江苏省2019年南通名师高考原创卷(一)数学试题含附加题有答案

2019最新江苏高考数学原创密卷（一）数学Ⅰ参考公式：锥体的体积13V Sh =，其中S 为锥体的底面积，h 为高． 球体的体积34π3V r =，其中r 为球的半径.一、填空题:本大题共14小题，每小题5分,共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．. 1. 已知集合{}1,0,1A =-，集合{}0,B m =，若{}1,0,1,2A B =-U ， 则m =_____________.2. 已知复数12i12iz +=-（其中i 为虚数单位），则z =_____________. 3. 某市连续5天测得日最高气温分别为15,17,16,13,19（单位：oC ），则该组数据的方差为_____________. 4. 已知双曲线的一条渐近线方程为3y x =（焦点在x 轴上）， 则该双曲线离心率e =_____________.5. 在如图所示的流程图中，输出S 的结果为_____________.注意事项：考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1.本试卷共7页，均为非选择题（第1题-第20题，共20题）。

本卷满分为160分。

考试时间为120分钟。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

2.答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。

3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符。

（第5题）6. 某班级准备组织一场辩论赛，共有六名同学报名参加。

将他们随机平均分为两组，则甲、乙两名同学不在同一组的概率为_____________.7. 已知等差数列{}n a 的通项公式为()*,n a n t n t =+∈∈N R ，若231,,a a a 依次成等比数列，则实数t 的值为_____________.8. 如图，一个几何体由两部分组成，上半部分是一个圆锥，下半部分是一个半球. 已知圆锥底面半径为1，且半球的体积是圆锥体积的两倍，则该几何体的表面积 为_____________.9. 已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且当0x ≤时，()f x 单调递增.已知[)0,2πα∈，则关于α的不等式()()sin cos f f αα≤的解集为_____________.10. 已知函数()24f x x x t =-+，若存在实数0x ，使得()00f x ＜与()020f x +＜同时成立，则实数t 的取值范围为_____________. 11. 已知函数()sin π8m f x m x ϕ⎛⎫=+⎪⎝⎭（其中0m ＞，π2ϕ＜），若其图象的最高点与相邻的最低点之间的距离最小时，其图象恰好关于点2,03⎛⎫-⎪⎝⎭成中心对称，则ϕ的值为_____________. 12. 已知向量,a b r r满足2a =r ，且a b b ⋅=r r r ，则a b -r r 的最小值为_____________.13. 在平面直角坐标系xOy 中，已知,A B 是圆()22:34C x y -+=上的两个动点，若以AB 为直径的圆与直线():0l y kx k =＞始终无公共点，则正实数k 的取值范围为_____________.14. 已知函数()1,1112,11x x f x x x -⎧ -⎪⎪+=⎨-⎪+⎪-⎩＜＞，方程()f x kx b =+有四个不同的实数解1234,,,x x x x ，且1234,,,x x x x 依次成等差数列，则1k b k++=_____________.O（第8题）二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出必要的文字说明、 证明过程或演算步骤． 15.（本小题满分14分） 已知π2π3πcos ,,41024x x ⎛⎫⎛⎫-=∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （1）求sin x 的值；（2）求πsin 24x ⎛⎫+⎪⎝⎭的值.16.（本小题满分14分）如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为梯形，1//,2BC AD AD AB ⊥，面PAB ⊥面ABCD ， PB AB =，E 为PD 的中点.证明：（1）//CE 面PAB ； （2）面PCD ⊥面PAD .EDCBAP（第16题）如图，点,,A B C 分别为同一条直线上的三个小岛，一观测船P 沿直线l 航行，直线l 与直线CA 夹角为π3. 当观测船P 距离C 岛()31km 6+时，测得5π12PBC ∠=. （1）求小岛B 与小岛C 之间的距离；（2）若小岛A 与小岛B 相距9km ，观测船在航行过程中，当距离小岛B 最近时，求观测船对小岛A 和小岛B 的观测张角APB ∠的余弦值.（第18题）lπ3AP在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=＞＞的离心率为2，12,F F 是其左、右焦点，直线()0x t t =＞与椭圆C 相交于,A B 两点.当右焦点2F 在直线x t =上时，1AF B △的周长为（1）求椭圆C 的标准方程；（2）当1AF B △是等边三角形时，求t 的值；（3）若椭圆C 上的点()0,P kt y （其中k 为常数）满足直线,PA PB 的斜率之积为2-，求k 的值.已知函数()()22ln 0f x x x a x a =+-＞.（1）若4a =，求函数()f x 的极小值； （2）设()f x 的最小值为t ，求t 的最大值；（3）证明：对任意给定的负数m ，均存在唯一的正实数a ，使得函数()()2g x f x x =-的最小值为m .在数列{}n a 中，121,2a a ==，且满足()*121,2n n n n n a a a a a n ++++∈N ＞＜.（1）若1112n n n a a +--=，求证：()*3n a n ∈N ＜； （2）是否存在3a ，使得数列{}1n n a a +-为等差数列？并说明理由；（3）设等差数列{}n b 的首项1b 及公差d 均为正实数，若对任意符合题意的数列{}n a 及任意*n ∈N ，都有n n a b ＜成立，求d 的取值范围.2019最新江苏高考数学原创密卷（一）数学Ⅱ21．【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两题．．．．．．，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．，若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—2：矩阵与变换（本小题满分10分） 已知矩阵1011,0201⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦A B . （·1）求AB ； （2）求AB 的特征值.B ．选修4—4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知()00,P x y 是平面内一动点，直线l的参数方程为0022x x ty y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，且直线l 与抛物线2:4C y x =交于,A B 两点.求证：线段AB 的中点在一条定直线上.C ．选修4—5：不等式选讲（本小题满分10分）已知关于x 的不等式111x ax -+-≥对任意x ∈R 恒成立，求实数a 的取值范围.【必做题】第22、23题，每小题10分，计20分.请把答案写在答题卡的指定区域内．．．．．．．．．．．作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22.（本小题满分10分）一只口袋内装有大小及形状全部相同的10只球，其中4只蓝球，6只紫球，一次从袋中摸出4只球，记摸出蓝球的个数为随机变量X .（1）求摸出的4只球中有蓝球的概率；（2）求随机变量X 的概率分布及数学期望()E X .23.（本小题满分10分）.（1）用数学归纳法证明：()()2111216ni i n n n ==++∑，且()2321114ni i n n ==+∑；（2）已知集合{}()*...1,2,3,,3,A n n n =∈N ≥，在集合A 的三元素子集()*1,i A i i ∈N ≥中，最大元素与最小元素的差记为i a ，如集合A 的一个子集为{}1,2,5i A =，则514i a =-=，记i a 所有项的和为()S n . 求()S n 的表达式.。

绝密★启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学Ⅰ注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1．本试卷共4页，均为非选择题(第1题~第20题，共20题)。

