2017_2018学年高中数学学业分层测评3含解析北师大版选修2_120171003214

学业分层测评(十七)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．已知点F1(0，－13)，F2(0,13)，动点P到F1与F2的距离之差的绝对值为26，则动点P的轨迹方程为()A．y＝0B．y＝0(|x|≥13)C．x＝0(|y|≥13)D．以上都不对【解析】∵||PF1|－|PF2||＝|F1F2|，∴点P的轨迹是分别以F1，F2为端点的两条射线．【答案】 Cx2 y22．已知方程－＝1表示双曲线，则k的取值范围是()1＋k1－kA．－1＜k＜1 B．k＞0C．k≥0D．k＞1或k＜－1x2 y2【解析】∵方程－＝1表示双曲线，∴(1＋k)(1－k)＞0，∴－1＜k＜1.1＋k1－k【答案】 Ax2 y23．若双曲线E：－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线E上，且|PF1|＝3，9 16则|PF2|等于()A．11B．9C．5D．3【解析】根据双曲线的定义求解．由题意知a＝3，b＝4，∴c＝5.由双曲线的定义有||PF1|－|PF2||＝|3－|PF2||＝2a＝6，∴|PF2|＝9.【答案】 B4．已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在双曲线上，|PF1|＝2|PF2|，则cos ∠F1PF2＝()1 3A. B．4 53 4C. D．4 5【解析】由题意可知，a＝2＝b，∴c＝2.设|PF1|＝2x，|PF2|＝x，∴|PF1|－|PF2|＝x＝2 2，∴|PF1|＝4 2，|PF2|＝2 2，|F1F2|＝4.1利用余弦定理有4 22＋ 2 22－42 3cos ∠F 1PF2＝＝.2 × 4 2 × 2 2 4【答案】 C1 5．已知点F1(－2，0)，F2( 2，0)，动点P满足|PF2|－|PF1|＝2，当点P的纵坐标为时，2点P到坐标原点的距离是()3A. 3 B．26C. D．22【解析】∵动点P满足|PF2|－|PF1|＝2＜2 2为定值，∴P点轨迹为双曲线的左支，方程为x2－y2＝1(x≤－1)．1 5当y＝时，x2＝y2＋1＝，2 45 1 ∴x2＋y2＝＋＝4 4 6 2【答案】 C二、填空题6．若双曲线8kx2－ky2＝8的一个焦点坐标是(0,3)，则实数k的值为________．y2 x2 【解析】因为双曲线焦点在y轴上，所以k＜0，所以双曲线的标准方程为－＝1，8 1－－k k8 1且－－＝32＝9，解得k＝－1.k k【答案】－1x2 y2 x2 y27．若椭圆＋＝1(m＞n＞0)和双曲线－＝1(a＞0，b＞0)有相同的焦点F1，F2，P是m n a b它们的一个公共点，则|PF1|·|PF2|＝________.【导学号：32550085】x2 y2【解析】∵P是椭圆＋＝1上的点，焦点为F1，F2，∴|PF1|＋|PF2|＝2 .①mm nx2 y2又∵P是双曲线－＝1上的点，焦点为F1，F2，a b∴||PF1|－|PF2||＝2 a.②①2－②2，得4|PF1|·|PF2|＝4m－4a，∴|PF1|·|PF2|＝m－a.【答案】m－a2y28．P为双曲线x2－＝1右支上一点，M、N分别是圆(x＋4)2＋y2＝4和圆(x－4)2＋y2＝115上的点，则|PM|－|PN|的最大值为________．【解析】设双曲线的两个焦点为F1(－4,0)、F2(4,0)，则F1、F2为两圆的圆心，又两圆的半径分别为r1＝2，r2＝1，则|PM|≤|PF1|＋2，|PN|≥|PF2|－1，故|PM|－|PN|≤(|PF1|＋2)－(|PF2|－1)＝|PF1|－|PF2|＋3＝2a＋3＝5.【答案】 5三、解答题9.如图3­3­2，已知定圆F1：x2＋y2＋10x＋24＝0，定圆F2：x2＋y2－10x＋9＝0，动圆M 与定圆F1、F2都外切，求动圆圆心M的轨迹方程．图3­3­2【解】∵圆F1：(x＋5)2＋y2＝1，∴圆心F1(－5,0)，半径r1＝1.∵圆心F2：(x－5)2＋y2＝42，∴圆心F2(5,0)，半径r2＝4.设动圆M的半径为R，则有|MF1|＝R＋1，|MF2|＝R＋4，∴|MF2|－|MF1|＝3＜|F1F2|.3∴M点轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线(左支)，且a＝，c＝5.24 4 3(x≤－2).∴双曲线方程为x2－91y2＝1910．已知双曲线过点(3，－2)且与椭圆4x2＋9y2＝36有相同的焦点．(1)求双曲线的标准方程；(2)若点M在双曲线上，F1、F2为左、右焦点，且|MF1|＋|MF2|＝6 3，试判别△MF1F2的形状．x2 y2【解】(1)椭圆方程可化为＋＝1，焦点在x轴上，且c＝9－4＝5，9 4x2 y2故设双曲线方程为－＝1(a＞0，b＞0)，a2 b2则有Error!解得a2＝3，b2＝2，x2 y2所以双曲线的标准方程为－＝1.3 2(2)不妨设M点在右支上，则有|MF1|－|MF2|＝2 3，又|MF1|＋|MF2|＝6 3，故解得|MF1|＝4 3，|MF2|＝2 3，3又|F1F2|＝2 5，因此在△MF1F2中，|MF1|边最长，而|MF2|2＋|F1F2|2－|MF1|2cos∠MF2F1＝＜0，2·|MF2|·|F1F2|所以∠MF2F1为钝角，故△MF1F2为钝角三角形．[能力提升]1．已知F1(－3,0)，F2(3,0)，满足条件|PF1|－|PF2|＝2m－1的动点P的轨迹是双曲线的一支．下列数据：1①2；②－1；③4；④－3；⑤，则m可以是()2A．①②B．①③C．①②⑤D．②④【解析】由双曲线定义得Error!5 7 1∴－＜m＜且m≠.故选A.2 2 2【答案】 Ax2 y22．已知F1，F2分别为双曲线－＝1的左、右焦点，P(3，1)为双曲线内一点，点A在5 4双曲线的右支上，则|AP|＋|AF2|的最小值为()A. 37＋4 B．37－4C. 37－2 5 D．37＋2 5【解析】因为|AP|＋|AF2|＝|AP|＋|AF1|－2 5，所以要求|AP|＋|AF2|的最小值，只需求|AP|＋|AF1|的最小值．如图，连接F1P交双曲线的右支于点A0.当点A位于A0处时，|AP|＋|AF1| 最小，最小值为37.故|AP|＋|AF2|的最小值为37－2 5.【答案】 Cx2 y23．已知F是双曲线－＝1的左焦点，A(1,4)，点P是双曲线右支上的动点，则|PF|＋4 12|PA|的最小值是________．【导学号：32550086】【解析】设F′为双曲线的右焦点，则F′(4,0)，|PF|＋|PA|＝|PF′|＋|PA|＋2a＝|PF′|＋|PA|＋4，当P，F′，A三点共线时|PF′|＋|PA|最小，4即|PF|＋|PA|最小，∴|PF′|＋|PA|＋4＝4－12＋42＋4＝9.【答案】94．如图3­3­3所示，某建筑工地要挖一个横截面为半圆的柱形土坑，挖出的土能沿AP，BP 运到P处，其中|AP|＝100m，|BP|＝150m，∠APB＝60°，怎样运土才能最省工？图3­3­3【解】设M为分界线上任一点则，|MA|＋|AP|＝|MB|＋|BP|即，|MA|－|MB|＝|PB|－|PA|＝50m，所以M在以A，B为焦点的双曲线的右支上，易得|AB|2＝17 500m2，建立直角坐标系，得x2 y2分界线所在的曲线方程为－＝1(x≥25)．625 3 750故运土时，在双曲线左侧的土沿AP运到P处，右侧的土沿BP运到P处最省工.5。

