向量的物理背景与概念

2.1.1向量的物理背景与概念2.1.2向量的几何表示●创设情境如图，老鼠由A向西北逃窜，猫在B处向东追去，问：猫能追上老鼠吗？（画图）●教材新知1.向量的相关概念（1）向量：既有_______，又有_______的量叫做向量.如：力、位移、速度、加速度等.向量的两个要素是：______、______.（2）有向线段：带有_______的线段叫做有向线段.①以A为起点，B为终点的有向线段记作______.②有向线段的三要素是：______、______、______.（3）模：向量AB的______叫做向量AB的______（或称_____），记作______..“向量”就是“有向线段”对吗？2.向量的表示方法有两种（1）用有向线段的起点和终点字母表示，如AB、CD.起点字母必须放在终点字母的______. （2）用黑体字母表示，如a、b.（手写体向量上面的箭头一定不能漏写）.3.两个特殊向量（1）零向量：模为_____的向量，记作____.“0”与“0”有区别吗？（2）单位向量：模为_____的向量.__________或__________的非零向量叫做平行向量，向量a，b平行记作______._____，即对于任意向量a，都有______.●题组集训（1）下列结论正确的是（）A.对任一向量a，0a总是成立的 B.模为0的向量与任一向量平行>C.向量就是有向线段D.单位向量与任一向量平行（2）下列结论中，正确的是（）A.2014cm长的有向线段不可能表示单位向量B.若O是直线l上的一点，单位长度已选定，则l上有且只有两个点A、B，使得OA、OB是单位向量C.方向为北偏西50︒的向量与东偏南40︒的向量不可能时平行向量D.一人从点A向东走500米到达B点，则向量AB不能表示这个人从点A到B点的位移（3）有下列量：质量、速度、位移、力、加速度、路程、密度、功、海拔、温度、角度、高度.其中不是向量的有（）个A.6B.7C.8D.9（4）下列说法正确的是（ ）A.实数可以比大小，向量也可以比大小B.方向不同的向量不能比较大小，但方向相同的向量可以比较大小C.向量的模是正数D.向量的模可以比较大小（5）在直角三角形ABC 中，90BAC ∠=︒，1AB =，2AC =，则BC =_____.●课堂精讲【例1】判断下列说法是否正确，并说明理由：（1）温度是向量；（2）作用力与反作用力是一对大小相等，方向相反的向量；（3）数轴是向量；（4）若a 是单位向量，b 也是单位向量，则a 与b 的方向相同或相反.【变式训练】在下列结论中，正确的为（ ）A.两个有共同起点的单位向量，其终点必相同B.向量AB 与向量BA 的长度相等C.向量就是有向线段D.零向量是没有方向的【例2】一辆汽车从A 点出发向西行驶了100km 到达B 点，然后又改变方向向西偏北50︒行驶了 200km 到达C 点，最后又改变方向，向东行驶了100km 到达D 点.（1）作出向量AB ，BC ，CD ； （2）求AD .【变式训练】某人从A 地出发按北偏东30︒方向行走60米到达B 地，再从B 地向东行走100米到达C 地，再由C 地按东偏南60︒方向行走60米到达D 地.（1）作出向量AB ，BC ，CD ； （2）求AD .【例3】如图，1A 、2A 、…、8A 是O 上的八个等分点，则在以1A 、2A 、…、8A 及圆心O 九个点中任意两个点为起点与终点的向量中，模等于半径的向量有多少个？模等于【变式训练】如图，菱形的一个内角是60︒，边长为2，E 是对角线AC 与BD 的交点.（1）模为2的向量最多有几个？（不再增加线段）（2）写出模为1的向量.（不再增加线段）（3）求AC .●课后反馈（1）下列各量中是向量的是（ ）A.质量B.距离C.速度D.电流强度（2）下列说法中正确的是（ ）A.有向线段AB 与BA 表示同一个向量B.两个有公共终点的向量是平行向量C.零向量与单位向量是平行向量D.若非零向量AB ‖CD ，则直线AB 与直线CD 平行 （3）如图，在O 中，向量OB ，OC ，AO 是（ ）A.有相同起点的向量B.单位向量C.模相等的向量D.平行向量（4）下列结论不正确的是（ ）A.向量AB 与向量BA 的长度相等B.任意一个非零向量都可以平行移动C.若a ‖b ，且≠0b ，则≠0aD.两个有公共起点且平行的向量，其终点不一定相同（5）已知O 是正方形ABCD 对角线的交点，在以O 、A 、B 、C 、D 这5个点中任意一点为起点，另一点为终点的所有向量中，与DA 是平行向量的有（ ）A.CBB.DBC.BAD.OB（6）把平面上一切单位向量平移到共同的始点，那么这些向量的终点所构成的图形是（ ）A.一条线段B.一段圆弧C.两个孤立点D.一个圆（7）下列结论中，正确的是（ ）A.坐标平面上的x 轴，y 轴都是向量B.若AB 是单位向量，则BA 不是单位向量C.若0=a ，1=b ，则a ‖bD.计算向量的模与单位长度无关 （8）O 是ABC ∆内一点，且OA OB OC ==，则O 是ABC ∆的（ ）A.重心B.内心C.外心D.垂心（9）如图，平行四边形ABCD 中，E 、F 分别是AD 、BC 的中点，则以A 、B 、C 、D 、E 、F 这6个点中任意两点分别作为起点和终点的所有向量中，与向量EF 方向相反的向量是 _______.（10）以下命题正确的是_______.①单位向量都平行；②任一单位向量都大于0；③单位向量的模相等.（11）如图，ABC ∆是等腰三角形，则两腰上的向量AB 与AC 的关系是_______.（12）直线l ：1y x =-上点(),A x y ，使OA 为单位向量（其中O 为坐标原点），则x =______，y =______.（13）如图，D、E、F分别是ABC∆各边的中点，若2BC=，则DF=______，BE=______.（14）如图，45⨯方格纸中有一向量AB，现以方格纸中的格点为起点和终点作向量，其中与AB长度相等且与AB平行的向量有多少个？（AB除外）（15）如图，已知四边形ABCD是矩形，O是对角线AC与BD的交点，写出以A、B、C、D、O为始点和终点的所有向量.（16）如图，A、B、C三点的坐标依次是(),x y，其中x、y∈R，当x、y满0,1、()1,0-、()足什么条件时，OC‖AB.。

