2018_2019高中数学第2章圆锥曲线与方程2.6.1曲线与方程学案苏教版选修2_120180829145

2.6.1 曲线与方程学习目标：1.了解曲线与方程的对应关系，了解“曲线的方程”和“方程的曲线”的概念．(难点、易错点)2.能根据曲线方程的概念解决一些简单问题．(重点)[自 主 预 习·探 新 知]教材整理 曲线的方程 方程的曲线阅读教材P 60例1以上的部分，完成下列问题．1．方程与曲线的定义在直角坐标系中，如果曲线C (看作适合某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程f (x ，y )＝0的实数解满足以下关系：如果曲线C 上点的坐标(x ，y )都是方程f (x ，y )＝0的解，且以方程f (x ，y )＝0的解(x ，y )为坐标的点都在曲线C 上，那么，方程f (x ，y )＝0叫做曲线C 的方程，曲线C 叫做方程f (x ，y )＝0的曲线．2．方程与曲线的关系图2­6­11．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)以方程f (x ，y )＝0的解为坐标的点都在曲线上，那么方程f (x ，y )＝0就是曲线的方程．( )(2)如果f (x ，y )＝0是某曲线C 的方程，则曲线上的点的坐标都适合方程．( )(3)若曲线C 上的点满足方程f (x ，y )＝0，则坐标不满足方程f (x ，y )＝0的点不在曲线C 上．( )(4)方程x ＋y －2＝0是以A (2,0)，B (0,2)为端点的线段的方程．( )(5)到两坐标轴的距离的乘积等于1的点的轨迹方程为xy ＝1.( )[答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)× (5)×2．点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2，－m 在方程x 2＋(y －1)2＝10表示的曲线上，则m ＝________. 【导学号：71392118】[解析] 据题意，有14m 2＋(－m －1)2＝10，解得m ＝2或－185. [答案] 2或－1853．方程|y|＝|2x|表示的曲线是________．[解析] ∵|y|＝|2x|，∴y＝±2x，表示两条直线．[答案] 两条直线4．已知曲线C的方程为x2－xy＋2y－7＝0，则下列四点中，在曲线C上的点有________(填序号)．①(－1,2)；②(1，－2)；③(2，－3)；④(3,6)．[解析] 把各点的坐标代入检验知，只有(－1,2)满足方程．[答案] ①[合作探究·攻重难]①过点A(3,0)且垂直于x轴的直线方程为x＝3；②到x轴距离为2的点的轨迹方程为y＝－2；③到两坐标轴的距离的乘积等于1的点的轨迹方程为xy＝1；④△ABC的顶点A(0，－3)，B(1,0)，C(－1,0)，D为BC的中点，则中线AD的方程为x ＝0. 【导学号：71392119】[解析] ①正确，因为过点A(3,0)且垂直于x轴的直线上任意一点的横坐标都是3，满足方程x＝3，满足方程x＝3的解为坐标的点都在过点A(3,0)且垂直于x轴的直线上．②错误，因为到x轴距离为2的点的轨迹方程为|y|＝2，即y＝±2.③错误，因为到两坐标轴的距离的乘积等于1的点的轨迹方程为|x|·|y|＝1即xy＝±1.④错误，因为三角形中线AD是一条线段，而不是直线，AD方程应为x＝0(－3≤y≤0)．[答案] ①1．若命题“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”是正确的，则下列命题正确的是________(填序号)．①方程f(x，y)＝0的曲线是C；②方程f(x，y)＝0的曲线不一定是C；③f(x，y)＝0是曲线C的方程；④以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上．[解析] 只有正确地理解曲线与方程的定义，才能准确作答．易知①③④错误．[答案] ②[精彩点拨]由曲线的方程研究曲线的特点，类似于用函数的解析式研究函数的图象，可由方程的特点入手分析．[自主解答]方程的左边配方得2(x－1)2＋(y＋1)2＝0，而2(x－1)2≥0，(y＋1)2≥0，∴2(x－1)2＝0，(y＋1)2＝0，∴x－1＝0且y＋1＝0，即x＝1，y＝－1.∴方程表示点(1，－1)．2．方程4x2－y2＋6x－3y＝0表示什么图形？[解]方程4x2－y2＋6x－3y＝0等价于(2x＋y)(2x－y)＋3(2x－y)＝0，等价于(2x－y)(2x＋y＋3)＝0，等价于2x－y＝0或2x＋y＋3＝0.故方程表示两条相交直线2x－y＝0和2x＋y＋3＝0.25(x≤0)所表示的曲线上；(2)点P(a＋1，a＋4)在曲线y＝x2＋5x＋3上，则a的值是________.【导学号：71392120】[精彩点拨](1)由曲线与方程的关系知，只要点M的坐标适合曲线的方程，则点M就在方程所表示的曲线上；而若点M为曲线上的点，则点M的坐标(x0，y0)一定适合曲线的方程．(2)利用点在曲线上，则点的坐标满足方程，代入解方程可得．[自主解答](1)把点A(－4,3)的坐标代入方程x2＋y2＝25中，满足方程，且点A的横坐标满足x≤0，则点A在方程x2＋y2＝25(x≤0)所表示的曲线上；把点B(－32，－4)的坐标代入x2＋y2＝25，因为(－32)2＋(－4)2＝34≠25，所以点B不在方程x2＋y2＝25(x≤0)所表示的曲线上．把点C (5，25)的坐标代入x 2＋y 2＝25，得(5)2＋(25)2＝25，满足方程，但因为横坐标5不满足x ≤0的条件，所以点C 不在方程x 2＋y 2＝25(x ≤0)所表示的曲线上．(2)因为点P (a ＋1，a ＋4)在曲线y ＝x 2＋5x ＋3上，所以a ＋4＝(a ＋1)2＋5(a ＋1)＋3，即a 2＋6a ＋5＝0，解得a ＝－1或－5.[答案] (2)－1或－53．若曲线y 2＝xy ＋2x ＋k 通过点(a ，－a )，a ∈R ，则实数k 的取值范围是________．[解析] ∵曲线y 2＝xy ＋2x ＋k 通过点(a ，－a )，∴a 2＝－a 2＋2a ＋k ， ∴k ＝2a 2－2a ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122－12， ∴k ≥－12， ∴k 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞. [答案] ⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞[1．怎样理解曲线与方程的概念？[提示] 定义中的条件(1)阐明了曲线具有纯粹性(或方程具有完备性)，即曲线上的所有点的坐标都适合这个方程而毫无例外；条件(2)阐明了曲线具有完备性(或方程具有纯粹性)，即适合条件的点都在曲线上而毫无遗漏．曲线的方程和方程的曲线是两个不同的概念，曲线的方程反映的是图形所满足的数量关系，而方程的曲线反映的是数量关系所表示的图形．2．理解曲线的方程与方程的曲线的概念时应注意什么？【导学号：71392121】[提示] (1)曲线上点的坐标都是这个方程的解．(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，二者缺一不可．分析下列曲线上的点与相应方程的关系：(1)与两坐标轴的距离的积等于5的点与方程xy ＝5.(2)第二、四象限角平分线上的点与方程x ＋y ＝0.[精彩点拨] 判断方程是不是曲线的方程的两个关键点：一是检验点的坐标是否适合方程；二是检验以方程的解为坐标的点是否在曲线上．[自主解答] (1)与两坐标轴的距离的积等于5的点的坐标不一定满足方程xy ＝5，如点(1，－5)，但是，以方程xy ＝5的解为坐标的点一定满足与两坐标轴的距离的积等于5，因此，与两坐标轴距离的积等于5的点的轨迹方程不是xy ＝5.(2)第二、四象限角平分线上的点的坐标都满足x ＋y ＝0；反之，以方程x ＋y ＝0的解为坐标的点都在第二、四象限的角平分线上，因此第二、四象限角平分线上的点的轨迹方程是x ＋y ＝0.4．判断下列命题是否正确，并说明理由．(1)以坐标原点为圆心，r 为半径的圆的方程是y ＝r 2－x 2；(2)过点A (2,0)平行于y 轴的直线l 的方程为|x |＝2.[解] (1)不正确，因为以原点为圆心，r 为半径的圆上的一点如点⎝ ⎛⎭⎪⎫r 2，－32r 在圆上，但此点坐标不满足方程y ＝r 2－x 2.(2)不正确，因为坐标满足方程|x |＝2的点不一定在直线l 上，如|－2|＝2，但点(－2,0)不在直线l 上．因此方程|x |＝2不是直线l 的方程，l 的方程是x ＝2.[当 堂 达 标·固 双 基]1．设方程F (x ，y )＝0的解集非空，如果命题“坐标满足方程f (x ，y )＝0的点都在曲线C 上”是不正确的，则下面命题中正确的是________(填序号)．①坐标满足f (x ，y )＝0的点都不在曲线C 上；②曲线C 上的点的坐标不满足f (x ，y )＝0；③坐标满足f (x ，y )＝0的点有些在曲线C 上，有些不在曲线C 上；④一定有不在曲线C 上的点，其坐标满足f (x ，y )＝0.[解析] 因为命题“坐标满足方程f (x ，y )＝0的点都在曲线C 上”是不正确的，所以其否定：存在不在曲线C 上的点，其坐标满足f (x ，y )＝0，是正确的，即④正确．[答案] ④2．f (x 0，y 0)＝0是点P (x 0，y 0)在曲线f (x ，y )＝0上的________条件.【导学号：71392122】[解析] ∵f (x 0，y 0)＝0，可知点P (x 0，y 0) 在曲线f (x ，y )＝0上，又P (x 0，y 0)在曲线f (x ，y )＝0上时，有f (x 0，y 0)＝0，∴f (x 0，y 0)＝0是P (x 0，y 0)在曲线f (x ，y )＝0上的充要条件．[答案] 充要3．若P (2，－3)在曲线x 2－ay 2＝1上，则a 的值为___________．[解析] ∵P (2，－3)在曲线x 2－ay 2＝1上，∴4－9a ＝1，解得a ＝13. [答案] 134．如图2­6­2中，方程表示图中曲线的是________．图2­6­2[解析] ∵x 2＋y 2＝1表示单位圆，故①错；x 2－y 2＝0表示两条直线y ＝x 和y ＝－x ，故②错；lg x ＋lg y ＝0可化为xy ＝1(x >0，y >0)，故④错；只有③正确．[答案] ③5．方程(x ＋y －2)·x 2＋y 2－9＝0表示什么曲线？[解] (x ＋y －2)·x 2＋y 2－9＝0变形为x 2＋y 2－9＝0或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －2＝0，x 2＋y 2－9≥0，表示以原点为圆心，3为半径的圆和直线x ＋y －2＝0在圆x 2＋y 2－9＝0外面的两条射线．。

