数学归纳法的应用作业检测(Word版 含答案) 高中数学选修4-5 北师大版

一、选择题1．已知a 、b R ∈，224a b +=，求32a b +的最大值为（ ）A ．B ．C ．D ．42．函数y =的最小值是（ ）A B 1C ．11+D ．3．已知a ，0b >，5a b += ）A ．18B ．9C ．D ．4．设,x y ∈R ，且0xy ≠，则222241x y y x ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的最小值为（ ） A ．9-B ．9C ．10D ．05．m 个互不相同的正偶数与n 个互不相同的正奇数的和为117,对所有这样的m 与n,3m+2n 的最大值是( ) A ．35 B ．37 C ．38D ．416．已知空间向量(1,0,0),(1,1,0),(0,0,1),OA OB OC === 向量,OP xOA yOB zOC =++且424x y z ++=,则OP 不可能是 A ．12B ．1C ．32D ．47．y=x 的最大值是 （ ）A ．1B ．2C D ．48．已知1=，则以下式子成立的是 A ．221a b +> B ．221a b += C ．221a b +<D ．221a b =9．已知a ＋b ＋c ＝1，且a ， b ， c ＞0，则 222a b b c a c+++++ 的最小值为( ) A ．1B ．3C ．6D ．910．若实数a ，b ，c 均大于0，且a ＋b ＋c ＝3，则的最小值为( )A ．3B ．1C D 11．已知,,(0,1)a b c ∈，且1ab bc ac ++=，则111111a b c++---的最小值为（ ）A B C ．62- D12．若a ＜b ＜c ，x ＜y ＜z ，则下列各式中值最大的一个是（ ） A ．ax+cy+bz B ．bx+ay+cz C ．bx+cy+azD ．ax+by+cz二、填空题13．若222494x y z ++=，则+3x y z +的最大值为______. 14．已知a ，b ，c 均为非负数，且494a b c ++=，则111111a b c +++++的最小值为______．15．已知x,y,z ∈R,有下列不等式: ①x 2+y 2+z 2+3≥2(x+y+z);x y2+≥②③|x+y|≤|x -2|+|y+2|; ④x 2+y 2+z 2≥xy+yz+zx.其中一定成立的不等式的序号是_____16．若实数1x y z ++=，则22223x y z ++的最小值为__________． 17．函数2910,122y x x x ⎛⎫⎛⎫=+∈ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭的最小值为________18．若正数,,a b c 满足41a b c ++=,_________ 19．设,x y R ∈,则222211()(4)x y y x++的最小值为________．20．已知,(0,)x y ∈+∞<恒成立，利用柯西不等式可求得实数k 的取值范围是________．三、解答题21．已知f (n )＝1＋312＋313＋314＋＋31n ，()g n =32－212n，n ∈N *. （1）当n ＝1，2，3时，试比较f (n )与g(n )的大小关系； （2）猜想f (n )与g(n )的大小关系，并给出证明． 22．已知,x y R ∈，且1x y +=. （1）求证：22334x y +≥； （2）当0,0x y >>时，不等式221111|2||1|a a x y ⎛⎫⎛⎫--≥-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭恒成立，求a 的取值范围.23．已知函数()31f x x x =+++. （1）求不等式()4f x ≤的解集；（2）设函数()f x 的最小值为n ，若正实数,,a b c ，满足a b c n ++=，证明4118a b c++≥. 24．若正数,,a b c 满足1a b c ++=，求111323232a b c +++++的最小值. 25．