二项分布、超几何分布、正态分布总结归纳及练习

高考总复习2025第7节 二项分布、超几何分布、正态分布课标解读1.理解伯努利试验,掌握二项分布及其数字特征,并能解决简单的实际问题.2.理解超几何分布及其均值,并能解决简单的实际问题.3.理解服从正态分布的随机变量,借助频率直方图的几何直观,理解正态分布的特征.4.理解正态分布的均值、方差及其含义.1 强基础 固本增分知识梳理伯努利试验 1.n 重伯努利试验与二项分布(1)n 重伯努利试验一个可能结果只有两种的随机试验,称为 .一般地,在相同条件下重复做n 次伯努利试验,且各次试验相互独立,那么称这样的试验为n 重伯努利试验.(2)二项分布(3)两点分布与二项分布的均值、方差如果随机变量X 服从两点分布,那么E(X)= ,D(X)= . 如果X~B(n,p),那么E(X)= ,D(X)= . X~B (n ,p )p p (1-p ) np np (1-p ) 微点拨判断一个随机变量是否服从二项分布的两个关键点:(1)在一次试验中,事件A 发生与不发生,二者必居其一,且A 发生的概率不变;(2)试验可以独立重复进行n 次.2.超几何分布一般地,设有N件产品,其中有M件次品.从中任取n件产品,用X表示取出的n 件产品中次品的件数,那么其中M≤N,n≤N,m=max{0,n-(N-M)},r=m in{n,M},n,M,N∈N+.公式中的k可以取的最小值为max{0,n-(N-M)},而不一定是0.若随机变量X的分布列具有(*)式的形式,则称分布列为超几何分布列.如果随机变量X的分布列为超几何分布列,就称X服从超几何分布,记作X~H(N,M,n).微点拨超几何分布与二项分布的关系不同点联系假设一批产品共有N件,其中有M件次品.从N件产品中随机抽取n件,用X表示抽取的n件产品中的次品数,若采用有放回抽样的方法抽取,则随机变量X服从二项分布,即X~B(n,p)(其中p= );若采用不放回抽样的方法抽取,则随机变量X服从超几何分布二项分布和超几何分布都可以描述随机抽取n件产品中次品的分布规律,并且二者的均值相同.对于不放回抽样,当n 远远小于N时,每抽取一次后,对N的影响很小,此时,超几何分布可以用二项分布近似3.正态分布(1)正态曲线函数p(x)= (-∞<x<+∞),其中μ和σ为参数,且μ∈R,σ>0,p(x)称为概率密度函数,称它的图象为正态分布密度曲线,简称正态曲线. (2)正态分布密度曲线特点图1 图2①曲线位于x轴上方,与x轴不相交;②曲线是单峰的,它关于直线x=μ对称;④当σ一定时,曲线随着μ的变化而沿x轴平移;⑤σ越大,正态曲线越扁平,σ越小,正态曲线越尖陡;⑥曲线与x轴之间所夹区域的面积等于1.(3)标准正态分布均值μ=0,方差σ2=1时的正态分布称为标准正态分布,其密度函数记为φ(x)= (-∞<x<+∞),其图象如图所示,随机变量X服从标准正态分布,简记为X~N(0,1).(4)3σ原则假设X~N(μ,σ2),可以证明:对给定的k∈N+,P(μ-kσ≤X≤μ+kσ)是一个只与k 有关的定值.特别地,①P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7.②P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5.③P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997 3.常用结论自主诊断题组一思考辨析(判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”)1.二项分布是一个概率分布,其概率计算公式相当于(a +b )n 二项展开式的通项,其中a =p ,b =1-p .( )2.从4名男演员和3名女演员中选出4名,其中女演员的人数X 服从超几何分布.( )3.两点分布是二项分布当n =1时的特殊情况.( )4.正态曲线落在区间(μ-3σ,μ+3σ)之外的部分对应事件的概率很小,接近于0.( )× √ √ √题组二回源教材5.(湘教版选择性必修第二册习题3.3第5题改编)已知某批材料的材料强度X服从正态分布N(200,182),现从中任取一件,则取得的材料的强度不低于B182但又不高于218的概率为( )(参考数据:P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997 3)A.0.997 3B.0.682 7C.0.841 3D.0.815 9解析由题意,这批材料的材料强度X服从正态分布N(200,182),得μ=200,σ=18,所以P(182≤X≤218)=P(200-18≤X≤200+18)≈0.682 7,故选B.6.(湘教版选择性必修第二册3.2.2节第138页练习第2题改编)某车间有10台同类型的机床,每台机床配备的电动机功率为10 k W,已知每台机床工作时,平均每小时实际开动12 m in,且开动与否是相互独立的.现因当地电力供应紧张,供电部门只提供50 k W的电力,机床能够正常工作的概率为多大?在一个工作班8 h内,不能正常工作的时间大约是多少?这说明了什么?解设10台机床中实际开动的机床数为随机变量ξ,由于机床类型相同,且机床的开动与否相互独立,因此ξ~B(10,p).其中p是每台机床正常工作的概7.(湘教版选择性必修第二册3.2.2节第140页练习第2题)设在15个同类型的零件中有2个次品,每次任取1个零件,共取3次,用X表示取出的3个零件中次品的个数.(1)若每次取出后不放回,求X的分布列;(2)若每次取出后重新放回,求X的分布列.解(1)若每次取出后不放回,则随机变量X服从参数为N=15,M=2,n=3的超故X的分布列为题组三连线高考8.(2022·新高考Ⅱ,13)随机变量X服从正态分布N(2,σ2),若P(2<X≤2.5)=0.36,0.14　则P(X>2.5)= .解析由题意可知,P(X>2)=0.5,故P(X>2.5)=P(X>2)-P(2<X≤2.5)=0.14.9.(2006·重庆,理18)某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第18,19,20层停靠.若该电梯在底层载有5位乘客,且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均为 ,用ξ表示这5位乘客在第20层下电梯的人数,求:(1)随机变量ξ的分布列;(2)随机变量ξ的均值.由此可得ξ的分布列为2 研考点 精准突破考点一 二项分布及其应用例1已知某学校的校排球队来自高一、高二、高三三个年级的学生人数分别为7人、6人、2人.(1)若从该校排球队随机抽取3人拍宣传海报,求抽取的3人中恰有1人来自高三年级的概率;(2)现该校的排球教练对“发球、垫球、扣球”这3个动作技术进行训练,且在训练阶段进行了多轮测试,规定:在一轮测试中,这3个动作至少有2个动作达到“优秀”,则该轮测试记为“优秀”.已知在某一轮测试的3个动作中,甲解(1)设A表示事件“抽取的3人中恰有1人来自高三年级”,则有[对点训练1](2024·安徽蚌埠模拟)某地有一家知名蛋糕房根据以往某种蛋糕在100天里的销售记录,绘制了以下频数分布表:日销售量(单位:个)[0,50)[50,100)[100,150)[150,200)[200,250)频数1525302010将日销售量落入各组的频率视为概率,并假设每天的销售量相互独立. (1)求在未来连续3天里,有连续2天的日销售量都不低于100个且另一天的日销售量低于50个的概率;(2)用ξ表示在未来3天里日销售量不低于150个的天数,求随机变量ξ的分布列、均值E(ξ)和方差D(ξ).续2天的日销售量都不低于100个且另一天的日销售量低于50个”,则P(A)=0.62×0.15+0.15×0.62=0.108.ξ的分布列为ξ0123P0.3430.4410.1890.027 E(ξ)=3×0.3=0.9,D(ξ)=3×0.3×(1-0.3)=0.63.考点二 超几何分布及其应用例2(2024·青海西宁模拟)某机构针对延迟退休这一想法进行了网上调查,所有参与调查的人中,持“支持”“保留”和“不支持”态度的人数如下表所示.年龄支持保留不支持50岁以下8 000 4 000 2 00050岁及以上 1 000 2 000 3 000 (1)在所有参与调查的人中,用分层抽样的方法抽取n个人,已知从持“不支持”态度的人中抽取了30人,求n的值;(2)在持“不支持”态度的人中,用分层抽样的方法抽取10人,并将这10人看成一个总体,从这10人中任意选取3人,求50岁以下人数ξ的分布列和数学期望.解(1)参与调查的总人数为8 000+4 000+2 000+1 000+2 000+3 000=20 000,其中从持“不支持”态度的人数2 000+3 000=5 000中抽取了30人,所以n=20 000 =120.(2)在持“不支持”态度的人中,50岁以下和50岁及以上的人数之比为2∶3,因此抽取的10人中,50岁以下与50岁及以上的人数分别为4人,6人,故ξ的ξ的分布列为[对点训练2](2024·河南洛阳模拟)某校为了调查网课期间学生在家锻炼身体的情况,随机抽查了150名学生,并统计出他们在家的锻炼时长,得到频率分布直方图如图所示.(1)求a的值,并估计锻炼时长的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值代替);(2)从锻炼时长分布在[20,30),[30,40),[40,50),[50,60]的学生中按分层抽样的方法抽出7名学生,再从这7名学生中随机抽出3人,记3人中锻炼时长不少于40分钟的学生人数为X,求X的分布列和数学期望.解(1)由题意可得(0.006+0.010+2a+0.024+0.036)×10=1,解得a=0.012,样本数据在[0,10),[10,20),[20,30),[30,40),[40,50),[50,60]内的频率分别为0.06,0.10,0.12,0.36,0.24,0.12,则平均值为0.06×5+0.10×15+0.12×25+0.36×35+0.24×45+0.12×55=34.8,故估计锻炼时长的平均数为34.8.所以X的分布列为考点三 正态分布及其应用(多考向探究预测)考向1正态分布的概率计算例3(1)已知X服从正态分布N(2,σ2),且P(1≤X≤2)=0.4,则P(X>3)= . 0.1解析由题知μ=2,故P(X≥2)=0.5,又P(2≤X≤3)=P(1≤X≤2)=0.4,故P(X>3)=P(X≥2)-P(2≤X≤3)=0.5-0.4=0.1.(2)(2024·云南昆明模拟)某校高三年级近期进行一次数学考试,参加考试的学生人数有1 000人,考试成绩X~N(80,25),则该年级学生中数学成绩在90分23以上的人数约为 .(运算结果四舍五入到整数)(参考数据:P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7,P(μ+2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5)解析由成绩X~N(80,25)知,μ=80,σ=5,μ-σ=75,μ+σ=85,μ-2σ=70,μ+2σ=90,所以P(75≤X≤85)≈0.682 7,P(70≤X≤90)≈0.954 5,所以P(X>90) (1-0.954 5) =0.022 75,则该年级学生中数学考试成绩在90分以上的人数为1 000×0.022 75≈23.[对点训练3](多选题)(2024·安徽安庆模拟)某中学高一(2)班物理课外兴趣小组在最近一次课外探究学习活动中,测量某种物体的质量X服从正态分ABD　布N(10,0.04),则下列判断正确的是( )A.P(X>10)=0.5B.P(X>10.2)=P(X<9.8)C.P(X>9.6)<P(X<10.2)D.P(9.4<X<10.2)=P(9.8<X<10.6)解析因为X服从正态分布N(10,0.04),所以μ=10,σ=0.2,所以P(X>10)=P(X<10)=0.5,P(X>10.2)=P(X<9.8),P(9.4<X<10.2)=P(9.8<X<10.6),故A,B,D正确;根据正态分布密度曲线的对称性可得P(X>9.6)=P(X<10.4)>P(X<10.2),C 错误.故选ABD.考向2正态分布的实际应用例4(2024·广东省六校联考)某商场在五一假期期间开展了一项有奖闯关活动,并对每一关根据难度进行赋分,闯关活动共五关,规定:上一关不通过则不进入下一关,本关第一次未通过有再挑战一次的机会,两次均未通过,则闯关失败,且各关能否通过相互独立,已知甲、乙、丙三人都参加了该项闯关活动.(2)已知该闯关活动累计得分服从正态分布,且满分为450分,现要根据得分给2 500名参加者中得分前400名发放奖励.①假设该闯关活动平均分数为171分,351分以上共有57人,已知甲的得分为270分,问甲能否获得奖励,请说明理由;②丙得知他的分数为430分,而乙告诉丙:“这次闯关活动平均分数为201分,351分以上共有57人”,请结合统计学知识帮助丙辨别乙所说信息的真伪.附:若随机变量Z~N(μ,σ2),则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7;P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5;P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997 3.解(1)设A i表示事件“第i次通过第一关”,B i表示事件“第i次通过第二关”,甲可以进入第三关的概率为P,由题意知(2)设此次闯关活动的分数记为X~N(μ,σ2).[对点训练4]为了监控某种零件的一条生产线的生产过程,检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件,并测量其尺寸(单位:cm).根据长期生产经验,可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N(μ,σ2).(1)假设生产状态正常,记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在[μ-3σ, μ+3σ]之外的零件数,求P(X≥1)及X的数学期望;(2)一天内抽检零件中,如果出现了尺寸在[μ-3σ,μ+3σ]之外的零件,就认为这条生产线在这一天的生产过程中可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查.①试说明上述监控生产过程方法的合理性;②下面是检验员在一天内从该生产线上抽取的16个零件的尺寸:9.95　10.12　9.96　9.96　10.01　9.92　9.98　10.0410.26　9.91　10.13　10.02　9.22　10.04　10.05　9.95。

§10.6二项分布、超几何分布与正态分布课标要求1.理解二项分布、超几何分布的概念，能解决一些简单的实际问题.2.借助正态曲线了解正态分布的概念，并进行简单应用．知识梳理1．二项分布(1)伯努利试验只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验；将一个伯努利试验独立地重复进行n 次所组成的随机试验称为n 重伯努利试验．(2)二项分布一般地，在n 重伯努利试验中，设每次试验中事件A 发生的概率为p (0<p <1)，用X 表示事件A 发生的次数，则X 的分布列为P (X ＝k )＝C k n p k (1－p )n －k ，k ＝0,1,2，…，n .如果随机变量X 的分布列具有上式的形式，则称随机变量X 服从二项分布，记作X ～B (n ，p )．(3)两点分布与二项分布的均值、方差①若随机变量X 服从两点分布，则E (X )＝p ，D (X )＝p (1－p )．②若X ～B (n ，p )，则E (X )＝np ，D (X )＝np (1－p )．2．超几何分布一般地，假设一批产品共有N 件，其中有M 件次品．从N 件产品中随机抽取n 件(不放回)，用X 表示抽取的n 件产品中的次品数，则X 的分布列为P (X ＝k )＝C k M C n －kN －MC n N，k ＝m ，m ＋1，m ＋2，…，r ，其中n ，N ，M ∈N *，M ≤N ，n ≤N ，m ＝max{0，n －N ＋M }，r ＝min{n ，M }．如果随机变量X 的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X 服从超几何分布．3．正态分布(1)定义若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)22()2xμσ--，x∈R，其中μ∈R，σ>0为参数，则称随机变量X服从正态分布，记为X～N(μ，σ2)．(2)正态曲线的特点①曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；②曲线在x＝μ处达到峰值1σ2π；③当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴．(3)3σ原则①P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827；②P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545；③P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973.(4)正态分布的均值与方差若X～N(μ，σ2)，则E(X)＝μ，D(X)＝σ2.常用结论1．“二项分布”与“超几何分布”的区别：有放回抽取问题对应二项分布，不放回抽取问题对应超几何分布，当总体容量很大时，超几何分布可近似为二项分布来处理．2．超几何分布有时也记为X～H(n，M，N)，其均值E(X)＝nMN，方差D(X)自主诊断1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)(1)两点分布是二项分布当n＝1时的特殊情形．(√)(2)若X表示n次重复抛掷1枚骰子出现点数是3的倍数的次数，则X服从二项分布．(√)(3)从装有3个红球、3个白球的盒中有放回地任取一个球，连取3次，则取到红球的个数X 服从超几何分布．(×)(4)当μ取定值时，正态曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“矮胖”．(×)2．如果某一批玉米种子中，每粒发芽的概率均为23，那么播下5粒这样的种子，恰有2粒不发芽的概率是()A.80 243B.8081C.163243D.163729答案A解析用X 表示发芽的粒数，则X ～P (X ＝3)＝C 35＝80243，故播下5粒这样的种子，恰有2粒不发芽的概率为80243.3．某班有48名同学，一次考试后的数学成绩服从正态分布N (80,102)，则理论上在80分到90分的人数约是()A ．32B ．16C ．8D ．20答案B解析因为数学成绩近似地服从正态分布N (80,102)，所以P (|x －80|≤10)≈0.6827.根据正态密度曲线的对称性可知，位于80分到90分之间的概率是位于70分到90分之间的概率的一半，所以理论上在80分到90分的人数是12×0.6827×48≈16.4．(选择性必修第三册P78例4改编)在含有3件次品的10件产品中，任取4件，X 表示取到的次品的个数，则P (X ＝1)＝________.答案12解析由题意得P (X ＝1)＝C 13C 37C 410＝12.题型一二项分布例1(2023·广东大湾区联考)某工厂车间有6台相同型号的机器，各台机器相互独立工作，工作时发生故障的概率都是14，且一台机器的故障能由一个维修工处理．已知此厂共有甲、乙、丙3名维修工，现有两种配备方案，方案一：由甲、乙、丙三人维护，每人负责2台机器；方案二：由甲、乙两人共同维护6台机器．(1)对于方案一，设X 为甲维护的机器同一时刻发生故障的台数，求X 的分布列与均值E (X )；(2)在两种方案下，分别计算机器发生故障时不能得到及时维修的概率，并以此为依据来判断，哪种方案能使工厂的生产效率更高？解(1)由题意可知，X ～则P (X ＝0)＝916，P (X ＝1)＝C 12×14×34＝38，P (X ＝2)＝116，所以随机变量X 的分布列为X 012P91638116所以E (X )＝2×14＝12.(2)对于方案一：“机器发生故障时不能及时维修”等价于“甲、乙、丙三人中，至少有一人负责的2台机器同时发生故障”，考查反面处理这个问题．其概率为P 1＝1－[1－P (X ＝2)]3＝1＝7214096.对于方案二：机器发生故障时不能及时维修的概率为P 2＝1－C 16·14－C 26＝1－36＋6×35＋15×344096＝3472048，所以P 2<P 1，即方案二能让故障机器更大概率得到及时维修，使得工厂的生产效率更高．思维升华二项分布问题的解题关键(1)定型：①在每一次试验中，事件发生的概率相同．②各次试验中的事件是相互独立的．③在每一次试验中，试验的结果只有两个，即发生与不发生．(2)定参：确定二项分布中的两个参数n 和p ，即试验发生的次数和试验中事件发生的概率．跟踪训练1(2023·太原模拟)第22届世界杯足球赛在卡塔尔举办，各地中学掀起足球热．甲、乙两名同学进行足球点球比赛，每人点球3次，射进点球一次得50分，否则得0分．已知甲每次射进点球的概率为23，且每次是否射进点球互不影响；乙第一次射进点球的概率为23，从第二次点球开始，受心理因素影响，若前一次射进点球，则下一次射进点球的概率为34，若前一次没有射进点球，则下一次射进点球的概率为12.(1)设甲3次点球的总得分为X ，求X 的分布列和均值；(2)求乙总得分为100分的概率．解(1)设甲3次点球射进的次数为Y ，则Y ～Y 的可能取值为0,1,2,3，且X ＝50Y ，则X 的所有可能的取值为0,50,100,150.P (X ＝0)＝P (Y ＝0)＝127，P (X ＝50)＝P (Y ＝1)＝C ＝29，P (X ＝100)＝P (Y ＝2)＝C ＝49，P (X ＝150)＝P (Y ＝3)＝827，所以X 的分布列为X 050100150P1272949827E (X )＝0×127＋50×29＋100×49＋150×827＝100，(或E (X )＝E (50Y )＝50E (Y )＝50×3×23＝100)．(2)设“乙第i 次射进点球”为事件A i (i ＝1,2,3)，则乙总得分为100分的事件为B ＝A 1A 2A 3＋A 1A 2A 3＋A 1A 2A 3.因为A 1A 2A 3，A 1A 2A 3，A 1A 2A 3互斥，所以P (B )＝P (A 1A 2A 3＋A 1A 2A 3＋A 1A 2A 3)＝23×34×＋23××12＋×12×34＝13，故乙总得分为100分的概率为13.题型二超几何分布例2(2023·宿州质检)宿州号称“中国云都”，拥有华东最大的云计算数据中心、CG 动画集群渲染基地，是继北京、上海、合肥、济南之后的全国第5家量子通信节点城市．