《向量数量积的物理背景与定义》知识清单一、向量数量积的物理背景在物理学中，我们常常会遇到力做功的问题。

当一个力作用在物体上，并使物体在力的方向上产生位移时，力就对物体做了功。

例如，一个水平向右的力 F 作用在一个物体上，使物体在水平方向上移动了一段距离 s，力 F 与位移 s 之间的夹角为θ。

那么力 F 所做的功 W 就可以表示为：W ＝｜F| ×｜s| × cosθ 。

这里的｜F| 表示力 F 的大小，｜s| 表示位移 s 的大小，cosθ 则反映了力的方向与位移方向之间的关系。

从这个物理模型中，我们可以抽象出向量数量积的概念。

力 F 和位移 s 都是向量，它们的数量积就与力做功的大小密切相关。

再比如，在电学中，电场强度 E 与电荷 q 移动的位移 s 的数量积，也可以表示电场力对电荷做功的大小。

通过这些物理实例，我们能够更加直观地理解向量数量积的实际意义，并且认识到它在描述物理现象和解决物理问题中的重要性。

二、向量数量积的定义1、定义已知两个非零向量 a 和 b，它们的夹角为θ（0 ≤ θ ≤ π），则数量｜a| ×｜b| × cosθ 叫做 a 与 b 的数量积（或内积），记作 a·b ，即 a·b ＝｜a| ×｜b| × cosθ 。

如果其中有一个向量为零向量，那么规定它们的数量积为 0 。

2、几何意义向量数量积 a·b 的几何意义是：数量积 a·b 等于 a 的长度｜a| 与 b 在 a 方向上的投影｜b|cosθ 的乘积，或者等于 b 的长度｜b| 与 a 在 b 方向上的投影｜a|cosθ 的乘积。

