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第十六届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题 B 参考答案（小学组）一、填空题 (每小题 10 分，共 80 分)题号 1 2 3 4 5 6 7 8答案27 4320 15 43 4 7100017120 3二、解答下列各题 (每题 10 分，共 40 分, 要求写出简要过程)9.答案: 416.解答. 连接FD的直线与AE的延长线相交于H.则△DFG绕点D逆时针旋转180o与△DHE重合,DF=DH.梯形 AEGF 的面积=△AFH的面积=2×△AFD的面积=长方形ABCD的面积 =416（平方厘米）.10.答案：62.解答. 设一班有x人，二班有y人.则7(x-1) =13( y-1) ,所以，13 | (x-1) ,7 | ( y-1) . 于是x =13m +1,y =7m +1,其中 m 是自然数.因为250 ≤ 7(x-1) =13( y-1) ≤ 300 ,所以250 ≤ 91m≤ 300 ,解得m =3.最终得到x + y =13m +1+7m +1=62.11.答案: 1111, 1212, 2424, 3636, 1515.解答. 设n=abab=101ab.依题(3),有a2b2|n2，所以ab|n，即ab| 101ab.由于101是质数， (ab, 101) =1，故ab|ab，即ab | (10a+b) ，于是有a | b且b| 10a.讨论：I.当 b = a 时，a2| 11a⇒a| 11.∴a=b=1⇒n1=1111II.当 b =2a 时，2a2| 12a⇒a| 6⇒i. a =1, b =2⇒ n2=1212ii. a =2, b =4⇒ n3=2424iii. a =3, b =6⇒ n4=3636III.当 b =5a 时，5a2| 15a⇒a| 3.∴a=1,b=5⇒n5=1515.12.答案: 3344.解答. 每一个自然数n都可以表示成n=2r g,其中r≥0,g是奇数,是n的最大奇因子. 现在将自然数 1～100 如下分类.0类 ( r= 0 ): 1,3,5,…,99, 和为 1+3 +5 + +99 = 2500.1类 ( r=1 ): 2,6,10,…,98, 奇因子之和为1+3 +5 + + 49 = 625.2类 ( r=2 ): 4,12,20,…,100, 奇因子之和为1+3 +5 + + 25 =169.3类 ( r= 3 ): 8,24,40,…,88, 奇因子之和为1+3 +5 + +11 = 36 .4类 ( r=4 ): 16,48,80, 奇因子之和为1+3 + 5 = 9 .5 类 ( r= 5 ): 32,96, 奇因子之和为 1+3 = 4 .6 类 ( r= 6 ): 64, 奇因子为 1.因此，所有运动员在黑板上写下的数之和是 3344.三、解答下列各题 (每小题 15 分，共 30 分，要求写出详细过程)13.解答. 由题设知，水箱底面积 S 水箱＝40×25＝1000．水箱体积 V 水箱=1000×50＝50000，铁块底面积 S 铁＝10×10＝100．铁块体积 V 铁=10×10×10＝1000.（1）若放入铁块后，水箱中的水深恰好为 50 时，1000a＋1000＝50000, 得a＝49．所以，当 49≤a≤50 时，水深为 50（多余的水溢出）．（2）若放入铁块后，水箱中的水深恰好为 10 时，1000a＋1000＝10000, 得a＝9．a×40×25+10×10×10所以，当 9≤a＜49 时，水深为= a+1.（3）由（2）知，当 0＜a＜9 时，设水深为x，则101000x＝1000a＋100x．得x＝9a．10答：当 0＜a＜9 时，水深为9a；当 9≤a＜49 时，水深为a+1；当 49≤a≤50 时，水深为 50.14.答案: 100.解答.等式成立时有第十六届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题 B 参考答案（小学组）1793 = 2011-169 - 49 ≤华杯决赛≤ 2011-160 - 40 = 1811.进而得到, 华=1, 杯=7 或 8.(1)当杯=8 时, 共 72 种情况.10决+赛+日+月= 2011-1800-160 - 40 =11.①决=1 时, 赛, 月, 日中有一个为 1, 其它为 0, 共 3 种情况.②决=0 时, 赛+月+日=11,赛=0, 月+日=11 有 8 种情形;赛=1, 月+日=10 有 9 种情形;赛分别为 2,3,…9 时, 对应的情形为 10,9, …,3, 计 52 种情形(2)当杯=7 时, 共 28 种情况.10决+赛+日+月= 2011-1700-160 - 40 =111.不可能有决< 9 的情况, 否则需要, 赛+月+日要大于 30, 所以决=9. 此时赛+月+日=21,赛不能小于 3, 否则要求, 月+日大于 18.赛分别为 3,4,…9 时, 对应的情形为 1, 2, …, 7, 计 28 种情形综合上述讨论, 满足要求的不同算式共有 100 种.。
2011年第十六届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛总决赛试卷（小学组第2试）一、填空题（共3题，每题10分）1．（10分）某班共36人都买了铅笔，共买了50支，有人买了1支，有人买了2支，有人买了3支．如果买1支的人数是其余人数的2倍，则买2支铅笔的人数是．2．（10分）如图中，四边形ABCD的对角线AC与BD相交于O，E为BC的中点，三角形ABO的面积为45，三角形ADO的面积为18，三角形CDO的面积为69．则三角形AED的面积等于．3．（10分）一列数的前三个依次是1，7，8，以后每个都是它前面相邻三个数之和除以4所得的余数，则这列数中的前2011个数的和是．二、解答题（共3题，每题10分，写出解答过程）4．有57个边长等于1的小等边三角形拼成一个内角都不大于180的六边形，小等边三角形之间既无缝隙，也没有重叠部分．则这个六边形的周长至少是多少？5．（10分）黑板上写有1，2，3，…，2011一串数．如果每次都擦去最前面的16个数，并在这串数的最后再写上擦去的16个数的和，直至只剩下1个数，则：（1）最后剩下的这个数是多少？（2）所有在黑板上出现过的数的总和是多少？6．（10分）试确定积（21+1）（22+1）（23+1）…（22011+1）的末两位的数字．2011年第十六届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛总决赛试卷（小学组第2试）参考答案与试题解析一、填空题（共3题，每题10分）1．（10分）某班共36人都买了铅笔，共买了50支，有人买了1支，有人买了2支，有人买了3支．如果买1支的人数是其余人数的2倍，则买2支铅笔的人数是10 ．【分析】买1支的人数是其余人数的2倍，也就是说全班人数相当于其余人数的1+2＝3倍，先根据除法意义，求出买2支和3支铅笔的人数，再设买2支铅笔的有x人，进而用x表示出买3支铅笔的人数，最后依据买笔总数＝人数×买笔支数，用x表示出买笔总人数，根据铅笔总数是50支列方程，依据等式的性质即可求解．【解答】解：36÷（1+2）＝36÷3＝12（人）；设买2支铅笔的人数是x人12×2×1+2x+（12﹣x）×3＝5024+2x+36﹣3x＝5060﹣x+x＝50+x60﹣50＝50+x﹣50x＝10；答：买2支铅笔的人数是10．故答案为：10．2．（10分）如图中，四边形ABCD的对角线AC与BD相交于O，E为BC的中点，三角形ABO的面积为45，三角形ADO的面积为18，三角形CDO的面积为69．则三角形AED的面积等于75 ．【分析】若将AD作为底边，因为点E为BC的中点，那么△ADB，△ADE，△ADC的高为等差数列（可以认为中间三角形的高是两边三角形的高的平均数），所以面积也呈等差数列（可以认为中间三角形的面积是两边三角形的面积的平均数）．据此可解．【解答】解：若将AD作为底边，因为点E为BC的中点，所以△ADE的高为△ADB和△ADC的高的平均数，因此△ADE的面积就等于△ADB和△ADC的面积的平均数．所以，S△ADE＝（S△ADB+S△ADC）÷2＝（45+18+18+69）÷2＝75；答：三角形AED的面积等于75．3．（10分）一列数的前三个依次是1，7，8，以后每个都是它前面相邻三个数之和除以4所得的余数，则这列数中的前2011个数的和是3028 ．【分析】根据题意，列出这个数列是：1、7、8、0、3、3、2、0、1、3、0、0、3、3、2、0、1、3、0、0…易见，从第4个数开始每8个数一个循环．由于前面还有3个数，所以需用2011减去3的得数除以8，求出有多少组，再相加即可解答．【解答】解：这个数列：1、7、8、0、3、3、2、0、1、3、0、0、3、3、2、0、1、3、0、0…（2011﹣3）÷8＝251（0+3+3+2+0+1+3+0）×251+1+7+8＝12×251+16＝3028故答案为：3028．二、解答题（共3题，每题10分，写出解答过程）4．有57个边长等于1的小等边三角形拼成一个内角都不大于180的六边形，小等边三角形之间既无缝隙，也没有重叠部分．则这个六边形的周长至少是多少？【分析】在面积不变的情况下，要使得这些等边三角形堆成的边长最短，则使它们堆城一个六边形，且六边形的每个内角都是120度．然后构建一个大三角形：把大三角形每条边n等分，连结各边n等分点一共构成n×n个小等边三角形解答即可．【解答】解：我们把一个等边三角形每条边2等分，可以连结各边中点一共构成2×2＝4个小等边三角形；如果把每条边3等分，连结各边三等分点一共构成3×3＝9个小等边三角形；以此类推，把每条边n等分，连结各边n等分点一共构成n×n个小等边三角形．7×7＜57＜8×8＜9×9，8×8＝64，64﹣57＝7，7不能分解成为3个完全平方数之和的形式，9×9＝81，81＝4+4+16，所以我们就可以把这57个小三角形放在如图所示的等边三角形中，每条边被9等分，△ABC的边长为9，三个角各被切除一部分，此时DE＝5，EF＝2，FG＝3，GH＝4，HI＝3，DI＝2，则DE+EF+FG+GH+HI+DI＝19，即这个六边形的周长至少是19．答：这个六边形的周长至少是19．故答案为：19．5．（10分）黑板上写有1，2，3，…，2011一串数．如果每次都擦去最前面的16个数，并在这串数的最后再写上擦去的16个数的和，直至只剩下1个数，则：（1）最后剩下的这个数是多少？（2）所有在黑板上出现过的数的总和是多少？【分析】（1）每操作一次，不影响黑板上所有数的总和，因此最后剩下的和＝1+2+3+…+2011，根据高斯求和公式完成即可．（2）由于倒数第2次操作，黑板上就16个数，总和是2023066，这16个数来源于16×16＝256个数，这256个数的和也同上．2011﹣（16﹣1）x＝256，x＝117次显然，从开始，只要117次操作，黑板上就剩256个数．据此依据规则分析即可．①原有2011个数，和2023066②操作117次，黑板剩余256个数：1873到2011，新出现117个和．这117个和＝2023066﹣（1873+2011）*139/2＝1753128③操作16次，黑板剩余16个数都是新出现，和＝2023066④操作1次，黑板剩余1个数＝2023066；综上，所有出现过的数＝2023066+1753128+2023066+2023066＝7822326 【解答】解：（1）1+2+3+…+2011＝（1+2011）×2011÷2＝2012×2011÷2＝2023066答：最后剩下的这个数是2023066．