为了统计智算中心的算力，现从全市n 个大型机房和6个小型机房中随机抽取若干机房进行算力分析，若一次抽取2个机房，全是小型机房的概率为13.(1)求n 的值；(2)若一次抽取3个机房，假设抽取的小型机房的个数为X ，求X 的分布列和均值．解(1)由题知，共有(n＋6)个机房，抽取2个机房有C2n＋6种方法，其中全是小机房有C26种方法，因此全是小机房的概率P＝C26C2n＋6＝1 3，解得n＝4.即n的值为4.(2)X的可能取值为0,1,2,3.P(X＝0)＝C06C34C310＝4120＝130，P(X＝1)＝C16C24C310＝36120＝310，P(X＝2)＝C26C14C310＝60120＝12，P(X＝3)＝C36C04C310＝20 120＝16.则随机变量X的分布列为X0123P 1303101216则E(X)＝0×130＋1×310＋2×12＋3×16＝95.思维升华(1)超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数．超几何分布的特征是：①考察对象分两类；②已知各类对象的个数；③从中抽取若干个个体，考查某类个体数X的分布列．(2)超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其本质是古典概型．跟踪训练2(2024·安庆模拟)乡村民宿立足农村，契合了现代人远离喧嚣、亲近自然、寻味乡愁的美好追求．某镇在旅游旺季前夕，为了解各乡村的普通型民宿和品质型民宿的品质，随机抽取了8家规模较大的乡村民宿，统计得到各家的房间数如下表：民宿点甲乙丙丁戊己庚辛普通型民宿16812141318920品质型民宿6164101110912(1)从这8家中随机抽取3家，在抽取的这3家的普通型民宿的房间均不低于10间的条件下，求这3家的品质型民宿的房间均不低于10间的概率；(2)从这8家中随机抽取4家，记X为抽取的这4家中普通型民宿的房间不低于15间的家数，求X的分布列和均值．解(1)由题可知这8家乡村民宿中普通型民宿的房间不低于10间的有6家，品质型民宿和普通型民宿的房间均不低于10间的有4家．记“这3家的普通型民宿的房间均不低于10间”为事件A ，“这3家的品质型民宿的房间均不低于10间”为事件B ，则P (A )＝C 36C 38＝514，P (AB )＝C 34C 38＝114，所以P (B |A )＝P (AB )P (A )＝15.(2)这8家乡村民宿中普通型民宿的房间不低于15间的有3家，故X 的所有可能取值为0,1,2,3.P (X ＝0)＝C 03C 45C 48＝570＝114，P (X ＝1)＝C 13C 35C 48＝3070＝37，P (X ＝2)＝C 23C 25C 48＝3070＝37，P (X ＝3)＝C 33C 15C 48＝570＝114，所以X 的分布列为X 0123P1143737114所以E (X )＝0×114＋1×37＋2×37＋3×114＝32.题型三正态分布例3(1)(2023·烟台模拟)新能源汽车具有零排放、噪声小、能源利用率高等特点，近年来备受青睐．某新能源汽车制造企业为调查其旗下A 型号新能源汽车的耗电量(单位：kW·h/100km)情况，随机调查得到了1200个样本，据统计该型号新能源汽车的耗电量ξ～N (13，σ2)，若P (12<ξ<14)＝0.7，则样本中耗电量不小于14kW·h/100km 的汽车大约有()A ．180辆B ．360辆C ．600辆D ．840辆答案A解析因为ξ～N (13，σ2)，且P (12<ξ<14)＝0.7，所以P (ξ≥14)＝12×[1－P (12<ξ<14)]＝12×(1－0.7)＝0.15，所以样本中耗电量不小于14kW·h/100km 的汽车大约有1200×0.15＝180(辆)．(2)(2023·长沙市明德中学模拟)李明上学有时坐公交车，有时骑自行车．他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，通过统计相关数据后，发现坐公交车用时X 和骑自行车用时Y都近似服从正态分布．绘制了概率分布密度曲线，如图所示，则下列哪种情况下，应选择骑自行车()A．有26min可用B．有30min可用C．有34min可用D．有38min可用答案D解析由题意，应选择在给定时间内不迟到的概率大的交通工具．根据X和Y的分布密度曲线图可知，P(X≤26)>P(Y≤26)，P(X≤30)>P(Y≤30)，P(X≤34)>P(Y≤34)，P(X≤38)<P(Y≤38)．所以如果有38min可用，那么骑自行车不迟到的概率大，应选择骑自行车．思维升华解决正态分布问题的三个关键点(1)对称轴为x＝μ.(2)标准差为σ.(3)分布区间．利用对称性可求指定范围内的概率值；由μ，σ，分布区间的特征进行转化，使分布区间转化为3σ特殊区间，从而求出所求概率．注意只有在标准正态分布下对称轴才为x＝0.跟踪训练3(1)(2024·佛山模拟)佛山被誉为“南国陶都”，拥有上千年的制陶史，佛山瓷砖享誉海内外．某企业瓷砖生产线上生产的瓷砖某项指标X～N(800，σ2)，且P(X<801)＝0.6，现从该生产线上随机抽取10片瓷砖，记Y表示800≤X<801的瓷砖片数，则E(Y)＝________.答案1解析因为X～N(800，σ2)，均值μ＝800，且P(X<801)＝0.6，所以P(800≤X<801)＝P(X<801)－P(X<800)＝0.6－0.5＝0.1，由题可得Y～B(10,0.1)，所以E(Y)＝10×0.1＝1.(2)(2023·唐山模拟)某种食盐的袋装质量X服从正态分布N(400,16)，随机抽取10000袋，则袋装质量在区间(396,408]的约有________袋．(质量单位：g)附：若随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973.答案8186解析由题意知，X～N(400,42)，所以P(396≤X≤404)≈0.6827，P(392≤X≤408)≈0.9545，得P (396<X ≤408)＝P (392≤X ≤408)－P (392≤X ≤396)＝P (392≤X ≤408)－12[P (392≤X ≤408)－P (396≤X ≤404)]≈0.9545－12×(0.9545－0.6827)＝0.8186，所以袋装质量在区间(396,408]的约有10000×0.8186＝8186(袋)．课时精练一、单项选择题1．设随机变量X ～B (2，p )，Y ～B (4，p )，若P (X ＝0)＝49，则D (Y )等于()A.23B.43C.49D.89答案D解析因为随机变量X ～B (2，p )，所以P (X ＝0)＝C 02(1－p )2＝49，解得p ＝13或p ＝53(舍去)，所以Y ～所以D (Y )＝4×13×＝89.2．(2023·福建名校联盟大联考)甲、乙两选手进行羽毛球单打比赛，如果每局比赛甲获胜的概率为23，乙获胜的概率为13，采用三局两胜制，则甲以2∶1获胜的概率为()A.827B.427C.49D.29答案A解析甲以2∶1获胜指前两局甲胜一局，第三局甲胜，则概率为C 12×13×＝827.3．(2023·枣庄模拟)某地区有20000名考生参加了高三第二次调研考试．经过数据分析，数学成绩X 近似服从正态分布N (72,82)，则数学成绩位于(80,88]的人数约为()参考数据：P (μ－σ≤X ≤μ＋σ)≈0.6827，P (μ－2σ≤X ≤μ＋2σ)≈0.9545，P (μ－3σ≤X ≤μ＋3σ)≈0.9973.A ．455B ．2718C ．6346D ．9545答案B解析由题意可知，μ＝72，σ＝8，P (80<X ≤88)＝P (μ＋σ<X ≤μ＋2σ)＝12[P (μ－2σ≤X ≤μ＋2σ)－P (μ－σ≤X ≤μ＋σ)]≈12×(0.9545－0.6827)＝0.1359，则数学成绩位于(80,88]的人数约为0.1359×20000＝2718.4．已知5件产品中有2件次品，3件正品，检验员从中随机抽取2件进行检测，记取到的正品数为ξ，则均值E (ξ)为()A.45B.910C ．1D.65答案D解析ξ的所有可能取值为0,1,2，则P (ξ＝0)＝C 22C 25＝110，P (ξ＝1)＝C 12C 13C 25＝35，P (ξ＝2)＝C 23C 25＝310，则E (ξ)＝0×110＋1×35＋2×310＝65.5．32名业余棋手组队与甲、乙2名专业棋手进行车轮挑战赛，每名业余棋手随机选择一名专业棋手进行一盘比赛，每盘比赛结果相互独立，若获胜的业余棋手人数不少于10名，则业余棋手队获胜．已知每名业余棋手与甲比赛获胜的概率均为13，每名业余棋手与乙比赛获胜的概率均为14，若业余棋手队获胜，则选择与甲进行比赛的业余棋手人数至少为()A ．24B ．25C ．26D ．27答案A解析设选择与甲进行比赛且获胜的业余棋手人数为X ，选择与乙进行比赛且获胜的业余棋手人数为Y ；设选择与甲进行比赛的业余棋手人数为n ，则选择与乙进行比赛的业余棋手人数为32－n .X 所有可能的取值为0,1,2，…，n ，则X ～E (X )＝n3；Y 所有可能的取值为0,1,2，…，32－n ，则Y ～－n E (Y )＝32－n4，所以获胜的业余棋手总人数的均值E (X ＋Y )＝E (X )＋E (Y )＝n 3＋32－n 4＝n ＋9612≥10，解得n ≥24.6．(2024·赤峰模拟)某商场推出一种抽奖活动：盒子中装有有奖券和无奖券共10张券，客户从中任意抽取2张，若至少抽中1张有奖券，则该客户中奖，否则不中奖．客户甲每天都参加1次抽奖活动，一个月(30天)下来，发现自己共中奖11次，根据这个结果，估计盒子中的有奖券有()A ．1张B ．2张C ．3张D ．4张答案B解析设中奖的概率为p ,30天中奖的天数为X ，则X ～B (30，p )．若盒子中的有奖券有1张，则中奖的概率p ＝C 19C 210＝15，E (X )＝30×15＝6，若盒子中的有奖券有2张，则中奖的概率p ＝C 18C 12＋C 22C 210＝1745，E (X )＝30×1745＝343，若盒子中的有奖券有3张，则中奖的概率p ＝C 17C 13＋C 23C 210＝815，E (X )＝30×815＝16，若盒子中的有奖券有4张，则中奖的概率p ＝C 16C 14＋C 24C 210＝23，E (X )＝30×23＝20，根据题意盒子中的有奖券有2张，更有可能30天中奖11天．二、多项选择题7．(2023·莆田模拟)“50米跑”是《国家学生体质健康标准》测试项目中的一项，某地区高三男生的“50米跑”测试成绩ξ(单位：秒)服从正态分布N (8，σ2)，且P (ξ≤7)＝0.2.从该地区高三男生的“50米跑”测试成绩中随机抽取3个，其中成绩在(7,9)的个数记为X ，则()A ．P (7<ξ<9)＝0.8B ．E (X )＝1.8C ．E (ξ)>E (5X )D ．P (X ≥1)>0.9答案BD解析由正态分布的对称性可知P (ξ≤7)＝P (ξ≥9)＝0.2，故P (7<ξ<9)＝1－0.2×2＝0.6，故A 错误；X ～B (3,0.6)，故E (X )＝3×0.6＝1.8，故B 正确；E (ξ)＝8，E (5X )＝5E (X )＝5×1.8＝9，故E (ξ)<E (5X )，故C 错误；因为X ～B (3,0.6)，所以P (X ＝0)＝C 03(0.6)0×(0.4)3＝0.064，故P (X ≥1)＝1－0.064＝0.936>0.9，故D 正确．8．(2023·汕头模拟)一个袋子有10个大小相同的球，其中有4个红球，6个黑球，试验一：从中随机地有放回摸出3个球，记取到红球的个数为X 1，均值和方差分别为E (X 1)，D (X 1)；试验二：从中随机地无放回摸出3个球，记取到红球的个数为X 2，均值和方差分别为E (X 2)，D (X 2)，则()A ．E (X 1)＝E (X 2)B ．E (X 1)>E (X 2)C ．D (X 1)>D (X 2)D ．D (X 1)<D (X 2)答案AC解析从中随机地有放回摸出3个球，则每次摸到红球的概率为410＝25，则X 1～E (X 1)＝3×25＝65，D (X 1)＝3×25×35＝1825；从中随机地无放回摸出3个球，记红球的个数为X 2，则X 2的可能取值是0,1,2,3，则P (X 2＝0)＝C 04C 36C 310＝16，P (X 2＝1)＝C 14C 26C 310＝12P (X 2＝2)＝C 24C 16C 310＝310，P (X 2＝3)＝C 34C 06C 310＝130，所以随机变量X 2的概率分布为X 20123P1612310130E (X 2)＝0×16＋1×12＋2×310＋3×130＝65，D (X 2)×16＋×12×310＋×130＝1425.故E (X 1)＝E (X 2)，D (X 1)>D (X 2)．三、填空题9．(2023·石家庄模拟)某市中学举办了一次“亚运知识知多少”的知识竞赛．参赛选手从7道题(4道多选题，3道单选题)中随机抽题进行作答，若某选手先随机抽取2道题，再随机抽取1道题，则最后抽取到的题为多选题的概率为________．答案47解析设先抽取2道题中多选题的题数为X ，则X 的可能取值为0,1,2，可得P (X ＝0)＝C 23C 27＝17，P (X ＝1)＝C 14C 13C 27＝47，P (X ＝2)＝C 24C 27＝27，所以最后抽取到的题为多选题的概率P ＝P (X ＝0)×45＋P (X ＝1)×35＋P (X ＝2)×25＝17×45＋47×35＋27×25＝47.10．(2023·唐山模拟)近年来，理财成为了一种趋势，老黄在今年买进某个理财产品．设该产品每个季度的收益率为X ，且各个季度的收益之间互不影响，根据该产品的历史记录，可得P (X >0)＝2P (X ≤0)．若老黄准备在持有该理财产品4个季度之后卖出．则至少有3个季度的收益为正值的概率为________．答案1627解析因为P (X >0)＝2P (X ≤0)，所以P (X >0)＋P (X ≤0)＝3P (X ≤0)＝1，所以P (X ≤0)＝13，P (X >0)＝23，则至少有3个季度的收益为正值的概率为C 34×13＋C 44＝1627.11．(2024·南开模拟)一个盒子中装有5个电子产品，其中有3个一等品，2个二等品，从中每次抽取1个产品．若抽取后不再放回，则抽取三次，第三次才取得一等品的概率为________；若抽取后再放回，共抽取10次，则平均取得一等品________次．答案1106解析令A i 为第i (i ＝1,2,3)次取得一等品，所以抽取三次，第三次才取得一等品的概率为P (A 1A 2A 3)＝25×14×33＝110，若抽取后再放回，则设X 为抽取一等品的次数，抽取一等品的概率为35，则X ～E (X )＝10×35＝6，所以平均取得一等品6次．12．(2023·聊城模拟)某市统计高中生身体素质的状况，规定身体素质指标值不小于60就认为身体素质合格．现从全市随机抽取100名高中生的身体素质指标值x i (i ＝1,2,3，…，100)，经计算错误!i ＝7200，错误!2i ＝100×(722＋36)．若该市高中生的身体素质指标值服从正态分布N (μ，σ2)，则估计该市高中生身体素质的合格率为________．(用百分数作答，精确到0.1%)参考数据：若随机变量X 服从正态分布N (μ，σ2)，则P (μ－σ≤X ≤μ＋σ)≈0.6827，P (μ－2σ≤X ≤μ＋2σ)≈0.9545，P (μ－3σ≤X ≤μ＋3σ)≈0.9973.答案97.7%解析因为100个数据x 1，x 2，x 3，…，x 100的平均数x ＝1100错误!i ＝72，方差s 2＝1100错误!(x i －x )2＝1100(错误!2i －100x 2)＝1100×[100×(722＋36)－100×722]＝36，所以μ的估计值为μ＝72，σ的估计值为σ＝6.设该市高中生的身体素质指标值为X ，由P (μ－2σ≤X ≤μ＋2σ)≈0.9545，得P (72－12≤X ≤72＋12)＝P (60≤X ≤84)≈0.9545，P (X >84)＝P (X >μ＋2σ)＝P (X <μ－2σ)＝1－P (μ－2σ≤X ≤μ＋2σ)2≈1－0.95452，所以P (X ≥60)＝P (60≤X ≤84)＋P (X >84)≈0.9545＋12×(1－0.9545)＝0.97725≈97.7%.四、解答题13．某家具城举办了一次家具有奖促销活动，消费每超过1万元(含1万元)，均可抽奖一次，抽奖方案有两种，顾客只能选择其中的一种．方案一：从装有10个形状与大小完全相同的小球(其中红球2个，白球1个，黑球7个)的抽奖盒中，一次性摸出3个球，其中奖规则为：若摸到2个红球和1个白球，则打5折；若摸出2个红球和1个黑球，则打7折；若摸出1个白球2个黑球，则打9折，其余情况不打折．方案二：从装有10个形状与大小完全相同的小球(其中红球2个，黑球8个)的抽奖盒中，有放回每次摸取1球，连摸3次，每摸到1次红球，立减2000元．(1)若一位顾客消费了1万元，且选择抽奖方案一，试求该顾客享受7折优惠的概率；(2)若某顾客消费恰好满1万元，试从均值的角度比较该顾客选择哪一种抽奖方案更合算？解(1)选择方案一，若享受到7折优惠，则需要摸出2个红球和1个黑球，设顾客享受到7折优惠为事件A，则P(A)＝C22C17C310＝7120.(2)若选择方案一，设付款金额为X元，则X可能的取值为5000,7000,9000,10000，P(X＝5000)＝C22C11C310＝1120，P(X＝7000)＝7120，P(X＝9000)＝C11C27C310＝740，P(X＝10000)＝1－1120－7120－740＝91120.故X的分布列为X50007000900010000P1120712074091120所以E(X)＝5000×1120＋7000×7120＋9000×740＋10000×91120＝288253≈9608.3(元)．若选择方案二，设摸到红球的个数为Y，付款金额为Z，则Z＝10000－2000Y，由已知可得Y～E(Y)＝3×15＝35，所以E(Z)＝E(10000－2000Y)＝10000－2000E(Y)＝8800(元)，因为E(X)>E(Z)，所以该顾客选择第二种抽奖方案更合算．14．某市为了传承发展中华优秀传统文化，组织该市中学生进行了一次文化知识有奖竞赛，竞赛类奖励规则如下：得分在[70,80)内的学生获得三等奖，得分在[80,90)内的学生获得二等奖，得分在[90,100]内的学生获得一等奖，其他学生不得奖．为了解学生对相关知识的掌握情况，该市随机抽取100名学生的竞赛成绩，并以此为样本绘制了样本频率分布直方图，如图所示．若该市所有参赛学生的成绩X 近似服从正态分布N (μ，σ2)，其中σ≈15，μ为样本平均数的估计值，利用所得正态分布模型解决以下问题：(1)若该市共有10000名学生参加了竞赛，试估计参赛学生中成绩超过79分的学生人数(结果四舍五入到整数)；(2)若从所有参赛学生中(参赛学生数大于10000)随机抽取3名学生进行访谈，设其中竞赛成绩在64分以上的学生数为ξ，求随机变量ξ的分布列和期望．参考数据：若随机变量X 服从正态分布N (μ，σ2)，则P (μ－σ≤X ≤μ＋σ)≈0.6827，P (μ－2σ≤X ≤μ＋2σ)≈0.9545，P (μ－3σ≤X ≤μ＋3σ)≈0.9973.解(1)由样本频率分布直方图得，样本平均数的估计值μ＝35×0.006×10＋45×0.012×10＋55×0.018×10＋65×0.034×10＋75×0.016×10＋85×0.008×10＋95×0.006×10＝64，则所有参赛学生的成绩X 近似服从正态分布N (64，152)，因为μ＋σ＝79，所以P (X >79)≈1－0.68272＝0.15865，故参赛学生中成绩超过79分的学生人数为0.15865×10000≈1587.(2)由μ＝64，得P (X >64)＝12，即从所有参赛学生中随机抽取1名学生，该生竞赛成绩在64分以上的概率为12，所以随机变量ξ～3，12，所以P (ξ＝0)＝C 03×12＝18，P (ξ＝1)＝C 13×12×122＝38，P (ξ＝2)＝C 2312×12＝38，P (ξ＝3)＝C 3312＝18，所以随机变量ξ的分布列为ξ0123P18383818所以期望为E (ξ)＝0×18＋1×38＋2×38＋3×18＝E (ξ)＝3×12＝。

