第十三届“华罗庚金杯”少年组数学邀请赛决赛试卷(小学组)

第十三届华罗庚杯数学竞赛初一试题1、一个小数的小数点分别向右，左边移动一位所得两数之差为2.2，则这个小数用分数表示为。

22/992、某种皮衣标价为1650元，若以8折降价出售仍可盈利10%（相对于进价）那么若以标价1650元出售，可盈利元。

3、求多位数111……11（2000个）222……22（2000个）333……33（2000个）被多位数333……33（2000个）除所得商的各个数上的数字的和为。

4、计算（1/（1×2）+2/（1×2×3）＋3/（1×2×3×4）＋......＋9/（1×2×3× (10)的值为。

5、一只船顺流而行的航速为30千米/小时，已知顺水航行3小时和逆水航行5小时的航程相等，则此船顺水漂流1小时的航程为（）千米。

6、某电视机厂计划15天生产1500台，结果生产5天后，由于引进新的生产线生产效率提高25%，则这个电视机厂会提前（）天完成计划。

7、从1，2，3，4，5，6，7，8，9中任意选出三个数，使它们的和为偶数，则共有（）种不同的选法。

8、某书的页码是连续的自然数1，2，3，4，…9，10…当将这些页码相加时，某人把其中一个页码错加了两次，结果和为2001，则这书共有（）页。

9、现有21朵鲜花分给5人，若每个人分得的鲜花数各不相同，则分得鲜花最多的人至少分得（）朵鲜花。

10、三名工人师傅张强、李辉和王充分别加工200个零件。

他们同时开始工作，当李辉加工200个零件的任务全部完成时，张强才加工了160个，王充还有48个没有加工。

当张强加工200个零件的任务全部完成时，王充还有__个零件没有加工。

11、有一块表在10月29日零点比标准时间慢4分半，一直到11月5日上午7时，这块表比标准时间快了3分钟，那么这块表正好指向正确的时间是在11月日时。

12、一个水箱中的水以等速流出箱外，观察到上午9：00时，水箱中的水是2/3满，到11点，水箱中只剩下1/6的水，那么到什么时间水箱中的水刚好流完？（）13、清华大学附中共有学生1800名，若每个学生每天要上8节课，每位教师每天要上4节课，每节课有45名学生和1位教师，据此请推出清华大学附中共有教师名？14、某班45人参加一次数学比赛，结果有35人答对了第一题，有27人答对了第二题，有41人答对了第三题，有38人答对了第四题，则这个班四道题都对的同学至少有人？15、一个数先加3，再除以3，然后减去5，再乘以4，结果是56，这个数是_______。

三角形面积：右图是由大、小两个正方形组成的，小正方形的边长是4厘米，求三角形ABC的面积．这道题似乎缺少大正方形的边长这个条件，实际上本题的结果与大正方形的边长没关系．连接AD（见右上图），可以看出，三角形ABD与三角形ACD 的底都等于小正方形的边长，高都等于大正方形的边长，所以面积相等．因为三角形AGD是三角形ABD与三角形ACD 的公共部分，所以去掉这个公共部分，根据差不变性质，剩下的两个部分，即三角形ABG 与三角形GCD面积仍然相等．根据等量代换，求三角形ABC的面积等于求三角形BCD 的面积，等于4×4÷2=8如图所示，两个相同的直角三角形部分叠在一起．求阴影部分的面积．（单位：厘米）考点：梯形的面积．分析：由图意可知：阴影部分的面积就等于梯形ABCD的面积，梯形的下底和高已知，上底可以求出，从而利用梯形面积公式即可求解．解：[（8-3）+8]×5÷2，=（5+8）×5÷2，=13×5÷2，=65÷2，=32.5（平方厘米）；答：阴影部分的面积是32.5平方厘米．三角形面积：（高等难度）如图，四边形ABCD和四边形DEFG都是正方形，已知三角形AFH的面积为6平方厘米，求三角形CDH的面积．通常求三角形的面积，都是先求它的底和高．题目中没有一条线段的长度是已知的，所以我们只能通过创造等积的方法来求．直接找三角形HDC 与三角形AFH 的关系还很难，而且也没有利用"四边形ABCD和四边形DEFG 是正方形"这一条件．我们不妨将它们都补上梯形DEFH 这一块．寻找新得到大三角形CEF 和大直角梯形DEFA 之间的关系．经过验算，可以知道它们的面积是相等的．从而得到三角形HDC与三角形AFH面积相等，也是6平方厘米1、如图1，有三个正方形ABCD,BEFG和CHIJ,其中正方形ABCD的边长是10，正方形BEFG的边长是6，那么三角形DFI的面积是_________.解：答案20连接IC，由正方形的对角线易知IC//DF；等积变换得到:三角形DFI的面积 = 三角形DFC的面积 =202、（小学数学奥林匹克通讯赛决赛试题）梯形ABCD被两条对角线分成了四个三角形S1、S2、S3、S4。