学业分层测评(三) (建议用时：45分钟)一、选择题1.已知a ，b 为非零实数，则使不等式a b ＋b a≤－2成立的一个充分不必要条件是( ) A.a ·b >0 B.a ·b <0 C.a >0，b <0D.a >0，b >0【解析】 ∵a b ＋b a ≤－2，∴a 2＋b 2ab≤－2.∵a 2＋b 2>0，∴ab <0，则a ，b 异号，故选C. 【答案】 C2.平面内有四边形ABCD 和点O ，OA →＋OC →＝OB →＋OD →，则四边形ABCD 为( ) A.菱形 B.梯形 C.矩形D.平行四边形【解析】 ∵OA →＋OC →＝OB →＋OD →， ∴OA →－OB →＝OD →－OC →， ∴BA →＝CD →，∴四边形ABCD 为平行四边形. 【答案】 D3.若实数a ，b 满足0<a <b ，且a ＋b ＝1，则下列四个数中最大的是( )【导学号：94210011】A.12B.a 2＋b 2C.2abD.a【解析】 ∵a ＋b ＝1，a ＋b >2ab ， ∴2ab <12.而a 2＋b 2>（a ＋b ）22＝12.又∵0<a <b ，且a ＋b ＝1，∴a <12，∴a 2＋b 2最大，故选B.【答案】 B4.A ，B 为△ABC 的内角，A >B 是sin A >sin B 的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 【解析】 若A >B ，则a >b ， 又a sin A ＝bsin B，∴sin A >sin B ； 若sin A >sin B ，则由正弦定理得a >b ， ∴A >B . 【答案】 C5.若m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中的真命题是( )A.若m β，α⊥β，则m ⊥αB.若α∩γ＝m ，β∩γ＝n ，m ∥n ，则α∥βC.若m ⊥β，m ∥α，则α⊥βD.若α⊥γ，α⊥β，则β⊥γ【解析】 对于A ，m 与α不一定垂直，所以A 不正确；对于B ，α与β可以为相交平面；对于C ，由面面垂直的判定定理可判断α⊥β；对于D ，β与γ不一定垂直.【答案】 C 二、填空题6.设e 1，e 2是两个不共线的向量，AB →＝2e 1＋k e 2，CB →＝e 1＋3e 2，若A ，B ，C 三点共线，则k ＝________.【解析】 若A ，B ，C 三点共线，则AB →＝λCB →，即2e 1＋k e 2＝λ(e 1＋3e 2)＝λe 1＋3λe 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝2，3λ＝k ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝2，k ＝6. 【答案】 67.设a ＝2，b ＝7－3，c ＝6－2，则a ，b ，c 的大小关系为________.【解析】 ∵a 2－c 2＝2－(8－43)＝48－36>0，∴a >c . 又∵c b＝6－27－3＝7＋36＋2>1，∴c >b ，∴a >c >b . 【答案】 a >c >b8.已知三个不等式：①ab >0；②c a >db；③bc >ad .以其中两个作为条件，余下一个作为结论，则可能组成________个正确的命题.【解析】 对不等式②作等价变形：c a >d b ⇔bc －ad ab >0.于是，若ab >0，bc >ad ，则bc －adab>0，故①③⇒②.若ab >0，bc －ad ab >0，则bc >ad ，故①②⇒③.若bc >ad ，bc －adab>0，则ab >0，故②③⇒①.因此可组成3个正确的命题.【答案】 3 三、解答题9.如图1­2­3，四棱锥P ­ABCD 的底面是平行四边形，E ，F 分别为AB ，CD 的中点，求证：AF ∥平面PEC .图1­2­3【证明】 ∵四棱锥P ­ABCD 的底面是平行四边形， ∴AB ═∥CD .又∵E ，F 分别为AB ，CD 的中点， ∴CF ═∥AE ，∴四边形AECF 为平行四边形， ∴AF ∥EC .又AF ⊆/平面PEC ，EC 平面PEC ， ∴AF ∥平面PEC .10.在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，且A ，B ，C 成等差数列，a ，b ，c 也成等差数列.求证：△ABC 为等边三角形.【证明】 由A ，B ，C 成等差数列知，B ＝π3，由余弦定理知b 2＝a 2＋c 2－ac ，又a ，b ，c 也成等差数列，∴b ＝a ＋c2，代入上式得（a ＋c ）24＝a 2＋c 2－ac ，整理得3(a －c )2＝0，∴a ＝c ，从而A ＝C ， 而B ＝π3，则A ＝B ＝C ＝π3，从而△ABC 为等边三角形.1.设x ，y ∈R ，a >1，b >1，若a x ＝b y＝3，a ＋b ＝23，则1x ＋1y的最大值为( )【导学号：94210012】A.2B.32C.1D.12【解析】 ∵a x＝b y＝3，x ＝log a 3，y ＝log b 3，∴1x ＋1y ＝log 3(ab )≤log 3⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝1.故选C.【答案】 C2.在△ABC 中，tan A ·tan B >1，则△ABC 是( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形D.不确定【解析】 因为tan A ·tan B >1， 所以A ，B 只能都是锐角，所以tan A >0，tan B >0，1－tan A ·tan B <0， 所以tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B 1－tan A ·tan B <0，所以A ＋B 是钝角，即C 为锐角. 【答案】 A3.若0<a <1，0<b <1，且a ≠b ，则a ＋b ，2ab ，a 2＋b 2，2ab 中最大的是________. 【解析】 由0<a <1，0<b <1， 且a ≠b ，得a ＋b >2ab ，a 2＋b 2>2ab . 又a >a 2，b >b 2，知a ＋b >a 2＋b 2，从而a ＋b 最大. 【答案】 a ＋b4.如图1­2­4所示，M 是抛物线y 2＝x 上的一点，动弦ME ，MF 分别交x 轴于A ，B 两点，且MA ＝MB .若M 为定点，求证：直线EF 的斜率为定值.图1­2­4【证明】 设M (y 20，y 0)，直线ME 的斜率为k (k >0)， ∵MA ＝MB ，∴∠MAB ＝∠MBA ， ∴直线MF 的斜率为－k ，∴直线ME 的方程为y －y 0＝k (x －y 20).由⎩⎪⎨⎪⎧y －y 0＝k （x －y 20），y 2＝x ，消去x 得ky 2－y ＋y 0(1－ky 0)＝0， 解得y E ＝1－ky 0k ，∴x E ＝（1－ky 0）2k2. 同理可得y F ＝1＋ky 0－k ，∴x F ＝（1＋ky 0）2k 2.∴k EF ＝y E －y Fx E －x F ＝1－ky 0k －1＋ky 0－k （1－ky 0）2k 2－（1＋ky 0）2k 2＝2k －4ky 0k2＝－12y 0(定值).∴直线EF 的斜率为定值.。

学业分层测评(十八)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题x2 y21．若点P(2,0)到双曲线－＝1的一条渐近线的距离为2，则双曲线的离心率为()a2 b2A. 2B．3C．2 2 D．2 3|2b| 【解析】双曲线的渐近线方程为bx±ay＝0，点P(2,0)到渐近线的距离为＝2，a2＋b2所以a2＝b2，所以双曲线的离心率为2，故选A.【答案】 Ay22．过双曲线x2－＝1的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A，B 3两点，则|AB|＝()4 3A. B．23 3C．6 D．4 3【解析】设A，B两点的坐标分别为(x，y A)，(x，y B)，将x＝c＝2代入渐近线方程y＝y2± 3x得到y A，y B，进而求|AB|.由题意知，双曲线x2－＝1的渐近线方程为y＝±x，将x33＝c＝2代入得y＝±2 3，即A，B两点的坐标分别为(2,2 3)，(2，－2 3)，所以|AB|＝4 3.【答案】 D3．下列双曲线中，焦点在y轴上且渐近线方程为y＝±2x的是()y2 x2A．x2－＝1 B．－y2＝14 4y2 x2C. －x2＝1 D．y2－＝14 4【解析】由双曲线的性质利用排除法求解．由双曲线焦点在y轴上，排除选项A、B，选项C中双曲线的渐近线方程为y＝±2x，故选C.【答案】 C4．将离心率为e1的双曲线C1的实半轴长a和虚半轴长b(a≠b)同时增加m(m＞0)个单位长度，得到离心率为e2的双曲线C2，则()A．对任意的a，b，e1＞e2B．当a＞b时，e1＞e2；当a＜b时，e1＜e21C．