2.1 圆锥曲线学习目标：1.通过用平面截圆锥面，经历从具体情境中抽象出椭圆、抛物线模型的过程，掌握它们的定义．(重点、难点)2.通过用平面截圆锥面，感受、了解双曲线的定义．(难点)[自主预习·探新知]教材整理圆锥曲线阅读教材P27～P28例1以上内容，完成下列问题．圆、两条相交直线、1．用平面截圆锥面能得到的曲线图形是椭圆、抛物线．、双曲线2．设P为圆锥曲线上任意一点，常数为2a(a>0)．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内到两定点F1(－5,0)，F2(5,0)的距离之和为10的动点的轨迹是椭圆．( )(2)在双曲线定义中，若去掉“绝对值”，其轨迹不是双曲线．( )(3)在抛物线定义中，“F不在l上”可以省略．( )(4)在椭圆、双曲线、抛物线的定义中“平面内”这一条件都不能丢掉，否则动点的轨迹就是空间图形．( ) [解析] (1)×.因为|F1F2|＝10，所以动点轨迹是线段F1F2，不是椭圆，故不正确．(2)√.双曲线定义中，若去掉“绝对值”，其轨迹是双曲线的一支，不是双曲线，故正确．(3)×.抛物线定义中，“F不在l上”不能省略，因为F在l上时，轨迹是一条直线，故不正确．(4)√.圆锥曲线是平面图形，因此是正确的．[答案] (1)×(2)√(3)×(4)√[合作探究·攻重难]C的轨迹；(2)已知F1，F2为椭圆的两焦点，直线AB过点F1，交椭圆于A，B两点，若椭圆上任一点P满足PF1＋PF2＝5，求△ABF2的周长.【导学号：71392047】[精彩点拨](1)由△ABC的周长为16，AB＝6得CA＋CB＝10，根据椭圆的定义知，点C在椭圆上；(2)利用椭圆的定义，把△ABF2的周长分解为点A和点B到焦点的距离之和．[自主解答](1)由A(0，－3)，B(0,3)得AB＝6，又△ABC的周长为16，所以CA＋CB ＝16－6＝10＞6，由椭圆的定义可知，点C在以A、B为焦点的椭圆上，又因为A、B、C为三角形的顶点，所以A、B、C三点不共线，所以点C的轨迹是以A，B为焦点的椭圆(除去与A、B所在同一直线的两个点)．(2)由椭圆的定义可知，AF1＋AF2＝BF1＋BF2＝PF1＋PF2＝5，所以△ABF2的周长为AB＋AF2＋BF2＝(AF1＋AF2)＋(BF1＋BF2)＝5＋5＝10.1．命题甲：动点P到两定点A，B的距离之和PA＋PB＝2a(a>0，a为常数)；命题乙：P 点轨迹是椭圆，则命题甲是命题乙的________条件．[解析] 根据椭圆的定义，应填必要不充分．[答案] 必要不充分图形？(1)|(x＋5)2＋y2－(x－5)2＋y2|＝6；(2)(x＋4)2＋y2－(x－4)2＋y2＝6.[精彩点拨]把代数方程转化为几何问题解决，严格扣准双曲线的定义．[自主解答](1)∵|(x＋5)2＋y2－(x－5)2＋y2|表示点P(x，y)到两定点F1(－5,0)，F2(5,0)的距离之差的绝对值，|F1F2|＝10，∴||PF1|－|PF2||＝6<|F1F2|，故点P的轨迹是双曲线．(2)∵(x＋4)2＋y2－(x－4)2＋y2表示点P(x，y)到两定点F1(－4,0)，F2(4,0)的距离之差，|F1F2|＝8，∴|PF1|－|PF2|＝6<|F1F2|，故点P的轨迹是双曲线的右支．2．已知A(0，－5)，B(0,5)，若|PA|－|PB|＝6，则P点的轨迹为________，若|PA|－|PB|＝10，则P点的轨迹为________.【导学号：71392048】[解析] ∵|PA|－|PB|＝6<10时，∴P的轨迹为双曲线的一支．又∵|PA|－|PB|＝10且|AB|＝10，∴P的轨迹为射线，是以B为端点向上的一条射线．[答案] 双曲线的一支一条射线M的轨迹．[精彩点拨]把条件式化为点M到点(1,2)与点M到直线3x＋4y＋1＝0的距离相等，利用抛物线的定义求解．[自主解答]选定直线l：3x＋4y＋1＝0，定点F(1,2)，则M到l的距离为d＝|3x＋4y＋1|，MF＝(x－1)2＋(y－2)2.由题意知d＝MF，且F∉l，由抛物线定义知，M的轨5迹是以F为焦点，l为准线的抛物线．3．点P到点F(4,0)的距离比它到直线l：x＝－6的距离小2，则点P的轨迹为________．[解析] 由题意可知，点P到F(4,0)的距离与到直线x＝－4的距离相等．根据抛物线的定义知，点P的轨迹为抛物线．[答案] 抛物线[1．已知F1(－2,0)，F2(2,0)，若PF1＋PF2＝6时，点P的轨迹是什么？若|PF1－PF2|＝2时，点P的轨迹是什么？【导学号：71392049】[提示]若PF1＋PF2＝6>4，则P的轨迹为椭圆；若|PF1－PF2|＝2<4，则P的轨迹为双曲线．理解椭圆关注几个词：“和”“定值”“大于焦距”；理解双曲线关注几个词：“差”“绝对值”“定值”“小于焦距”．2．抛物线的定义应注意什么？定点为F(2,0)，定直线为x＝－2时，动点P到F的距离与到直线x＝－2的距离相等，动点P的轨迹是什么？[提示]在抛物线定义中，要特别注意：①在平面内；②到定点距离等于到定直线距离；③定点不在定直线上．因为(2,0)不在直线x＝－2上，所以点P的轨迹为抛物线．已知圆C1：(x＋2)2＋y2＝1和圆C2：(x－2)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，求动圆圆心M的轨迹．[精彩点拨]根据M到C1，C2的距离的关系，扣住圆锥曲线的定义．[自主解答]由已知得，圆C1的圆心C1(－2,0)，半径r1＝1，圆C2的圆心C2(2,0)，半径r2＝3.设动圆M的半径为r，因为动圆M与圆C1相外切，所以MC1＝r＋1.①又因为动圆M与圆C2相外切，所以MC2＝r＋3.②②－①得MC2－MC1＝2，且2<C1C2＝4.所以动圆圆心M的轨迹为双曲线的左支，且除去点(－1,0)．4．已知圆A ：(x ＋3)2＋y 2＝100，圆A 内有一定点B (3,0)，动圆M 过B 点且与圆A 内切，求证：圆心M 的轨迹是椭圆.【导学号：71392050】[证明] 设MB ＝r .∵圆M 与圆A 内切，圆A 的半径为10，∴两圆的圆心距MA ＝10－r ，即MA ＋MB ＝10(大于AB )，∴圆心M 的轨迹是以A ，B 两点为焦点的椭圆． [当 堂 达 标·固 双 基]1．已知F 1(－2,0)，F 2(2,0)，动点P 满足PF 1＋PF 2＝6，则点P 的轨迹是________． [解析] ∵PF 1＋PF 2＝6＞F 1F 2，∴点P 的轨迹是以F 1，F 2为焦点的椭圆． [答案] 以F 1，F 2为焦点的椭圆 2．已知抛物线上一点P 到焦点F 的距离为32，则点P 到抛物线准线的距离为________． [解析] 根据抛物线的定义，抛物线上的点到焦点的距离与它到准线的距离相等，故点P 到准线的距离为32. [答案] 323．以F 1，F 2为焦点作椭圆，椭圆上一点P 1到F 1，F 2的距离之和为10，椭圆上另一点P 2满足P 2F 1＝P 2F 2，则P 2F 1＝________. [解析] 由椭圆的定义可知P 2F 1＋P 2F 2＝10. 又∵P 2F 1＝P 2F 2，∴P 2F 1＝5. [答案] 5 4．已知M (－2,0)，N (2,0)，PM －PN ＝3，则动点P 的轨迹为________.【导学号：71392051】[解析] ∵MN ＝4，PM －PN ＝3<4，∴动点P 的轨迹为双曲线的右支．[答案] 双曲线的右支 5．动点P (x ，y )的坐标满足(x －5)2＋y2－(x ＋5)2＋y2＝4，试确定点P 的轨迹．[解](x －5)2＋y2的几何意义是点P 到定点A (5,0)的距离，(x ＋5)2＋y2的几何意义是点P 到定点B (－5，0)的距离，因此原式可化为PA －PB ＝4＜AB ＝10，故点P 的轨迹是以A，B为焦点靠近点B的双曲线的一支．。