华罗庚金杯少年数学邀请赛口试试题第01届华罗庚金杯少年数学邀请赛口试试题1. 这是七巧板拼成的正方形，正方形边长20厘米，问七巧板中平行四边形的一块（如右图中阴影部分）的面积是多少？2．从所有分母小于10的真分数中，找出一个最接近0.618的分数。

3．有49个小孩子，每人胸前有一个号码，号码从1到49各不相同，请你挑选出若干个小孩，排成一个圆圈，使任何相邻两个小孩的号码数的乘积小于100，你最多能挑选出多少个小孩子？4．有一路公共汽车，包括起点和终点站共有15个车站，如果有一辆车，除终点到站外，每一站上车的乘客中，恰好各有一位乘客从这一站到以后的每一站，为了使每位乘客都有座位，问这辆公共汽车最少要有多少个座位？5．正方形的树林每边长1000米，里面有白杨树和榆树，小明从树林的西南角走入树林，碰见一株白杨树就往正北走，碰见一株榆树就往正东走，最后他走了东北角上，问：小明一共走了多少米的距离？6．自然数按从小到大的顺序排成螺旋形，在2处拐第一个弯，在3处拐第二个弯，在5处拐第三个弯……问拐第二十个弯的地方是哪一个数？第02届华罗庚金杯少年数学邀请赛口试试题1、如下图是一个对称的图形，黑色部分面积大还是阴影部分面积大？2、你能不能将自然数1到9分别填入右面的方格中，使得每个横格中的三个数之和都是偶数？3、司机开车按顺序到五个车站接学生到学校（如下图），每个站都有学生上车，第一站上了一批学生，以后每站上车的人数都是前一站上车人数的一半，车到学校时，车上最少有多少学生？4、如图中五个正方形的边长分别是1米、2米、3米、4米、5米。

