多元函数微积分(课件)

第七、八、九章 多元函数微积分 复习测试题

一、单项选择题（每题2分）

1、在空间直角坐标系中，1y表示（ ）。

A、垂直于x轴的平面 B、垂直于y轴的平面 C、垂直于z轴的平面 D、直线

2、用平面1z截曲面22yxz，所得截线是（ ）。

A、圆 B、直线 C、抛物线 D、双曲线

3、下列关于二元函数的说法正确的是（ ）。

A、可偏导一定连续 B、可微一定可偏导 C、连续一定可偏导 D、连续一定可微

4、设32yxyxz，则yxz2（ ）。A、y612 B、x C、y D、1

5．若函数),(yxzz的全微分yyxxyzdsindcosd，则二阶偏导数yxz2=（ ）

A．ysin B．xsin C．xcos D． ycos

6、函数xxyyxf2),(22在驻点（1，0）处（ ）

A．取极大值 B．取极小值 C．无极值 D．无法判断是否取极值

7．若函数),(yxfz的一阶偏导存在，且yyfxyxz),0(,2，则),(yxf（ ）

A．yx2 B．2xy C．yyx2 D．yxy2

8、设20,10:xyxD；则下列与Ddxdy的值不相等的是（ ）。

A、102dxx B、10dyy C、10)1(dyy D、1002xdydx

9、二次积分dyyxxdxx2402220转化为极坐标下的二次积分为（ ）

A、drrd20320cos B、drrd20220cos

高等数学多元函数微积分

多元函数微积分是高等数学中的一个重要分支。它研究在多变量空间中的单变元函数的微分和积分问题。这对学习曲面、平面的渐变、凹凸和分界、曲面的体积、局部极值等问题具有重要意义。

一、基本概念

1. 超曲面：一般讲，超曲面就是在n维空间中的一类曲面，它们由至少n+1个函数组成。它是由n维变量组成的，因而可以容纳n维量空间中所有的事物，从而形成一个多维结构。

2. 多元函数微分：多元函数微分就是对在多元空间内变量中的一个函数进行微分的一类函数，它可以应用于求解曲面的斜率，曲面的凹凸和分界，比如计算椭圆曲线、抛物曲线等的曲率和斜率等问题。

3. 多元函数积分：多元函数积分是指在多元空间中的一个函数的积分运算，它可以用于计算曲面的体积，曲面的拉伸与缩小等问题，它也可以用于计算曲面的累积，例如计算三维抛物面、回旋曲线等曲率积分的体积等。

二、求解方法

1. 黎曼微积分法：黎曼微积分法是指在进行多元函数微积分时，识别出包含所求函数的一组导函数，然后根据黎曼公式将这些导函数求和，不断缩小未知函数的范围，最终确定出未知函数的表达式的一类方法。

2. 光滑函数的变换法：光滑函数的变换法指的是在进行多变量函数积分时，先将所给函数进行光滑变换，然后根据变换法则和对称性，极限性和旋转对称性等等属性，运用变换法，不断将多变量函数转化为单变量函数，最后将单变量函数进行积分。

三、应用

1. 力学中的应用：多元函数微积分在力学中有着重要的作用，通过多元函数微积分，可以研究分析物体的运动轨迹，甚至可以预测未来的物体的状态。

2. 热物理学的应用：多元函数微积分可以用来研究热物理学中各种复杂多变量的函数，如热力学量在温度和压力变化时的变化情况，揭示物质性质在热状态时的性质变化，以及热流、热量变化的关系等。

3. 数学建模的应用：多元函数微积分也可以用来进行数学建模，如多元微积分可以用来描述一个普通一般问题的结构特性，如一个多边形的周长、三角形的体积、四棱锥的表面积等。

