　２，贝４Ｘ２－Ｘ１＞０，ｊｒ（　２一　１）＞１，ｆ（ｘ２）－／（ｘｉ）＝　Ａｘ１＋（　２—　１）］—：　１）＝　１　￣２－ｘＩ）－ｆ（　１）＝　ｆ（ｘ１）【厂（　２　。）一１］＞０，所以，，　（　）￣Ｒ－Ｙ－　为单调增函数．又因为，（１）＝２，所以　ｆ（３ｘ－ｘ　）　（１）・ｆ（１）　（１＋１）　（２）．由　，（　）的单调・＊－１－：［．￣３ｘ－ｘ２＞２，解得１　＜２．　点评：由于指数函数有类　＋ｙ）＝　，（　）　ｙ）的性质矿　・ａｙ，所以猜想模型　函数　）－－ａ￣（ａ＞０，ａ≠１）．由ｌ，（２）　１＋　１）＿，（１）．，（１）＝４，则将不等式化为，（３ｘ－　）＞，（２），只需证　）的单调性即可．　数学中的转化比比皆是．但实质都　是揭示内在联系实现转化．除极其简单　的数学问题外．几乎每个数学问题的解　决都是通过转化为已知问题实现的．从　这个意义上讲．解决数学问题就是从未　知向已知转化的过程．但还应注意转化　中的等价性．即转化前后必须是等价　的、合理的．　

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浅谈“化归”思想在中学数学中的应用

作者：赵华明

来源：《新校园·中旬刊》2015年第06期

化归是一个极为重要的数学思想。它不仅是解决具体数学问题的重要数学思想，而且是在较广的数学领域（各学科），以及数学的各个阶段（章节）通用的数学思想。什么是化归思想？数学家皮·罗莎作过如下生动的比喻。她说：“假设在你面前有煤气灶、水龙头、水壶和火柴，现在的任务是要烧水，你应当怎样去做？”正确回答是：“在水壶中放上水，点燃煤气。再把水壶放到煤气灶上。”接着，罗莎又提出第二个问题，“假设所有的条件都和原来一样，只是水壶中已经有了足够的水，这时你又应当怎样回答呢？”也许你回答：“点燃煤气，再把水壶放到煤气灶上。”但罗莎认为这并不是最好的回答。最好的回答是：“把壶中的水倒掉。”为什么呢？因为数学家认为已经把后一问题划归为先前的问题了。这个比喻尽管有点夸张，但却深刻地道出了“化归”思想的本质特征——不直接对问题进行“攻击”，而是对它进行变形、转化，直至化为已经解决或容易解决的问题。

在中学数学教学中，在解数学问题的过程中，需要将数（式）与数（式）、形与形、形与数（式）互化，需要将抽象的概念直观化，隐蔽的条件明显化，复杂的问题简单化，综合的问题基本化，无限过程有限化……这种“化”的思维活动和思维过程就是“化归”思想。

方程（组）是中学代数的重要内容。通过分解因式（或求解），一元二次方程可以“化归”为一次方程。运用消元法，二元一次方程组“化归”为一元一次方程。运用“降幂法”，高次方程“化归”为二次或一次方程。运用“消元法”，多元方程组“化归”为二元方程组或一元方程。通过去分母，分式方程“化归”为整式方程。通过去根号，无理方程“化归”为有理方程。非简单的指数方程、对数方程、三角方程等超越方程要“化归”为代数方程。“化归”思想是求解各类方程（组）通用的基本思想。