问：白色部分面积与阴影部分面积之比是多少？5、用1、2、3、4、5这五个数两两相乘，可以得到10个不同的乘积，问乘积中是偶数多还是奇数多？6、7、将右边的硬纸片沿虚线折起来，便可作成一个正方体，问：这个正方体的2号面对面是几号面？（如下图）8、下面是一个11位数，它的每三个相邻数之和都是20，你知道打“？”的数字是几？9、有八张卡片，右图分别写着自然数1到8，从中取出三张，要使这三张卡片上的数字之和为9，问有多少种不同的取法？第03届华罗庚金杯少年数学邀请赛团体决赛口试1．一条白色的正方形手帕，它的边长是18厘米，手帕上横竖各有二道红条，如右图阴影所示部分，红条宽都是2厘米．问：这条手帕白色部分的面积是多少？2．伸出你的左手，从大拇指开始如图所示的那样数数字，1，2，3，……，问：数到1991时，你数在那个手指上？3．有3个工厂共订300份吉林日报，每个工厂订了至少99份，至多101份．问：一共有多少种不同的订法？4．图上有两条垂直相交的直线段AB、CD，交点为E（如下图）．已知：DE=2CE，BE=3AE．在AB和CD上取3个点画一个三角形．问：怎样取这3个点，画出的三角形面积最大？5．如下图中有两个红色的圆，两个蓝色的圆，红色圆的直径分别是1992厘米和1949厘米，蓝色圆的直径分别是1990厘米和1951厘米．问：红色二圆面积大还是蓝色二圆面积大？6．在一张9行9列的方格纸上，把每个方格所在的行数和列数加起来（如下图），填在这个方格中，例如a=5＋3=8．问：填入的81个数字中，奇数多还是偶数多？7．能不能在下式：1□2□3□4□5□6□7□8□9=10的每个方框中，分别填入加号或减号，使等式成立？8．把一个时钟改装成一个玩具钟（如右图），使得时针每转一圈，分针转16圈，秒针转36圈．开始时3针重合．问：在时针旋转一周的过程中，3针重合了几次？（不计起始和终止的位置）．9．将1，2，3，4，5，6，7，8这8个数分成3组，分别计算各组数的和．已知这3个和互不相等，且最大的和是最小的和的2倍．问：最小的和是多少？10.这是一个棋盘，将一个白子和一个黑子放在棋盘线交叉点上，但不能在同一条棋盘线上．问：共有多少种不同的放法（如下图）？11.这是两个圆，它们的面积之和为1991平方厘米，小圆的周长是大圆周长的90％（如右图）．问：大圆的面积是多少？12.有一根1米长的木条，第一次去掉它的，第二次去掉余下木条的；第三次又去掉第二次余下木条的，等等；这样一直下去，最后一次去掉上次余下木条的．问：这根木条最后还剩下多长？13.这是一个楼梯的截面图（如下图），高2.8米，每级台阶的宽和高都是20厘米．问：此楼梯截面的面积是多少？14.请找出6个不同的自然数，分别填入6个括号中，使这个等式成立．第04届华罗庚金杯少年数学邀请赛团体决赛口试1．2×3×5×7×11×13×17这个算式中有七个数连乘，请回答：最后得到的乘积中，所有数位上的数字和是多少？请讲一讲你是怎样算的？2．这是一个中国象棋盘（图中小方格都是相等的正方形，“界河”的宽等于小正方形边长），黑方有一个“象”，它只能在1，2，3，4，5，6，7位置中的一个，红方有两个“相”，它们只能在8，9，10，11，12， 13，14中的两个位置．问：这三个棋子（一个“象”和两个“相”）各在什么位置时，以这三个棋子为顶点构成的三角形的面积最大？3．将一根长为374厘米的合金铝管截成若干根36厘米和24厘米两种形状的短管（加工损耗忽略不计）问：剩余部分的管子最少是多少厘米？4．乙两人同时从A出发向B行进，甲速度始终不变，乙在走前面路程时，速度为甲的2倍，而走后面路程时，速度是甲的，问甲、乙二人谁选到B？请你说明理由。