以 a·b 为例，假设向量 b 在向量 a 方向上的投影为向量 p ，则 p 的长度为｜b|cosθ ，那么 a·b ＝｜a| ×｜p| 。

3、性质（1）交换律：a·b ＝ b·a这意味着两个向量进行数量积运算时，其顺序不影响结果。

平面向量1、向量的物理背景与概念了解四种常见向量：力、位移、速度、加速度.2、 既有大小又有方向的量叫做向量.3、向量的几何表示带有方向的线段叫做有向线段，有向线段包含三个要素：起点、方向、长度. 向量AB 的大小，也就是向量AB 的长度（或称模），记作AB ；长度为零的向量叫做零向量；长度等于1个单位的向量叫做单位向量.4、方向相同或相反的非零向量叫做平行向量（或共线向量）.规定：零向量与任意向量平行.5、长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.6、向量加法运算及其几何意义 三角形法则和平行四边形法则. b a +≤b a +.7、向量数乘运算及其几何意义规定：实数λ与向量a 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘.记作：a λ，它的长度和方向规定如下：⑴a a λλ=,⑵当0>λ时, a λ的方向与a 的方向相同；当0<λ时, a λ的方向与a 的方向相反.8、 平面向量共线定理：向量()0≠a a 与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使a b λ=.9、平面向量基本定理 平面向量基本定理：如果21,e e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内任一向量a ，有且只有一对实数21,λλ，使2211e e a λλ+=.10、平面向量的正交分解及坐标表示()y x j y i x a ,=+=. 11、平面向量的坐标运算设()()2211,,,y x b y x a ==，则：⑴()2121,y y x x b a ++=+， ⑵()2121,y y x x b a --=-，⑶()11,y x a λλλ=，12、平面向量共线的坐标表示 设()()()332211,,,,,y x C y x B y x A ，则 ⑴线段AB 中点坐标为()222121,y y x x ++， ⑵△ABC 的重心坐标为()33321321,y yy x x x ++++. 13、平面向量数量积的物理背景及其含义 θcos b a b a =⋅.a 在b 方向上的投影为：θcos a . 22a a =. 2a a =. 0=⋅⇔⊥b a b a .设()()2211,,,y x B y x A ，则： ()1212,y y x x AB --=14、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 设()()2211,,,y x b y x a ==，则： ⑴2121y y x x b a +=⋅ ⑵2121y x a += ⑶02121=+⇔⊥y y x x b a 1221//y x y x b a =⇔ 设()()2211,,,y x B y x A ，则： ()()212212y y x x AB -+-=.提炼： 1 θcos b a b a =⋅ b a ba ⋅=θcos2设()()2211,,,y x b y x a ==，则： ⑴2121y y x x b a +=⋅ ⑵2121y x a += 212122y x a a +== 22)(b a b a +=+ ⑶02121=+⇔⊥y y x x b a 1221//y x y x b a =⇔ 练习。

