中考数学总复习直角三角形导学案湘教版

长乐中学八年级数学导学训练案教课设计编制人：周浩雄审查人：日期：第1课时课题：直角三形的性质和判断（ 1）教课目的1. 使学生理解和掌握直角三角形的性质边和角； 2. 能应用直角三角形性质和判断解决简单的实质问题； 3. 经过研究，察看，猜想，实验，交流，推理等过程，提升数学思想、解决问题的能力和合作学习的精神；教课要点：直角三角形中线性质的推导及应用教课难点：定理的理解和运用、几何语言和逻辑的正确运用一、引自学内容：教材 P2-3二．探一）回首：三角形的内角和；二） . 合作沟通：1.研究一：直角三角形的两个锐角有什么特别的关系。

2．直角三角形的判断：假如直角三角形的两个锐角互余，那么这个三角形是直角三角形。

3.研究二：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

上述定理用几何语言表示。

三）．练习1、教材练习三．结师生小结直角三角形的判断及性质四 .用1、若直角三角形的两个锐角之差是22°，则较小内角的度数是°。

2.如下图，已知 AB ⊥ BD ，AC ⊥ CD ，∠ A=35 °，则∠ D 的度数为（）A 、 35°B 、65°C、55°D、 45°3.如下图， Rt△ ABC 中，∠ BCA=90 °， CD ⊥ AB 于 D，E 是 AC 中点，以下结论必定正确的选项是（）A、∠ 4=∠5B、∠ 1=∠2C、∠ 3=∠4D、∠ B=∠24、如图，在△ ABC 中，∠ B= ∠C，D ， E 分别是ＢＣ，ＡＣ中点，ＡＢ＝８，求ＤＥ的长。

Ａ５、如图， AB ∥CD ，∠ A 和∠ C 的均分线订交于H 点， AC=6(1)△ AHC 是直角三角形吗？为何？(2)求 GH 的长。

BAGHC D6、如图，在四边形 ABCD 中，∠ DAB= ∠BCD=90 °， M 为 BD 中点，Ｎ为ＡＣ中点，求证：ＭＮ⊥ＡＣ。

中考数学总复习锐角三角形导学案（湘教版）第23课锐角三角函数【知识梳理】【思想方法】常用解题方法——设k法2. 常用基本图形——双直角【例题精讲】例题1.在△ABC中，∠C=90°．（1）若cosA= ，则tanB=______;（•2）•若cosA= ，则tanB=______．例题2.（1）已知：cosα= ，则锐角α的取值范围是（）A．0°α30° B．45°α60°C．30°α45° D．60°α90°（2）当45°θ90°时，下列各式中正确的是（） A．tanθcosθsinθ B．sinθcosθtanθC．tanθsinθcosθ D．sinθtanθ cosθ例题3.（1）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，∠CAB=60°，•CD= ，BD=2 ，求AC，AB的长．例题4.“曙光中学”有一块三角形状的花园ABC，有人已经测出∠A=30°，AC=40米，BC=25米，你能求出这块花园的面积吗？例题5.某片绿地形状如图所示，其中AB⊥BC，CD⊥AD，∠A=60°，AB=200m，CD=100m，•求AD、BC的长．【当堂检测】若∠A是锐角，且cosA=sinA，则∠A的度数是（）A.300B.450C.600D.不能确定2.如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=450，∠C=1200，AB=8，则CD的长为（）A. B. C. D在Rt△ABC中，∠C=900，AB=2AC，在BC上取一点D，使AC=CD，则CD：BD=（）A. B. C. D.不能确定4.在Rt△ABC中，∠C=900，∠A=300，b= ，则a= ，c= ；5.已知在直角梯形ABCD中，上底CD=4，下底AB=10，非直角腰BC= ，则底角∠B= ；6.若∠A是锐角，且cosA= ，则cos（900-A）= ；7.在Rt△ABC中，∠C=900，AC=1，sinA= ，求tanA，BC．在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，AB= ，AC=BC= ，求AD的长．9. 去年某省将地处A、B两地的两所大学合并成一所综合性大学，为了方便两地师生交往，学校准备在相距2km的A、B两地之间修一条笔直的公路，经测量在A地北偏东600方向，B地北偏西450方向的C处有一个半径为0.7km的公园，问计划修筑的这条公路会不会穿过公园？为什么？。