历届⼩学华罗庚少年⾦杯赛试题及解答历届⼩学华罗庚少年⾦杯赛试题及解答2010年第⼗五届华杯赛决赛试题C及…2010年第⼗五届华杯赛决赛试题A及…2010年第⼗五届华杯赛决赛试题B及…第⼗四届华罗庚⾦杯少年数学邀请赛…第⼗四届华罗庚⾦杯少年数学邀请赛…第⼗三届“华罗庚⾦杯”少年数学邀请…第⼗三届“华罗庚⾦杯”少年数学邀请…第⼗⼆届华杯赛总决赛⼆试试题及解…第⼗⼆届华杯赛总决赛⼀试试题及解…第⼗⼆届华杯赛决赛试题及解答第⼗⼆届华杯赛初赛试题及解答第⼗⼀届华杯赛决赛试题及解答第⼗⼀届华杯赛初赛试题及解答第⼗届华罗庚⾦杯少年数学邀请赛⼝…第⼗届华杯赛总决赛⼆试试题及解答第⼗届华杯赛总决赛⼀试试题及解答第⼗届华杯赛决赛试题及解答第⼗届华杯赛初赛试题及解答第九届华杯赛总决赛⼆试试题及解答第九届华杯赛总决赛⼀试试题及解答第九届华杯赛决赛试题及解答第九届华杯赛初赛试题及解答第⼋届华杯赛决赛⼆试试题及解答第⼋届华杯赛决赛⼀试试题及解答第⼋届华杯赛复赛试题及解答第七届华杯赛决赛⼆试试题及解答第七届华杯赛决赛⼀试试题及解答第七届华杯赛复赛试题及解答第七届华杯赛初赛试题及解答第六届华罗庚⾦杯少年数学邀请赛团…第六届华杯赛决赛⼆试试题及解答第六届华杯赛决赛⼀试试题及解答第六届华杯赛复赛试题及解答第六届华杯赛初赛试题及解答第五届华杯赛团体决赛⼝试备⽤题第五届华杯赛团体赛⼝试试题第五届华杯赛决赛⼆试试题及解答第五届华杯赛决赛⼀试试题及解答第五届华杯赛复赛试题及解答第五届华杯赛初赛试题及解答第四届华罗庚⾦杯少年数学邀请赛团…第四届华杯赛决赛⼆试试题及解答第四届华杯赛决赛⼀试试题及解答第四届华杯赛复赛试题及解答第四届华杯赛初赛试题及解答第三届华罗庚⾦杯少年数学邀请赛团…第三届华杯赛决赛⼆试试题及解答第三届华杯赛决赛⼀试试题及解答第三届华杯赛复赛试题及解答第三届华杯赛初赛试题及解答第⼆届华罗庚⾦杯少年数学邀请赛⼝…第⼆届华杯赛决赛⼆试试题及解答第⼆届华杯赛决赛⼀试试题及解答第⼆届华杯赛复赛试题及解答第⼆届华杯赛初赛试题及解答第⼀届华杯赛团体赛⼝试试题第⼀届华杯赛决赛⼆试试题及解答第⼀届华杯赛决赛⼀试试题及解答。

第十届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试题1、2005年是中国伟大航海家郑和首次下西洋600周年，西班牙伟大航海家歌伦布首次远洋航行是在1492年。

问这两次远洋航行相差多少年？2、从冬至之日起每九天分为一段，依次称之为一九，二九，……，九九，2004年的冬至为12月21日，2005年的立春是2月4日。

问立春之日是几九的第几天？3、右下方是一个直三棱柱的表面展开图，其中，黄色和绿色的部分都是边长等于1的正方形。

问这个直三棱柱的体积是多少？4、爸爸、妈妈、客人和我四人围着圆桌喝茶。

若只考虑每人左邻的情况，问共有多少种不同的入座方法？5、在奥运会的铁人三项比赛中，自行车比赛距离是长跑的4倍，游泳的距离是自行车的，长跑与游泳的距离之差为8.5千米。

求三项的总距离。

6、如右图，用同样大小的正三角形，向下逐次拼接出更大的正三角形。

其中最小的三角形顶点的个数（重合的顶点只计一次）依次为：3，6，10，15，21，……问这列数中的第9个是多少？7、一个圆锥形容器甲与一个半球形容器乙，它们圆形口的直径与容器的高的尺寸如图所示。