高考数学总复习考点知识讲解与提升练习专题78 二项分布、超几何分布与正态分布考点知识1.理解二项分布、超几何分布的概念，能解决一些简单的实际问题.2.借助正态曲线了解正态分布的概念，并进行简单应用．知识梳理1．二项分布(1)伯努利试验只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验；将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验．(2)二项分布一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为P(X＝k)＝C k n p k(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n.如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)．(3)两点分布与二项分布的均值、方差①若随机变量X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)．②若X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．2．超几何分布一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品．从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为P(X＝k)＝C k M C n－kN－MC n N，k＝m，m＋1，m＋2，…，r，其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}．如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布．3．正态分布(1)定义若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)222exμσ()－－，x∈R，其中μ∈R，σ>0为参数，则称随机变量X服从正态分布，记为X～N(μ，σ2)．(2)正态曲线的特点①曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；②曲线在x＝μ处达到峰值1σ2π；③当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴．(3)3σ原则①P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827；②P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545；③P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973.(4)正态分布的均值与方差若X～N(μ，σ2)，则E(X)＝μ，D(X)＝σ2. 常用结论1．“二项分布”与“超几何分布”的区别：有放回抽取问题对应二项分布，不放回抽取问题对应超几何分布，当总体容量很大时，超几何分布可近似为二项分布来处理． 2．超几何分布有时也记为X ～H (n ，M ，N )，其均值E (X )＝nM N， D (X )＝nM N ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－M N ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－n －1N －1. 思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)两点分布是二项分布当n ＝1时的特殊情形．(√)(2)若X 表示n 次重复抛掷1枚骰子出现点数是3的倍数的次数，则X 服从二项分布．(√) (3)从装有3个红球、3个白球的盒中有放回地任取一个球，连取3次，则取到红球的个数X 服从超几何分布．(×)(4)当μ取定值时，正态曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“矮胖”．(×) 教材改编题1．如果某一批玉米种子中，每粒发芽的概率均为23，那么播下5粒这样的种子，恰有2粒不发芽的概率是() A.80243B.8081C.163243D.163729答案A解析用X 表示发芽的粒数，则X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，23，则P (X ＝3)＝C 35×⎝ ⎛⎭⎪⎫233×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－232＝80243，故播下5粒这样的种子，恰有2粒不发芽的概率为80243.2．某班有48名同学，一次考试后的数学成绩服从正态分布N (80,102)，则理论上在80分到90分的人数约是()A．32B．16C．8D．20答案B解析因为数学成绩近似地服从正态分布N(80,102)，所以P(|x－80|≤10)≈0.6827.根据正态密度曲线的对称性可知，位于80分到90分之间的概率是位于70分到90分之间的概率的一半，所以理论上在80分到90分的人数是12×0.6827×48≈16.3．在含有3件次品的10件产品中，任取4件，X表示取到的次品的个数，则P(X＝1)＝________.答案1 2解析由题意得，P(X＝1)＝C13C37C410＝12.题型一二项分布例1(1)(2023·海口模拟)某班50名学生通过直播软件上网课，为了方便师生互动，直播屏幕分为1个大窗口和5个小窗口，大窗口始终显示老师讲课的画面，5个小窗口显示5名不同学生的画面．小窗口每5分钟切换一次，即再次从全班随机选择5名学生的画面显示，且每次切换相互独立．若一节课40分钟，则该班甲同学一节课在直播屏幕上出现的时间的均值是()A．10分钟B．5分钟C．4分钟D．2分钟答案C解析每5分钟算作一轮，每一轮甲同学出现在直播屏幕上的概率为550＝110， 设他在直播屏幕上出现的轮次为X ，根据题意得，X ～B ⎝⎛⎭⎪⎫8，110，E (X )＝8×110＝0.8， 设甲同学一节课在直播屏幕上出现的时间为Y (单位：分钟)， 则E (Y )＝E (5X )＝5×0.8＝4(分钟)．(2)(2022·衡阳模拟)某地政府为鼓励大学生创业，制定了一系列优惠政策．已知创业项目甲成功的概率为23，项目成功后可获得政府奖金20万元；创业项目乙成功的概率为P 0(0<P 0<1)，项目成功后可获得政府奖金30万元．项目没有成功，则没有奖励，每个项目有且只有一次实施机会，两个项目的实施是否成功互不影响，项目成功后当地政府兑现奖励．①大学毕业生张某选择创业项目甲，毕业生李某选择创业项目乙，记他们获得的奖金累计为X (单位：万元)，若X ≤30的概率为79.求P 0的大小；②若两位大学毕业生都选择创业项目甲或创业项目乙进行创业，问：他们选择何种创业项目，累计得到的奖金的均值更大？解①由已知得，张某创业成功的概率为23，李某创业成功的概率为P 0，且两人是否创业成功互不影响，记“这2人累计获得的奖金X ≤30”的事件为A ，则事件A 的对立事件为“X ＝50”， ∵P (X ＝50)＝23P 0，∴P (A )＝1－P (X ＝50)＝1－23P 0＝79，解得P 0＝13.②设两位大学毕业生都选择创业项目甲且创业成功的次数为X 1，都选择创业项目乙且创业成功的次数为X 2，则这两人选择项目甲累计获得的奖金的均值为E (20X 1)， 选择项目乙累计获得的奖金的均值为E (30X 2)， 由已知可得，X 1～B ⎝⎛⎭⎪⎫2，23，X 2～B (2，P 0)， ∴E (X 1)＝43，E (X 2)＝2P 0，∴E (20X 1)＝20E (X 1)＝20×43＝803，E (30X 2)＝30E (X 2)＝60P 0，若E (20X 1)>E (30X 2)，即803>60P 0，解得0<P 0<49；若E (20X 1)<E (30X 2)，即803<60P 0，解得49<P 0<1；若E (20X 1)＝E (30X 2)，即803＝60P 0，解得P 0＝49.综上所述，当0<P 0<49时，他们都选择项目甲进行创业，累计得到的奖金的均值更大；当49<P 0<1时，他们都选择项目乙进行创业，累计得到的奖金的均值更大； 当P 0＝49时，他们选择两项目进行创业，累计得到的奖金的均值相等．思维升华 二项分布问题的解题关键 (1)定型：①在每一次试验中，事件发生的概率相同． ②各次试验中的事件是相互独立的．③在每一次试验中，试验的结果只有两个，即发生与不发生．(2)定参：确定二项分布中的两个参数n 和p ，即试验发生的次数和试验中事件发生的概率．跟踪训练1(1)已知随机变量X ～B (n ，p )，E (X )＝2，D (X )＝23，则P (X ≥2)等于()A.2027B.23C.1627D.1327答案A解析因为随机变量X ～B (n ，p )，E (X )＝2，D (X )＝23，则⎩⎨⎧np ＝2，np (1－p )＝23，解得⎩⎨⎧n ＝3，p ＝23，所以P (X ≥2)＝1－P (X ＝1)－P (X ＝0) ＝1－C 13×⎝ ⎛⎭⎪⎫231×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－233－1－C 03×⎝ ⎛⎭⎪⎫230×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－233－0 ＝1－29－127＝2027.(2)某中学面向全校所有学生开展一项有关每天睡眠时间的问卷调查，调查结果显示，每天睡眠时间少于7小时的学生占40%，而每天睡眠时间不少于8小时的学生只有30%.现从所有问卷中随机抽取4份问卷进行回访(视频率为概率)．①求抽取到的问卷中至少有2份调查结果为睡眠时间不少于7小时的概率；②记抽取到的问卷中调查结果为睡眠时间少于7小时的问卷份数为X ，求X 的分布列及均值E (X )．解①根据题意可知，每天睡眠时间少于7小时的学生的概率为25，每天睡眠时间不少于7小时的学生的概率为35，所以4份问卷中至少有2份结果为睡眠时间不少于7小时的概率为 P ＝1－C 04×⎝ ⎛⎭⎪⎫254－C 14×35×⎝ ⎛⎭⎪⎫253＝513625.②根据题意可知，X 的所有可能取值为0,1,2,3,4，且X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，25，则P (X ＝0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫354＝81625，P (X ＝1)＝C 14×25×⎝ ⎛⎭⎪⎫353＝216625，P (X ＝2)＝C 24×⎝ ⎛⎭⎪⎫252×⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝216625，P (X ＝3)＝C 34×⎝ ⎛⎭⎪⎫253×35＝96625， P (X ＝4)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫254＝16625， 所以X 的分布列为所以E(X)＝4×25＝85.题型二超几何分布例22022年12月4日，神舟十四号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，航天员顺利出舱，神舟十四号载人飞行任务圆满完成．为纪念中国航天事业成就，发扬并传承中国航天精神，某校高一年级组织2000名学生进行了航天知识竞赛(满分：100分)并进行记录，根据得分将数据分成7组：[20,30)，[30,40)，…，[80,90]，绘制出如图所示的频率分布直方图．(1)用频率估计概率，从该校随机抽取2名同学，求其中1人得分低于70分，另1人得分不低于80分的概率；(2)从得分在[60,90]的学生中利用比例分配的分层随机抽样的方法选出8名学生，若从中选出3人参加有关航天知识演讲活动，求选出的3人中竞赛得分不低于70分的人数X 的分布列及均值．解(1)每名学生得分低于70分的概率为1－(0.04＋0.02)×10＝0.4，不低于80分的概率为0.02×10＝0.2.故其中1人得分低于70分，另1人得分不低于80分的概率为C12×0.4×0.2＝425.(2)由频率分布直方图可得，8人中分数在[60,70)的有2人，[70,90]的有6人，所以X～H(3,6,8)，X的所有可能取值为1,2,3，P(X＝1)＝C16C22C38＝328，P(X＝2)＝C12C26C38＝1528，P(X＝3)＝C36C38＝514.故X的分布列为故E(X)＝3×68＝94.思维升华(1)超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数．超几何分布的特征是：①考察对象分两类；②已知各类对象的个数；③从中抽取若干个个体，考查某类个体数X的分布列．(2)超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其本质是古典概型．跟踪训练2为了适当疏导电价矛盾，保障电力供应，支持可再生能源发展，促进节能减排，某省推出了省内居民阶梯电价的计算标准：以一个年度为计费周期，月度滚动使用．第一阶梯：年用电量在2160度以下(含2160度)，执行第一档电价0.5653元/度；第二阶梯：年用电量在2161度到4200度内(含4200度)，超出2160度的电量执行第二档电价0.6153元/度；第三阶梯：年用电量在4200度以上，超出4200度的电量执行第三档电价0.8653元/度．某市的电力部门从本市的用户中随机抽取10户，统计其同一年度的用电情况，列表如下：(1)计算表中编号为10的用户该年应交的电费；(2)现要在这10户中任意选取4户，对其用电情况进行进一步分析，求取到第二阶梯的户数的分布列．解(1)因为第二档电价比第一档电价每度多0.05元，第三档电价比第一档电价每度多0.3元，编号为10的用户一年的用电量是4600度，所以该户该年应交电费4600×0.5653＋(4200－2160)×0.05＋(4600－4200)×0.3＝2822.38(元)．(2)设取到第二阶梯的户数为X，易知第二阶梯有4户，则X的所有可能取值为0,1,2,3,4.P(X＝0)＝C04C46C410＝114，P(X＝1)＝C14C36C410＝821，P(X＝2)＝C24C26C410＝37，P(X＝3)＝C34C16C410＝435，P(X＝4)＝C44C06C410＝1210，故X的分布列为题型三正态分布例3(1)(多选)(2023·哈尔滨模拟)某市有甲、乙两个工厂生产同一型号的汽车零件，零件的尺寸分别记为X，Y，已知X，Y均服从正态分布，X～N(μ1，σ21)，Y～N(μ2，σ22)，其正态曲线如图所示，则下列结论中正确的是()A．甲工厂生产零件尺寸的平均值等于乙工厂生产零件尺寸的平均值B．甲工厂生产零件尺寸的平均值小于乙工厂生产零件尺寸的平均值C．甲工厂生产零件尺寸的稳定性高于乙工厂生产零件尺寸的稳定性D．甲工厂生产零件尺寸的稳定性低于乙工厂生产零件尺寸的稳定性答案AC解析X，Y均服从正态分布，X～N(μ1，σ21)，Y～N(μ2，σ22)，结合正态密度函数的图象可知，μ1＝μ2，σ1<σ2，故甲工厂生产零件尺寸的平均值等于乙工厂生产零件尺寸的平均值，故A正确，B错误；甲工厂生产零件尺寸的稳定性高于乙工厂生产零件尺寸的稳定性，故C正确，D错误．(2)(2022·合肥模拟)某市高三年级共有14000人参加教学质量检测，学生的数学成绩ξ近似服从正态分布N(90，σ2)(试卷满分150分)，且P(ξ≥100)＝0.3，据此可以估计，这次检测数学成绩在80到90分之间的学生人数约为()A．2800B．4200C．5600D．7000答案A解析∵ξ近似服从正态分布N(90，σ2)(试卷满分150分)，且P(ξ≥100)＝0.3，∴P(ξ≤80)＝0.3，∴P(80≤ξ≤90)＝1－0.3×22＝0.2，∴估计这次检测数学成绩在80到90分之间的学生人数约为14000×0.2＝2800.思维升华解决正态分布问题的三个关键点(1)对称轴为x＝μ.(2)标准差为σ.(3)分布区间．利用对称性可求指定范围内的概率值；由μ，σ，分布区间的特征进行转化，使分布区间转化为3σ特殊区间，从而求出所求概率．注意只有在标准正态分布下对称轴才为x ＝0.跟踪训练3(1)(2022·新高考全国Ⅱ)已知随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，且P(2<X≤2.5)＝0.36，则P(X>2.5)＝________.答案0.14解析因为X～N(2，σ2)，所以P(X>2)＝0.5，所以P(X>2.5)＝P(X>2)－P(2<X≤2.5)＝0.5－0.36＝0.14.(2)(2022·安庆模拟)某中学开展学生数学素养测评活动，高一年级测评分值X近似服从正态分布，正态密度曲线如图①所示．为了调查参加测评的学生数学学习的方法与习惯差异，该中学决定在分数段[m ，n )内抽取学生，并确定m ＝67，且P (m ≤X ≤n )＝0.8186.在某班用简单随机抽样的方法得到20名学生的分值分布茎叶图如图②所示．若该班抽取学生分数在分数段[m ，n )内的人数为k ，则k ＝________；这k 名学生的平均分为________．(附：P (μ－σ≤X ≤μ＋σ)≈0.6827，P (μ－2σ≤X ≤μ＋2σ)≈0.9545，P (μ－3σ≤X ≤μ＋3σ)≈ 0.9973)答案1074解析由图①可知，μ＝72，σ＝5， ∴随机变量X ～N (72,25)，∴P (67≤X ≤77)≈0.6827，P (62≤X ≤82)≈0.9545， ∵P (67≤X ≤n )＝0.8186＝0.9545－0.9545－0.68272，∴n ＝82，由图②可知，该班在[67,82)内抽取了10人，即k ＝10， ∴平均分为68＋70＋73＋75＋72＋71＋76＋78＋76＋8110＝74.课时精练1．已知5件产品中有2件次品，3件正品，检验员从中随机抽取2件进行检测，记取到的正品数为ξ，则均值E(ξ)为()A.45B.910C．1D.65答案D解析ξ的所有可能取值为0,1,2，则P(ξ＝0)＝C22C25＝110，P(ξ＝1)＝C12C13C25＝35，P(ξ＝2)＝C23C25＝310，则E(ξ)＝0×110＋1×35＋2×310＝65.2．(2023·盐城模拟)某中学高三(1)班有50名学生，在一次高三模拟考试中，经统计得，数学成绩X～N(110,100)，则估计该班数学得分大于120分的学生人数为(参考数据：P(|X－μ|≤σ)≈0.6827，P(|X－μ|≤2σ)≈0.9545)()A．16B．10C．8D．2答案C解析因为数学成绩X～N(110,100)，所以P(X>120)＝1－P(100<X<120)2≈0.16，故估计该班数学得分大于120分的学生人数约为0.16×50＝8.3．(2022·安庆模拟)高尔顿(钉)板是在一块竖起的木板上钉上一排排互相平行、水平间隔相等的圆柱形小木块(如图所示)，并且每一排小木块数目都比上一排多一个，一排中各个小木块正好对准上面一排两个相邻小木块的正中央，从入口处放入一个直径略小于两个小木块间隔的小球，当小球从之间的间隙下落时，碰到下一排小木块，它将以相等的可能性向左或向右落下，若小球再通过间隙，又碰到下一排小木块．如此继续下去，小球最后落入下方条状的格子内，则小球落到第⑤个格子的概率是()A.532B.516C.316D.332答案A解析由题意知，小球下落过程中共碰撞小木块5次，小球落到第⑤个格子需向左落下1次，向右落下4次，又小球向左、向右落下的概率均为12，故小球落到第⑤个格子的概率P ＝C 45×⎝ ⎛⎭⎪⎫124×⎝ ⎛⎭⎪⎫121＝532. 4．(多选)(2021·新高考全国Ⅱ改编)某物理量的测量结果服从正态分布N (10，σ2)，下列结论中正确的是()A ．σ越小，该物理量在一次测量中落在(9.9,10.1)的概率越大B ．σ越小，该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5C ．σ越小，该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等D ．σ越小，该物理量在一次测量中落在(9.9，10.2)与落在(10,10.3)的概率相等 答案ABC解析对于A ，σ2为数据的方差，所以σ越小，数据在μ＝10附近越集中，所以测量结果落在(9.9，10.1)内的概率越大，故A 正确；对于B ，由正态密度曲线的对称性可知，该物理量一次测量大于10的概率为0.5，故B 正确；对于C ，由正态密度曲线的对称性可知，该物理量一次测量结果大于10.01的概率与小于9.99的概率相等，故C 正确；对于D ，因为该物理量一次测量结果落在(9.9，10.0)的概率与落在(10.2,10.3)的概率不同，所以一次测量结果落在(9.9,10.2)的概率与落在(10，10.3)的概率不同，故D 错误．5．(多选)下列说法正确的是()A ．设随机变量X 服从二项分布B ⎝⎛⎭⎪⎫6，12，则P (X ＝3)＝516B ．已知随机变量X 服从正态分布N (2，σ2)，且P (X <4)＝0.9，则P (0<X <2)＝0.4C ．甲、乙、丙三人均准备在3个旅游景点中任选一处去游玩，则在至少有1个景点未被选择的条件下，恰有2个景点未被选择的概率是17D ．E (2X ＋3)＝2E (X )＋3，D (2X ＋3)＝2D (X )＋3 答案ABC解析对于A ，若随机变量X 服从二项分布B ⎝ ⎛⎭⎪⎫6，12，则P (X ＝3)＝C 36⎝ ⎛⎭⎪⎫123⎝⎛⎭⎪⎫1－123＝516，故A 正确； 对于B ，因为随机变量X 服从正态分布N (2，σ2)，所以正态密度曲线的对称轴是直线x ＝2.因为P(X<4)＝0.9，所以P(X≥4)＝P(X≤0)＝0.1，所以P(0<X<2)＝P(2<X<4)＝0.4，故B正确；对于C，设事件A为至少有1个景点未被选择，事件B为恰有2个景点未被选择，则P(AB)＝333＝19，P(A)＝1－A3333＝79，所以P(B|A)＝P(AB)P(A)＝17，故C正确；对于D，E(2X＋3)＝2E(X)＋3，D(2X＋3)＝4D(X)，故D不正确．6．(2022·宁波模拟)一个袋中放有大小、形状均相同的小球，其中有1个红球、2个黑球，现随机等可能地取出小球．当有放回地依次取出两个小球时，记取出的红球数为ξ1；当无放回地依次取出两个小球时，记取出的红球数为ξ2，则()A．E(ξ1)<E(ξ2)，D(ξ1)<D(ξ2)B．E(ξ1)＝E(ξ2)，D(ξ1)>D(ξ2)C．E(ξ1)＝E(ξ2)，D(ξ1)<D(ξ2)D．E(ξ1)>E(ξ2)，D(ξ1)>D(ξ2)答案B解析依题意知，ξ1的所有可能取值为0,1,2，ξ1～B⎝⎛⎭⎪⎫2，13，所以E(ξ1)＝2×13＝23，D(ξ1)＝2×13×23＝49；当无放回地依次取出两个小球时，记取出的红球数为ξ2，则ξ2的所有可能取值为0,1，P(ξ2＝0)＝23×12＝13，P(ξ2＝1)＝23×12＋13×22＝23，所以E(ξ2)＝0×13＋1×23＝23，D(ξ2)＝⎝⎛⎭⎪⎫0－232×13＋⎝⎛⎭⎪⎫1－232×23＝29.所以E(ξ1)＝E(ξ2)，D(ξ1)>D(ξ2)．7．某人参加一次测试，在备选的10道题中，他能答对其中的5道．现从备选的10道题中随机抽出3道题进行测试，规定至少答对2道题才算合格．则合格的概率为________．答案1 2解析设此人答对题目的个数为ξ，则ξ的所有可能取值为0,1,2,3，P(ξ＝0)＝C05C35C310＝112，P(ξ＝1)＝C15C25C310＝512，P(ξ＝2)＝C25C15C310＝512，P(ξ＝3)＝C35C05C310＝112，则合格的概率为P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＝1 2 .8．(2023·泰安模拟)随着时代发展和社会进步，教师职业越来越受青睐，考取教师资格证成为不少人的职业规划之一．当前，中小学教师资格考试分笔试和面试两部分．已知某市2022年共有10000人参加了中小学教师资格考试的笔试，现从中随机抽取100人的笔试成绩(满分100分)作为样本，整理得到如下频数分布表：由频数分布表可认为该市全体考生的笔试成绩X近似服从正态分布N(μ，σ2)，其中，μ近似为100名样本考生笔试成绩的平均值(同一组的数据用该组区间的中点值代替)，则μ＝________.若σ＝12.9，据此估计该市全体考生中笔试成绩高于85.9的人数约为________.(结果四舍五入精确到个位)参考数据：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973.答案731587解析由题意知，μ≈45×5＋55×10＋65×25＋75×30＋85×20＋95×10100＝73.易知P(X>85.9)＝P(X>73＋12.9)≈1－0.68272＝0.15865，故估计该市全体考生中笔试成绩高于85.9的人数大约为10000×0.15865≈1587.9．为普及空间站相关知识，某部门组织了空间站模拟编程闯关活动，它是由太空发射、自定义漫游、全尺寸太阳能、空间运输等10个相互独立的程序题目组成．规则是：编写程序能够正常运行即为程序正确．每位参赛者从10个不同的题目中随机选择3个进行编程，全部结束后提交评委测试，若其中2个及以上程序正确即为闯关成功．现已知10个程序中，甲只能正确完成其中6个，乙正确完成每个程序的概率均为35，每位选手每次编程都互不影响．(1)求乙闯关成功的概率；(2)求甲编写程序正确的个数X的分布列和均值，并判断甲和乙谁闯关成功的可能性更大．