2.1 圆锥曲线[学习目标] 1.了解圆锥曲线的实际背景.2.经历从具体情境中抽象出圆锥曲线的过程.3.掌握椭圆、抛物线的定义和几何图形.4.了解双曲线的定义和几何图形．知识点一椭圆的定义平面内到两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于F1F2)的点的轨迹叫做椭圆，两个定点F1，F2叫做椭圆的焦点．两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．知识点二双曲线的定义平面内到两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于F1F2的正数)的点的轨迹叫做双曲线，两个定点F1，F2叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．知识点三抛物线的定义平面内到一个定点F和一条定直线l(F不在l上)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线．思考1．若动点M到两个定点F1、F2距离之和满足MF1＋MF2＝F1F2，则动点M轨迹是椭圆吗？答案不是，是线段F1F2.2．若动点M到两个定点F1、F2距离之差满足MF1－MF2＝2a(2a＜F1F2)，则动点M轨迹是什么？答案是双曲线一支．题型一椭圆定义的应用例1 在△ABC中，B(－6,0)，C(0,8)，且sin B，sin A，sin C成等差数列．(1)顶点A的轨迹是什么？(2)指出轨迹的焦点和焦距．解(1)由sin B，sin A，sin C成等差数列，得sin B＋sin C＝2sin A．由正弦定理可得AB＋AC ＝2BC.又BC＝10，所以AB＋AC＝20，且20>BC，所以点A的轨迹是椭圆(除去直线BC与椭圆的交点)．(2)椭圆的焦点为B、C，焦距为10.反思与感悟本题求解的关键是把已知条件转化为三角形边的关系，找到点A满足的条件．注意A、B、C三点要构成三角形，轨迹要除去两点．跟踪训练1 已知圆A：(x＋3)2＋y2＝100，圆A内一定点B(3,0)，动圆M过B点且与圆A 内切，求证：圆心M的轨迹是椭圆．证明 设MB ＝r .∵圆M 与圆A 内切，圆A 的半径为10，∴两圆的圆心距MA ＝10－r ，即MA ＋MB ＝10(大于AB )．∴圆心M 的轨迹是以A 、B 两点为焦点的椭圆．题型二 双曲线定义的应用例2 已知圆C 1：(x ＋2)2＋y 2＝1和圆C 2：(x －2)2＋y 2＝9，动圆M 同时与圆C 1及圆C 2相外切，求动圆圆心M 的轨迹．解 由已知得，圆C 1的圆心C 1(－2,0)，半径r 1＝1，圆C 2的圆心C 2(2,0)，半径r 2＝3.设动圆M 的半径为r .因为动圆M 与圆C 1相外切，所以MC 1＝r ＋1.①又因为动圆M 与圆C 2相外切，所以MC 2＝r ＋3.②②－①得MC 2－MC 1＝2，且2<C 1C 2＝4.所以动圆圆心M 的轨迹为双曲线的左支，且除去点(－1,0)．反思与感悟 设动圆半径为r ，利用动圆M 同时与圆C 1及圆C 2相外切得两个等式，相减后消去r ，得到点M 的关系式．注意到MC 2－MC 1＝2中没有绝对值，所以轨迹是双曲线的一支，又圆C 1与圆C 2相切于点(－1,0)，所以M 的轨迹不过(－1,0)．跟踪训练2 在△ABC 中，BC 固定，顶点A 移动．设BC ＝m ，且|sin C －sin B |＝12sin A ，则顶点A 的轨迹是什么？解 因为|sin C －sin B |＝12sin A ，由正弦定理可得|AB －AC |＝12BC ＝12m ，且12m <BC ， 所以点A 的轨迹是双曲线(除去双曲线与BC 的两交点)．题型三 抛物线定义的应用例3 已知动点M 的坐标(x ，y )满足方程2(x －1)2＋2(y －1)2＝(x ＋y ＋6)2，试确定动点M 的轨迹．解 方程可变形为x －2＋y －2|x ＋y ＋6|2＝1，∵x －2＋y －2表示点M 到点(1,1)的距离，|x ＋y ＋6|2表示点M 到直线x ＋y ＋6＝0的距离， 又由x －2＋y －2|x ＋y ＋6|2＝1知点M 到定点(1,1)的距离等于点M 到直线x ＋y ＋6＝0的距离．由抛物线的定义知点M的轨迹是抛物线．反思与感悟若将方程两边展开整理，然后通过方程的特点来判断，将很难得到结果，而利用方程中表达式的几何意义，再由抛物线定义，问题就变得非常简单．跟踪训练3 点P到点F(4,0)的距离比它到直线l：x＝－6的距离小2，则点P的轨迹为________．答案抛物线解析将直线l：x＝－6向右平移2个单位，得直线l′：x＝－4.依题意知，点P到F(4,0)的距离等于点P到l′：x＝－4的距离，可见点P的轨迹是抛物线．1．设定点F1(0，－3)，F2(0,3)，动点P(x，y)满足条件PF1＋PF2＝a(a>0)，则动点P的轨迹是__________________．答案椭圆或线段或不存在解析当a＜6时，轨迹不存在；当a＝6时，轨迹为线段；当a＞6时，轨迹为椭圆．2．已知△ABC的顶点A(－5,0)、B(5,0)，△ABC的内切圆圆心在直线x＝3上，则顶点C的轨迹是____________．答案以A、B为焦点的双曲线的右支(除去点(3,0))解析如图，AD＝AE＝8.BF＝BE＝2，CD＝CF，所以CA－CB＝8－2＝6＜AB＝10.根据双曲线定义，所求轨迹是以A、B为焦点的双曲线的右支．3．如图，圆O的半径为定长r，A是圆O内一个定点，P是圆上任意一点．线段AP的垂直平分线l和半径OP相交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹是________________．答案以O、A为焦点的椭圆解析∵QA＝QP，∴QO＋QA＝r＞OA.∴点Q的轨迹是以O、A为焦点的椭圆．4．若点P到直线x＝－1的距离比它到点(2,0)的距离小于1，则点P的轨迹为________．答案抛物线解析依题意，点P到直线x＝－2的距离等于它到点(2,0)的距离，故点P的轨迹是抛物线．5．到定直线x＝－2的距离比到定点(1,0)的距离大1的点的轨迹是________________．答案抛物线解析到定点(1,0)和定直线x＝－1的距离相等，所以点的轨迹是以(1,0)为焦点的抛物线．1.一个平面截一个圆锥面，当平面经过圆锥面的顶点时，可得到两条相交直线；当平面不经过顶点与圆锥面的轴垂直时，截得的图形是一个圆．改变平面的位置，观察截得的图形变化情况，可得到三种重要的曲线，即椭圆、双曲线和抛物线，统称为圆锥曲线．2．椭圆定义中，常数>F1F2不可忽视，若常数<F1F2，则这样的点不存在；若常数＝F1F2，则动点的轨迹是线段F1F2.3．双曲线定义中，若常数>F1F2，则这样的点不存在；若常数＝F1F2，则动点的轨迹是以F1、F2为端点的两条射线．4．抛物线定义中F∉l，若F∈l，则点的轨迹是经过点F且垂直于l的直线．。

