曲线与方程练习题

2023届全国高考数学复习：专题（曲线的切线方程）重点讲解与练习

考点一 求切线的方程

【方法总结】

求曲线切线方程的步骤

(1)求曲线在点P(x

0，y

0)处的切线方程的步骤

第一步，求出函数y＝f(x)在点x＝x

0处的导数值f′(x

0)，即曲线y＝f(x)在点P(x

0，f(x

0))处切线的斜率；

第二步，由点斜式方程求得切线方程为y－f(x

0)＝f′(x

0)ꞏ(x－x

0)．

(2)求曲线过点P(x

0，y

0)的切线方程的步骤

第一步，设出切点坐标P′(x

1，f(x

1))；

第二步，写出过P′(x

1，f(x

1))的切线方程为y－f(x

1)＝f′(x

1)(x－x

1)；

第三步，将点P的坐标(x

0，y

0)代入切线方程，求出x

1；

第四步，将x

1的值代入方程y－f(x

1)＝f′(x

1)(x－x

1)可得过点P(x

0，y

0)的切线方程．

注意：在求曲线的切线方程时，注意两个“说法”：求曲线在点P处的切线方程和求曲线过点P的切线

方程，在点P处的切线，一定是以点P为切点，过点P的切线，不论点P在不在曲线上，点P不一定是切

点．

【例题选讲】

[例1](1) (2021ꞏ全国甲)曲线y＝2x－1

x＋2在点(－1，－3)处的切线方程为________．

(2) (2020ꞏ全国Ⅰ)函数f(x)＝x4－2x3的图象在点(1，f(1))处的切线方程为( )

A．y＝－2x－1 B．y＝－2x＋1 C．y＝2x－3 D．y＝2x＋1

(3) (2018ꞏ全国Ⅰ)设函数f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax．若f(x)为奇函数，则曲线y＝f(x)在点(0，0)处的切线方

程为( )

A．y＝－2x B．y＝－x C．y＝2x D．y＝x

(4) (2020ꞏ全国Ⅰ)曲线y＝ln x＋x＋1的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为________．

(5)已知函数f(x)＝xlnx，若直线l过点(0，－1)，并且与曲线y＝f(x)相切，则直线l的方程为 ．

专题九 解析几何

第二十九讲 曲线与方程

2019年

1.（2019北京理8）数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，

曲线就

是其中之一（如图）。给出下列三个结论：

① 曲线恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；

② 曲线上任意一点到原点的距离都不超过2;

③ 曲线所围城的“心形”区域的面积小于3.

其中，所有正确结论的序号是

（A）① （B）②

（C）①② （D）①②③

2．（2019浙江15）已知椭圆22

1

95xy

+=

的左焦点为F

，点P

在椭圆上且在x

轴的上方，

若线段PF的中点在以原点O

为圆心，OF

为半径的圆上，则直线PF的斜率是_______.

3．（2019江苏17）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C:22

221(0)xy

ab

ab+=>>

的焦

点为F

1（–1、0），F

2（1，0）．过F

2作x轴的垂线l，在x轴的上方，l与圆F

2:222

(1)4xya−+=

交于点A，与椭圆C交于点D.连结AF

1并延长交圆F

2于点B，连结BF

2交椭圆C于点E，

连结DF

1．已知DF

1=5

2．

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）求点E的坐标．

4.（2019全国III理21（1））已知曲线C：y=2

2x

，D为直线y=1

2−

上的动点，过D作

C

的两条切线，切点分别为A，B.

（1）证明：直线AB过定点：

（2）若以E(0，5

2)为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形ADBE

的面积.

5.（2019北京理18）已知抛物线

2:2Cxpy=−经过点(2，-1).

(I) 求抛物线C的方程及其准线方程；

(II) 设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，

直线y=-1分别交直线OM，ON于点A和点B，求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两上

定点.

6.（2019全国II理21）已知点A(−2,0)，B(2,0)，动点M(x,y)满足直线AM与BM的斜率之积

为−1

2.记M的轨迹为曲线C.