本卷满分为160分，考试时间为120分钟。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一片交回。

2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。

3．请认真核对监考员从答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符。

4．作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效。

5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。

参考公式：样本数据12,,,n x x x …的方差()2211n i i s x x n ==-∑，其中11n i i x x n ==∑．柱体的体积V Sh =，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高． 锥体的体积13V Sh =，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高． 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．已知集合{1,0,1,6}A =-，{|0,}B x x x =>∈R ，则AB = ▲ .2．已知复数(2i)(1i)a ++的实部为0，其中i 为虚数单位，则实数a 的值是 ▲ . 3．下图是一个算法流程图，则输出的S 的值是 ▲ .4．函数276y x x =+-的定义域是 ▲ .5．已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是 ▲ .6．从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是 ▲ .7．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线2221(0)y x b b-=>经过点（3，4)，则该双曲线的渐近线方程是▲ .8．已知数列*{}()n a n ∈N 是等差数列，n S 是其前n 项和.若25890,27a a a S +==，则8S 的值是 ▲ .9．如图，长方体1111ABCD A B C D -的体积是120，E 为1CC 的中点，则三棱锥E -BCD 的体积是 ▲ .10．在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线4(0)y x x x=+>上的一个动点，则点P 到直线x +y =0的距离的最小值是 ▲ .11．在平面直角坐标系xOy 中，点A 在曲线y =ln x 上，且该曲线在点A 处的切线经过点（-e ，-1)(e 为自然对数的底数），则点A 的坐标是 ▲ .12．如图，在ABC △中，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，BE =2EA ，AD 与CE 交于点O .若6AB AC AO EC ⋅=⋅，则ABAC的值是 ▲ .13．已知tan 2π3tan 4αα=-⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则πsin 24α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值是 ▲.14．设(),()f x g x 是定义在R 上的两个周期函数，()f x 的周期为4，()g x 的周期为2，且()f x 是奇函数.当2(]0,x ∈时，2()1(1)f x x =--，(2),01()1,122k x x g x x +<≤⎧⎪=⎨-<≤⎪⎩，其中k >0.若在区间(0，9]上，关于x 的方程()()f x g x =有8个不同的实数根，则k 的取值范围是 ▲ .二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ． （1）若a =3c ，b =2，cos B =23，求c 的值； （2）若sin cos 2A B a b =，求sin()2B π+的值． 16．（本小题满分14分）如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D ，E 分别为BC ，AC 的中点，AB =BC ． 求证：（1）A 1B 1∥平面DEC 1； （2）BE ⊥C 1E ．17．（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的焦点为F 1（–1、0），F 2（1，0）．过F 2作x 轴的垂线l ，在x 轴的上方，l 与圆F 2:222(1)4x y a -+=交于点A ，与椭圆C 交于点D .连结AF 1并延长交圆F 2于点B ，连结BF 2交椭圆C 于点E ，连结DF 1．已知DF 1=52． （1）求椭圆C 的标准方程； （2）求点E 的坐标．18．（本小题满分16分）如图，一个湖的边界是圆心为O 的圆，湖的一侧有一条直线型公路l ，湖上有桥AB （AB 是圆O 的直径）．规划在公路l 上选两个点P 、Q ，并修建两段直线型道路PB 、QA ．规划要求：线段PB 、QA 上的所有点到点O 的距离均不小于圆．．．．O 的半径．已知点A 、B 到直线l 的距离分别为AC 和BD （C 、D 为垂足），测得AB =10，AC =6，BD =12（单位：百米）． （1）若道路PB 与桥AB 垂直，求道路PB 的长；（2）在规划要求下，P 和Q 中能否有一个点选在D 处？并说明理由；（3）在规划要求下，若道路PB 和QA 的长度均为d （单位：百米）.求当d 最小时，P 、Q 两点间的距离．19．（本小题满分16分）设函数()()()(),,,f x x a x b x c a b c =---∈R 、()f 'x 为f （x ）的导函数． （1）若a =b =c ，f （4）=8，求a 的值；（2）若a ≠b ，b =c ，且f （x ）和()f 'x 的零点均在集合{3,1,3}-中，求f （x ）的极小值；（3）若0,01,1a b c =<=…，且f （x ）的极大值为M ，求证:M ≤427． 20．（本小满分16分）定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M －数列”.（1）已知等比数列{a n }*()n ∈N 满足：245324,440a a a a a a =-+=，求证：数列{a n }为“M －数列”；（2）已知数列{b n }*()n ∈N 满足：111221,n n n b S b b +==-，其中S n 为数列{b n }的前n 项和． ①求数列{b n }的通项公式；②设m 为正整数，若存在“M －数列”{c n }*()n ∈N ，对任意正整数k ，当k ≤m 时，都有1k k k c b c +剟成立，求m 的最大值．2019年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学Ⅰ·参考答案一、填空题：本题考查基础知识、基本运算和基本思想方法.每小题5分，共计70分. 1.{1,6}2.23.54.[1,7]-5.536.7107.2y x =±8.16 9.10 10.4 11.(e, 1) 12.313.21014.12,34⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭二、解答题15.本小题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数关系、诱导公式等基础知识，考查运算求解能力.满分14分.解：（1）因为23,2,cos 3a cb B ===， 由余弦定理222cos 2a c b B ac +-=，得2222(3)(2)323c c c c +-=⨯⨯，即213c =.所以33c =. （2）因为sin cos 2A Ba b =， 由正弦定理sin sin a b A B =，得cos sin 2B Bb b=，所以cos 2sin B B =.从而22cos (2sin )B B =，即()22cos 41cos B B =-，故24cos 5B =. 因为sin 0B >，所以cos 2sin 0B B =>，从而25cos 5B =. 因此π25sin cos 25B B ⎛⎫+== ⎪⎝⎭. 16.本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识，考查空间想象能力和推理论证能力.满分14分.证明：（1）因为D ，E 分别为BC ，AC 的中点， 所以ED ∥AB .在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB ∥A 1B 1， 所以A 1B 1∥ED .又因为ED ⊂平面DEC 1，A 1B 1⊄平面DEC 1， 所以A 1B 1∥平面DEC 1.（2）因为AB =BC ，E 为AC 的中点，所以BE ⊥AC . 因为三棱柱ABC -A 1B 1C 1是直棱柱，所以CC 1⊥平面ABC . 又因为BE ⊂平面ABC ，所以CC 1⊥BE .因为C 1C ⊂平面A 1ACC 1，AC ⊂平面A 1ACC 1，C 1C ∩AC =C ， 所以BE ⊥平面A 1ACC 1.因为C 1E ⊂平面A 1ACC 1，所以BE ⊥C 1E .17.本小题主要考查直线方程、圆的方程、椭圆方程、椭圆的几何性质、直线与圆及椭圆的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、分析问题能力和运算求解能力.满分14分. 解：（1）设椭圆C 的焦距为2c .因为F 1(-1，0)，F 2(1，0)，所以F 1F 2=2，c =1. 又因为DF 1=52，AF 2⊥x 轴，所以DF 2=222211253()222DF F F -=-=， 因此2a =DF 1+DF 2=4，从而a =2.由b 2=a 2-c 2，得b 2=3.因此，椭圆C 的标准方程为22143x y +=.（2）解法一：由（1）知，椭圆C ：22143x y +=，a =2，因为AF 2⊥x 轴，所以点A 的横坐标为1.将x =1代入圆F 2的方程(x -1) 2+y 2=16，解得y =±4.因为点A 在x 轴上方，所以A (1，4). 又F 1(-1，0)，所以直线AF 1：y =2x +2.由22()22116y x x y =+-+=⎧⎨⎩，得256110x x +-=， 解得1x =或115x =-. 将115x =-代入22y x =+，得 125y =-， 因此1112(,)55B --.又F 2(1，0)，所以直线BF 2：3(1)4y x =-.由221433(1)4x y x y ⎧⎪⎪⎨⎪+=-⎩=⎪，得276130x x --=，解得1x =-或137x =. 又因为E 是线段BF 2与椭圆的交点，所以1x =-. 将1x =-代入3(1)4y x =-，得32y =-.因此3(1,)2E --. 解法二：由（1）知，椭圆C ：22143x y +=.如图，连结EF 1.因为BF 2=2a ，EF 1+EF 2=2a ，所以EF 1=EB ， 从而∠BF 1E =∠B .因为F 2A =F 2B ，所以∠A =∠B ， 所以∠A =∠BF 1E ，从而EF 1∥F 2A . 因为AF 2⊥x 轴，所以EF 1⊥x 轴.因为F 1(-1，0)，由221431x x y ⎧⎪⎨+==-⎪⎩，得32y =±.又因为E 是线段BF 2与椭圆的交点，所以32y =-. 因此3(1,)2E --.18.本小题主要考查三角函数的应用、解方程、直线与圆等基础知识，考查直观想象和数学建模及运用数学知识分析和解决实际问题的能力.满分16分. 解：解法一：（1）过A 作AE BD ⊥，垂足为E .由已知条件得，四边形ACDE 为矩形，6, 8DE BE AC AE CD =====.' 因为PB ⊥AB ，所以84cos sin 105PBD ABE ∠=∠==. 所以12154cos 5BD PB PBD ===∠.因此道路PB 的长为15（百米）.（2）①若P 在D 处，由（1）可得E 在圆上，则线段BE 上的点（除B ，E ）到点O 的距离均小于圆O 的半径，所以P 选在D 处不满足规划要求.②若Q 在D 处，连结AD ，由（1）知2210AD AE ED =+=，从而2227cos 0225AD AB BD BAD AD AB +-∠==>⋅，所以∠BAD 为锐角. 所以线段AD 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径. 因此，Q 选在D 处也不满足规划要求. 综上，P 和Q 均不能选在D 处. （3）先讨论点P 的位置.当∠OBP <90°时，线段PB 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径，点P 不符合规划要求；当∠OBP ≥90°时，对线段PB 上任意一点F ，OF ≥OB ，即线段PB 上所有点到点O 的距离均不小于圆O的半径，点P 符合规划要求.设1P 为l 上一点，且1PB AB ⊥，由（1）知，1P B =15， 此时11113sin cos 1595PD PB PBD PB EBA =∠=∠=⨯=； 当∠OBP >90°时，在1PPB △中，115PB PB >=. 由上可知，d ≥15. 再讨论点Q 的位置.由（2）知，要使得QA ≥15，点Q 只有位于点C 的右侧，才能符合规划要求.当QA =15时，2222156321CQ QA AC =-=-=.此时，线段QA 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径. 综上，当PB ⊥AB ，点Q 位于点C 右侧，且CQ =321时，d 最小，此时P ，Q 两点间的距离PQ =PD +CD +CQ =17+321.因此，d 最小时，P ，Q 两点间的距离为17+321（百米）. 解法二：（1）如图，过O 作OH ⊥l ，垂足为H.以O 为坐标原点，直线OH 为y 轴，建立平面直角坐标系.因为BD =12，AC =6，所以OH =9，直线l 的方程为y =9，点A ，B 的纵坐标分别为3，−3. 因为AB 为圆O 的直径，AB =10，所以圆O 的方程为x 2+y 2=25. 从而A （4，3），B （−4，−3），直线AB 的斜率为34. 因为PB ⊥AB ，所以直线PB 的斜率为43-， 直线PB 的方程为42533y x =--. 所以P （−13，9），22(134)(93)15PB =-+++=. 因此道路PB 的长为15（百米）.（2）①若P 在D 处，取线段BD 上一点E （−4，0），则EO =4<5，所以P 选在D 处不满足规划要求. ②若Q 在D 处，连结AD ，由（1）知D （−4，9），又A （4，3）， 所以线段AD ：36(44)4y x x =-+-剟. 在线段AD 上取点M （3，154），因为22221533454OM ⎛⎫=+<+= ⎪⎝⎭，所以线段AD 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径. 因此Q 选在D 处也不满足规划要求. 综上，P 和Q 均不能选在D 处. （3）先讨论点P 的位置.当∠OBP <90°时，线段PB 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径，点P 不符合规划要求；当∠OBP ≥90°时，对线段PB 上任意一点F ，OF ≥OB ，即线段PB 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径，点P 符合规划要求.设1P 为l 上一点，且1PB AB ⊥，由（1）知，1P B =15，此时1P （−13，9）； 当∠OBP >90°时，在1PPB △中，115PB PB >=. 由上可知，d ≥15. 再讨论点Q 的位置.由（2）知，要使得QA≥15，点Q 只有位于点C 的右侧，才能符合规划要求.当QA =15时，设Q （a ，9），由22(4)(93)15(4)AQ a a =-+-=>，得a =4321+，所以Q （4321+，9），此时，线段QA 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径.综上，当P （−13，9），Q （4321+，9）时，d 最小，此时P ，Q 两点间的距离4321(13)17321PQ =+--=+.因此，d 最小时，P ，Q 两点间的距离为17321+（百米）.19．本小题主要考查利用导数研究函数的性质，考查综合运用数学思想方法分析与解决问题以及逻辑推理能力．满分16分．解：（1）因为a b c ==，所以3()()()()()f x x a x b x c x a =---=-． 因为(4)8f =，所以3(4)8a -=，解得2a =． （2）因为b c =，所以2322()()()(2)(2)f x x a x b x a b x b a b x ab =--=-+++-， 从而2()3()3a b f 'x x b x +⎛⎫=-- ⎪⎝⎭．令()0f 'x =，得x b =或23a bx +=． 因为2,,3a ba b +，都在集合{3,1,3}-中，且a b ≠， 所以21,3,33a b a b +===-．此时2()(3)(3)f x x x =-+，()3(3)(1)f 'x x x =+-． 令()0f 'x =，得3x =-或1x =．列表如下：x (,3)-∞-3-(3,1)-1 (1,)+∞()f 'x + 0 – 0 + ()f x极大值极小值所以()f x 的极小值为2(1)(13)(13)32f =-+=-．（3）因为0,1a c ==，所以32()()(1)(1)f x x x b x x b x bx =--=-++，2()32(1)f 'x x b x b =-++．因为01b <≤，所以224(1)12(21)30b b b ∆=+-=-+>， 则()f 'x 有2个不同的零点，设为()1212,x x x x <．由()0f 'x =，得22121111,33b b b b b b x x +--+++-+==．列表如下：x 1(,)x -∞1x()12,x x2x2(,)x +∞()f 'x+ 0 – 0 + ()f x极大值极小值所以()f x 的极大值()1M f x =． 解法一：()321111(1)M f x x b x bx ==-++()221111211(1)[32(1)]3999b b x b b b x b x b x -+++⎛⎫=-++--+ ⎪⎝⎭ ()()23221(1)(1)2127927b b b b b b b --+++=++-+23(1)2(1)(1)2((1)1)272727b b b b b b +-+=-+-+(1)24272727b b +≤+≤．因此427M ≤． 解法二：因为01b <≤，所以1(0,1)x ∈．当(0,1)x ∈时，2()()(1)(1)f x x x b x x x =--≤-． 令2()(1),(0,1)g x x x x =-∈，则1()3(1)3g'x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭． 令()0g'x =，得13x =．列表如下： x 1(0,)3131(,1)3()g'x + 0 – ()g x极大值所以当13x =时，()g x 取得极大值，且是最大值，故max 14()327g x g ⎛⎫== ⎪⎝⎭． 所以当(0,1)x ∈时，4()()27f x g x ≤≤，因此427M ≤． 20．本小题主要考查等差和等比数列的定义、通项公式、性质等基础知识，考查代数推理、转化与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力．满分16分． 解：（1）设等比数列{a n }的公比为q ，所以a 1≠0，q ≠0.由245321440a a a a a a =⎧⎨-+=⎩，得244112111440a q a q a q a q a ⎧=⎨-+=⎩，解得112a q =⎧⎨=⎩．因此数列{}n a 为“M —数列”.（2）①因为1122n n n S b b +=-，所以0n b ≠． 由1111,b S b ==，得212211b =-，则22b =. 由1122n n n S b b +=-，得112()n n n n n b b S b b ++=-， 当2n ≥时，由1n n n b S S -=-，得()()111122n n n nn n n n n b b b b b b b b b +-+-=---，整理得112n n n b b b +-+=．所以数列{b n }是首项和公差均为1的等差数列. 因此，数列{b n }的通项公式为b n =n ()*n ∈N .②由①知，b k =k ，*k ∈N .因为数列{c n }为“M –数列”，设公比为q ，所以c 1=1，q >0. 因为c k ≤b k ≤c k +1，所以1k k q k q -≤≤，其中k =1，2，3，…，m .当k =1时，有q ≥1； 当k =2，3，…，m 时，有ln ln ln 1k kq k k ≤≤-． 设f （x ）=ln (1)x x x >，则21ln ()xf 'x x-=． 令()0f 'x =，得x =e.列表如下：x (1,e)e (e ，+∞) ()f 'x+0 –f （x ）极大值因为ln 2ln8ln 9ln 32663=<=，所以max ln 3()(3)3f k f ==． 取33q =，当k =1，2，3，4，5时，ln ln kq k…，即k k q ≤，经检验知1k qk -≤也成立．因此所求m 的最大值不小于5．若m ≥6，分别取k =3，6，得3≤q 3，且q 5≤6，从而q 15≥243，且q 15≤216，所以q 不存在.因此所求m 的最大值小于6. 综上，所求m 的最大值为5．数学Ⅱ(附加题)21．【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A.[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分） 已知矩阵3122⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A（1）求A 2；（2）求矩阵A 的特征值.B.[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分） 在极坐标系中，已知两点3,,2,42A B ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，直线l 的方程为sin 34ρθπ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. （1）求A ，B 两点间的距离；（2）求点B 到直线l 的距离. C.[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分） 设x ∈R ，解不等式||+|2 1|>2x x -.【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22.（本小题满分10分）设2*012(1),4,n n n x a a x a x a x n n +=++++∈N ….已知23242a a a =.（1）求n 的值；（2）设(13)3na b +=+，其中*,a b ∈N ，求223a b -的值.23.（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，设点集{(0,0),(1,0),(2,0),,(,0)}n A n =⋯，{(0,1),(,1)},{(0,2),(1,2),(2,2),,(,2)},.n n B n C n n *==∈N令n nn n M A B C =.从集合M n 中任取两个不同的点，用随机变量X 表示它们之间的距离.（1）当n =1时，求X 的概率分布；（2）对给定的正整数n （n ≥3），求概率P （X ≤n ）（用n 表示）.数学Ⅱ(附加题)参考答案21．【选做题】A ．[选修4–2：矩阵与变换]本小题主要考查矩阵的运算、特征值等基础知识，考查运算求解能力．满分10分． 解：（1）因为3122⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ， 所以231312222⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦A=3312311223222122⨯+⨯⨯+⨯⎡⎤⎢⎥⨯+⨯⨯+⨯⎣⎦=115106⎡⎤⎢⎥⎣⎦．（2）矩阵A 的特征多项式为231()5422f λλλλλ--==-+--.令()0f λ=，解得A 的特征值121,4λλ==. B ．[选修4–4：坐标系与参数方程]本小题主要考查曲线的极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力．满分10分． 解：（1）设极点为O .在△OAB 中，A （3，4π），B （2，2π）， 由余弦定理，得AB =223(2)232cos()524ππ+-⨯⨯⨯-=. （2）因为直线l 的方程为sin()34ρθπ+=，则直线l 过点(32,)2π，倾斜角为34π． 又(2,)2B π，所以点B 到直线l 的距离为3(322)sin()242ππ-⨯-=. C ．[选修4–5：不等式选讲]本小题主要考查解不等式等基础知识，考查运算求解和推理论证能力．满分10分．解：当x <0时，原不等式可化为122x x -+->，解得x <-13； 当0≤x ≤12时，原不等式可化为x +1–2x >2，即x <–1，无解； 当x >12时，原不等式可化为x +2x –1>2，解得x >1. 综上，原不等式的解集为1{|1}3x x x <->或.22.【必做题】本小题主要考查二项式定理、组合数等基础知识，考查分析问题能力与运算求解能力，满分10分．解：（1）因为0122(1)C C C C 4n n nn n n n x x x x n +=++++≥，， 所以2323(1)(1)(2)C ,C 26n nn n n n n a a ---====， 44(1)(2)(3)C 24nn n n n a ---==． 因为23242a a a =，所以2(1)(2)(1)(1)(2)(3)[]26224n n n n n n n n n ------=⨯⨯，解得5n =．（2）由（1）知，5n =．5(13)(13)n +=+0122334455555555C C 3C (3)C (3)C (3)C (3)=+++++ 3a b =+．解法一：因为*,a b ∈N ，所以024*********C 3C 9C 76,C 3C 9C 44a b =++==++=，从而222237634432a b -=-⨯=-． 解法二：50122334455555555(13)C C (3)C (3)C (3)C (3)C (3)-=+-+-+-+-+- 0122334455555555C C C (3)C (3)C (3)(3C 3)=-+-+-．因为*,a b ∈N ，所以5(13)3a b -=-．因此225553(3)(3)(13)(13)(2)32a b a b a b -=+-=+⨯-=-=-．23．【必做题】本小题主要考查计数原理、古典概型、随机变量及其概率分布等基础知识，考查逻辑思维能力和推理论证能力．满分10分．解：（1）当1n =时，X 的所有可能取值是1225，，，．X 的概率分布为22667744(1),(2)C 15C 15P X P X ======， 22662222(2),(5)C 15C 15P X P X ======． （2）设()A a b ，和()B c d ，是从n M 中取出的两个点． 因为()1()P X n P X n ≤=->，所以仅需考虑X n >的情况． ①若b d =，则AB n ≤，不存在X n >的取法；②若01b d ==，，则22()11AB a c n =-+≤+，所以X n >当且仅当21AB n =+，此时0 a c n ==，或 0a n c ==，，有2种取法；③若02b d ==，，则22()44AB a c n =-+≤+，因为当3n ≥时，2(1)4n n -+≤，所以X n >当且仅当24AB n =+，此时0 a c n ==，或 0a n c ==，，有2种取法； ④若12b d ==，，则22()11AB a c n =-+≤+，所以X n >当且仅当21AB n =+，此时0 a c n ==，或 0a n c ==，，有2种取法．综上，当X n >时，X 的所有可能取值是21n +和24n +，且2222242442(1),(4)C C n n P X n P X n ++=+==+=．因此，222246()1(1)(4)1C n P X n P X n P X n +≤=-=+-=+=-．。

