例谈化归思想在中学数学解题中的应用

化归思想在初中数学教学中的应用

化归思想是数学中一种非常重要的思想方法，它在初中数学教学中有着广泛的应用。化归思想的核心是将复杂问题化简为简单问题，并通过解决简单问题来解决复杂问题。化归思想在初中数学教学中的应用主要体现在以下几个方面。

一、化归思想在初中数学解题中的应用

在初中数学解题中，我们经常会遇到一些复杂的问题，如方程、不等式、几何图形的证明等等。而化归思想可以帮助我们将这些复杂的问题化简为简单问题，从而更容易得到解答。

1.方程的化归

在解方程时，通过引入新的变量或进行恰当的变换，可以将复杂的方程化归为一次方程或二次方程，从而更容易求解。例如，对于一个三次方程，我们可以通过令新的变量等于该方程的根，再进行适当的变换，将该三次方程化归为一个二次方程。这样一来，我们只需要求解这个二次方程，就可以找到原方程的解。

2.几何证明的化归

在几何证明中，有时我们遇到的问题相对复杂，而化归思想可以帮助我们将复杂的几何证明化归为简单的证明。例如，在证明一点为某个角的平分线时，我们可以通过绘制一条垂直平分线，将原问题化归为证明两个直角三角形全等的问题。这样一来，我们只需要证明这两个直角三角形全等即可得到结论。

3.不等式的化归 在解不等式时，通过引入新的变量或进行恰当的变换，也可以将复杂的不等式化归为简单的不等式。例如，对于一个含有绝对值的不等式，我们可以通过将绝对值拆分为两个情况，分别进行讨论，从而化归为不含绝对值的简单不等式。这样一来，我们只需要分别求解这两个简单不等式，就可以得到原不等式的解集。

二、化归思想在初中数学教学中的教学模式

化归思想在初中数学教学中还有一种重要的应用，即可以用来引导学生形成良好的解题习惯，提高学生解题能力。

1.引导学生合理化归问题

在教学中，教师可以通过设计一些具体问题，引导学生尝试将复杂问题化归为简单问题。例如，在教学解一次方程时，教师可以设计一些与现实生活有关的问题，让学生先找到问题中的未知数，并通过列方程解决问题。这样一来，学生不仅能够解决实际问题，还能培养他们进行问题化归的思维习惯。

例谈化归思想在中学数学解题中的应用

化归思想是指把一个复杂的问题转化成一个简单的问题来解决。在中学数学解题中，化归思想具有广泛的应用。下面以几个具体的例子来说明化归思想在中学数学解题中的应用。

化归思想在方程解题中的应用。当我们遇到一元一次方程时，通过化归可以将复杂的方程变成简单的等式。对于方程2x+3=7，可以通过化归思想将3移到等号右边，得到2x=4，再除以2得到x=2，从而解得方程的根为x=2。这个例子中，通过化归可以简化方程，使得求解过程更加简单。

化归思想在几何证明中的应用。几何证明常常需要利用一些几何定理和性质来推导出结论。通过化归思想，可以把一个几何证明问题转化成另一个等价的几何证明问题，从而简化证明的过程。在证明两条平行线之间的距离相等时，可以通过化归思想将该问题化归到已知两平行线与第三条直线相交而得到的相似三角形的证明问题，从而简化证明过程。

化归思想在概率问题中的应用也是非常重要的。概率问题中经常需要计算一些复杂事件的概率，利用化归思想可以将复杂的事件化归为简单的事件来计算概率。当我们需要计算从一组有重复元素的样本空间中抽取出不同元素的事件的概率时，可以将该问题化归为从一组无重复元素的样本空间中抽取出不同元素的事件的概率来计算。

化归思想在数学归纳法证明中的应用也非常重要。数学归纳法是一种证明方法，通过化归思想可以将证明问题化归为更简单的情况来进行证明。当我们需要证明一个数学命题对于所有自然数都成立时，可以通过化归思想将该问题化归为该命题对于一个自然数成立的情况来证明。

化归思想在中学数学解题中具有广泛的应用。无论是在方程解题、几何证明、概率问题还是数学归纳法证明中，通过化归思想可以将复杂的问题转化为简单的问题来解决，从而提高解题的效率和准确性。在中学数学学习中，学生应该充分理解化归思想的应用，培养灵活运用化归思想解决问题的能力。