对任意的a，b，e1＜e2D．当a＞b时，e1＜e2；当a＜b时，e1＞e2【解析】分别表示出e1和e2，利用作差法比较大小．a 2＋b2 b由题意e1＝＝2；双曲线C2的实半轴长为a＋m，虚半轴长为b＋m，1＋(a)a2a＋m2＋b＋m 2 b＋m1＋(a＋m)2离心率e2＝＝.a＋m2b＋m b m a－b因为－＝，且a＞0，b＞0，m＞0，a≠b，a＋m a a a＋mm a－b b＋m b所以当a＞b时，＞0，即＞.a a＋m a＋m ab＋m b又＞0，＞0，a＋m ab＋m b b＋m b 所以由不等式的性质依次可得(a＋m)2＞(a)2,1＋(a＋m)2＞1＋(a)2，所以b＋m b m a－b1＋(a＋m)2 1＋(a)＞2，即e2＞e1；同理，当a＜b时，＜0，可推得e2＜e1.综a a＋m上，当a＞b时，e1＜e2；当a＜b时，e1＞e2.【答案】 D5．设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为()A. 2 B．33＋1C. D．2 5＋1 2x2 y2【解析】设双曲线方程为－＝1(a＞0，b＞0)，不妨设一个焦点为F(c,0)，虚轴端a2 b2b b b b点为B(0，b)，则k FB＝－.又渐近线的斜率为±a，所以由直线垂直关系得(－c)·＝－1c ab(－显然不符合)，即b2＝ac，又c2－a2＝b2，所以c2－a2＝ac，两边同除以a2，整理得e2－e－a5＋1 1－51＝0，解得e＝或e＝(舍去)．2 2【答案】 D二、填空题x2 y26．过双曲线－＝1的左焦点F1的直线交双曲线的左支于M，N两点，F2为其右焦点，4 3则|MF2|＋|NF2|－|MN|的值为________．【解析】|MF2|＋|NF2|－|MN|＝|MF2|＋|NF2|－(|MF1|＋|NF1|)＝(|MF2|－|MF1|)＋2(|NF2|－|NF1|)＝2a＋2a＝4a＝8.【答案】8x2 y27．设F是双曲线C：－＝1的一个焦点．若C上存在点P, 使线段PF的中点恰为其虚a2 b2轴的一个端点，则C的离心率为__________．【解析】根据题意建立a，c间的联系，再利用离心率公式计算．不妨设F(－c,0)，PF的中点为(0，b)．由中点坐标公式可知P(c,2b)．又点P在双曲线上，c2 4b2 c2 c则－＝1，故＝5，即e＝＝ 5.a2 b2 a2 a【答案】 58．若双曲线x2－y2＝1右支上一点P(a，b)到直线y＝x的距离为3，则a＋b＝________.【导学号：32550089】【解析】由于点P(a，b)在右支上，所以a－b>0.|a－b|又∵＝3，∴a－b＝6，又∵a2－b2＝1，2a2－b2 1 6∴a＋b＝＝＝.a－b 6 6【答案】6 6三、解答题9．已知双曲线的方程是16x2－9y2＝144.(1)求双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程；(2)设F1和F2是双曲线的左、右焦点，点P在双曲线上，且|PF1|·|PF2|＝32，求∠F1PF2的大小．x2 y2【解】(1)由16x2－9y2＝144得－＝1，9 16所以a＝3，b＝4，c＝5，5 4 所以焦点坐标F1(－5,0)，F2(5,0)，离心率e＝，渐近线方程为y＝±x.3 3(2)由双曲线的定义可知||PF1|－|PF2||＝6，|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|2cos ∠F1PF2＝2|PF1||PF2||PF1|－|PF2|2＋2|PF1||PF2|－|F1F2|2＝2|PF1||PF2|36＋64－100＝＝0，643∴∠F1PF2＝90°.10．已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为2，且过点P(4，－10)．(1)求双曲线方程；→→(2)若点M(3，m)在双曲线上，求证：MF1·MF2＝0；(3)在(2)的条件下，求△F1MF2的面积．【解】(1)∵e＝2，∴可设双曲线方程为x2－y2＝λ(λ≠0)．∵过点(4，－10)，∴16－10＝λ，即λ＝6.∴双曲线方程为x2－y2＝6.(2)证明：法一：由(1)可知，双曲线中a＝b＝6，∴c＝2 3，∴F 1(－2 3，0)，F2(2 3，0)，m m∴kMF1＝，kMF2＝，3＋2 3 3－2 3m2 m2kMF1·kMF2＝＝－.9－12 3∵点(3，m)在双曲线上，∴9－m2＝6，m2＝3，→→ 故kMF1·kMF2＝－1，∴MF1⊥MF2，∴MF1·MF2＝0.→法二：∵MF1＝(－3－2 3，－m)，→MF2＝(2 3－3，－m)，→→∴MF1·MF2＝(3＋2 3)×(3－2 3)＋m2＝－3＋m2.∵M点在双曲线上，∴9－m2＝6，即m2－3＝0，→→∴MF1·MF2＝0.(3)△F 1MF2的底|F1F2|＝4 3，△F1MF2的高h＝|m|＝3，∴S△F1MF2＝6.[能力提升]x2 y2 →→1．已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的焦点为F1，F2，且C上的点P满足PF1·PF2＝a2 b2→→0，|PF1|＝3，|PF2|＝4，则双曲线C的离心率为()105A. B．245C. D．52→→ 1 →→ 【解析】由双曲线的定义可得2a＝||PF2|－|PF1||＝1，所以a＝；因为PF1·PF2＝0，2→→→→ 5 c所以PF1⊥PF2，所以(2c)2＝|PF1|2＋|PF2|2＝25，解得c＝.所以此双曲线的离心率为e＝＝2 a5.故D正确．【答案】 Dx2 y22．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线过点(2，3)，且双曲线的一个焦点在a2 b2抛物线y2＝4 7x的准线上，则双曲线的方程为()x2 y2 x2 y2A. －＝1 B．－＝121 28 28 21x2 y2 x2 y2C. －＝1 D．－＝13 4 4 3【解析】利用渐近线过已知点以及双曲线的一个焦点在抛物线的准线上，列出方程组求解．b b由双曲线的渐近线y＝x过点(2，3)，可得3＝×2.①a a由双曲线的焦点(－a2＋b2，0)在抛物线y2＝4 7x的准线x＝－7上，可得a2＋b2＝7.②x2 y2由①②解得a＝2，b＝3，所以双曲线的方程为－＝1.4 3【答案】 Dx2 y2 y2 x23．双曲线－＝1，－＝1的离心率分别为e 1，e2，则e1＋e2的最小值为________．a2 b2 b2 a2a2＋b2 a2＋b2 a2＋b2 a2＋b2 【解析】由已知得e 1＝，e2＝，则e1＋e2＝＋＝( )a2＋b2a b a b1 1 1(b)2ab＋≥·2＝2 2.a ab【答案】 2 2x2 y2 4 10 3 10 4．已知双曲线－b2＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点为F1、F2，点P( 5 )在双曲，a2 5→→线的右支上，且|PF1|＝3|PF2|，PF1·PF2＝0，求双曲线的标准方程．【解】∵|PF1|－|PF2|＝2a，|PF1|＝3|PF2|，∴|PF1|＝3a，|PF2|＝a.→ 3 104 10又PF1＝(－c－，－ 5 )，55→ 4 10 3 10＝，PF2 (c－，－5 )5→→4 10 3 10(5 )2－c2＋(5 )2＝0，∵PF1·＝PF2∴c2＝10.4 10 3 10 又|PF2|＝a，∴(c－5 )2＋(5 )2＝a2.∴a2＝4，∴b2＝c2－a2＝6.x2 y2故所求双曲线的标准方程为－＝1.4 66。