1.9 《直角三角形》全章复习与巩固（知识讲解）【复习目标】1.了解直角三角形的概念，理解直角三角形的性质和判定；2.能用直角三角形的性质和判定解决简单问题；3.会运用直角三角形的知识解决有关问题．【知识梳理】要点一、直角三角形定义1.直角三角形定义：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形.要点二、直角三角形性质(1)直角三角形中两锐角互余.(2)直角三角形中，30°锐角所对的直角边等于斜边的一半.(3)在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°.(4)勾股定理：直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方.(5)勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.(6)直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半.要点三、直角三角形的判定(1)有两内角互余的三角形是直角三角形.(2)一条边上的中线等于该边的一半，则这条边所对的角是直角，这个三角形是直角三角形.(3)如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形是直角三角形，第三边为斜边.要点四、判定直角三角形全等的一般方法由三角形全等的条件可知，对于两个直角三角形，满足一边一锐角对应相等，或两直角边对应相等，这两个直角三角形就全等了.这里用到的是“AAS”，“ASA”或“SAS”判定定理. 要点五、判定直角三角形全等的特殊方法——斜边，直角边定理在两个直角三角形中，有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）.这个判定方法是直角三角形所独有的，一般三角形不具备.【典型例题】类型一、直角三角形的性质1．已知：如图，在△ABC中，AB=AC=2a,∠ABC=∠ACB=15°，CD是腰AB上的高．求CD的长.【答案】CD=a【思路点拨】根据三角形的外角的性质得∠DAC=30°，再根据含30°角的直角三角形的性质可得DC=a.解：∵∠ABC=∠ACB=15°∴∠DAC=30°∵CD是腰AB上的高AB=AC=2a∴AC=2CD∴CD=a【点拨】此题主要考查含30°的直角三角形的性质，解题的关键是利用等腰三角形得出含30°角的直角三角形.2 已知，在，ABC中，，ACB，90°，CD，AB垂足为D，BC，6，AC，8，求AB与CD 的长．【答案】AB=10∠CD=4.8.解∠在△ABC中∠∠ACB=90°∠CD⊥AB垂足为D∠BC=6∠AC=8∠由勾股定理得∠AB=∵S△ABC=12AB•CD=12AC•BC∠∴CD=AC BCAB⋅=8610⨯=4.8∠【点拨】在直角三角形ABC中∠利用勾股定理求出AB的长∠再利用等面积法求出CD的长即可．3．已知：如图，在△ABC中，∠A=30°，∠ACB=90°，M、D分别为AB、MB的中点. 求证：CD⊥AB．【思路点拨】由∠ACB=90°，M为AB的中点．根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到CM12=AB=BM，再根据在直角三角形中，30°所对的边等于斜边的一半得到CB12=AB=BM，则CM=CB，而D为MB的中点，根据等腰三角形的性质即可得到结论．解∵∠ACB=90°，M为AB中点，∴CM12=AB=BM．∵∠ACB=90°，∠A=30°，∴CB12=AB=BM，∴CM=CB．∵D为MB的中点，∴CD⊥BM，即CD⊥AB．【点拨】本题考查了含30°的直角三角形的性质：30°所对的边等于斜边的一半；也考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及等腰三角形的性质．类型二、直角三角形全等的判定——“HL”4、已知：如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AD＝BC．求证：（1）AB＝CD：（2）AD∥BC．【思路点拨】先由“HL”证Rt△ABD≌Rt△CDB，再由内错角相等证两直线平行.证明：（1）∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴∠ABD ＝∠CDB ＝90°在Rt △ABD 和Rt △CDB 中，∴Rt △ABD ≌Rt △CDB （HL ）∴AB ＝CD （全等三角形对应边相等）（2）由∠ADB ＝∠CBD∴AD ∥BC .【总结升华】证明两个直角三角形全等，首先考虑用斜边、直角边定理，再考虑用一般三角形全等的证明方法.举一反三：【变式】已知：如图，AE ⊥AB ，BC ⊥AB ，AE ＝AB ，ED ＝AC ．求证：ED ⊥AC ．证明：∵AE ⊥AB ，BC ⊥AB ，∴∠DAE ＝∠CBA ＝90°在Rt △DAE 与Rt △CBA 中，∴Rt △DAE ≌Rt △CBA （HL ）∴∠E ＝∠CAB∵∠CAB ＋∠EAF ＝90°，∴∠E ＋∠EAF ＝90°，即∠AFE ＝90°即ED ⊥AC ．5、 判断满足下列条件的两个直角三角形是否全等，不全等的画“×”，全等的注明理由：AD BC BD DB ⎧⎨=⎩＝ED AC AE AB ⎧⎨⎩＝＝，（1）一个锐角和这个角的对边对应相等；（ ）（2）一个锐角和斜边对应相等； （ ）（3）两直角边对应相等； （ ）（4）一条直角边和斜边对应相等． （ ）【答案】（1）全等，“AAS ”；（2）全等，“AAS ”；（3）全等，“SAS ”；（4）全等，“HL ”.【解析】理解题意，画出图形，根据全等三角形的判定来判断.【总结升华】直角三角形全等可用的判定方法有5种：SAS 、ASA 、AAS 、SSS 、HL. 举一反三：【变式】下列说法正确的有（ ）（1）一个锐角及斜边对应相等的两个直角三角形全等；（2）一个锐角及一条直角边对应相等的两个直角三角形全等；（3）两个锐角对应等的两个直角三角形全等；（4）有两条边相等的两个直角三角形全等；（5）有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．A.2个B.3个C.4个D.5个 【答案】C ．解：（1）一个锐角及斜边对应相等的两个直角三角形全等，根据AAS 可判定两个直角三角形全等；（2）一个锐角及一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，根据AAS 或ASA 可判定两个直角三角形全等；（3）两个锐角对应等的两个直角三角形全等，缺少“边”这个条件，故不可判定两个直角三角形全等；（4）有两条边相等的两个直角三角形全等，根据SAS 或HL 可判定两个直角三角形全等；（5）有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，根据HL 可判定两个直角三角形全等．所以说法正确的有4个．故选C ．6、 如图，AB ⊥AC 于A ，BD ⊥CD 于D ，若AC=DB ，则下列结论中不正确的是（ ） A ．∠A=∠D B ．∠ABC=∠DCBC ．OB=OD D ．OA=OD O BC DA【思路点拨】根据已知及全等三角形的判定方法进行分析，从而得到答案．做题时要结合已知条件与全等的判定方法逐一验证．【答案与解析】解：∵AB⊥AC于A，BD⊥CD于D∴∠A=∠D=90°（A正确）又∵AC=DB，BC=BC∴△ABC≌△DCB(HL)∴∠ABC=∠DCB（B正确）∴AB=CD又∵∠AOB=∠C∴△AOB≌△DOC(AAS)∴OA=OD（D正确）C中OD、OB不是对应边，不相等．故选C．【总结升华】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．类型三、直角三角形的折叠问题7．将一张矩形纸片如图所示折叠，使顶点落在点.已知，，则折痕的长为( )A. B. C. D.【思路点拨】直角三角形是常见的几何图形，在习题中比较多的利用数形结合解决相应的问题.常用的是两锐角互余，三边满足勾股定理和直角三角形中，30°角所对的边等于斜边的一半.【答案】C.【解析】由折叠可知，∠CED=∠C′ED =30°，因为在矩形ABCD中，∠C等于90°，CD=AB=2，所以在Rt△DCE中，DE=2CD=4.故选C.【总结升华】折叠题型一定要注意对应的边相等，对应的角相等.【变式】如图，一张直角三角形纸片，两直角边AC=4cm，BC=8cm，将△ABC折叠，点B与点A重合，折痕为DE，则DE的长为( )．A. B. C. D.5【答案】B.解析：由折叠可知，AD=BD，DE⊥AB，∴BE=AB设BD为x，则CD=8-x∵∠C=90°，AC=4，BC=8，∴AC2+BC2=AB2∴AB2=42+82=80，∴AB=，∴BE=在Rt△ACD中，AC2+CD2=AD2 ，∴42+(8-x)2=x2，解得x=5在Rt△BDE中，BE2+DE2=BD2，即()2+DE2=52，∴DE=，故选B.类型四、直角三角形的性质和判定综合运用8．如图，有两条公路OM、ON相交成30°角，沿公路OM方向离O点80米处有一所学校A．当重型运输卡车P沿道路ON方向行驶时，在以P为圆心50米长为半径的圆形区域内都会受到卡车噪声的影响，且卡车P与学校A的距离越近噪声影响越大．若一直重型运输卡车P沿道路ON方向行驶的速度为18千米/时．（1）求对学校A的噪声影响最大时卡车P与学校A的距离；（2）求卡车P沿道路ON方向行驶一次给学校A带来噪声影响的时间．。