2019年江苏省高考数学试卷一.填空题1．（5分）已知集合A={1，2}，B={a，a2+3}．若A∩B={1}，则实数a的值为．2．（5分）已知复数z=（1+i）（1+2i），其中i是虚数单位，则z的模是．3．（5分）某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号产品，产量分别为200，400，300，100件．为检验产品质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取件．4．（5分）如图是一个算法流程图：若输入x的值为，则输出y的值是．5．（5分）若tan（α﹣）=．则tanα=．6．（5分）如图，在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，记圆柱O1O2的体积为V1，球O的体积为V2，则的值是．7．（5分）记函数f（x）=定义域为D．在区间[﹣4，5]上随机取一个数x，则x∈D的概率是．8．（5分）在平面直角坐标系xOy中，双曲线﹣y2=1的右准线与它的两条渐近线分别交于点P，Q，其焦点是F1，F2，则四边形F1PF2Q的面积是．9．（5分）等比数列{a n}的各项均为实数，其前n项为S n，已知S3=，S6=，则a8=．10．（5分）某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是．11．（5分）已知函数f（x）=x3﹣2x+e x﹣，其中e是自然对数的底数．若f （a﹣1）+f（2a2）≤0．则实数a的取值范围是．12．（5分）如图，在同一个平面内，向量，，的模分别为1，1，，与的夹角为α，且t anα=7，与的夹角为45°．若=m+n（m，n∈R），则m+n=．13．（5分）在平面直角坐标系xOy中，A（﹣12，0），B（0，6），点P在圆O：x2+y2=50上．若≤20，则点P的横坐标的取值范围是．14．（5分）设f（x）是定义在R上且周期为1的函数，在区间[0，1）上，f（x）=，其中集合D={x|x=，n∈N*}，则方程f（x）﹣lgx=0的解的个数是．二.解答题15．（14分）如图，在三棱锥A﹣BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E、F（E与A、D不重合）分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD．求证：（1）EF∥平面ABC；（2）AD⊥AC．16．（14分）已知向量=（cosx，sinx），=（3，﹣），x∈[0，π]．（1）若∥，求x的值；（2）记f（x）=，求f（x）的最大值和最小值以及对应的x的值．17．（14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，两准线之间的距离为8．点P在椭圆E上，且位于第一象限，过点F1作直线PF1的垂线l1，过点F2作直线PF2的垂线l2．（1）求椭圆E的标准方程；（2）若直线l1，l2的交点Q在椭圆E上，求点P的坐标．18．（16分）如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm，容器Ⅰ的底面对角线AC的长为10cm，容器Ⅱ的两底面对角线EG，E1G1的长分别为14cm和62cm．分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均为12cm．现有一根玻璃棒l，其长度为40cm．（容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）（1）将l放在容器Ⅰ中，l的一端置于点A处，另一端置于侧棱CC1上，求l 没入水中部分的长度；（2）将l放在容器Ⅱ中，l的一端置于点E处，另一端置于侧棱GG1上，求l 没入水中部分的长度．19．（16分）对于给定的正整数k，若数列{a n}满足：a n﹣k+a n﹣k+1+…+a n﹣1+a n+1+…+a n+k﹣1+a n+k=2ka n对任意正整数n（n＞k）总成立，则称数列{a n}是“P（k）数列”．（1）证明：等差数列{a n}是“P（3）数列”；（2）若数列{a n}既是“P（2）数列”，又是“P（3）数列”，证明：{a n}是等差数列．20．（16分）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+1（a＞0，b∈R）有极值，且导函数f′（x）的极值点是f（x）的零点．（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）（1）求b关于a的函数关系式，并写出定义域；（2）证明：b2＞3a；（3）若f（x），f′（x）这两个函数的所有极值之和不小于﹣，求a的取值范围．二.非选择题，附加题（21-24选做题）【选修4-1：几何证明选讲】（本小题满分0分）21．如图，AB为半圆O的直径，直线PC切半圆O于点C，AP⊥PC，P为垂足．求证：（1）∠PAC=∠CAB；（2）AC2 =AP•AB．[选修4-2：矩阵与变换]22．已知矩阵A=，B=．（1）求AB；（2）若曲线C1：=1在矩阵AB对应的变换作用下得到另一曲线C2，求C2的方程．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的参数方程为（s为参数）．设P为曲线C上的动点，求点P到直线l的距离的最小值．［选修4-5：不等式选讲］24．已知a，b，c，d为实数，且a2+b2=4，c2+d2=16，证明ac+bd≤8．【必做题】25．如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，且AB=AD=2，AA1=，∠BAD=120°．（1）求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值；（2）求二面角B﹣A1D﹣A的正弦值．26．已知一个口袋有m个白球，n个黑球（m，n∈N*，n≥2），这些球除颜色外全部相同．现将口袋中的球随机的逐个取出，并放入如图所示的编号为1，2，3，…，m+n的抽屉内，其中第k次取出的球放入编号为k的抽屉（k=1，2，3，…，m+n）．123…m+n（1）试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p；（2）随机变量x表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数，E（X）是X的数学期望，证明E（X）＜．2017年江苏省高考数学试卷参考答案与试题解析一.填空题1．（5分）（2017•江苏）已知集合A={1，2}，B={a，a2+3}．若A∩B={1}，则实数a的值为1．【分析】利用交集定义直接求解．【解答】解：∵集合A={1，2}，B={a，a2+3}．A∩B={1}，∴a=1或a2+3=1，解得a=1．故答案为：1．【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义及性质的合理运用．2．（5分）（2017•江苏）已知复数z=（1+i）（1+2i），其中i是虚数单位，则z的模是．【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．【解答】解：复数z=（1+i）（1+2i）=1﹣2+3i=﹣1+3i，∴|z|==．故答案为：．【点评】本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．（5分）（2017•江苏）某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200，400，300，100件．为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取18件．【分析】由题意先求出抽样比例即为，再由此比例计算出应从丙种型号的产品中抽取的数目．【解答】解：产品总数为200+400+300+100=1000件，而抽取60辆进行检验，抽样比例为=，则应从丙种型号的产品中抽取300×=18件，故答案为：18【点评】本题的考点是分层抽样．分层抽样即要抽样时保证样本的结构和总体的结构保持一致，按照一定的比例，即样本容量和总体容量的比值，在各层中进行抽取．4．（5分）（2017•江苏）如图是一个算法流程图：若输入x的值为，则输出y 的值是﹣2．【分析】直接模拟程序即得结论．【解答】解：初始值x=，不满足x≥1，所以y=2+log2=2﹣=﹣2，故答案为：﹣2．【点评】本题考查程序框图，模拟程序是解决此类问题的常用方法，注意解题方法的积累，属于基础题．5．（5分）（2017•江苏）若tan（α﹣）=．则tanα=．【分析】直接根据两角差的正切公式计算即可【解答】解：∵tan（α﹣）===∴6tanα﹣6=tanα+1，解得tanα=，故答案为：．【点评】本题考查了两角差的正切公式，属于基础题6．（5分）（2017•江苏）如图，在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，记圆柱O1O2的体积为V1，球O的体积为V2，则的值是．【分析】设出球的半径，求出圆柱的体积以及球的体积即可得到结果．【解答】解：设球的半径为R，则球的体积为：R3，圆柱的体积为：πR2•2R=2πR3．则==．故答案为：．【点评】本题考查球的体积以及圆柱的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．7．（5分）（2017•江苏）记函数f（x）=定义域为D．在区间[﹣4，5]上随机取一个数x，则x∈D的概率是．【分析】求出函数的定义域，结合几何概型的概率公式进行计算即可．【解答】解：由6+x﹣x2≥0得x2﹣x﹣6≤0，得﹣2≤x≤3，则D=[﹣2，3]，则在区间[﹣4，5]上随机取一个数x，则x∈D的概率P==，故答案为：【点评】本题主要考查几何概型的概率公式的计算，结合函数的定义域求出D，以及利用几何概型的概率公式是解决本题的关键．8．（5分）（2017•江苏）在平面直角坐标系xOy中，双曲线﹣y2=1的右准线与它的两条渐近线分别交于点P，Q，其焦点是F1，F2，则四边形F1PF2Q的面积是．【分析】求出双曲线的准线方程和渐近线方程，得到P，Q坐标，求出焦点坐标，然后求解四边形的面积．【解答】解：双曲线﹣y2=1的右准线：x=，双曲线渐近线方程为：y=x，所以P（，），Q（，﹣），F1（﹣2，0）．F2（2，0）．则四边形F1PF2Q的面积是：=2．故答案为：2．【点评】本题考查双曲线简单性质的应用，考查计算能力．9．（5分）（2017•江苏）等比数列{a n}各项均为实数，其前n项为S n，已知S3=，S6=，则a8=32．【分析】设等比数列{a n}的公比为q≠1，S3=，S6=，可得=，=，联立解出即可得出．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q≠1，∵S3=，S6=，∴=，=，解得a1=，q=2．则a8==32．故答案为：32．【点评】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10．（5分）（2017•江苏）某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是30．【分析】由题意可得：一年的总运费与总存储费用之和=+4x，利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：由题意可得：一年的总运费与总存储费用之和=+4x≥4×2×=240（万元）．当且仅当x=30时取等号．故答案为：30．【点评】本题考查了基本不等式的性质及其应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．11．（5分）（2017•江苏）已知函数f（x）=x3﹣2x+e x﹣，其中e是自然对数的底数．若f（a﹣1）+f（2a2）≤0．则实数a的取值范围是[﹣1，] ．【分析】求出f（x）的导数，由基本不等式和二次函数的性质，可得f（x）在R 上递增；再由奇偶性的定义，可得f（x）为奇函数，原不等式即为2a2≤1﹣a，运用二次不等式的解法即可得到所求范围．【解答】解：函数f（x）=x3﹣2x+e x﹣的导数为：f′（x）=3x2﹣2+e x+≥﹣2+2=0，可得f（x）在R上递增；又f（﹣x）+f（x）=（﹣x）3+2x+e﹣x﹣e x+x3﹣2x+e x﹣=0，可得f（x）为奇函数，则f（a﹣1）+f（2a2）≤0，即有f（2a2）≤﹣f（a﹣1）=f（1﹣a），即有2a2≤1﹣a，解得﹣1≤a≤，故答案为：[﹣1，]．【点评】本题考查函数的单调性和奇偶性的判断和应用，注意运用导数和定义法，考查转化思想的运用和二次不等式的解法，考查运算能力，属于中档题．12．（5分）（2017•江苏）如图，在同一个平面内，向量，，的模分别为1，1，，与的夹角为α，且tanα=7，与的夹角为45°．若=m+n （m，n∈R），则m+n=3．【分析】如图所示，建立直角坐标系．A（1，0）．由与的夹角为α，且tanα=7．可得c osα=，sinα=．C．可得cos（α+45°）=．sin（α+45°）=．B．利用=m+n（m，n∈R），即可得出．【解答】解：如图所示，建立直角坐标系．A（1，0）．由与的夹角为α，且tanα=7．∴cosα=，sinα=．∴C．cos（α+45°）=（cosα﹣sinα）=．sin（α+45°）=（sinα+cosα）=．∴B．∵=m+n（m，n∈R），∴=m﹣n，=0+n，解得n=，m=．则m+n=3．故答案为：3．【点评】本题考查了向量坐标运算性质、和差公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．13．（5分）（2017•江苏）在平面直角坐标系xOy中，A（﹣12，0），B（0，6），点P在圆O：x2+y2=50上．若≤20，则点P的横坐标的取值范围是[﹣5，1] ．【分析】根据题意，设P（x0，y0），由数量积的坐标计算公式化简变形可得2x0+y0+5≤0，分析可得其表示表示直线2x+y+5≤0以及直线下方的区域，联立直线与圆的方程可得交点的横坐标，结合图形分析可得答案．【解答】解：根据题意，设P（x0，y0），则有x02+y02=50，=（﹣12﹣x0，﹣y0）•（﹣x0，6﹣y0）=（12+x0）x0﹣y0（6﹣y0）=12x0+6y+x02+y02≤20，化为：12x0﹣6y0+30≤0，即2x0﹣y0+5≤0，表示直线2x+y+5≤0以及直线下方的区域，联立，解可得x0=﹣5或x0=1，结合图形分析可得：点P的横坐标x0的取值范围是[﹣5，1]，故答案为：[﹣5，1]．【点评】本题考查数量积的运算以及直线与圆的位置关系，关键是利用数量积化简变形得到关于x0、y0的关系式．14．（5分）（2017•江苏）设f（x）是定义在R上且周期为1的函数，在区间[0，1）上，f（x）=，其中集合D={x|x=，n∈N*}，则方程f（x）﹣lgx=0的解的个数是8．【分析】由已知中f（x）是定义在R上且周期为1的函数，在区间[0，1）上，f（x）=，其中集合D={x|x=，n∈N*}，分析f（x）的图象与y=lgx 图象交点的个数，进而可得答案．【解答】解：∵在区间[0，1）上，f（x）=，第一段函数上的点的横纵坐标均为有理数，又f（x）是定义在R上且周期为1的函数，∴在区间[1，2）上，f（x）=，此时f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；同理：区间[2，3）上，f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；区间[3，4）上，f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；区间[4，5）上，f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；区间[5，6）上，f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；区间[6，7）上，f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；区间[7，8）上，f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；区间[8，9）上，f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；在区间[9，+∞）上，f（x）的图象与y=lgx无交点；故f（x）的图象与y=lgx有8个交点；即方程f（x）﹣lgx=0的解的个数是8，故答案为：8【点评】本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，函数的图象和性质，转化思想，难度中档．二.解答题15．（14分）（2017•江苏）如图，在三棱锥A﹣BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E、F（E与A、D不重合）分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD．求证：（1）EF∥平面ABC；（2）AD⊥AC．【分析】（1）利用AB∥EF及线面平行判定定理可得结论；（2）通过取线段CD上点G，连结FG、EG使得FG∥BC，则EG∥AC，利用线面垂直的性质定理可知FG⊥AD，结合线面垂直的判定定理可知AD⊥平面EFG，从而可得结论．【解答】证明：（1）因为AB⊥AD，EF⊥AD，且A、B、E、F四点共面，所以AB∥EF，又因为EF⊊平面ABC，AB⊆平面ABC，所以由线面平行判定定理可知：EF∥平面ABC；（2）在线段CD上取点G，连结FG、EG使得FG∥BC，则EG∥AC，因为BC⊥BD，所以FG∥BC，又因为平面ABD⊥平面BCD，所以FG⊥平面ABD，所以FG⊥AD，又因为AD⊥EF，且EF∩FG=F，所以AD⊥平面EFG，所以AD⊥EG，故AD⊥AC．