・　３８　・　中学数学月刊　２０１０年第９期　

例谈转化思想在初中数学解题中的应用　

卢伟峰　（江苏省张家港市妙桥中学２１５６１５）　

在众多的数学思想方法中，转化思想是我们解　决问题时经常采用的一种方法，它也是一种最基本最　

重要的思想方法．转化思想又称转换或化归思想，是　

一种把待解决或解决的问题经过某种转化过程，归结　到一类已经能解决或比较容易解决的问题中去．可以　

说，在中学数学中转化思想无处不在无时不在．转化　的方法有很多，这里通过例题，谈几种常见转化．　

１　一般与特殊的转化　“从特殊到一般”和“从一般到特殊”是人们正　确认识客观世界的科学方法．在解题过程中使用从　

一般到特殊的思考，即考查具体问题的个性，把一般　原理和方法用到具体问题上去，从而发现行之有效　的特殊方法．　例１　若ａ＜ｂ＜０，则下列结论中正确的是　

（　）．　

（Ａ）ａ＋ｂ＜一＆＋ｂ＜ａ—ｂ＜一ａ—ｂ　（Ｂ）ａ＋ｂ＜ａ—ｂ＜一ａ＋ｂ＜～ａ—ｂ　（Ｃ）一ａ—ｂ＜ａ—ｂ＜～ａ＋ｂ＜ｎ＋ｂ　

（Ｄ）一ａ—ｂ＜ａ＋ｂ＜～ａ＋ｂ＜ａ—ｂ　分析　直接比较四个代数式的大小，由于太抽　象，所以困难较大，但因ａ和ｂ均在一定范围内取值，　

故不妨赋予ａ和ｂ均在一定范围内的特殊值．　

因口＜６＜０，不妨设ｎ一一３，６一一２，　

故ａ十ｂ一一５，一ａ＋ｂ＝１，＆～ｂ一一ｌ，一口一　

ｂ一５．　所以ａ＋ｂ＜ａ—ｂ＜一“＋ｂ＜一ａ—ｂ．选Ｂ．　

当　＞０时，ｇ（　）＜ｇ（０）一０，　所以，当～１＜　＜０时，厂（ｚ）＞０，即厂（ｚ）在　

（一１，Ｏ）上为增函数；　当ｚ＞０时，厂（　）＜０，－厂（ｚ）在（ｏ，＋ｏｏ）上为　

减函数．　故函数＿厂（ｚ）的单调递增区间为（一１，０），单调　

递减区间为（０，＋。。）．　故　一０时，－厂（ｚ）有极大值０．　点评　利用二次求导“挖”出零点，进而实现单　

调性的判断．　３　整合重组型　

此法常见于利用构造法证不等式的题型中，当直　接构造的函数难以求得零点时，我们可以整合重组函　

试题研究＞解题技巧…。。　一…一一一一　一　一一数学舅【学酬稳黼）　投稿邮箱：ｓｘｊｋ＠ｖｉｐ　１６３．ＣＯｒｎ　例谈“转化与化归’’思想　在高中数学解题中应用　“转化与化归”是一种重要的数学　思想方法。通过问题的转化、归类就会　使问题变得简单．虽然转化的方法有很　多．但都遵循转化与化归的原则——熟　悉化原则、简单化原则、直观化原则、正　难则反原则．化归与转化是解决问题的　有效策略．同时也是成功的思维方式．学　生在学数学时掌握好“转化与化归”等　数学数学思想方法．会大大提高分析、　处理和懈决数学问题的能力．本文结合　实例．例谈转化与化归思想在数学解题　巾的一些应用．　陌生与熟悉的转化　倒１已知　ａ＋ｂ　＝　＝　ｏ—Ｄ　Ｃ一Ⅱ　ａｃ＿－ｂ＿ｄ求证：ｍｌ４－ｍ２＋　３＝ｍ１ｍ２ｍ　ａｚ／＋ｃｆｃ　１十　解析塬务件　ｊ’　１＋ｄ＿　１一　÷，ｍ　，令　－－ｔａｎｏｔ，　＝ｔ　ｌＩ＿　’　李文靖　江西瑞金第一中学　３４２５００　则ｍｌ＝ｔａｎ（詈　），ｍｚ＝ｔａｎ（詈书），ｍ，＝　：　＝　１ｔａｎａ＋ｔａｎｆｌ　＝ｔａｎ（１２　一　—　）ｔａｎ（　＋　）　＼　／　因为（　ｑＴ＋　）＋（号　）＋（詈一　）＝　所以ｔａｎ　詈＋　）＋（　）］＝ｔａｎｆｗ一　，即毒器＝　一ｔａｎ（詈一　，一　ａｎＩ＿　一　—　』，　整理得ｔａｎ（詈　）＋ｔａｎ（孑　）＋　＼４　／　＼４　。