（2）由于倒数第2次操作，黑板上就16个数，总和是2023066，这16个数来源于16×16＝256个数，这256个数的和也同上．2011﹣（16﹣1）x＝256，x＝117次，显然，从开始，只要117次操作，黑板上就剩256个数．①原有2011个数，和2023066②操作117次，黑板剩余256个数：1873到2011，新出现117个和．这117个和＝2023066﹣（1873+2011）×139÷2＝1753128③操作16次，黑板剩余16个数都是新出现，和＝2023066④操作1次，黑板剩余1个数＝2023066综上，所有出现过的数＝2023066+1753128+2023066+2023066＝7822326．6．（10分）试确定积（21+1）（22+1）（23+1）…（22011+1）的末两位的数字．【分析】首先判断出积能被25整除，由于各因数均为奇数，则判断积的末两位数字为25或75，结合各因数被4整除的余数特点判断积的余数，进而判断出末两位数字为75．【解答】解：设n＝（21+1）×（22+1）×（23+1）×…×（22011+1），由于各因数2k+1均为奇数，其中22+1＝5，26+1＝65＝5×13，所以n≡0（mod25），此时知n的末两位数字要么为25，要么为75．又21+1≡3（mod4），对k≥2，都有2k+1≡1（mod4），所以n≡3（mod4），即n的末两位数字被4除余3，而25≡1（mod4），75≡3（mod4），所以n 的末两位数字为75．答：（21+1）（22+1）（23+1）…（22011+1）的末两位的数字75．声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2019/5/7 10:51:42；用户：小学奥数；邮箱：pfpxxx02@；学号：20913800。
第22届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛试卷（小学中年级组）一、选择题（每小题10分，共60分。
以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母写在每题的圆括号内。
）1、两个小三角形不重叠放置可以拼成一个大三角形，那么这个大三角形不可能由（）拼成。
A、两个锐角三角形B、两个直角三角形C、两个钝角三角形D、一个锐角三角形和一个钝角三角形2、从1至10这10个整数中，至少取（）个数，才能保证其中有两个数的和等于10。
A、4B、5C、6D、73、小明行李箱锁的密码是由两个数字8与5构成的三位数。
某次旅行，小明忘记了密码，他最少要试（）次，才能确保打开箱子。
A、9B、8C、7D、64、猎豹跑一步长为2米，狐狸跑一步长为1米，猎豹跑2步的时间狐狸跑3步，猎豹距离狐狸30米，则猎豹跑（）米可追上狐狸。
A、90B、105C、120D、1355、图1中的八边形是将大长方形纸片剪去一个小长方形得到的，则至少需要知道（）条线段的长度，才可以算出这个八边形的周长。
A、4B、3C、5D、106、一个数串219……，从第4个数字开始，每个数字都是前面3个数字和的个位数字，下面有4个四位数：1113，2226，2125，2215。
其中共有（）个不出现在该数串中。
A、1B、2C、3D、4二、填空题（每小题10分，满分40分）7、计算：1000—257—84—43—16＝。
8、已知动车的时速是普快的两倍，动车的时速提高25%即达到高铁的时速。
高铁与普快的平均时速比特快快15千米/小时，动车与普快的平均时速比特快慢10千米/小时，则高铁和普快的时速分别是千米小/时和千米//小时。
9、《火星救援》中，马克不幸没有跟上其他5名航天员飞回地球，独自留在了火星，马克必须想办法生存，等待求援。
马克的居住舱内留有每名航天员5天的食品和50千克的非饮用水，还有一个足够大的菜园，马克计划用来种植土豆，30天后每平方米可以收获2.5千克，但是需要灌溉4千克的水。
华罗庚金杯少年数学邀请赛（小学数学奥数）决赛试题一、填空题（每小题10 分, 共80 分）1.计算: (2014⨯2014 +2012) -2013⨯2013 = ________.2.将长方形的纸片ABCD 按右图的方式折叠后压平, 使三角形DCF 落在三角形DEF 的位置, 顶点E 恰落在边AB 上. 已知∠1＝22°, 那么∠2 是________度.3.亮亮上学, 若每分钟行40 米, 则8 : 00 准时到校; 若每分钟行50 米, 则7 : 55到校. 亮亮的家与学校的距离是________米.4.第一次操作将图a 左下角的正方形分为四个小正方形, 见图b, 第二次操作再将图b 左下角的小正方形分为四个更小的正方形, 见图c. 这样继续下去, 当完成第五次操作时, 得到的图形上共有________个正方形.5.“熊大”⨯“熊二”=“熊兄弟”. 若相同的汉字代表0 至9 中的相同数字, 不同的汉字代表不同的数字, 且“大”>“二”, 则所有满足条件的“熊兄弟”代表的三位数之和是________.6.鸡兔同笼, 共有40 个头, 兔脚的数目比鸡脚的数目的10 倍少8 只, 那么兔有________只.7.如图所示的手串中, 从挂坠的珠子开始逆时针将珠子1 至22 依次编号. 小明玩数珠子游戏, 规则是: 从1 号珠子开始顺时针逐个珠子连续地数自然数, 但每当数到含数字7 或7 的倍数的数时就跳过它, 直接数下一个数. 例如: 数到6 时下一个数8, 数到13 时下一个数15, ……. 那么数到100 时应落在第________号珠子上．8.布袋中有60 个彩球, 每种颜色的球都有 6 个. 蒙眼取球, 要保证取出的球中有三个同色的球, 至少要取出________个球.二、简答题（每小题15 分, 共60 分, 要求写出简要过程）9.一块长方形的地ABCD 分成如图所示的两个长方形, 分别承包给甲、乙两户.甲户的蔬菜大棚与乙户的鸡场面积相等, 剩下的部分甲户比乙户的面积多96 亩. 已知BF=3CF, 那么长方形ABCD 的总面积是多少亩？10.右图是U, V, W, X 四辆不同类型的汽车每百千米的耗油量. 如果每辆车都有50升油, 那么这四辆车最多可行驶的路程总计是多少千米？11.甲、乙、丙、丁四人分2013 块糖果, 甲分得的糖果比乙的2 倍多10 块, 比丙的3 倍多18 块, 比丁的 5 倍少55 块. 那么甲分得糖果多少块？12.编号从1 到10 的10 个白球排成一行, 现按照如下方法涂红色: 1）涂2 个球; 2）被涂色的 2 个球的编号之差大于2. 不同的涂色方法有多少种？。
第二十二届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题A(小学高年级组)详细解答【解】：∵201711=183+411∴[201711×3] = [183×3+411×3]= 183×3+1类似地，可知：[201711×4]= 183×4+1；[201711×5]= 183×5+1[201711×6]= 183×6+2；[201711×7]= 183×7+2；[201711×8]= 183×8+2∴原式= 183×[3+4+5+6+7+8]+1+1+1+2+2+2=6048【答】：所求值为6048。
【解】：假设原来四个整数分别为a,b,c,d,则按照题意所求的四个数的表达式分别为：a+b+c3+d,a+b+d3+ca+c+d3+b,b+c+d3+a∵a+b+c3+d+a+b+d3+c+a+c+d3+b+b+c+d3+a=3（a+b+c+d）3+(a+b+c+d)=2(a+b+c+d)∴a+b+c+d=12×(8+12+1023+913)=12×(20+20) =20【答】：原来给定的4个整数的和为20。
【解】：分三种情形，共有10种不同摆法，如下图：（1）两个点都在第一行；（2）两个点不在同一行但相邻；（3）两个点不在同一行且不相邻；【答】：共有10种不同的摆放方法。
【解】：设甲的速度为V甲，乙的速度为V乙，AB两地距离为SAB，BC两地距离为SBC 根据题意可知：V甲=80÷2=40 (千米/小时) ，甲原来的速度的2倍为80(千米/小时) 所以，BC两地距离：SBC=2×80=160 (千米)又，乙从B地到C地花了2.5小时，所以，乙的速度为：V乙=SBC÷2.5=160÷2.5=64(千米/小时)【答】：乙的速度为64 千米/小时。
第二十二届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛试卷（小学高年级组）第二十二届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛试卷（小学高年级组）（时间: 2016年12月10日10:00—11:00）一、选择题 (每小题10分, 共60分. 以下每题的四个选项中, 仅有一个是正确的, 请将表示正确答案的英文字母写在每题的圆括号内.)1. 两个有限小数的整数部分分别是7和10，那么这两个有限小数的积的整数部分有（ ）种可能的取值．（A ）16 （B ）17 （C ）18 （D ）192. 小明家距学校，乘地铁需要30分钟，乘公交车需要50分钟．某天小明因故先乘地铁，再换乘公交车，用了40分钟到达学校，其中换乘过程用了6分钟，那么这天小明乘坐公交车用了（ ）分钟．（A ）6 （B ）8 （C ）10 （D ）123. 将长方形ABCD 对角线平均分成12段，连接成右图，长方形ABCD 内部空白部分面积总和是10平方厘米，那么阴影部分面积总和是（ ）平方厘米．（A ）14 （B ）16 （C ）18 （D ）204. 请在图中的每个方框中填入适当的数字，使得乘法竖式成立．那么乘积是（ ）．（A ）2986 （B ）2858 （C ）2672 （D ）2754CDB A第二十二届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛试卷（小学高年级组）5. 在序列20170……中，从第5个数字开始，每个数字都是前面4个数字和的个位数，这样的序列可以一直写下去．那么从第5个数字开始，该序列中一定不会出现的数组是（ ）．（A ）8615 （B ）2016 （C ）4023 （D ）20176. 从0至9中选择四个不同的数字分别填入方框中的四个括号中，共有（ ）种填法使得方框中话是正确的．（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4二、填空题(每小题 10 分,共40分)7. 若1532 2.254553923741A ⎛⎫-⨯÷+= ⎪ ⎪ ⎪+ ⎪⎝⎭，那么A 的值是________． 8. 右图中，“华罗庚金杯”五个汉字分别代表1—5这五个不同的数字．将各线段两端点的数字相加得到五个和，共有________种情况使得这五个和恰为五个连续自然数．9. 右图中，ABCD 是平行四边形，E 为CD 的中点，AE 和BD 的交点为F ，AC 和BE 的交点为H ，AC 和BD 的交点为G ，四边形EHGF 的面积是15平方厘米，则ABCD 的面积是__________平方厘米．10. 若2017,1029与725除以d 的余数均为r ，那么d r -的最大值是________． 华庚 金 杯。