【点评】本题考查线面平行及线线垂直的判定，考查空间想象能力，考查转化思想，涉及线面平行判定定理，线面垂直的性质及判定定理，注意解题方法的积累，属于中档题．16．（14分）（2017•江苏）已知向量=（cosx，sinx），=（3，﹣），x∈[0，π]．（1）若∥，求x的值；（2）记f（x）=，求f（x）的最大值和最小值以及对应的x的值．【分析】（1）根据向量的平行即可得到tanx=﹣，问题得以解决，（2）根据向量的数量积和两角和余弦公式和余弦函数的性质即可求出【解答】解：（1）∵=（cosx，sinx），=（3，﹣），∥，∴﹣cosx=3sinx，∴tanx=﹣，∵x∈[0，π]，∴x=，（2）f（x）==3cosx﹣sinx=2（cosx﹣sinx）=2cos（x+），∵x∈[0，π]，∴x+∈[，]，∴﹣1≤cos（x+）≤，当x=0时，f（x）有最大值，最大值3，当x=时，f（x）有最小值，最大值﹣2．【点评】本题考查了向量的平行和向量的数量积以及三角函数的化简和三角函数的性质，属于基础题17．（14分）（2017•江苏）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，两准线之间的距离为8．点P在椭圆E上，且位于第一象限，过点F1作直线PF1的垂线l1，过点F2作直线PF2的垂线l2．（1）求椭圆E的标准方程；（2）若直线l1，l2的交点Q在椭圆E上，求点P的坐标．【分析】（1）由椭圆的离心率公式求得a=2c，由椭圆的准线方程x=±，则2×=8，即可求得a和c的值，则b2=a2﹣c2=3，即可求得椭圆方程；（2）设P点坐标，分别求得直线PF2的斜率及直线PF1的斜率，则即可求得l2及l1的斜率及方程，联立求得Q点坐标，由Q在椭圆方程，求得y02=x02﹣1，联立即可求得P点坐标；方法二：设P（m，n），当m≠1时，=，=，求得直线l 1及l1的方程，联立求得Q点坐标，根据对称性可得=±n2，联立椭圆方程，即可求得P点坐标．【解答】解：（1）由题意可知：椭圆的离心率e==，则a=2c，①椭圆的准线方程x=±，由2×=8，②由①②解得：a=2，c=1，则b2=a2﹣c2=3，∴椭圆的标准方程：；（2）方法一：设P（x 0，y0），则直线PF2的斜率=，则直线l2的斜率k2=﹣，直线l2的方程y=﹣（x﹣1），直线PF 1的斜率=，则直线l2的斜率k2=﹣，直线l2的方程y=﹣（x+1），联立，解得：，则Q（﹣x0，），由P，Q在椭圆上，P，Q的横坐标互为相反数，纵坐标应相等，则y0=，∴y02=x02﹣1，则，解得：，则，又P在第一象限，所以P的坐标为：P（，）．方法二：设P（m，n），由P在第一象限，则m＞0，n＞0，当m=1时，不存在，解得：Q与F 1重合，不满足题意，当m≠1时，=，=，由l 1⊥PF1，l2⊥PF2，则=﹣，=﹣，直线l1的方程y=﹣（x+1），①直线l2的方程y=﹣（x﹣1），②联立解得：x=﹣m，则Q（﹣m，），由Q在椭圆方程，由对称性可得：=±n2，即m2﹣n2=1，或m2+n2=1，由P（m，n），在椭圆方程，，解得：，或，无解，又P在第一象限，所以P的坐标为：P（，）．【点评】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查直线的斜率公式，考查数形结合思想，考查计算能力，属于中档题．18．（16分）（2017•江苏）如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm，容器Ⅰ的底面对角线AC的长为10cm，容器Ⅱ的两底面对角线EG，E1G1的长分别为14cm和62cm．分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均为12cm．现有一根玻璃棒l，其长度为40cm．（容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）（1）将l放在容器Ⅰ中，l的一端置于点A处，另一端置于侧棱CC1上，求l 没入水中部分的长度；（2）将l放在容器Ⅱ中，l的一端置于点E处，另一端置于侧棱GG1上，求l 没入水中部分的长度．【分析】（1）设玻璃棒在CC1上的点为M，玻璃棒与水面的交点为N，过N作NP∥MC，交AC于点P，推导出CC1⊥平面ABCD，CC1⊥AC，NP⊥AC，求出MC=30cm，推导出△ANP∽△AMC，由此能出玻璃棒l没入水中部分的长度．（2）设玻璃棒在GG1上的点为M，玻璃棒与水面的交点为N，过点N作NP⊥EG，交EG于点P，过点E作EQ⊥E1G1，交E1G1于点Q，推导出EE1G1G为等腰梯形，求出E1Q=24cm，E1E=40cm，由正弦定理求出sin∠GEM=，由此能求出玻璃棒l没入水中部分的长度．【解答】解：（1）设玻璃棒在CC1上的点为M，玻璃棒与水面的交点为N，在平面ACM中，过N作NP∥MC，交AC于点P，∵ABCD﹣A1B1C1D1为正四棱柱，∴CC1⊥平面ABCD，又∵AC⊂平面ABCD，∴CC1⊥AC，∴NP⊥AC，∴NP=12cm，且AM2=AC2+MC2，解得MC=30cm，∵NP∥MC，∴△ANP∽△AMC，∴=，，得AN=16cm．∴玻璃棒l没入水中部分的长度为16cm．（2）设玻璃棒在GG1上的点为M，玻璃棒与水面的交点为N，在平面E1EGG1中，过点N作NP⊥EG，交EG于点P，过点E作EQ⊥E1G1，交E1G1于点Q，∵EFGH﹣E1F1G1H1为正四棱台，∴EE1=GG1，EG∥E1G1，EG≠E1G1，∴EE1G1G为等腰梯形，画出平面E1EGG1的平面图，∵E1G1=62cm，EG=14cm，EQ=32cm，NP=12cm，∴E1Q=24cm，由勾股定理得：E1E=40cm，∴sin∠EE1G1=，sin∠EGM=sin∠EE1G1=，cos，根据正弦定理得：=，∴sin，cos，∴sin∠GEM=sin（∠EGM+∠EMG）=sin∠EGMcos∠EMG+cos∠EGMsin∠EMG=，∴EN===20cm．∴玻璃棒l没入水中部分的长度为20cm．【点评】本题考查玻璃棒l没入水中部分的长度的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题．19．（16分）（2017•江苏）对于给定的正整数k，若数列{a n}满足：a n﹣k+a n﹣k+1+…+a n﹣1+a n+1+…+a n+k﹣1+a n+k=2ka n对任意正整数n（n＞k）总成立，则称数列{a n}是“P（k）数列”．（1）证明：等差数列{a n}是“P（3）数列”；（2）若数列{a n}既是“P（2）数列”，又是“P（3）数列”，证明：{a n}是等差数列．【分析】（1）由题意可知根据等差数列的性质，a n﹣3+a n﹣2+a n﹣1+a n+1+a n+2+a n+3=（a n﹣3+a n+3）+（a n﹣2+a n+2）+（a n﹣1+a n+1）═2×3a n，据“P（k）数列”的定义，可得数列{a n}是“P（3）数列”；（2）由“P（k）数列”的定义，则a n﹣2+a n﹣1+a n+1+a n+2=4a n，a n﹣3+a n﹣2+a n﹣1+a n+1+a n+2+a n+3=6a n，变形整理即可求得2a n=a n﹣1+a n+1，即可证明数列{a n}是等差数列．【解答】解：（1）证明：设等差数列{a n}首项为a1，公差为d，则a n=a1+（n﹣1）d，则a n﹣3+a n﹣2+a n﹣1+a n+1+a n+2+a n+3，=（a n﹣3+a n+3）+（a n﹣2+a n+2）+（a n﹣1+a n+1），=2a n+2a n+2a n，=2×3a n，∴等差数列{a n}是“P（3）数列”；（2）证明：由数列{a n}是“P（2）数列”则a n﹣2+a n﹣1+a n+1+a n+2=4a n，①数列{a n}是“P（3）数列”a n﹣3+a n﹣2+a n﹣1+a n+1+a n+2+a n+3=6a n，②+a n﹣2+a n+a n+1=4a n﹣1，③由①可知：a n﹣3a n﹣1+a n+a n+2+a n+3=4a n+1，④由②﹣（③+④）：﹣2a n=6a n﹣4a n﹣1﹣4a n+1，整理得：2a n=a n﹣1+a n+1，∴数列{a n}是等差数列．【点评】本题考查等差数列的性质，考查数列的新定义的性质，考查数列的运算，考查转化思想，属于中档题．20．（16分）（2017•江苏）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+1（a＞0，b∈R）有极值，且导函数f′（x）的极值点是f（x）的零点．（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）（1）求b关于a的函数关系式，并写出定义域；（2）证明：b2＞3a；（3）若f（x），f′（x）这两个函数的所有极值之和不小于﹣，求a的取值范围．【分析】（1）通过对f（x）=x3+ax2+bx+1求导可知g（x）=f′（x）=3x2+2ax+b，进而再求导可知g′（x）=6x+2a，通过令g′（x）=0进而可知f′（x）的极小值点为x=﹣，从而f（﹣）=0，整理可知b=+（a＞0），结合f（x）=x3+ax2+bx+1（a＞0，b∈R）有极值可知f′（x）=0有两个不等的实根，进而可知a＞3．（2）通过（1）构造函数h（a）=b2﹣3a=﹣+=（4a3﹣27）（a3﹣27），结合a＞3可知h（a）＞0，从而可得结论；（3）通过（1）可知f′（x）的极小值为f′（﹣）=b﹣，利用韦达定理及完全平方关系可知y=f（x）的两个极值之和为﹣+2，进而问题转化为解不等式b﹣+﹣+2=﹣≥﹣，因式分解即得结论．【解答】（1）解：因为f（x）=x3+ax2+bx+1，所以g（x）=f′（x）=3x2+2ax+b，g′（x）=6x+2a，令g′（x）=0，解得x=﹣．由于当x＞﹣时g′（x）＞0，g（x）=f′（x）单调递增；当x＜﹣时g′（x）＜0，g（x）=f′（x）单调递减；所以f′（x）的极小值点为x=﹣，由于导函数f′（x）的极值点是原函数f（x）的零点，所以f（﹣）=0，即﹣+﹣+1=0，所以b=+（a＞0）．因为f（x）=x3+ax2+bx+1（a＞0，b∈R）有极值，所以f′（x）=3x2+2ax+b=0有两个不等的实根，所以4a2﹣12b＞0，即a2﹣+＞0，解得a＞3，所以b=+（a＞3）．（2）证明：由（1）可知h（a）=b2﹣3a=﹣+=（4a3﹣27）（a3﹣27），由于a＞3，所以h（a）＞0，即b2＞3a；（3）解：由（1）可知f′（x）的极小值为f′（﹣）=b﹣，设x1，x2是y=f（x）两个极值点，则x1+x2=，x1x2=，所以f（x1）+f（x2）=++a（+）+b（x1+x2）+2=（x1+x2）[（x1+x2）2﹣3x1x2]+a[（x1+x2）2﹣2x1x2]+b（x1+x2）+2=﹣+2，又因为f（x），f′（x）这两个函数的所有极值之和不小于﹣，所以b﹣+﹣+2=﹣≥﹣，因为a＞3，所以2a3﹣63a﹣54≤0，所以2a（a2﹣36）+9（a﹣6）≤0，所以（a﹣6）（2a2+12a+9）≤0，由于a＞3时2a2+12a+9＞0，所以a﹣6≤0，解得a≤6，所以a的取值范围是（3，6]．【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性、极值，考查运算求解能力，考查转化思想，注意解题方法的积累，属于难题．二.非选择题，附加题（21-24选做题）【选修4-1：几何证明选讲】（本小题满分0分）21．（2017•江苏）如图，AB为半圆O的直径，直线PC切半圆O于点C，AP⊥PC，P为垂足．求证：（1）∠PAC=∠CAB；（2）AC2 =AP•AB．【分析】（1）利用弦切角定理可得：∠ACP=∠ABC．利用圆的性质可得∠ACB=90°．再利用三角形内角和定理即可证明．（2）由（1）可得：△APC∽△ACB，即可证明．【解答】证明：（1）∵直线PC切半圆O于点C，∴∠ACP=∠ABC．∵AB为半圆O的直径，∴∠ACB=90°．∵AP⊥PC，∴∠APC=90°．∴∠PAC=90°﹣∠ACP，∠CAB=90°﹣∠ABC，∴∠PAC=∠CAB．（2）由（1）可得：△APC∽△ACB，∴=．∴AC2 =AP•AB．【点评】本题考查了弦切角定理、圆的性质、三角形内角和定理、三角形相似判定与性质定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．[选修4-2：矩阵与变换]22．（2017•江苏）已知矩阵A=，B=．（1）求AB；（2）若曲线C1：=1在矩阵AB对应的变换作用下得到另一曲线C2，求C2的方程．【分析】（1）按矩阵乘法规律计算；（2）求出变换前后的坐标变换规律，代入曲线C1的方程化简即可．【解答】解：（1）AB==，（2）设点P（x，y）为曲线C1的任意一点，点P在矩阵AB的变换下得到点P′（x0，y0），则=，即x0=2y，y0=x，∴x=y0，y=，∴，即x02+y02=8，∴曲线C2的方程为x2+y2=8．【点评】本题考查了矩阵乘法与矩阵变换，属于中档题．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．（2017•江苏）在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的参数方程为（s为参数）．设P为曲线C上的动点，求点P到直线l的距离的最小值．【分析】求出直线l的直角坐标方程，代入距离公式化简得出距离d关于参数s 的函数，从而得出最短距离．【解答】解：直线l的直角坐标方程为x﹣2y+8=0，∴P到直线l的距离d==，∴当s=时，d取得最小值=．【点评】本题考查了参数方程的应用，属于基础题．［选修4-5：不等式选讲］24．（2017•江苏）已知a，b，c，d为实数，且a2+b2=4，c2+d2=16，证明ac+bd ≤8．【分析】a2+b2=4，c2+d2=16，令a=2cosα，b=2sinα，c=4cosβ，d=4sinβ．代入ac+bd 化简，利用三角函数的单调性即可证明．另解：由柯西不等式可得：（ac+bd）2≤（a2+b2）（c2+d2），即可得出．【解答】证明：∵a2+b2=4，c2+d2=16，令a=2cosα，b=2sinα，c=4cosβ，d=4sinβ．∴ac+bd=8（cosαcosβ+sinαsinβ）=8cos（α﹣β）≤8．当且仅当cos（α﹣β）=1时取等号．因此ac+bd≤8．另解：由柯西不等式可得：（ac+bd）2≤（a2+b2）（c2+d2）=4×16=64，当且仅当时取等号．∴﹣8≤ac+bd≤8．【点评】本题考查了对和差公式、三角函数的单调性、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．【必做题】25．（2017•江苏）如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，且AB=AD=2，AA1=，∠BAD=120°．（1）求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值；（2）求二面角B﹣A1D﹣A的正弦值．【分析】在平面ABCD内，过A作Ax⊥AD，由AA1⊥平面ABCD，可得AA1⊥Ax，AA1⊥AD，以A为坐标原点，分别以Ax、AD、AA1所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系．结合已知求出A，B，C，D，A1，C1的坐标，进一步求出，，，的坐标．（1）直接利用两法向量所成角的余弦值可得异面直线A1B与AC1所成角的余弦值；（2）求出平面BA1D与平面A1AD的一个法向量，再由两法向量所成角的余弦值求得二面角B﹣A1D﹣A的余弦值，进一步得到正弦值．【解答】解：在平面ABCD内，过A作Ax⊥AD，∵AA1⊥平面ABCD，AD、Ax⊂平面ABCD，∴AA1⊥Ax，AA1⊥AD，以A为坐标原点，分别以Ax、AD、AA1所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系．∵AB=AD=2，AA1=，∠BAD=120°，∴A（0，0，0），B（），C（，1，0），D（0，2，0），A1（0，0，），C1（）．=（），=（），，．（1）∵cos＜＞==．∴异面直线A1B与AC1所成角的余弦值为；（2）设平面BA1D的一个法向量为，由，得，取x=，得；取平面A1AD的一个法向量为．∴cos＜＞==．∴二面角B﹣A1D﹣A的正弦值为，则二面角B﹣A1D﹣A的正弦值为．【点评】本题考查异面直线所成的角与二面角，训练了利用空间向量求空间角，是中档题．26．（2017•江苏）已知一个口袋有m个白球，n个黑球（m，n∈N*，n≥2），这些球除颜色外全部相同．现将口袋中的球随机的逐个取出，并放入如图所示的编号为1，2，3，…，m+n的抽屉内，其中第k次取出的球放入编号为k的抽屉（k=1，2，3，…，m+n）．123…m+n（1）试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p；（2）随机变量x表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数，E（X）是X的数学期望，证明E（X）＜．【分析】（1）设事件A i表示编号为i的抽屉里放的是黑球，则p=p（A2）=P（A2|A1）P（A 1）+P（A2|）P（），由此能求出编号为2的抽屉内放的是黑球的概率．（2）X的所有可能取值为，…，，P（x=）=，k=n，n+1，n+2，…，n+m，从而E（X）=（）=，由此能证明E （X）＜．【解答】解：（1）设事件A i表示编号为i的抽屉里放的是黑球，则p=p（A 2）=P（A2|A1）P（A1）+P（A2|）P（）===．证明：（2）∵X的所有可能取值为，…，，P（x=）=，k=n，n+1，n+2，…，n+m，∴E（X）=（）==＜==•（）==，∴E（X）＜．【点评】本题考查概率求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题．。