章末复习【知识与技能】1。

系统了解本章的知识体系及知识内容.2。

在熟练掌握直角三角形相关概念的基础上，进一步熟悉掌握直角三角形性质与判定的应用。

3.在掌握角平分线性质及其逆定理的基础上将知识融汇贯通，进行一些提高训练。

4。

培养对知识综合掌握、综合运用的能力。

【过程与方法】复习梳理本章的主要知识点，及应注意的问题。

通过典型例题讲解和对应练习,使学生对本章知识达标。

【情感态度】主动参与、积极探索、合作交流，发挥学习中主人翁意识,感受成功的乐趣,激发学生的学习兴趣，培养学生的动手操作能力和解决问题的能力。

【教学重点】勾股定理及其逆定理，直角三角形的性质和判定，角平分线性质与判定在解决实际问题中的作用。

【教学难点】综合运用直角三角形相关知识解决问题。

一、知识框图,整体把握【教学说明】引导学生回顾本章知识点，展示结构框图，让学生对本章所学知识有个系统地把握.教学时,可以边回顾边建立结构图,逐步加深印象.二、释疑解惑，加深理解1.“斜边、直角边定理”是判定两个直角三角形全等所独有的,在运用该判定定理时,要注意全等的前提条件是两个直角三角形.2.本章的互逆定理：直角三角形的性质和判定定理,勾股定理及其逆定理，角平分线的性质定理及其逆定理等，注意它们之间的区别与联系。

3。

数形结合的思想：勾股定理体现了由形到数，而勾股定理的逆定理体现了由数到形.三、典例精析,复习新知例1 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，图中与∠A互余的角有（）A。

0个 B.1个C。

2个 D.3个【分析】由“直角三角形的两锐角互余"，可找出与∠A互余的角。

∵∠ACB=90°，CD是AB边上的高,∴∠A+∠B=90°，∠A+∠ACD=90°，∴与∠A互余的角2个,故选C。

例2 如图，一棵树在一次强台风中，从离地面5m处折断，倒下的部分与地面成30°角，如图所示,这棵树在折断前的高度是（）A.10m B。

课题：《直角三角形》教学目标1、掌握直角三角形的两个锐角互余关系；掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质；体验勾股定理的探索过程，掌握勾股定理，并会运用勾股定理解决简单问题；会判定一个三角形是直角三角形；会用HL 及其它方法判定两个直角三角形全等；了解到角的两边的距离相等的点在角的平分线上的性质。