解(1)乙正确完成2个程序或者3个程序则闯关成功，记乙闯关成功为事件A，则P(A)＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫352×25＋⎝ ⎛⎭⎪⎫353＝81125. (2)由题意知，随机变量X 的所有可能取值为0,1,2,3，P (X ＝0)＝C 34C 310＝130，P (X ＝1)＝C 16C 24C 310＝310，P (X ＝2)＝C 26C 14C 310＝12，P (X ＝3)＝C 36C 310＝16，故X 的分布列为所以E (X )＝0×130＋1×310＋2×12＋3×16＝95. 所以甲闯关成功的概率为12＋16＝23，因为81125<23，所以甲闯关成功的可能性更大．10．“双减”政策，即有效减轻义务教育阶段学生过重作业负担和校外培训负担的政策，“双减”政策的出台对校外培训机构的经济效益产生了严重影响．某大型校外培训机构为了降低风险，寻求发展制定科学方案，工作人员对2022年前200名报名学员的消费金额进行了统计整理，其中数据如表所示.(1)该大型校外培训机构转型方案之一是将文化科主阵地辅导培训向音体美等兴趣爱好培训转移，为了深入了解当前学生的兴趣爱好，工作人员利用比例分配的分层随机抽样方法在消费金额在区间[9,11)和[11,13)内的学员中抽取了5人，再从这5人中选取3人进行有奖问卷调查，求抽取的3人中消费金额为[11,13)的人数的分布列和均值；(2)将频率视为概率，假设该大型校外培训机构2022年所有学员的消费金额可视为服从正态分布N(μ，σ2)，μ，σ2分别为前200名报名学员消费的平均数x以及方差s2(同一区间的数据用该组区间的中点值替代)．①试估计该机构学员2022年消费金额ε在区间[5.2,13.6)内的概率(保留一位小数)；②若从该机构2022年所有学员中随机抽取4人，记消费金额在区间[5.2,13.6)内的人数为η，求η的方差．参考数据：2≈1.4；若随机变量ξ～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤ξ≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ≤ξ≤μ＋2σ)≈0.9545，P(μ－3σ≤ξ≤μ＋3σ)≈0.9973.解(1)由题意得，抽取的5人中消费金额在区间[9,11)内的人数为25×5＝2，消费金额在区间[11,13)内的人数为35×5＝3，设抽取的3人中消费金额在区间[11,13)内的人数为X，则X的所有可能取值为1,2,3，所以P(X＝1)＝C22C13C35＝310，P(X＝2)＝C12C23C35＝35，P(X＝3)＝C02C33C35＝110，所以X的分布列为则E (X )＝1×310＋2×35＋3×110＝95.(2)①由题意得，μ＝x ＝4×0.15＋6×0.25＋8×0.3＋10×0.1＋12×0.15＋14×0.05＝8，σ2＝(4－8)2×0.15＋(6－8)2×0.25＋(10－8)2×0.1＋(12－8)2×0.15＋(14－8)2×0.05＝8，所以σ＝8＝22≈2.8，所以P (5.2≤ε<13.6)＝P (8－2.8≤ε<8＋2×2.8)≈0.6827＋0.95452≈0.8.②由题意及①得η～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，45，n ＝4，p ＝45，所以D (η)＝np (1－p )＝4×45×15＝1625.11．(多选)某计算机程序每运行一次都随机出现一个五位二进制数A ＝a 1a 2a 3a 4a 5(例如10 100)，其中A 的各位数a k (k ＝2,3,4,5)中，出现0的概率为13，出现1的概率为23，记X＝a 2＋a 3＋a 4＋a 5，则当程序运行一次时，下列选项正确的是() A ．X 服从二项分布 B ．P (X ＝1)＝481C ．X 的均值E (X )＝83D ．X 的方差D (X )＝83答案AC解析由二进制数A 的特点知，每一个数位上的数字只能为0,1，且每个数位上的数字互不影响，X 的分布列为P (X ＝k )＝C k 4⎝ ⎛⎭⎪⎫23k ⎝ ⎛⎭⎪⎫134－k，k ＝0,1,2,3,4， 故X ～B ⎝⎛⎭⎪⎫4，23，故A 正确；P (X ＝1)＝C 14×⎝ ⎛⎭⎪⎫231×⎝ ⎛⎭⎪⎫133＝881，故B 错误； E (X )＝4×23＝83，故C 正确；D (X )＝4×23×13＝89，故D 错误．12．(2022·天津模拟)某志愿者召开春季运动会，为了组建一支朝气蓬勃、训练有素的志愿者队伍，欲从4名男志愿者，3名女志愿者中随机抽取3人成为志愿者队的队长，则在“抽取的3人至少有一名男志愿者”的前提下，“抽取的3人全是男志愿者”的概率是________；若用X 表示抽取的三人中女志愿者的人数，则E (X )＝________. 答案21797解析记全是男志愿者为事件A ，至少有一名男志愿者为事件B ， 则P (AB )＝P (A )＝C 34C 37＝435，P (B )＝1－C 33C 37＝3435，故P (A |B )＝P (AB )P (B )＝4353435＝217，即在“抽取的3人中至少有一名男志愿者”的前提下，“抽取的3人全是男志愿者”的概率是217，由题意可知，X服从超几何分布，E(X)＝3×37＝97.13．柯西分布是一个数学期望不存在的连续型概率分布．记随机变量X服从柯西分布为X～C(γ，x)，其中当γ＝1，x0＝0时的特例称为标准柯西分布，其概率密度函数为f(x)＝1π(1＋x2).已知X～C(1,0)，P(|X|≤3)＝23，P(1<X≤3)＝112，则P(X≤－1)等于()A.16B.23C.14D.12答案C解析因为f(－x)＝1π(1＋x2)＝f(x)，所以该函数是偶函数，图象关于y轴对称，由P(|X|≤3)＝23，可得P(0<X<3)＝13，因为P(1<X≤3)＝1 12，所以P(0<X<1)＝13－112＝14，因此P(－1<X<0)＝14，所以P(X≤－1)＝12－14＝14.14．(2023·开封模拟)已知随机变量ξ～N(1，σ2)，且P(ξ≤1)＝P(ξ≥a－3)，则1 x ＋9a－x(0<x<a)的最小值为________. 答案4解析随机变量ξ～N (1，σ2)，且P (ξ≤1)＝P (ξ≥a －3)，可得1＋a －3＝2×1，解得a ＝4，由0<x <4，可得0<4－x <4，则1x ＋9a －x ＝1x ＋94－x ＝14[x ＋(4－x )]·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋94－x ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫10＋4－x x ＋9x 4－x ≥14×()10＋29＝4， 当且仅当4－x x ＝9x4－x ，即x ＝1时取等号．所以1x ＋9a －x(0<x <a )的最小值为4.。

第7讲 二项分布、超几何分布及正态分布[学生用书P207])1．事件的相互独立性(1)定义：设A ，B 为两个事件，如果P (AB )＝P (A )·P (B )，则称事件A 与事件B 相互独立． (2)性质：①若事件A 与B 相互独立，则P (B |A )＝P (B )，P (A |B )＝P (A )，P (AB )＝P (A )·P (B )． ②如果事件A 与B 相互独立，那么A 与B －，A －与B ，A －与B －也都相互独立． 2．独立重复试验与二项分布 (1)独立重复试验在相同条件下重复做的n 次试验称为n 次独立重复试验，A i (i ＝1，2，…，n )表示第i 次试验结果，则P (A 1A 2A 3…A n )＝P (A 1)P (A 2)…P (A n )．(2)二项分布在n 次独立重复试验中，用X 表示事件A 发生的次数，设每次试验中事件A 发生的概率是p ，此时称随机变量X 服从二项分布，记作X ～B (n ，p )，并称p 为成功概率，在n 次独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率为P (X ＝k )＝C k n p k (1－p )n －k(k ＝0，1，2，…，n )． (3)二项分布的均值与方差若随机变量X 服从参数为n ，p 的二项分布，即X ～B (n ，p )，则E (X )＝np ，D (X )＝np (1－p )．3．超几何分布(1)定义：在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则P (X ＝k )＝C k M C n －kN －M C nN，k ＝0，1，2，…，m ，其中m ＝min{M ，n }，且n ≤N ，M ≤N ，n ，M ，N ∈N *，即如果随机变量X 的分布列具有下表形式则称随机变量X 服从超几何分布． (2)均值若X 服从参数为N ，M ，n 的超几何分布，则E (X )＝nMN ．4．正态曲线的特点(1)曲线位于x 轴上方，与x 轴不相交； (2)曲线是单峰的，它关于直线x ＝μ对称； (3)曲线在x ＝μ处达到峰值1σ2π； (4)曲线与x 轴之间的面积为1；(5)当σ一定时，曲线随着μ的变化而沿x 轴平移；(6)当μ一定时，曲线的形状由σ确定．σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散．1．辨明两个易误点(1)两事件互斥是指两事件不可能同时发生，两事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响，两个事件相互独立不一定互斥．(2)运用公式P (AB )＝P (A )P (B )时一定要注意公式成立的条件，只有当事件A 、B 相互独立时，公式才成立．2．理解事件中常见词语的含义(1)A ，B 中至少有一个发生的事件为A ∪B ； (2)A ，B 都发生的事件为AB ； (3)A ，B 都不发生的事件为A － B －； (4)A ，B 恰有一个发生的事件为A B －∪A －B ； (5)A ，B 至多一个发生的事件为A B －∪A －B ∪A － B －. 3．正态分布的三个常用数据 (1)P (μ－σ＜X ≤μ＋σ)≈0.682 7； (2)P (μ－2σ＜X ≤μ＋2σ)≈0.954 5； (3)P (μ－3σ＜X ≤μ＋3σ)≈0.997 3.1．若事件E 与F 相互独立，且P (E )＝P (F )＝14，则P (EF )的值等于( )A ．0B ．116C.14 D ．12[答案] B2．已知随机变量X 服从正态分布N (0，σ2)．若P (X >2)＝0.023，则P (－2≤X ≤2)＝( ) A ．0.477 B ．0.628 C ．0.954D ．0.977C [解析] 因为μ＝0，所以P (X >2)＝P (X <－2)＝0.023， 所以P (－2≤X ≤2)＝1－2×0.023＝0.954.3．(2015·高考全国卷Ⅰ)投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为( )A ．0.648B ．0.432C ．0.36D ．0.312A [解析] 3次投篮投中2次的概率为P (X ＝2)＝C 23×0.62×(1－0.6)，投中3次的概率为P (X ＝3)＝0.63，所以通过测试的概率为P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝C 23×0.62×(1－0.6)＋0.63＝0.648.故选A.4.教材习题改编 抛掷两枚骰子，当至少一枚5点或一枚6点出现时，就说这次试验成功，则在10次试验中成功次数的均值为________．[解析] 抛掷两枚骰子，当两枚骰子不出现5点和6点时的概率为46×46＝49，所以至少有一次出现5点或6点的概率为1－49＝59，用X 表示10次试验中成功的次数，则X ～B ⎝⎛⎭⎫10，59，E (X )＝10×59＝509.[答案]5095.教材习题改编 国庆节放假，甲去北京旅游的概率为13，乙去北京旅游的概率为14，假定二人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人去北京旅游的概率为________．[解析] 记在国庆期间“甲去北京旅游”为事件A ，“乙去北京旅游”为事件B ，又P (A －B －)＝P (A －)·P (B －)＝[1－P (A )][1－P (B )]＝⎝⎛⎭⎫1－13⎝⎛⎭⎫1－14＝12， 甲、乙二人至少有一人去北京旅游的对立事件为甲、乙二人都不去北京旅游，故所求概率为1－P (A － B －)＝1－12＝12.[答案] 12相互独立事件的概率[学生用书P 208][典例引领](2016·高考山东卷节选)甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一人猜对，则“星队”得1分；如果两人都没猜对，则“星队”得0分．已知甲每轮猜对的概率是34，乙每轮猜对的概率是23；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响，各轮结果亦互不影响．假设“星队”参加两轮活动，求“星队”两轮得分之和X 的分布列和数学期望E (X )．【解】 由题意，随机变量X 可能的取值为0，1，2，3，4，6. 由事件的独立性与互斥性，得 P (X ＝0)＝14×13×14×13＝1144，P (X ＝1)＝2×(34×13×14×13＋14×23×14×13)＝10144＝572， P (X ＝2)＝34×13×34×13＋34×13×14×23＋14×23×34×13＋14×23×14×23＝25144，P (X ＝3)＝34×23×14×13＋14×13×34×23＝12144＝112.P (X ＝4)＝2×(34×23×34×13＋34×23×14×23)＝60144＝512，P (X ＝6)＝34×23×34×23＝36144＝14.可得随机变量X 的分布列为所以数学期望E (X )＝0×1144＋1×572＋2×25144＋3×112＋4×512＋6×14＝236.利用相互独立事件求复杂事件概率的解题思路(1)将待求复杂事件转化为几个彼此互斥简单事件的和．(2)将彼此互斥简单事件中的简单事件，转化为几个已知(易求)概率的相互独立事件的积事件．(3)代入概率的积、和公式求解．(2017·开封市第一次模拟)某生物产品，每一个生产周期成本为20万元，此产品的产量受气候影响、价格受市场影响均具有随机性，且互不影响，其具体情况如下表：(1)设X 表示1个生产周期此产品的利润，求X 的分布列；(2)连续3个生产周期，求这3个生产周期中至少有2个生产周期的利润不少于10万元的概率．[解] (1)设A 表示事件“产品产量为30吨”，B 表示事件“产品市场价格为0.6万元/吨”，则P (A )＝0.5，P (B )＝0.4，因为利润＝产量×市场价格－成本， 所以X 的所有值为50×1－20＝30，50×0.6－20＝10， 30×1－20＝10，30×0.6－20＝－2，则P (X ＝30)＝P (A －)P (B －)＝(1－0.5)×(1－0.4)＝0.3，P (X ＝10)＝P (A －)P (B )＋P (A )P (B －)＝(1－0.5)×0.4＋0.5×(1－0.4)＝0.5， P (X ＝－2)＝P (A )P (B )＝0.5×0.4＝0.2， 则X 的分布列为(2)设C i 表示事件“第i 个生产周期的利润不少于10万元”(i ＝1，2，3)，则C 1，C 2，C 3相互独立，由(1)知，P (C i )＝P (X ＝30)＋P (X ＝10)＝0.3＋0.5＝0.8(i ＝1，2，3)，连续3个生产周期的利润均不少于10万元的概率为P (C 1C 2C 3)＝P (C 1)P (C 2)P (C 3)＝0.83＝0.512，连续3个生产周期中有2个生产周期的利润不少于10万元的概率为P (C 1C －2C 3)＋P (C 1C 2C 3)＋P (C 1C 2C －3)＝3×0.82×0.2＝0.384，所以连续3个生产周期中至少有2个生产周期的利润不少于10万元的概率为0.512＋0.384＝0.896.独立重复试验与二项分布(高频考点)[学生用书P 209]独立重复试验与二项分布是高考命题的热点，多以解答题的形式呈现，试题难度稍大，多为中高档题目．高考对独立重复试验与二项分布的考查主要有以下两个命题角度： (1)已知二项分布，求二项分布列及均值；(2)已知随机变量服从二项分布，求某种情况下的概率．[典例引领](2017·沈阳质量监测)某学校举行联欢会，所有参演的节目都由甲、乙、丙三名专业老师投票决定是否获奖．甲、乙、丙三名老师都有“获奖”“待定”“淘汰”三类票各一张．每个节目投票时，甲、乙、丙三名老师必须且只能投一张票，每人投三类票中的任何一类票的概率都为13，且三人投票相互没有影响．若投票结果中至少有两张“获奖”票，则决定该节目最终获一等奖；否则，该节目不能获一等奖．(1)求某节目的投票结果是最终获一等奖的概率；(2)求该节目投票结果中所含“获奖”和“待定”票票数之和X 的分布列及数学期望． 【解】 (1)设“某节目的投票结果是最终获一等奖”这一事件为A ，则事件A 包括：该节目可以获两张“获奖”票，或者获三张“获奖”票．因为甲、乙、丙三名老师必须且只能投一张票，每人投三类票中的任何一类票的概率都为13，且三人投票相互没有影响， 所以P (A )＝C 23⎝⎛⎭⎫132⎝⎛⎭⎫231＋C 33⎝⎛⎭⎫133＝727.(2)所含“获奖”和“待定”票票数之和X 的可能取值为0，1，2，3. P (X ＝0)＝⎝⎛⎭⎫133＝127；P (X ＝1)＝C 13⎝⎛⎭⎫231⎝⎛⎭⎫132＝627＝29； P (X ＝2)＝C 23⎝⎛⎭⎫232⎝⎛⎭⎫131＝1227＝49；P (X ＝3)＝⎝⎛⎭⎫233＝827. 因此X 的分布列为所以X 的数学期望为EX ＝0×127＋1×627＋2×1227＋3×827＝2.(1)独立重复试验满足的条件独立重复试验是在同样的条件下重复地、各次之间相互独立地进行的一种试验．在这种试验中，每一次试验只有两种结果，即某事件要么发生，要么不发生，并且任何一次试验中发生的概率都是一样的．(2)二项分布满足的条件①每次试验中，事件发生的概率是相同的． ②各次试验中的事件是相互独立的．③每次试验只有两种结果：事件要么发生，要么不发生． ④随机变量是这n 次独立重复试验中事件发生的次数．[题点通关]角度一 已知二项分布，求二项分布列及均值1．小王在某社交络的朋友圈中，向在线的甲、乙、丙随机发放红包，每次发放1个． (1)若小王发放5元的红包2个，求甲恰得1个的概率；(2)若小王发放3个红包，其中5元的2个，10元的1个．记乙所得红包的总钱数为X ，求X 的分布列和期望．[解] (1)设“甲恰得1个红包”为事件A ，则P (A )＝C 12×13×23＝49.(2)X 的所有可能取值为0，5，10，15，20. P (X ＝0)＝⎝⎛⎭⎫233＝827， P (X ＝5)＝C 12×13×⎝⎛⎭⎫232＝827，P (X ＝10)＝⎝⎛⎭⎫132×23＋⎝⎛⎭⎫232×13＝627， P (X ＝15)＝C 12×⎝⎛⎭⎫132×23＝427，P (X ＝20)＝⎝⎛⎭⎫133＝127. 所以X 的分布列为E (X )＝0×827＋5×827＋10×627＋15×427＋20×127＝203.角度二 已知随机变量服从二项分布，求某种情况 下的概率2．设随机变量X ～B (2，p )，Y ～B (4，p )，若P (X ≥1)＝59，则P (Y ≥2)的值为( )A.3281 B ．1127C.6581D ．1681B [解析] 因为随机变量X ～B (2，p )，Y ～B (4，p )，又P (X ≥1)＝1－P (X ＝0)＝1－(1－p )2＝59，解得p ＝13，所以Y ～B ⎝⎛⎭⎫4，13，则P (Y ≥2)＝1－P (Y ＝0)－P (Y ＝1)＝1127.超几何分布[学生用书P209][典例引领](2017·云南省第一次统一检测)某市教育与环保部门联合组织该市中学参加市中学生环保知识团体竞赛，根据比赛规则，某中学选拔出8名同学组成参赛队，其中初中学部选出的3名同学有2名女生；高中学部选出的5名同学有3名女生，竞赛组委会将从这8名同学中随机选出4人参加比赛．(1)设“选出的4人中恰有2名女生，而且这2名女生来自同一个学部”为事件A ，求事件A 的概率P (A )；(2)设X 为选出的4人中女生的人数，求随机变量X 的分布列和数学期望．【解】 (1)由已知，得P (A )＝C 22C 23＋C 23C 23C 48＝635. 所以事件A 的概率为635.(2)由题意知，X 服从超几何分布， 随机变量X 的所有可能取值为1，2，3，4.由已知得P (X ＝k )＝C k 5C 4－k 3C 48(k ＝1，2，3，4)．所以随机变量X 的分布列为随机变量X 的数学期望E (X )＝1×114＋2×37＋3×37＋4×114＝52.超几何分布的特点(1)对于服从某些特殊分布的随机变量，其分布列可直接应用公式给出．(2)超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数，随机变量取值的概率实质上是古典概型．一个袋中有大小相同的黑球和白球共10个．已知从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是79.(1)求白球的个数；(2)从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望．[解] (1)记“从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球”为事件A ，设袋中白球的个数为x ，则P (A )＝1－C 210－xC 210＝79，得到x ＝5.故白球有5个．(2)X 服从超几何分布，其中N ＝10，M ＝5，n ＝3，P (X ＝k )＝C k 5C 3－k 5C 310，k ＝0，1，2，3.于是可得其分布列为则E (X )＝0×112＋1×512＋2×512＋3×112＝32.正态分布[学生用书P210][典例引领](1)(2017·长春质检)已知随机变量X 服从正态分布N (1，σ2)，若P (X ＞2)＝0.15，则P (0≤X ≤1)＝( )A ．0.85B ．0.70C ．0.35D ．0.15(2)已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布N (0，32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3，6)内的概率为( )(附：若随机变量ξ服从正态分布N (μ，σ2)，则P (μ－σ＜ξ＜μ＋σ)≈68.27%，P (μ－2σ＜ξ＜μ＋2σ)≈95.45%)A ．4.56%B ．13.59%C ．27.18%D ．31.74%【解析】 (1)P (0≤X ≤1)＝P (1≤X ≤2)＝0.5－P (X ＞2)＝0.35.(2)由正态分布的概率公式知P (－3＜ξ＜3)≈0.682 7，P (－6＜ξ＜6)≈0.954 5，故P (3＜ξ＜6)＝P （－6＜ξ＜6）－P （－3＜ξ＜3）2＝0.954 5－0.682 72＝0.135 9＝13.59%，故选B ．