2019年江苏省高考数学模拟试卷(1)(含附加,详细答案)文章中没有明显的格式错误和有问题的段落，因此直接改写每段话。

2019年高考模拟试卷（1）第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。

1.已知集合A为{x-1<x<1}，集合B为{-1≤x≤2}，则AB 的并集为[ -1.2 )。

2.复数z=2i/(1-i)的实部是2/5.3.甲、乙两人下棋，结果是一人获胜或下成和棋。

已知甲不输的概率为0.8，乙不输的概率为0.7，则两人下成和棋的概率为0.06.4.某地区连续5天的最低气温（单位：°C）依次为8，-4，-1，0，2，则该组数据的方差为23.2.5.根据XXX所示的伪代码，当输出y的值为2时，则输入的x的值为e。

6.在平面直角坐标系xOy中，圆x^2+y^2-4x+4y+4=0被直线x-y-5=0所截得的弦长为4.7.如图，三个相同的正方形相接，则XXX∠XXX的值为1.8.如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，E为PD上一点，且PE=2ED。

设三棱锥P-ACE的体积为V1，三棱锥P-ABC的体积为V2，则.9.已知F是抛物线C:y=8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N。

若M是FN的中点，则FN的长度为16.10.若函数f(x)为定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)=xlnx，则不等式f(x)<-e的解集为(1/e。

e)。

11.钢材市场上通常将相同的圆钢捆扎为正六边形垛（如图）。

现将99根相同的圆钢捆扎为1个尽可能大的正六边形垛，则剩余的圆钢根数为3.12.如图，在△ABC中，点M为边BC的中点，且AM=2，点N为线段AM的中点，若AB×AC=28，则NB×NC的值为21.13.已知正数x，y满足x+y+1/x+1/y=10，则x+y的最小值是4.14.设等比数列{an}满足：a1=2，an=cos(πn/2)+3sin(πn/2)，其中n∈N，且nπ/2∈(0.π/2)。

江苏南通2019届高考学科基地秘卷（一）第I 卷（必做题，共160分）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分．） 1．已知集合A ＝{0，1，2，3}，B ＝{﹣1，0，3}，则AB ＝__________．2．已知复数z 满足(2i)5z +=，其中i 为虚数单位，则复数z 的模为__________． 3．某工生产A ，B ，C 三种不同型号的产品，产量之比为1：2：3．现用分层抽样的方法抽 取1个容量为n 的样本，若样本中A 种型号的产品有8件，则样本容量n 的值为__________．4．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线2214x y -=的两条渐近线的方程为__________． 5．执行如图所示的伪代码，若输出的y 的值是10，则输入的x 的值为__________．6．已知正四棱锥的底面边长为2，侧棱长为4，则该四棱锥的体积为__________．7．已知实数x ，y 满足2003x y x y y +-≥⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩，则12y x -+的最大值为__________．8．甲、乙两人分别将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点 的正方体玩具）抛掷1次．观察向上的点数，则甲的点数不大于乙的点数的概率为__________． 9．将函数()2sin()6f x x πω=+的图象向右平移23π个单位后，所得图象与原图象重合， 则正数ω的最小值为__________．10．已知数列{}n a 与2n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭均为等差数列（n N *∈），且24a =．设数列2n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，则10S 的值为__________．11．已知函数()(21)xf x x =-，则不等式2(2)(34)0f x x f x +++≤的解集为__________．12．如图，已知A 、B 是单位圆上的两点，O 为圆心，且∠AOB ＝120°，MN 是圆O 的一条 直径，点C 在圆内，且满足OC OA (1)OB(01)λλλ=+-<<，则C M C N ⋅的取值范围是__________．13．在平面直角坐示系xOy 中，已知圆O ：221x y +=，直线l ：220x y +-=，若对于直 线l 上一点P ，在圆O 上存在两点A ，B ，使四边形OAPB 为菱形，则点P 的横坐标的取值 范围是__________． 14．已知函数31()4f x x ax =++，()ln g x x =，记函数()()()()()22f x g x f x g x h x -+=+，若()h x 在(0，+∞)上恰有2个不同的零点，则实数a 的取值范围是__________． 二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（本小题满分14分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b cos C ＋c cos B a cos A ． （1）求A 的值；（2）若a ＝5，b ＝cos2C ．16．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P—ABCD中，P A⊥平面ABCD，E为线段AD上一点，且AC⊥BE．（1）求证：平面PBE⊥平面P AC；（2）若∠PCD＝90°，求证：CD//平面PBE．17．（本小题满分14分）如图所示的矩形区域长6m，宽4 m．现欲将矩形区域I~IV设计成钢化玻璃舞台，将中间阴影部分设计成可升降的舞台，若区域I和区域II完全相同，长与宽之比为λ，区域III和区域IV完全相同，长与宽之比为μ，λ＞1，μ＞1，区域II和IV的较短边长分别为a m和b m．（1）试将a和b用λ，μ表示；（2）若λμ＝9，当λ，μ为何值时可升降舞台的面积最大，并求出最大面积．18．（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左顶点为A (﹣2，0)，短轴的两端点与一个焦点围成一个正三角形．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知圆O ：222(0)x y r r +=>与x 轴正半轴交于一点B ，过点A 作圆O 的切线交椭圆C 于另一点P ，若P A ⊥PB ，求32364r r r ++的值．19．（本小题满分16分）已知函数2()f x ax bx c =++(a ，b ，c ∈R )．（1）若函数()f x 的图象经过原点，且在x ＝1处的切线方程为31y x =-，求()f x 的解析式；（2）若(0)2f =-，(2)0f =，试讨论关于x 的方程ln ()x f x =在区间[1，4]内实数根的个数．20．（本小题满分16分）已知数列{}n a ，{}n b ，{}n c 满足：12111n nb a a a =+++，12n n c b b b =⋅⋅⋅，n N *∈．（1）若2n a n n =+，求数列{}n c 的通项公式；（2）若1n n b c +=(n N *∈)，记41n np b =-．①求证：数列{}n p 为等差数列；②将数列{}n a 和数列{}n p 中的公共项按从小到大的顺序排列构成数列{}n q ，求{}n q 的一个通项公式．第II 卷（附加题，共40分）21．【选做题】本题包括A ，B ，C 三小题，请选定其中两题作答，每小题10分共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． A ．选修4—2：矩阵与变换 已知矩阵A ，B ，C 满足A ＝12⎡⎢⎣02⎤⎥⎦，B ＝10⎡⎢⎣26⎤⎥⎦，且AC ＝B ，求1-A 与C ．B ．选修4—4：坐标系与参数方程已知圆O 1和圆O 2的极坐标方程分别为2ρ=，)4πρθ=-．（1）把圆O 1和圆O 2的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）求两圆交点的极坐标．C ．选修4—5：不等式选讲 已知a ，b ，c 是正实数，求证：9162522a b cb c c a a b++≥+++．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）在即将施行的新高考方案中，某科目可以每半年参加一次考试，然后取若干次考试的最高分作为最终成绩，某同学打算参加三次该科目考试，已知第一次考试达到优秀（得分大于或等于总分的80%）的概率为13，第二次考试达到优秀的概率为12，前两次考试相互独立，第三次考试受到前两次成绩的影响，如果前两次考试至少有一次达到优秀，则第三次考试达到优秀的概率为23，否则为12． （1）求该同学没能达到优秀的概率；（2）记该同学达到优秀的次数为随机变量ξ，求ξ的概率分布及期望．23．（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，如图，已知抛物线22(0)y px p =>上一点M (4，a )到抛物线焦点F 的距离为5．（1）求抛物线的方程及实数a 的值；（2）过点M 作抛物线的两条弦MA ，MB ，若MA ，MB 的倾斜角分别为α，β，且α＋β＝135°，求证：直线AB 过定点，并求出这个定点的坐标．【参考答案】。

nnn一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分．请把答案填写在答题卡相应位置上．2019 年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学Ⅰ注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1．本试卷共 4 页，均为非选择题(第 1 题~第 20 题，共 20 题)。

本卷满分为 160 分，考试时间为 120 分钟。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一片交回。

