《多元函数的微积分》课件

第七、八、九章 多元函数微积分 复习测试题

一、单项选择题（每题2分）

1、在空间直角坐标系中，1y表示（ ）。

A、垂直于x轴的平面 B、垂直于y轴的平面 C、垂直于z轴的平面 D、直线

2、用平面1z截曲面22yxz，所得截线是（ ）。

A、圆 B、直线 C、抛物线 D、双曲线

3、下列关于二元函数的说法正确的是（ ）。

A、可偏导一定连续 B、可微一定可偏导 C、连续一定可偏导 D、连续一定可微

4、设32yxyxz，则yxz2（ ）。A、y612 B、x C、y D、1

5．若函数),(yxzz的全微分yyxxyzdsindcosd，则二阶偏导数yxz2=（ ）

A．ysin B．xsin C．xcos D． ycos

6、函数xxyyxf2),(22在驻点（1，0）处（ ）

A．取极大值 B．取极小值 C．无极值 D．无法判断是否取极值

7．若函数),(yxfz的一阶偏导存在，且yyfxyxz),0(,2，则),(yxf（ ）

A．yx2 B．2xy C．yyx2 D．yxy2

8、设20,10:xyxD；则下列与Ddxdy的值不相等的是（ ）。

A、102dxx B、10dyy C、10)1(dyy D、1002xdydx

9、二次积分dyyxxdxx2402220转化为极坐标下的二次积分为（ ）

A、drrd20320cos B、drrd20220cos

高等数学多元函数微积分

多元函数微积分是高等数学中的一个重要分支。它研究在多变量空间中的单变元函数的微分和积分问题。这对学习曲面、平面的渐变、凹凸和分界、曲面的体积、局部极值等问题具有重要意义。

一、基本概念

1. 超曲面：一般讲，超曲面就是在n维空间中的一类曲面，它们由至少n+1个函数组成。它是由n维变量组成的，因而可以容纳n维量空间中所有的事物，从而形成一个多维结构。

2. 多元函数微分：多元函数微分就是对在多元空间内变量中的一个函数进行微分的一类函数，它可以应用于求解曲面的斜率，曲面的凹凸和分界，比如计算椭圆曲线、抛物曲线等的曲率和斜率等问题。

3. 多元函数积分：多元函数积分是指在多元空间中的一个函数的积分运算，它可以用于计算曲面的体积，曲面的拉伸与缩小等问题，它也可以用于计算曲面的累积，例如计算三维抛物面、回旋曲线等曲率积分的体积等。

二、求解方法

1. 黎曼微积分法：黎曼微积分法是指在进行多元函数微积分时，识别出包含所求函数的一组导函数，然后根据黎曼公式将这些导函数求和，不断缩小未知函数的范围，最终确定出未知函数的表达式的一类方法。

2. 光滑函数的变换法：光滑函数的变换法指的是在进行多变量函数积分时，先将所给函数进行光滑变换，然后根据变换法则和对称性，极限性和旋转对称性等等属性，运用变换法，不断将多变量函数转化为单变量函数，最后将单变量函数进行积分。

三、应用

1. 力学中的应用：多元函数微积分在力学中有着重要的作用，通过多元函数微积分，可以研究分析物体的运动轨迹，甚至可以预测未来的物体的状态。

2. 热物理学的应用：多元函数微积分可以用来研究热物理学中各种复杂多变量的函数，如热力学量在温度和压力变化时的变化情况，揭示物质性质在热状态时的性质变化，以及热流、热量变化的关系等。

3. 数学建模的应用：多元函数微积分也可以用来进行数学建模，如多元微积分可以用来描述一个普通一般问题的结构特性，如一个多边形的周长、三角形的体积、四棱锥的表面积等。

1 章节 第六章 多元函数微积分

教学内容 多元函数的概念，多元函数的偏导数，多元复合函数求偏导，二重积分

教学目标 1、理解多元函数的概念。

2、了解二元函数的极限与连续性的概念，以及有界闭区域上连续函数的性质。

3、理解偏导数和全微分的概念，了解全微分存在的必要条件和充分条件，以及全微分在近似计算中的应用。

4、掌握复合函数一阶、二阶偏导数的求法。

5、会求隐函数（包括由方程组确定的隐函数）的偏导数。

6、了解曲线的切线与法平面及曲面的切平面与法线，并掌握它们的方程的求法。

7、理解多元函数极值的概念，会求函数的极值。了解条件极值的概念，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求解一些较简单的最大值和最小值的应用问题。

8、理解二重积分积分的概念，了解并会应用重积分的性质。

教学重点 1、多元函数的极限与连续；

2、偏导数的定义；全微分的定义

3、多元复合函数的求导法则；隐函数的求导法则

4、多元函数的极值与最值的求法

5、二重积分概念，二重积分的计算。

教学难点 1、多元函数微分学的几个概念，即多元函数极限的存在性、多元函数的连续性、偏导数的存在性、全微分的存在性、偏导数的连续性之间的关系；

2、多元复合函数的求导法则中，抽象函数的高阶导数；

3、由方程组确定的隐函数的求导法则；

4、条件极值的求法

5、对二重积分概念的理解，将重积分化为累次积分时的定限及更换积分次

讲 授 内 容 备 注

§6.2 二元函数的基本概念

一、内容要点

1． 平面点集 n维空间

2． 多元函数的概念

3． 多元函数的极限

4． 多元函数的连续性

二、教学要求和注意点

教学要求：

1．理解多元函数的概念，理解二元函数的几何意义。

2．了解二元函数的极限与连续性的概念，以及有界闭区域上连续函数的性质。

教学注意点：

多元函数的极限与一元函数极限的定义表面上看起来非常相似，但也有不同的地方，要特别提醒学生注意，一元函数的方向极限只有两个，即左极限和右极限，但多元函数的方向极限有无限多个，动点可以沿着直线的方向趋于定点，也可以沿着曲线

第五讲 多元微积分（上）

考纲要求

1.理解多元函数的概念，理解二元函数的几何意义.

2.了解二元函数的极限与连续的概念以及有界闭区域上连续函数的性质.

3.理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必要条件和充分条件，了解全微分形式的不变性.

4..掌握多元复合函数一阶、二阶偏导数的求法.

5.了解隐函数存在定理，会求多元隐函数的偏导数.

6.理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题.

7.理解二重积分、三重积分的概念，了解重积分的性质，了解二重积分的中值定理.

8.掌握二重积分的计算方法（直角坐标、极坐标）.

一、多元微分学概念及其关系

问题1 二元函数(,)fxy在点00(,)xy处有极限、连续、可偏导、可微、偏导数连续之间有何关系？

答 首先要正确理解各概念.

二元函数(,)fxy在点00(,)xy处的极限00lim(,)xxyyfxyA表示(,)Pxy以任何方式趋近于000(,)Pxy，函数(,)zfxy趋近于常数A.

注：若找到两种不同趋近方式，使),(lim00yxfyyxx存在，但两者不相等，或者找到一种趋近方式，使),(lim00yxfyyxx不存在，则可断言),(yxf在点),(000yxP处极限不存在．

如果0000lim(,)(,)xxyyfxyfxy，则称函数(,)fxy在点00(,)xy处连续.

二元函数),(yxfz在点),(00yx处对x的偏导数

0000000(,)(,)(,)limxxfxxyfxyfxyx；

函数),(yxfz在点),(00yx处对y的偏导数为

0000000(,)(,)(,)limyyfxyyfxyfxyy.