学业分层测评(建议用时：45分钟)一、选择题1．圆上有10个点，过每三个点画一个圆内接三角形，则一共可以画的三角形个数为( )A．720 B．360C．240 D．120【解析】确定三角形的个数为C310＝120.【答案】 D2．某电视台连续播放5个广告，其中有3个不同的商业广告和2个不同的奥运广告．要求最后必须播放奥运广告，且2个奥运广告不能连续播放，则不同的播放方式有( ) A．120种B．48种C．36种D．18种【解析】最后必须播放奥运广告有C12种，2个奥运广告不能连续播放，倒数第2个广告有C13种，故共有C12C13A33＝36种不同的播放方式．【答案】 C3．以一个正方体的顶点为顶点的四面体共有( )A．70个B．64个C．58个D．52个【解析】∵四个顶点共面的情况有6个表面和6个对角面共12个，∴共有四面体C48－12＝58个．故选C.【答案】 C4．将标号为1,2，…，10的10个球放入标号为1,2，…，10的10个盒子里，每个盒内放一个球，恰好3个球的标号与其在盒子的标号不一致的放入方法种数为( ) A．120 B．240C．360 D．720【解析】先选出3个球有C310＝120种方法，不妨设为1,2,3号球，则1,2,3号盒中能放的球为2,3,1或3,1,2两种．这3个号码放入标号不一致的盒子中有2种不同的方法，故共有120×2＝240种方法．【答案】 B5．从10名大学毕业生中选3人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为( )A．28 B．49C．56 D．85【解析】依题意，满足条件的不同选法的种数为C22C17＋C12C27＝49种．【答案】 B二、填空题6．某单位有15名成员，其中男性10人，女性5人，现需要从中选出6名成员组成考察团外出参观学习，如果按性别分层，并在各层按比例随机抽样，则此考察团的组成方法种数是________. 【导学号：62690016】【解析】按性别分层，并在各层按比例随机抽样，则需从10名男性中抽取4人，5名女性中抽取2人，共有C410C25＝2 100种抽法．【答案】 2 1007．有6名学生，其中有3名会唱歌，2名会跳舞，1名既会唱歌也会跳舞．现在从中选出2名会唱歌的，1名会跳舞的去参加文艺演出，则共有选法________种．【解析】C23·C12＋C13·C12＋C23＝15种．【答案】158．某球队有2名队长和10名队员，现选派6人上场参加比赛，如果场上最少有1名队长，那么共有________种不同的选法．【解析】若只有1名队长入选，则选法种数为C12·C510；若两名队长均入选，则选法种数为C410，故不同选法有C12·C510＋C410＝714(种)．【答案】714三、解答题9．空间有10个点，其中有5个点共面(除此之外再无4点共面)，以每4个点为顶点作一个四面体，问一共可作多少个四面体？【解】不考虑任何限制，10个点可得C410个四面体．由于有5个点共面，这5个点中的任意4个点都不能构成四面体，共有C45种情形．所以构成四面体的个数为C410－C45＝210－5＝205.10．假设在10件产品中有3件是次品，从中任意抽取5件，求下列抽取方法各有多少种？(1)没有次品；(2)恰有两件是次品；(3)至少有两件是次品．【解】(1)没有次品的抽法就是从7件正品中抽取5件的抽法，共有C57＝21(种)．(2)恰有2件次品的抽法就是从7件正品中抽取3件，并从3件次品中抽取2件的抽法，共有C37C23＝105(种)．(3)至少有2件次品的抽法，按次品件数来分有两类：第一类，从7件正品中抽取3件，并从3件次品中抽取2件，有C 37C 23种； 第二类，从7件正品中抽取2件，并将3件次品全部抽取，有C 27C 33种． 按分类加法计数原理，有C 37C 23＋C 27C 33＝126(种)．1．某单位拟安排6位员工在2017年劳动节3天假期值班，每天安排2人，每人值班1天．若6位员工中的甲不值第一日，乙不值最后一日，则不同的安排方法共有( ) 【导学号：62690017】A ．30种B ．36种C ．42种D ．48种【解析】 所有排法减去甲值第一日或乙值最后一日，再加上甲值第一日且乙值最后一日的排法，即有C 26C 24－2×C 15C 24＋C 14C 13＝42(种)排法．【答案】 C2．现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张．从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为( )A ．232B ．252C ．472D ．484【解析】 显然该问题是一个组合问题，什么条件也不考虑共有C 316种取法，同一种颜色共有4C 34种取法，两张红色卡片共有C 24C 112种取法，不同的取法有：C 316－4C 34－C 24C 112＝16×15×146－16－72＝472.【答案】 C3．如图1­3­1，A ，B ，C ，D 为海上的四个小岛，要建三座桥，将这四个小岛连接起来，则不同的建桥方案共有________种．图1­3­1【解析】 四个小岛中每两岛建一座桥共建六座桥，其中建三座桥连接四个小岛符合要求的建桥方案是只要三座桥不围成封闭的三角形区域符合要求，如桥AC ，BC ，BD 符合要求，而围成封闭三角形不符合要求，如桥AC ，CD ，DA ，不符合要求，故共有C 36－4＝16种不同的建桥方案．【答案】 164．已知一组曲线y ＝13ax 3＋bx ＋1，其中a 为2,4,6,8中的任意一个，b 为1,3,5,7中的任意一个．现从这些曲线中任取两条．求它们在x ＝1处的切线相互平行的组数．【解】y′＝ax2＋b，曲线在x＝1处切线的斜率k＝a＋b.切线相互平行，则需它们的斜率相等，因此按照在x＝1处切线的斜率的可能取值可分为五类完成．第一类：a＋b＝5，则a＝2，b＝3；a＝4，b＝1.故可构成2条曲线，有C22组．第二类：a＋b＝7，则a＝2，b＝5；a＝4，b＝3；a＝6，b＝1.可构成三条曲线，有C23组．第三类：a＋b＝9，则a＝2，b＝7；a＝4，b＝5；a＝6，b＝3；a＝8，b＝1.可构成四条曲线，有C24组．第四类：a＋b＝11，则a＝4，b＝7；a＝6，b＝5；a＝8，b＝3.可构成三条曲线，有C23组．第五类：a＋b＝13，则a＝6，b＝7；a＝8，b＝5.可构成两条曲线，有C22组．故共有C22＋C23＋C24＋C23＋C22＝14(组)．。

学业分层测评(建议用时：分钟)一、选择题．从一副不含大、小王的张扑克牌中任意抽出张，则至少有张是的概率为( )．－【解析】从张扑克牌中任意抽出张，至少有张的结果数是＋，故所求概率为.【答案】．一个盒子里装有相同大小的黑球个，红球个，白球个，从中任取个，其中白球的个数记为，则(≤)等于( )【解析】由已知得，的可能取值为.(＝)＝；(＝)＝；(＝)＝，∴(≤)＝(＝)＋(＝)＝.【答案】．盒中有只螺丝钉，其中有只是坏的，现从盒中随机地抽取个，那么等于( )．恰有只是坏的的概率．恰有两只是好的的概率．只全是好的的概率．至多有两只是坏的的概率【解析】恰好两只是好的概率为＝＝.【答案】．某人的兴趣小组中，有名“特困生”，现从中任意选人参加竞赛，用ξ表示这人中“特困生”的人数，则下列概率中等于的是( )．(ξ＝) ．(ξ＝)．(ξ≤)．(ξ≤)【解析】人中“特困生”的人数为ξ，则其选法数为·，当ξ＝时，选法数为，故(ξ＝)＝.【答案】．一个盒子里装有相同大小的红球、白球共个，其中白球个．从中任取两个，则概率为的事件是( ) 【导学号：】．没有白球．至少有一个白球．至少有一个红球．至多有一个白球【解析】＝＋表示任取的两个球中只有一个白球和两个都是白球的概率，即至少有一个白球的概率．【答案】二、填空题．一批产品共件，其中件次品，其余均为合格品，从这批产品中任意抽取两件，其中出现次品的概率为．【解析】设抽取的两件产品中次品的件数为，则(＝)＝(＝)．∴(>)＝(＝)＋(＝)＝＋＝.【答案】．在瓶饮料中，有瓶已过了保质期．从这瓶饮料中任取瓶，则至少取到瓶已过了保质期饮料的概率为．(结果用最简分数表示)【解析】从这瓶饮料中任取瓶，设至少取到瓶已过了保质期饮料为事件，则()＝＋＝.【答案】．袋中有个黑球，个红球，除颜色外，其他均相同，从袋中任取个球，则至少有一个红球的概率为．【解析】令表示取出的黑球个数，则＝，(＝)＝＝，故至少有一个红球的概率为(≥)＝－＝.【答案】三、解答题．现有张奖券，其中张元，张元，从中同时任取张，求所得金额的分布列．【解】设所得金额为，的可能取值为.(＝)＝＝，(＝)＝＝，(＝)＝＝.故的分布列为.能背诵其中的篇，试求：()抽到他能背诵的课文的数量的分布列；。