已知222x y +=，且x y ≠，求()()2211x y x y ++-的最小值．26．已知函数()2f x m x =-+，m R ∈，且()20f x -≥的解集为[]3,3-. （1）求m 的值；（2）若a ，b ，c 是正实数，且23++=a b c m ，求证：111323a b c++≥.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】利用柯西不等式可求得32a b +的最大值. 【详解】224a b +=，由柯西不等式可得()()()222223232a b a b ++≥+，即()23213452a b +≤⨯=，32a b ∴-+≤当且仅当a =b =时，32a b +取得最大值.因此，32a b +的最大值为 故选：B. 【点睛】本题考查利用柯西不等式求最值，解答的关键在于对代数式进行合理配凑，考查计算能力，属于基础题.2．B解析：B 【分析】将y =y =不等式求得2y 的最小值，从而可求出y 的最小值.【详解】y ==根据柯西不等式，得222(1)2(3)5y x x =-++-++22(1)2(3)52[(1)(3)x x x x ≥-++-++--2[(1)(3)]2511x x =-+-++++当且仅当13x x -=-，即13x =时等号成立.此时，min 1y ==，故选：B. 【点睛】本题主要考查利用柯西不等式求最小值的问题，属于基础题.3．C解析：C 【分析】. 【详解】由题意，()()2111318a b ≤++++=，=∴当72a =，32b =时，故选：C. 【点睛】本题考查了函数的最值，考查柯西不等式的运用，正确运用柯西不等式是关键.属于较易题.4．B解析：B 【解析】 【分析】利用柯西不等式得出最小值． 【详解】 （x 224y +）（y 221x+）≥（x 12y x y ⋅+⋅）2＝9．当且仅当xy 2xy=即xy=时取等号． 故选：B ． 【点睛】本题考查了柯西不等式的应用，熟记不等式准确计算是关键，属于基础题．5．B解析：B 【解析】 【分析】由题意结合数列求和的问题将原问题转化为柯西不等式的问题，然后利用柯西不等式求解最值即可，注意等号成立的条件. 【详解】由题意可得：()()135212462117n m ⎡⎤++++-+++++≤⎣⎦，结合等差数列前n 项和公式有：22117n m m ++≤，配方可得：22146924n m ⎛⎫++≤ ⎪⎝⎭，结合柯西不等式有：()2222213232322n m n m ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+++≥++⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，即：23469231324n m ⎛⎫++≤⨯ ⎪⎝⎭，据此可得：32337.541642n m +≤≈， 由于23n m +为整数，故2337n m +≤，事实上，1+2+3+4+5+6+7+8+10+11+12+14+16+18=117 此时5个奇数,9个偶数,得到5×2+9×3=37,故3m +2n 的最大值是37. 本题选择B 选项. 【点睛】柯西不等式有代数形式和向量形式两种不同的形式.从解决问题的角度看，受思维特点和知识熟悉程度影响，不同的人会喜欢不同的处理方式.从柯西不等式的地位与作用看，由于柯西不等式是经典不等式，向量形式只是其中一种，利用代数形式研究一些相对复杂的问题更让人们所习惯.同时需要注意综合各个部分知识的应用和等号成立的条件.6．A解析：A 【分析】由题求得OP 的坐标，求得OP ，结合424x y z ++=可得答案.【详解】(),,x y y z =+ ，()222OP x y y z =+++利用柯西不等式可得()()()22222224214216x y y z x y z ⎡⎤⎡⎤+-++++≥++=⎣⎦⎣⎦21621OP ∴≥. 故选A. 【点睛】本题考查空间向量的线性坐标运算及空间向量向量模的求法，属基础题.7．C解析：C 【解析】 【分析】首先求得平方的最大值，然后确定y 的最大值即可. 