第十六届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题A 参考答案（小学组）一、 填空题 (每小题 10分，共80分)二、解答下列各题 (每题10分，共40分, 要求写出简要过程)9. 答案: 2011平方厘米.解答. 连接FD 的直线与AE 的延长线相交于H . 则△DFG 绕点D 逆时针旋转180o 与△DHE 重合,DF=DH , ADH AFD S S ∆∆=.梯形AEGF 的面积=△AFH 的面积=2×△AFD 的面积=长方形ABCD 的面积 =2011（平方厘米）.10. 答案：13种可能.解答. 分几种情形考虑.第一种情形: 线路号的数字中没有荧光管坏了. 只有351一个可能线路号. 第二种情形: 线路号的数字中有1支荧光管坏了.坏在第一位数字上, 可能的数字为9, 线路号可能是951;坏在第二位数字上, 可能的数字为6,9, 线路号可能是361, 391;坏在第三位数字上, 可能的数字为7, 线路号可能是357.第三种情形: 线路号的数字中有2支荧光管坏了.都坏在第一位数字上, 可能的数字为8, 线路号可能是851;都坏在第二位数字上, 可能的数字为8, 线路号可能是381;都坏在第三位数字上, 可能的数字为4, 线路号可能是354;坏在第一、二位数字上, 第一位数字可能的数字为9，第二位数字可能的数字为6，9, 线路号可能是961， 991;坏在第一、三位数字上, 第一位数字可能的数字为9，第三位数字可能的数字为7, 线路号可能是957;坏在第二、三位数字上,第二位数字可能的数字为6，9, 第三位数字可能的数字为7，线路号可能是367, 397.所以可能的线路号有13个:351,354,357,361,367,381,391,397,851,951,957,961,991.11. 答案: 3, 5.解答. 设这个月的第一个星期日是a 日（71≤≤a ）, 则这个月内星期日的日期是a k +7, k 是自然数, 317≤+a k . 要求有三个奇数.当a =1时, 要使7k +1是奇数, k 为偶数, 即k 可取0, 2, 4三个值, 此时,177+=+k a k 分别为1, 15, 29, 这时20号是星期五.当a =2时, 要使7k +2是奇数, k 为奇数, 即k 可取1, 3两个值, 7k +2不可能有三个奇数.当a =3时, 要使7k +3是奇数, k 为偶数, 即k 可取0, 2, 4三个值, 此时377+=+k a k 分别为3, 17, 31, 这时20号是星期三.当74≤≤a 时, a k +7不可能有三个奇数.12. 答案: 253.解：令k m 15=, k 是自然数, 首先考虑满足下式的最大的m ,.201115151153152151≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡m m 于是.2011213152)1(1515)1(152151150151511531521512≤-=+-=+⨯-++⨯+⨯+⨯=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡k k k k k kk m m 因此.402213152≤-k k 又40224114171317152>=⨯-⨯, 40223632161316152<=⨯-⨯,得知k 最大可以取16. 当16=k 时, m =240. 注意到这时312161952363220112131520112+⨯==-=--k k . 注意到20112024131618161513151615121516152151615115161515161511516152151>=⨯+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⨯+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⨯++⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⨯+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⨯+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⨯++⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡ 而201120081216181615121516153152151<=⨯+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⨯++⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡ .所以253 是满足题目要求的n的最小值.三、解答下列各题(每小题15分，共30分，要求写出详细过程)13.答案: 312解答. 由于2+0+1+1=4 且0+1+2+3+4+6+7+8+9=40, 4≡40(mod 9), 所以, 九个不同的汉字代表的数字：0, 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9.易知：40-4=36, 36÷9=4（次）, 说明此算式共发生四次进位.“4=2+2=1+1+2=1+2+1”显然：①华=1, “4=2+2”无解②华=1, “4=1+1+2”有解A:28+937+1046=2011, 可组成算式36种（6×6×1=36）B：69+738+1204=2011, 可组成算式48种（6×4×2=48）C：79+628+1304=2011, 可组成算式48种（6×4×2=48）③华=1, “4=1+2+1”有解A：46+872+1093=2011, 可组成算式36种（6×6×1=36）B：98+673+1240=2011, 可组成算式72种（6×6×2=72）C：97+684+1230=2011, 可组成算式72种（6×6×2=72）总计：72×3+96=216+96=312（种）.14.解答. 如左下图, 设M, N, P分别为棱GC, GF, GH的中点, 'M, 'N, 'P 分别为棱AE, AD, AB的中点, O为正方体的中心(长方形BDHF的中心).(1)第一只蜘蛛甲可以把爬虫控制在右上图所示的范围内.首先蜘蛛甲做与爬虫关于点O的对称方向的移动, 不妨设爬虫由G沿棱GC 向点M移动, 蜘蛛甲由A沿棱AE向点'M移动, 爬虫被限制在GM上. 当爬虫到达点M时, 蜘蛛甲也同时到达点'M. 然后蜘蛛甲改变策略, 做与爬虫关于平面BDHF对称的方向移动.a) 当爬虫到达点B, D, F, H时, 蜘蛛甲捉住爬虫.b) 当爬虫未到达点B, D, F, H时, 爬虫被控制在左上图所示的范围内.(2) 蜘蛛乙先移动到点G, 由于右上图无环路, 蜘蛛乙可以跟在爬虫后面, 总可以捉住爬虫.。
2016第二十二届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛试题解析（小学中年级）第二十二届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛试卷（小学中年级组）（时间：2016年12月10日10：00-11：00）一、选择题（每小题10分，共60分，以下每题的四个选项，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母写在每题的圆括号内）1、两个小三角形不重叠放置可以拼成一个大三角形，那么这个大三角形不可能由（）拼成。
（A)两个锐角三角形（B）两个直角三角形（C）两个钝角三角形（D)一个锐角三角形和一个钝角三角形解析：此题主要考察学生图片组合分析能力由图显然可知，锐角、直角、钝角这三种角，只有锐角与锐角，锐角与直角不能不重叠组合，其余4种均能组合，则（B）、（C)、(D)均有可能组成一个大三角形，故选（A）2、从1至10这10个整数中，至少取（）个数，才能保证其中有两个数的和等于10。
（A)4 (B)5 (C)6 (D)7解析：此题属于抽屉原理。
分析如下：10 =1+9=2+8=3+7=4+6即1至10这10个数字中能保证两个数字之和为10的可能情况只有以上4种，那么当取1，2，3，4，5，10时任意两数之和都不等于10，再取5，6，7，8这4个数中的1个数时，就有以上4种等式成立。
则至少要取6+1=7。
故选（D)3、小明行李箱锁的密码是由两个数字8与5构成的三位数。
某次旅行，小明忘记了密码，他最少要试（）次，才能确保打开箱子。
（A)9 （B)8 (C)7 (D)6解析：此题考察学生的数字组合能力。
分析如下：（1）当三位数为2个8和1个5时：885，858，588；即有3种可能情况。
（2）当三位数为1个8和2个5时：855，585，558；即有3种可能情况。
综上分析，行李箱密码的可能性总和：3+3=6（种），即要确保打开箱子，至少要试6次。
故选（D)4、猎豹跑一步长为2米，狐狸跑一步长为1米。
猎豹跑2步的时间狐狸跑3步。
猎豹距离狐狸30米，则猎豹跑动（）米可追上狐狸。
历年华杯赛试题及答案小学华杯赛，全称“全国青少年数学华罗庚金杯赛”，是中国最具影响力的青少年数学竞赛之一，旨在激发青少年对数学的兴趣，培养他们的数学思维能力。
以下是一些历年华杯赛小学组的试题及答案，供参考。
试题一：小明有3个红球和2个蓝球，他随机从袋子里摸出一个球，然后放回。
接着，他又随机摸出一个球。
请问小明两次都摸到红球的概率是多少？答案：小明第一次摸到红球的概率是3/5，放回后，第二次摸到红球的概率仍然是3/5。
因此，两次都摸到红球的概率是(3/5) * (3/5) = 9/25。
试题二：有一个数字序列：1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ... 这个序列的特点是每一项都是前两项的和。
请问这个序列的第10项是多少？答案：这是一个斐波那契数列。
根据题目给出的数列，第10项是第9项（21）和第8项（13）的和，即21 + 13 = 34。
试题三：一个班级有40名学生，其中20名男生和20名女生。
如果随机选择一名学生，那么选择到男生的概率是多少？答案：班级中有20名男生，总共40名学生，所以选择到男生的概率是20/40 = 1/2。
试题四：一个圆形的直径是14厘米，求这个圆的面积。
答案：圆的面积公式是A = πr²，其中r是圆的半径。
直径是14厘米，所以半径是14/2 = 7厘米。
代入公式得到面积A = π * 7² = 49π ≈ 153.94平方厘米。
试题五：小华有5个苹果，他决定将这些苹果平均分给3个朋友。
如果每个朋友分得的苹果数必须是整数，小华应该如何分配？答案：小华可以将5个苹果分成1, 2, 2的组合，这样每个朋友得到的苹果数都是整数。
试题六：一个长方体的长、宽、高分别是8厘米、6厘米和5厘米。
求这个长方体的体积。
答案：长方体的体积公式是V = 长 * 宽 * 高。
代入数值得到V = 8 * 6 * 5 = 240立方厘米。
试题七：如果一个数的平方等于这个数本身，那么这个数是什么？答案：这个数是0或1，因为0² = 0，1² = 1。