学业分层测评(四)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．将“a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2”改写成全称命题是() A．存在a0，b0∈R，使a20＋b20＋2a0b0＝(a0＋b0)2B．存在a0＜0，b0＞0，使a20＋b20＋2a0b0＝(a0＋b0)2C．存在a0＞0，b0＞0，有a20＋b20＋2a0b0＝(a0＋b0)2D．对所有a，b∈R，有a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2【解析】a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2是全称命题，隐藏了“对所有a，b∈R”．【答案】 D2．下列命题中的真命题是()A．存在x0∈N，使4x0<－3B．存在x0∈Z，使2x0－1＝0C．对任意x∈R,2x＞x2D．对任意x∈R，x2＋2＞0【解析】当x∈R时，x2≥0，∴x2＋2≥2＞0【答案】 D13．已知命题p：∃x0∈R，sin x0＜x0，则綈p为()21 1A．∃x0∈R，sin x0＝x0 B．∀x∈R，sin x＜x2 21 1C．∃x0∈R，sin x0≥x0 D．∀x∈R，sin x≥x2 21【解析】原命题为特称命题，故其否定为全称命题，即綈p：∀x∈R，sin x≥x.2【答案】 D4．非空集合A、B满足A B，下面四个命题中正确的个数是()①对任意x∈A，都有x∈B；②存在x0∉A，使x0∈B；③存在x0∉B，使x0∈A；④对任意x∉B，都有x∉A.A．1B．2C．3D．4【解析】根据A B知，①②④正确，③错误．【答案】 C15．下列命题中的假命题是()A．对任意x∈R,2x－1＞0B．对任意x∈N*，(x－1)2＞0C．存在x∈R，lg x＜1D．存在x∈R，tan x＝2【解析】A项，∵x∈R，∴x－1∈R，由指数函数性质得2x－1＞0；B项，∵x∈N*，∴1 1当x＝1时，(x－1)2＝0，与(x－1)2＞0矛盾；C项，当x＝时，lg ＝－1＜1；显然D正确．10 10【答案】 B二、填空题6．下列命题，是全称命题的是________；是特称命题的是________．【导学号：32550011】①正方形的四条边相等；②有两个角是45°的三角形都是等腰直角三角形；③正数的平方根不等于0；④至少有一个正整数是偶数．【解析】①②③都是省略了全称量词的全称命题．④是特称命题．【答案】①②③④7．“所有的自然数都大于零”的否定是________．【解析】改变量词并否定判断词．【答案】存在一个自然数小于或等于零8．若命题“存在x0∈R，x20＋mx0＋2m－3＜0”为假命题，则实数m的取值范围是________．【解析】由题意可知，命题“对任意x∈R，x2＋mx＋2m－3≥0”为真命题，故Δ＝m2－4(2m－3)＝m2－8m＋12≤0，解得2≤m≤6.【答案】[2,6]三、解答题9．判断下列命题是全称命题还是特称命题，并判断真假．(1)对任意的实数a、b，关于x的方程ax＋b＝0恰有唯一解；1 3(2)存在实数x，使得＝.x2－2x＋3 4【解】(1)该命题是全称命题．当a＝0，b≠0时方程无解，故该命题为假命题．(2)该命题是特称命题．∵x2－2x＋3＝(x－1)2＋2≥2，21 1 3∴≤＜.x2－2x＋3 2 4故该命题是假命题．10．写出下列全称命题或特称命题的否定：(1)所有能被3整除的整数都是奇数；(2)每一个四边形的四个顶点共圆；(3)有的三角形是等边三角形．【解】(1)该命题的否定是：至少存在一个能被3整除的整数不是奇数．(2)该命题的否定是：至少存在一个四边形，它的四个顶点不共圆．(3)该命题的否定是：所有三角形都不是等边三角形．[能力提升]1．以下四个命题既是特称命题又是真命题的是()A．每一个锐角三角形的内角都是锐角B．至少有一个实数x，使x2≤0C．两个无理数的和必是无理数1D．存在一个负数x0，使＞2x0【解析】B，D是特称命题，D是假命题，B是真命题．【答案】 B2．“关于x的不等式f(x)＞0有解”等价于()A．存在x∈R，使得f(x)＞0成立B．存在x∈R，使得f(x)≤0成立C．对任意x∈R，使得f(x)＞0成立D．对任意x∈R，f(x)≤0成立【解析】“关于x的不等式f(x)＞0有解”等价于“存在实数x，使得f(x)＞0成立”，故选A.【答案】 A3．命题“偶函数的图像关于y轴对称”的否定是________．【解析】本题中的命题是全称命题，省略了全称量词，加上全称量词后该命题可以叙述为：所有偶函数的图像关于y轴对称．将命题中的全称量词“所有”改为存在量词“有些”，结论“关于y轴对称”改为“关于y轴不对称”，所以该命题的否定是“有些偶函数的图像关于y轴不对称”．【答案】有些偶函数的图像关于y轴不对称4．已知对任意x∈(－∞，1]，不等式(a－a2)4x＋2x＋1＞0恒成立．求a的取值范围．【导学号：32550012】3【解】令2x＝t，∵x∈(－∞，1]，t＋1∴t∈(0,2]，∴a2－a＜.t2要使上式在t∈(0,2]上恒成立，t＋1只需求出f(t)＝在t∈(0,2]上的最小值即可．t2t＋1 1 1 1 1 1∵f(t)＝＝2＋＝ 2)2－，t2 (t)t(＋t 41 1 3且∈，＋∞)，∴f(t)min＝f(2)＝.t[2 43 1 3∴a2－a＜.∴－＜a＜.4 2 21 3所以a的取值范围是(－.，2)24。

学业分层测评(八)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．给出下列命题：①空间任意三个不共面的向量都可以作为一个基底；②已知向量a∥b，则a、b与任何向量都不能构成空间的一个基底；→→→③A、B、M、N是空间四点，若BA、BM、BN不能构成空间的一个基底，那么A、B、M、N共面；④已知向量组{a，b，c}是空间的一个基底，若m＝a＋c，则{a，b，m}也是空间的一个基底．其中正确命题的个数为()A．1B．2C．3D．4【解析】空间中只要三个向量不共面就可以作为一个基底，故①正确；②中，a∥b，→→→则a，b与其他任一向量共面，不能作为基底；③中，向量BA，BM，BN共面，则A、B、M、N共面；④中，a与m，b不共面，可作为空间一个基底．故①②③④均正确．【答案】 D2．若a＝e1＋e2＋e3，b＝e1＋e2－e3，c＝e1－e2＋e3，d＝e1＋2e2＋3e3，d＝αa＋βb＋γc，则α、β、γ分别为()5 1 5 1A. ，－1，－B．，1，2 2 2 25 1 5 1C．－，1，－D．，1，－2 2 2 2【解析】d＝αa＋βb＋γc＝α(e1＋e2＋e3)＋β(e1＋e2－e3)＋γ(e1－e2＋e3)＝(α＋β＋γ)e1＋(α＋β－γ)e2＋(α－β＋γ)e3＝e1＋2e2＋3e3.由向量基底表示唯一性得Error!∴Error!【答案】 A3．已知i，j，k为标准正交基底，a＝i＋2j＋3k，则a在i方向上的投影为()1A．1 B．－1C. 14 D．－14【解析】a·i＝|a||i|cos〈a，i〉，a·i∴|a|cos〈a，i〉＝＝(i＋2j＋3k)·i＝1.|i|【答案】 A→→→4．如图2­3­9，在三棱柱ABC­A1B1C1中，D是面BB1C1C的中心，且AA1＝a，AB＝b，AC＝→c，则A1D＝()图2­3­91 1 1A. a＋b＋c2 2 21 1 1B. a－b＋c2 2 21 1 1C. a＋b－c2 2 21 1 1D．－a＋b＋c2 2 2→→→→ 1 →→ 【解析】A1D＝A1C1＋C1D＝AC＋(C1C＋C1B1)21 →→→ ＝c＋(－AA1＋CA＋AB)21 1 1＝c－a＋(－c)＋b2 2 21 1 1＝－a＋b＋c.2 2 2【答案】 D5．已知点A在基底{a，b，c}下的坐标为{8,6,4}，其中a＝i＋j，b＝j＋k，c＝k＋i，则点A在基底{i，j，k}下的坐标为()A．(12,14,10) B．(10,12,14)C．(14,10,12) D．(4,2,3)【解析】∵点A在基底{a，b，c}下坐标为(8,6,4)，2→∴OA＝8a＋6b＋4c＝8(i＋j)＋6(j＋k)＋4(k＋i)＝12i＋14j＋10k，∴点A在基底{i，j，k}下的坐标为(12,14,10)．【答案】 A二、填空题6．e1，e2，e3是空间一组基底，a＝e1－2e2＋e3，b＝－2e1＋4e2－2e3，则a与b的关系为________．【导学号：32550030】【解析】∵b＝－2a，∴a∥b.【答案】a∥b7．