2.6曲线与方程（2）一、预习检查1．过双曲线2222=-y x 右焦点的直线l ,交双曲线于点B A ,,若4=AB ,则这样的直线l 有 条.2．不论k 为何值,直线b x k y +-=)2(与双曲线122=-y x 总有公共点,则实数b 的取值范围是 ．３.经过点)4,0(P ，且与抛物线x y 162=只有一个公共点的直线有几条？求出这样的直线方程．４.已知探照灯的轴截面是抛物线x y =2，平行于x 轴的光线照射到抛物线上的点)1,1(-P ，反射光线过抛物线焦点后又照射到抛物线上的点Ｑ，试确定点Ｑ的坐标．二、问题探究探究1． 已知曲线1C ：0),(1=y x f 和曲线2C ：0),(2=y x f ，如何求两曲线1C 与2C 的交点？探究2．一只酒杯的轴截面是抛物线的一部分，它的方程是)200(22≤≤=y y x ．在杯内放入一个玻璃球，要使球触及酒杯底部，那么玻璃球的半径r 应满足什么条件？例1．直线2+=kx y 与双曲线622=-y x 的右支交于不同的两点，则k 的取值范围是 ．例2．（理科）学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回实验，设计方案如下图，航天器运行 （按顺时针方向）的轨迹方程为12510022=+y x ，变轨（即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线）后返回的轨迹是以y 轴为对称轴，)764,0(M 为顶点的抛物线的实线部分，降落点为)0,8(D ，观测点)0,6(),0,4(B A 同时跟踪航天器．（１） 求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程；（２） 试问：当航天器在x 轴上方时，观测点B A ,测得航天器的距离分别为多少时，应向航天器发出变轨指令？三、思维训练1．已知点)0,1(),0,1(-B A ，动点M 满足2=-MB MA ，则点M 的轨迹方程是 ．2．以双曲线222=-y x 的右焦点为圆心，且与其右准线相切的圆的方程是 ．3．若曲线)22(412≤≤--+=x x y 与直线4)2(+-=x k y 有两个交点，则实数k 的取值范围是 ．4．过抛物线)0(2>=a ax y 的焦点F 任作一条直线交抛物线于Q P ,两点，若线段PF 与FQ 的长分别为q p ,，则qp 11+的值为 ．四、课后巩固 1．设直线l ：022=++y x 关于原点对称的直线为l '，若l '与椭圆1422=+y x 的交点为B A ,，点P 为椭圆上的动点，则使△PAB 的面积是21的点P 的个数是 ．2．F 是双曲线191622=-y x 的右焦点，M 是双曲线右支上一动点，定点A 的坐标为)1,5(则MA MF 54+的最小值是 ．3．试讨论方程b x x +=-12根的情况．4．直线kx y =与圆0104622=+--+y x y x 交于两个不同点B A ,，求AB 中点的轨迹方程．5．（理科）已知抛物线)0(22>p px y 上横坐标为４的点的焦点的距离是５．（１）求此抛物线方程；（２）若点C 是抛物线上的动点，以C 为圆心的圆在y 轴上截得的弦长为４，求证：圆C 恒过定点．6．（理科）如图，在平面直角坐标系xoy 中，过y 轴正方向上任一点),0(c C 任作一直线与抛物线2x y =相交于B A ,两点．一条垂直于x 轴的直线分别与线段AB 和直线l ：c y -=交于点Q P ,． （１）若2=⋅，求c 的值；（２）若P 为线段AB 的中点，求证：QA 为此抛物线的切线；（３）试问（２）的逆命题是否成立？请说明理由．。