2、复习梳理本章的主要知识点，及应注意的问题。

通过典型例题讲解和对应练习，使学生对本章知识达标。

3、主动参与、积极探索、合作交流，发挥学习中主人翁意识，感受成功的乐趣，激发学生的学习兴趣，培养学生的动手操作能力和解决问题的能力。

重点：体会勾股定理及其直角三角形的判定在解决实际问题中的作用。

难点：如何判定两个直角三角形全等。

教学过程：一、知识梳理（出示ppt 课件）1、阅读p27的三项内容。

3、直角三角形中30°角所对的边的大小性质及逆定理。

4.直角三角形勾股定理的内容： ∵△ABC 为直角三角形．∴a 2＋b 2＝c 2 . 三角形的三边之间满足怎样数量关系时，此三角形是直角三角形？ ∵a 2＋b 2＝c 2 .∴△ABC 为直角三角形．勾股定理逆定理也叫做直角三角形的判定定理。

5、直角三角形全等的判定方法：SAS 、ASA 、AAS 、SSS 、HL二、概念复习（出示ppt 课件）填一填1.在直角三角形中，两个锐角_____。

2、两条直角边相等的直角三角形叫做 。

它的两个底角相等，都等于 。

3.直角三角形斜边上的中线等于 _____ 。

4.直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于 。

5. 直角三角形_________的平方和等于_______的平方。

如果用字母a ，b 和c 分别表示直角三角形的两条直角边和斜边，那么_____+ _____=_____。

6.如果三角形中____的平方和等于 边的平方，那么这个三角形是直角三角形， 所对的角是直角。

7.有两条边对应相等的两个 三角形全等。

例题2：如图△ADC与△ABD为直角三角形，E 为AD的中点。

BE和CE相等吗？请说明理由。

变式1：如图，AB⊥BD于B ,E为AD的中点，BE=CE, AC与CD垂直吗？请说明理由。

变式2：如图，已知△ABG中，AB⊥BD于B，AC⊥CD于C ,E为AD的中点，点F是BC的中点, 那么EF垂直BC吗？请说明理由。

计算：如上图，已知△ABG中，AB⊥BD于B，AC⊥CD于C ,E为AD的中点，点F是BC的中点, BC=6，EF=4，求线段AD的长度。

师生合作完成、体现教师引导、学生主体，充分让学生参与展示、小组合作等。

设计变式题让学生积极思考，对于类型习题进行演练，培养学生的直观想象及推理能力。

通过逻辑推理、数据分析，培养学生的运算能力，解题能力。

四、巩固提高1、下列三数不能作为一个直角三角形三边长的
是（）
A 5、12、13
B 1、3、2
C 1、1、2
D 3、4、5
2、Rt△ABC中，两条边的长分别为6cm和8cm，
则第三边的长为
3、如图，在Ｒt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB
于D，AB=4, BC＝2，求线段CD的长度．
学生自主
完成
教师指导知识的综合
运用
此题一题多
解，培养学
生思维，激
E
B
A D
C
E
B
A D
C
G
F。

解直角三角形【学习目标】1．理解解直角三角形的概念及直角三角形中五个元素之间的关系．2．会综合运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形．3．渗透数形结合的数学思想，逐步培养分析问题、解决问题的能力． 【学习重点】会综合运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形．【学习难点】渗透数形结合的数学思想，逐步培养分析问题、解决问题的能力。