张喜林制2.3.1 向量数量积的物理背景与定义考点知识清单1．两个向量的夹角：已知两个非零向量a 、b ，作,,b a ==则AOB ∠称作向量a 和向量b 的夹角，记作（a ，b ），并规定其范围是 当2,π=b a 时，我们说向量a 和向量b 互相垂直，记作.b a ⊥2．向量在轴上的正射影：已知向量a 和轴L ，作,a =过点0，A 分别作轴f 的垂线，垂足分别为,,11A O 则11A O 叫做向量a 在轴L 上的正射影（简称射影），该射影在轴L 上的坐标，称作a 在轴L 上的数量或在轴L 的方向上的数量，即 ，其中l a 是a 在轴L 上正射影的数量． 3．向量的数量积（内积）定义： 4．向量内积的性质：(1)如果e 是单位向量，则=⋅=⋅a e e a,0)2(=⋅⇒⊥b a b a 且;0b a b a ⊥⇒=⋅,||)3(2a a a =⋅即>=<b a ,cos )4( ||)5(b a ⋅ .||||b a要点核心解读1．向量数量积的物理背景——力做功的计算．如图2 -3 -1 -1．一个力F 使物体发生位移s 所做的功W 可以用下式计算．.cos ||||θF s W =其中θcos ||F 就是F 在物体位移方向上的分量的数量，也就是力F 在物体位移方向上正射影的数量． 2．两个向量的夹角已知两个非零向量a ，b （如图2 -3 -1 -2所示），作,,b a ==则AOB /称作向量a 和向量b 的夹角，记作),,(b a 并规定,),(0π≤≤b a在这个规定下，两个向量的夹角被唯一确定了，并且有.,,>>=<<a b b a当2,π>=<b a 时，我们说向量a 和向量b 互相垂直，记作,b a ⊥在讨论垂直问题时，规定零向量与任意向量垂直．3．向量在轴上的正射影已知向量a 和轴L 如图2 -3 -1 -3.作,a =过点0、A 分别作轴L 的垂线，垂足分别为,11A O 、，则向量11A O 叫做向量a 在轴L 上的正射影（简称射影），该射影在轴L 上的坐标，称作a 在轴L 上的数量或在轴L 的方向上的数量．a =在轴L 上正射影的坐标记作,l a 向量a 的方向与轴L 的正向所成的角为θ，则由三角函数中的余弦定义有.cos ||θa a l =4．向量的数量积（内积）定义><b a b a ,cos ||||叫做向量a 和向量b 的数量积（或内积），记作a ×b ，即.,cos ||||><=⋅b a b a b a5．平面向量的数量积的性质(1)如果e 是单位向量，则;,cos ||><=⋅=⋅e a a a e e a,0)2(=⋅⇒⊥b a b a 且;0b a b a ⊥⇒=⋅,||)3(2a a a =⋅即;||a a a ⋅=;||||,cos )4(b a ba b a ⋅>=<.||||||)5(b a b a ≤⋅典例分类剖析考点1求数量积的问题[例1] 已知.3||,4||==b a 当b a b a b a 与③②①,,//⊥的夹角为60时，分别求a 与b 的数量积． [解析] ①当b a //时，若a 与b 同向，则a 与b 的夹角∴=,0 θ||a b a =⋅;120cos 34cos .||=⨯⨯= θb若a 与b 反向，则a 与b 的夹角为,180o =θ;12)1(34180cos ||||-=-⨯⨯=⋅=⋅∴o b a b a②当a ⊥b 时，向量a 与b 的夹角为,90;003490cos .||||=⨯⨯=⋅=⋅∴ b a b a③当a 与b 的夹角为60时．.6213460cos .||||=⨯⨯=⋅=⋅∴ b a b a [点拨] 若||||b a ⋅是一个定值k ，则当这两个向量的夹角从0变化到o180时，两向量的数量积从k 减到-k ，其图象恰好为从O 到霄的半个周期内的余弦图象，对于图形中的问题要注意区分图形中的角与向量的夹角．1．如图2—3 -1-4，在边长为1的等边三角形ABC 中，设,a BC =,,c AB bCA == 试求 a c c b b a ..++⋅的值．考点2 向量的夹角与垂直关系的运算[例2] 已知,9,1||,36||-=⋅==b a b a 则=),(b a ( )120.A 150.B 60.C 30.D[试解] ．（做后再看答案，发挥母题功能） [解析] 利用||||,cos b a ba b a ⋅>=<及,),(0π≤≤b a 求⋅),(b a解：⋅-=⨯-=⋅>=<231369||||,cos b a b a b a又.150,,180),(0 >=∴<≤≤b a b a [答案] B[点拨] 两个向量夹角的范围是⋅],0[π2．(1)向量a 、b 满足4222-=⋅--b a b a 且,4||,2||==b a 则=),(b a(2)若0是△ABC 所在平面内一点，且满足=-|||,2|-+则△ABC 的形状为( )． A ．等腰直角三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．等边三角形考点3 向量的投影问题[例3] 如图2-3 -1-5，在等腰三角形ABC 中，=AB D ABC AC ,30,2 =∠=是BC 的中点， 求：(1)C 在方向上的投影；(2)在D 方向上的投影．[解析] 如图2 -3 -1-5所示，连接AD ，在等腰三角形ABC 中，=∠==ABC AC AB ,2D ,30是BC的中点，所以⨯===⊥230cos ,AB BD CD BC AD .323=作CB 的延长线BE ，则与的夹角为-=∠180ABE .150=∠ABCCD BA =)1(方向上的投影是=-⨯=)23(2150cos || ;3- BA CD 在)2(方向上的投影是=-⨯=)23(3150cos || ⋅-23[点拨] 向量的投影是一个实数，它可正、可负、可为零，其性质符号取决于两向量之间的夹角，因此在正确理解向量投影定义的同时，找准两个向量之间的夹角是关键．b a a 与,4||.3=的夹角为,30 则a 在b 方向上的投影为考点4 内积性质的简单应用[例4] 已知,5||||==b a 向量a 与b 的夹角为,3π求.|||,|b a b a -+ [解析] 解法一：由数量积公式2||a a =求解．