【详解】函数有意义，则210x -≥，即11x -≤≤， 且()()22222211211222x x y x x ⎡⎤+-⎢⎥=+-≤+=⎢⎥⎣⎦， 则y =x 21x +-2 当且仅当221x x =-，即2x =时等号成立. 本题选择C 选项. 【点睛】本题主要考查函数最值的求解，均值不等式的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.8．B解析：B 【解析】由柯西不等式可得(()()2222222111111b aa ab b ⎡⎤⎡⎤=--≤+--+=⎣⎦⎣⎦， 2211b a-=-时，上式取等号，所以2211ab a b =--()()222211a b a b =--，故221a b +=．故选B ．9．D解析：D 【解析】2221,a b c a b b c c a ++=∴+++++()1112++a b c a b b c c a ⎛⎫=⋅++ ⎪+++⎝⎭()()()()21111119a b b c c a a b b c c a ⎛⎫⎡⎤=+++++⋅++≥++= ⎪⎣⎦+++⎝⎭，当且仅当13a b c ===时等号成立，故选D.【易错点晴】本题主要考查利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用≥或≤时等号能否同时成立）.10．D解析：D 【解析】()()()22222221111119,3a b c a b c a b c ++++≥⨯+⨯+⨯=∴++≥，1a b c ===时等号成立，故选D. 11．D解析：D 【解析】21110,,1,()3()33,()111a b c a b c ab bc ca a b c a b c<<∴++≥++=∴++≥++---(1a -+11)b c -+-2111111[(1)(1)(1)]9,111111a b c a b c a b c-+-+-=∴++≥------9(111)a b c -+-+-≥=D.，故选 【点睛】本题考查柯西不等式，涉及转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于中档题.本题想用基本不等式公式求得a b c ++≥利用柯西不等式公式求得111()(111)111a b c a b c++-+-+----9,≥从而求得1119111(111)a b c a b c ++≥≥=----+-+- 12．D解析：D 【解析】试题分析：根据条件：a ＜b ＜c ，x ＜y ＜z ，结合排序不等式：反序和≤乱序和≤同序和，即可得出同序和ax+by+cz 最大． 解：∵a ＜b ＜c ，x ＜y ＜z ，排序不等式：反序和≤乱序和≤同序和， 得：同序和ax+by+cz 最大． 故选D ．点评：本题主要考查了不等关系与不等式、排序不等式等基本知识，解答关键是利用不等关系与不等式的性质：反序和≤乱序和≤同序和．二、填空题13．3【分析】利用条件构造柯西不等式即可【详解】由题得所以所以所以的最大值为3故答案为：3【点睛】该题考查的是有关利用柯西不等式求最值的问题属于基础题目解析：3 【分析】利用条件构造柯西不等式()22222221(3)49112x y z x y z ⎛⎤⎛⎫++≤++++ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎥⎝⎦即可 【详解】由题得()()()()22222221231132x y z x y z ⎡⎤⎛⎫⎡⎤++++≥++⎢⎥ ⎪⎣⎦⎝⎭⎢⎥⎣⎦，所以()29434x y z ⨯≥++，所以333x y z -≤++≤， 所以3x y z ++的最大值为3 故答案为：3. 【点睛】该题考查的是有关利用柯西不等式求最值的问题，属于基础题目.14．2【分析】根据题意得到再由柯西不等式即可求出结果【详解】因为均为非负数且则所以由柯西不等式可得：所以；当且仅当即由解得：即时等号成立故答案为：2【点睛】本题主要考查由柯西不等式求最值熟记柯西不等式即解析：2 【分析】根据题意得到()()()1419118a b c +++++=，再由柯西不等式，即可求出结果. 