2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。

3．请认真核对监考员从答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符。

4．作答试题，必须用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效。

5．如需作图，须用 2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。

参考公式：样本数据 x , x ,…, x 的方差 s 2 = 1 2 n 1 ∑ (x - x )2，其中 x = i i =11 ∑ n i =1x ．i柱体的体积 V = Sh ，其中 S 是柱体的底面积， h 是柱体的高． 锥体的体积V = 1Sh ，其中 S 是锥体的底面积， h 是锥体的高．3．．．．．．．． 1．已知集合 A = {-1,0,1,6} ， B = {x | x > 0, x ∈ R } ，则 A I B =▲ .2．已知复数 (a + 2i)(1 + i) 的实部为 0，其中 i 为虚数单位，则实数 a 的值是 ▲.3．下图是一个算法流程图，则输出的 S 的值是▲ .4．函数 y = 7 + 6 x - x 2 的定义域是 ▲.5．已知一组数据 6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是▲.6．从 3 名男同学和 2 名女同学中任选 2 名同学参加志愿者服务，则选出的 2 名同学中至少有 1 名女同学的概率是 ▲.7．在平面直角坐标系 xOy 中，若双曲线 x 2 - y 2 b 2= 1(b > 0) 经过点（3，4)，则该双曲线的渐近线uuur uuur uuur uuurAB⋅AC=6A O⋅EC，则的值是▲.=-，则sin 2α+⎪的值是▲.⎛αtan +⎪奇函数.当x∈(0,2]时，f(x)=1-(x-1)2，g(x)=⎨1，其中k>0.若在区⎪⎩2二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、方程是▲.8．已知数列{a}(n∈N*)是等差数列，S是其前n项和.若a a+a=0,S=27，则S的值是n n25898▲.9．如图，长方体ABCD-A B C D的体积是120，E为CC的中点，则三棱锥E-BCD的体积是11111▲.10．在平面直角坐标系xOy中，P是曲线y=x+4x(x>0)上的一个动点，则点P到直线x+y=0的距离的最小值是▲.11．在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线y=lnx上，且该曲线在点A处的切线经过点（-e，-1)(e 为自然对数的底数），则点A的坐标是▲.12．如图，在△ABC中，D是BC的中点，E在边AB上，BE=2EA，AD与CE交于点O.若ABAC13．已知tanα2⎛π⎫π⎫3⎝4⎭⎝4⎭14．设f(x),g(x)是定义在R上的两个周期函数，f(x)的周期为4，g(x)的周期为2，且f(x)是⎧k(x+2),0<x≤1⎪-,1<x≤2间(0，9]上，关于x的方程f(x)=g(x)有8个不同的实数根，则k的取值范围是▲.．．．．．．．证明过程或演算步骤．15．（本小题满分14分）（2）若sin A在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．（1）若a=3c，b=2，cosB=23，求c的值；cos Bπ=，求sin(B+)的值．a2b216．（本小题满分14分）如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别为BC，AC的中点，AB=BC．求证：（1）A1B1∥平面DEC1；（2）BE⊥C1E．17．（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C:x2y2+a2b2=1(a>b>0)的焦点为F1（–1、0），F2（1，0）．过F2作x轴的垂线l，在x轴的上方，l与圆F2:(x-1)2+y2=4a2交于点A，与椭圆C交于点D.连结AF1并延长交圆F2于点B，连结BF2交椭圆C于点E，连结DF1．已知DF1=52．（1）求椭圆C的标准方程；（2）求点E的坐标．18．（本小题满分16分）如图，一个湖的边界是圆心为O的圆，湖的一侧有一条直线型公路l，湖上有桥AB（AB是圆O的直径）．规划在公路l上选两个点P、Q，并修建两段直线型道路PB、QA．规划要求：线段 PB 、QA 上的所有点到点 O 的距离均不小于圆 O 的半径．已知点 A 、B 到直线 l 的距离分别 = - ，其中 S n 为数列{b n }的前 n 项和．k +1成立，求 m 的最大值．．．．．为 AC 和 BD （C 、D 为垂足），测得 AB =10，AC =6，BD =12（单位：百米）．（1）若道路 PB 与桥 AB 垂直，求道路 PB 的长；（2）在规划要求下，P 和 Q 中能否有一个点选在 D 处？并说明理由；（3）在规划要求下，若道路 PB 和 QA 的长度均为 d （单位：百米）.求当 d 最小时，P 、Q 两点间的距离．19．（本小题满分 16 分）设函数 f ( x ) = ( x - a)( x - b )( x - c), a, b , c ∈ R 、 f ' (x) 为 f （x ）的导函数．（1）若 a =b =c ，f （4）=8，求 a 的值；（2）若 a ≠b ，b =c ，且 f （x ）和 f ' (x) 的零点均在集合{ - 3,1,3}中，求 f （x ）的极小值；（3）若 a = 0,0 < b 1,c = 1 ，且 f （x ）的极大值为 M ，求证:M ≤4 27．20．（本小满分 16 分）定义首项为 1 且公比为正数的等比数列为“M －数列”.（1）已知等比数列{a n } (n ∈ N * ) 满足： a 2a 4 = a 5 , a 3 - 4a 2 + 4a 4 = 0 ，求证：数列{a n }为“M－数列”；（2）已知数列{b n } (n ∈ N * ) 满足： b 1 = 1, 1 2 2 S b bn n n +1①求数列{b n }的通项公式；②设 m 为正整数，若存在“M －数列”{c n } (n ∈ N * ) ，对任意正整数 k ，当 k ≤m 时，都有c 剟b kkc= , x = 1 ≥ 4 不成立，继续循环， x = x + 1 = 2 ；= , x = 2 ≥ 4 不成立，继续循环， x = x + 1 = 3 ；执行第三次， S = S + = 3, x = 3 ≥ 4 不成立，继续循环， x = x + 1 = 4 ；执行第四次， S = S + = 5, x = 4 ≥ 4 成立，输出 S = 5.2019 年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学Ⅰ·参考答案一、填空题：本题考查基础知识、基本运算和基本思想方法.每小题5分，共计70分. 1.【答案】{1,6}.【解析】由题意利用交集的定义求解交集即可. 【详解】由题知， A I B = {1,6} .【点睛】本题主要考查交集的运算，属于基础题. 2.【答案】2【解析】本题根据复数的乘法运算法则先求得 z ，然后根据复数的概念，令实部为 0 即得 a 的值. 【详解】Q (a + 2i)(1+ i) = a + ai + 2i + 2i 2 = a - 2 + (a + 2)i ，令 a - 2 = 0 得 a = 2 .【点睛】本题主要考查复数的运算法则，虚部的定义等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解 能力.3. 【答案】5【解析】结合所给的流程图运行程序确定输出的值即可.【详解】执行第一次， S = S + x 12 2执行第二次， S = S + x 32 2 x2 x2【点睛】识别、运行程序框图和完善程序框图的思路： (1)要明确程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构． (2)要识别、运行程序框图，理解框图所解决的实际问题． (3)按照题目的要求完成解答并验证． 4.【答案】[－1,7]【解析】由题意得到关于 x 的不等式，解不等式可得函数的定义域. 【详解】由已知得 7 + 6 x - x 2 ≥ 0 , 即 x 2 - 6 x - 7 ≤ 0 解得 -1 ≤ x ≤ 7 ，故函数的定义域为[－1,7].【点睛】求函数的定义域，其实质就是以函数解析式有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后 求出它们的解集即可． 5.【答案】53【解析】由题意首先求得平均数，然后求解方差即可.【详解】由题意，该组数据的平均数为 6 + 7 + 8 + 8 + 9 + 106= 8 ，. ⎪ 2 5S = 9a + d = 272 ⎩⎪ ⎩ d = 22 思想，灵活应用通项公式、求和公式等，构建方程（组） 如本题，从已知出发，构建a 1,d 的方程2 . 所以该组数据的方差是 1 [(6 - 8)2 + (7 - 8)2 + (8 - 8)2 + (8 - 8)2 + (9 - 8)2 + (10 - 8)2 ] = 653 .【点睛】本题主要考查方差的计算公式，属于基础题. 6.【答案】710【解析】先求事件的总数，再求选出的2 名同学中至少有 1 名女同学的事件数，最后根据古典概型的概率计算公式得出答案.【详解】从 3 名男同学和 2 名女同学中任选 2 名同学参加志愿服务，共有 C 2 = 10 种情况. 5若选出的 2 名学生恰有 1 名女生，有 C 1C 1 = 6 种情况， 3 2若选出的 2 名学生都是女生，有 C 2 = 1 种情况，26 + 1 7所以所求的概率为 = .10 10【点睛】计数原理是高考考查的重点内容，考查的形式有两种，一是独立考查，二是与古典概型结 合考查，由于古典概型概率的计算比较明确，所以，计算正确基本事件总数是解题的重要一环在 处理问题的过程中，应注意审清题意，明确“分类”“分步”，根据顺序有无，明确“排列”“组合”. 7.【答案】 y = ± 2 x【解析】根据条件求 b ，再代入双曲线的渐近线方程得出答案.【详解】由已知得 32 - 42 b 2= 1，解得 b = 2 或 b = - 2 ， 因为 b > 0 ，所以 b = 2 .因为 a = 1 ，所以双曲线的渐近线方程为 y = ± 2 x .【点睛】双曲线的标准方程与几何性质，往往以小题的形式考查，其难度一般较小，是高考必得分 题.双曲线渐近线与双曲线标准方程中的 a , b 密切相关，事实上，标准方程中化 1 为 0，即得渐近线 方程.8.【答案】16【解析】由题意首先求得首项和公差，然后求解前 8 项和即可.⎧a a + a = (a + d )(a + 4d )+ (a + 7d ) = 081 1 1 【详解】由题意可得： ⎨ 9 ⨯ 89 1，⎧a = -5 8 ⨯ 7解得： ⎨ 1 ，则 S = 8a +8 1d = -40 + 28 ⨯ 2 = 16 .【点睛】等差数列、等比数列的基本计算问题，是高考必考内容，解题过程中要注意应用函数方程， 组.9.【答案】10【解析】由题意结合几何体的特征和所给几何体的性质可得三棱锥的体积 【详解】因为长方体 ABCD - A B C D 的体积为 120， 1 1 1 1所以 AB ⋅ BC ⋅ CC 1 = 120 ， 因为 E 为 CC 的中点，11所以 CE = CC ，1由长方体的性质知 CC 1 ⊥ 底面 ABCD ，所以 CE 是三棱锥 E - BCD 的底面 BCD 上的高，3 2 3 2 2 124 . . A (x , y ) ，则 y = ln x .又 y ' = ， x当 x = x 0 时， y ' = x点 A 在曲线 y = ln x 上 切线为 y - y 0 = ( x - x ) ，x即 y - ln x= x - 1 ， 代入点 (-e , -1)，得 -1 - ln x 0= - 1，.1 1 1 1 1 1所以三棱锥 E - BCD 的体积V = ⨯ AB ⋅ BC ⋅ C E = = ⨯ AB ⋅ BC ⋅ CC = 1 ⨯120 = 10 .【点睛】本题蕴含“整体和局部”的对立统一规律.在几何体面积或体积的计算问题中，往往需要注意理清整体和局部的关系，灵活利用“割”与“补”的方法解题. 10.【答案】4【解析】将原问题转化为切点与直线之间的距离，然后利用导函数确定切点坐标可得最小距离【详解】当直线 小.gR 2 gR 2 平移到与曲线 y = x + 相切位置时，切点 Q 即为点 P 到直线 r 2 x r 2的距离最由 y ' = 1 -4 x 2= -1，得 x = 2( - 2舍) ， y = 3 2 ，即切点 Q( 2,3 2) ，则切点 Q 到直线gR 2 r 2的距离为 2 + 3 2 12 + 12 = 4 ，故答案为：4．【点睛】本题考查曲线上任意一点到已知直线的最小距离，渗透了直观想象和数学运算素养采取 导数法和公式法，利用数形结合和转化与化归思想解题. 11.【答案】(e,1)【解析】设出切点坐标，得到切线方程，然后求解方程得到横坐标的值可得切点坐标【详解】设点0 0 0 011，1 00 x 的 0-e x即 x 0 ln x 0 = e ，考查函数 H (x ) = x ln x ，当 x ∈ (0,1)时， H (x ) < 0 ，当 x ∈(1,+∞)时， H (x ) > 0 ， 且 H ' (x ) = ln x + 1 ，当 x > 1 时， H ' (x ) > 0, H (x )单调递增， 注意到 H (e ) = e ，故 x 0 ln x 0 = e 存在唯一的实数根 x 0 = e ，此时 y 0 = 1 ，故点 A 的坐标为 A (e ,1).【点睛】导数运算及切线的理解应注意的问题：一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．二是直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的 切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点． 12.