若用甲容器取水来注满乙容器，问：至少要注水多少次？8、100名学生参加社会实践，高年级学生两人一组，低年级学生三人一组，共有41组。

问：高、低年级学生各多少人？9、小鸣用48元钱按零售价买了若干练习本。

如果按批发价购买，每本便宜2元，恰好多买4本。

问：零售价每本多少元？10、不足100名同学跳集体舞时有两种组合：一种是中间一组5人，其他人按8人一组围在外圈；另一种是中间一组8人，其他人按5人一组围在外圈。

问最多有多少名同学？11、输液100毫升，每分钟输2.5毫升。

请你观察第12分钟时吊瓶图像中的数据，回答整个吊瓶的容积是多少毫升？12、两条直线相交所成的锐角或直角称为两条直线的“夹角”。

现平面上有若干条直线，它们两两相交，并且“夹角”只能是30°，60°或90°。

小升初数学专项突破（一）小升初数论专题测试题数论专题数论知识在小升初知识体系中占据着非常重要的位置。

通过统计分析，在小升初考试中，数论知识占整张试卷的分值大约20%左右，而在小升初重点中学分班测试试卷中，这一分值比例还将更高。

无论是在华校考试还是在尖子班考试中，数论题往往作为拉开分数差距的题型，所以这一部分学习的好坏将直接决定学生在选拔考试中是否能取得优异的成绩。

理解数论知识的本质是解题的关键，学习数论知识最重要的是培养学生对数的理解和对数字处理的能力。

大多数孩子在解数论题的时候只是跟着感觉走，连蒙带猜；有的孩子每次错都错在数论题，有的孩子简单的数论题会做，但是面对综合数论题却一筹莫展。

这是因为缺乏对认识数论知识本质上、系统化的学习、钻研。

所以数论基础薄弱的孩子需要针对性地加强数论专题的学习。

数论专题主要内容第一讲：数的整除、质数合数a)数的整除的理解、整除的特征及应用b)质数、合数的认识，质因数分解和组合第二讲：约数和倍数a)约数、倍数的理解，最大公约数、最小公倍数的理解b)约数个数和约束和公式的理解和应用第三讲：余数问题和位值原理a)带余除法的理解b)同余问题、中国剩余定理c)余数计算d)位值原理与进制问题第四讲：数论综合a)训练灵活运用以上知识解决数论问题（小升初真题集锦讲练）数论专题测试题1、（第十三届“华罗庚金杯”少年组数学邀请赛决赛试卷（小学组））将六个自然数14，20，33，117，143，175分组，如果要求每组中的任意两个数都互质，则至少需要将这些数分成__________组。

2、（人大附中考题）甲、乙、丙代表互不相同的3个正整数，并且满足：甲×甲=乙+乙=丙×135．那么甲最小是____。

3、（清华附中考题）有3个吉利数888，518，666，用它们分别除以同一个自然数，所得的余数依次为a,a+7,a+10,则这个自然数是_____.4、（101中学考题）如果在一个两位数的两个数字之间添写一个零，那么所得的三位数是原来的数的9倍，问这个两位数是＿＿。

第十三届全国“华罗庚金杯”数学预备年级招生试题(2001年10月6日上午8:00~9:30)1. 某学校共有1000名学生，其中男学生人数与女学生人数的比是2:3，女学生人数与教师人数的比是8:1。

那么教师有___________名。

2. 有一筐苹果和一筐梨，如果每天吃掉1个苹果2个梨，那么梨吃完时还剩下3个苹果;如果每天吃掉2个苹果3个梨，那么苹果吃完时还剩下5个梨，这筐苹果有_________个，这筐梨有__________个。

3. 若为一个四位数，且a=d，b=c，则称这个数为四位对称数。

四位对称数共有__________个。

4. 在一个圆周上有7个点，正好将圆周七等分，以这些点为顶点作三角形，可以作___________个等腰三角形。

5. 已知Sn=1-2+3-4+5-6+…+(-1)n+1n，其中n是正整数。

那么S2001+S2002=________。

6. 一个两位数N具有性质：N与颠倒N的数字后的数之和为完全平方数，则这样的N有___________个。

7. 数119具有以下性质：当它被2除余1;被3除余2;被4除余3;被5除余4;被6除余5;那么，具有这样性质的三位数(包括数119在内)共有_____个。

8. 有两部自动换币机，第一部能将一枚硬币换成二枚其它硬币;第二部能将一枚硬币换成五枚其它硬币，某人进行了14次换币，将一枚硬币换成了42枚硬币。

则他在第一，第二部换币机上分别换了________，________次。

9. 某人一块手表比家里的钟每小时快15秒，已知家里的钟比标准时间每小时慢15秒，则这快手表比标准时间一昼夜____________秒(填快或慢多少秒)10. A，B，C，D，E五个人中，其中任取4个人的平均年龄再加上余下一个人的年龄所得的和分别为37，40，49，58，64，则这五个人中年龄最大的比年龄最小的大___________岁。