【详解】因为a ，b ，c 均为非负数，且494a b c ++=，则()()()1419118a b c +++++=， 所以由柯西不等式可得：()()()()21419111123361111a b a b c c ⎛⎫++≥++=⎡⎤ ++++⎪⎣⎦+++⎝+⎭， 所以11136211118a b c ++≥=+++；==12233a b c +=+=+， 由12233494a b c a b c +=+=+⎧⎨++=⎩解得：2120a b c =⎧⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩，即12,,02a b c ===时，等号成立. 故答案为：2. 【点睛】本题主要考查由柯西不等式求最值，熟记柯西不等式即可，属于常考题型.15．①③④【解析】【分析】由题意逐一考查所给的四个说法的正误即可【详解】逐一考查所给的四个说法：则说法①正确；当时不成立说法②错误；由绝对值三角不等式的性质可得：|x−2|+|y+2|⩾|(x−2)+( 解析：①③④ 【解析】 【分析】由题意逐一考查所给的四个说法的正误即可. 【详解】逐一考查所给的四个说法：()()()()222222321110x y z x y z x y z +++-++=-+-+-≥，则()22232x y z x y z +++≥++，说法①正确；当1x y ==-时，2x y+≥②错误；由绝对值三角不等式的性质可得：|x −2|+|y +2|⩾|(x −2)+(y +2)|=|x +y |，说法③正确； ()()()()222222102x y z xy yz zx x y y z z x ⎡⎤++-++=-+-+-≥⎣⎦， 则222x y z xy yz zx ++≥++，说法④正确. 综上可得，一定成立的不等式的序号是①③④. 【点睛】本题主要考查不等式的性质，利用不等式求最值，均值不等式成立的条件等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.16．【解析】由柯西不等式得（2x2+y2+3z2）（+1+）≥（x+y+z ）2=1∴2x2+y2+3z2≥即的最小值为故答案为： 解析：611【解析】由柯西不等式得，（2x 2+y 2+3z 2）（12+1+13）≥（x+y+z ）2=1 ∴2x 2+y 2+3z 2≥611，即22223x y z ++的最小值为611故答案为：611． 17．25【解析】故答案为【方法点睛】本题主要考查了一般形式的柯西不等式属于中档题解决问题的关键是利用柯西不等式求最值时关键是对原目标函数进行配凑以保证出现常数结果同时要注意等号成立的条件配凑过程采取如下解析：25 【解析】()222229232321212212212y x x x x x x x x ⎛⎫⎡⎤=+=+=++- ⎪⎣⎦---⎝⎭225≥=，故答案为25.【方法点睛】本题主要考查了一般形式的柯西不等式，属于中档题. 解决问题的关键是利用柯西不等式求最值时， 关键是对原目标函数进行配凑，以保证出现常数结果.同时，要注意等号成立的条件, 配凑过程采取如下方法：一是考虑题设条件；二是对原目标函数进行配凑后利用柯西不等式解答18．【分析】直接利用柯西不等式列式化简后可求得最大值【详解】由柯西不等式得即即【点睛】本小题主要考查利用利用柯西不等式求最大值考查化归与转化的数学思想方法属于基础题【分析】直接利用柯西不等式列式，化简后可求得最大值. 【详解】 由柯西不等式得222222111112⎡⎤⎫⎡⎤⎢⎥++++≥⎪⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎭⎝⎭⎣⎦，即()2542a b c ++≥≤. 【点睛】 本小题主要考查利用利用柯西不等式求最大值，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.19．9【详解】由柯西不等式可知解析：9【详解】 由柯西不等式可知2222211()(4)(12)9x y y x++≥+=． 20．【解析】试题分析：由柯西不等式得所以即考点：柯西不等式解析：k >【解析】试题分析：由柯西不等式得22(13)()x y ≤++，所以≤k >考点：柯西不等式三、解答题21．