【答案】 3【解析】由题意将原问题转化为基底的数量积，然后利用几何性质可得比值 【详解】如图，过点 D 作 DF //CE ，交 AB 于点 F ，由 BE =2EA ，D 为 BC 中点，知 BF =FE =EA,AO =OD .3 uuur uuur ( ) ( )()3 (uuu uuur )⎛ uuur 1 uuur ⎫ 3 ⎛ uuur uuur 1 uuur 2 uuur 1 uuur uuur ⎫AB + AC g AC - AB ⎪ = AB g AC - AB + AC - AB g AC ⎪ =3 ⎛ 2 uuu uuur 1 uuur 2 uuur ⎫ uuur uuur 1 uuur 3 uuur 2 uuur uuur AB g AC - AB + AC ⎪ = AB g AC - AB + AC = AB g AC ， = 1 uuur 2 3 uuur 2 AB 3 3 3 π ⎫tan α + 1 tan α + 1 3 ， tan α + ⎪sin 2α + ⎪ = sin 2α cos + cos 2α sintan α (1 - tan α ) 2(sin 2α + cos 2α )= 2 2 ⎝ sin 2 α + cos 2 α ⎭2 ⎝ tan 2 α + 1 ⎭=； 2 ⨯ - ⎪ + 1 - - ⎪ ⎪ - ⎪ + 1 ⎪ 2 时，上式= 2 ⎝ 3 ⎭ π ⎫ 2 = .4 ⎭ 10⎛.uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur 6 A O g EC = 3 A D g AC - AE = AB + AC g AC - AE 2 2 2 ⎝ ⎭ 2 ⎝ ⎭ 2 22 ⎝3 3 ⎭2 2 uuuruuur 得 AB = AC , 即 AB = 3 AC , 故= 3 . 2 2 AC【点睛】本题考查在三角形中平面向量的数量积运算，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养. 采取几何法，利用数形结合和方程思想解题.13.【答案】210【解析】由题意首先求得 tan α 的值，然后利用两角和差正余弦公式和二倍角公式将原问题转化为 齐次式求值的问题，最后切化弦求得三角函数式的值即可.tan αtan α 2= = =- 【详解】由 ⎛ ⎝4 ⎭ 1 - tan α 得 3tan 2α - 5tan α - 2 = 0 ，1解得 tan α = 2 ，或 tan α = - .3⎛ π ⎫ π π⎝4 ⎭ 4 4 ==2 ⎛ 2sin α cos α + cos 2 α - sin 2 α ⎫ ⎪2 ⎛ 2 tan α + 1 - tan 2 α ⎫ ⎪ ，2 ⎛ 2 ⨯ 2 + 1 - 22 ⎫ 2当 tan α = 2 时，上式 = ⎪ 2 ⎝ 22 + 1 ⎭ 10⎛ ⎛ 1 ⎫ ⎛ 1 ⎫2 ⎫ 当 tan α = - 1 ⎝ 3 ⎭ ⎝ 3 ⎭ ⎪= 2 . 3 ⎛ 1 ⎫2⎪ 10⎝ ⎭综上， sin 2α + ⎝⎪【点睛】本题考查三角函数的化简求值，渗透了逻辑推理和数学运算素养 采取转化法，利用分类 讨论和转化与化归思想解题.3 4 ⎭⎪ 0）g ( x ) 的图象有 6 个交点，此时1 = 3k ，得 k = .f ( x) =g ( x) 在(0,9]上有 8 个实根的 k 的取值范围为 ⎢ ， ⎪⎪ . . 15.【答案】（1） c =3sin( B + ) 的值.=⎡ 1 2 ⎫14.【答案】 ⎢ , ⎪⎣【解析】分别考查函数 f (x )和函数 g (x )图像的性质，考查临界条件确定 k 的取值范围即可. 【详解】当 x ∈ ( 0,2 ] 时， f ( x ) = 1 - (x -1)2, 即 (x - 1)2 + y 2 = 1, y ≥ 0.又 f ( x ) 为奇函数，其图象关于原点对称，其周期为 4，如图，函数 f ( x ) 与 g ( x ) 的图象，要使f ( x ) =g ( x ) 在(0,9]上有 8 个实根，只需二者图象有 8 个交点即可.当 g( x) = - 12时，函数 f ( x ) 与 g ( x ) 的图象有 2 个交点；当 g( x ) = k ( x + 2) 时， g ( x ) 的图象为恒过点（-2，0）的直线，只需函数 f ( x ) 与 g ( x ) 的图象有 6 个交点.当 f ( x ) 与 g ( x ) 图象相切时，圆心（1， 到直线 kx - y + 2k = 0 的距离为 1，即 k + 2k1 + k2 = 1 ， 得 k =2 4，函数 f ( x ) 与 g ( x ) 的图象有 3 个交点；当g( x ) = k ( x + 2) 过点（1,1）时，函数 f ( x ) 与1 3综上可知，满足⎡ 1 2 ⎫ ⎣ 3 4 ⎭【点睛】本题考点为参数的取值范围，侧重函数方程的多个实根，难度较大 不能正确画出函数图 象的交点而致误，根据函数的周期性平移图象，找出两个函数图象相切或相交的临界交点个数，从 而确定参数的取值范围. 二、解答题2 5；（2） 3 5.【解析】(1)由题意结合余弦定理得到关于 c 的方程，解方程可得边长 c 的值；(2)由题意结合正弦定理和同角三角函数基本关系首先求得cos B 的值，然后由诱导公式可得π2【详解】（1）因为 a = 3c, b =2,cos B = 2 3，a 2 + c 2 -b 2 2 (3c)2 +c 2 - ( 2) 21 由余弦定理 cos B = ，得 = ，即 c2 = .2ac 3 2 ⨯ 3c ⨯ c3 所以 c = 3 3.sin A cos B（2）因为 ， a 2b=()从而cos2B=(2sin B)2，即cos2B=41-cos2B，故cos2B=.因此sin B+⎪=cos B=⎫.（又因为DF1=5，AF2⊥x轴，所以DF2=DF2-F F2=()2-22=，222由正弦定理a b cos B sin B=，得，所以cos B=2sin B.sin A sin B2b b45因为sin B>0，所以cos B=2sin B>0，从而cos B=⎛π25.⎝2⎭525 5.【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数关系、诱导公式等基础知识，考查运算求解能力.16.【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】(1)由题意结合几何体的空间结构特征和线面平行的判定定理即可证得题中的结论；(2)由题意首先证得线面垂直，然后结合线面垂直证明线线垂直即可【详解】（1）因为D，E分别为BC，AC的中点，所以ED∥AB.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB∥A1B1，所以A1B1∥ED.又因为ED⊂平面DEC1，A1B1⊄平面DEC1，所以A1B1∥平面DEC1.（2）因为AB=BC，E为AC的中点，所以BE⊥AC.因为三棱柱ABC-A1B1C1是直棱柱，所以CC1⊥平面ABC.又因为BE⊂平面ABC，所以CC1⊥BE.因为C1C⊂平面A1ACC1，AC⊂平面A1ACC1，C1C∩AC=C，所以BE⊥平面A1ACC1.因为C1E⊂平面A1ACC1，所以BE⊥C1E.【点睛】本题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识，考查空间想象能力和推理论证能力.17.【答案】（1）x2y23+=1；2）E(-1,-). 432【解析】(1)由题意分别求得a,b的值即可确定椭圆方程；(2)解法一：由题意首先确定直线AF的方程，联立直线方程与圆的方程，确定点B的坐标，联立1直线BF2与椭圆的方程即可确定点E的坐标；解法二：由题意利用几何关系确定点E的纵坐标，然后代入椭圆方程可得点E的坐标.【详解】（1）设椭圆C的焦距为2c.因为F1(－1，0)，F2(1，0)，所以F1F2=2，c=1.53112因此2a=DF1+DF2=4，从而a=2由b2=a2-c2，得b2=3.⎪⎩ (x - 1)2+ y 2 = 16 ，得 5 x 2 + 6 x - 11 = 0 ，将 x =- 代入 y = 2 x + 2 ，得 y = - ，因此 B(- , - ) .又 F 2(1，0)，所以直线 BF 2： y = ( x - 1) . ⎪⎪ 4 13 x 2 y 2 7 + = 1 由（1）知，椭圆 C ： + = 1 .如图，连结 EF 1.⎩ 2x 2 y 2因此，椭圆 C 的标准方程为 + = 1 .4 3（2）解法一：x 2 y 2 由（1）知，椭圆 C ：+= 1 ，a =2，43因为 AF 2⊥x 轴，所以点 A 的横坐标为 1.将 x =1 代入圆 F 2 的方程(x-1) 2+y 2=16，解得 y =±4.因为点 A 在 x 轴上方，所以 A(1，4). 又 F 1(-1，0)，所以直线 AF 1：y =2x+2.⎧⎪ y = 2 x + 2由 ⎨11解得 x = 1 或 x = - .511 125 511 12 3 5 5 4 ⎧3 y = ( x - 1)由 ⎨ ，得 7 x 2 - 6 x - 13 = 0 ，解得 x = -1 或 x = ⎪ ⎪ 43 又因为 E 是线段 BF 2 与椭圆的交点，所以 x = -1 .3 33 将 x = -1 代入 y = ( x - 1) ，得 y = - .因此 E (-1,- ) .4 2解法二：x 2 y 24 3.因为F1(-1，0)，由⎨x2y2，得y=±.⎪+.因为BF2=2a，EF1+EF2=2a，所以EF1=EB，从而∠BF1E=∠B.因为F2A=F2B，所以∠A=∠B，所以∠A=∠BF1E，从而EF1∥F2A.因为AF2⊥x轴，所以EF1⊥x轴.⎧x=-1⎪3=12⎩43又因为E是线段BF2与椭圆的交点，所以y=-32.3因此E(-1,-).2【点睛】本题主要考查直线方程、圆的方程、椭圆方程、椭圆的几何性质、直线与圆及椭圆的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、分析问题能力和运算求解能力18.【答案】（1）15（百米）；（2）见解析；（3）17+321（百米）.【解析】解：解法一：（1）过A作AE⊥BD，垂足为E.利用几何关系即可求得道路PB的长；（2）分类讨论P和Q中能否有一个点选在D处即可.（3）先讨论点P的位置，然后再讨论点Q的位置即可确定当d最小时，P、Q两点间的距离．解法二：（1）建立空间直角坐标系，分别确定点P和点B的坐标，然后利用两点之间距离公式可得道路PB 的长；（2）分类讨论P和Q中能否有一个点选在D处即可.（3）先讨论点P的位置，然后再讨论点Q的位置即可确定当d最小时，P、Q两点间的距离．【详解】解法一：（1）过A作AE⊥BD，垂足为E.由已知条件得，四边形ACDE为矩形，DE=BE=AC=6,AE=CD=8.因为PB⊥AB，所以cos∠PBD=sin∠ABE=84=.105所以PB=BD12==15cos∠PBD4.5因此道路PB的长为15（百米）.（2）①若P在D处，由（1）可得E在圆上，则线段BE上的点（除B，E）到点O的距离均小于圆O的半径，所以P选在D处不满足规划要求.②若Q在D处，连结AD，由（1）知AD=AE2+ED2=10，AD2+AB2-BD27从而cos∠BAD==>0，所以∠BAD为锐角.2A D⋅AB25所以线段AD上存在点到点O的距离小于圆O的半径.因此，Q选在D处也不满足规划要求.51⊥AB，由（1）知，P在线段AD上取点M（3，），因为OM=32+ ⎪<32+42=5，⎝4⎭当∠OBP≥90°时，对线段PB上任意一点F，OF≥OB，即线段PB上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径，点P符合规划要求.设P1为l上一点，且PB1B=15，3此时PD=PB sin∠PBD=PB cos∠EBA=15⨯=9；1111当∠OBP>90°时，在△PPB中，PB>PB=15.11由上可知，d≥15.再讨论点Q的位置.由（2）知，要使得QA≥15，点Q只有位于点C的右侧，才能符合规划要求.当QA=15时，CQ=QA2-AC2=152-62=321.此时，线段QA上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径.综上，当PB⊥AB，点Q位于点C右侧，且CQ=321时，d最小，此时P，Q两点间的距离PQ=PD+CD+CQ=17+321.因此，d最小时，P，Q两点间的距离为17+321（百米）.解法二：（1）如图，过O作OH⊥l，垂足为H.以O为坐标原点，直线OH为y轴，建立平面直角坐标系.因为BD=12，AC=6，所以OH=9，直线l的方程为y=9，点A，B的纵坐标分别为3，−3.因为AB为圆O的直径，AB=10，所以圆O的方程为x2+y2=25.从而A（4，3），B（−4，−3），直线AB的斜率为34.因为PB⊥AB，所以直线PB的斜率为-425直线PB的方程为y=-x-.3343，所以P（−13，9），PB=(-13+4)2+(9+3)2=15.因此道路PB的长为15（百米）.（2）①若P在D处，取线段BD上一点E（−4，0），则EO=4<5，所以P选在D处不满足规划要求.②若Q在D处，连结AD，由（1）知D（−4，9），又A（4，3），3所以线段AD：y=-x+6(-4≤x≤4).415⎛15⎫24所以线段AD上存在点到点O的距离小于圆O的半径.因此Q选在D处也不满足规划要求.因为 0 < b ≤ 1 ，所以 x ∈ (0,1) ．令 g ( x ) = x( x - 1)2, x ∈ (0,1) ，则 g' ( x) = 3 x - ⎪ ( x - 1) ．1 11(0, +所以当 x = 时， g ( x ) 取得极大值，且是最大值，故 g ( x ) max = g ⎪= 当∠OBP ≥90°时，对线段 PB 上任意一点 F ，OF ≥OB ，即线段 PB 上所有点到点 O 的距离均不小于 圆 O 的半径，点 P 符合规划要求.设 P 1为 l 上一点，且 PB ⊥ AB ，由（1）知， P B = 15 ，此时 P (-13,9)； 当∠OBP >90°时，在 △PPB 中， PB > PB = 15 .11由上可知，d ≥15. 再讨论点 Q 的位置.由（2）知，要使得 QA≥15，点 Q 只有位于点 C 的右侧，才能符合规划要求.当 QA =15 时，设 Q （a ，9），由 AQ =(a - 4)2 + (9 - 3)2 = 15(a > 4) ，得 a = 4 + 3 21 ，所以 Q （ 4 + 3 21 ，9），此时，线段 QA 上所有点到点 O 的距离均不小于圆 O 的半径.综上，当 P （−13，9），Q （ 4 + 3 21 ，9）时，d 最小，此时 P ，Q 两点间的距离PQ = 4 + 3 21 - (-13) = 17 + 3 21 .因此，d 最小时，P ，Q 两点间的距离为17 + 3 21 （百米）.【点睛】本题主要考查三角函数的应用、解方程、直线与圆等基础知识，考查直观想象和数学建模 及运用数学知识分析和解决实际问题的能力. 19.【答案】（1） a = 2 ；（2）见解析；（3）见解析. 