2.6.2 求曲线的方程学习目标：1.了解求曲线方程的步骤，会求一些简单曲线的方程．(重点)2.掌握求动点轨迹方程的常用方法．(难点)3.对动点轨迹方程的限制与检验．(易错点)[自主预习·探新知]教材整理求曲线的方程阅读教材P63例1以上的部分，完成下列问题．1．求曲线方程的一般步骤求曲线方程的一般步骤为五步．用流程图表示如下：建立适当的坐标系↓设曲线上任意一点M的坐标为(x，y)↓列出符合条件p(M)的方程f(x，y)＝0↓化方程f(x，y)＝0为最简形式↓证明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上求曲线方程的流程图可以简记为：建系→设点→列式→化简→证明2．求曲线方程的常用方法求曲线方程的常用方法有直接法、代入法、参数法、几何法、定义法．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在求曲线方程时，对于同一条曲线，坐标系的建立不同，所得到的曲线方程也不一样．( )(2)化简方程“|x|＝|y|”为“y＝x”是恒等变形．( )(3)按照求曲线方程的步骤求解出的曲线方程不用检验．( )(4)在求曲线方程时，如果点有了坐标或曲线有了方程，则说明已经建立了平面直角坐标系．( )[答案] (1)√(2)×(3)×(4)√2．在平面直角坐标系内，到原点距离为2的点M的轨迹方程是________．[解析] 由圆的定义知，点M 的轨迹是以(0,0)为圆心，以2为半径的圆，则其方程为x 2＋y 2＝4.[答案] x 2＋y 2＝43．设P 为曲线x 24＋y 2＝1上一动点，O 为坐标原点，M 为线段OP 的中点，则动点M 的轨迹方程是________．[解析] 设M (x ，y )，P (x 0，y 0)， 则x 0＝2x ，y 0＝2y ， ∵x 204＋y 20＝1，∴x 2＋4y 2＝1. [答案] x 2＋4y 2＝14．到A (－3,0)，B (5，－1)的距离相等的点的轨迹方程是________.【导学号：71392127】[解析] 设P (x ，y )，PA ＝PB ，即(x ＋3)2＋y 2＝(x －5)2＋(y ＋1)2，即(x ＋3)2＋y 2＝(x －5)2＋(y ＋1)2，化简得16x －2y －17＝0.[答案] 16x －2y －17＝0[合 作 探 究·攻 重 难]，b 成等差数列，AB ＝2，求顶点C 的轨迹方程．[精彩点拨] 由a ，c ，b 成等差数列可得a ＋b ＝2c ；由a >c >b 可知所求轨迹方程是整个轨迹方程的一部分；由AB ＝2可建立适当的坐标系．于是可按求曲线方程的一般步骤求解．[自主解答] 以AB 所在直线为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系，则A (－1,0)，B (1,0)，设C 点坐标为(x ，y )，由已知得AC ＋BC ＝2AB .即(x ＋1)2＋y 2＋(x －1)2＋y 2＝4， 整理化简得3x 2＋4y 2－12＝0，即x 24＋y 23＝1.又∵a >c >b ，∴x <0且x ≠－2.所以顶点C 的轨迹方程为x 24＋y 23＝1(x <0且x ≠－2)．1．若将本例已知条件“a >c >b 且a ，c ，b 成等差数列”改为“△ABC 的周长为6且AB ＝2”，求顶点C 的轨迹方程.【导学号：71392128】[解] 以AB 所在直线为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．则A (－1,0)，B (1,0)，设C (x ，y )， 由已知得AC ＋BC ＋AB ＝6.即(x ＋1)2＋y 2＋(x －1)2＋y 2＝4. 化简整理得3x 2＋4y 2－12＝0，即x 24＋y 23＝1.∵A ，B ，C 三点不能共线， ∴x ≠±2.综上，点C 的轨迹方程为x 24＋y 23＝1(x ≠±2).l相切，求动圆的圆心P 的轨迹方程．[精彩点拨] 利用平面几何的知识，分析点P 满足的条件为抛物线，可用定义法求解． [自主解答] 如图，作PK 垂直于直线x ＝1，垂足为K ，PQ 垂直于直线x ＝2，垂足为Q ，则KQ ＝1，所以PQ ＝r ＋1，又AP ＝r ＋1，所以AP ＝PQ ，故点P 到圆心A (－2,0)的距离和到定直线x ＝2的距离相等，所以点P 的轨迹为抛物线，A (－2,0)为焦点，直线x ＝2为准线．设抛物线方程为y 2＝－2px (p ＞0)则p2＝2，∴p ＝4， ∴点P 的轨迹方程为y 2＝－8x .2．点P 与定点F (2,0)的距离和它到定直线x ＝8的距离的比是1∶2，求点P 的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形．[解] 设d 是点P 到直线x ＝8的距离，根据题意，得PF d ＝12. 由圆锥曲线的统一定义可知，点P 的轨迹是以F (2,0)为焦点，x ＝8为准线的椭圆，设椭圆的方程为x 2a 2＋y2b 2＝1(a ＞b ＞0)，焦距为2c ，则⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2，a 2c＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝16，c ＝2.∴b 2＝a 2－c 2＝16－4＝12. 故点P 的轨迹方程为x 216＋y 212＝1.M 的轨迹方程.【导学号：71392129】[精彩点拨] 设M (x ，y )，由M 为线段PQ 的中点，可表示出在已知抛物线上运动的点P 的坐标，代入到已知抛物线，进而得到所求动点的轨迹方程．[自主解答] 设M (x ，y )，P (x 0，y 0)． 由M 为线段PQ 的中点，得x 0＋42＝x ，y 0＋22＝y ，则x 0＝2x －4，y 0＝2y －2. 因为P (x 0，y 0)在抛物线y ＝x 2上， 即y 0＝x 20，得2y －2＝(2x －4)2， 化简得y ＝2x 2－8x ＋9.即线段PQ 的中点M 的轨迹方程为y ＝2x 2－8x ＋9.3．在例3中，若点M 满足PQ →＝3MQ →，则点M 的轨迹方程是什么？[解] 设P (x 0，y 0)，则y 0＝x 20，设M (x ，y )，则PQ →＝(4－x 0,2－y 0)，MQ →＝(4－x,2－y )，由PQ →＝3MQ →，得⎩⎪⎨⎪⎧4－x 0＝3(4－x )，2－y 0＝3(2－y )，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝3x －8，y 0＝3y －4，又y 0＝x 20，∴3y －4＝(3x －8)2，化简得y ＝3x 2－16x ＋683，即点M 的轨迹方程为y ＝3x 2－16x ＋683.[1．在解决曲线的方程问题时，怎样建立“适当的”坐标系？