,25||,25||2222====b b a a,2253cos55cos ||||=⨯⨯==⋅πθb a b a .352525252)(222=++=⋅++=+=+∴b a b a b a b a同样可求 b a b a b a b a ⋅-+=-=-2)(||2.5252525=-+=解法二：由向量线性运算的几何意义求作菱形ABCD ，使,3.5π=∠==DAB AD AB设,,b A a A ==如图2 -3 -1 -6．则,5||||||===-A B b a.355232||2||||=⨯⨯===+A b a[点拨] (1)利用数量积求解长度问题是数量积的重要应用，要掌握此类问题的处理方法：①22||a a a a =⋅=;||a a a ⋅=或.2)(||22b b a a b a b a +⋅±=±=±②由关系式=2a ,||2a 可使向量的长度与向量的数量积互相转化，因此欲求+a ||,b 可求),()(b a b a +⋅+将此式展开．由已知,5||||==b a 即b a b b a a ⋅=⋅=⋅,25 也可求得,225将上面各式的值代入，即可求得被求式的值． (2)利用向量线性运算的几何意义转化到求平面几何的长度的计算．4．(1)已知向量a ，b 满足==||,13||b a ,24||,19=+b a 求.||b a -(2)已知a 、b 均为单位向量，它们的夹角为,60那么+a |=|3b ( )．7.A 10.B 13.C 4.D学业水平测试1．下列命题，正确的是( )．A ．若,0=⋅b a 则00==b a 或B ．若,0=⋅b a 则b a //C ．若,b a ⊥则0=⋅b a ||.a a aD >⋅对任意向量恒成立 2．已知,135,,4||,212 >=<=-=⋅b a a b a 则=||b （ ）12.A 3.B 6.C 33.D3．以下等式中恒成立的有( )．① b a b a ⋅=⋅ ② ;||;||22a a a a a ==⋅③④⋅+⋅-=-)2()2(222b a b a b aA.l 个B.2个 C ．3个 D.4个4．向量a 、b 满足,3||,2||==b a 且,7||=+b a 则=⋅b a5．已知,2||,1||==b a 且),2()(b a b a λλ-⊥+a 与b 的夹角为,60则=λ6．在△ABC 中，设,,,c AB b CA a BC ===若..a c c b b a ⋅=⋅=求证：△ABC 为正三角形，高考能力测试（测试时间：45分钟测试满分：100分） 一、选择题（5分×8 =40分）1．在△ABC 中，C B A ∠∠∠、、的对边分别为1,3,==b a c b a 、、,30=∠C 则=B .343.A 323.B 343.-C 323.-D 2．△ABC 中，.A B A ⋅+⋅+一定是( )A ．小于0B ．大于0．C ．小于或等于零D ．大于或等于零3．设a 、b 、c 是任意的非零平面向量，且相互不共线，则下列结论正确的有( )．.(|;||||];0)()(b b a b a b a c c b a ③②①-≤-=⋅⋅-⋅⋅b a c a c ⋅⋅-⋅)()不与C 垂直；=-⋅+)23()23(b a b a ④.||4||922b a -A ．①②B ．②③C ．③④D ．②④ 4．若,5||,4||,32041||==-=-b a b a 则a 与b 的数量积为( )．310.A 310.-B 210.C 10.D5．若四边形ABCD 满足,0)(,0=⋅-=+AC AD AB CD AB 则该四边形一定是( )．A ．直角梯形B ．菱形C ．正方形D ．矩形 6．（2009年福建高考题）设a ，b ，c 为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且满足a 与b 不共线，|,|||,c a c a =⊥则||c b ⋅的值一定等于( )．A ．以a ，b 为两边的三角形的面积B ．以b ，c 为两边的三角形的面积C ．以a ，b 为邻边的平行四边形的面积D ．以b ，c 为邻边的平行四边形的面积 7．已知非零向量AC AB 与满足0)||||(=⋅+AC AC AB 且.||AB ⋅,21||=AC 则△ABC 为( )． A ．三边均不相等的三角形 B ．直角三角形 C ．等腰非等边三角形 D ．等边三角形 8．（2011年全国大纲理）设向量a ，b ，c 满足.,1||||a b a ==,21-=b ,60, >=--<c b c a 则∣C ∣的最大值等于( )．2.A3.B 2.C 1.D二、填空题（5分x4 =20分）9．（2008年江苏高考题）a ，b 的夹角为,3||,1||,120==b a则=-|5|b a10.（2010年天津高考题）如图2-3 -1 -7，在△ABC 中，,AB AD ⊥BC =,1||=AD 则=⋅.11．设向量a ，b ，c 满足.,)(,0b a c b a c b a ⊥⊥-=++若=||a 222||||||,1c b a ++则的值是 12.（2008年陕西高考题）关于平面向量a ，b ，c ，有下列三个命题：①若,c a b a ⋅=⋅则;c b =②若//),6,2(),,1(a b k a -==;3,-=k b 则③非零向量a 和b 满足|,|||||b a b a -==则a 与b a +的夹角为.60 其中真命题的序号为____（写出所有真命题的序号）．三、解答题（10分x4 =40分）13.如图2-3 -1-8，已知正六边形,654321P P P P P P 求下列向量的数量积．;)2(;)1(41213121P P P P P P P P ⋅⋅.)4(;)3(61215121P P p p P P P P ⋅⋅14．已知,0||2||=/=b a 且关于x 的方程0||2=⋅++b a x a x 有实根，求a 与b 的夹角的取值范围．15．已知向量,60,, =∠==AOB b O a 且.4||||==b a (1)求|;||,|b a b a -+(2)求b a +与a 的夹角及b a -与a 的夹角．16.已知),1,(),1,2(λ=--=b a 若a 与b 的夹角α为钝角，求A 的取值范围．。