第一节_定积分的微元法(大专)
定积分是高等数学中的一个重要概念，它是微积分学的基础。定积分的微元法是定积分的一种重要解法方法。
定积分的定义是：若函数 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上有定义，并且在该区间内是有界的，那么将该区间分成许多小区间，每个小区间长度为 $ \triangle x $，并在每个小区间内任取一点 $x_i$，则当小区间宽度趋近于 0 时，Riemann和 $\sum f(x_i)
\triangle x$ 的极限称为函数 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上的定积分，记作 $\int_a^b f(x)
dx$。
定积分的微元法可以简化定积分的求解过程，实现求解和计算的快速精确。
定积分的微元法公式是：
$$\int_a^b f(x) dx = \lim_{\max\limits_{i=1}^{n} \triangle x_i \to 0}
\sum\limits_{i=1}^{n} f(\xi_i) \triangle x_i \approx \sum\limits_{i=1}^{n} f(x_i)
\triangle x$$
其中，$n$ 为区间 $[a,b]$ 被分成的小区间的数量，$\triangle x_i$ 为每个小区间的宽度，$\xi_i$ 为每个小区间中任意一个点的值，$x_i$ 是每个小区间的左端点。
根据定积分的微元法公式，我们可以将要求解的区间 $[a,b]$ 分成 $n$ 个小区间，记作 $[x_0,x_1], [x_1,x_2], …, [x_{n-1},x_n]$。在每个小区间 $[x_{i-1},x_i]$ 中取一点 $x_i$，则定积分的值可以近似表示为：
$$\int_a^b f(x) dx \approx \sum_{i=1}^{n} f(x_i) \triangle x_i$$
微元法在利用定积分解决实际问题中所起的作用
张志军
一、能利用定积分来解决的实际问题有什么特点？
能利用定积分来解决的实际问题，总可归结为求一个确定在某一区间上且一般来说在上非均匀分布的量。这个量有以下两个特点：
1、 对区间具有可加性
设是与变量的变化区间有关的待求量，在内任意插入分点
，把分成个小区间，相应地量也被分成个部分量，那么等于这些部分量的和，即
2、 能找出部分量的近似表达式
如果对每个部分量可以找到如下形式的近似值
，
其中为上的连续函数，那么待求量的近似值为
我们要求的是的精确值，而用的近似值累加，其误差也将累加，所以就要求累加的误差能随所有而趋于零。因此，希望相应于任一长为的小区间的部分量都满足表达式：
且当时，（并与无关）。这样我们可以证明量即可用定积分来计算
二、如何理解和运用微元法来解决可化为定积分的实际问题？
微元法也成为元素法，它是用来化实际问题为定积分问题的一种简便方法，也是物理学、力学和工程技术上普遍采用的方法。如问题一所述，可化为定积分来计算的待求量有两个特点，对区间的可加性这一特点，是容易看出来的，因此，关键在于另一特点，即找任仪部分量的表达式： （1）
然而，人们往往根据问题的几何或物理的特征，自然地将注意力集中于去找这一项上。但不能忘记，这一项与之差，当时，应是比高阶的无穷小量，借用微分的记号，将这项记为 （2）
这个量称为待求量的微元或元素。用定积分来解决实际问题的关键就在于求出微元。
若连续，我们由（1）式即知，（2）式表示的微元实际上是的微分，因为在区间上的待求量为 ，
故。因此，要求出在区间上的待求量，先要求出的微分。然后把在上积分，即可求出，这就是所谓微元法或元素法。
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定积分中微元法及其应用研究
作者：李阳
来源：《现代盐化工》2019年第02期
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摘; ;要：解决定积分的应用问题常用“分割，近似求和，取极限”来导出所求量的积分形式，在积分学中微元法这一方法能够把复杂的问题简单化。着重讨论微元法的思想和微元法在几何中的应用，令学者对定积分中微元法有进一步了解，然后介绍这一方法如何将实际问题抽象转化为定积分，并且讨论了微元法在物理学、经济学、几何学等方面的应用。
关键词：定积分;微元法;应用探析 龙源期刊网
积分学中的定积分模块在物理、经济、几何等其他学科技术中都有广泛的应用。在高等数学中，在适当的情况下运用定积分中的微元法能令一些实际问题简单化，并且就现代关于微元法在定积分中应用的研究情况来看，微元法在定积分的应用方面至关重要。
微元法不仅在数学、物理、经济方面都有应用，在化工、经济、生物、医學等领域亦有广泛应用，如生物群落量的计算、心脏输出量的测定、人口统计、单位时间内的血流量、化学反应物的生成等。
3; ; 结语
阐述了定积分中微元法在生活中的应用，这一思想方法能够将实际问题简单化，体现微元法这一思想方法的广泛应用性。随着学者对积分学深入的研究，正确了解并掌握微元法这一思想方法对数学学科的研究具有重作用。
[参考文献]
[1]华东师范大学数学系.数学分析[M].北京：高等教育出版社，2004.