情景导入 生成问题回顾：1．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别记作a ，b ，c.(1)Rt △ABC 的三边之间有什么关系？a 2＋b 2＝c 2(勾股定理)(2)Rt △ABC 的锐角之间有什么关系？∠A ＋∠B＝90°(3)Rt △ABC 的边和锐角之间有什么关系？ sin A ＝∠A 的对边斜边＝a c ，cos A ＝∠A的邻边斜边＝b c ，tan A ＝∠A 的对边∠A的邻边＝a b. 2．根据下列每一组条件，画直角三角形．你能画出多少个不同的直角三角形？ 然后与同伴所画图形进行交流比较：(1)斜边长为4cm ，一条直角边长为3cm ；(1)个(2)一个锐角40°，它的邻边长为3cm ；(1)个 (3)一个锐角40°，它的对边长为3cm ；(1)个(4)一个锐角40°，斜边长为3cm ；(1)个(5)一个锐角为40°，另一个锐角为50°. (无数)个自学互研 生成能力知识模块一 解直角三角形的概念、已知一边及一锐角解直角三角形阅读教材P 121～P 122，完成下面的内容：通过以上的学习讨论，我们知道了“在直角三角形中，除直角外的5个元素(3条边和2个锐角)，只要知道其中的2个元素(至少有一个是边)，就可以求出其余的3个未知元素”．【例1】 已知在△ABC 中，∠C 为直角，∠A 、∠B、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ，a ＝36，∠A ＝30°，求∠B、b 、c.解：∠B＝90°－30°＝60°，b ＝a tan B ＝36×3＝92，c ＝a 2＋b 2＝（36）2＋（92）2＝54＋162＝216＝6 6.(另解：由于a c ＝sin A ，所以c ＝a sin A ＝3612＝66)． 归纳：在直角三角形中，利用已知元素求其余未知元素的过程叫作解直角三角形．【变例】 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝40°，AB ＝5.25，解这个三角形(长度精确到0.01)．解：∠B＝90°－∠A＝90°－40°＝50°.∵sin A ＝BC AB，∴BC ＝AB·sin A ＝5.25×sin 40°≈3.37. ∵cos A ＝AC AB，∴AC ＝AB·cos A ＝5.25×cos 40°≈4.02. 知识模块二 已知两边解直角三角形【例2】 已知在△ABC 中，∠C 为直角，∠A 、∠B、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ，a ＝6，b ＝23，求∠A、∠B、c.解：由于tan A ＝a b ，所以tan A ＝623＝3， 则∠A＝60°，∠B ＝90°－60°＝30°，且有c ＝2b ＝2×23＝4 3.【例3】 已知在△ABC 中，∠C 为直角，∠A 、∠B、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ，c ＝6－2，a ＝3－1，求∠A、∠B、b.解：由于a c ＝3－16－2＝sin A ， 所以sin A ＝3－16－2＝（3－1）（6＋2）（6－2）（6＋2）＝32－6＋6－24＝22， 由此可知，∠A＝45°，∠B ＝90°－45°＝45°，且有b ＝a ＝3－1.自学互研 生成能力1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自学互研”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上．并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一 解直角三角形的概念、已知一边及一锐角解直角三角形知识模块二 已知两边解直角三角形检测反馈 达成目标1．在直角三角形ABC 中，已知∠C＝90°，∠A ＝40°，BC ＝3，则AC ＝( D )A ．3sin 40°B ．3sin 50°C ．3tan 40°D ．3tan 50°2．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若a ＝6，∠B ＝30°，则c 和tan A 的值分别为( D ) A ．12，33 B ．12， 3C ．43，33 D ．22， 33．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，且∠A，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c.(1)已知c ＝6，∠A ＝60°，则a ＝，b ＝__3__；(2)已知a ＝4，∠B ＝45°，则b ＝__4__，c ＝；(3)已知a ＝10，b ＝103，则c ＝__20__，∠A ＝__30°__；(4)已知b ＝63，c ＝12，则a ＝__6__，∠B ＝__60°__．4．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝8，∠BAC 的平分线AD ＝1633，求∠B 的度数及边BC ，AB 的长．解：cos ∠CAD ＝CAAD ＝81633＝32，∴∠CAD ＝30°，∴∠BAC ＝60°，∴∠B ＝30°，tan B ＝AC BC ，∴33＝8BC ，∴BC ＝83，sin B ＝ACAB ，∴12＝8AB ，∴AB ＝16。

湘教版九年级上册数学导学案4.3解直角三角形【学习目标】1. 理解解直角三角形的概念，会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余和锐角三角函数解直角三角形. 2. 知道直角三角形中五个元素的关系.3. 通过解直角三角形，进一步培养学生的数形结合分析能力，提高其解决问题的能力. 重点难点重点：用锐角三角函数的知识解直角三角形.难点：根据已知元素和所要求的末知元素，选择恰当的方法求解. 【预习导学】自主预习教材P121—122完成下列问题：1、如图，在 Rt △ABC 中，∠Ｃ＝90°，∠A 、∠B 、∠Ｃ的对边分别记作a 、b 、c 。

(1) 直角三角形三条边的关系是：。

（2）直角三角形两个锐角的关系是：。

（3）直角三角形边和锐角的关系有： 、2、如上图，在 Rt △ABC 中，∠Ｃ＝90°，∠A 、∠B 、∠Ｃ的对边分别记作a 、b 、c 。

（1）若∠A=40°，b =3cm ，则∠B=，a= ， c=； （2）若∠A=40°，a =3cm ，则∠B=，b = ，c=； （3）若∠A=40°，c =3cm ，则∠B=，a= ， b =； （4）若a =3cm ，c =4cm ，则b =，∠A==，∠B = ； 【探究展示】 （一） 合作探究1.议一议：在一个直角三角形中，除直角外有5个元素（3条边、2个锐角），只要知道其中的几个元素就可以求出其余的元素？（1）给你一条边你能把剩余的元素都求出来吗？为什么？（2）给你一个锐角你能把剩余的元素都求出来吗？为什么？AB CbC a（3）给你两个角你能把剩余的元素都求出来吗？为什么？（4）给你两条边你能把剩余的元素都求出来吗？怎样求？请画出图形分类说明.（5）给你一条边和一个锐角你能把剩余的元素都求出来吗？怎样求？请画出图形分类说明，关键在哪里？通过上面的分析总结得出：在直角三角形中，除直角以外的5个元素（条边和个锐角），只要知道其中的2个元素（至少有一个是），利用上述关系式，就可以求出其余的3个未知元素.2. 如图，在Rt △ABC 中，∠Ｃ＝90°，∠A ＝30°，a=5，求∠B ，b ，c. （1）题目中已知哪些条件？还要求那些元素？ （2）学生独立思考，自己解决. （3）小组讨论一下各自的解题思路. 解：∠B ＝90°-=90°-= 又∵ tanB=∴ b=== ∵sinA=∴c===总结：像这样，把在直角三角形中利用已知元素求其余未知元素的过程叫作. （二）展示提升1.在 Rt △ABC 中，∠Ｃ＝90°，a=6cm,c=10cm,求b ，∠A ，∠B.2.如图，在Rt △ABC 中，∠Ｃ＝90°，cosA=，BC=5，试求AB 的长.AB CbC a。

