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化归思想在数学解题中的应用

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-- 寄搞日期：2009年3月6日星期五

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-- 化归思想在数学解题中的应用

唐雯川

四川省成都邛崃市平乐中学 611539

【摘要】根据数学问题求解中重要的化归思想，文章详细阐述了如何在数学解题中灵活运用化归思想。结果表明，只要能够进行巧妙地化归，总能快速地求解相关数学问题。

【关键词】化归 数形结合 变更问题

引言

在数学问题的求解过程中，有一类问题是无法直接进行求解的。一般，总是想方设法将所要求解的问题进行化归，从而将难解的问题通过变换化归为容易求解的问题，将未解决的问题通过变换化归为已解决的问题。这便是化归思想。

所谓化归思想，就是在研究和解决有关数学问题时通过某种变换使之化归，进而达到解决问题的一种方法。其特点在于其高度的灵活性和多样性。它可以在宏观上进行化归，如在分析和解决实际问题的过程中，普通语言翻译为数学语言；也可以在数与数、形与形、数与形之间进行转换。还可以在符号系统内部实施转换，即所说的恒等变换。消去法、换元法、数形结合等方法就是最常见的几种化归方法。

在使用化归思想解决数学问题时，一般遵循熟悉化、简单化、直观化、标准化的原则。按照这些原则进行数学操作，省时省力，可以快速提高解题的水平和能力。本文着重论述等价化归、数形结合、变更问题、反证化归和换元化归思想在解题中的应用。

1 等价化归

等价化归是把不可解的问题化归到已有知识范围内可解的问题的一种重要方法。在解题时可以通过适当的联想，把题中的条件或结论改换成另一种等价的形式，从而明确解题方向,寻求解题途径。

例1 ABC中,已知:bAcCa232cos2cos22，045AC，求三角形三边之比。

分析：根据倍角公式和射影定理可知，在ABC中，“bAcCa232cos2cos22”等价于“2acb”,从而“045CA”等价于“0452BA，045CA0(030)A”。这样，原题相当于：ABC中，三边成等差数列，最大角C与最小角A的差为045，求三角形三边之比。由此，通过求解三角方程，确定Asin的大小，原题就容易解出了。 --

-- 解：依题设有

1cos1cos3222CAacb (1)

由射影定理可知

coscosaCcAb (2)

比较(1)、(2)式，得

2acb (3)

根据（3）式，由正弦定理可得

sinsin2sinACB (4)

又由三角形的性质可知，A为最小角，C为最大角，则

045CA，0452BA (5)

将(5)式代入(4)式，可得

sincos2cos2AAA (6)

即

22sincos2(cossin)AAAA (7)

因为A为最小角，所以0452BAA，即0030A，则sincos0AA。

故方程(7)等价于

1cossin2AA (8)

两边平方，整理后

28sin4sin30AA (9)

解方程(9)取正值，得

71sin4A (10)

从而

0271sinsin(45)cos1sin4CAAA --

-- 027sinsin(452)cos212sin4BAAA

因此，ABC三边之比为

::sin:sin:sinabcABC

111(71):7:(71)444

(71):7:(71)

例2图1-1，三棱锥ABCP中，已知lBCPABCPA,，BCPA与的公垂线hED，求证:三棱锥ABCP的体积是hlV261

分析：若直接求解，底、高不易求出。由于ED是PA与BC的公垂线，而PABC，

知AP面EBC，把三棱锥PABC分成以PE，AE为高，ABC为底的两个小三棱锥 。

解：连结ECEB,

PABCAEBCPEBCVVV

1133EBCEBCSAESPE

1()3EBCSAEPE

1132lhl

216lh

即原题得证。 P

E

A

B D C

图1-1 --

-- 通过适当替换题设条件,明确了解题方向。这就表明,有目的地总结并熟悉数学中的等价关系,对于丰富解题思想是很有帮助的。

2 数形结合

数与形是数学中的两种表现形式，数是形的深刻描述，而形是数的直观表现。

两者之间相互印证，不可分割。因此，在特定的条件下，数与形可以相互转换，互相渗透。“数”的问题可以化归为“形”的问题进行研究，“形”的问题也可以化归为“数”的问题进行探讨。

例3 已知0a,0b，ab。试比较222ba和2abab的大小。

分析：考虑将“数”的问题向“形”的问题转化。由题设可得如下等价图示2-1.