[提示] 建立坐标系时，要充分利用图形的几何特征，例如，中心对称图形，可利用它的对称中心为坐标原点；轴对称图形，可利用它的对称轴为坐标轴；题设中有直角，可考虑以两直角边所在的直线为坐标轴等．同一曲线，坐标系建立的不同，方程也不相同．所以要遵循垂直性和对称性的原则建系．一方面让尽可能多的点落在坐标轴上，另一方面能使求出的轨迹方程形式简捷．2．“轨迹方程”与“轨迹”有什么异同？[提示] (1)动点的轨迹方程实质上是建立轨迹上的点的坐标间的关系，即动点坐标(x ，y )所适合的方程f (x ，y )＝0.有时要在方程后根据需要指明变量的取值范围；(2)轨迹是点的集合，是曲线，是几何图形，故求点的轨迹时，除了写出方程外，还必须指出这个方程所代表的曲线的形状、位置、范围、大小等．3．在求动点的轨迹方程时 ，如何确定变量的取值范围？[提示] 在求动点的轨迹方程时，注意不要把范围扩大或缩小，也就是要检验轨迹的纯粹性和完备性．应充分挖掘题目中的隐含条件、限制条件，求出变量的适当范围．4．如何利用参数法求轨迹方程，利用参数法求轨迹方程时要注意什么？[提示] (1)当动点坐标x ，y 满足的等式关系不易直接找出时，可以设出与动点运动有关的变量作为参数，间接地表示出关于x ，y 的方程，然后再消去参数，为了消去参数，应根据题意找出参数满足的等式．在具体问题中，往往以直线的斜率k ，倾斜角α，截矩b ，时间t 等作为参数．(2)利用参数法求轨迹方程时，应注意参数的取值范围．同时，参数法求动点轨迹方程的一个难点就是消参数，应选用适当的方法消去参数．例如代入法、加减法、恒等式法等．设椭圆方程为x 2＋y 24＝1，过点M (0,1)的直线l 交椭圆于A ，B 两点，O 为坐标原点，点P 满足OP →＝12(OA →＋OB →)，当直线l 绕点M 旋转时，求动点P 的轨迹方程.【导学号：71392130】[精彩点拨] 设出直线的方程，其斜率为k ，运用所给条件，用k 表示点P 的纵、横坐标，消去k ，得x ，y 的关系式，即动点P 的轨迹方程．[自主解答] 直线l 过定点M (0,1)，当其斜率存在时设为k ，则l 的方程为y ＝kx ＋1.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意知，A ，B 满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2＋y 24＝1，消去y ，得(4＋k 2)x 2＋2kx －3＝0，则Δ＝4k 2＋12(4＋k 2)>0，∴x 1＋x 2＝－2k 4＋k 2，x 1x 2＝－34＋k2. 设P (x ，y )，则由OP →＝12(OA →＋OB →)，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12(x 1＋x 2) ＝－k 4＋k 2，y ＝12(y 1＋y 2) ＝12(kx 1＋1＋kx 2＋1) ＝44＋k2，消去k ，得4x 2＋y 2－y ＝0；当斜率k 不存在时，P 是坐标原点，也满足这个方程， 故P 点的轨迹方程为4x 2＋y 2－y ＝0. [再练一题]4．过原点作直线l 和抛物线y ＝x 2－4x ＋9交于A ，B 两点，求线段AB 的中点M 的轨迹方程．[解] 由已知，直线l 的斜率一定存在，设l 的方程为y ＝kx ，把它代入抛物线方程中，得x 2－(4＋k )x ＋9＝0.由Δ＝(4＋k )2－36>0，得k >2或k <－10.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x ，y )，由根与系数的关系得x 1＋x 2＝4＋k ，则x ＝x 1＋x 22＝k ＋42，y ＝kx ＝k 2＋4k2，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝k ＋42，y ＝k 2＋4k2，消去参数k ，得y ＝2x 2－4x .由k >2或k <－10，知x >3或x <－3，即所求的轨迹方程为y ＝2x 2－4x (x >3或x <－3)．[当 堂 达 标·固 双 基]1．到两坐标轴的距离相等的点的轨迹方程是________．[解析] 设P (x ，y )到两坐标轴的距离相等，则|x |＝|y |，即y ＝±x . [答案] y ＝±x2．已知点P 是直线2x －y ＋3＝0上的一个动点，定点M (－1,2)，Q 是线段PM 延长线上的一点，且|PM |＝|MQ |，则Q 点的轨迹方程是________．[解析] 由题意知，M 为PQ 中点，设Q (x ，y )，则P 为(－2－x,4－y )，代入2x －y ＋3＝0，得2x －y ＋5＝0.[答案] 2x －y ＋5＝03．已知两定点A (－2,0)，B (1,0)，如果动点P 满足|PA |＝2|PB |，则点P 的轨迹所包围的图形的面积为________．[解析] 设P (x ，y )，由|PA |＝2|PB |， 得(x ＋2)2＋y 2＝2(x －1)2＋y 2， ∴3x 2＋3y 2－12x ＝0，即x 2＋y 2－4x ＝0. ∴P 的轨迹是以(2,0)为圆心，半径为2的圆， 即轨迹所包围的面积等于4π. [答案] 4π4．已知定圆F 1：(x ＋5)2＋y 2＝1，定圆F 2：(x －5)2＋y 2＝16，动圆M 与定圆F 1，F 2都外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为________.【导学号：71392131】[解析] 由圆F 1的方程知圆心F 1(－5,0)，半径r 1＝1，由圆F 2的方程知圆心F 2(5,0)，半径r 2＝4，设动圆M 的半径为R ，因为圆M 与圆F 1，F 2都外切，所以有MF 1＝R ＋1，MF 2＝R ＋4，从而有MF 2－MF 1＝3＜10＝F 1F 2，根据双曲线的意义知，点M 的轨迹是以F 1，F 2为焦点的双曲线的左支，设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，焦距为2c ，则2a ＝3,2c ＝10，∴a ＝32，c ＝5.∴b 2＝c 2－a 2＝914.∴动圆圆心M 的轨迹方程为x 294－y 2914＝1⎝⎛⎭⎪⎫x ≤－32. [答案]x 294－y 2914＝1⎝⎛⎭⎪⎫x ≤－32 5．已知△ABC 的两个顶点A ，B 的坐标分别是(－3,0)，(3,0)，边AC ，BC 所在直线的斜率之积为－14，求顶点C 的轨迹方程．[解] 设顶点C 的坐标为(x ，y )， 则k CA ＝y x ＋3(x ≠－3)，k BC ＝yx －3(x ≠3)． ∵k CA ·k BC ＝－14，∴y x ＋3·y x －3＝－14.化简得x 29＋4y 29＝1(x ≠±3)． 当x ＝±3时，A ，B ，C 三点共线，则不能构成三角形，故x ≠±3. ∴所求顶点C 的轨迹方程为x 29＋4y 29＝1(x ≠±3)．。