【答案】 (1)C (2)B正态分布下的概率计算常见的两类问题(1)利用正态分布密度曲线的对称性研究相关概率问题，涉及的知识主要是正态曲线关于直线x ＝μ对称，及曲线与x 轴之间的面积为1.(2)利用3σ原则求概率问题时，要注意把给出的区间或范围与正态变量的μ，σ进行对比联系，确定它们属于(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)中的哪一个．[通关练习]1．设随机变量ξ服从正态分布N (μ，σ2)，函数f (x )＝x 2＋4x ＋ξ没有零点的概率是12，则μ等于________．[解析] 根据题意，函数f (x )＝x 2＋4x ＋ξ没有零点时，Δ＝16－4ξ<0，即ξ>4，根据正态曲线的对称性，当函数f (x )＝x 2＋4x ＋ξ没有零点的概率是12时，μ＝4.[答案] 42．(2017·福建省毕业班质量检测)若随机变量X ～N (μ，σ2)，且P (X >5)＝P (X <－1)＝0.2，则P (2<X <5)＝________．[解析] 因为随机变量X ～N (μ，σ2)，所以正态曲线关于直线x ＝μ对称．又P (X >5)＝P (X <－1)＝0.2，所以μ＝5－12＝2，所以P (2<X <5)＝P (X >2)－P (X >5)＝0.5－0.2＝0.3.[答案] 0.3[学生用书P210])——离散型随机变量的综合问题(本题满分12分)某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，每次抽奖都是从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖．(1)求顾客抽奖1次能获奖的概率；(2)若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X ，求X 的分布列和数学期望．[思维导图](1)记事件A 1＝{从甲箱中摸出的1个球是红球}， A 2＝{从乙箱中摸出的1个球是红球}，B 1＝{顾客抽奖1次获一等奖}，B 2＝{顾客抽奖1次获二等奖}，C ＝{顾客抽奖1次能获奖}．由题意知A 1与A 2相互独立，A 1A 2与A 1 A 2互斥，B 1与B 2互斥，且B 1＝A 1A 2，B 2＝A 1A 2＋A 1A 2，C ＝B 1＋B 2.因为P (A 1)＝410＝25，P (A 2)＝510＝12，(2分)所以P (B 1)＝P (A 1A 2)＝P (A 1)P (A 2)＝25×12＝15，(3分)P (B 2)＝P (A 1A 2＋A 1A 2)＝P (A 1A 2)＋P (A 1A 2) ＝P (A 1)P (A 2)＋P (A 1)P (A 2) ＝P (A 1)(1－P (A 2))＋(1－P (A 1))P (A 2) ＝25×⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫1－25×12＝12.(5分) 故所求概率为P (C )＝P (B 1＋B 2)＝P (B 1)＋P (B 2)＝15＋12＝710.(6分)(2)顾客抽奖3次可视为3次独立重复试验，由(1)知，顾客抽奖1次获一等奖的概率为15，所以X ～B ⎝⎛⎭⎫3，15.(7分) 于是P (X ＝0)＝C 03⎝⎛⎭⎫150⎝⎛⎭⎫453＝64125，P (X ＝1)＝C 13⎝⎛⎭⎫151⎝⎛⎭⎫452＝48125，P (X ＝2)＝C 23⎝⎛⎭⎫152⎝⎛⎭⎫451＝12125， P (X ＝3)＝C 33⎝⎛⎭⎫153⎝⎛⎭⎫450＝1125.(10分) 故X 的分布列为(11分)X 的数学期望为E (X )＝3×15＝35.(12分)(1)解答此类问题，应注意答题要求，严格按照题目及相关知识的要求答题．(2)注意分布列要用表格的形式列出来，不要认为求出各个相应的概率就结束了．[学生用书P376(独立成册)]1．投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A ，“骰子向上的点数是3”为事件B ，则事件A ，B 中至少有一个发生的概率是( )A.512 B ．12C.712D ．34C [解析] 依题意，得P (A )＝12，P (B )＝16，且事件A ，B 相互独立，则事件A ，B 中至少有一个发生的概率为1－P (A －·B －)＝1－P (A －)·P (B －)＝1－12×56＝712，故选C.2．已知⎝⎛⎭⎫1x 2＋x 64展开式中的常数项为a ，且X ～N (1，1)，则P (3<X <a )＝( ) (附：若随机变量X ～N (μ，σ2)，则P (μ－σ<X <μ＋σ)≈68.27%，P (μ－2σ<X <μ＋2σ)≈95.45%，P (μ－3σ<X <μ＋3σ)≈99.73%)A ．0.043B ．0.021 4C ．0.341 3D ．0.477 2B [解析] 因为⎝⎛⎭⎫1x 2＋x 64展开式中的常数项为a ，所以a ＝C 14⎝⎛⎭⎫1x 23x 6＝4.因为X ～N (1，1)，所以正态曲线关于直线x ＝1对称，因为P (－1<X <3)＝P (1－2<X <1＋2)≈95.45%，P (－2<X <4)＝P (1－3<X <1＋3)≈99.73%，所以P (3<X <4)＝12[P (－2<X <4)－P (－1<X <3)]＝12(99.73%－95.45%)＝0.021 4，故选B ．3．某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X ，则X 的数学期望为________．[解析] 记不发芽的种子数为Y ，则Y ～B (1 000，0.1)，所以E (Y )＝1 000×0.1＝100.又X ＝2Y ，所以E (X )＝E (2Y )＝2E (Y )＝200. [答案] 2004．(2017·贵州省七校第一次联考)在某校2016年高三11月月考中理科数学成绩X ～N (90，σ2)(σ＞0)，统计结果显示P (60≤X ≤120)＝0.8，假设该校参加此次考试的有780人，那么试估计此次考试中，该校成绩高于120分的有________人．[解析] 因为成绩X ～N (90，σ2)，所以其正态曲线关于直线x ＝90对称．又P (60≤X ≤120)＝0.8，由对称性知成绩在120分以上的人数约为总人数的12(1－0.8)＝0.1，所以估计成绩高于120分的有0.1×780＝78人．[答案] 785．(2016·高考天津卷)某小组共10人，利用假期参加义工活动．已知参加义工活动次数为1，2，3的人数分别为3，3，4.现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会．(1)设A 为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A 发生的概率； (2)设X 为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X 的分布列和数学期望．[解] (1)由已知，有P (A )＝C 13C 14＋C 23C 210＝13. 所以事件A 发生的概率为13.(2)随机变量X 的所有可能取值为0，1，2.P (X ＝0)＝C 23＋C 23＋C 24C 210＝415， P (X ＝1)＝C 13C 13＋C 13C 14C 210＝715， P (X ＝2)＝C 13C 14C 210＝415.所以随机变量X 的分布列为随机变量X 的数学期望E (X )＝0×415＋1×715＋2×415＝1.6．为督导学校课外选修课的开展情况，某市教育督导部门从一所高中的四个选修专业中利用分层抽样的方法选出了14名学生进行调查，已知样本中各专业学生人数如下表：(1)若从这14名学生中随机选出两名，求这两名学生来自同一选修专业的概率； (2)现要从这14名学生中随机选出两名学生参加座谈，设其中来自剪纸专业的人数为X ，令Y ＝2X －1，求随机变量Y 的分布列及数学期望E (Y )．[解] (1)设“两名学生来自同一选修专业”为事件A ，则P (A )＝C 22＋C 23＋C 24＋C 25C 214＝2091.故两名学生来自同一选修专业的概率为2091.(2)因为剪纸专业有3人，非剪纸专业有11人，所以来自剪纸专业的人数X 服从超几何分布H (14，2，3)．则X 的所有可能取值是0，1，2，其中P (X ＝i )＝C i 3C 2－i11C 214(i ＝0，1，2)，对应的Y 的所有可能取值为－1，1，3.则P (Y ＝－1)＝P (X ＝0)＝C 03C 211C 214＝5591；P (Y ＝1)＝P (X ＝1)＝C 13C 111C 214＝3391；P (Y ＝3)＝P (X ＝2)＝C 23C 011C 214＝391.所以Y 的分布列为所以E (Y )＝(－1)×5591＋1×3391＋3×391＝－17.7．(2017·石家庄市第一次模考)某篮球队对篮球运动员的篮球技能进行统计研究，针对篮球运动员在投篮命中时，运动员到篮筐中心的水平距离这项指标，对某运动员进行了若干场次的统计，依据统计结果绘制如下频率分布直方图：(1)依据频率分布直方图估算该运动员投篮命中时，他到篮筐中心的水平距离的中位数； (2)在某场比赛中，考察他前4次投篮命中时到篮筐中心的水平距离的情况，并且规定：运动员投篮命中时，他到篮筐中心的水平距离不少于4米的记1分，否则扣掉1分．用随机变量X 表示第4次投篮后的总分，将频率视为概率，求X 的分布列和数学期望．[解] (1)设该运动员到篮筐中心的水平距离的中位数为x ，因为0.20×1＝0.20<0.5，且(0.40＋0.20)×1＝0.6>0.5， 所以x ∈(4，5)．由0.40×(5－x )＋0.20×1＝0.5，解得x ＝4.25，所以该运动员到篮筐中心的水平距离的中位数是4.25米．(2)由频率分布直方图可知投篮命中时到篮筐中心距离超过4米的概率为P ＝35，随机变量X 的所有可能取值为－4，－2，0，2，4. P (X ＝－4)＝⎝⎛⎭⎫254＝16625， P (X ＝－2)＝C 14⎝⎛⎭⎫253⎝⎛⎭⎫351＝96625，P (X ＝0)＝C 24⎝⎛⎭⎫252⎝⎛⎭⎫352＝216625， P (X ＝2)＝C 34⎝⎛⎭⎫251⎝⎛⎭⎫353＝216625， P (X ＝4)＝⎝⎛⎭⎫354＝81625， 所以X 的分布列为E (X )＝(－4)×16625＋(－2)×96625＋0×216625＋2×216625＋4×81625＝45.8．在2016年全国高校自主招生考试中，某高校设计了一个面试考查方案：考生从6道备选题中一次性随机抽取3题，按照题目要求独立回答全部问题．规定：至少正确回答其中2题的便可通过．已知6道备选题中考生甲有4题能正确回答，2题不能回答；考生乙每题正确回答的概率都为23，且每题正确回答与否互不影响．(1)分别写出甲、乙两考生正确回答题数的分布列，并计算其数学期望； (2)试用统计知识分析比较两考生的通过能力．[解] (1)设考生甲、乙正确回答的题目个数分别为ξ，η，则ξ的可能取值为1，2，3，P (ξ＝1)＝C 14C 22C 36＝15，P (ξ＝2)＝C 24C 12C 36＝35，P (ξ＝3)＝C 34C 02C 36＝15，所以考生甲正确回答题数的分布列为E (ξ)＝1×15＋2×35＋3×15＝2.又η～B ⎝⎛⎭⎫3，23，其分布列为所以E (η)＝np ＝3×23＝2.(2)因为D (ξ)＝(2－1)2×15＋(2－2)2×35＋(2－3)2×15＝25，D (η)＝np (1－p )＝3×23×13＝23，所以D (ξ)<D (η)．因为P (ξ≥2)＝35＋15＝0.8，P (η≥2)＝1227＋827≈0.74，所以P (ξ≥2)>P (η≥2)．从回答对题数的数学期望考查，两个水平相当；从回答对题数的方差考查，甲较稳定；从至少完成2题的概率考查，甲通过的可能性大．因此可以判断甲的通过能力较强．9．(2017·湖南衡阳一中月考)上购物逐步走进大学生活，某大学学生宿舍4人积极参加购，大家约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去哪家购物，掷出点数为1或2的人去淘宝购物，掷出点数大于2的人去京东商城购物，且参加者必须从淘宝和京东商城中选择一家购物．(1)求这4个人中恰有2人去淘宝购物的概率；(2)用X ，Y 分别表示这4个人中去淘宝购物的人数和去京东商城购物的人数，求这4个人中去淘宝购物的人数大于去京东商城购物的人数的概率；(3)记ξ＝|X －Y |，求随机变量ξ的分布列与数学期望E (ξ)．[解] (1)每个人去淘宝购物的概率都为13，去京东商城购物的概率都为1－13＝23，这4个人中恰有2人去淘宝购物的概率为C 24⎝⎛⎭⎫132⎝⎛⎭⎫1－132＝827. (2)由题意可知X ～B (4，p )⎝⎛⎭⎫其中p ＝13， 则P (X ＝k )＝C k 4p k (1－p )4－k(k ＝0，1，2，3，4)， 这4个人中去淘宝购物的人数大于去京东商城购物的人数的概率为P (X ＝3)＋P (X ＝4)＝19. (3)ξ可取0，2，4，P (ξ＝0)＝P (X ＝2)＝827，P (ξ＝2)＝P (X ＝1)＋P (X ＝3)＝4081，P (ξ＝4)＝P (X ＝0)＋P (X ＝4)＝1781.所以随机变量ξ的分布列为E (ξ)＝14881.10．云南省2016年全省高中男生身高统计调查数据显示：全省100 000名高中男生的身高服从正态分布N (170.5，16)．现从云南省某校高三年级男生中随机抽取50名测量身高，测量发现被测学生身高全部介于157.5 cm 和187.5 cm 之间，将测量结果按如下方式分成6组：第1组[157.5，162.5)，第2组[162.5，167.5)，…，第6组[182.5，187.5]，如图是按上述分组方式得到的频率分布直方图．(1)试评估该校高三年级男生在全省高中男生中的平均身高状况； (2)求这50名男生身高在177.5 cm 以上(含177.5 cm)的人数；(3)从这50名男生身高在177.5 cm 以上(含177.5 cm)的人中任意抽取2人，该2人中身高排名(从高到低)在全省前135名的人数记为ξ，求ξ的数学期望．参考数据：若ξ～N (μ，σ2)，则 P (μ－σ<ξ≤μ＋σ)≈0.682 7， P (μ－2σ<ξ≤μ＋2σ)≈0.954 5， P (μ－3σ<ξ≤μ＋3σ)≈0.997 3.[解] (1)由频率分布直方图知，该校高三年级男生平均身高为160×0.1＋165×0.2＋170×0.3＋175×0.2＋180×0.1＋185×0.1＝171.5(cm)，该校高三年级男生的平均身高高于全省高中男生身高的平均值170.5(cm)．(2)由频率分布直方图知，后两组频率和为0.2，所以人数和为0.2×50＝10，即这50名男生中身高在177.5 cm 以上(含177.5 cm)的人数为10.(3)因为P (170.5－3×4<ξ≤170.5＋3×4)≈0.997 3， 所以P (ξ≥182.5)＝1－0.997 32＝0.001 35，又0.001 35×100 000＝135.所以身高在182.5 cm 以上(含182.5 cm)的高中男生可排进全省前135名．因为该校这50名男生中身高在182.5 cm 以上(含182.5 cm)的有5人，身高在177.5 cm 以上(含177.5 cm)的有10人，随机变量ξ可取0，1，2，于是P (ξ＝0)＝C 25C 210＝1045＝29，P (ξ＝1)＝C 15C 15C 210＝2545＝59，P (ξ＝2)＝C 25C 210＝1045＝29.所以E (ξ)＝0×29＋1×59＋2×29＝1.。

新高考数学一轮复习考点知识专题讲解与练习考点知识总结55 二项分布与超几何分布、正态分布高考 概览 高考在本考点的常考题型为选择题、填空题、解答题，分值为5分、12分，中等难度考纲研读1.理解n 次独立重复试验的模型及二项分布2．理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单应用3．借助直方图认识正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义4．能解决一些简单的实际问题一、基础小题1．设随机变量X ～N (1,52)，且P (X ≤0)＝P (X ≥a －2)，则实数a 的值为() A ．4 B ．6 C.8 D ．10答案 A解析 x ＝0与x ＝a －2关于x ＝1对称，则a －2＝2，a ＝4.故选A.2．设随机变量X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫6，12，则P (X ＝3)＝( )A.516 B ．316 C.58 D ．38答案 A解析 X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫6，12，由二项分布可得，P (X ＝3)＝C 36×⎝ ⎛⎭⎪⎫123×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－123＝516. 3．15个村庄中有7个交通不方便，现从中任意选10个村庄，用X 表示这10个村庄中交通不方便的村庄数，下列概率中等于C 47C 68C 1015的是( ) A ．P (X ＝2) B ．P (X ≤2) C ．P (X ＝4) D ．P (X ≤4) 答案 C解析 X 服从超几何分布，故P (X ＝k )＝C k 7C 10－k 8C 1015，k ＝4. 4．一试验田某种作物一株生长果实个数x 服从正态分布N (90，σ2)，且P (x <70)＝0.2，从试验田中随机抽取10株，果实个数在[90,110]的株数记作随机变量X ，且X 服从二项分布，则X 的方差为( )A ．3B ．2.1 C.0.3 D ．0.21答案 B解析 ∵x ～N (90，σ2)，且P (x <70)＝0.2，∴P (x >110)＝0.2，∴P (90≤x ≤110)＝0.5－0.2＝0.3，∴X ～B (10,0.3)，则X 的方差为10×0.3×(1－0.3)＝2.1.故选B.5．袋中装有2个红球，3个黄球，有放回地抽取3次，每次抽取1球，则3次中恰有2次抽到黄球的概率是( )A.25 B ．35 C.18125 D ．54125答案 D解析 袋中装有2个红球，3个黄球，有放回地抽取3次，每次抽取1球，每次抽到黄球的概率为P 1＝35，所以3次中恰有2次抽到黄球的概率是P ＝C 23×⎝ ⎛⎭⎪⎫352×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－35＝54125.6．(多选)抛掷一枚质地均匀的硬币三次，若记出现“三个正面”“三个反面”“二正一反”“一正二反”的概率分别为P 1，P 2，P 3，P 4，则下列结论中正确的是( )A ．P 1＝P 2＝P 3＝P 4B ．P 3＝2P 1C ．P 1＋P 2＋P 3＋P 4＝1D ．P 4＝3P 2答案 CD解析 根据伯努利试验的概率计算公式，可得P 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝18，P 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝18，P 3＝C 23×⎝ ⎛⎭⎪⎫122×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＝38，P 4＝C 13×12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－122＝38，P 1＝P 2＜P 3＝P 4，故A 错误；P 3＝3P 1，故B 错误；P 1＋P 2＋P 3＋P 4＝1，故C 正确；P 4＝3P 2，故D 正确．故选CD.7．某市高三理科学生有15000名，在一次调研测试中，数学成绩ξ服从正态分布N (100，σ2)，已知P (80≤ξ≤100)＝0.40，若按成绩采用分层随机抽样的方式取100份试卷进行分析，则应从120分以上的试卷中抽取的份数为________．答案 10解析 P (ξ>120)＝12[1－2P (80≤ξ≤100)]＝0.10，所以应从120分以上的试卷中抽取100×0.10＝10份．8．甲、乙两名枪手进行射击比赛，每人各射击三次，甲三次射击命中率均为45；乙第一次射击的命中率为78，若第一次未射中，则乙进行第二次射击，射击的命中率为34，如果又未中，则乙进行第三次射击，射击的命中率为12.乙若射中，则不再继续射击．则甲三次射击命中次数的期望为________，乙射中的概率为________．答案 1256364解析 甲、乙两名枪手进行射击比赛，每人各射击三次，甲三次射击命中率均为45，则甲击中的次数X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，45，∴甲三次射击命中次数的期望为E (X )＝3×45＝125.由题意可得乙射中的概率为P ＝78＋18×34＋18×14×12＝6364.二、高考小题9．(2022·新高考Ⅱ卷)某物理量的测量结果服从正态分布N (10，σ2)，下列结论中不正确的是( )A ．σ越小，该物理量在一次测量中在(9.9,10.1)的概率越大B ．该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5C ．该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等D ．该物理量在一次测量中落在(9.9,10.2)与落在(10,10.3)的概率相等答案 D解析 对于A ，σ2为数据的方差，所以σ越小，数据在μ＝10附近越集中，所以测量结果落在(9.9,10.1)内的概率越大，故A 正确；对于B ，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5，故B正确；对于C，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量在一次测量中小于9.99的概率与大于10.01的概率相等，故C正确；对于D，因为该物理量在一次测量中落在(9.9,10)的概率与落在(10.2,10.3)的概率不同，所以在一次测量中落在(9.9,10.2)的概率与落在(10,10.3)的概率不同，故D错误．故选D.10．(2022·全国Ⅲ卷)某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p，各成员的支付方式相互独立，设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，D(X)＝2.4，P(X ＝4)<P(X＝6)，则p＝()A．0.7 B．0.6C．0.4 D．0.3答案B解析∵D(X)＝np(1－p)，∴p＝0.4或p＝0.6.∵P(X＝4)＝C410p4(1－p)6<P(X＝6)＝C610p6(1－p)4，∴(1－p)2<p2，可知p>0.5.