已知点A在基底{a，b，c}下的坐标为(2,1,3)，其中a＝4i＋2j，b＝2j＋3k，c＝3k－j，则点A在基底{i，j，k}下的坐标为________．【解析】由题意知点A对应向量为2a＋b＋3c＝2(4i＋2j)＋(2j＋3k)＋3(3k－j)＝8i＋3j＋12k，∴点A在基底{i，j，k}下的坐标为(8,3,12)．【答案】(8,3,12)8．已知长方体ABCD­A′B′C′D′，点E，F分别是上底面A′B′C′D′和面CC′D′D→→→→的中心，且AE＝xAB＋yBC＋zCC′，则2x－4y＋6z＝________.→→→→ 1 →→ 【解析】∵AE＝AA′＋A′E＝AA′＋(A′B′＋A′D′)21→1→→＝AB＋BC＋CC′，2 2→→→→ 又AE＝xAB＋yBC＋zCC′，1 1∴x＝，y＝，z＝1.2 2∴2x－4y＋6z＝5.【答案】 5三、解答题9．已知在正四棱锥P­ABCD中，O为底面中心，底面边长和高都是2，E，F分别是侧棱PA，PB的中点，如图2­3­10，以O为坐标原点，分别以射线DA，DC，OP的指向为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，写出点A，B，C，D，P，E，F的坐标．3图2­3­10【解】设i，j，k分别是x轴，y轴，z轴的正方向方向相同的单位向量．→(1)因为点B在坐标平面xOy内，且底面正方形的中心为O，边长为2，所以OB＝i＋j，→所以向量OB的坐标为(1,1,0)，即点B的坐标为(1,1,0)．同理可得A(1，－1,0)，C(－1,1,0)，D(－1，－1,0)．→ 又点P在z轴上，所以OP＝2k.→所以向量OP的坐标为(0,0,2)，即点P的坐标为(0,0,2)．→ 1 →→ 1 1 1因为F为侧棱PB的中点，所以OF＝(OB＋OP)＝(i＋j＋2k)＝i＋j＋k，所以点F的坐2 2 2 21 1 标为(，1).，2 21 1 同理点(，1).E的坐标为，－2 2故所求各点的坐标分别为A(1，－1,0)，B(1,1,0)，C(－1，1,0)，D(－1，－1,0)，1 1 1 1P(0,0,2)，E(，1)，F(.，－，1)，2 2 2 210．如图2­3­11，在空间四边形OABC中，|OA|＝8，|AB|＝6，|AC|＝4，|BC|＝5，∠OAC→→＝45°，∠OAB＝60°，求OA在BC上的投影．【导学号：32550031】图2­3­11→→→【解】∵BC＝AC－AB，→→→→→→∴OA·BC＝OA·AC－OA·AB4→→→→→→→→ ＝|OA||AC|cos 〈OA，AC〉－|OA||AB|cos 〈OA，AB〉＝8×4×cos135°－8×6×cos120°＝24－16 2，→→→→→24－16 2∴OA在BC上的投影为|OA|·cos〈OA，BC〉＝.5[能力提升]→→1．设O­ABC是四面体，G1是△ABC的重心，G是OG1上的一点，且OG＝3GG1，若OG＝xOA＋y→→OB＋zOC，则(x，y，z)为()1 1 1 3 3 3A.(B．，，4)4)(，，4 4 4 41 1 12 2 2C.(D．，，，，3)(3)3 3 3 33→ 3 →→【解析】因为OG＝OG1＝(OA＋AG1)4 43→ 3 2 1→→＝OA＋×3[2(AB＋AC)]4 43→ 1 →→→→＝＋4[OBOA－OA＋OC－OA]41→1→1→＝OA＋OB＋OC，4 4 4→→→→ 而OG＝xOA＋yOB＋zOC，1 1 1所以x＝，y＝，z＝.4 4 4【答案】 A2．已知向量{a，b，c}是空间的一基底，向量{a＋b，a－b，c}是空间的另一基底，一向量p在基底{a，b，c}下的坐标为(1,2,3)，则向量p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标为()1 3 3 1A.(B．，，3)(，3)，－2 2 2 21 3 1 3C.(3，－2)D．(－，3)，，2 2 2【解析】设向量p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标为(x，y，z)，则a＋2b＋3c＝x(a＋b) ＋y(a－b)＋z c＝(x＋y)a＋(x－y)b＋z c∴Error!，即Error!.【答案】 B5→→1→1→3．已知点M在平面ABC内，并且对空间任一点O，OM＝xOA＋OB＋OC，则x＝________.3 21 1 1【解析】由于M∈平面ABC，所以x＋＋＝1，解得x＝.3 2 61【答案】6→→→4．如图2­3­12所示，在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，设AA1＝a，AB＝b，AD＝c，M，N，P 分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：图2­3­12→→→→(1)AP；(2)A1N；(3)MP＋NC1.【解】(1)∵P是C1D1的中点，→→→→→ 1 →1→ 1∴AP＝AA1＋A1D1＋D1P＝a＋AD＋D1C1＝a＋c＋AB＝a＋c＋b.2 2 2(2)∵N是BC的中点，→→→→1→1→ 1∴A1N＝A1A＋AB＋BN＝－a＋b＋BC＝－a＋b＋AD＝－a＋b＋c.2 2 2(3)∵M是AA1的中点，→→→1→→ 1 1 1 1∴MP＝＋＝＋＝－a＋b)＝a＋b＋c，MA 2 (a＋c＋AP A1A AP2 2 2 2→→→1→→1→→ 1又NC1＝NC＋CC1＝BC＋AA1＝AD＋AA1＝c＋a，2 2 2→→ 1 1 1 3 1 3( b＋c) (a＋c)∴MP＋NC1＝a＋＋＝a＋b＋c.2 2 2 2 2 26。

章末综合测评(三) 统计案例 (时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．在下列各量与量的关系中是相关关系的为( )①正方体的体积与棱长之间的关系；②一块农田的水稻产量与施肥量之间的关系；③人的身高与年龄之间的关系；④家庭的支出与收入之间的关系；⑤某户家庭用电量与电费之间的关系．A ．①②③B ．③④C ．④⑤D ．②③④【解析】 ①⑤是一种确定性关系，属于函数关系．②③④正确． 【答案】 D2．四名同学根据各自的样本数据研究变量x ，y 之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论：①y 与x 负相关且y ＝2.347x －6.423； ② y 与x 负相关且y ＝－3.476x ＋5.648； ③y 与x 正相关且y ＝5.437x ＋8.493； ④y 与x 正相关且y ＝－4.326x －4.578. 其中一定不正确的结论的序号是( ) A ．①② B ．②③ C ．③④D ．①④【解析】 y 与x 正(或负)相关时，线性回归直线方程y ＝bx ＋a 中，x 的系数b >0(或b <0)，故①④错误．【答案】 D3．在一组样本数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )(n ≥2，x 1，x 2，…，x n 不全相等)的散点图中，若所有样本点(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )都在直线y ＝12x ＋1上，则这组样本数据的样本相关系数为( )A ．－1B ．0 C.12D ．1【解析】 样本点都在直线上时，其数据的估计值与真实值是相等的，正相关最强，其相关系数为1.【答案】 D4．一位母亲记录了她儿子3岁到9岁的身高，建立了她儿子身高与年龄的回归模型y＝73.93＋7.19x ，她用这个模型预测儿子10岁时的身高，则下面的叙述正确的是( )A ．她儿子10岁时的身高一定是145.83 cmB ．她儿子10岁时的身高一定是145.83 cm 以上C ．她儿子10岁时的身高在145.83 cm 左右D ．她儿子10岁时的身高一定是145.83 cm 以下【解析】 由回归模型得到的预测值是可能取值的平均值，而不是精确值，故选C. 【答案】 C5．已知一个线性回归方程为y ＝1.5x ＋45，其中x 的取值依次为1,7,5,13,19，则y ＝( )A ．58.5B ．46.5C ．60D ．