2．6.1 曲线与方程[学习目标] 1.了解曲线和方程的概念.2.理解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系，领会“曲线的方程”与“方程的曲线”的含义．知识点曲线的方程、方程的曲线如果曲线C上点的坐标(x，y)都是方程f(x，y)＝0的解，且以方程f(x，y)＝0的解(x，y)为坐标的点都在曲线C上，那么，方程f(x，y)＝0叫做曲线C的方程，曲线C叫做方程f(x，y)＝0的曲线．思考(1)如果曲线与方程仅满足“以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点”，会出现什么情况？举例说明．(2)如果曲线C的方程是f(x，y)＝0，那么点P(x0，y0)在曲线C上的充要条件是什么？答案(1)如果曲线与方程仅满足“以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点”，有可能扩大曲线的边界．如方程y＝1－x2表示的曲线是半圆，而非整圆．(2)若点P在曲线C上，则f(x0，y0)＝0；若f(x0，y0)＝0，则点P在曲线C上，所以点P(x0，y0)在曲线C上的充要条件是f(x0，y0)＝0.题型一曲线与方程的概念例 1 (1)已知坐标满足方程f(x，y)＝0的点都在曲线C上，那么下列说法正确的是________．(填序号)①曲线C上的点的坐标都适合方程f(x，y)＝0；②凡坐标不适合f(x，y)＝0的点都不在曲线C上；③不在曲线C上的点的坐标必不适合f(x，y)＝0；④不在曲线C上的点的坐标有些适合f(x，y)＝0，有些不适合f(x，y)＝0.答案③(2)分析下列曲线上的点与相应方程的关系：①与两坐标轴的距离的积等于5的点与方程xy＝5之间的关系；②第二、四象限两轴夹角平分线上的点与方程x＋y＝0之间的关系．解①与两坐标轴的距离的积等于5的点的坐标不一定满足方程xy＝5，但以方程xy＝5的解为坐标的点一定满足与两坐标轴的距离之积等于5.因此，与两坐标轴的距离的积等于5的点的轨迹方程不是xy＝5.②第二、四象限两轴夹角平分线上的点的坐标都满足x ＋y ＝0；反之，以方程x ＋y ＝0的解为坐标的点都在第二、四象限两轴夹角平分线上．因此，第二、四象限两轴夹角平分线上的点的轨迹方程是x ＋y ＝0.反思与感悟 判断方程是不是曲线的方程的两个关键点： 一是检验点的坐标是否适合方程；二是检验以方程的解为坐标的点是否在曲线上． 跟踪训练1 判断下列命题是否正确．(1)以坐标原点为圆心，r 为半径的圆的方程是y ＝r 2－x 2； (2)过点A (2,0)平行于y 轴的直线l 的方程为|x |＝2.解 (1)不正确．设(x 0，y 0)是方程y ＝r 2－x 2的解，则y 0＝r 2－x 20，即x 20＋y 20＝r 2.两边开平方取算术平方根，得x 20＋y 20＝r 即点(x 0，y 0)到原点的距离等于r ，点(x 0，y 0)是这个圆上的点．因此满足以方程的解为坐标的点都是曲线上的点．但是，以原点为圆心、r 为半径的圆上的一点如点(r 2，－32r )在圆上，却不是y ＝r 2－x 2的解，这就不满足曲线上的点的坐标都是方程的解．所以，以原点为圆心，r 为半径的圆的方程不是y ＝r 2－x 2，而应是y ＝±r 2－x 2.(2)不正确．直线l 上的点的坐标都是方程|x |＝2的解．然而，坐标满足|x |＝2的点不一定在直线l 上，因此|x |＝2不是直线l 的方程，直线l 的方程为x ＝2. 题型二 由方程判断其表示的曲线例2 方程(2x ＋3y －5)(x －3－1)＝0表示的曲线是什么？ 解 因为(2x ＋3y －5)(x －3－1)＝0，所以可得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －5＝0，x －3≥0，或者x －3－1＝0，即2x ＋3y －5＝0(x ≥3)或者x ＝4，故方程表示的曲线为一条射线2x ＋3y －5＝0(x ≥3)和一条直线x ＝4.反思与感悟 判断方程表示什么曲线，必要时要对方程适当变形，变形过程中一定要注意与原方程等价，否则变形后的方程表示的曲线就不是原方程的曲线． 跟踪训练2 “(2x ＋3y －5)[log 2(x ＋2y )－3]＝0”，其表示什么曲线？ 解 因为(2x ＋3y －5)[log 2(x ＋2y )－3]＝0，所以可得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －5＝0，x ＋2y >0，或者x ＋2y ＝8，即2x ＋3y －5＝0(x <10)或者x ＋2y ＝8，故方程表示的曲线为一条射线2x ＋3y －5＝0(x <10)(去除端点)和一条直线x ＋2y ＝8. 题型三 曲线与方程关系的应用例3 若曲线y 2－xy ＋2x ＋k ＝0过点(a ，－a ) (a ∈R )，求k 的取值范围．解 ∵曲线y 2－xy ＋2x ＋k ＝0过点(a ，－a )， ∴a 2＋a 2＋2a ＋k ＝0.∴k ＝－2a 2－2a ＝－2(a ＋12)2＋12.∴k ≤12，∴k 的取值范围是(－∞，12]．反思与感悟 (1)判断点是否在某个方程表示的曲线上，就是检验该点的坐标是不是方程的解，是否适合方程．若适合方程，就说明点在曲线上；若不适合，就说明点不在曲线上． (2)已知点在某曲线上，可将点的坐标代入曲线的方程，从而可研究有关参数的值或范围问题．跟踪训练3 (1)已知方程y ＝a |x |和y ＝x ＋a (a >0)所确定的两条曲线有两个交点，则a 的取值范围是________． 答案 a >1解析 ∵a >0，∴方程y ＝a |x |和y ＝x ＋a (a >0)的图象大致如图，要使方程y ＝a |x |和y ＝x ＋a (a >0)所确定的两条曲线有两个交点，则要求y ＝a |x |在y 轴右侧的斜率大于y ＝x ＋a 的斜率，∴a >1.(2)已知直线l ：y ＝x ＋b 与曲线C ：y ＝1－x 2有两个公共点，求b 的取值范围．解 由方程组⎩⎨⎧y ＝x ＋b ，y ＝1－x 2，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋b ，x 2＋y 2＝1y ≥0.消去x ，得到2y 2－2by ＋b 2－1＝0(y ≥0)．l 与C 有两个公共点，等价于此方程有两个不等的非负实数解，可得⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4b 2－8b 2－1>0，y 1＋y 2＝b >0，y 1y 2＝b 2－12≥0，解得1≤b < 2.所以b 的取值范围为[1，2)．1．“点M 在曲线y 2＝4x 上”是“点M 的坐标满足方程y ＝－2x ”的________条件． 答案 必要不充分解析 ∵y ＝－2x ≤0，而y 2＝4x 中y 可正可负，∴点M 在曲线y 2＝4x 上时， 点M 不一定在y ＝－2x 上．反之，点M 在y ＝－2x 上时，点M 一定在y 2＝4x 上． 2．方程(x 2－4)2＋(y 2－4)2＝0表示的图形是________． 答案 四个点解析 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4＝0，y 2－4＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝±2，y ＝±2即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝－2.3．下列四个图形中，图形下面的方程是图形中曲线的方程的是________．(填序号)答案 ④解析 对于①，点(0，－1)满足方程，但不在曲线上，排除①； 对于②，点(1，－1)满足方程，但不在曲线上，排除②；对于③，曲线上第三象限的点，由于x <0，y <0，不满足方程，排除③.4．已知0≤α<2π，点P (cos α，sin α)在曲线(x －2)2＋y 2＝3上，则α的值为________． 答案π3或5π3解析 由(cos α－2)2＋sin 2α＝3，得cos α＝12.又0≤α<2π，∴α＝π3或α＝5π3.5．过点P (1,1)且互相垂直的两条直线l 1与l 2分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，则AB 中点M 的轨迹方程为______________．答案 x ＋y －1＝0 解析 设M (x ，y )，如图，由直角三角形的性质可知PM ＝MO ，即(x －1)2＋(y －1)2＝x 2＋y 2， ∴x ＋y －1＝0.1.曲线的方程和方程的曲线必须满足两个条件：曲线上点的坐标都是方程的解，以方程的解为坐标的点都在曲线上．2．点(x0，y0)在曲线C上的充要条件是点(x0，y0)适合曲线C的方程．3．方程表示的曲线的判断步骤：4．判断方程表示曲线的注意事项：(1)方程变形前后要等价，否则变形后的方程表示的曲线不是原方程代表的曲线．(2)当方程中含有绝对值时，常采用分类讨论的思想．。