（1）答案见解析；（2）f (n )≤g(n )，证明见解析.【分析】（1）利用解析式计算、比较可得答案；（2）由（1）的结果猜想可得f (n )≤g(n )，再利用数学归纳法进行证明可得答案.【详解】（1）当n ＝1时，f (1)＝1，g(1)＝1，所以f (1)＝g(1)；当n ＝2时，f (2)＝98，g(2)＝118，所以f (2)＜g(2)； 当n ＝3时，f (3)＝251216，g(3)＝312216，所以f (3)＜g(3)． （2）由（1）猜想： f (n )≤g(n )，用数学归纳法证明．①当n ＝1，不等式显然成立．②假设当n ＝k (k ∈N *)时不等式成立，即1＋312＋313＋314＋＋31k ≤32－212k ， 则当n ＝k ＋1时， f (k ＋1)＝f (k )＋31(1)k +≤32－212k ＋31(1)k +22233111122(1)2(1)2(1)k k k k =-+-++++，因为212(1)k +－23112(1)k k ++＝332(1)k k ++－212k ＝32312(1)k k k --+＜0， 所以f (k ＋1)＜32－212(1)k +＝g(k ＋1)． 由①②可知，对一切n ∈N *，都有f (n )≤g(n )成立.【点睛】关键点点睛：掌握数学归纳法原理是本题解题关键.22．（1）证明见解析；（2）[]4,5-.【分析】（1）由柯西不等式即可证明；（2）可先化简计算221111x y ⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的最小值，再分2a ≥，1a 2-<<，1a ≤-三种情况讨论即可得到答案.【详解】（1）由柯西不等式得： 22222)11x x ⎡⎤⎛⎡⎤++≥⋅⎢⎥ ⎣⎦⎝⎢⎥⎣⎦， ()22243()13x y x y ∴+⨯≥+=， 当且仅当334x y ==时取等号， 22334x y ∴+≥； （2）由0,0x y >>，1x y +=， 得222211(1)(1)(1)(1)112111x x y y x y x y x y x y xy ⎛⎫+-+-++⎛⎫--=⋅=⋅=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 114x y xy=+≥≥ 当且仅当12x y ==时等号成立， 要使得不等式221111|2||1|a a x y ⎛⎫⎛⎫--≥-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭恒成立， 即可转化为|2||1|9a a -++≤，当2a ≥时，219a -≤，可得25a ≤≤，当1a 2-<<时，39≤，可得1a 2-<<，当1a ≤-时，219a -+≤，可得41a -≤≤-，a ∴的取值范围为：[]45-，.【点睛】易错点睛：本题主要考查柯西不等式，均值不等式，绝对值不等式的综合应用. 柯西不等式以及均值不等式注意等号成立的条件.23．（1）[]4,0-；（2）证明见解析【分析】（1）由314x x +++≤，分3,31,1x x x ≤--<<-≥-三种情况，分别解不等式，进而可得出答案；（2）先求出()f x 的最小值，进而利用柯西不等式，可证明结论成立.【详解】（1）()4f x ≤，即314x x +++≤，原不等式等价于3143x x x ⎧⎨----≤≤-⎩或33114x x x ⎧⎨+---≤<<-⎩或3141x x x ⎧⎨+++≤≥-⎩， 解得43x -≤≤-或31x -<<-或10x -≤≤，综上，原不等式的解集为[]4,0-.（2）因为()31312f x x x x x =+++≥+--=，所以函数()f x 的最小值2n =， 则正实数,,a b c ，满足2a b c ++=，由柯西不等式，可得()2411a b ca b c ⎛⎫++++≥ ⎪⎝⎭， 即()2411221116a b c ⎛⎫++≥++=⎪⎝⎭，当且仅当2a b c ==时，等号成立. 所以4118a b c++≥. 