解：图中a、b分别表示ACBC、的长度。因为ab，不妨设ab，以a，b为直角边，做直角三角形ABC，斜边22ABab,设CM、CD分别是ABC的BC边上的中线和角平分线，则

222abCM

由三角形的面积公式有

00111sin45sin45222aCDbCDab

所以

2abCDab.

显然 ab 时，CMCD，所以

2222ababab

例4 求函数2241325yxxxx的最大值。

分析：将函数写为2222(2)3(1)2yxx。根据解析式的特征，设计出图形如2-2,在直线l的同侧取A，B两点，使A到直线l的距离2AD，B到直线l的距离3BE,且1DE,P是ED延长线上的一点，令1PDx,则2PEx,由这个图形可得到：22(1)2APx，22(2)3BPx。因为BPAPAB,所以当P点移C

B M D A

图2-1 --

-- 动到与AB再一条直线上的C点处，BPAP有最大值。

解：由图知，当P点位于C点时，ACD∽BCE得

1223xx

所以

1x

即当1x时

函数2241325yxxxx有最大值。

此时2AB

3变更问题

有些数学问题的结构比较复杂，常常通过等价替换题设的条件或结论从而得到问题的解答。因此，解题时可以通过适当的联系，把题中的条件或结论改换成一种与它等价的形式，从而方便问题的解决。

3.1 变更问题的条件

遇到条件比较复杂的数学问题时，可能会无法直接求解。但如果适当变更题设条件,就能将复杂的问题进行简化。

例5 设为a正实数,求aaa

解：变更问题条件 111824aaaaaa…

111248a…

11()2na

3.2 变更问题的结论

同样，有时变更问题的结论，也会使问题的解答达到事半功倍的效果。

例6 设a为实数,求证：22221aa E l

P C D A B

图2-2 --

-- 分析： 22221aa可变形为：22221aa (11)

（11）式又可变为

22(1)12(1)1aa (12)

又因为00nm、时，mnnm2。令112nam，，则可得（12）式。即

22221aa

解：令112nam，，由不等式定理可知：22(1)12(1)1aa，所以22221aa，既22221aa，所以原式得证。

例7 设A，B，C是ABC的三个内角，求证：222222ABCtgtgtg的最小值为1。

分析：由正切半角的恒等式可知：1222222ABBCCAtgtgtgtgtgtg.则

原题结论可转化为求证：222222222222ABCABBCCAtgtgtgtgtgtgtgtgtg.

这样，利用转换结论的思想，原题就不难得证。

证明：对于任意实数 a，b有222abab

2222222ABABtgtgtgtg (13)

2222222BCBCtgtgtgtg (14)

2222222CACAtgtgtgtg (15)

三式相加，即得

2221222222222ABCABBCCAtgtgtgtgtgtgtgtgtg

等号仅当2Atg= 2Btg= 2Ctg，即060ABC时成立。因此，当060ABC时：222222ABCtgtgtg的最小值为1。

4 反证化归

有的数学问题所要求的结论，在一般情况下不容易推出。但在特殊情况下 --

-- 却非常易于处理。因而处理问题时，若能注意到问题的特殊性，将待解决的问题

为特例，进而寻求问题的解答。

例8 证明xsin不是周期函数。

分析：设xsin是周期函数。考察它的一个特殊值——零点，则零点也应该周期的出现，然后推出矛盾。

证明：xxfsin)(的零点是)(22Zkkx,然后随着|k|的增大，2k则更快的增大，)(xf的零点分布越来越疏，这就导致了矛盾，xxfsin)(的零点不是周期出现的，所以原命题成立。

例9 设方程05sin2cos4)sin1(2)cos2(2222222yxyx，求证：不论取何实数值，方程的曲线总经过两点21,PP，并求21,PP两点的坐标。

分析：这是圆系方程，若 取特殊值，则方程对应两个具体的方程，这两个具体的方程必经过21,PP两点。再把此两点代回原方程，知两点都在曲线上，且与的取值无关。故上述两点即为所求的定点21,PP。

解：不妨令2,0得

222210xyxy (16)

224470xyxy (17)

由(16)，(17)得1x，2y或2x，1y

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化归思想在初中数学教学中的应用

化归思想在初中数学教学中的应用

化归思想在初中数学教学中的应用

化归思想是数学中一种非常重要的思想方法，它在初中数学教学中有着广泛的应用。化归思想的核心是将复杂问题化简为简单问题，并通过解决简单问题来解决复杂问题。化归思想在初中数学教学中的应用主要体现在以下几个方面。

