第2章 一元函数微分学
2.1 导数的概念
2.1.1 导数
2.1.2 右导数
2.1.3 左导数
2.1.4 函数在区间上的可导性
2.2 函数可导的条件
2.3 导数的几何意义与物理意义
2.3.1 导数的几何意义
2.3.2 导数的物理意义
2.4 导数的计算
2.4.1 基本初等函数的导数公式
2.4.2 导数的四则运算法则
2.4.3 复合函数的导数
2.4.4 反函数的导数
2.4.5 隐函数的导数
2.4.6 高阶导数
2.4.6.1 高阶导数的定义
2.4.6.2 高阶导数的运算法则
2.4.6.3 几个常见初等函数的n阶导数公式
2.4.7 由参数方程确定的函数的导数
2.5 微分的概念
2.5.1 微分的定义
2.5.2 微分的几何意义
2.5.3 可微与导数的关系
2.5.4 一阶微分形式的不变性
2.6 微分中值定理
2.6.1 罗尔定理
2.6.2 拉格朗日中值定理
2.6.3 柯西中值定理
2.6.4 泰勒定理
2.6.4.1 带拉格朗日余项的泰勒定理
2.6.4.2 带皮亚诺余项的泰勒定理
2.6.4.3 几个常用函数的带皮亚诺余项的麦克劳林展开式
2.7 洛必达法则
2.7.1 求“0/0”型未定式极限的洛必达法则
2.7.2 求“∞/∞”型未定式极限的洛必达法则
2.8 函数及其性态的研究
2.8.1 单调的判定定理
2.8.2 极值的概念
2.8.3 可导点处极值的必要条件
2.8.4 极值的充分条件
2.8.4.1 极值的第一充分条件
2.8.4.2 极值的第二充分条件
2.8.5 函数图形的凹凸性
2.8.6 凹凸性的判定定理
2.8.7 拐点的概念
2.8.8 二阶可导点处拐点的必要条件
2.8.9 拐点的充分条件
2.8.10 渐近线的概念
2.8.11 求斜渐近线
2.9 曲率、曲率半径、曲率圆
2.9.1 弧微分
八、多元函数的微积分：
（一）求下列函数的偏导数：
（1）33xyyxz
解:233zxyyx， 323zxxyy．
（2）)ln(xyz
解：12ln()zxy，12111ln()()22ln()zxyyxxyxxy
12111ln()()22ln()zxyxyxyyxy.
（3）2arcsin()cos()zxyxy,
2arcsin()cos()zxyxy；
2212cos()[sin()]sin(2)1()1()zyyxyxyxyxyxxyxy,
2212cos()[sin()]sin(2)1()1()zxxxyxyxxxyyxyxy.
（4）yxyz)1(
解：关于x是幂函数故：121(1)(1)yyzyxyyyxyx，
关于y是幂指函数，将其写成指数函数ln(1)yxyze，故：
ln(1)1[ln(1)](1)(ln(1))11yxyyzxyexyyxxyxyyxyxy
解II: 两边取对数得lnln(1)zyxy，因此
11zyyzxxy , 1ln(1)1zxxyyzyxy,
即
21(1)yzyxyx， 1(1)ln(1)(1)yyzxyxyxyxyy.
（二）求下列函数的全微分：
（1） xzxyy ,
因为1zyxy,2zxxyy. 所以21()d()dzzxdzdxdyyxxyxyyy .
（2）2xyze,
因为2xyzex,22xyzey.
所以2(d2d)xyzzdzdxdyexyxy.
