多元函数微分法及其应用
本节涉及到的多元函数微分学的几何应用包括：空间曲线的切线与法平面
、曲面的切平面与法线。
以上这些几何应用的基础在于空间曲线的切线，而空间曲线切线的基础在于其切向量，进一步，切向量的基础在于一元向量值函数的导数（导向量）。
基于上述理由，本节的第一段专门介绍了一些关于一元向量值函数的知识：包括定义、极限、连续、与导数。想抓住这些知识的关键只需要记住一点：所有的概念都能归结到向量函数的三个分量函数上。而对于后续应用最有用的知识则是向量值函数的导数（导向量）：对向量值函数的三个分量函数分别求导得出的向量。
向量值函数的几何意义是终端曲线，也就是空间曲线。同时，其导向量的几何意义就是切向量。有了切向量，切线立刻可以写出；法平面也立刻可以写出。这就是向量方法的威力所在。
由参数方程表示的空间曲线，其上某点的切向量好记也好算。而由一般方程（两个由隐函数表示的曲面方程联立）表示的曲线，切向量的公式是无法记忆的，太复杂了。解决办法也不难，方程组两边对最终变量 x 求导就行了（一般情况都是以 x 作最终变量）。可点击参考《说说『隐函数与隐函数组求导』》。
曲面某点的切平面与法线的关键在于找到法向，法向的确定思路是：法向与所有在曲面上且过此点的曲线的切向都垂直。法向最后的结果
很好记忆，就是曲面方程的隐函数分别对三个变量求偏导数。有了法向，切平面和法线可立即写出。
这节的内容期末考试肯定会有，因为它的知识点非常清晰，解决方法也很程序化，并且也可以算同时考察了解析几何一章和微分学知识点。
另解：由 方程两边同时求对 x 的偏导数,得 从而
同理 x 故 所以
z 例 12(02.7 设函数 有连续偏导数, 且 由方程
ze 所确定,求 du . 解 在 两边微分,得
故 由 u
得 从而 11
提问：设 x
，其中 f 具有连续偏导数， z 则 例 13 设
都由方程 所确定的有连续偏导数的函数， 求证 提示：由 F ( x , y ,
， 同理可得
练习：（1）设 ，求
（2）求方程 所确定的隐函数
的 a 2 b2 c2 偏导数. 说明：此例中方程确定两个不同的函数
2 b2 但在其偏导数存在的区域内，所得结果均与上式相同. 12
第十章 多元函数微分学
一、学习要点
1.关于二元函数
会求二元函数的定义域和相应的函数值。求二元函数定义域及函数值的方法与一元函数的方法相似。
2.关于二元函数微分
(1)熟练掌握一阶、二阶偏导数的计算方法和复合函数、隐函数一阶偏导数的计算方法，尤其是形如z=f (x2－y2 ，exy)等的复合函数的偏导数。能熟练地求全微分。
偏导数的定义、计算公式基本与一元函数导数公式相同。求偏导数时，对一个变量求导时，将另一变量视为常数。如求函数32lnzyxu的偏导数
32121zyxxu(y，z为常数)，32221zyxyyu(x，z为常数)
复合函数求偏导数是难点。一般用链式法则，即z=f (u，v)，u=u(x，y)，v=v(x，y)，有
yvvzyuuzyzxvvzxuuzxz
具体情况有两种：
（一）全部函数关系都给出：这时可按前边方法求偏导数，如求二元函数
)ln(2vuz，xyevyxu,22.
的偏导数yzxz,，可以把u，v代入z中，再求偏导数，即 z=ln(x2+y2+e2xy)，求偏导数有
xyxyeyxyexxz222222 xyxyeyxxeyyz222222
（二）部分函数关系没有给出：此时只有用链式法则。如求函数z=f(xy，x2+y3)，的一阶偏导数，则不能用如上方法求解.正确求法是记u=xy，v=x2+y3，用链式法则
xvfyufxvvzxuuzxz2，23yvfxufyz
上例也可以用链式法则，有
xyxyxevuvyvuyzyevuvxvuxz2222221,221
求隐函数的偏导数，是复合函数求偏导数的应用，方法仍然同一元隐函数的求导.
多元函数微分法及其应用：
内容提要：
《大学数学》这套文字教材是中央电大基础课改造工程中“数学课程整合”教学改革的阶段性成果。
大学数学课程的改革是高校教学改革的重点,特别是在学数学如何满足不同规格层次、不同专业科类的需要的改革上,更加困难,随着中央电大人才培养模式改革和开放教育试点的开展,电大专科和专科起点本科的理工、文经类专业相继开出,中央电大数学课程的教学改革同样成为十分重要和紧迫的工作,为配合试点工作,深化以人才培养模式改革为核心、以教学内容和课程体系为重点的教学改革,中央电大从1999年起,与试点工作同步启动了中央电大基础课改革工程,“数学课程整合”便是其中的一个重点项目。
为搞好大学数学课程的建设,项目组经过较长时间的调研和教学实验,确定了“科学性、应用性、开放性;模块化、信息化、一体化”的课程建设和改革原则。
1.科学性:通过数学大师和数学教育家的联合把关,确保数学课程教学内容的准确无误,并在此基础上,充分考虑各类大学生在数学基本素养和能力的培养上应有的要求,以调整和改革人才培养的知识、能力和素质结构。
2.应用性:坚持“必需、够用”的原则,在保证学生数学基本素养和后续课程需要的前提下,强调数学方
图书目录：
第1章多元函数微分学
1.1预备知识
1.2二元函数
1.3偏导数
1.4全微分
1.5复合函数和隐函数的微分法
1.6二元函数的极值
习题1
学习指导
自我测试题
第2章多元函数积分学
2.1二重积分的概念及性质
2.2直角坐标系中二重积分的计算
2.3极坐标系中二重积分的计算
2.4二重积分的应用
习题2
学习指导
自我测试题
参考答案
多元函数微分法及其应用：
F(x,y,z)=x^2+y^2-1 Fx=2x,Fy=2y Fz=0
Fx(√bai1/2),√1/2,√7/2)=√2,Fy(√1/2),√1/2,√7/2)=√2 Fz=0
G(x,y,z)=y^2+z^2-4 Gx=0,Gy=2y Fz=2z