／　ｔａｎ（詈一　］８）＝ｔａｎ（孑＋　）．ｔａｎ（　）・　ｔａｎ（号　一　）’　所以ｍｌ＋ｍ２＋ｍ３＝ｒｒｔｌｒｔｈｍ３成立．　点评：将陌生问题转化为熟悉的问　题．以利于运用熟知的知识、经验和问　题来解决．本题巧妙地将陌生的分式经　过整理变形．转化为熟悉的两角和差正　切公式来解决．　常量与变量的转化　例２对于满足Ｏ≤ｐ≤４的一切实　数，不等式　＞缸　一３恒成立，试求　的取值范围．　解析：习惯上把　当做自变量，记函　数ｙ　＋　一４）　＋３　，于是问题转化为：　当Ｐ　Ｅ［０，４］时，ｙ＞Ｏ恒成立，求　的取值　范围．解决这个等价的问题需应用二次　函数以及二次方程的区间根原理．可想　而知．这是相＇－３复杂的．　设函毒　ｐ）＝（ｘ－１）ｐ＋（　２－４ｘ＋３），显　然　≠１，则／（ｐ）是ｐ的一次函数，要使　）＞０恒成立，当且仅当　０）＞０，—　４）＞　０时，解得　的取值范围是（一∞，一１）ｕ（３，　＋。。）．　点评：本题看上去是一个不等式问　题，但经过等价转化，把它化归为关于ｐ　的一次函数．利用一次函数的单调性求　解．解题的关键是转换变量角色．在有　几个变量的问题中．常常有一个变元处　于主要地位．我们称之为主元．由于思　维定式的影响，在解决这类问题时．我　们总是紧紧抓住主元不放．这在很多情　况下是正确的．但在桌些特定条件下．　思　化　～　一一一一　题 一　一一一一一　～主圣　例投稿邮箱：ｓｘｊｋ＠ｖｉｐ　１６３．ｃｏｍ一　数学教学通讯（教师版）　试题研究＞解题技巧　此路往往不通，这时若能变更主元，转　移变元在问题中的地位．就能使问题迎　刃而解．　正与反的相互转化　倒３已知函数厂（　）＝４ｘ　一ａｘ＋ｌ在　（０，１）内至少有一个零点，试求实数ａ的　取值范围．　解析：至少有一个零点的情况比较　复杂，而其反面为没有零点，比较容易　处理．　（法一）当函数，（　）＝４ｘ　一ａｘ＋ｌ在　（Ｏ，１）内没有零点时甘缸　一ａｘ＋ｌ＝０在　（０，１）内没有实数根，即在（０，１）内，０≠　４ｘ＋　．而当　∈（０，１）时，４ｘ＋　≥　２、／　・÷＝　￣４ｘ＋１　４，＋　）．　要使Ⅱ＃４ｘ＋　．必有０＜４故满足题　设的实数口的取值范围是［４，＋∞）．　（法二）设，（　）＝缸　一似＋１，对称轴　为　詈，注意到，（０）＝１＞０，故对称轴必　须在＿ｙ轴的右侧．　（１）　＜詈＜１时，即Ｏ＜ａ＜８，　士ｆＡ＝ａ２－１６￣＞Ｏ，　ｆｎ≤－４或Ⅱ≥４，　侗１　ｊ　ｉ　Ｏ）＞０　【ａＥＲ　Ⅱ≤一４或０≥４，此时４≤０＜８；　（２）当詈≥１时，　（１）＜０　５－ａ＜０　ｊ口＞５．此时有口≥８．　综合（１）（２）得实数Ⅱ的取值范围是　［４，＋∞）．　点评：运用法二直接求解时，要有　较强的数形结合能力、分类讨论能力和　较强的洞察力（注意至ＩＪｆ（Ｏ）＝ｌ＞Ｏ），有一　定的难度：若转为先考虑它的反面情形　（法一）．则解题目标与思路会变得更集　中与明确．“正难则反”有时会给我们的　解题带来意想不到的妙处．　