（3）22yzxy
多元函数微分法及其应用：
内容提要：
《大学数学》这套文字教材是中央电大基础课改造工程中“数学课程整合”教学改革的阶段性成果。
大学数学课程的改革是高校教学改革的重点,特别是在学数学如何满足不同规格层次、不同专业科类的需要的改革上,更加困难,随着中央电大人才培养模式改革和开放教育试点的开展,电大专科和专科起点本科的理工、文经类专业相继开出,中央电大数学课程的教学改革同样成为十分重要和紧迫的工作,为配合试点工作,深化以人才培养模式改革为核心、以教学内容和课程体系为重点的教学改革,中央电大从1999年起,与试点工作同步启动了中央电大基础课改革工程,“数学课程整合”便是其中的一个重点项目。
为搞好大学数学课程的建设,项目组经过较长时间的调研和教学实验,确定了“科学性、应用性、开放性;模块化、信息化、一体化”的课程建设和改革原则。
1.科学性:通过数学大师和数学教育家的联合把关,确保数学课程教学内容的准确无误,并在此基础上,充分考虑各类大学生在数学基本素养和能力的培养上应有的要求,以调整和改革人才培养的知识、能力和素质结构。
2.应用性:坚持“必需、够用”的原则,在保证学生数学基本素养和后续课程需要的前提下,强调数学方
图书目录：
第1章多元函数微分学
1.1预备知识
1.2二元函数
1.3偏导数
1.4全微分
1.5复合函数和隐函数的微分法
1.6二元函数的极值
习题1
学习指导
自我测试题
第2章多元函数积分学
2.1二重积分的概念及性质
2.2直角坐标系中二重积分的计算
2.3极坐标系中二重积分的计算
2.4二重积分的应用
习题2
学习指导
自我测试题
参考答案
多元函数微分法及其应用：
F(x,y,z)=x^2+y^2-1 Fx=2x,Fy=2y Fz=0
Fx(√bai1/2),√1/2,√7/2)=√2,Fy(√1/2),√1/2,√7/2)=√2 Fz=0
G(x,y,z)=y^2+z^2-4 Gx=0,Gy=2y Fz=2z
1、多元函数存在的条件存在是指P(x，y)以任何方式趋于P0(x0，y0)时，函数都接近于A，如果P(x，y)以某一特殊方式，例如沿着一条定直线或定曲线趋于P0(x0，y0)时，即使函数接近某一确定值，我们还不能由此断定函数存在。反过来，如果当P(x，y)以不同方式趋于P0(x0，y0)时，函数趋于不同的值，那么就可以断定这函数的不存在。例如函数：f(x，y)={0(xy)/(x^2+y^2)x^2+y^2≠0
2、多元函数的连续性定义设函数f(x，y)在开区域(或闭区域)D内有定义，P0(x0，y0)是D的内点或边界点且P0∈D，如果lim(x→x0，y→y0)f(x，y)=f(x0，y0)则称f(x，y)在点P0(x0，y0)连续。
性质(最 大值和最小值定理)在有界闭区域D上的多元连续函数，在D上一定有最 大值和最小值。
性质(介值定理)在有界闭区域D上的多元连续函数，如果在D上取得两个不同的函数值，则它在D上取得介于这两个值之间的任何值至少一次。
3、多元函数的连续与可导如果一元函数在某点具有导数，则它在该点必定连续，但对于多元函数来说，即使各偏导数在某点都存在，也不能保证函数在该点连续。这是因为各偏导数存在只能保证点P沿着平行于坐标轴的方向趋于P0时，函数值f(P)趋于f(P0)，但不能保证
点P按任何方式趋于P0时，函数值f(P)都趋于f(P0)。
4、多元函数可微的必要条件一元函数在某点的导数存在是微分存在的充分必要条件，但多元函数各偏导数存在只是全微分存在的必要条件而不是充分条件，即可微=>可偏导。
5、多元函数可微的充分条件定理(充分条件)如果函数z=f(x，y)的偏导数存在且在点(x，y)连续，则函数在该点可微分。
6.多元函数极值存在的必要、充分条件定理(必要条件)设函数z=f(x，y)在点(x0，y0)具有偏导数，且在点(x0，y0)处有极值，则它在该点的偏导数必为零。