解直角三角形教学目标【知识与技能】使学生理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形．【过程与方法】通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．【情感态度】渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯．【教学重点】直角三角形的解法．【教学难点】三角函数在解直角三角形中的灵活运用．教学过程一、情景导入，初步认知1.什么是锐角三角函数？2.你知道哪些特殊的锐角三角函数值？【教学说明】通过复习，使学生便于应用．二、思考探究，获取新知1．在三角形中共有几个元素？2．直角三角形ABC中，∠C=90°，a、b、c、∠A、∠B这五个元素间有哪些等量关系呢？(1)边、角之间的关系：sinA=∠A的对边/斜边 cosA=∠A的邻边/斜边tanA=∠A的对边/∠A的邻边(2)三边之间的关系：a2+b2=c2 (勾股定理)(3)锐角之间的关系：∠A+∠B=90°．3.做一做：在直角三角形ABC中，已知两边，你能求出这个直角三角形中其它的元素吗？4.做一做：在直角三角形ABC中，已知一角一边，你能求出这个直角三角形中其它的元素吗？5.想一想：在直角三角形ABC中，已知两角，你能求出这个直角三角形中其它的元素吗？6.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°∠B、b、c.解：∵∠B=90°-∠A=60°，又∵tanB=b/a，∴b=a·tanB=5·tan60°3∵sinA=a/c，∴c=a/sinA=5/sin30°=10.【归纳结论】像这样，在直角三角形中，利用已知元素求其余未知元素的过程，叫作解直角三角形.7.在解直角三角形中，两个已知元素中至少有一条边.【教学说明】我们已掌握Rt△ABC的边角关系、三边关系、角角关系，利用这些关系，在知道其中的两个元素(至少有一个是边)后，就可求出其余的元素．这样的导语既可以使学生大概了解解直角三角形的概念，同时又陷入思考，为什么两个已知元素中必有一条边呢？激发了学生的学习热情．三、运用新知，深化理解122例2 .△ABC中，∠C为直角，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，c＝ 83，∠A＝60°，求∠B、a、b．解：a＝csin60°＝83·3/2＝12，b＝ccos60°＝83·1/2＝43，∠B＝30°.△ABC中，∠C为直角，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，a＝36，∠A＝30°，求∠B、b、c.解：∠B＝90°－30°＝ 60°，b＝atanB＝36·3＝92，.△ABC中，∠C为直角，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，c＝6-2，a＝3－1 ，求∠A、∠B、 b.△ABC中，∠C为直角，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，a＝6，b＝3∠A、∠B、c.解：由于 tanA＝ab，所以则∠A＝60°，∠B＝90°－60°＝30°，且有c＝2b＝2×23＝43.6.在直角三角形ABC中，锐角A为30°，锐角B的平分线BD的长为8cm，求这个三角形的三条边的长．解：由已知可得△BCD 是含30°的直角三角形，所以CD＝1/2BD＝1/2× 8＝4 （cm），△ADB 是等腰三角形，所以AD＝BD＝8（cm），则有 AC＝8＋4＝12（cm），BC＝ACcot60°＝ 12×33=43（cm），AB＝(43)2+122=48+144=83(cm).7.如图，在三角形纸片ABC中，∠C=90°，AC=6，折叠该纸片，使点C落在AB边上的D点处，折痕BE与AC交于点E，若AD=BD，则折痕BE的长为多少？分析：先根据图形翻折变换的性质得出BC=BD，∠BDE=∠C=90°，再根据AD=BD可知AB=2BC，AE=BE，故∠A=30°，由锐角三角函数的定义可求出BC的长，设BE=x，则CE=6-x，在Rt△BCE中根据勾股定理即可得出BE的长.解：∵△BDE是由△BCE翻折而成，∴BC=BD，∠BDE=∠C=90°，∵AD=BD，∴AB=2BC，AE=BE，∴∠A=30°，在Rt△ABC中，∵AC=6，，设BE=x，则CE=6-x，在Rt△BCE中，∵3BE=x，CE=6-x，BE2=CE2+BC2,∴x2=（6-x）2+（32，解得x=4．即BE=4．【教学说明】解直角三角形是解实际应用题的基础，因此必须使学生熟练掌握．为此，教材配备了针对各种条件的练习，培养学生熟练解直角三角形和运算的能力．四、师生互动、课堂小结先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.课后作业布置作业:教材“习题”中第1、3、4 题.