11. 一次乒乓球比赛有A，B，C，D，E五名选手参加，他们来自湖北，广东，福建，北京和上海，经调查知道：(1)A仅与另外两名运动员比赛过;(2)上海运动员与另外三名运动员比赛过;(3)B没有和广东运动员比赛过;(4)福建运动员和C比赛过;(5)广东，福建。

第十三届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷（初一组）（建议考试时间：2008年4月19日10:00～11:30）一、填空（每题10分，共80分）1. 某地区2008年2月21日至28日的平均气温为-1℃，2月22日至29日的平均气温为-0.5℃，2月21日的平均气温为-3℃，则2月29日的平均气温为 .2. 已知新北京×(新+奥+运)=2008，其中每个汉字都代表0到9的数字，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字，则算式)(1)(运奥新京新北+⨯++= . 3. 代数和－1×2008+2×2007－3×2006＋4×2005＋…－1003×1006＋1004×1005的个位数字是 .4. 用一个平面去截一个长方体,裁面是一个多边形, 这个多边形的边数最多有 条.5. 一列数1,3,6,10,15,21,…中,从第二个数开始,每一个数都是这个数的序号加上前一个数的和,那么第2008个数是 .6. 当x 取相反数时,代数式ax +bx 2对应的值也为相反数,则ab 等于 .7. 已知06)3()9(22=+---x m x m 是以x 为未知数的一元一次方程,如果m a ≤,那么m a m a -++的值为 .8. 在3×4方格网的每个小方格中心都放有一枚围棋子,至少要去掉 枚围棋子,才能使得剩下的棋子中任意四枚都不构成正方形的四个顶点.二、解答下列各题(第题10分,共40分,要求写出简要过程)9. 如果一个锐角三角形的三个角的度数都是正整数,且最大角是最小角的4倍，那么这个三角形的最小角的度数可能是哪些值？10. 小明将164个桃子分给猴子,余下的几个留给了自己,每只猴子得到了数目相同的桃子,小明留给自己的桃子数是一只猴子的四分之一,问共有多少只猴子?11. 下图中,E,F 为三角形ABC 边上的点,CE 与BF 相交于P. 已知三角形PBC 的面积为12, 并且三角形EBP, 三角形FPC 及四边形AEPF 的面积都相同,求三角形EBP 的面积.12. 现有代数式x +y , x -y , xy 和 yx,当x 和y 取哪些值时,能使其中的三个代数式的值相等?三、解答下列各题(每题15分,共30分,要求写出详细过程)13. 对于某些自然数n , 可以用n 个大小相同的等边三角形拼成内角都为120°的六边形. 例如, n =10时就可以拼出这样的六边形,见右图,请从小到大,求出前10个这样的n .14. 对于有理数x ,用[x ]表示不大于x 的最大整数, 请解方程025********=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+y y第十三届“华罗庚金杯”少年数字邀请赛决赛试题参考答案（初一组）一、填空（每题10分，共80分）二、解答下列各题（每题10分，共40分，要求写出简要过程）9. 答案:20,21,22.解答: 设最小角为x , 最大角为4x , 另一个角为y . 则由题目的条件得1804=++x y x , x y x 4≤≤, 904 x ①由①的前两个式子得到: x x y x x 918046≤=++≤, 解得3020≤≤x ; 又由①的第三个式子得到5.22 x , 所以2220≤≤x .评分参考: 1) 给出三个关系①给4分; 2)得出范围给4分; 3)给出答案给2分.10. 答案:10.解答: 设有n 只猴子, 小明留给自己p 个桃子. 每只猴子分到了4p 个桃子. 则pn p 4164=-, 所以p 是4的倍数, 令14p p =, 则n p p 11441=-, 141p -是4的倍数.令141+=k p , 则n k k )14(4440+=-, kkn 4110+-=, 因为n 是正整数, 所以0=k . 当0=k 时, 10=n .评分参考: 1)给出p , n 的关系给3分; 2)得到n, k 的最终关系给4分; 3)得到答案给3分.11. 答案: 4解答: 设三角形EBP 的面积为X , 连接AP .若令三角形APF 的面积为Y , 则三角形AEP 的面积为Y X -. 因为Y X S S S S APF FPC BFA BCF :::==∆∆∆∆, )(:::Y X X S S S S AEP EBP AEC BCE -==∆∆∆∆ 而BCF BCE S S ∆∆=, X X X S S AEC BFA 2=+==∆∆, 所以有)(::Y X X Y X -=, 解得2X Y =, 即1:22:2:)12(:==+=∆∆XX X X S S BFA BCF , 所以X =4. 