【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，考查不等式的证明，考查学生的推理能力与计算求解能力，属于中档题.24．1【解析】 试题分析：由柯西不等式得[]111(32)(32)(32)323232a b c a b c ⎛⎫+++++++ ⎪+++⎝⎭9≥=，所以1111323232a b c ++≥+++ 试题因为,,a b c 均为正数，且1a b c ++=，所以(32)(32)(32)9a b c +++++=． 于是由均值不等式可知[]111(32)(32)(32)323232a b c a b c ⎛⎫+++++++ ⎪+++⎝⎭9≥=， 当且仅当13a b c ===时，上式等号成立． 从而1111323232a b c ++≥+++． 故111323232a b c +++++的最小值为1．此时13a b c ===． 考点：柯西不等式25．1【分析】令,u x y v x y =+=-，得224u v ，利用柯西不等式可以求出. 【详解】令,u x y v x y =+=-，则,22u v u v x y ， 222x y +=，22()()8u v u v ∴++-=，得224u v ，由柯西不等式可得2222211114u v u v ， 即22111u v ， 当且仅当222u v ==，即2,0x y 或0,2x y 时，等号成立， 故()()2211x y x y ++-的最小值为1.【点睛】本题考查柯西不等式的应用,考查考生分析问题、解决问题的能力. 26．(1) 3m =;(2)证明见解析.【分析】(1)根据(2)0f x -≥的解集为[3,3]-,结合绝对值不等式的解法,即可求m 的值;(2)利用柯西不等式,即可证明结论.【详解】(1)依题意(2)||0f x m x -=-≥,即||x m m x m ≤-≤≤，，3m ∴=； (2)证明: 233(,,0)a b c a b c ++=>, 所以由柯西不等式得3=≤ 所以111323a b c ++≥,当且仅当23a b c ==,即111,,23a b c ===时取等号. 【点睛】本题考查含绝对值不等式的解法和柯西不等式的运用，属于中档题.。

课时作业(十三)1．若f(n)＝1＋12＋13＋…＋12n ＋1(n∈N ＋)，则当n ＝1时，f(n)为( )A ．1B ．1＋12C ．1＋12＋13D ．1＋12＋13＋14答案 C解析 当n ＝1时，2n ＋1＝2×1＋1＝3，故f(1)＝1＋12＋13.故选C.2．用数学归纳法证明11×2＋12×3＋13×4＋…＋1n （n ＋1）＝nn ＋1(n∈N ＋)时，从“n＝k 到n＝k ＋1”时，等式左边需增添的项是( ) A.1k ＋1 B.1k ＋2C.1k （k ＋1）D.1（k ＋1）（k ＋2）答案 D解析 当n ＝k(k∈N ＋)时，等号左边＝11×2＋12×3＋13×4＋…＋1k （k ＋1），当n ＝k ＋1时，等式左边＝11×2＋12×3＋13×4＋…＋1k （k ＋1）＋1（k ＋1）（k ＋2），所以当n ＝k 到n ＝k＋1时，等式左边需增添的项为1（k ＋1）（k ＋2）.故选D.3．设数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，S n ＝n 2a n (n∈N ＋)．试归纳猜想出S n 的表达式为( ) A.2nn ＋1B.2n －1n ＋1 C.2n ＋1n ＋2 D.2n n －1答案 A解析 因为a 1＝1，所以S 1＝1；又S 2＝4a 2＝a 1＋a 2， 所以3a 2＝1，所以a 2＝13，S 2＝43；又S 3＝9a 3＝S 2＋a 3，8a 3＝43，所以a 3＝16，所以S 3＝32＝64，由此可猜想S n ＝2nn ＋1(n∈N ＋)．4．设f(n)＝1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3＋…＋12n (n∈N ＋)，在利用数学归纳法证明时，从n ＝k 到n＝k ＋1需添的项为( ) A.12k ＋1B.12k ＋2C.12k ＋1＋12k ＋2D.12k ＋1－12k ＋2答案 D5．