教学反思解直角三角形的方法很多，灵活多样，学生完全可以自己解决，但例题具有示X作用．因此，此题在处理时，首先，应让学生独立完成，培养其分析问题、解决问题能力，同时渗透数形结合的思想．其次，教师组织学生比较各种方法中哪些较好，选一种板演．第1课时俯角和仰角问题教学目标【知识与技能】比较熟练地应用解直角三角形的知识解决与仰角、俯角有关的实际问题.【过程与方法】通过学习进一步掌握解直角三角形的方法.【情感态度】培养学生把实际问题转化为数学问题的能力.【教学重点】应用解直角三角形的知识解决与仰角、俯角有关的实际问题.【教学难点】选用恰当的直角三角形，分析解题思路.一、情景导入，初步认知海中有一个小岛A，该岛四周10海里内有暗礁.今有货轮由西向东航行，开始在A岛南偏西55°的B处，往东行驶20海里后，到达该岛的南偏西25°的C处，之后，货轮继续往东航行，你认为货轮继续向东航行途中会有触礁的危险吗?你是如何想的?与同伴进行交流.【教学说明】经历探索船是否有触礁危险的过程，进一步体会三角函数在解决实际问题中的应用.二、思考探究，获取新知1.某探险者某天到达如图所示的点A处，他准备估算出离他的目的地——海拔为3500m 的山峰顶点B处的水平距离.你能帮他想出一个可行的办法吗？分析：如图，BD表示点B的海拔，AE表示点A的海拔，AC⊥BD,垂足为点C.先测量出海拔AE，再测出仰角∠BAC，然后用锐角三角函数的知识就可以求出A、B之间的水平距离AC.【归纳结论】当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫作仰角，在水平线下方的角叫作俯角．2.如图，在离上某某方明珠塔底部1000m的A处，用仪器测得塔顶的仰角为25°，仪器距地面高为.求上某某方明珠塔的高度.（结果精确到1m)解：在Rt△ABC中，∠BAC=25°，AC=1000m，因此tan25°=BC/AC=BC/1000∴BC=1000×tan25°≈466.3(m),∴上某某方明珠塔的高度（约）为466.3+1.7=468米.【教学说明】利用实际问题承载数学问题，提高了学生的学习兴趣.教师要帮助学生学会把实际问题转化为解直角三角形问题，从而解决问题.三、运用新知，深化理解1.如图，某飞机于空中A处探测到目标C，此时飞行高度AC=1200米，从飞机上看地平面控制点B的俯角α=16°31′，求飞机A到控制点B的距离.(精确到1米)分析：利用正弦可求.解：在Rt△ABC中sinB=AC/AB∴≈4221(米)答：飞机A到控制点B的距离约为4221米．2.热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30°，看这栋高楼底部的俯角为60°，热气球与高楼的水平距离为120 m.这栋高楼有多高(结果精确到)?解析：在Rt△ABD中，α=30°，AD=120.所以可以利用解直角三角形的知识求出BD;类似地可以求出CD，进而求出BC.解:如图,α=30°，β=60°,AD=120.答:这栋高楼约高.3.如图，在离树BC12米的A处，用测角仪测得树顶的仰角是30°，测角仪AD高为，求树高BC．(计算结果可保留根号)分析：本题是一个直角梯形的问题，可以通过过点D作DE⊥BC于E，把求CB的问题转化求BE的长，从而可以在△BDE中利用三角函数．解：过点D作DE⊥BC于E，则四边形DECA是矩形，∴DE=AC=12米．CE=AD=．在直角△BED中，∠BDE=30°，4.广场上有一个充满氢气的气球P，被广告条拽着悬在空中，甲乙二人分别站在E、F 处，他们看气球的仰角分别是30°、45°，E点与F点的高度差AB为1米，水平距离CD 为5米，FD的高度为，请问此气球有多高？(结果保留到)分析：由于气球的高度为PA+AB+FD，而AB=1米，FD=，故可设PA=h米，根据题意，列出关于h的方程可求解．解：设AP=h米，∵∠PFB=45°，∴BF=PB=（h+1）米，∴EA=BF+CD=h+1+5=（h+6）米，在Rt△PEA中，PA=AE·tan30°，∴h=（h+6）tan30°，∴气球的高度约为PA+AB+FD=8.2+1+0.5=．【教学说明】巩固所学知识.要求学生学会把实际问题转化成数学问题；根据题意思考题目中的每句话对应图中的哪个角或边，本题已知什么，求什么.四、师生互动、课堂小结先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.课后作业布置作业:教材“习题”中第2、4、5 题.教学反思本节课我们学习了有关仰角、俯角的解直角三角形的应用题，对于这些问题，一方面要把它们转化为解直角三角形的数学问题，另一方面，针对转化而来的数学问题应选用适当的数学知识加以解决.第2课时坡度和方位角问题教学目标【知识与技能】1.了解测量中坡度、坡角的概念；2.掌握坡度与坡角的关系，能利用解直角三角形的知识，解决与坡度、与弧长的有关实际问题.【过程与方法】通过对例题的学习，使学生能够利用所学知识解决实际问题.