∴p＝0.6.故选B.三、模拟小题11．(2022·广东惠州第二次模拟)已知随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，且P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545，P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827，若μ＝4，σ＝1，则P(5<X≤6)≈()A．0.1359 B．0.1859 C．0.2718 D．0.6827答案A解析由P(3≤X≤5)≈0.6827，得P(4≤X≤5)≈0.68272＝0.34135，由P(2≤X≤6)≈0.9545，得P(4≤X≤6)≈0.95452＝0.47725，所以P(5<X≤6)＝P(4≤X≤6)－P (4≤X ≤5)≈0.47725－0.34135＝0.1359.故选A.12．(2022·宁夏吴忠市青铜峡市高级中学月考)有8件产品，其中4件是次品，从中有放回地取3次(每次1件)，若X 表示取得次品的次数，则P (X ≤2)＝( )A.38 B ．1314 C.45 D ．78答案 D解析 因为是有放回地取产品，所以每次取产品取到次品的概率为48＝12.从中取3次，X 为取得次品的次数，则X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，12，P (X ≤2)＝P (X ＝2)＋P (X ＝1)＋P (X ＝0)＝C 23×⎝ ⎛⎭⎪⎫122×12＋C 13×12×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋C 03×⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝78.故选D. 13．(2022·浙江省杭州市高级中学高考仿真模拟)已知在盒中有红色、黄色、白色的球各4个，现从中任意摸出4个球，则摸出白球个数的期望是( )A.13 B ．23 C.43 D ．53答案 C解析 设摸出的白球的个数为X ，则X ＝0,1,2,3,4，所以P (X ＝0)＝C 48C 412＝1499，P (X ＝1)＝C 14C 38C 412＝224495，P (X ＝2)＝C 24C 28C 412＝168495，P (X ＝3)＝C 34C 18C 412＝32495，P (X ＝4)＝C 44C 08C 412＝1495.所以摸出白球的期望是E (X )＝0×1499＋1×224495＋2×168495＋3×32495＋4×1495＝43.14．(多选)(2022·广东肇庆第二次统一检测)已知两种不同型号的电子元件(分别记为X ，Y )的使用寿命均服从正态分布，X ～N (μ1，σ21)，Y ～N (μ2，σ22)，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是()参考数据：若Z～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤Z≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ≤Z≤μ＋2σ)≈0.9545.A．P(μ1－σ1≤X≤μ1＋2σ1)≈0.8186B．P(Y≥μ2)<P(Y≥μ1)C．P(X≤σ2)<P(X≤σ1)D．对于任意的正数t，有P(X≤t)>P(Y≤t)答案ABD解析对于A，P(μ1－σ1≤X≤μ1＋2σ1)≈(0.6827＋0.9545)×12＝0.8186，故A正确；对于B，由正态分布密度曲线，可知μ1<μ2，所以P(Y≥μ2)<P(Y≥μ1)，故B正确；对于C，由正态分布密度曲线，可知σ1<σ2，所以P(X≤σ2)>P(X≤σ1)，故C错误；对于D，对于任意的正数t，有P(X≤t)>P(Y≤t)，故D正确．故选ABD.15．(多选)(2022·辽宁名校联盟高三联考)在3n(n∈N*)次独立重复试验中，每次试验的结果只有A，B，C三种，且A，B，C三个事件之间两两互斥．已知在每一次试验中，事件A，B发生的概率均为25，事件C发生的概率为15.则()A．事件A发生次数的数学期望为6n 5B ．A ，B ，C 三个事件发生次数的数学期望之和为3nC ．事件B ，C 发生次数的方差之比为43D ．A ，B ，C 三个事件各发生n 次的概率为C n 3n C n 2n ⎝ ⎛⎭⎪⎫252n ⎝ ⎛⎭⎪⎫15n 答案 ABD解析 由题意可知，事件B ∪C ＝∁U A ，A ∪C ＝∁U B ，A ∪B ＝∁U C ，所以事件A ，B ，C 均看作二项分布．对于A ，期望值E ＝3np A ＝6n 5，即A 正确；对于B ，期望值之和E总＝3np A ＋3np B ＋3np C ＝6n 5＋6n 5＋3n 5＝3n ，即B 正确；对于C ，事件B 发生次数的方差D 1＝3np B (1－p B )＝18n 25，事件C 发生次数的方差D 2＝3np C (1－p C )＝12n 25，则D 1D 2＝1812＝32，即C 不正确；对于D ，从3n 次中选择n 次为事件A ，则为C n 3n ，从余下的2n 次中选择n 次为事件B ，则为C n 2n ，所以各发生n 次的概率为C n 3n C n 2n ⎝ ⎛⎭⎪⎫252n ⎝ ⎛⎭⎪⎫15n ，即D 正确． 16．(2022·新高考八省联考)对一个物理量做n 次测量，并以测量结果的平均值作为该物理量的最后结果．已知最后结果的误差εn ～N ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2n ，为使误差εn 在(－0.5,0.5)内的概率不小于0.9545，至少要测量________次(若X ～N (μ，σ2)，则P (|X －μ|<2σ)≈0.9545)．答案 32解析 根据正态曲线的对称性知，要使误差εn 在(－0.5，0.5)内的概率不小于0.9545，则(μ－2σ，μ＋2σ)⊆(－0.5,0.5)，又μ＝0，σ＝2n ，所以0.5≥22n ，解得n ≥32.17．(2022·福建省宁化第一中学高三9月第二次月考)已知随机变量X ～B (4，p )，方差D (X )的最大值为________，当方差D (X )最大时，⎝⎛⎭⎪⎫4px －1x 6的展开式中1x 2的系数为________．答案 1 60解析 因为随机变量X ～B (4，p )，D (X )＝4p (1－p )≤4⎣⎢⎡⎦⎥⎤p ＋(1－p )22＝1，当且仅当p ＝12时取等号．由题意知⎝ ⎛⎭⎪⎫4px －1x 6＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 6，其展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 6(2x )6－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x r ＝(－1)r 26－r C r 6x 6－2r ，令6－2r ＝－2，则r ＝4，所以展开式中1x 2的系数为(－1)4×22×C 46＝60.一、高考大题1．(2022·天津高考)设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为23.假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立．(1)用X 表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量X 的分布列和数学期望；(2)设M 为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多2”，求事件M 发生的概率．解 (1)因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天7：30之前到校的概率均为23，故X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，23，从而P (X ＝k )＝C k 3⎝ ⎛⎭⎪⎫23k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫133－k ，k ＝0,1,2,3. 所以随机变量X 的分布列为随机变量X 的数学期望E (X )＝3×23＝2.(2)设乙同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数为Y ，则Y ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，23，且M ＝{X ＝3，Y ＝1}∪{X ＝2，Y ＝0}．由题意知事件{X ＝3，Y ＝1}与{X ＝2，Y ＝0}互斥，且事件{X ＝3}与{Y ＝1}，事件{X ＝2}与{Y ＝0}均相互独立，从而由(1)知P (M )＝P ({X ＝3，Y ＝1}∪{X ＝2，Y ＝0})＝P (X ＝3，Y ＝1)＋P (X ＝2，Y ＝0)＝P (X ＝3)P (Y ＝1)＋P (X ＝2)P (Y ＝0)＝827×29＋49×127＝20243.2．(2022·全国Ⅰ卷)某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为p (0<p <1)，且各件产品是否为不合格品相互独立．(1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f (p )，求f (p )的最大值点p 0；(2)现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以(1)中确定的p 0作为p 的值．已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用．①若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X，求E(X)；②以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？解(1)20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p)＝C220p2(1－p)18.因此f′(p)＝C220[2p(1－p)18－18p2(1－p)17]＝2C220p(1－p)17(1－10p)．令f′(p)＝0，得p＝0.1.当p∈(0,0.1)时，f′(p)>0；当p∈(0.1,1)时，f′(p)<0.所以f(p)的最大值点为p0＝0.1.(2)由(1)知，p＝0.1.①令Y表示余下的180件产品中的不合格品件数，依题意知Y～B(180,0.1)，X＝20×2＋25Y，即X＝40＋25Y.所以E(X)＝E(40＋25Y)＝40＋25E(Y)＝490.②如果对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费为400元．由于E(X)>400，故应该对余下的产品作检验．3．(2022·全国Ⅰ卷)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸(单位：cm)．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N(μ，σ2)．(1)假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件数，求P(X≥1)及X的数学期望；(2)一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．①试说明上述监控生产过程方法的合理性；②下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：0.212，其中x i为抽取的第i个零件的尺寸，i＝1,2， (16)用样本平均数x－作为μ的估计值μ^，用样本标准差s作为σ的估计值σ^，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查．剔除(μ^－3σ^，μ^＋3σ^)之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ(精确到0.01)．附：若随机变量Z服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－3σ<Z<μ＋3σ)＝0.9974,0.997416≈0.9592, 0.008≈0.09.解(1)抽取的一个零件的尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之内的概率为0.9974，从而零件的尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的概率为0.0026，故X～B(16,0.0026)．因此P(X≥1)＝1－P(X＝0)＝1－0.997416≈0.0408.X的数学期望E(X)＝16×0.0026＝0.0416.(2)①如果生产状态正常，一个零件尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的概率只有0.0026，一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件的概率只有0.0408，发生的概率很小，因此一旦发生这种情况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合理的．②由x －＝9.97，s ≈0.212，得μ的估计值为μ^＝9.97，σ的估计值为σ^＝0.212，由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在(μ^－3σ^，μ^＋3σ^)之外，因此需对当天的生产过程进行检查．剔除(μ^－3σ^，μ^＋3σ^)之外的数据9.22，剩下数据的平均数为115×(16×9.97－9.22)＝10.02.因此μ的估计值为10.02.i ＝116x 2i ≈16×0.2122＋16×9.972≈1591.134， 剔除(μ^－3σ^，μ^＋3σ^)之外的数据9.22，剩下数据的样本方差为115×(1591.134－9.222－15×10.022)≈0.008，因此σ的估计值为0.008≈0.09. 二、模拟大题4．(2022·江苏省百校联考高三第一次考试)冬奥会的全称是冬季奥林匹克运动会，是世界规模最大的冬季综合性运动会，每四年举办一届，第24届冬奥会将于2022年在中国北京和张家口举行，为了弘扬奥林匹克精神，增强学生的冬奥会知识，某市多所中小学校开展了模拟冬奥会各项比赛的活动．为了了解学生在越野滑轮和旱地冰壶两项中的参与情况，在全市中小学学校中随机抽取了10所学校，10所学校的参与人数如下：(1)现从这10所学校中随机选取2所学校进行调查，求选出的2所学校参与旱地冰壶人数在30以下的概率；(2)某校聘请了一名越野滑轮教练，对高山滑降、转弯、八字登坡滑行这3个动作进行技术指导．规定：这3个动作中至少有2个动作达到“优”，总考核记为“优”．在指导前，该校甲同学3个动作中每个动作达到“优”的概率为0.1，在指导后的考核中，甲同学总考核成绩为“优”，能否认为甲同学在指导后总考核达到“优”的概率发生了变化？请说明理由．解(1)记“选出的两所学校参与旱地冰壶人数在30以下”为事件A.参与旱地冰壶人数在30以下的学校共6所，随机选择2所学校共C26＝15种，所以P(A)＝C26C210＝1 3.因此选出的2所学校参与旱地冰壶人数在30以下的概率为13.(2)答案不唯一．示例一：可以认为甲同学在指导后总考核达到“优”的概率发生了变化，理由如下：指导前，甲同学总考核为“优”的概率为C23×0.12×0.9＋C33×0.13＝0.028.指导前，甲同学总考核为“优”的概率非常小，一旦发生，就有理由认为甲同学在指导后总考核达到“优”的概率发生了变化．示例二：无法确定．理由如下：指导前，甲同学总考核为“优”的概率为C23×0.12×0.9＋C33×0.13＝0.028.虽然概率非常小，但是也可能发生，所以无法确定甲同学在指导后总考核达到“优”的概率发生了变化．5．(2022·山东省潍坊市五县市高三联考)2022年8月，体育总局和教育部联合提出了《关于深化体教融合，促进青少年健康发展的意见》．某地区为落实该意见，初中毕业生升学体育考试规定，考生必须参加立定跳远、掷实心球、1分钟跳绳三项测试，三项考试满分为50分，其中立定跳远15分，掷实心球15分，1分钟跳绳20分．某学校在初三上学期开始时要掌握全年级学生每分钟跳绳的情况，随机抽取了100名学生进行测试，得到频率分布直方图(如图所示)，且规定计分规则如下表：每分钟[155,165)[165,175)[175,185)[185,215]跳绳个数得分17181920(1)(2)若该校初三年级所有学生的跳绳个数X服从正态分布N(μ，σ2)，用样本数据的平均值和方差估计总体的数学期望和方差，已知样本方差s2≈169(各组数据用中点值代替)，根据往年经验，该校初三年级学生经过训练，正式测试时跳绳个数都有明显进步，假设中考正式测试时每人每分钟跳绳个数比初三上学期开始时个数增加10，现利用所得正态分布模型：①预估全年级恰好有2000名学生时，正式测试每分钟跳182个以上的人数；(结果四舍五入到整数)②若在全年级所有学生中任意选取3人，记正式测试时每分钟跳195个以上的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望．附：若随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973.解(1)由频率分布直方图得，得分为17,18的人数分别为100×0.006×10＝6,100×0.012×10＝12，由题意知两人得分之和不大于35分，即为两人得分均为17分，或两人中1人得分为17分，1人得分为18分．故两人得分之和不大于35分的概率为P＝C 26＋C16C112C2100＝291650.(2)x－＝160×0.06＋170×0.12＋180×0.34＋190×0.30＋200×0.1＋210×0.08＝185(个)，又σ2≈s2≈169，∴σ≈13，∴正式测试时，μ＝195，σ≈13，∴μ－σ≈182.＝0.84135，①P(X>182)≈1－1－0.682720．84135×2000＝1682.7≈1683(人)．∴预估正式测试每分钟跳182个以上的人数为1683.②在全年级所有学生中任取1人，每分钟跳绳个数在195以上的概率约为0.5，即ξ～B(3,0.5)，∴P(ξ＝0)≈C03×(1－0.5)3＝0.125，P(ξ＝1)≈C13×0.5×(1－0.5)2＝0.375，P(ξ＝2)≈C23×0.52×(1－0.5)＝0.375，P(ξ＝3)≈C33×0.53＝0.125，∴ξ的分布列为E(ξ)≈3×0.5＝1.5.6．(2022·辽宁省渤海大学附属高级中学高三上学期第一次考试)随着我国国民消费水平的不断提升，进口水果也受到了人们的喜爱，世界各地鲜果纷纷从空中、海上汇聚中国：泰国的榴莲、山竹、椰青，厄瓜多尔的香蕉，智利的车厘子，新西兰的金果猕猴桃等水果走进了千家万户．某种水果按照果径大小可分为五个等级：特等、一等、二等、三等和等外，某水果进口商从采购的一批水果中随机抽取500个，利用水果的等级分类标准得到的数据如下：(1)求恰好有3个水果是二等级别的概率；(2)若水果进口商进口时，将特等级别与一等级别的水果标注为优级水果，则用分层随机抽样的方法从这500个水果中抽取10个，再从抽取的10个水果中随机抽取3个，Y 表示抽取的优级水果的数量，求Y 的分布列及数学期望E (Y )．解 (1)设从500个水果中随机抽取一个，抽到二等级别水果的事件为A ， 则P (A )＝250500＝12，有放回地随机抽取6个，设抽到二等级别水果的个数为X ，则X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫6，12，所以恰好抽到3个二等级别水果的概率为P (X ＝3)＝C 36⎝ ⎛⎭⎪⎫123⎝ ⎛⎭⎪⎫1－123＝516. (2)用分层随机抽样的方法从500个水果中抽取10个，则其中优级水果有3个，非优级水果有7个．现从中抽取3个，则优级水果的数量Y 服从超几何分布，所有可能的取值为0,1,2,3. 则P (Y ＝0)＝C 37C 310＝724，P (Y ＝1)＝C 27C 13C 310＝2140，P (Y ＝2)＝C 17C 23C 310＝740，P (Y ＝3)＝C 33C 310＝1120.所以Y的分布列如下：所以E(Y)＝0×724＋1×2140＋2×740＋3×1120＝910.。