75【解析】 ∵x ＝15(1＋7＋5＋13＋19)＝9，回归直线过样本点的中心(x －，y －)，∴y －＝1.5×9＋45＝58.5. 【答案】 A 6．下列说法：①将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差恒不变； ②设有一个回归方程y ＝3－5x ，变量x 增加一个单位时，y 平均增加5个单位； ③线性回归方程y ＝bx ＋a 必过点(x ，y )；④在一个2×2列联表中，由计算得χ2＝13.079，则有99%的把握确认这两个变量间有关系．其中错误的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3本题可以参考独立性检验临界值表：是反映数据的波动程度的量)，①正确；回归方程中x 的系数具备直线斜率的功能，对于回归方程y ^＝3－5x ，当x 增加一个单位时，y 平均减少5个单位，②错误；由线性回归方程的定义知，线性回归方程y ＝bx ＋a 必过点(x ，y )，③正确；因为χ2＝13.079＞6.635，故有99%的把握确认这两个变量间有关系，④正确．故选B.【答案】 B7．利用独立性检验来考虑两个分类变量X 和Y 是否有关系时，通过查阅下表来确定断言“X 和Y 有关系”的可信度，如果k >5.024，那么就有把握认为“X 和Y 有关系”的百分比为( )A.25% C ．2.5%D ．97.5%【解析】 查表可得χ2>5.024.因此有97.5%的把握认为“X 和Y 有关系”． 【答案】 D8．已知x ，y 的取值如表所示：如果y 与x 呈线性相关，且回归方程为y ＝bx ＋2，则b 等于( )A ．－12B.12 C ．－110D.110【解析】 ∵x ＝2＋3＋43＝3，y ＝5＋4＋63＝5， ∴5＝3b ＋72，∴b ＝12.【答案】 B9．变量X 与Y 相对应的一组数据为(10,1)，(11.3,2)，(11.8,3)，(12.5,4)，(13,5)；变量U 与V 相对应的一组数据为(10,5)，(11.3,4)，(11.8,3)，(12.5,2)，(13,1)．r 1表示变量Y 与X 之间的线性相关系数，r 2表示变量V 与U 之间的线性相关系数，则( )A ．r 2＜r 1＜0B ．0＜r 2＜r 1C ．r 2＜0＜r 1D ．r 2＝r 1【解析】 变量Y 随X 的增大而增大，故Y 与X 正相关，所以r 1＞0；变量V 随U 的增大而减小，故V 与U 负相关，即r 2＜0，所以r 2＜0＜r 1.【答案】 C10．2016年元旦期间，某市通过随机询问100名性别不同的居民是否能做到“光盘”行动，得到如下的列联表：A．有90%以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”B．在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别无关”C．在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”D．有90%以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别无关”【解析】由2×2列联表得到a＝45，b＝10，c＝30，d＝15，则a＋b＝55，c＋d＝45，a＋c＝75，b＋d＝25，ad＝675，bc＝300，n＝100，计算得χ2＝－255×45×75×25≈3.030.因为2.706＜3.030＜3.841，所以有90%以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”，故选A.【答案】 A11．以下关于线性回归的判断，正确的个数是( )①若散点图中所有点都在一条直线附近，则这条直线为回归直线；②散点图中的绝大多数都线性相关，个别特殊点不影响线性回归，如图中的A，B，C 点；③已知直线方程为y＝0.50x－0.81，则x＝25时，y的估计值为11.69；④回归直线方程的意义是它反映了样本整体的变化趋势．图1A．0 B．1C．2 D．3【解析】能使所有数据点都在它附近的直线不止一条，而据回归直线的定义知，只有按最小二乘法求得回归系数a，b得到的直线y＝bx＋a才是回归直线，∴①不对；②正确；将x＝25代入y＝0.50x－0.81，得y＝11.69，∴③正确；④正确，故选D.【答案】 D12．根据下面的列联表得到如下四个判断：①至少有99.9%的把握认为“患肝病与嗜酒有关”；②至少有99%的把握认为“患肝病与嗜酒有关”；③在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“患肝病与嗜酒有关”；④在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“患肝病与嗜酒无关” .A．0 B．1C．2 D．3【解析】由列联表中数据可求得随机变量χ2＝－2760×232×900×92≈7.349＞6.635，所以在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为“患肝病与嗜酒有关系”，即至少有99%的把握认为“患肝病与嗜酒有关系”．因此②③正确．【答案】 C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13．已知x，y的取值如下表：从散点图分析，则a＝________.【解析】由题意得x＝4，y＝5，又(x，y)在直线y＝1.02x＋a上，所以a＝5－4×1.02＝0.92.【答案】0.9214．若回归直线方程为y＝0.5x－0.81，则x＝25时，y的估计值为________．【解析】将x＝25代入y＝0.5x－0.81，得y＝0.5×25－0.81＝11.69.【答案】11.6915．为了判断高中三年级学生是否选修文科与性别的关系，现随机抽取50名学生，得到如下2×2列联表：已知P (χ2据，得到k ＝－223×27×20×30≈4.844，则认为“选修文科与性别有关系”出错的可能性为________．【解析】 k ≈4.844>3.841，故判断出错的概率为0.05. 【答案】 0.0516．对具有线性相关关系的变量x ，y 有一组观测数据(x i ，y i )(i ＝1,2，…，8)，其回归直线方程是y ＝13x ＋a ，且x 1＋x 2＋x 3＋…＋x 8＝2(y 1＋y 2＋y 3＋…＋y 8)＝6，则实数a 的值是__________．【解析】 由题意知样本中心点为⎝ ⎛⎭⎪⎫34，38，则38＝13×34＋a ，解得a ＝18. 【答案】 18三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)为了分析某个高三学生的学习状态，对其下一阶段的学习提供指导性建议．现对他前7次考试的数学成绩x 、物理成绩y 进行分析．下面是该生7次考试的成绩.(1)(2)已知该生的物理成绩y 与数学成绩x 是线性相关的，若该生的物理成绩达到115分，请你估计他的数学成绩大约是多少？并请你根据物理成绩与数学成绩的相关性，给出该生在学习数学、物理上的合理建议．【解】 (1)x ＝100＋－12－17＋17－8＋8＋127＝100，y ＝100＋－6－9＋8－4＋4＋1＋67＝100.∴s 2数学＝9947＝142，∴s 2物理＝2507，从而s 2数学＞s 2物理，∴物理成绩更稳定．(2)由于x 与y 之间具有线性相关关系，根据回归系数公式得到b ＝497994＝0.5，a ＝100－0.5×100＝50，∴线性回归方程为y ＝0.5x ＋50， 当y ＝115时，x ＝130.建议：进一步加强对数学的学习，提高数学成绩的稳定性，将有助于物理成绩的进一步提高．18．(本小题满分12分)吃零食是中学生中普遍存在的现象，吃零食对学生身体发育有诸多不利影响，影响学生的健康成长．下表是性别与吃零食的列联表：【解】 χ2＝n ad －bc 2a ＋bc ＋d a ＋cb ＋d，把相关数据代入公式，得 χ2＝－217×68×45×40≈4.722>3.841.因此，在犯错误的概率不超过0.05的前提下，可以认为“喜欢吃零食与性别有关”． 19．(本小题满分12分)某车间为了规定工时定额，需确定加工零件所花费的时间，为此做了4次试验，得到的数据如下：(1)求加工时间与零件个数的回归直线方程； (2)试预报加工10个零件需要的时间．