2016-2017学年高中数学第2章圆锥曲线与方程2.6.2 求曲线的方程学案苏教版选修2-1编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2016-2017学年高中数学第2章圆锥曲线与方程2.6.2 求曲线的方程学案苏教版选修2-1）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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2.6。

2 求曲线的方程1．了解求曲线方程的步骤，会求一些简单曲线的方程．（重点）2．掌握求动点轨迹方程的常用方法．（难点）3．对动点轨迹方程的限制与检验．(易错点)［基础·初探］教材整理求曲线的方程阅读教材P63例1以上的部分，完成下列问题．1．求曲线方程的一般步骤求曲线方程的一般步骤为五步．用流程图表示如下：建立适当的坐标系↓错误!↓错误!↓错误!↓错误!求曲线方程的流程图可以简记为：错误!→错误!→错误!→错误!→错误!2．求曲线方程的常用方法求曲线方程的常用方法有直接法、代入法、参数法、几何法、定义法．1．判断(正确的打“√"，错误的打“×”）(1）在求曲线方程时，对于同一条曲线，坐标系的建立不同，所得到的曲线方程也不一样．( )（2）化简方程“|x|＝|y|”为“y＝x”是恒等变形．( ）(3）按照求曲线方程的步骤求解出的曲线方程不用检验．( )(4)在求曲线方程时，如果点有了坐标或曲线有了方程，则说明已经建立了平面直角坐标系．（)【答案】（1）√（2)×（3)×(4)√2．在平面直角坐标系内，到原点距离为2的点M的轨迹方程是________．【解析】由圆的定义知，点M的轨迹是以（0，0)为圆心，以2为半径的圆，则其方程为x2＋y2＝4.【答案】x2＋y2＝43．设P为曲线错误!＋y2＝1上一动点，O为坐标原点,M为线段OP的中点，则动点M的轨迹方程是________．【解析】设M(x，y)，P（x0，y0）,则x0＝2x，y0＝2y,∵x24＋y20＝1，∴x2＋4y2＝1.【答案】x2＋4y2＝14．到A（－3,0），B(5，－1)的距离相等的点的轨迹方程是________.【导学号:09390058】【解析】设P（x,y)，PA＝PB，即x＋32＋y2＝x－52＋y＋12，即(x＋3)2＋y2＝（x－5)2＋(y＋1)2，化简得16x－2y－17＝0.【答案】16x－2y－17＝0［质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2:解惑：疑问3：解惑：[小组合作型］直接法求轨迹方程在△ABC中,a，c，b成等差数列,AB ＝2，求顶点C的轨迹方程．【精彩点拨】由a,c，b成等差数列可得a＋b＝2c；由a>c>b可知所求轨迹方程是整个轨迹方程的一部分；由AB＝2可建立适当的坐标系．于是可按求曲线方程的一般步骤求解．【自主解答】以AB所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系,则A（－1，0),B（1,0)，设C点坐标为(x，y），由已知得AC＋BC＝2AB。

2018-2019高中数学第2章圆锥曲线与方程2.3.2 双曲线的几何性质学案苏教版选修2-1编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018-2019高中数学第2章圆锥曲线与方程2.3.2 双曲线的几何性质学案苏教版选修2-1）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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2.3。

2 双曲线的几何性质学习目标1。

了解双曲线的几何性质（范围、对称性、顶点、实轴长和虚轴长等)。

2。

理解离心率的定义、取值范围和渐近线方程。

3。

掌握标准方程中a，b,c，e间的关系．知识点一双曲线的性质标准方程错误!－错误!＝1(a〉0,b〉0)错误!－错误!＝1 (a>0，b>0）图形性质范围x≥a或x≤－a，y∈R x∈R，y≤－a或y≥a 对称性对称轴:坐标轴;对称中心：原点顶点顶点坐标：A1（－a，0),A2（a,0）顶点坐标：A1(0，－a），A2（0，a)渐近线y＝±错误!x y＝±错误!x离心率e＝错误!，e∈（1，＋∞），其中c＝错误!a，b,c间的关系c2＝a2＋b2（c〉a〉0,c>b>0）知识点二等轴双曲线思考求下列双曲线的实半轴长、虚半轴长，并分析其共同点．(1）x2－y2＝1；（2)4x2－4y2＝1.答案（1）的实半轴长为1,虚半轴长为1(2）的实半轴长为错误!,虚半轴长为错误!。

它们的实半轴长与虚半轴长相等．梳理实轴和虚轴等长的双曲线叫作等轴双曲线，其渐近线方程为y＝±x，离心率为 2.1．双曲线错误!－错误!＝1与错误!－错误!＝1（a＞0，b＞0）的形状相同．（√）2．双曲线x2a2－错误!＝1与错误!－错误!＝1（a＞0，b＞0)的渐近线相同．(×）3．等轴双曲线的离心率为错误!。