一、化归思想在初中数学解题中的应用

在初中数学解题中，我们经常会遇到一些复杂的问题，如方程、不等式、几何图形的证明等等。而化归思想可以帮助我们将这些复杂的问题化简为简单问题，从而更容易得到解答。

1.方程的化归

在解方程时，通过引入新的变量或进行恰当的变换，可以将复杂的方程化归为一次方程或二次方程，从而更容易求解。例如，对于一个三次方程，我们可以通过令新的变量等于该方程的根，再进行适当的变换，将该三次方程化归为一个二次方程。这样一来，我们只需要求解这个二次方程，就可以找到原方程的解。

2.几何证明的化归

在几何证明中，有时我们遇到的问题相对复杂，而化归思想可以帮助我们将复杂的几何证明化归为简单的证明。例如，在证明一点为某个角的平分线时，我们可以通过绘制一条垂直平分线，将原问题化归为证明两个直角三角形全等的问题。这样一来，我们只需要证明这两个直角三角形全等即可得到结论。

3.不等式的化归 在解不等式时，通过引入新的变量或进行恰当的变换，也可以将复杂的不等式化归为简单的不等式。例如，对于一个含有绝对值的不等式，我们可以通过将绝对值拆分为两个情况，分别进行讨论，从而化归为不含绝对值的简单不等式。这样一来，我们只需要分别求解这两个简单不等式，就可以得到原不等式的解集。

二、化归思想在初中数学教学中的教学模式

化归思想在初中数学教学中还有一种重要的应用，即可以用来引导学生形成良好的解题习惯，提高学生解题能力。

1.引导学生合理化归问题

在教学中，教师可以通过设计一些具体问题，引导学生尝试将复杂问题化归为简单问题。例如，在教学解一次方程时，教师可以设计一些与现实生活有关的问题，让学生先找到问题中的未知数，并通过列方程解决问题。这样一来，学生不仅能够解决实际问题，还能培养他们进行问题化归的思维习惯。

例谈化归思想在中学数学解题中的应用

例谈化归思想在中学数学解题中的应用

例谈化归思想在中学数学解题中的应用

化归思想是指把一个复杂的问题转化成一个简单的问题来解决。在中学数学解题中，化归思想具有广泛的应用。下面以几个具体的例子来说明化归思想在中学数学解题中的应用。

化归思想在方程解题中的应用。当我们遇到一元一次方程时，通过化归可以将复杂的方程变成简单的等式。对于方程2x+3=7，可以通过化归思想将3移到等号右边，得到2x=4，再除以2得到x=2，从而解得方程的根为x=2。这个例子中，通过化归可以简化方程，使得求解过程更加简单。

化归思想在几何证明中的应用。几何证明常常需要利用一些几何定理和性质来推导出结论。通过化归思想，可以把一个几何证明问题转化成另一个等价的几何证明问题，从而简化证明的过程。在证明两条平行线之间的距离相等时，可以通过化归思想将该问题化归到已知两平行线与第三条直线相交而得到的相似三角形的证明问题，从而简化证明过程。

化归思想在概率问题中的应用也是非常重要的。概率问题中经常需要计算一些复杂事件的概率，利用化归思想可以将复杂的事件化归为简单的事件来计算概率。当我们需要计算从一组有重复元素的样本空间中抽取出不同元素的事件的概率时，可以将该问题化归为从一组无重复元素的样本空间中抽取出不同元素的事件的概率来计算。

化归思想在数学归纳法证明中的应用也非常重要。数学归纳法是一种证明方法，通过化归思想可以将证明问题化归为更简单的情况来进行证明。当我们需要证明一个数学命题对于所有自然数都成立时，可以通过化归思想将该问题化归为该命题对于一个自然数成立的情况来证明。

化归思想在中学数学解题中具有广泛的应用。无论是在方程解题、几何证明、概率问题还是数学归纳法证明中，通过化归思想可以将复杂的问题转化为简单的问题来解决，从而提高解题的效率和准确性。在中学数学学习中，学生应该充分理解化归思想的应用，培养灵活运用化归思想解决问题的能力。