【解】 (1)由表中数据得x ＝72，y ＝72，∑i ＝14x 2i ＝54，∑i ＝14x i y i ＝52.5，从而得b ＝0.7，a ＝y －b x ＝1.05， 因此，所求的回归直线方程为y ＝0.7x ＋1.05. (2)将x ＝10代入回归直线方程，得y ＝0.7×10＋1.05＝8.05(小时)，即加工10个零件的预报时间为8.05小时．20．(本小题满分12分)某企业通过调查问卷(满分50分)的形式对本企业900名员工的工作满意度进行调查，并随机抽取了其中30名员工(16名女员工，14名男员工)的得分，如下表：(2)现用计算器求得这30名员工的平均得分为40.5分，若规定大于平均得分为“满意”，否则为“不满意”，请完成下列表格：1%的前提下，认为该企业员工“性别”与“工作是否满意”有关？参考数据：所以任选一名员工，他(她)的得分大于45分的概率是830＝415，所以估计此次调查中，该单位约有900×415＝240名员工的得分大于45分．(2)完成下列表格：根据表中数据，求得χ2＝－215×15×16×14≈8.571＞6.635，查表得P(χ2≥6.635)＝0.010.∴能在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为性别与工作是否满意有关．21．(本小题满分12分)在一个文娱网络中，点击观看某个节目的累计人次和播放天数如下数据：(2)判断两变量之间是否有线性相关关系，求线性回归方程是否有意义？ (3)求线性回归方程；(4)当播放天数为11天时，估计累计人次为多少？ 【解】 (1)散点图如图所示：(2)由散点图知：两变量线性相关，求线性回归方程有意义．借助科学计算器，完成下表：x ＝5.5，y ＝288.7，∑i ＝110x 2i ＝385，∑i ＝110y 2i ＝1 020 953，∑i ＝110x i y i ＝19 749利用上表的结果，计算累计人次与播放天数之间的相关系数，r ＝∑i ＝110x i y i －10x y∑i ＝110x 2i －10x2∑i ＝110y 2i －10y 2＝19 749－10×5.5×288.7385－10×5.52× 1 020 953－10×288.72≈0.984.这说明累计人次与播放天数之间存在着较强的线性相关关系，自然求线性回归方程有实际意义．(3)b ＝∑i ＝110x i y i －10x y∑i ＝110x 2i －10x 2＝19 749－10×5.5×288.7385－10×5.5≈46.9， a ＝y －b x ≈288.7－46.9×5.5≈30.8，因此所求的线性回归方程是y ＝30.8＋46.9x .(4)当x ＝11时，y 的估计值是46.9×11＋30.8≈547.22．(本小题满分12分)为了解某市市民对政府出台楼市限购令的态度，在该市随机抽取了50名市民进行调查，他们月收入(单位：百元)的频数分布及对楼市限购令的赞成人数如下表：族”．根据已知条件完成下面的2×2列联表，有多大的把握认为赞不赞成楼市限购令与收入高低有关？已知：χ2＝a ＋b ＋c ＋dad －bc 2a ＋bc ＋da ＋cb ＋d，当χ2<2.706时，没有充分的证据判定赞不赞成楼市限购令与收入高低有关；当χ2>2.706时，有90%的把握判定赞不赞成楼市限购令与收入高低有关；当χ2>3.841时，有95%的把握判定赞不赞成楼市限购令与收入高低有关；当χ2>6.635时，有99%的把握判定赞不赞成楼市限购令与收入高低有关.【解】χ2＝≈3.43，故有90%的把握认为楼市限购令与收入高低有关．40×10×22×28。

学业分层测评(建议用时：分钟)一、选择题．设＝(－)＋(－)＋(－)＋，则等于( )．(－) ．(－)．．(＋)【解析】＝＝.【答案】．已知的展开式的第项等于，则等于( )．－．．－【解析】＝＝，则＝－.【答案】．若对于任意实数，有＝＋(－)＋(－)＋(－)，则的值为( )．．．．【解析】＝，＝×＝.【答案】．使(∈＋)的展开式中含有常数项的最小的为( )．．．．【解析】＋＝()－＝－，当＋是常数项时，－＝，当＝，＝时成立．【答案】．在)))的展开式中，含项的系数为( )．．．．【解析】因为)))＝)))＝(＋)＋(＋))＋…＋)))，所以项只能在(＋)的展开式中，所以含的项为，系数为＝，故选.【答案】二、填空题．在(＋)的展开式中，的系数为．(用数字作答)【解析】设通项为＋＝－，令＝，则的系数为×＝×＝.【答案】．设二项式(>)的展开式中的系数为，常数项为.若＝，则的值是．【解析】对于＋＝－(－)＝(－)·，＝(－)，＝(－).∵＝，>，∴＝.【答案】．被除所得的余数为. 【导学号：】【解析】法一：＝(－)＝·－··＋··－…＋，展开式中前项均能被整除，只需求最后一项除以的余数．∵＝(－)＝·－·＋…＋·－·＋，前项均能被整除，后两项和为－，因余数为正，可从前面的数中分离出，结果为－＝，故被除可得余数为.法二：＝(＋)＝·＋·＋…＋·＋·＋.前项均能被整除，剩下两项和为×＋＝，显然除以所得余数为.【答案】三、解答题．化简：＝－＋－＋…＋(－)(∈＋)．【解】将的表达式改写为：＝＋(－)＋(－)＋(－)＋…＋(－)＝＝(－).∴＝(－)＝(\\(，为偶数时，,－，为奇数时.))．在的展开式中，求：()第项的二项式系数及系数；()含的项．【解】()第项的二项式系数为＝，又＝()＝·，所以第项的系数为＝.()＋＝()－＝(－)－－，令－＝，得＝.所以含的项为第项，且＝－.．若＋＋…＋能被整除，则，的值可能为( )．＝，＝．＝，＝．＝，＝．＝，＝【解析】＋＋…＋＝(＋)－，分别将选项，，，代入检验知，仅适合．【答案】．已知二项式的展开式中第项为常数项，则＋(－)＋(－)＋…＋(－)中项的系数为( )．－．。

阶段质量检测(四)模块综合检测[考试时间：90分钟试卷总分：120分]题号一二三总分15161718得分第Ⅰ卷(选择题)一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．如图，要用三根数据线将四台电脑A，B，C,D连接起来以实现资源共享，则不同的连接方案种数为( ）A．20 B．16C．10 D．82．已知随机变量X服从正态分布N（3，σ2),则P(X〈3）等于（）A.错误!B。

错误!C。

错误! D.错误!3．掷一枚硬币，记事件A＝“出现正面"，B＝“出现反面”，则有( )A．A与B相互独立B．P(AB)＝P(A）P（B）C．A与B不相互独立D．P(AB)＝错误!4．已知集合S＝｛－1，0，1},P＝｛1，2，3，4｝,从集合S，P 中各取一个元素作为点的坐标，可作出不同的点的个数为（）A．21 B．22C．23 D．245．某单位为了了解用电量y（度）与气温x（℃)之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温,并制作了对照表:2，预测当气温为－4℃时，用电量的度数约为（）A．58 B．66C．68 D．706．在10支铅笔中，有8只正品，2支次品，从中任取2支，则在第一次抽的是次品的条件下,第二次抽的是正品的概率是( ) A。

错误! B.错误!C.错误!D。

错误!7．二项式错误!n展开式中所有奇数项系数之和等于1 024,则所有项的系数中最大的值是( ）A．330 B．462C．680 D．7908．以圆x2＋y2－2x－2y－1＝0内横坐标与纵坐标均为整数的点为顶点的三角形个数为（）A．76 B．78C．81 D．849．从字母a，b，c，d，e，f中选出4个数排成一列,其中一定要选出a和b，并且必须相邻(a在b的前面),共有排列方法( ）A．36种B．72种C．90种D．144种10．（湖北高考）设a∈Z,且0≤a＜13,若512 012＋a能被13整除，则a等于（)A．0 B．1C．11 D．12答题栏题12345678910号答案第Ⅱ卷(非选择题）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分,共20分．请把正确的答案填在题中的横线上)11．数列a1，a2，…，a7中,恰好有5个a，2个b（a≠b)，则不相同的数列共有________个．12．俗语中常说，三个臭皮匠胜过诸葛亮，若三个臭皮匠能解决某问题的概率分别为60%，50%，45%。