2011、2012年华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛真题及详解第十六届华罗庚金杯少年数学邀请赛 决赛试题A （小学组） （时间: 2011年4月16日10:00～11:30） 一、填空题（每小题 10分, 共80分） 1. 135713572468+++= . 2. 工程队的8个人用30天完成了某项工程的31, 接着增加了4个人完成其余的工程, 那么完成这项工程共用了 天. 3. 甲乙两人骑自行车同时从A 地出发去B 地, 甲的车速是乙的车速的1.2倍. 乙骑了5千米后, 自行车出现故障, 耽误的时间可以骑全程的61. 排除故障后, 乙的速度提高了60%, 结果甲乙同时到达B 地. 那么A, B 两地之间的距离为 千米. 4. 在火车站的钟楼上装有一个电子报时钟, 在圆形钟面的边界, 每分钟的刻度处都有一个小彩灯. 晚上9时35分20秒时, 在分针与时针所夹的锐角内有 个小彩灯. 5. 在边长为1厘米的正方形ABCD 中, 分别以A , B , C , D 为圆心, 1厘米为半径画四分之一圆, 交点E , F , G , H , 如图所示. 则中间阴影部分的周长为 厘米.（取圆周率 3.141π=） 6. 用40元钱购买单价分别为2元、5元和11元的三种练习本, 每种至少买一本, 而且钱恰好花完. 则不同的购买方法有 种.7. 已知某个几何体的三视图如右图,根据图中标示的尺寸（单位: 厘米）,这个几何体的体积是 （立方厘米）.学校____________姓名_________参赛证号密封线内请勿答题8. 将自然数1~22分别填在下面的“□”内(每个“□”只能填一个数), 在形成的11个分数中, 分数值为整数的最多能有 个.二、解答下列各题（每题10分, 共40分, 要求写出简要过程）9. 长方形ABCD 的面积是2011平方厘米. 梯形AFGE的顶点F 在BC 上, D 是腰EG 的中点. 试求梯形AFGE 的面积.10. 公交车的线路号是由数字显示器显示的三位数,其中每个数字是由横竖放置的七支荧光管显示,如右图所示. 某公交车的数字显示器有两支坏了的荧光管不亮, 显示的线路号为“351”, 则该公交车的线路号有哪些可能?11. 设某年中有一个月里有三个星期日的日期为奇数, 则这个月的20日可能是星期几?12. 以[]x 表示不超过x 的最大整数, 设自然数n 满足201115151153152151>⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡n n , 则n 的最小值是多少?三、解答下列各题（每小题 15分，共30分，要求写出详细过程）13. 在右面的加法竖式中, 不同的汉字代表不同的数字. 问: 满足要求的不同算式共有多少种?14. 如图, 两只蜘蛛同处在一个正方体的顶点A , 而一只爬虫处在A 的体对顶点G . 假设蜘蛛和爬虫均以同样的速度沿正方体的棱移动, 任何时候它们都知道彼此的位置, 蜘蛛能预判爬虫的爬行方向. 试给出一个两只蜘蛛必定捉住爬虫的方案.2011年“华杯赛”复赛小学组试题及详解第16届华杯赛复赛小学组试题及详解1. 原式=(2+4+6+8)-(1/2+1/4+1/6+1/8)=20-(1+1/24)=18+23/24。
初赛试卷（小学高年级组）（时间: 2016年12月10日10:00—11:00）一、选择题(每小题10分, 共60分. 以下每题的四个选项中, 仅有一个是正确的, 请将表示正确答案的英文字母写在每题的圆括号内.)1.两个有限小数的整数部分分别是7和10，那么这两个有限小数的积的整数部分有（）种可能的取值．（A）16 （B）17 （C）18 （D）192.小明家距学校，乘地铁需要30分钟，乘公交车需要50分钟．某天小明因故先乘地铁，再换乘公交车，用了40分钟到达学校，其中换乘过程用了6分钟，那么这天小明乘坐公交车用了（）分钟．（A）6 （B）8 （C）10 （D）123.将长方形ABCD对角线平均分成12段，连接成右图，长方形ABCD内部空白部分面积总和是10平方厘米，那么阴影部分面积总和是（）平方厘米．（A）14 （B）16 （C）18 （D）204.请在图中的每个方框中填入适当的数字，使得乘法竖式成立．那么乘积是（）．（A）2986 （B）2858 （C）2672 （D）2754CD BA5. 在序列20170……中，从第5个数字开始，每个数字都是前面4个数字和的个位数，这样的序列可以一直写下去．那么从第5个数字开始，该序列中一定不会出现的数组是（ ）． （A ）8615（B ）2016（C ）4023（D ）20176. 从0至9中选择四个不同的数字分别填入方框中的四个括号中，共有（ ）种填法使得方框中话是正确的．（A ）1（B ）2（C ）3（D ）4二、填空题 (每小题 10 分, 共40分)7. 若15322.254553923444741A ⎛⎫-⨯÷+=⎪ ⎪ ⎪+ ⎪⎝⎭，那么A 的值是________． 8. 右图中，“华罗庚金杯”五个汉字分别代表1—5这五个不同的数字．将各线段两端点的数字相加得到五个和，共有 ________种情况使得这五个和恰为五个连续自然数．9. 右图中，ABCD 是平行四边形，E 为CD 的中点，AE 和BD 的交点为F ，AC 和BE 的交点为H ，AC 和BD 的交点为G ，四边形EHGF 的面积是15平方厘米，则ABCD 的面积是__________平方厘米．10. 若2017,1029与725除以d 的余数均为r ，那么d r -的最大值是________．第二十届华罗庚金杯少年数学邀请赛这句话里有（ ）个数大于1，有（ ）个数大于2，有（ ）个数大于3，有（ ）个数大于4． 罗华庚金 杯决赛试题B （小学高年级组）一、填空题（每小题10份，共80分）1. 计算：8184157.628.814.48012552⨯+⨯-⨯+=________．2. 甲、乙、丙、丁四人共植树60棵．已知，甲植树的棵数是其余三人的二分之一，乙植树的棵数是其余三人的三分之一，丙植树的棵数是其余三人的四分之一，那么丁植树________棵．3. 当时间为5点8分时，钟表面上的时针与分针成________度的角．4. 某个三位数是2的倍数，加1是3的倍数，加2是4的倍数，加3是5的倍数，加4是6的倍数，那么这个数最小为________．5. 贝塔星球有七个国家，每个国家恰有四个友国和两个敌国，没有三个国家两两都是敌国．对于一种这样的星球局势，共可以组成________个两两都是友国的三国联盟．6. 由四个互不相同的非零数字组成的没有重复数字的所有四位数之和为106656，则这些四位数中最大的是________，最小的是________．7. 见右图，三角形ABC 的面积为1，3:1:=OB DO ，5:4:=OA EO ，则三角形DOE 的面积为________．8. 三个大于1000的正整数满足：其中任意两个数之和的个位数字都等于第三个数的个位数字，那么这3个数之积的末尾3位数字有________种可能数值．二、解答下列各题（每题10分，共40分，要求写出简要过程）9. 将1234567891011的某两位数字交换能否得到一个完全平方数？请说明理由．10. 如右图所示，从长、宽、高为15，5，4的长方体中切走一块长、宽、高为,5,y x 的长方体（,x y 为整数），余下部分的体积为120，求x 和y ．yx515411. 圆形跑道上等距插着2015面旗子，甲与乙同时同向从某个旗子出发，当甲与乙再次同时回到出发点时，甲跑了23圈，乙跑了13圈．不算起始点旗子位置，则甲正好在旗子位置追上乙多少次？12. 两人进行乒乓球比赛，三局两胜制，每局比赛中，先得11分且对方少于10分者胜，10平后多得2分者胜．两人的得分总和都是31分，一人赢了第一局并且赢得了比赛，那么第二局的比分共有多少种可能？三、解答下列各题（每小题15分，共30分，要求写出详细过程）13. 如右图所示，点M 是平行四边形ABCD 的边CD 上的一点，且2:1: MC DM ，四边形EBFC 为平行四边形，FM 与BC 交于点G ．若三角形FCG 的面积与三角形MED 的面积之差为13cm 2，求平行四边形ABCD 的面积．14. 设“一家之言”、“言扬行举”、“举世皆知”、“知行合一”四个成语中的每个汉字代表11个连续的非零自然数中的一个，相同的汉字代表相同的数，不同的汉字代表不同的数．如果每个成语中四个汉字所代表的数之和都是21，则“行”可以代表的数最大是多少?第十八届华罗庚金杯少年数学邀请赛 初赛试题C （小学高年级组） （时间: 2013 年3月23日）一、选择题 (每小题 10 分, 满分60分. 以下每题的四个选项中, 仅有一个是正确的, 请将表示正确答案的英文字母写在每题的圆括号内.)1. 如果mn=+⨯⨯20122014201420132013（其中m 与n 为互质的自然数）, 那么m +n 的值是（ ）.（A ）1243 （B ）1343 （C ）4025 （D ）40292. 甲、乙、丙三位同学都把25克糖放入100克水中混合成糖水, 然后他们又分别做了以下事情:最终,（ ）得到的糖水最甜.（A ）甲 （B ）乙 （C ）丙 （D ）乙和丙3. 一只青蛙8点从深为12米的井底向上爬, 它每向上爬3米, 因为井壁打滑, 就会下滑1米,下滑1米的时间是向上爬3米所用时间的三分之一. 8点17分时, 青蛙第二次爬至离井口3米之处, 那么青蛙从井底爬到井口时所花的时间为（ ）分钟. （A ）22 （B ）20 （C ）17 （D ）164. 已知正整数A 分解质因数可以写成γβα532⨯⨯=A , 其中α、β、γ 是自然数. 如果A的二分之一是完全平方数, A 的三分之一是完全立方数, A 的五分之一是某个自然数的五再加入50克含糖率20%的糖水.再加入20克糖和30克水.再加入100克糖与水的比是2:3的糖水.次方, 那么γβα++ 的最小值是（ ）.（A ）10 （B ）17 （C ）23 （D ）315. 今有甲、乙两个大小相同的正三角形, 各画出了一条两边中点的连线. 如图, 甲、乙位置左右对称, 但甲、乙内部所画线段的位置不对称. 从图中所示的位置开始, 甲向右水平移动, 直至两个三角形重叠后再离开. 在移动过程中的每个位置, 甲与乙所组成的图形中都有若干个三角形. 那么在三角形个数最多的位置, 图形中有（ ）个三角形.（A ）9 （B ）10 （C ）11 （D ）126. 从1～11这11个整数中任意取出6个数, 则下列结论正确的有（ ）个.① 其中必有两个数互质;② 其中必有一个数是其中另一个数的倍数; ③ 其中必有一个数的2倍是其中另一个数的倍数. （A ）3 （B ）2 （C ）1 （D ）0 二、填空题 (每小题 10 分, 满分40分)7. 有四个人去书店买书, 每人买了4本不同的书, 且每两个人恰有2本书相同, 那么这4个人至少买了_______种书. .8. 每天, 小明上学都要经过一段平路AB 、一段上坡路BC和一段下坡路 CD （如右图）. 已知AB :BC :CD = 1:2:1, 并且小明在平路、上坡路、下坡路上的速度比为3:2:4. 那么小明上学与放学回家所用的时间比是 .9.黑板上有11个1, 22个2, 33个3, 44个4. 做以下操作: 每次擦掉3个不同的数字,并且把没擦掉的第四种数字多写2个. 例如: 某次操作擦掉1个1, 1个2, 1个3, 那就再写上2个4. 经过若干次操作后, 黑板上只剩下3个数字, 而且无法继续进行操作, 那么最后剩下的三个数字的乘积是.10.如右图, 正方形ABCD被分成了面积相同的8个三角形, 如果DG = 5, 那么正方形ABCD面积是.第二十一届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛试卷（小学高年级组）（时间: 2015年12月12日10:00—11:00）一、选择题 (每小题10分, 共60分. 以下每题的四个选项中, 仅有一个是正确的, 请将表示正确答案的英文字母写在每题的圆括号内.)1. 算式个个2016201699999999⨯的结果中含有（ ）个数字0． （A ）2017 （B ）2016 （C ）2015 （D ）20142. 已知A , B 两地相距300米．甲、乙两人同时分别从A , B 两地出发, 相向而行, 在距A 地140米处相遇; 如果乙每秒多行1米, 则两人相遇处距B 地180米．那么乙原来的速度是每秒（ ）米．（A ）532 （B ）542（C ）3 （D ）513 3. 在一个七位整数中, 任何三个连续排列的数字都构成一个能被11或13整除的三位数, 则这个七位数最大是（ ）．（A ）9981733 （B ）9884737 （C ）9978137 （D ）98717734. 将1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8这8个数排成一行, 使得8的两边各数之和相等, 那么共有（ ）种不同的排法．