三角形EBP 的面积为4. 评分参考: 1)引出辅助线给2分; 2)得到X 与Y 的关系给4分; 3)得到答案给4分.12. 答案: 21=x , 1-=y , 21-=x , 1-=y . 解答: 首先必须0≠y , 否则yx没有意义. 若y x y x -=+, 则0=y , 矛盾. 所以 y x y x -≠+. 若0=x , 则由xy y x =+, 或xy y x =-都得到0=y , 所以0≠x , 即0≠xy . 因此, 三个相等的式子只有两种可能:(1) yxxy y x ==+. 由后一等式得到, 1=y 或1-=y , 而1=y 是不可能的, 因为此时由第一个等式得到x x =+1, 矛盾. 当1-=y 时, 由第一个等式得到x x -=-1, 即12=x , 所以21=x . (2) yxxy y x ==-. 由后一等式同样得到, 1=y 或1-=y , 同样, 1=y 是不可能的, 而当1-=y 时, 由第一个等式得到12-=x , 所以21-=x .评分参考: 1) (1)之前给2分; 2) (1)和(2)各给4分.三、解答下列各题（每题15分，共30分，要求写出详细过程）13. 答案: 6,10,13,14,16,18,19,22,24,25.解答: 设所用的等边三角形的边长单位为 1. 任何满足条件的六边形的外接三角形一定是一个边长为l 的大等边三角形. 该六边形可以通过切去边长分别为c b a ,,的等国三角形的角而得到, 其中c b a ,,为正整数, 并且满足1≥≥≥c b a , b a l + .又由于用边长为1的等边三角形拼成的一个边长为x (正整数)的等边三角形所需要的个数是2)12(531x x =-++++ . 因此, )(2222c b a l n ++-=, 其中3≥l ,b a l + , 1≥≥≥c b a .(1) 3=l 时, n 可以为639)111(32222=-=++-.(2) 4=l 时, n 可以为10616)112(42222=-=++-. 13316)111(42222=-=++-. (3) 5=l 时, 与上面不同的n 可以为141125)113(52222=-=++-, 16925)122(52222=-=++-. 19625)112(52222=-=++-, 22325)111(52222=-=++-. (4) 6=l 时,与上面不同的n 可以为181836)114(62222=-=++-, 251136)113(62222=-=++-. 241236)222(62222=-=++-, 27936)122(62222=-=++-. 30636)112(62222=-=++-, )111(62222++-=36-3=33. (5) 7=l 时, 与上面不同的n 都比27大. (6) 8≥l 时, 可以证明满足要求的n 都不小于26.由(1)到(6)可得,前10个满足要求的n 为6,10,13,14,16,18,19,22,24,25评分参考: 1)写出10个中的1个给1分; 2)给出足够的理由,例如(1)之前的部分给5分.14. 答案:310-=y 或10=y . 解答: 因为方程左边的第1、3项都是整数, 所以y 3是整数. 注意到⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+2512512525222y y y ,代入方程, 得到025********=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+y y , 02510312=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+y y . 所以103y是整数,y 3是10的倍数. 令k y 103=, k 是整数, 代入得⎭⎬⎫⎩⎨⎧+-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯-+=94941941259100102222k k k k k k k , 其中, 对于有理数x , {}x =[]x x -. 所以有⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=-+9494122k k k , 094112≤-+-k k . 当k 取不同整数时, 9412k k -+的情况如下表:K 的可能值是1-和3, 相应的3-=y 和y =10. 代入验算得到3-=y 或10=y . 评分参考: 1) 得到103y是整数给3分; 2)得到关于k 的不等式给5人; 3)得到列表的结果给5分; 3)每个答案各给1分.。