设平面内有k 条直线，其中任意两条不平行，任何三条不共点，设k 条直线的交点个数为f(k)，则f(k ＋1)与f(k)的关系是( ) A ．f(k ＋1)＝f(k)＋k ＋1 B ．f(k ＋1)＝f(k)＋k －1 C ．f(k ＋1)＝f(k)＋k D ．f(k ＋1)＝f(k)＋k ＋2答案 C解析 当n ＝k ＋1时，任取其中1条直线，记为l ，则除l 外的其他k 条直线的交点的个数f(k)，因为已知任何两条直线不平行，所以直线l 必与平面内其他k 条直线都相交(有k 个交点)；又因为已知任何三条直线不过同一点，所以上面的k 个交点两两不相同，且与平面内其他的f(k)个交点也两两不相同，从而平面内交点的个数是f(k)＋k ＝f(k ＋1)． 6．用数学归纳法证明“1＋a ＋a 2＋…＋a n ＋1＝1－a n ＋21－a(a≠1，n ∈N *)”时，在验证当n ＝1成立时，左边计算所得的结果是( ) A ．1 B ．1＋a C ．1＋a ＋a 2D ．1＋a ＋a 2＋a 3答案 C解析 左边n ＝1时，幂指数最大值为1＋1＝2，∴左边结果为1＋a ＋a 2.7．用数学归纳法证明n(n ＋1)(2n ＋1)能被6整除时，由归纳假设推证n ＝k ＋1时命题成立，需将n ＝k ＋1时的原式表示成( ) A ．k(k ＋1)(2k ＋1)＋6(k ＋1) B ．6k(k ＋1)(2k ＋1) C ．k(k ＋1)(2k ＋1)＋6(k ＋1)2D ．以上都不对答案 C8．记凸k 边形的内角和为f(k)，则凸k ＋1边形的内角和f(k ＋1)＝f(k)＋( ) A.π2 B ．π C.32π D ．2π答案 B解析 由凸k 边形变为凸k ＋1边形时，增加了一个三角形图形．故f(k ＋1)＝f(k)＋π.故选B.9．用数学归纳法证明命题“当n 是正奇数时，x n＋y n能被x ＋y 整除”时，第二步正确的证明方法是( )A ．假设n ＝k(k∈N *)时成立，证明n ＝k ＋1时命题成立 B ．假设n ＝k(k 是正奇数)时成立，证明n ＝k ＋1时命题也成立 C ．假设n ＝2k ＋1(k∈N *)时成立，证明n ＝2k ＋3时命题也成立 D ．假设n ＝2k －1(k∈N *)时成立，证明n ＝2k ＋1时命题也成立 答案 D解析 由完全归纳法知，只有当n 的初始值取值成立，且n ＝k 成立，能推出n ＝k ＋1时也成立，才可证明结论成立，两者缺一不可．A ，B 选项都是错误的，因为n 是正奇数．C 选项当k ＝1时的起始值为3，所以也不正确，故选D. 10．某学生在证明等差数列前n 项和公式时，证法如下： (1)当n ＝1时，S 1＝a 1显然成立．(2)假设当n ＝k(k≥1，k ∈N *)时，公式成立，即 S k ＝ka 1＋k （k －1）d2.当n ＝k ＋1时，S k ＋1＝a 1＋a 2＋…＋a k ＋a k ＋1＝a 1＋(a 1＋d)＋(a 1＋2d)＋…＋a 1＋(k －1)d ＋a 1＋kd ＝(k ＋1)a 1＋k （k ＋1）2d＝(k ＋1)a 1＋（k ＋1）[（k ＋1）－1]2 d.∴当n ＝k ＋1时公式成立．∴由(1)(2)可知对n∈N *，公式成立． 以上证明错误的是( )A ．当n 取第一个值1时，证明才对B ．归纳假设写法不对C ．从n ＝k 到n ＝k ＋1的推理中未用归纳假设D ．从n ＝k 到n ＝k ＋1的推理有错误 答案 C解析 因为没有用上归纳假设，所以是错误的．11．若凸k 边形对角线条数为f(k)，则凸k ＋1边形对角线条数f(k ＋1)＝f(k)＋________． 答案 k －1解析 凸k ＋1边形A 1A 2A 3…A k ＋1的对角线条数由下列三部分相加而得．①凸k 边形A 1A 2A 3…A k 的对角线条数f(k)．②A 1A k 由原凸k 边形的边变为凸k ＋1边形的对角线．③顶点A k ＋1与另外k －2个顶点A 2、A 3、…、A k －1生成k －2条对角线．所以，f(k ＋1)＝f(k)＋1＋(k －2)＝f(k)＋k －1.12．用数学归纳法证明：设f(n)＝1＋12＋13＋…＋1n ，则n ＋f(1)＋f(2)＋…＋f(n －1)＝nf(n)(n∈N *，且n≥2)第一步要证明的式子是________． 