（A ）1152 （B ）864 （C ）576 （D ）2885. 在等腰梯形ABCD 中, AB 平行于CD , 6=AB , 14=CD , AEC ∠是直角, CE CB =, 则2AE 等于（ ）．（A ）84 （B ）80 （C ）75 （D ）646. 从自然数1,2,32015,2016，，中, 任意取n 个不同的数, 要求总能在这n 个不同的数中找到5个数, 它们的数字和相等. 那么n 的最小值等于（ ）． （A ）109 （B ）110 （C ）111 （D ）112 二、填空题 (每小题 10 分, 共40分)7. 两个正方形的面积之差为2016平方厘米, 如果这样的一对正方形的边长都是整数厘米, 那么满足上述条件的所有正方形共有 对．8. 如下图, O , P , M 是线段AB 上的三个点, AB AO 54=, AB BP 32=, M 是AB 的中点, 且2=OM , 那么PM 长为 ．9. 设q 是一个平方数. 如果2-q 和2+q 都是质数, 就称q 为P 型平方数. 例如, 9就是一个P 型平方数．那么小于1000的最大P 型平方数是 ．10. 有一个等腰梯形的纸片, 上底长度为2015, 下底长度为2016. 用该纸片剪出一些等腰梯形, 要求剪出的梯形的两个底边分别在原来梯形的底边上, 剪出的梯形的两个锐角等于原来梯形的锐角, 则最多可以剪出 个同样的等腰梯形．第十七届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛试题A（小学高年级组）一、选择题1、计算：19+⨯+-=[(0.8)24]7.6(___)514（A）30 （B）40 （C）50 （D）602、以平面上4个点为端点连接线段，形成的图形中最多可以有（）个三角形。
第十九届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题A （小学高年级组）一、填空题（每小题 10 分, 共80 分）1. 如右图, 边长为12米的正方形池塘的周围是草地, 池塘边A , B , C , D 处各有一根木桩, 且AB =BC =CD =3米. 现用长4米的绳子将一头羊拴在其中的某根木桩上. 为了使羊在草地上活动区域的面积最大, 应将绳子拴在 处的木桩上. 【考点】圆与扇形 【答案】B【解析】拴在B 处活动区域最大，为43圆。
2. 在所有是20的倍数的正整数中, 不超过2014并且是14的倍数的数之和是 . 【考点】最小公倍数，等差数列 【答案】14700【解析】[]14014,20=，141402014=⎥⎦⎤⎢⎣⎡，()1470014321140=+++⨯ .3. 从1～8这八个自然数中任取三个数, 其中没有连续自然数的取法有 种. 【考点】计数 【答案】20【解析】解法一：枚举法（1）三奇数：135、137、157、357，4个； （2）三偶数：246、248、268、468，4个；（3）两奇一偶：136、138、158、147、358、257，6个； （4）两偶一奇：247、258、146、148、168、368，6个； 共4+4+6+6=20种.解法二：排除法1~8中任取三个数，有5638 C 种不同的取法其中三个连续数有6种（123~678）两个连续数有5+4+4+4+4+4+5=30种（如124、125、126、127、128等） 则满足题意的取法有56—6—30=20种.4. 如右图所示, 网格中每个小正方格的面积都为1平方厘米. 小明在网格纸上画了一匹红鬃烈马的剪影（马的轮廓由小线段组成, 小线段的端点在格子点上或在格线上）, 则这个剪影的面积为 平方厘米.【考点】格点与面积 【答案】56.5【解析】如图（见下页），通过分割和格点面积公式可得小马总面积为56.5个正方形，即面积为56.5平方厘米。
2016第二十二届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛试题解析（小学高年级）第二十二届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛试卷（小学高年级组）（时间：2016年12月10日10：00-11：00）一、选择题（每小题10分，共60分，以下每题的四个选项，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母写在每题的圆括号内）1、两个有限小数的整数部分分别是7和10,那么这两个有限小数的积的整数部分有( )种可能的取值。
（A)16 （B）17 （C）18 （D)19解析：此题主要考察学生思维是否缜密细心我们取最小值7×10=70，取不能达到的最大值8×11=88，那么就有整数部分的可能值范围是：70，71，72，...，87显然共有18个值，故选（C）2、小明家距学校，乘地铁需要30分钟，乘公交车需要50分钟。
某天小明因故先乘地铁，再换乘公交车，用了40分钟到到学校，其中换乘过程用了6分钟，那么这天小明乘公交车用了（）分钟。
（A)6 (B)8 (C)10 (D)12解析：此题可用两种方法。
（1）分析转换法；（2）列方程法。
建议用第一种方法，因为第一种方法是锻炼小学生思维能力的重要方法。
分析如下：第一步：首先确定乘地铁与乘公交车的总时间：40-6=34分钟第二步：建立乘地铁与乘公交车的时间关系S地铁30分种=S公交车50分钟，即S地铁3分钟=S公交5分钟这是等式表明少乘3分钟地铁将会浪费5-3=2分钟，或者也可以说多乘公交车5分钟将会多出时间2分钟。
而总共耗时34分钟，比原地铁时间浪费34-30=4（分钟），则可知少乘地铁3×（4÷2）=6（分钟），即乘地铁30-6=24分钟，公交车时间5×（4÷2）=10（分钟）故选（C)3、将长方形ABCD对角线平均分成12段，连接成右图，长方形ABCD内部空白面积总和是10平方厘米，那么阴影部分面积总和是（）平方厘米。
（A)14 （B)16 (C)18 (D)20解析：此题考察学生的归纳分析能力。
详解第二十二届华罗庚金杯少年数学邀请赛小学高年级组初赛试卷1.两个有限小数的整数部分分别为7和10，求这两个有限小数的积的整数部分可能的取值数。
解：如果这两个有限小数的十分位是小于6的，那么它们的积可能是7.05×10.05＝70.8525.如果这两个有限小数的小数部分是0.999，那么它们的积可能是：7.999×10.999≈87.981（这两个有限小数，无论小数部分有多少个9，积的整数部分都小于88）。
因此，这两个有限小数的积的整数部分最小可能是70，最大可能是87.从70到87共有18种可能的取值，因此答案为（C）18.2.小明家距学校，乘地铁需要30分钟，乘公交车需要50分钟。
某天小明先乘地铁再换乘公交车，用了40分钟到达学校，其中换乘过程用了6分钟。
求这天小明乘坐公交车用了多少分钟。
解：从家到学校，乘地铁每分钟能行全程的$\frac{1}{11}$，乘公交每分钟能行全程的$\frac{1}{30}$。
他从家到学校坐车实际花了34（分钟）。
假设全程都是乘地铁，那么乘坐公交车用了$\frac{3}{30}\times(40-6-30)=4$分钟。
因此，小明乘坐公交车用了（C）10分钟。
3.将长方形ABCD对角线平均分成12段，连接成图中所示的形状，长方形ABCD内部空白部分面积总和是10平方厘米。
求阴影部分面积总和。
解：连接对角线上的各个分点并延长，使之分别和长方形的长边与宽边平行、相等，这样，把长方形ABCD平分成了$12\times12=144$个小长方形。
最外圈每边有小长方形11个。
最外圈（黑）有$11\times4=44$个，第二圈（白）有$(11-2)\times4=36$个，第三圈（黑）有$(11-2-2)\times4=28$个，第四圈（白）有$(11-2-2-2)\times4=20$个，第五圈（黑）有$(11-2-2-2-2)\times4=12$个，第六圈（白）有$(11-2-2-2-2-2)\times4=4$个。
2016年第二十一届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷（小高组A卷）一、填空题（每题10分，共80分）1．（10分）计算：7﹣（2.4+1×4）÷1=．2．（10分）中国北京在2015年7月31日获得了2022年第24届冬季奥林匹克运动会的主办权．预定该届冬奥会的开幕时间为2022年2月4日，星期．（今天是2016年3月12日，星期六）3．（10分）如图中，AB=5厘米，∠ABC=85°，∠BCA=45°，∠DBC=20°，AD=厘米．4．（10分）在9×9的格子纸上，1×1小方格的顶点叫做格点．如图，三角形ABC的三个顶点都是格点．若一个格点P使得三角形PAB与三角形PAC的面积相等，就称P点为“好点”．那么在这张格子纸上共有个“好点”．5．（10分）对于任意一个三位数n，用表示删掉n中为0的数位得到的数．例如n=102时=12．那么满足＜n且是n的约数的三位数n有个．6．（10分）共有12名同学玩一种扑克游戏，每次4人参加，且任意2位同学同时参加的次数不超过1．那么他们最多可以玩次．7．（10分）如果2×38能表示成k个连续正整数的和，则k的最大值为．8．（10分）两把小尺子组成套尺，小尺可以沿着大尺滑动．大尺上每一个单位都标有自然数，第一把小尺将大尺上的11个单位等分为10，第二把小尺将大尺上9个单位等分为10，两把小尺的起点都为0，都分别记为1至10．现测量A，B两点间距离，A点在大尺的0单位处，B点介于大尺的18与19单位之间，将第一把小尺的0单位处于B点时，其单位3怡好与大尺上某一单位相合．如果将第二把小尺的0单位处置于B点，那么第二把小尺的第个单位怡好与大尺上某一单位相合．二、解答下列各题（每题10分，共40分，要求写出简要过程）9．（10分）复活赛上，甲乙二人根据投票结果决出最后一个参加决赛的名额．投票人数固定，每票必须投给甲乙二人之一．最后，乙的得票数为甲的得票数的，甲胜出．但是，若乙得票数至少増加4票，则可胜甲，请计算甲乙所得的票数．10．（10分）如图，三角形ABC中，AB=180厘米，AC=204厘米，D、F是AB上的点，E，G是AC上的点，连结CD，DE，EF，FG，将三角形ABC分成面积相等的五个小三角形，则AF+AG为多少厘米．11．（10分）某水池有甲、乙两个进水阀，只打开甲注水，10小时可将空水池注满；只打开乙，15小时可将空水池往满．现要求7个小时将空水池注满，可以只打开甲注水若干小时，接着只打开乙注水若干小时，最后同时打开甲乙注水．那么同时打开甲乙的时间是多少小时？12．（10分）将一个五边形沿一条直线简称两个多边形，再将其中一个多边形沿一条直线剪成两部分，得到了三个多边形，然后将其中一个多边形沿一条直线剪成两部分，…，如此下去．在得到的多边形中要有20个五边形，则最少剪多少次？三、解答下列各题（每题15分，共30分，要求写出详细过程）13．（15分）如图，有一张由四个1×1的小方格组成的凸字行纸片和一张5×6的方格纸，现将凸字形纸片粘到方格纸上，要求凸字形纸片的每个小方格都要与方格纸上的某个小方格重合，那么可以粘出多少种不同的图形？（两图形经旋转后相同看作相同图形）14．（15分）设n是正整数，若从任意n个非负整数中一定能找到四个不同的数a，b，c，d使得a+b﹣c﹣d能被20整除．则n的最小值是多少？2016年第二十一届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷（小高组A卷）参考答案与试题解析一、填空题（每题10分，共80分）1．（10分）计算：7﹣（2.4+1×4）÷1=2．【分析】先算小括号里面的乘法，再算小括号里面的加法，然后算括号外的除法，最后算括号外的减法．