化归与转化的数学思想解题举例

化归与转化的数学思想解题举例

化归与转化的数学思想解题举例

在数学问题中，化归与转化是一种常用的解题思路。它们可以帮助我们将原问题转化为一个简化的形式，从而更容易得到解答。本文将通过几个具体的例子来说明化归与转化在数学问题中的应用。

一、化归

化归是将一个复杂的问题转化为一个更简单的等价问题的过程。它通常是通过引入新变量或假设，将原问题转化为一个更易于处理的形式。

例子1：求解一元二次方程的解

对于一元二次方程ax^2 + bx + c = 0，如果a不等于0，我们可以通过化归的方法求解其根。

首先，我们可以将方程中的未知数x改写为y = x + p，其中p是一个常数。这样，我们将原来的方程转化为了ay^2 + dy + e = 0（其中d和e是和p相关的常数）。

接下来，我们可以通过求解新方程来得到原方程的解。由于新方程中的y是一个平移的变量，我们可以通过平方完成对y的消除。

最后，我们将得到一个新的一次方程： Cy + F = 0（C和F是和p相关的常数）。求解这个一次方程，我们就可以得到原方程的解。

通过化归，我们将原本复杂的问题转化为了一个简单的一次方程的求解问题，从而更容易得到解答。 二、转化

转化是将一个问题转换为一个具有相同解的等价问题的思想。它可以通过改变问题的表述方式或者引入新的概念来实现。

例子2：求解无穷几何级数的和

对于一个无穷几何级数a + ar + ar^2 + ar^3 + ...（其中| r | < 1），我们可以使用转化的思想来求它的和。

首先，我们可以将级数的和S表示为S = a + ar + ar^2 + ar^3 + ...，这是一个无穷级数。

接下来，我们将级数的每一项都乘以公比r，得到rS = ar + ar^2 +

ar^3 + ar^4 + ...，这是另一个等价的无穷级数。

然后，我们将这两个等式相减，得到(S - rS) = a，进一步化简得到S

= a / (1 - r)。

化归思想在初中数学教学中的应用探究

化归思想在初中数学教学中的应用探究

化归思想在初中数学教学中的应用探究

1. 引言

1.1 研究背景

化归思想作为数学教学中重要的思维方式，近年来受到越来越多教育工作者和研究者的关注。随着数学教学的改革与发展，传统的死记硬背方式已经不能满足学生提高思维能力和创新意识的需求，如何运用化归思想来促进学生的数学学习和思维能力成为当前教育领域的热门议题。针对学生在学习数学中普遍存在的问题如枯燥、难懂、缺乏实际应用等，化归思想的引入为解决这些问题提供了新的思路和方法。

在这样的背景下，深入探讨化归思想在初中数学教学中的应用，挖掘其在解决实际问题和提高学生的思维能力方面的作用，对于提升我国数学教育质量，培养创新型人才具有重要意义。本研究旨在系统分析化归思想在初中数学教学中的应用探究，为教育教学实践提供理论支持和指导。

1.2 研究目的

研究目的是探究化归思想在初中数学教学中的应用情况，分析其对学生数学学习的影响和作用机制。通过研究化归思想在解决实际问题和提高学生思维能力方面的表现，揭示其在教学实践中的价值。旨在总结化归思想在初中数学教学中的教学策略和方法，为教师提供实际操作指导和启示。通过深入研究化归思想在数学教学中的应用，可以为优化数学教学模式、促进学生数学学习兴趣和提高教学效果提供理论支持和实践经验，为推动初中数学教学的质量和教育教学改革提供参考和借鉴。通过明确研究目的，旨在揭示化归思想在初中数学教学中的实际应用效果，为进一步推广和应用化归思想提供理论依据和实践支持。

1.3 研究意义

化归思想在初中数学教学中的应用探究具有重要的研究意义。一方面，初中数学教学是学生数学学习的重要阶段，通过研究化归思想在初中数学教学中的应用，可以有效提高教学效果，帮助学生更好地掌握数学知识和提高数学思维能力。化归思想在解决实际问题中的应用也具有重要意义，可以促进学生将数学知识运用于实际生活中，培养学生的数学建模能力和解决问题的能力。从长远来看，研究化归思想在初中数学教学中的应用，对于促进教育教学改革、提高学生创新意识和实践能力，以及培养21世纪素养都具有重要的现实意义和深远影响。深入研究化归思想在初中数学教学中的应用，对于推动数学教育的发展和提高教育质量都具有十分重要的意义。