方程与函数的转化　例４若关于　的方程ｃｏｓ　＋４船ｉ　＋　口一２＝０在区间［０，　］上有两个不同的解，　则实数ａ的取值范围是———一　角醇析：ｃｏｓ２ｘ＋４嬲ｉｎ　＋口一２＝１－－２ｓｉｎ２ｘ￣ｉ　４璐ｉｒｌ　＋口一２＝一２ｓｉｎ￣ｘ＋４ｏｓｉｎ　＋ｃ卜１．　令ｔ＝ｓｉｎｘ，ｔ∈［０，１］，则原题转化为　方程一２￡　＋４　＋　１＝０在［０，１］上有两个　根．　令　￡）一２ｔ　＋４　＋口－ｌ，由二次函数图　ｆＡ＞０，　Ｉ　１　０１≤０．　象可知￣１；ｏｏ，解得　１＜ｎ≤　．　Ｉｏ＜等＜１，　点评：本题涉及多种转化，一是三　角函数的异名化同名．三角函数转化为　代数问题．二是方程的问题转化为函数　的问题．经过转化题目就迎刃而解了．　宏观整体的高度把握问题的一般规律．　从而达到成批的处理问题的效果．　⑨　数与形的转化　例５求函　（　）－、　而　＋　％／—ｘ￣－１２—ｘ＋３７的最小值．　解析　（　）＝　骊＋　、／　丽　＝、／　两　＋　Ｘ／—（ｘ—－６—）—％—（Ｏ—－１—）２．　），　Ａ　：２，３）　，１）　、　．　０　．　：　ｆ２—３、　图１　设』４（２，３），Ｂ（６，１），Ｐ（ｘ，０），则上述　问题ｔ４－４￣为求Ｉ　ｌ＋ｌ船Ｉ的最小值．如　图１，点Ａ关于　轴的对称点为Ｃ（２，一３），　因为Ｉ　Ｉ＝ｌ彤　馏Ｉ≥ｌＢＣＩ＝　４＂ｋ．／２．所ｖＸｆ（ｘ）最小值为４、／　．　点评：本题如果直接对原式进行变　形．其运算量是比较大的，效率当然也　不高．但是将式子转化为这种点与点距　离公式之后．它的几何意义就凸显出来　了：然后再利用数形结合的方法，把代　数问题转化为几何问题．这样的转化使　题目变得简单多了．　抽象与具体的转化　倒６　）定义域在实数集Ｒ上，　当　＞０时　）＞１，且对于任意实数　，ｙ都　７ｆｆ（ｘ＋ｙ）　（　）　（ｙ），同　（１）＝２，解不　等￣ｆ（３ｘ－ｘ　）　解析：ｄ　＋ｙ）－，（　）　ｙ）中取　＝　０８￣ｔｆ（ｏ）亏　０）　叠　０）＝０，则４＂ｘ＞Ｏ，ｙ＝Ｏ，　ｘ）＝Ｏ－￣ｘ＞Ｏ　）＞１矛盾．所以　０）：　１．　当　＞０时　）＞１＞Ｏ；ｘ＜Ｏ　，　＞０，　－厂（－ｘ）＞ｌ＞Ｏ，・而ｌ，（　）　－ｘ）＝ｌ，　，（　志如・姗为ｆ（Ｏ）＝　１，所以　∈Ｒ，ｆ（ｘ）＞０．设　ｌ，　２∈Ｒ－Ｅｘ１＜　２，贝４Ｘ２－Ｘ１＞０，ｊｒ（　２一　１）＞１，ｆ（ｘ２）－／（ｘｉ）＝　Ａｘ１＋（　２—　１）］—：　１）＝　１　￣２－ｘＩ）－ｆ（　１）＝　ｆ（ｘ１）【厂（　２　。）一１］＞０，所以，，　（　）￣Ｒ－Ｙ－　为单调增函数．又因为，（１）＝２，所以　ｆ（３ｘ－ｘ　）　（１）・ｆ（１）　（１＋１）　（２）．由　，（　）的单调・＊－１－：［．￣３ｘ－ｘ２＞２，解得１　＜２．　点评：由于指数函数有类　＋ｙ）＝　，（　）　ｙ）的性质矿　・ａｙ，所以猜想模型　函数　）－－ａ￣（ａ＞０，ａ≠１）．由ｌ，（２）　１＋　１）＿，（１）．，（１）＝４，则将不等式化为，（３ｘ－　）＞，（２），只需证　）的单调性即可．　数学中的转化比比皆是．但实质都　是揭示内在联系实现转化．除极其简单　的数学问题外．几乎每个数学问题的解　决都是通过转化为已知问题实现的．从　这个意义上讲．解决数学问题就是从未　知向已知转化的过程．但还应注意转化　中的等价性．即转化前后必须是等价　的、合理的．