【解答】解：7﹣（2.4+1×4）÷1=7﹣（2.4+）÷1=7﹣÷1=7﹣=2故答案为：2．【点评】本题考查了分数的四则混合运算，计算时先理清楚运算顺序，根据运算顺序逐步求解即可．2．（10分）中国北京在2015年7月31日获得了2022年第24届冬季奥林匹克运动会的主办权．预定该届冬奥会的开幕时间为2022年2月4日，星期五．（今天是2016年3月12日，星期六）【分析】首先分析2016年的3月12日到2022年的3月13日是星期几，然后再根据3月12向前推理出2月4日即可．【解答】解：依题意可知：平年365天是52个星期多1天．润年是52个星期多2天．2016年3月12到2022年3月12日经过了5个平年1个闰年，向后推的天数为1+1+1+1+1+2=7．恰好为星期六．那么2022年的2月4日到2022年的3月12日．经过24+12=36天．36÷7=5…1．从星期六前推前天．说明2022年的2月4日是星期五．故答案为：五【点评】本题考查对周期问题的理解和运用，关键问题是找到时间差，周期看余数即可，问题解决．3．（10分）如图中，AB=5厘米，∠ABC=85°，∠BCA=45°，∠DBC=20°，AD=5厘米．【分析】首先根据题意可知∠ABC=85°，∠BCA=45°．那么根据三角形内角和为180度可知∠A=50°．继续推理即可．【解答】解：依题意可知：∠ABC=85°，∠BCA=45°．那么∠A=50°．∠ABD=∠ABC﹣∠DBC=85°﹣20°=65°∠ADB=180°﹣∠A﹣∠ABD=180°﹣50°﹣65°=65°；∠ADB=∠ABD，∴AB=AD=5故答案为：5【点评】悲痛考查对长度问题的理解和运用，关键问题是找到角度之间的等量关系，问题解决．4．（10分）在9×9的格子纸上，1×1小方格的顶点叫做格点．如图，三角形ABC的三个顶点都是格点．若一个格点P使得三角形PAB与三角形PAC的面积相等，就称P点为“好点”．那么在这张格子纸上共有6个“好点”．【分析】如下图这样，经过A点和BC边的中点画一条直线，交方格图于E点和F点，可以证得D、E、F三点都是好点；过AB点作平行线，与原来的三角形组成平行四边形，得到平行四边形ACBI，可以证得I、H、G三点也是好点．【解答】解：（1）△BDA与△CDA等底等高，所以面积相等；（2）△ABE与△ACE的面积都等于平行四边形ABCE的一半，所以面积相等；（3）△ABF的面积=△BDF的面积﹣△BDA的面积，△CAF的面积=△CDF的面积﹣△CDA的面积，又因为△BDA与△CDA面积相等，所以△ABF的面积=△CAF 的面积；（4）△ABI和△ACI的面积都等于平行四边形ACBI面积的一半，所以相等；（5）△ABH的面积是△ABI面积的一半，△ACH的面积是△ACI的面积的一半，所以△ABH与△ACH面积相等；（6）△AGB和△AGC有相同底AG，这条底边上的两个三角形高是相等的，所以这两个三角形面积相等．故此题的好点一共有6个．【点评】这种类型的题目一般是从中线入手，或者从平行四边形入手，这些点往往在一条直线上．5．（10分）对于任意一个三位数n，用表示删掉n中为0的数位得到的数．例如n=102时=12．那么满足＜n且是n的约数的三位数n有93个．【分析】按题意，能满足＜n且是n的约数的三位数n，有两种：第一种，十位为0，第二种，个位为0，然后再计算个数．【解答】解：根据分析，第一种，十位为0的三位数中，能满足是n的约数的n只有：105、108、405，三个数删掉0后得：15、18、45分别为105、108、405的约数；第二种，个位为0的三位数共有：9×10=90个，删掉0后均能满足是n的约数，故满足题意的三位数n有90个，综上，满足题意的三位数一共有90+3=93个．故答案是：93．【点评】本题考查了定义新运算，突破点是：分类讨论，有两种：第一种，十位为0，第二种，个位为0，然后再计算个数．6．（10分）共有12名同学玩一种扑克游戏，每次4人参加，且任意2位同学同时参加的次数不超过1．那么他们最多可以玩9次．【分析】首先分析可以将同学们进行标好，然后枚举即可．【解答】解：依题意可知：将学生进行编号1﹣12．如果是1﹣4一组，5﹣8一组，9﹣12一组下一组就没有符合题意的了，那么要求尽可能多分组．即第一次是1，2，3，4．第二次是1，5，6，7．第三次是2，5，8，9．第四组是3，6，8，10．第五组是4，5，8，11．第六组是3，5，9，10．第七组是4，6，9，11第八组是1，7，9，12第九组是2，6，10，12．故答案为：9【点评】本题考查对排列组合的理解和运用，关键问题是找到对应分组的情况，问题解决．7．（10分）如果2×38能表示成k个连续正整数的和，则k的最大值为108．【分析】设k个连续正整数的首项为n，则末项为n+k﹣1．则k个连续正整数的和=（n+n+k﹣1）•k÷2=2×38，利用质因数分解即可解决问题．【解答】解：设k个连续正整数的首项为n，则末项为n+k﹣1．则k个连续正整数的和=（n+n+k﹣1）•k÷2=2×38，所以（2n+k﹣1）•k=22×38，所以k的最大值为108=22×33，此时2n+k﹣1=35，n=68，故k的最大值为108．故答案为108．【点评】本题考查最大与最小、质因数分解等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，灵活应用质因数分解解决问题．8．（10分）两把小尺子组成套尺，小尺可以沿着大尺滑动．大尺上每一个单位都标有自然数，第一把小尺将大尺上的11个单位等分为10，第二把小尺将大尺上9个单位等分为10，两把小尺的起点都为0，都分别记为1至10．现测量A，B两点间距离，A点在大尺的0单位处，B点介于大尺的18与19单位之间，将第一把小尺的0单位处于B点时，其单位3怡好与大尺上某一单位相合．如果将第二把小尺的0单位处置于B点，那么第二把小尺的第7个单位怡好与大尺上某一单位相合．【分析】根据题意可：第一把小尺与大尺的单位比是11：10，第一把小尺的单位3，相当于大尺的单位3.3（根据比例求得）大尺3.3与18.7才能相加得整数，所以小尺的0对的大尺的单位是18.7．耶第二把小尺子以0单位为起点，在1到10之间找的单位对应大尺上的整数，必须是大尺的18.7加上几点3，就是说加上的这个数的小数位是3．根据大尺与第二把小尺的单位比9：10求得第二把小尺是7时，大尺的单位数才出现点3．【解答】解：11：10=？：3？=3.3那B点处在单位18与19之间的应是：18.718.7只有加上一个末位上是3的数（令其为X）才能凑整十数．？是在1一10之间的自然数，所以只有？=7符合条件．【点评】弄清题意是关键，再就是弄清他们（大小尺）的比例关系才能求解．求9：10=X：？时，用猜想法解答．二、解答下列各题（每题10分，共40分，要求写出简要过程）9．（10分）复活赛上，甲乙二人根据投票结果决出最后一个参加决赛的名额．投票人数固定，每票必须投给甲乙二人之一．最后，乙的得票数为甲的得票数的，甲胜出．但是，若乙得票数至少増加4票，则可胜甲，请计算甲乙所得的票数．【分析】乙得票数至少增加4票，则甲必至少减少4票，此时才能使乙胜甲，可以设一个未知数，列出关系式，求出解．【解答】解：根据分析，设甲得票数为x，则乙的得票数为，由题意得：⇒⇒x＜168，又∵x为正整数，且也为正整数∴x=147，x=126，即：①甲得票数是147票，乙的得票数是140票；②甲得票数是126票，乙的得票数是120票．故答案是：甲147票，乙140票．或，甲126票，乙120票．【点评】本题考查了分数和百分数的应用，本题突破点是：根据列出关系式，以及甲乙的得票数为正整数的范围，得出答案．10．（10分）如图，三角形ABC中，AB=180厘米，AC=204厘米，D、F是AB上的点，E，G是AC上的点，连结CD，DE，EF，FG，将三角形ABC分成面积相等的五个小三角形，则AF+AG为多少厘米．【分析】高一定，对应底的比等于面积比，根据五个小三角形面积相等，所以S =4S△DBC，所以AD=4BD=4×（180÷5）=144（厘米）；同理，可求AE、AF、△ADCAG的长度，进而求出AF+AG的长度即可．【解答】解：在△ABC中，因为S=4S△DBC，所以AD=4BD=4×（180÷5）=144△ADC（厘米）；=3S△EDC，所以AE=3EC=3×（204÷4）=153（厘米）；在△ADC中，因为S△ADE=2S△EFD，所以AF=2DF=2×（144÷3）=96（厘米）；在△ADE中，因为S△AFE在△AFE中，因为S=S△GFE，所以AG=GE=153÷2=76.5（厘米）；△AFG所以，AF+AG=96+76.5=172.5（厘米）；答：AF+AG为172.5厘米．【点评】本题关键是明确高一定，对应底的比等于面积比，据此求出所需线段的长度．11．（10分）某水池有甲、乙两个进水阀，只打开甲注水，10小时可将空水池注满；只打开乙，15小时可将空水池往满．现要求7个小时将空水池注满，可以只打开甲注水若干小时，接着只打开乙注水若干小时，最后同时打开甲乙注水．那么同时打开甲乙的时间是多少小时？【分析】可以先求得甲、乙每小时注的水量，即为、，总时间为7小时，同时开的时候，不难求出时间．【解答】解：根据分析，设水池注满时水的总量为1份，甲、乙每小时注水的速度分别为份/时、份/时，则甲乙同时开的时候总速度为+=，设刚开始只打开甲a小时，接着打开乙b小时，最后同时打开甲乙7﹣a﹣b小时，则：a+b+（7﹣a﹣b）=1，化简得：2a+3b=5，又∵a≥1，b≥1，∴a=1，b=1，∴甲乙同时打开的时间为：7﹣a﹣b=7﹣1﹣1=5（小时）．故答案是：5．【点评】本题考查了工程问题，本题突破点是：先求出甲乙单独注水的速度，再求时间．12．（10分）将一个五边形沿一条直线简称两个多边形，再将其中一个多边形沿一条直线剪成两部分，得到了三个多边形，然后将其中一个多边形沿一条直线剪成两部分，…，如此下去．在得到的多边形中要有20个五边形，则最少剪多少次？【分析】按题意，一个多边形可以被分成两部分，其内角和至多增加360°，剪K 次共增加的度数至多为K×360°，所以这（K+1）个多边形的度数和至多是K×360°+540°，另一方面，20个五边形的度数和为20×540°，剩余的（K﹣19）个多边形的度数和最小是（K﹣19）×180°，这样得到：（K﹣19）×180°+20×540°≤K×360°+540°，求解最后得出结果．【解答】解：根据分析，一个多边形被分成两部分，其内角和至多增加360°，剪K次共增加的度数至多为K×360°，所以这（K+1）个多边形的度数和至多是K ×360°+540°，另一方面，20个五边形的度数和为20×540°，剩余的（K﹣19）个多边形的度数和最小是（K﹣19）×180°，这样得到：（K﹣19）×180°+20×540°≤K×360°+540°；整理得：K≥38，当K=38时，可以先将五边形切成一个五边形和一个四边形，然后用18次将四边形分成19个四边形，再用19次将每个四边形切成五边形，这样就用38次将其切成20个五边形．综上，则最少剪38次．故答案是：38．【点评】本题考查剪切和拼接，突破点是：利用剪切和拼接，列出关系式，再求解，得出结果．三、解答下列各题（每题15分，共30分，要求写出详细过程）13．（15分）如图，有一张由四个1×1的小方格组成的凸字行纸片和一张5×6的方格纸，现将凸字形纸片粘到方格纸上，要求凸字形纸片的每个小方格都要与方格纸上的某个小方格重合，那么可以粘出多少种不同的图形？（两图形经旋转后相同看作相同图形）【分析】可以分情况讨论，把凸字形上面那个小方格称为它的头，粘出的图形可以分为两类：凸字形的头在方格纸的边框上位第一类，凸字形的头在方格纸的内部为第二类．