1 章节 第六章 多元函数微积分

教学内容 多元函数的概念，多元函数的偏导数，多元复合函数求偏导，二重积分

教学目标 1、理解多元函数的概念。

2、了解二元函数的极限与连续性的概念，以及有界闭区域上连续函数的性质。

3、理解偏导数和全微分的概念，了解全微分存在的必要条件和充分条件，以及全微分在近似计算中的应用。

4、掌握复合函数一阶、二阶偏导数的求法。

5、会求隐函数（包括由方程组确定的隐函数）的偏导数。

6、了解曲线的切线与法平面及曲面的切平面与法线，并掌握它们的方程的求法。

7、理解多元函数极值的概念，会求函数的极值。了解条件极值的概念，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求解一些较简单的最大值和最小值的应用问题。

8、理解二重积分积分的概念，了解并会应用重积分的性质。

教学重点 1、多元函数的极限与连续；

2、偏导数的定义；全微分的定义

3、多元复合函数的求导法则；隐函数的求导法则

4、多元函数的极值与最值的求法

5、二重积分概念，二重积分的计算。

教学难点 1、多元函数微分学的几个概念，即多元函数极限的存在性、多元函数的连续性、偏导数的存在性、全微分的存在性、偏导数的连续性之间的关系；

2、多元复合函数的求导法则中，抽象函数的高阶导数；

3、由方程组确定的隐函数的求导法则；

4、条件极值的求法

5、对二重积分概念的理解，将重积分化为累次积分时的定限及更换积分次

讲 授 内 容 备 注

§6.2 二元函数的基本概念

一、内容要点

1． 平面点集 n维空间

2． 多元函数的概念

3． 多元函数的极限

4． 多元函数的连续性

二、教学要求和注意点

教学要求：

1．理解多元函数的概念，理解二元函数的几何意义。

2．了解二元函数的极限与连续性的概念，以及有界闭区域上连续函数的性质。

教学注意点：

多元函数的极限与一元函数极限的定义表面上看起来非常相似，但也有不同的地方，要特别提醒学生注意，一元函数的方向极限只有两个，即左极限和右极限，但多元函数的方向极限有无限多个，动点可以沿着直线的方向趋于定点，也可以沿着曲线

第六章 多元函数微积分

教学重点：

本章重点讲授多元函数的基本概念、偏导、全微分、复合函数微分法与隐函数微分法、多元函数的极值及其求法、二重积分的计算。

教学难点：

本章难点为复合函数微分法与隐函数微分法、多元函数极值的求法、二重积分的计算。

教学内容：

在前面几章中，我们讨论的函数都只有一个自变量，这种函数称为一元函数. 但在许多实际问题中，我们往往要考虑多个变量之间的关系，反映到数学上，就是要考虑一个变量（因变量）与另外多个变量（自变量）的相互依赖关系. 由此引入了多元函数以及多元函数的微积分问题. 本章将在一元函数微积分学的基础上，进一步讨论多元函数的微积分学. 讨论中将以二元函数为主要对象，这不仅因为有关的概念和方法大都有比较直观的解释，便于理解，而且这些概念和方法大都能自然推广到二元以上的多元函数.

第1次课 2学时

本次课教学重点：

空间直角坐标系、空间两点间的距离、曲面及其方程。

本次课教学难点：

曲面及其方程

本次课教学内容：

第六章 多元函数微积分

第一节 空间解析几何简介

空间解析几何的产生是数学史上一个划时代的成就. 它通过点和坐标的对应，把数学研究的两个基本对象“数”和“形”统一起来，使得人们既可以用代数方法研究解决几何问题（这是解析几何的基本内容），也可以用几何方法解决代数问题.

本节我们仅简单介绍空间解析几何的一些基本概念，它们包括空间直角坐标系、空间两点间的距离、空间曲面及其方程等概念. 这些内容对我们学习多元函数的微分学和积分学将起到重要的作用.

一、 空间直角坐标系

在平面解析几何中，我们建立了平面直角坐标系，并通过平面直角坐标系，把平面上的点与有序数组(即点的坐标),(yx)对应起来. 同样，为了把空间的任一点与有序数组对应起来，我们来建立空间直角坐标系.

过空间一定点O, 作三条相互垂直的数轴， 依次记为x轴（横轴）、y轴（纵轴）、z轴（竖轴），统称为坐标轴. 它们构成一个空间直角坐标系Oxyz（如下图）.