【情感态度】进一步培养学生把实际问题转化为数学问题的能力.【教学重点】能利用解直角三角形的知识，解决与坡度、与弧长有关的实际问题.【教学难点】能利用解直角三角形的知识，解决与坡度、与弧长的有关实际问题.教学过程一、情景导入，初步认知如图所示，斜坡AB和斜坡A1B1，哪一个倾斜程度比较大?显然，斜坡A1B1的倾斜程度比较大，说明∠A1＞∠A.即tanA1＞tanA.【教学说明】通过实际问题的引入，提高学生学习的兴趣.二、思考探究，获取新知1．坡度的概念，坡度与坡角的关系.如上图，这是一X水库拦水坝的横断面的设计图，坡面的铅垂高度与水平前进的距离的比叫作坡度(或坡比)，记作i，即i＝AC/BC，坡度通常用l∶m的形式，例如上图中的1∶2的形式.坡面与水平面的夹角叫作坡角，记作α.从三角函数的概念可以知道，坡度与坡角的关系是i＝tanB，显然，坡度越大，坡角越大，坡面就越陡.2.如图，一山坡的坡度为i＝1∶2,小刚从山脚A出发，沿山坡向上走了240米°，长度精确到）3.如图，一艘船以40km/h的速度向正东航行，在A处测得灯塔C在北偏东60°方向上，继续航行1h到达B处，这时测得灯塔C在北偏东30°方向上，已知在灯塔C的四周30km 内有暗礁.问这艘船继续向东航行是否安全？【教学说明】教师引导学生分析题目中的已知条件分别代表的是什么，将图形中的信息转化为图形中的已知条件，再分析图形求出问题.学生独立完成.三、运用新知，深化理解1.如图，在山坡上种树，要求株距(相邻两树间的水平距离)是，测得斜坡的倾斜角是24°，求斜坡上相邻两树的坡面距离是多少(精确到)．分析：引导学生将实际问题转化为数学问题画出图形．解：已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5.5，∠A=24°，求AB．在Rt△ABC中，cosA=AC/AB,∴≈6.0（米）答：斜坡上相邻两树间的坡面距离约是．2.同学们，如果你是修建三峡大坝的工程师，现在有这样一个问题请你解决：如图水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高23m，斜坡AB的坡度i=1∶3，斜坡CD的坡度i=1∶2.5，求斜坡AB的坡面角α，坝底宽AD和斜坡AB的长(精确到)．解：作BE⊥AD，CF⊥AD，在Rt△ABE和Rt△CDF中，BE/AE=1/3,CF/FD=1/2.5∴AE=3BE=3×23=69(m)．×23=57.5(m)．∴AD=AE+EF+FD=69+6+57.5=132.5(m)．因为斜坡AB的坡度i＝tanα＝1/3≈0.3333，所以α≈18°26′.∵BE/AB=sinα，∴AB=BE/sinα≈72.7（m）.答：斜坡AB的坡角α约为18°26′，坝底宽AD为，斜坡AB的长约为．3.庞亮和李强相约周六去登山，庞亮从北坡山脚C处出发，以24米/分钟的速度攀登，同时，李强从南坡山脚B处出发．如图，已知小山北坡的坡度i=1∶3，山坡长为240米，南坡的坡角是45°．问李强以什么速度攀登才能和庞亮同时到达山顶A？（将山路AB、AC 看成线段，结果保留根号）解：过点A作AD⊥BC于点D，答：李强以2/分钟的速度攀登才能和庞亮同时到达山顶A．4.某公园有一滑梯，横截面如图所示，AB表示楼梯，BC表示平台，CD表示滑道．若点E，F均在线段AD上，四边形BCEF是矩形，且sin∠BAF=2/3，BF=3米，BC=1米，CD=6米．求：(1) ∠D的度数；(2)线段AE的长．解：（1）∵四边形BCEF是矩形，∴∠BFE=∠CEF=90°，CE=BF，BC=FE，∴∠BFA=∠CED=90°，∵CE=BF，BF=3米，∴CE=3米，∵CD=6米，∠CED=90°，∴∠D=30°.（2）∵sin∠BAF=2/3，∴BFAB=2/3，∵BF=3米，∴AB=92米，.°°方向，求此时海检船所在B处与城市P的距离.°≈°≈°≈°≈125)分析：过点P作PC⊥AB，构造直角三角形，设PC=x海里，用含有x的式子表示AC，BC 的值，从而求出x的值，再根据三角函数值求出BP的值即可解答．解：过点P作PC⊥AB，垂足为C，设PC=x海里.在Rt△APC中，∵tanA=PCAC，∴°=5x/12在Rt△PCB中，∵tanB=PC/BC，∴°=4x/3∵从上午9时到下午2时要经过五个小时,∴AC+BC=AB=21×5，∴5x/12+4x/3=21×5，解得x=60.∵sin∠B=PC/PB，∴°=60×5/3=100（海里）∴海检船所在B处与城市P的距离为100海里．【教学说明】通过练习，巩固本节课所学内容.四、师生互动、课堂小结先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.课后作业布置作业:教材“习题”中第1、6、7 题.教学反思通过本节课的学习，使学生知道坡度、坡角的概念，能利用解直角三角形的知识解决与坡度、坡角有关的实际问题，特别是与梯形有关的实际问题，懂得通过添加辅助线把梯形问题转化为直角三角形来解决.。