【解析】（1）由题意得到关于 a 的方程，解方程即可确定 a 的值；（2）由题意首先确定 a,b ,c 的值从而确定函数的解析式，然后求解其导函数，由导函数即可确定函 数的极小值.（3）由题意首先确定函数的极大值 M 的表达式，然后可用如下方法证明题中的不等式： 解法一：由函数的解析式结合不等式的性质进行放缩即可证得题中的不等式； 解法二：由题意构造函数，求得函数在定义域内的最大值，1当 x ∈ (0,1) 时， f ( x ) = x( x - b )( x - 1) ≤ x( x - 1)2 ．⎛ 1 ⎫ ⎝3 ⎭令 g' ( x ) = 0 ，得 x = 1．列表如下：3x1) 31 3( 1 ,1) 3g' ( x )–g ( x )↗ 极大值↘1 ⎛ 1 ⎫4 3⎝ 3 ⎭274 4 所以当 x ∈ (0,1) 时， f ( x ) ≤ g ( x ) ≤ ，因此 M ≤ ．27 27【详解】（1）因为 a = b = c ，所以 f ( x ) = ( x - a)( x - b )( x - c) = ( x - a)3 ． 因为 f (4) = 8 ，所以 (4 - a)3 = 8 ，解得 a = 2 ． （2）因为 b = c ，．从而 f ' ( x) = 3(x - b ) x - ⎪ ．令 f ' (x) = 0 ，得 x =b 或 x =3 3 b + 1 ⎫ 2 b 2 - b + 1) ( = (3x 2 - 2(b + 1)x + b ) 1 - ⎛ x b (b + 1) - x +⎝ 39 ⎭ 9 9 ⎪3 所以 f ( x ) = ( x - a)( x - b )2 = x 3 - (a + 2b ) x 2 + b (2a + b ) x - ab 2 ，⎛ ⎝2a + b ⎫ 2a + b3 ⎭ 3 ． 因为 a, b ,2a + b 3，都在集合{-3,1,3}中，且 a ≠ b ， 所以2a + b 3= 1,a = 3, b = -3 ．此时 f ( x ) = ( x - 3)(x + 3)2 ， f ' ( x ) = 3( x + 3)( x - 1) ． 令 f ' (x) = 0 ，得 x = -3 或 x = 1 ．列表如下：xf ( x )(－∞,－3)+↗－3极大值(－3,1)–↘1极小值(1,+∞)+↗所以 f ( x ) 的极小值为 f (1) = (1- 3)(1+ 3)2 = -32 ．（3）因为 a = 0, c = 1，所以 f ( x ) = x( x - b )( x - 1) = x 3 - (b + 1)x 2 + bx ，f ' ( x ) = 3x 2 - 2(b + 1)x + b ．因为 0 < b ≤ 1 ，所以 ∆ = 4(b + 1)2 - 12b = (2b - 1)2 + 3 > 0 ，则有 2 个不同的零点，设为 x 1 , x 2 (x 1 < x 2 ) ．由 f ' (x) = 0 ，得 x = 1列表如下：b + 1 - b2 - b + 1 b + 1 + b 2 - b + 1 , x =2．xf ( x )(-∞, x )1+↗x1极大值(x , x )1 2–↘x2极小值( x , +∞ )2+↗所以 f ( x ) 的极大值 M = f (x )． 1解法一：M = f (x ) = x 3 - (b + 1)x 2 + bx11111 1 1 -2 (b 2 - b + 1)(b + 1) b (b + 1) 2 ()= + + b 2 - b + 127 9 27b (b + 1) 2(b - 1)2 (b + 1) 2 = - + ( b (b - 1) + 1)327 27 27 b (b + 1) 2 4 4 ≤ + ≤ ．因此 M ≤ ．27 27 27 27解法二：因为 0 < b ≤ 1 ，所以 x ∈ (0,1) ．令 g ( x ) = x( x - 1)2, x ∈ (0,1) ，则 g' ( x) = 3 x - ⎪ ( x - 1) ．(0, +所以当 x = 时， g ( x ) 取得极大值，且是最大值，故 g ( x )= g ⎪= ．3⎝ 3 ⎭ 27所以当 x ∈ (0,1) 时， f ( x ) ≤ g ( x ) ≤ ，因此 M ≤ ．，解得 ⎨ 1 由 ⎨ ，得 ⎨ ．⎩ q = 2⎩ 3 ⎩ 1 （2）①因为 ，所以 b ≠ 0 ．由 1 b = 1, S = b 得 = - ，则 b = 2 .由，得n，当 n ≥ 2 时，由 b n = S n - S n -1 ，得 n 2 (b - b ) 2 (b n --1 b n ) ，( )n n +11当 x ∈ (0,1) 时， f ( x ) = x( x - b )( x - 1) ≤ x( x - 1)2 ．⎛1 ⎫ ⎝3 ⎭令 g' ( x ) = 0 ，得 x = 1．列表如下：3x1) 31 3( 1 ,1) 3g' ( x )–g ( x )↗ 极大值↘1 ⎛ 1 ⎫ 4 max4 4 27 27【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的性质，考查综合运用数学思想方法分析与解决问题以及逻辑推理能力．20.【答案】（1）见解析；（2）①b n =n (n ∈ N *)；②5. 【解析】（1）由题意分别求得数列的首项和公比即可证得题中的结论；（2）①由题意利用递推关系式讨论可得数列{b n }是等差数列，据此即可确定其通项公式；②由①确定 b k 的值，将原问题进行等价转化，构造函数，结合导函数研究函数的性质即可求得 m 的最大值． 【详解】（1）设等比数列{a n }的公比为 q ，所以 a 1≠0，q ≠0.⎧a a = a ⎧a 2q 4 = a q 4 ⎧a = 1 2 4 51 1 a - 4a + 4a = 0 a q2 - 4a q + 4a = 02 1 1 1因此数列{a n } 为“M —数列”.1 22 = -S b bn n n n +11 2 2 1 1 1 1 b2 21 22 b b = - S =n n +1 S b b 2(b - b )n n n +1 n +1 n b b b b b = -n +1 n n n -1整理得 b n +1 + b n -1 = 2b n ．所以数列{b n }是首项和公差均为 1 的等差数列. 因此，数列{b n }的通项公式为 b n =n n ∈ N * .②由①知，b k =k ， k ∈ N * .因为数列{c n }为“M –数列”，设公比为 q ，所以 c 1=1，q >0.因为 c k ≤b k ≤c k +1，所以 q k -1 ≤ k ≤ q k ，其中 k =1，2，3，…，m . 当 k =1 时，有 q ≥1；(x>1)，则f'(x)=max=f(3)=21.【答案】（1）⎢⎥；（2）λ1=1,λ2=4.【详解】（1）因为A=⎢⎥，.A2=⎢⎣⎦⎣2⨯3+2⨯22⨯1+2⨯2⎥⎦⎢⎣106⎥⎦f(λ)=λ-3【详解】（1）设极点为O在△.OAB中，A（3，π当k=2，3，…，m时，有ln k ln k≤ln q≤．k k-1ln x1-ln x设f（x）=．x x2令f'(x)=0，得x=e.列表如下：x（1，e）e(e，+∞)f'(x) f（x）+↗极大值–↘因为ln2ln8ln9ln3ln3 =<=，所以f(k)26633．取q=33，当k=1，2，3，4，5时，ln kk≤ln q，即k≤q k，经检验知q k-1≤k也成立．因此所求m的最大值不小于5．若m≥6，分别取k=3，6，得3≤q3，且q5≤6，从而q15≥243，且q15≤216，所以q不存在.因此所求m的最大值小于6.综上，所求m的最大值为5．【点睛】本题主要考查等差和等比数列的定义、通项公式、性质等基础知识，考查代数推理、转化与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力．数学Ⅱ(附加题)⎡115⎤⎣106⎦【解析】(1)利用矩阵的乘法运算法则计算A2的值即可；(2)首先求得矩阵的特征多项式，然后利用特征多项式求解特征值即可⎡31⎤⎣22⎦所以⎡3⎣21⎤⎡31⎤2⎥⎦⎢22⎥⎡3⨯3+1⨯2 =⎢3⨯1+1⨯2⎤⎡115⎤=．（2）矩阵A的特征多项式为-1-2λ-2=λ2-5λ+4.令f(λ)=0，解得A的特征值λ1=1,λ2=4.【点睛】本题主要考查矩阵的运算、特征值等基础知识，考查运算求解能力．22.【答案】（1）5；（2）2.【解析】(1)由题意，在△OAB中，利用余弦定理求解AB的长度即可；(2)首先确定直线的倾斜角和直线所过的点的极坐标，然后结合点B的坐标结合几何性质可得点B 到直线l的距离.π），B（2，），42- ) = 5 .23.【答案】{x | x < - 或x > 1} ..综上，原不等式的解集为 {x | x < - 或x > 1} .()52 624 ]2 = 2 ⨯ ⨯由余弦定理，得 AB = 32+ ( 2) 2- 2 ⨯ 3 ⨯ 2 ⨯ cos( π π2 4（2）因为直线 l 的方程为 ρ sin(θ + π4) = 3 ，π 3π则直线 l 过点 (3 2, ) ，倾斜角为 ．2 4π 3π π又 B( 2, ) ，所以点 B 到直线 l 的距离为 (3 2 - 2) ⨯ sin( - ) = 2 .2 4 2【点睛】本题主要考查曲线的极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力．13【解析】由题意结合不等式的性质零点分段即可求得不等式的解集 1【详解】当 x <0 时，原不等式可化为 - x + 1 - 2 x > 2 ，解得 x <– ：3 当 0≤x ≤ 1 2时，原不等式可化为 x +1–2x >2，即 x <–1，无解；当 x > 1 2时，原不等式可化为 x +2x –1>2，解得 x>1.13【点睛】本题主要考查解不等式等基础知识，考查运算求解和推理论证能力．【必做题】24.【答案】（1） n = 5 ；（2）-32.【解析】(1)首先由二项式展开式的通项公式确定 a 2 , a 3 , a 4 的值，然后求解关于 n 的方程可得 n 的值； (2)解法一：利用(1)中求得的 n 的值确定有理项和无理项从而可得 a,b 的值，然后计算 a 2 - 3b 2 的值 即可；解法二：利用(1)中求得的 n 的值，由题意得到 1 - 3的展开式，最后结合平方差公式即可确定a 2 - 3b 2 的值.【详解】（1）因为 (1+ x)n = C 0 + C 1 x + C 2 x 2 + L + C n x n ，n ≥ 4 ，nnnnn (n - 1) n (n - 1)(n - 2)所以 a = C 2 = , a = C 3 = ，2 n3 n n (n - 1)(n - 2)(n - 3)a = C 4 = ． 4 n因为 a 2 = 2a a ，3 2 4n (n - 1)(n - 2) n (n - 1) n (n - 1)(n - 2)(n - 3)所以 [ ，6 2 24解得 n = 5 ．（2）由（1）知， n = 5 ． (1+ 3) n = (1+ 3) 5= C 0 + C 1 3 + C 2 ( 3)2 + C 3 ( 3)3 + C 4 ( 3)4 + C 5 ( 3)5 555555= a + b 3 ．解法一：因为 a, b ∈ N *，所以 a = C 0 + 3C 2 + 9C 4 = 76, b = C 1 + 3C 3 + 9C 5 = 44 ， 555555从而 a 2 - 3b 2 = 762 - 3 ⨯ 442 = -32 ．X 的概率分布为 P( X = 1) = = , P( X = 2) = = ，. 2 b d d d因此， P( X ≤ n) = 1 - P( X = n 2+ 1) - P( X = n 2+ 4) = 1 - 6．解法二：(1- 3)5 = C 0 + C 1 (- 3) + C 2 (- 3) 2 + C 3 (- 3)3 + C 4 (- 3) 4 + C 5 (- 3)5 5 5 5 555= C 0 - C 1 3 + C 2 ( 3)2 - C 3 ( 3)3 + C 4 ( 3) 4 - C 5 ( 3)5 ．5 5 5 5 5 5因为 a, b ∈ N *，所以 (1- 3) 5 = a - b 3 ．因此 a 2 - 3b 2 = (a + b 3)( a - b 3) = (1+ 3) 5 ⨯ (1- 3) 5 = (-2) 5 = -32 ．【点睛】本题主要考查二项式定理、组合数等基础知识，考查分析问题能力与运算求解能力 25.【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】(1)由题意首先确定 X 可能的取值，然后利用古典概型计算公式求得相应的概率值即可确 定分布列；(2)将原问题转化为对立事件的问题求解 P ( X > n )的值，据此分类讨论①. b = d ，②. b = 0, d = 1 ， ③. b = 0, d = 2 ，④. b = 1,d = 2 四种情况确定 X 满足 X > n 的所有可能的取值，然后求解相应的概率值即可确定 P ( X ≤ n ) 的值.【详解】（1）当 n = 1 时，X 的所有可能取值是1， 2 ， ， 5 ．7 7 4 4C 2 15 C 2 15 662 2 2 2P( X = 2) = = , P( X = 5) = = ．C 2 15 C 2 15 6 6 （2）设 A(a ，) 和 B (c ，d ) 是从 M n 中取出的两个点．因为 P( X ≤ n) = 1 - P( X > n) ，所以仅需考虑 X > n 的情况．①若 b = d ，则 AB ≤ n ，不存在 X > n 的取法；②若 b = 0 ， = 1 ，则 AB = (a - c)2 + 1 ≤ n 2 + 1 ，所以 X > n 当且仅当 AB = n 2 + 1 ，此时a = 0 ，c = n 或 a = n ，c = 0 ，有 2 种取法；③若 b = 0 ， = 2 ，则 AB = (a - c)2 + 4 ≤ n 2 + 4 ，因为当 n ≥ 3 时， (n - 1)2 + 4 ≤ n ，所以X > n 当且仅当 AB = n 2 + 4 ，此时 a = 0 ，c = n 或 a = n ，c = 0 ，有 2 种取法；④若 b = 1，= 2 ，则 AB = (a - c)2 + 1 ≤ n 2 + 1 ，所以 X > n 当且仅当 AB = n 2 + 1 ，此时a = 0 ，c = n 或 a = n ，c = 0 ，有 2 种取法．综上，当 X > n 时，X 的所有可能取值是 n 2 +1 和 n 2 + 4 ，且P( X = n 2 + 1) = 4 , P( X = n 2 + 4) = 2 ． C 2 C 22n +42n +4C 2 2n +4【点睛】本题主要考查计数原理、古典概型、随机变量及其概率分布等基础知识，考查逻辑思维能 力和推理论证能力．。