曲线练习题

一、基础题

(1) y = 2x + 3

(2) y = x^2 4x + 1

(3) y = 3x^3 2x^2 + x 5

(1) y = 4x 7

(2) y = 2x^2 + 3x 1

(3) y = 5x^3 3x^2 + 2x + 4

(1) y = x^2 6x + 9

(2) y = 2x^2 + 4x + 6

(3) y = 3x^3 9x^2 + 6x

二、应用题

1. 某物体做直线运动，其位移与时间的关系为 s = 3t^2 + 2t +

1（其中s为位移，t为时间），求：

(1) 物体在t=2秒时的位移；

(2) 物体在前3秒内的平均速度。

2. 一条河流的流速与时间的关系为 v = 2t + 3（其中v为流速，t为时间），求：

(3) 河流在t=4小时时的流速；

(4) 河流在前5小时内的平均流速。

三、综合题

1. 已知曲线方程 y = x^3 3x^2 + 2x，求：

(1) 曲线的拐点； (2) 曲线的极值。

2. 给定曲线方程 y = e^x x^2，求：

(3) 曲线的凹凸区间；

(4) 曲线的单调区间。

四、拓展题

1. 已知曲线方程 y = ln(x^2 + 1)，求：

(1) 曲线的渐近线；

(2) 曲线在x=0处的曲率。

2. 给定曲线方程 y = sin(x) + cos(x)，求：

(3) 曲线的周期；

(4) 曲线在[0, π]区间内的最大值和最小值。

五、几何题

(1) 画出该曲线的图形；

(2) 求曲线在点 (1, 1) 处的切线方程；

(3) 计算曲线在 x = 0 和 x = 2 之间的弧长。

(4) 确定曲线的类型；

(5) 求曲线在第一象限内的切线斜率；

数学・　

课本题改编题练习　

（圆锥曲线与方程）　

第１部分（苏教版教材）　

口孙东升　１．（选修２—１Ｐ２４习题２．Ｉ．２）已知△ＡＢＣ中，曰ｃ长　

为６，三角形的周长为１６，那么顶点Ａ在什么样的曲线上　

运动？　

１－１．（改编）如图１，ＩＡＢＩ＝８，点Ｃ在线ＤＡＢ＆，且　

ＩＡ０＝２，助线段ＣＢ上一动点，点Ａ绕点ｃ旋转后与点Ｂ　绕点瞒转后相交于点Ｄ．贝０　ＡＣＰＤ的面积的最大值　为　

Ａ　Ｃ　Ｐ　Ｂ　图１　Ｊ　Ｊ，　

一　

图２　

ｌ一２．（改编）如图２，　，　是椭圆ｃ　＋　＝ｌ（　旷　ｂ　ｂ＞０）的左、右焦点，点腋椭圆ｃ上，线段ＰＦ２与圆　ｚ　

＝６　相切于点Ｑ，且点Ｑ为线段ＰＦ２的中点，则椭圆ｃ　的离心率为——．　

１—３．（改编）在直角坐标系中，Ａ，Ｂ，ＣＺ点在瑚　上，原点０和点　分别是线段ＡＢ和Ａｃ的中点，已知　１４　Ｄｌ＿ｍ（ｍ为常数），平面上点尸ｆ茜足　ｉＩ斗ＩＰＢＩ＝６ｍ．　

（１）求点瑚轨迹ｃ　的方程；　

（２）若点（　，ｙ）在曲线ｃ　上，求证：点（詈’２、／Ｙ　）　

一定在某圆ｃ：上；　

（３）过点ｃ作直线ｚ，与圆ｃ２相交于Ｍ，＾俩点，若　点　晗好是线段ｃ彻拘中点，试求直线哟方程．　

２．（选修２—１Ｐ３２练习５）设腥椭圆的一个焦点，　

腚短轴，　ＦＢ＝６０。，求椭圆的离心率　

２－１．（改编）设　，腚椭圆　＋　：１（　６＞０）的　黧　薯　一嚣囊　鬻麟　麴　喇　

两个焦点，醍椭圆上一点，　啊　＝　，／　啊　，求　

椭圆的离心率．　

２－２．（改编）设　，腥椭圆　＋　＝ｌ（　６＞０）的　旷　Ｄ‘　两个焦点，若存在椭圆上一点Ｐ，使　Ｐ　为钝角，　求椭圆的离心率的取值范围以及点尸白勺横坐标的取　值范围．　

２—３．（改编）已知椭圆　＋　＝１（。＞０，ｂ＞０）　Ｏ　的左、右焦点分别为　（一Ｃ，０），　（ｃ，０），若椭圆上　

存在一点尸（异于长轴的两端点），使得ｃｓｉｎ　啊　＝　ａｓｉｎ　，则椭圆离心率的取值范围是——．　

３．（选修２—１Ｐ４２习题２．３（２）．９）以已知双曲线的