专题17 二项分布、超几何分布与正态分布一、考情分析二、经验分享知识点1 独立重复试验与二项分布 (1)独立重复试验在相同条件下重复做的n 次试验称为n 次独立重复试验，其中A i (i ＝1，2，…，n )是第i 次试验结果，则P (A 1A 2A 3…A n )＝P (A 1)P (A 2)P (A 3)…P (A n ).(2)二项分布在n 次独立重复试验中，用X 表示事件A 发生的次数，设每次试验中事件A 发生的概率为p ，则P (X ＝k )＝C k n p k (1－p )n －k(k ＝0，1，2，…，n )，此时称随机变量X 服从二项分布，记作X ～B (n ，p )，并称p 为成功概率.知识点2 正态分布 (1)正态分布的定义如果对于任何实数a ，b (a ＜b )，随机变量X 满足P (a ＜X ≤b )＝⎠⎛abφμ，σ(x )d x ，则称随机变量X 服从正态分布，记为X ～N (μ，σ2).其中φμ，σ(x )＝12πσe(x －μ)22σ2(σ>0).(2)正态曲线的性质①曲线位于x 轴上方，与x 轴不相交，与x 轴之间的面积为1； ②曲线是单峰的，它关于直线x ＝μ对称； ③曲线在x ＝μ处达到峰值1σ2π；④当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散.(3)正态总体在三个特殊区间内取值的概率值 ①P (μ－σ<X ≤μ＋σ)＝0.6826； ②P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ)＝0.9544； ③P (μ－3σ<X ≤μ＋3σ)＝0.9974. 【知识必备】1.相互独立事件与互斥事件的区别相互独立事件是指两个事件发生的概率互不影响，计算式为P (AB )＝P (A )P (B )，互斥事件是指在同一试验中，两个事件不会同时发生，计算公式为P (A ∪B )＝P (A )＋P (B ).2.若X 服从正态分布，即X ～N (μ，σ2)，要充分利用正态曲线的关于直线X ＝μ对称和曲线与x 轴之间的面积为1.知识点3、两点分布如果随机变量X 的概率分布表为其中0<p <1，则称离散型随机变量X 服从两点分布． 知识点4、超几何分布1.概念：一般地，设有N 件产品，其中有M (M ≤N )件次品．从中任取n (n ≤N )件产品，用X 表示取出的n 件产品中次品的件数，那么P (X ＝r )＝C r M C n －rN －MC n N(r ＝0,1,2，…，l )．即其中l ＝min(M ，n )，且n ≤N ，M ≤N ，n ，M ，N ∈N *.如果一个随机变量X 的概率分布具有上表的形式，则称随机变量X 服从超几何分布．2.超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数．超几何分布的特征是： ①考察对象分两类； ②已知各类对象的个数；③从中抽取若干个个体，考察某类个体个数X 的概率分布三、题型分析重难点题型突破01 古典概型与二项分布例1．（2021·全国高二专题练习（理））甲、乙两名运动员练习定点投球，已知在该点每次投篮甲命中的概率是0.8，乙命中的概率是0.9，每人投两次，则甲、乙都恰好命中一次的概率为（ ） A ．0.32 B ．0.18 C ．0.50 D ．0.0576【答案】D 【分析】利用相互独立事件的概率求得结果. 【详解】甲命中一次的概率为12C ×0.8×(1－0.8)＝0.32，乙命中一次的概率为12C ×0.9×(1－0.9)＝0.18，他们投篮命中与否相互独立，所以甲、乙都恰好命中一次的概率为P ＝0.32×0.18＝0.0576. 故选：D.【变式训练1-1】．（2021·浙江温州市·高三三模）已知随机变量ξ，η满足(2,)B p ξ，21ηξ+=，且3(1)4P ξ≤=，则()D η的值为（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】C 【分析】由二项分布的性质推导出23(1)14P p ξ≤=-=，解得12p =，从而求出D ξ，再由12ηξ=-，利用方差的性质能求出D η. 【详解】解：因为随机变量ξ满足(2,)B p ξ， 3(1)4P ξ≤=， 所以有23(1)14P p ξ≤=-=，即12p =.则11121222D ξ⎛⎫=⨯⨯-= ⎪⎝⎭，12ηξ=-，42D D ηξ==.故选：C.【变式训练1-2】．（2021·全国高三其他模拟（理））春天是万物生长的季节，春节过后学生甲利用课余时间在花盆中播种了4粒虞美人种子，若每粒种子发芽的概率为23，则这4粒种子中至少有3粒发芽的概率为（ ） A ．827B ．1927 C ．1627D ．1127【答案】C 【分析】解法一：符合题意的情况是3粒发芽和4粒发芽，结合二项分布概率公式计算可得结果； 解法二：确定所求事件的对立事件，利用二项分布概率公式和对立事件概率公式可求得结果. 【详解】解法一：这4粒种子中至少3粒发芽有3粒发芽和4粒发芽两种情况，则这4粒种子中至少有3粒发芽的概率为3434442123216481633381818127P C C ⎛⎫⎛⎫⨯+=+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=. 解法二：设这4粒种子中至少有3粒发芽为事件A ，则()()1P A P A =-43221244121211613333327C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--⨯⨯-⨯=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 故选：C. 【点睛】思路点睛：求解复杂问题的概率首先要正确分析所求事件的构成，将其转化为彼此互斥事件的和或相互独立事件的积，然后利用相关公式进行计算．求相互独立事件同时发生的概率的主要方法：①利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解；②正面计算较繁或难以入手时，可从其对立事件入手计算．例2．（2021·全国高一课时练习）小宁某天乘火车从重庆到上海去办事，若当天从重庆到上海的三列火车正点到达的概率分别为0.8，0.7，0.9，假设这三列火车之间是否正点到达互不影响.求：（1）这三列火车恰好有两列正点到达的概率；（2）这三列火车至少有一列正点到达的概率.【答案】（1）0.398；（2）0.994.【分析】结合独立事件的乘法公式即可.【详解】解：用A，B，C分别表示这三列火车正点到达的事件.则P(A)＝0.8，P(B)＝0.7，P(C)＝0.9，所以P(A)＝0.2，P(B)＝0.3，P(C)＝0.1.（1）由题意得A，B，C之间互相独立，所以恰好有两列正点到达的概率为P1＝P(ABC)＋P(ABC)＋P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)＋P(A)P(B)P(C)＋P(A)P(B)P(C)＝0.2×0.7×0.9＋0.8×0.3×0.9＋0.8×0.7×0.1＝0.398.（2）三列火车至少有一列正点到达的概率为P2＝1－P(A B C)＝1－P(A)P(B)P(C)＝1－0.2×0.3×0.1＝0.994.【变式训练2-1】．（2021·辽宁高三月考）为了强化体育锻炼，增强青少年体质，国家规定将体育科目纳入高中阶段学校考试招生录取计分科目，并以体育固本行动，开展好学校特色体育项目，大力发展校园体育特色，让每位学生掌握1至2项运动技能，希望学校根据地域特点，大力推广田径、足球、篮球、排球、羽毛球等基础和特色项目．为了增加篮球活动的趣味性，学校设计了如下活动方案：甲、乙两位同学轮流进行投篮比赛，投中自己得1分，对方得0分；不中对方得1分，自己得0分，无论谁投篮，每投一次为一轮比赛，规定当一人比另一人多3分或进行完9轮投篮后，活动结束．假设甲、乙两位同学投篮命中率都为12，且两人投球命中与否相互独立．已知现在已经进行了3轮投篮比赛，甲得分2分，乙得分1分，在此基础上继续比赛．（I）只有当一人比另一人多3分时，得分高者才能获得游戏奖品，求甲获得游戏奖品的概率；（II）设X表示该活动结束时所进行的比赛的总轮数，求X的分布列及数学期望．【答案】（I）2964；（II）分布列见解析，618.【分析】（I）利用独立重复试验的概率及互斥事件的概率公式求解即可；（II）求出理数学随机变量X的可能取值，求出概率得到分布列，然后可求得数学期望.【详解】（I ）由题可知，甲获胜即甲以4:1，5:2，6:3获胜，所以，甲获得游戏奖品的概率4611112925222264P ⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． （II ）X 的所有可能取值为5，7，9，111(5)224P X ==⨯=， 44113(7)22216P X ⎛⎫⎛⎫==⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，9(9)1(5)(7)16P X P X P X ==-=-==. 所以X 的分布列为则X 的数学期望()579416168E X =⨯+⨯+⨯=． 【点睛】方法点睛：求解离散型随机变量X 的数学期望的方法步骤： （1）求出X 的可能取值；（2）计算出X 取每一个可能值时的概率； （3）写出X 的分布列；（4）根据分布列计算出X 的数学期望. 重难点题型突破02 正态分布例3．（多选题）（2021·全国高三其他模拟）甲、乙两名高中同学历次数学测试成绩（百分制）分别服从正态分布()211,N μσ，()222,N μσ，其正态分布的密度曲线如图所示，则下列说法中正确的是（ ）附：若随机变量X 服从正态分布()2,N μσ，则()0.6826P X μσμσ-<<+≈．A ．乙同学的平均成绩优于甲同学的平均成绩B ．甲同学的平均成绩优于乙同学的平均成绩C ．甲同学的成绩比乙同学成绩更集中于平均值附近D ．若15σ=，则甲同学成绩高于80分的概率约为0.1587 【答案】ACD 【分析】根据甲、乙两类正态分布的密度曲线图象，得出平均数的大小，再判断命题是否正确即可． 【详解】A 中，由曲线知，甲同学的平均成绩为75，乙同学的平均成绩为85，故乙同学的平均成绩优于甲同学的平均成绩，A 正确，B 错；C 中，甲密度曲线图象比乙密度曲线图象更凸起、更瘦，所以甲同学的成绩比乙同学成绩更集中于平均值附近，C 正确；D 中，若15σ=，则甲同学成绩高于80分的概率约为10.50.68260.15872-⨯=，故D 正确， 故选：ACD【变式训练3-1】．（2021·重庆高三三模）已知随机变量X 服从正态分布()()26,0N σσ>，若()3=0.8P X >，则()39P x <<=（ ）A ．0.2B ．0.4C ．0.6D ．0.8【答案】C 【分析】根据正态分布曲线的对称性计算概率．【详解】因为X 服从正态分布()()26,0N σσ>，()3=0.8P X >，所以(9)(3)1(3)0.2P X P X P X ≥=≤=->=， 所以(39)1(3)(9)0.6P X P X P X <<=-≤-≥=． 故选：C ．【变式训练3-2】．（2021·贵州贵阳市·贵阳一中高三月考（理））已知某随机变量ξ服从正态分布N (1，32)，则P (27ξ-<<)为（ ）(附：若随机变量ξ服从正态分布N (μ，2σ)，则()68.26%P μσξμσ-<<+=，(22)95.44%P μσξμσ-<<+=)A ．87.22%B ．13.59%C ．27.18%D ．81.85%【答案】D 【分析】由P (27ξ-<<)(2)P =-<<+，结合所给条件，即可得解.【详解】因为p (-2<ξ<4) ()68.26%P =-<<+=μσξμσ，p (-5<ξ<7)= (22)95.44%P μσξμσ-<<+=，所以p (-2<ξ<7)=68.26%+12(95.44%-68.26%)=81.85%， 故选：D.例4．（2021·河南郑州市·高三二模（理））已知某生产线的生产设备在正常运行的情况下，生产的零件尺寸X （单位：mm ）服从正态分布(280,25)N ．（1）从该生产线生产的零件中随机抽取10个，求至少有一个尺寸小于265mm 的概率；（2）为了保证生产线正常运行，需要对生产设备进行维护，包括日常维护和故障维修，假设该生产设备使用期限为四年，每一年为一个维护周期，每个周期内日常维护费为5000元，若生产设备能连续运行，则不会产生故障维修费；若生产设备不能连续运行，则除了日常维护费外，还会产生一次故障维修费．已知故障维修费第一次为2000元，此后每增加一次则故障维修费增加2000元．假设每个维护周期互相独立，每个周期内设备不能连续运行的概率为14．求该生产设备运行的四年内生产维护费用总和Y 的分布列与数学期望．参考数据：若~(,2)Z N μσ，则()0.6827P p Z σμσ-<<+=，(22)0.9545P Z μσμσ-<<+=，(33)0.9974Z μσμσ-<<+=，100.99870.9871≈．【答案】（1）0.0129；（2）分布列见解析；期望为22000． 【分析】（1）根据~(280,25)X N ，利用3σ原则求解；．（2）易得Y 的所有可能取值为20000，22000，24000，26000，28000，分别求得其相应的概率，列出分布列，再求期望. 【详解】（1）因为~(280,25)X N ， 则280μ=，5σ=，2653μσ=-， 所以10.9974(265)0.00132P X -<==， 所以从该生产线生产的零件中随机抽取10个，至少有一个尺寸小于265mm 的概率为：10101(10.0013)10.99870.0129P =--=-≈．（2）由题意可得Y 的所有可能取值为20000，22000，24000，26000，28000，4381(20000)4256P Y ⎛⎫===⎪⎝⎭， 31413108(22000)44256P Y C ⎛⎫==⨯⨯=⎪⎝⎭，22241354(24000)44256P Y C ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 3341312(26000)44256P Y C ⎛⎫==⨯⨯=⎪⎝⎭，411(28000)4256P Y ⎛⎫===⎪⎝⎭，所以Y的分布列为：数学期望8110854121()200002200024000260002800022000 256256256256256E Y=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．【点睛】思路点睛：求离散型随机变量分布列、数学期望、方差的基本思路：一审：随机变量的意义是什么？它的可能取值有哪几个？二审：随机变量的每个取值对应事件是什么？利用何种概率模型求其概率？三审：利用相应公式求概率，并列出分布列．四审：分布列中各概率的和为1吗？五审：求数学期望与方差．【变式训练4-1】．（2021·福建三明市·高三其他模拟）为促进物资流通，改善出行条件，驻某县扶贫工作组引入资金新建了一条从该县到市区的快速道路.该县脱贫后，工作组为了解该快速道路的交通通行状况，调查了行经该道路的各种类别的机动车共1000辆，对行车速度进行统计后，得到如图所示的频率分布直方图：（1）试根据频率分布直方图，求样本中的这1000辆机动车的平均车速(同一组中的数据用该组区间的中点值代替)；（2）设该公路上机动车的行车速度v服从正态分布()2,Nμσ，其中μ，2σ分别取自该调查样本中机动车的平均车速和车速的方差2s(经计算2210.25s=).（i ）请估计该公路上10000辆机动车中车速不低于85千米/时的车辆数(精确到个位)：（ii ）现从经过该公路的机动车中随机抽取10辆，设车速低于85千米/时的车辆数为X ，求X 的数学期望.附注：若()2~,N ξμσ，则()0.6827P μσξμσ-<≤+=，()220.9545P μσξμσ-<≤+=，()330.9973P μσξμσ-<≤+=.参考数据：229841=.【答案】（1）70.5千米/时；（2）（i ）1587辆，（ii ）()8.4135E X =. 【分析】（1）利用频率直方图，确定各组中点值i a ，由6110()i ii v a f ==∑即可求平均车速.（2）由题设易知(70.5,210.25)vN ，（i ）(85)()P v P v μσ≥=≥+，结合所提供的三段区间概率值求概率，进而求10000辆机动车中车速不低于85千米/时的车辆数. （ii ）由（i ）知车速低于85千米/时的概率，则(10,0.84135),X B 利用二项分布的期望公式即可求期望.【详解】（1）由图知：(450.01550.015650.02750.03850.015950.01)1070.5v =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=千米/时.∴这1000辆机动车的平均车速为70.5千米/时. （2）由（1）及题设知：(70.5,210.25)vN ，则70.5,14.5μσ==，（i ）1()(85)()0.158652P v P v P v μσμσμσ--≤≤+≥=≥+==，∴10000辆机动车中车速不低于85千米/时的车辆数100000.158651587⨯≈辆. （ii ）由（2）知：车速低于85千米/时的概率为10.158650.84135P =-=，故(10,0.84135),X B∴()100.841358.4135E X =⨯=. 重难点题型突破03 超几何分布例5．（2020·全国高三专题练习（理））在15个村庄中有7个村庄交通不方便，现从中任意选10个村庄，用X 表示这10个村庄中交通不方便的村庄数，则下列概率中等于46781015C C C 的是（ ） A ．P (X ＝2)B ．P (X ≤2)C ．P (X ＝4)D ．P (X ≤4)【答案】C 【分析】根据超几何分布列式求解即可． 【详解】X 服从超几何分布，P (X ＝k )＝10781015k k C C C -，故k ＝4， 故选：C.【变式训练5-1】．（2021·浙江杭州市·高二课时练习）一个口袋中有7个大小相同的球，其中红球3个，黄球2个，绿球2个.现从该口袋中任取3个球，设取出红球的个数为ξ，则()E ξ=______. 【答案】97【分析】先确定随机变量的取值0,1,2,3ξ=，再分别计算对应的概率，最后利用期望的计算公式即得结果. 【详解】依题意，设取出红球的个数为ξ，则0,1,2,3ξ=，而口袋中有红球3个，其他球4个，故()34374035C P C ξ===，()12343718135C C P C ξ===，()21343712235C C P C ξ===，()33375313C C P ξ===， 故()418121459012335353535357E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯==. 故答案为：97. 【点睛】 方法点睛：求离散型随机变量的期望的步骤：（1）先确定随机变量的取值12,,...,n x x x ξ=；（2）再计算每个变量所对应的概率(),1,2,3,...,i i P x p i n ξ===；（3）利用公式()112233...n n E x p x p x p x p ξ=++++，计算得到期望即可.【变式训练5-2】．（多选题）（2021·湖南高三月考）在一个袋中装有质地大小一样的6黑球，4个白球，现从中任取4个小球，设取出的4个小球中白球的个数为X ，则下列结论正确的是（ ） A ．3(2)7P X ==B ．随机变量X 服从二项分布C ．随机变量X 服从超几何分布D ．8()5E X =【答案】ACD 【分析】利用超几何分布判断B 、C 的正误，求出随机变量X 的概率和数学期望值判断A 、D 的正误即可得解. 【详解】由题意知随机变量X 服从超几何分布，故B 错误，C 正确； 随机变量X 的所有可能为0，1，2，3，4，46410C 1(0)C 14P X ===，1346410C C 8(1)C 21P X ===，2246410C C 3(2)C 7P X ===，3146410C C (3)C P X ==435=， 44410C 1(4)C 210P X ===， 故18341812341421()7352105E X ，故A ，D 正确． 故选：ACD ． 【点睛】易错点睛：超几何分布和二项分布的区别：（1）超几何分布需要知道总体的容量，而二项分布不需要；（2）超几何分布是“不放回”抽取，而二项分布是“有放回”抽取（独立重复）； （3）当总体的容量非常大时，超几何分布近似于二项分布.【变式训练5-3】．（多选题）（2021·长沙市·湖南师大附中高三二模）下列命题中，正确的命题有（ ） A ．已知随机变量服从二项分布(),B n p ，若()30E X =，()20D X =，则23p = B ．将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差恒不变C ．设随机变量ξ服从正态分布()0,1N ，若()1P p ξ>=，则()1102P p ξ-<≤=- D ．若某次考试的标准分X 服从正态分布()90,900N ，则甲、乙、丙三人恰有2人的标准分超过90分的概率为38【答案】BCD 【分析】对四个选项一一判断：对于A:根据二项分布的数学期望和方差的公式,直接计算； 对于B:根据数据方差的计算公式可以判断； 对于C ：由正态分布的图象的对称性可以判断； 对于D:利用独立重复试验的概率计算公式计算即可. 【详解】根据二项分布的数学期望和方差的公式，可得()30E X np ==，()()120D X np p =-=，解得13p =，所以A 错误； 根据数据方差的计算公式可知，将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差恒不变，所以B 正确；由正态分布的图象的对称性可得()()12112110222P p P p ξξ->--<≤===-，所以C 正确；甲、乙、丙三人恰有2人的标准分超过90分的概率2231131228C ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故D 正确. 故选：BCD。

第1页共13页2023年高考数学一轮总复习第51讲：二项分布、超几何分布、正态分布【教材回扣】1．二项分布：(1)概念：一般地，在n 重伯努利试验中，设每次试验中事件A 发生的概率为p (0<p <1)，用X 表示事件A 发生的次数，则X 的分布列为P (X ＝k )＝________________，k ＝0,1,2，…，n .如果随机变量X 的分布列具有上式的形式，则称随机变量X 服从____________________，记作______________．(2)均值与方差：如果X ～B (n ，p )，那么E (X )＝________，D (X )＝________．2．超几何分布(1)概念：一般地，假设一批产品共有N 件，其中有M 件次品，从N 件产品中随机抽取n 件(不放回)，用X 表示抽取的n 件产品中的次品数，则X 的分布列为P (X ＝k )＝____________，k ＝m ，m ＋1，m ＋2，…，r .其中n ，N ，M ∈N *，M ≤N ，n ≤N ，m ＝max{0，n －N ＋M }，r ＝min{n ，M }．如果随机变量X 的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X 服从超几何分布．(2)均值：E (X )＝np .3．正态分布：(1)有关概念：对任意的x ∈R ，f (x )＝1σ2πe －(x －μ)22σ2>0(μ∈R ，σ＞0为参数)，我们称f (x )为正态密度函数，称它的图象为正态密度曲线，简称正态曲线，若随机变量X 的概率分布密度函数为f (x )，则称随机变量X 服从正态分布，记作__________________．特别地，当μ＝__________，σ＝________时称随机变量X 服从标准正态分布．(2)正态曲线的特点：①它的图象在□10________上方；②x 轴和曲线之间的区域的面积为□11________；③曲线是单峰的，它关于直线□12________对称；④曲线在x ＝μ处，达到峰值1σ2π；⑤当|x |无限增大时，曲线无限接近□13________.(3)均值与方差：若x ～N (μ，σ2)，则E (X )＝□14________，D (X )＝□15________.【题组练透】题组一判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)1．二项分布是一个概率分布列，是一个用公式P (X ＝k )＝C k n p k (1－p )n －k ，k ＝0,1,2，…，n 表示的概率分布列，它表示了n 次独立重复试验中事件A 发生的次数的概率分布．()2．二项分布和超几何分布都是放回抽样．()3．正态分布中的参数μ和σ完全确定了正态分布，参数μ是正态分布的期望，σ是正态分布的标准差．()4．一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和，它就服从或近似服从正态分布．()题组二教材改编。