[2]同济大学，浙江大学.高等数学[M].北京：高等教育出版社，2004.
[3]刘隆复，马驷良，陈守东.数学分析习题讲义[M].吉林：吉林大学出版社，1986.
[4]戴启润.大学物理[M].郑州：郑州大学出版社，2008.
[5]吴汉华.定积分的微元法及其应用[J].漳州职业技术学院学报，2006，8（3）：101-104.
第２７卷第４期
２０１１年８月 大 学数 学
ＣｏＬＬＥＧＥ ＭＡＴＨＥＭＡＴＩＣＳ ＶＯ１．２７，№．４
Ａｕｇ．２０１１
关于定积分微元法的一点补充
镭露
（贵州大学理学院基础教学部，贵州贵阳５５０００３）
［摘要］通过一个实例提出问题，进而给出微元法中推导微元及检验微元表达式的简便方法 ［关键词］定积分；微元法；微分 ［中图分类号］Ｏ１７２ ［文献标识码］Ｃ ［文章编号］１６７２—１４５４（２０１１）０４—０１７６—０３
１ 引 言
《数学分析》和《高等数学》教材都介绍了微元法，应用微元法可将一些几何、物理等实际问题转化为定
积分来求，而微元又是微元法的关键，能否合理选择所求量的微元，关系到所求量的正确性，那么究竟如何
选择微元才能保证所取微元是合理的呢？学生经常感到困惑，以致于他们只能模仿例题“机械地套用”微 元法．在“微元法”中，我们经常用直线段代替曲线段，以不变量代替变量，以均匀代替不均匀，那么是否直
观上近似的量都可以作为所求量的微元呢？我们先看下面的例子．
设曲线Ｙ一．厂（ｚ）＞０是［。，６］上的光滑曲线，求该曲线绕－ｚ轴旋转一周所得旋转曲面的面积．
在直观上看，当 一０时，在 ，ｚ十 ］上切线段ＡＢ
≈弧ＡＣ，直线段ＡＤ≈弧ＡＣ，那么切线段ＡＢ及直线段ＡＤ分
别绕 轴旋转一周所得小扁圆台的侧面积是否都可以作为所求 旋转曲面面积的微元ｄＡ呢？现记切线段ＡＢ—ｄｓ，直线段Ａｔ）
一ｄｘ．
（ｉ）在Ｉｘ，．ｚ＋如］上，用ｄｓ绕ｚ轴旋转一周所得小扁圆台的 侧面积近似代替△Ａ，即△Ａ≈ ．ｙ十（ ＋ｄｙ）］ｄｓ一２ｎｙｄｓ＋
ｚｒｄｙｄｓ，因为－厂（ｚ）连续，所以当出一０时， 一０，ｄｓ一０，于是
ｚｒｄｙｄｓ—ｏ（’如），ｄＡ一２ｎｙｄｓ，又ｄｓ一￣／１＋ 如，由此得到Ａ
ｒ６ 一Ｉ ２ａ－ｙ￣／１＋ ｄｘ 图１
（ｉｉ）在 ，－ｚ＋ ］上，用 绕ｚ轴旋转一周所得小扁圆柱体的侧面积２ａ－ｙｄｘ近似代替△Ａ，令ｄＡ— ｒｂ ２ａ－ｙ＆ｃ，于是Ａ—Ｉ ２ａｙｄｘ． Ｊ ｎ 同一旋转曲面的面积，怎么会出现两个不同结果呢？这其中之一一定有误，问题又出在哪呢？