【解答】解：根据分析，把凸字形上面那个小方格称为它的头，粘出的图形可以分为两类：凸字形的头在方格纸的边框上位第一类，凸字形的头在方格纸的内部为第二类．对于第一类，凸字形的头不能粘在方格纸的四个角，边框上（不是角）的小方格共有：2×3+2×4=14（个），有14个图形，第二类，方格纸内部的每一个小方格可以粘凸字形的头，有头朝上，头朝下，头朝左，头朝右之分，所以，这类图形有4×（3×4）=48（个）．由加法原理知，共有14+48=62中图形，由于方格纸的每个小方格都与另外一个小方格旋转对称，所以总的不同图形为：62÷2=31（个）．故答案是：31．【点评】本题考查组合图形的计数，本题突破点是：分类计算不同图形的个数．14．（15分）设n是正整数，若从任意n个非负整数中一定能找到四个不同的数a，b，c，d使得a+b﹣c﹣d能被20整除．则n的最小值是多少？【分析】首先说明任意8个非负整数不能满足条件，因为任意取9个非负整数，从中任意取7个，它们的两两之和有21个，这21个和数除以20的余数有21个，因为余数最多有20个不同的值，所以有下面两种情形之一发生：（1）有4个不同的数a、b、c、d，使得a+b与c+d除以20有相同的余数，此时四个数满足条件．（2）有3个不同的数a、c、x，使得a+x与b+x除以20有相同的余数，则（a+x）﹣（c+x）=a﹣c是20的倍数，由此循环，即可解决问题．【解答】解：存在8个数：0，1，2，4，7，12，20，40它们中任何四个数都不能满足条件，所以n的最小值大于等于9．因为任意取9个非负整数，从中任意取7个，它们的两两之和有21个，这21个和数除以20的余数有21个，因为余数最多有20个不同的值，所以有下面两种情形之一发生：（1）有4个不同的数a、b、c、d，使得a+b与c+d除以20有相同的余数，此时四个数满足条件．（2）有3个不同的数a、c、x，使得a+x与b+x除以20有相同的余数，则（a+x）﹣（c+x）=a﹣c是20的倍数，将a、c取出，在剩下的7个数中，同理可得：要么四个不同的数，满足条件，要么有两个数b、d，使得b﹣d是20的倍数，如此一来，总有a、b、c、d，使得a+b﹣c﹣d能被20整除．综上所述，n的最小值为9．【点评】本题考查最大与最小、整除问题等知识，题目比较抽象，灵活应用所学知识，进行推理是解题的关键．。
第二十二届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛〔A〕卷【小高组】一、填空题〔每题10分,共80分〕I .用［x］表示不超过x的最大整数,例如［3.14］ 3,那么2021 3 2021 4 2021 5 2021 6 2021 7 2021 8 /------ ------ ---------- --------- ---------- --------- 的值为.II 11 11 11 11 112.从4个整数中任意选出3个,求出它们的平均值,然后再求这个平均值和余下1个数的和,这样2 1可以得到4个数：8, 12, 10』和91,那么原来给定的4个整数的和为^3 33 .在3X3的网格中〔每个格子是个1X1的正方形〕放两枚相同的棋子,每个格子最多放一枚棋子,共有种不同的摆放方法.〔如果两种放法能够由旋转而重合,那么把它们视为同一种摆放方法〕4 .甲从A地出发去找乙,走了80千米后到达B地,此时,乙已于半小时前离开B地去了C地,甲已离开A地2小时,于是,甲以原来速度的2倍去C地,又经过了2小时后,甲乙两人同时到达C 地,那么乙的速度是千米/小时.5 .某校开设了书法和朗诵两个兴趣小组,两个小组都参加的人数是只参加书法小组人数的2 ,是只参加朗诵小组人数的1 ,那么书法小组与朗诵小组的人数比是 .7 56 .右图中,三角形ABC的面积为100平方厘米,三角形ABD的面积为72平方厘米.MMHB 90o .AB=20厘米.那么MH的长度为厘米.为CD边的中点,7 .一列数a i,a2, ,a n,,记S(a i)为a i的所有数字之和,如S(22) 2 2 4.假设a l 2021, a2 22,a n S(a n i) S(a n 2 ) ,那么a2021 等于.8 .如右图,六边形的六个顶点分别标志为A, B, C, D, E, F.开始的时候华罗庚金杯赛〞六个汉字分别位于A, B, C, D, E, F顶点处.将六个汉字在顶点处任意摆放,最终结果是每个顶点处仍各有一个汉字,每个字在开始位置的相邻顶点处,那么不同的摆放方法共有二、解答以下各题〔每题10分,共40分,要求写出简要过程〕9 .平面上有5条不同的直线,这5条直线共形成n个交点,那么n有多少个不同的数值?庚金10 .某校给学生提供苹果、香蕉和梨三种水果,用作课间加餐.每名学生至少选择一种,也可以多项选择统计结果显示：70%的学生选择苹果,40%的学生选了香蕉,30%的学生选了梨.那么三种水果都选的学生数占学生总数至多是百分之几 .11..箱子里面有两种珠子,一种每个19克,另一种每个17克,所有珠子的重量为2021克,求两种珠子的数量和所有可能的值.12 .使3^二不为最简分数的三位数n之和等于多少5n 1三、解答以下各题〔每题15分,共30分,要求写出详细过程〕13 .班上共有60位同学,生日记为某月某号.问每个同学两个同样的问题：班上有几个人与你生日的月份相同？班上有几个人与你生日的号数相同〔比方生日为1月12日与12月12日的号数是相同的〕结果发现,在所得到的答复中包含了由0到14的所有整数,那么,该班至少有多少个同学生日相同14 .将1至9填入右图的网格中,要求每个格子填一个整数, 不同格子填的数字不同, 且每个格子周围的格子〔即与该格子有公共边的格子〕所填数字之和是该格子中所填数字的整数倍.左右格子已经填有数字4和5,问：标有字母x的格子所填的数字最大是多少？第二十二届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛(A)卷参考答案【小高组】一、填空题(每题10分,共80分)I .解析：【知识点】计算原式(2021 4) 3 (2021 4) 4 (2021 4) 5 (2021 4) 6 (2021 4) 7 (2021 4) 8 II 11 11 11 11 114 3 4 4 45 46 47 4 8183 (3 4 5 6 7 8)11 11 11 11 11 11183 33 1 1 1 2 2 26039 960482.解析：【知识点】平均数设这四个整数分别是a、b、c、d,根据题意,可以得到：1-(a b c) d 81-(a b d) c 1231 2(a c d) b 103 31 1(b c d) a 93 31 ............四个式子相加得到一(3a 3b 3c 3d) a b c d 40,化间得到a b c d 20, 3那么原来给定的4个整数的和为20.3 .解析：【知识点】如下图,图1中,当一枚棋子确定后,另一枚棋子有7个位置可以选择,故有7种摆放方法；图2中,当一枚棋子确定后,另一枚棋子有3个位置可以选择,其余均与图1重复,故有3种摆放方法；图3中,所有的摆法均与图1,图2中的重复；所以一共有7+3=10种不同的摆放方法.4 .解析：【知识点】行程问题 假定A 、B 、C 三地在同一条直线上,从A 至ij B, 80千米,甲用了两小时,那么甲的速度为40千米/小时;设乙的速度为化,乙离开B 地半小时,距B 地的距离为0.5v 乙； 乙再用2小时到达C 地,那么B 、C 两地的距离为2.5v 乙； 2V 甲80千米/小时,甲用两小时从 B 地到达C 地,那么80 2 2.5v 乙 v 乙64千米/小时5 .解析：【知识点】容斥如图,a 表示只参加书法兴趣小组的人数, c 表示只参加朗诵兴趣小组的人数,b 表示既参加书法兴趣小组又参加朗诵兴趣小组的人数;6 .解析：【知识点】平面几何过 D 点作 DE BC ,过 C 点作 CF BC , BC 20cm , S ABC那么 DE 7.2 cm , DE//MH //CF , M 为 CD 的中点,那么 MH 为梯形 CDEF 的中位线,1MH (i (10 7.2) 8.6cm,根据题意,可以得到b -ab 1c 57a -b 那么(a b) 3.5b b 4.5 32 '、(b c) 5bb 6 4c 5b那么书法小组与朗诵小组的人数比 3:4.2 2100cm ,贝U CF 10cm, S ABD 72 cm ,那么MH的长度为8.6厘米.7 .解析：【知识点】周期问题要求22021的值,将该数列多写几项,寻找其中的规律;a12021a1111a2111a222a126a225a314a138a237a49a1414a2412a514a1513a2510a614a169a264a710a1713a275a86a1813a289a97a198a2914a1013a2012a3014最小周期为24,(20213)24 83 22,那么a2021等于108 .解析：【知识点】计数,逻辑推理每个点都有两个相邻位置,需要分类讨论；假设重新摆放后,“华〞在B位置,“罗〞在A位置,那么“庚〞只能在D位置,“金〞可在C位置, “杯〞在F位置,“赛〞在E位置,这是一种情况,假设“金〞在E位置,不符合条件；“华〞在B位置,“罗〞在C位置,那么“庚〞只能在D位置,“金〞可在E位置,“杯〞在F位置, “赛〞在A位置,这是另一种种情况；同样的,“华〞如果在F位置,同样也有两种情况,所以总共有4种不同的摆放方法.二、解答以下各题(每题10分,共40分,要求写出简要过程)9 .解析：【知识点】图论5条直线,最多可以有十个交点,最少可以没有交点, 0〜10,共11种可能,但是2个交点和3个交点的情况不可能出现,所以总共有11-2=9种；所以交点n的个数有9个不同的取值.10 .解析：【知识点】容斥设学生总数为100人,那么70人选择苹果,40人选择香蕉,30人选择梨;只选择苹果的人数为70 (a b c),只选择香蕉的人数为40 (a b d),只选择梨的人数为30 (a c d),可以得到70 (a b c) 40 (a b d) 30 (a c d) (a b c d) 100化简得到2a b c d 40,那么a 40 (b c d)当b c d 0时,a可以取最大值20.211解析：【知识点】不定方程设19克的珠子有x个,17克的珠子有y个,根据题意,可以得到：19x 17y 2021根据余数的性质,19x 17y 2021(mod17), 17x 0(mod17), 2021 11(mod17),那么19x 11(mod17),那么2x 11(mod17),可以得到最小的x值,及对应的y值,并在此根底上加减系数即可；x 14 x 31 x 48 x 65 x 82 x 99y 103‘ y84' y 65 ' y 46 ' y 27 ' y 8珠子和分别为117,115,113,111,109,107.12 .解析：【知识点】辗转相除根据题意,(3n 2)和(5n 1)的最大公约数不为1,设其最大公约数为k,即(3n 2,5n 1) k,(k 1),根据辗转相除,可得：k (3n 2,5n 1) (3n 2,2n 1) (n 3,2n 1) (n 3,n 4) (n 4,7)因此,k等于7,且7能够整除n 4,满足条件的最小三位数是102,依次加7即可满足条件,n构成等差数列102,109,116, ,998,总共129个数字；那么满足条件的三位数的和为102 998 129 70950.2三、解答以下各题(每题15分,共30分,要求写出详细过程)13 .