第6节 二项分布、超几何分布与正态分布一、教材概念·结论·性质重现 1．n 次独立重复试验与二项分布(1)n 次独立重复试验：在相同条件下重复n 次伯努利试验时，人们总是约定这n 次试验是相互独立的，此时这n 次伯努利试验也常称为n 次独立重复试验．(2)二项分布：一般地，如果一次伯努利试验中，出现“成功”的概率为p ，记q ＝1－p ，且n 次独立重复试验中出现“成功”的次数为X ，则X 的取值范围是{0,1，…，k ，…，n }，而且P (X ＝k )＝C k n p k qn －k，k ＝0,1，…，n ，因此X 的分布列如下表所示. X 01… k… nPC 0np 0q n C 1np 1q n －1 …C k n p k qn －k…C n n p n q 0注意到上述X 的分布列第二行中的概率值都是二项展开式(q ＋p )n ＝C 0n p 0q n ＋C 1n p 1qn－1＋…＋C k n p k q n －k ＋…＋C n n p n q 0中对应项的值，因此称X 服从参数为n ，p 的二项分布，记作X ～B (n ，p )．二项分布与两点分布的联系由二项分布的定义可以发现，两点分布是一种特殊的二项分布，即n ＝1时的二项分布． 2．超几何分布(1)定义：一般地，若有总数为N 件的甲、乙两类物品，其中甲类有M 件(M ＜N )，从所有物品中随机取出n 件(n ≤N )，则这n 件中所含甲类物品数X 是一个离散型随机变量，X 能取不小于t 且不大于s 的所有自然数，其中s 是M 与n 中的较小者，t 在n 不大于乙类物品件数(即n ≤N －M )时取0，否则t 取n 减乙类物品件数之差(即t ＝n －(N －M ))，而且P (X ＝k )＝C k M C n －kN －M C n N，k ＝t ，t ＋1，…，s ，这里的X 称为服从参数为N ，n ，M 的超几何分布． (2)记法：X ～H (N ，n ，M )．(3)分布列：如果X ～H (N ，n ，M )且n ＋M －N ≤0，则X 能取所有不大于s 的自然数，此时X 的分布列如下表所示．X 01… k… sPC 0M C nN －MC n NC 1M C n －1N －MC n N…C k M C n －kN －MC nN…C s M C n －s N －MC n N超几何分布的特征(1)考察对象分两类．(2)已知各类对象的个数．(3)从中抽取若干个个体，考察某类个体数X的概率分布．超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型．3．正态曲线及其性质(1)正态曲线的定义一般地，函数φ(x)＝1σ2πe对应的图像称为正态曲线，其中μ＝E(X)，σ＝D(X).(2)正态曲线的性质①正态曲线关于x＝μ对称(即μ决定正态曲线对称轴的位置)，具有中间高、两边低的特点；②正态曲线与x轴所围成的图形面积为1；③σ决定正态曲线的“胖瘦”：σ越大，说明标准差越大，数据的集中程度越弱，所以曲线越“胖”；σ越小，说明标准差越小，数据的集中程度越强，所以曲线越“瘦”．4．正态分布(1)一般地，如果随机变量X落在区间[a，b]内的概率，总是等于φμ，σ(x)对应的正态曲线与x轴在区间[a，b]内围成的面积，则称X服从参数为μ与σ的正态分布，记作X～N(μ，σ2)，此时φμ，σ(x)称为X的概率密度函数．(2)正态分布在三个特殊区间内取值的概率值P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈68.3%，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈95.4%，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈99.7%.5．标准正态分布(1)定义：μ＝0且σ＝1的分布称为标准正态分布，记作X～N(0,1)．(2)概率计算方法：如果X～N(0,1)，那么对于任意a，通常记Φ(a)＝P(x＜a)，其中Φ(a)表示N(0,1)对应的正态曲线与x轴在区间(－∞，a)内所围的面积．特别地，Φ(－a)＋Φ(a)＝1.若X服从正态分布，即X～N(μ，σ2)，要充分利用正态曲线的关于直线X＝μ对称和曲线与x轴之间的面积为1.二、基本技能·思想·活动体验1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．(1)二项分布是一个概率分布列，是一个用公式P (X ＝k )＝C k n p k (1－p )n －k，k ＝0,1,2，…，n 表示的概率分布列，它表示了n 次独立重复试验中事件A 发生的次数的概率分布．( √ )(2)从装有3个红球、3个白球的盒中有放回地任取一个球，连取3次，则取到红球的个数X 服从超几何分布．( × )(3)从4名男演员和3名女演员中选出4人，其中女演员的人数X 服从超几何分布．( √ ) (4)一个盒中装有4个黑球、3个白球，从中任取一个球．若是白球，则取出来，若是黑球，则放回盒中，直到把白球全部取出来．设取到黑球的次数为X ，则X 服从超几何分布．( × )(5)二项分布是一个概率分布，其公式相当于二项式(a ＋b )n 展开式的通项公式，其中a ＝p ，b ＝1－p .( × )(6)正态分布中的参数μ和σ完全确定了正态分布密度函数，参数μ是正态分布的均值，σ是正态分布的标准差．( √ )2．如果某一批玉米种子中，每粒发芽的概率均为23，那么播下5粒这样的种子，恰有2粒不发芽的概率是( )A.80243B.8081C.163243D.163729A 解析：用X 表示发芽的粒数，则X ～B ⎝⎛⎭⎫5，23，则P (X ＝3)＝C 35×⎝⎛⎭⎫233×⎝⎛⎭⎫1－232＝80243.故播下5粒这样的种子，恰有2粒不发芽的概率为80243.3．一个袋中有6个同样大小的黑球，编号为1,2,3,4,5,6，还有4个同样大小的白球，编号为7,8,9,10.现从中任取4个球，有如下几种变量：①X 表示取出的最大号码； ②X 表示取出的最小号码；③取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，X 表示取出的4个球的总得分； ④X 表示取出的黑球个数．这四种变量中服从超几何分布的是( ) A ．①② B ．③④ C ．①②④D ．①②③④B 解析：由超几何分布的概念知③④符合．故选B. 4．设随机变量X ～B ⎝⎛⎭⎫6，12，则P (X ＝3)等于( ) A.516B.316C.58D.38A 解析：因为X ～B ⎝⎛⎭⎫6，12，所以由二项分布可得，P (X ＝3)＝C 36⎝⎛⎭⎫123× ⎝⎛⎭⎫1－123＝516.5．已知随机变量X 服从正态分布N (3,1)，且P (X >2c －1)＝P (X <c ＋3)，则c ＝________. 43解析：因为X ～N (3,1)，所以正态曲线关于直线x ＝3对称，且P (X >2c －1)＝P (X <c ＋3)，所以2c －1＋c ＋3＝2×3，所以c ＝43.6．已知随机变量X ～N (1，σ2)，若P (X >0)＝0.8，则P (X ≥2)＝________.0.2 解析：随机变量X 服从正态分布N (1，σ2)，所以正态曲线关于x ＝1对称，所以P (X ≥2)＝P (X ≤0)＝1－P (X >0)＝0.2.考点1 n 次伯努利试验与二项分布——综合性考向1 n 次伯努利试验及其概率甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别为23和34.假设两人射击是否击中目标相互之间没有影响，每人每次射击是否击中目标相互之间也没有影响．(1)求甲射击4次，至少有1次未击中目标的概率；(2)求两人各射击4次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率； (3)假设每人连续2次未击中目标，则终止其射击．问：乙恰好射击5次后，被终止射击的概率为多少？解：(1)记“甲射击4次，至少有1次未击中目标”为事件A 1，则事件A 1的对立事件A1为“甲射击4次，全部击中目标”．由题意可知，射击4次相当于做了4次独立重复试验，故P (A 1)＝C 44⎝⎛⎭⎫234＝1681. 所以P (A 1)＝1－P (A 1)＝1－1681＝6581.所以甲射击4次，至少有1次未击中目标的概率为6581.(2)记“甲射击4次，恰好击中目标2次”为事件A 2，“乙射击4次，恰好击中目标3次”为事件B 2，则P (A 2)＝C 24×⎝⎛⎭⎫232×⎝⎛⎭⎫1－232＝827， P (B 2)＝C 34×⎝⎛⎭⎫343×⎝⎛⎭⎫1－341＝2764. 由于甲、乙射击相互独立， 故P (A 2B 2)＝P (A 2)P (B 2)＝827×2764＝18.所以两人各射击4次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率为18.(3)记“乙恰好射击5次后，被终止射击”为事件A 3，“乙第i 次射击未击中”为事件D i (i ＝1,2,3,4,5)，则A 3＝D 5D 4D 3(D 2 D 1∪D 2D 1∪D 2D 1)，且P (D i )＝14.由于各事件相互独立，故 P (A 3)＝P (D 5)P (D 4)P (D 3)P (D2D 1＋D 2D 1＋D 2D 1)＝14×14×34×⎝⎛⎭⎫1－14×14＝451 024.所以乙恰好射击5次后，被终止射击的概率为451 024.n 次伯努利试验概率求解的策略(1)首先判断问题中涉及的试验是否为n 重伯努利试验，判断时注意各次试验之间是否相互独立的，并且每次试验的结果是否只有两种，在任何一次试验中，某一事件发生的概率是否都相等，全部满足n 重伯努利试验的要求才能用相关公式求解．(2)解此类题时常用互斥事件概率加法公式，相互独立事件概率乘法公式及对立事件的概率公式．考向2 二项分布某公司招聘员工，先由两位专家面试，若两位专家都同意通过，则视作通过初审予以录用；若这两位专家都未同意通过，则视作未通过初审不予录用；当这两位专家意见不一致时，再由第三位专家进行复审，若能通过复审则予以录用，否则不予录用．设应聘人员获得每位初审专家通过的概率均为12，复审能通过的概率为310，各专家评审的结果相互独立．(1)求某应聘人员被录用的概率；(2)若4人应聘，设X 为被录用的人数，试求随机变量X 的分布列．解：设“两位专家都同意通过”为事件A ，“只有一位专家同意通过”为事件B ，“通过复审”为事件C .(1)设“某应聘人员被录用”为事件D ， 则D ＝A ∪BC . 因为P (A )＝12×12＝14，P (B )＝2×12×⎝⎛⎭⎫1－12＝12， P (C )＝310，所以P (D )＝P (A ∪BC )＝P (A )＋P (B )P (C )＝25.(2)根据题意，X ＝0,1,2,3,4，且X ～B ⎝⎛⎭⎫4，25， A i 表示“应聘的4人中恰有i 人被录用”(i ＝0,1,2,3,4)．因为P (A 0)＝C 04×⎝⎛⎭⎫354＝81625， P (A 1)＝C 14×25×⎝⎛⎭⎫353＝216625， P (A 2)＝C 24×⎝⎛⎭⎫252×⎝⎛⎭⎫352＝216625， P (A 3)＝C 34×⎝⎛⎭⎫253×35＝96625， P (A 4)＝C 44×⎝⎛⎭⎫254×⎝⎛⎭⎫350＝16625. 所以X 的分布列为X 0 1 2 3 4 P 816252166252166259662516625二项分布概率公式可以简化求概率的过程，但需要注意检查该概率模型是否满足公式P (X ＝k )＝C k n p k (1－p )n －k的三个条件：(1)在一次试验中某事件A 发生的概率是一个常数p ；(2)n 次试验不仅是在完全相同的情况下进行的重复试验，而且各次试验的结果是相互独立的；(3)该公式表示n 次试验中事件A 恰好发生了k 次的概率．为了防止受到核污染的产品影响我国民众的身体健康，要求产品在进入市场前必须进行两轮核辐射检测，只有两轮都合格才能进行销售，否则不能销售．已知某产品第一轮检测不合格的概率为16，第二轮检测不合格的概率为110，两轮检测是否合格相互没有影响．若产品可以销售，则每件产品获利40元；若产品不能销售，则每件产品亏损80元．已知一箱中有4件产品，记一箱产品获利X 元，则P (X ≥－80)＝________.243256解析：由题意得该产品能销售的概率为⎝⎛⎭⎫1－16⎝⎛⎭⎫1－110＝34.易知X 的所有可能取值为－320，－200，－80,40,160.设ξ表示一箱产品中可以销售的件数，则 ξ～B ⎝⎛⎭⎫4，34，所以P (ξ＝k )＝C k 4⎝⎛⎭⎫34k ⎝⎛⎭⎫144－k . 所以P (X ＝－80)＝P (ξ＝2)＝C 24⎝⎛⎭⎫342·⎝⎛⎭⎫142＝27128，P (X ＝40)＝P (ξ＝3)＝C 34⎝⎛⎭⎫343⎝⎛⎭⎫141＝2764， P (X ＝160)＝P (ξ＝4)＝C 44⎝⎛⎭⎫344·⎝⎛⎭⎫140＝81256. 故P (X ≥－80)＝P (X ＝－80)＋P (X ＝40)＋P (X ＝160)＝243256.考点2 超几何分布——综合性在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用．现有6名男志愿者A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6和4名女志愿者B 1，B 2，B 3，B 4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示．(1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A 1但不包含B 1的概率； (2)用X 表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X 的分布列． 解：(1)记接受甲种心理暗示的志愿者中包含A 1但不包含B 1的事件为M ， 则P (M )＝C 48C 510＝518.(2)由题意知X 可取的值为0,1,2,3,4，则P (X ＝0)＝C 56C 510＝142，P (X ＝1)＝C 46C 14C 510＝521，P (X ＝2)＝C 36C 24C 510＝1021，P (X ＝3)＝C 26C 34C 510＝521，P (X ＝4)＝C 16C 44C 510＝142，因此X 的分布列为X 0 1 2 3 4 P 1425211021521142(1)超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数．超几何分布的特征：①考查对象分两类；②已知各类对象的个数；③从中抽取若干个个体，考查某类个体数X 的概率分布．(2)超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型．1．已知在10件产品中可能存在次品，从中抽取2件检查，其次品数为ξ.已知P (ξ＝1)＝1645，且该产品的次品率不超过40%，则这10件产品的次品率为( ) A ．10% B ．20% C ．30%D ．40%B 解析： 设10件产品中有x 件次品，则P (ξ＝1)＝C 1x C 110－xC 210＝x (10－x )45＝1645，所以x ＝2或x ＝8.因为次品率不超过40%，所以x ＝2，所以次品率为210＝20%.2．(2020·贵阳市四校高三联考)高新区某高中德育处为了调查学生对“国安法”的关注情况，在全校组织了“国家安全知多少”的知识问卷测试，并从中随机抽取了12份问卷，得到其测试成绩(百分制)如下：52,63,67,68,72,76,76,76,82,88,93,94.(1)写出该样本的中位数，若该校共有3 000名学生，试估计该校测试成绩在70分以上的人数；(2)从所抽取的70分以上的学生中再随机选取4人，记ξ表示测试成绩在80分以上的人数，求ξ的分布列和数学期望．解：(1)由已知数据可得中位数为76，样本中70分以上的所占比例为812＝23，故可估计该校测试成绩在70分以上的约为3 000×23＝2 000(人)．(2)由题意可得ξ的可能取值为0,1,2,3,4.P (ξ＝0)＝C 04C 44C 48＝170，P (ξ＝1)＝C 14C 34C 48＝1670＝835，P (ξ＝2)＝C 24C 24C 48＝3670＝1835，P (ξ＝3)＝C 34C 14C 48＝1670＝835，P (ξ＝4)＝C 44C 04C 48＝170.所以ξ的分布列为ξ 0 1 2 3 4 P1708351835835170E (ξ)＝0×170＋1×835＋2×1835＋3×835＋4×170＝2.考点3 正态分布——应用性(1)(多选题)(2020·本溪高级中学期末)若随机变量ξ～N (0,1)，φ(x )＝P (ξ≤x )，其中x >0.下列等式成立的有( )A ．φ(－x )＝1－φ(x )B ．φ(2x )＝2φ(x )C ．P (|ξ|<x )＝2φ(x )－1D ．P (|ξ|>x )＝2－φ(x )AC 解析：因为随机变量ξ服从标准正态分布N (0，1)，所以正态曲线关于ξ＝0对称，如图．φ(－x )＝P (ξ≤－x )＝P (ξ≥x )＝1－φ(x )，所以A 项正确； φ(2x )＝P (ξ≤2x )，2φ(x )＝2P (ξ≤x )， 所以φ(2x )≠2φ(x )，B 项错误；P (|ξ|<x )＝P (－x ≤ξ≤x )＝1－2φ(－x )＝1－2[1－φ(x )]＝2φ(x )－1，所以C 项正确； P (|ξ|>x )＝P (ξ>x 或ξ<－x )＝1－φ(x )＋φ(－x )＝1－φ(x )＋1－φ(x )＝2－2φ(x )，所以D 项错误．故选AC.(2)设每天从甲地去乙地的旅客人数为随机变量X ，且X ～N (800,502)，则一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为( )A ．0.977B ．0.683C ．0.997D ．0.954A 解析：因为X ～N (800,502)， 所以P (700≤X ≤900)≈0.954， 所以P (X >900)≈1－0.9542＝0.023，所以P (X ≤900)≈1－0.023＝0.977.(3)“过大年，吃水饺”是我国不少地方过春节的一大习俗.2020年春节前夕，A 市某质检部门随机抽取了100包某种品牌的速冻水饺，检测其某项质量指标值，所得频率分布直方图如下：①求所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数x (同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；②由频率分布直方图可以认为，速冻水饺的该项质量指标值Z 服从正态分布N (μ，σ2)，利用该正态分布，求Z 落在[14.55,38.45]内的概率．附：计算得所抽查的这100包速冻水饺的质量指标值的标准差为σ＝142.75≈11.95. 解：①所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的平均数x ＝5×0.1＋15×0.2＋25×0.3＋35×0.25＋45×0.15＝26.5.②因为Z 服从正态分布N (μ，σ2)，且μ＝26.5，σ≈11.95，所以P (14.55≤Z ≤38.45)＝P (26.5－11.95≤Z ≤26.5＋11.95)≈0.683，所以Z 落在[14.55,38.45]内的概率是0.683.(1)利用3σ原则求概率问题时，要注意把给出的区间或范围与正态变量的μ，σ进行对比联系，确定它们属于[μ－σ，μ＋σ]，[μ－2σ，μ＋2σ]，[μ－3σ，μ＋3σ]中的哪一个．(2)利用正态曲线的对称性研究相关概率问题，涉及的知识主要是正态曲线关于直线x ＝μ对称，及曲线与x 轴之间的面积为1.注意活用下面两个结论：①P (X ＜a )＝1－P (X ≥a )；②P (X ＜μ－σ)＝P (X >μ＋σ)．1．(2021·八省联考)对一个物理量做n 次测量，并以测量结果的平均值作为该物理量的最后结果．已知最后结果的误差εn ～N ⎝⎛⎭⎫0，2n .为使误差εn 在(－0.5，0.5)的概率不小于0.954，至少要测量__32__次(若X ～N (μ，σ2)，则P (|X －μ|≤2σ)≈0.954)．2．(2020·安庆二模)为了保障某种药品的主要药理成分在国家药品监督管理局规定的值的范围内，某制药厂在该药品的生产过程中，检验员在一天中按照规定每间隔2小时对该药品进行检测，每天检测4次，每次检测由检验员从该药品生产线上随机抽取20件产品进行检测，测量其主要药理成分含量(单位：mg)．根据生产经验，可以认为这条药品生产线正常状态下生产的产品中其主要药理成分含量服从正态分布N (μ，σ2)．(1)假设生产状态正常，记X 表示某次抽取的20件产品中其主要药理成分含量在[μ－3σ，μ＋3σ]之外的药品件数，求P (X ＝1)(精确到0.001)及X 的数学期望．(2)在一天内的四次检测中，如果有一次出现了主要药理成分含量在[μ－3σ，μ＋3σ]之外的药品，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对本次的生产过程进行检查；如果在一天中，有连续两次检测出现了主要药理成分含量在[μ－3σ，μ＋3σ]之外的药品，则需停止生产并对原材料进行检测．(i)下面是检验员在某一次抽取的20件药品的主要药理成分含量：其中x i 为抽取的第i 件药品的主要药理成分含量(i ＝1,2，…，20)．用样本平均数x 作为μ的估计值μ^，用样本标准差s 作为σ的估计值σ^，利用估计值判断是否需对本次的生产过程进行检查；(ii)试确定一天中需停止生产并对原材料进行检测的概率．(精确到0.001)附：若随机变量Z 服从正态分布N (μ，σ2)，则P (μ－3σ≤Z ≤μ＋3σ)≈0.997,0.99719≈0.944 5，0.99720≈0.941 7.解：(1)抽取的一件药品的主要药理成分含量在[μ－3σ，μ＋3σ]之内的概率为0.997， 从而主要药理成分含量在[μ－3σ，μ＋3σ]之外的概率为0.003，故X ～B (20,0.003)．因此P (X ＝1)≈C 120(0.997)19×0.003≈0.057，X 的数学期望E (X )≈20×0.003＝0.06.(2)(i)由x ＝9.96，s ＝0.19，得μ的估计值μ^＝9.96，σ的估计值σ^＝0.19.由样本数据可以看出有一件药品的主要药理成分含量9.22在[μ－3σ，μ＋3σ]＝[9.39，10.53]之外，因此需对本次的生产过程进行检查．(ii)设“在一次检测中，发现需要对本次的生产过程进行检查”为事件A ，则P (A )＝1－[P (X ＝0)]20≈1－0.99720≈1－0.941 7＝0.058 3；如果在一天中，需停止生产并对原材料进行检测，则在一天的四次检测中，有连续两次出现了主要药理成分含量在[μ－3σ，μ＋3σ]之外的药品，故概率p ＝3[P (A )]2×[1－P (A )]2≈3×(0.058 3)2×(0.941 7)2≈0.009.故确定一天中需对原材料进行检测的概率为0.009.。