解析：【知识点】抽屉原理60位同学,每人答复两个问题,所以总共有120个答复,这些答复中包含0〜14的所有整数,也就是说每种答复包含白^学生数量为1〜15,由于1 2 3 15 120 ,也就是说不管是答复同月还是同号,月和号的数字不会重复,正好每个数字都仅用了一次〔即不会出现同月的有 3个,同号的也有三个的情况〕；为了满足题目至少的要求,那么一个根本的考虑就是同月的分布要尽量分散,这样生日相同的可能性就 能尽量少；因此,答复同月的共有 60个学生,在1〜15中,用1,2,3,4,5,7,8,9,10,11这10个数字构造出60,即回 答同月为0的有1人,答复同月为1的有2人等等,共有10个月有学生；此时,还剩下15,14,13,12,6是答复同号的,取15来分析,这15名同学是包含在上面答复同月的学生 中的,也就是说,这15个同号的学生最极端的情况会尽量分散在 10个月份中,也就是必然存在至少有2个人同月同日；所以至少有两名同学生日相同. 14 .解析：【知识点】组合数学除去4和5,剩余7个数字的和是36,设x y 36,即图中空白格子的数字之和为 y,根据题意,x y 36, x 的取值可以是1,2,3,6,9; y nx既然要求x 可能取的最大值,先假设 x 9,b c 1 7, e f 2 8时,可以构造出符合题意的情况;(1)假设 b c 1 3, e f (2)假设 b c 1 7, e f(3)假设 b c 26, e f x 9不符合条件,再假设x2 8或7 8,填入原图后无解; 2 3或2 8,填入原图后无解;3 7或7 8,填入原图后无解;6 ,因此,x可以取的最大值为6.第二十二届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛〔B〕卷【小高组】、填空题〔每题10分,共80分〕J 1 1111 -2 3 3 4 51 12021 20211 1 1~ 2021 2021 20212 .甲、乙两车分别从A、B两地同时出发,相向而行,出发时甲乙两车的速度比为5:4.出发后不久, 甲车发生爆胎,停车更换轮胎后继续前进,并且将速度提升20%,结果在出发后3小时,与乙车相遇在AB两地中点.相遇后,乙车继续往前行驶,而甲车掉头行驶,当甲车回到A地时,乙车恰好到达甲车爆胎的位置,那么甲车更换轮胎用了分钟.3 .在3X3的网格中〔每个格子是个1X1的正方形〕放两枚相同的棋子,每个格子最多放一枚棋子,共种不同的摆放方法.〔如果两种放法能够由旋转而重合,那么把它们视为同一种摆放方法〕5 .右图中,三角形ABC的面积为100平方厘米,三角形ABD的面积为72平方厘米.M为CD边的中点, MHB 90 .AB=20厘米.那么MH的长度为厘米.4.小于1000的自然数中,有个数的数字组成中最多有两个不同的数字.6 .一列数ai0, ,a n ,,记S(a i )为a i 的所有数字之和,如 S(22) 2 2 4.假设 a i 2021,a 2 22,不 S(a n i ) S(a n 2),那么 a 20i7 等于7 . 一个两位数,其数字和是它的约数,数字差(较大数减去较小数)也是它的约数,这样的两位数8 .如右图,六边形的六个顶点分别标志为 A, B, C, D, E, F.开始的时候“华罗庚金杯赛〞六个汉字 分别位于A, B, C, D, E, F 顶点处.将六个汉字在顶点处任意摆放, 一个汉字,每个字在开始位置的相邻顶点处,那么不同的摆放方法共有、解答以下各题(每题 10分,共40分,要求写出简要过程)9 .平面上有5条不同的直线,这5条直线共形成m 个交点,那么m 有多少个不同的数值?的个数共有个.H最终结果是每个顶点处仍各有10 .求能被7整除且各位数字均为奇数,各位数字和为2021的最大正整数11 .从1001, 1002, 1003, 1004, 1005, 1006, 1007, 1008, 1009 中任意选出四个数,使它们的和为偶数,那么共有多少种不同的选法.12 .使生二不为最简分数的三位数之和等于多少5n 1三、解答以下各题〔每题15分,共30分,要求写出详细过程〕13 .一个正六边形被剖分成6个小三角形,如右图.在这些小三角形的7个顶点处填上7个不同的整数. 能否找到一个填法,使得每个小三角形顶点处的3个数都按顺时针方向从小到大排列.如果可以,请给出一种填法；如果不可以,请说明理由.14 .7 X的方格网黑白染色,如果黑格比白格少的列的个数为m,黑格比白格多的行的个数为n,求m n 的最大值.第二十二届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛〔B 〕卷参考答案【小高组】、填空题〔每题10分,共80分〕 1 .解析：【知识点】计算 原式2 .解析：【知识点】行程问题 设甲最初的速度为5v,乙的速度为4v,甲提速后的速度为6v, 行程图如下,C 点为爆胎处,D 点为中点,设C 、D 的距离为x,3 .解析：【知识点】计数如下图,图1中,当一枚棋子确定后,另一枚棋子有 7个位置可以选择,故有 7种摆放方法;图2中,当一枚棋子确定后,另一枚棋子有3个位置可以选择,其余均与图 1重复,故有3种摆放方图3中,所有的摆法均与图1,图2中的重复; 所以一共有7+3=10种不同的摆放方法.1 1 31111 一 一 1 一一 2 3 (2 2 3 1 1) 4 2 3 2 4 5 3 2 (2 1) 2 6 2 3 4 5 3 4 2021 4 (4 1) 4 2021 24 5 2021 (4 1)12021 1 1 1 2021 2021 2021 2021 202112021 2021 2021 20212021 (2021 1) 2021 (2021 1)2021 2 20341442021 2 2乙车用了 3小时,从B 地到D 地,走过的距离为 3 4v 12v,即为半程的距离;相遇以后,甲掉头返回,乙继续行驶, 可以得到 那么甲从A 到D,行车所用的时间为 4v 8v 5v 6v一 一 、, 32 13 13 那么换轮胎所用的时间为3+ 13h, 13 6015 1515所以甲车更换轮胎用了 52分钟.12v — x 8v,那么A 、C 两地距离为4v6v 4v 4 32 — 一, 3 15 52min ,4 .解析：【知识点】计数0〜99这100个数字都符合题意,主要研究三位数,分为含0和不含0分类讨论;只含一个0,总共有18个；含两个0,总共有9个；不含0,只含一种数字的总共有9个；不含0,由两种数字组成的总共有C； 3 2 216个；那么满足条件的数总共有100+18+9+9+216=352个.5 .解析：【知识点】平面几何过D点作DE BC ,过C点作CFBC , BC 20cm , S ABC 100cm2, M CF 10cm, S ABD 72 cm2 ,那么DE 7.2 cm , DE//MH //CF , M 为CD的中点,那么MH 为梯形CDEF 的中位线, 1MH - (10 7.2) 8.6cm,那么MH的长度为8.6厘米.6 .解析：【知识点】周期问题要求22021的值,将该数列多写几项,寻找其中的规律;a 1 2021 a 11 11 a 21 11 a 2 22a 12 6a 22 5a 314 a 138 a 237 a 4 9 a 14 14 a 2412 a 5 14a 15 13a 2510 a 614 a 169 a 264 a 710a 〞 13a 275a 8 6 a 18 13 a 28 9 a 9 7a 198a 2914a 1013 a 2012 a 3014最小周期为 24,(2021 3) 24 8322,贝U a 2021M 107 .解析：【知识点】计数 设这个两位数是ab , ab 10a b;所以,满足条件的两位数总共有19个.8 .解析：【知识点】计数,逻辑推理 每个点都有两个相邻位置,需要分类讨论;假设重新摆放后, 华〞在B 位置,罗〞在A 位置,那么庚〞只能在D 位置,金〞可在C 位置, 位置,赛〞在E 位置,这是一种情况,假设 金〞在E 位置,不符合条件;华〞在B 位置, 罗〞在C 位置,那么庚〞只能在D 位置,金〞可在E 位置,杯〞在F 位置,段 置,这是另一种种情况;1时, 2时, b20 b18, 解得 3时, b30 b, b27, 解得4时, b40 b36, 5时, b50 b, b45, 6时, b60 b54, 7时, b70 b63, 8时, b80 b, b72, 9时,b900、2、8,验算 10、 0、1、4、7 ,验算 0、6 ,验算 30、 解得b 解得b 解得b 解得b 解得b 解得b 0、2、5 8,验算 12可以,18不可以;20、21、24可以,27不可以; 36可以;40、42、45、48 可以; 0、4 ,验算50、54可以; 0、3,验算60、63可以; 02 ,验算70可以,72不可以;0、1、4 ,验算80、84可以,81不可以;0,验算90可以; 杯〞在F〞在A位同样的, 华〞如果在F位置,同样也有两种ft况,所以总共有4种不同的摆放方法.二、解答以下各题(每题10分,共40分,要求写出简要过程)9 .解析：【知识点】图论5条直线,最多可以有十个交点,最少可以没有交点, 0〜10,共11种可能,但是2个交点和3个交点的情况不可能出现,所以总共有11-2=9种；所以交点n的个数有9个不同的取值.10 .解析：【知识点】数论要使得所求的数尽可能大,那么所求整数的位数就尽可能多,且每一位数字都是奇数,就要含有尽量多的1;根据能被7整除的数的特征可得,111111是每个数位均为1,且能被7整除的最小数, 而2021=6X 336+1=6X 335+7当有336个111111时,由于所有数字之和是2021,首位数字只能是1,不能被7整除；当有335个111111时,前面还需要再加上一个正整数,使得数字之和等于2021,且要求最大,满足条件的最大整数是13111,;所以满足条件的最大正整数就是13111--111.2021 个111 解析：【知识点】计数这9个数里面有5个奇数,4个偶数,要使得选出来的4个数之和为偶数,有下面几种情况；选出的数为四个偶数, C44 1 ,只有1种;选出的数为四个奇数, C54 5, 总共5种;选出的数为两奇两偶, C42 C" 6 10 60 种;所以总共有1+5+60=66种不同的选法.12 .解析：【知识点】辗转相除根据题意,(3n 2)和(5n 1)的最大公约数不为1,设其最大公约数为k,即(3n 2,5n 1) k,(k 1),根据辗转相除,可得: k (3n 2,5n 1) (3n 2,2n 1) (n 3,2n 1) (n 3,n 4) (n 4,7)因此,k等于7,且7能够整除n 4,满足条件的最小三位数是102,依次加7即可满足条件,n构成等差数列102,109,116, ,998,总共129个数字；那么满足条件的三位数的和为102 998 129 70950.2三、解答以下各题〔每题15分,共30分,要求写出详细过程〕13 .解析：【知识点】操作类根据中央位置数的大小,分两种情况进行讨论：第一种情况,将最小数放在中央位置,这样只能在外圈根据顺时针从小到大的顺序填数字,但是最多只能满足5个三角形,最后一个三角形不能满足；第二种情况,将最小数放在外圈位置,然后在周边顺时针依次从小到大填数字,要使得尽可能多的三角形满足条件,中央位置要填较大的数,但是最多也只能满足5个三角形；所以,不能找到一种填法,使得每个小三角形顶点处的3个数都按顺时针方向从小到大排列.14 .解析：【知识点】操作类由于是7X7的方格网,所以1 m 7, 1 n 7,当m 7时,可以设这7列中,每一列中黑格的个数是3个,那么黑格总数为3X7=21个,将这21个黑格在1〜5行每行放4个,第6行放1个,第7行不放,这样就有5行中的黑格数多于白格数, 即n 5, 那么m n 12;当m 6时,可以设这6列中,每一列中黑格的个数是3个,其余1列黑格数是7个,那么黑格总数为使得1〜6行黑格数量都是4个,最后1行黑格数量为1个,这样就有6行中黑3X6+7=251,然后,格数量多于白格,即n 6 ,当m 5时,m n 12,所以,m n的最大值为12.。