答案 2＋f(1)＝2f(2)解析 n ＝2时，等式左边＝2＋f(1)，右边＝2f(2)．13．用数学归纳法证明：(n ＋1)·(n＋2)·…·(n＋n)＝2n·1·3·…·(2n －1)，从k 到k ＋1左端需增乘的代数式为________． 答案 2(2k ＋1)解析 当n ＝k 时，(k ＋1)·(k＋2)·…·(k＋k)＝ 2k·1·3·…·(2k －1)，当n ＝k ＋1时，(k ＋2)·(k＋3)·…·2k·(2k＋1)·(2k＋2)＝2k ＋1·1·3·…·2k ·(2k＋1)．∴左端需增乘（2k ＋1）（2k ＋2）k ＋1＝2(2k ＋1)．14．用数学归纳法证明：1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n (n∈N *)．证明 (1)当n ＝1时，左边＝1－12＝12，右边＝12，命题成立．(2)假设当n ＝k(k≥1，且k∈N *)时命题成立，即有 1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＝1k ＋1＋1k ＋2＋ (12). 当n ＝k ＋1时，左边＝1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＋12k ＋1－12k ＋2＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ＋12k ＋1－12k ＋2 ＝1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋1＋12k ＋2. 从而可知，当n ＝k ＋1时，命题亦成立．由(1)(2)可知，命题对一切正整数n 均成立． 15．用数学归纳法证明对于整数n≥0，A n ＝11n ＋2＋122n ＋1能被133整除．证明 (1)当n ＝0时，A 0＝112＋12＝133能被133整除． (2)假设n ＝k 时，A k ＝11k ＋2＋122k ＋1能被133整除．当n ＝k ＋1时， A k ＋1＝11k ＋3＋122k ＋3＝11·11k ＋2＋122·122k ＋1＝11·11k ＋2＋11·122k ＋1＋(122－11)·122k ＋1＝11·(11k ＋2＋122k ＋1)＋133·122k ＋1.∴n ＝k ＋1时，命题也成立．根据(1)(2)，对于任意整数n≥0，命题都成立．1．对于不等式n 2＋n<n ＋1(n∈N ＋)，某学生用数学归纳法证明的过程如下： (1)当n ＝1时命题显然成立．(2)假设n ＝k(k∈N ＋，k ≥1)时原不等式成立，即k 2＋k<k ＋1，则n ＝k ＋1时，左边＝（k ＋1）2＋（k ＋1）＝k 2＋3k ＋2<（k 2＋3k ＋2）＋（k ＋2）＝（k ＋2）2＝(k ＋1)＋1.即n ＝k ＋1时原不等式也成立．由(1)(2)可知，原不等式一切n∈N ＋都成立． 对上述证明过程，下列说法正确的是( ) A ．过程全部分正确 B ．n ＝1时验证不正确C ．归纳假设不正确D ．从n ＝k 到n ＝k ＋1的推理不正确答案 D解析 上述过程中，n ＝1的验证及假设均正确，只是在(2)中的证明没有使用归纳假设，因此证明过程错误，故选D.2．证明：凸n(n∈N *，n ≥4)边形的对角线的条数f(n)＝12n(n －3)．证明 (1)当n ＝4时，f(4)＝12×4×(4－3)＝2，四边形有两条对角线，命题成立．(2)假设当n ＝k(k∈N *，k ≥4)时命题成立，即凸k 边形的对角线的条数f(k)＝12k(k －3)(k≥4)．当n ＝k ＋1时，凸(k ＋1)边形是在k 边形的基础上增加了一条边，增加了一个顶点A k ＋1，增加的对角线条数是顶点A k ＋1与不相邻顶点连线再加上原k 边形的一边A 1A k ，共增加的对角线条数为k －1.f(k ＋1)＝12k(k －3)＋k －1＝12(k 2－k －2)＝12(k ＋1)(k －2) ＝12(k ＋1)[(k ＋1)－3]． 故当n ＝k ＋1时，命题也成立．由(1)(2)可知，对于n≥4，n ∈N *命题成立．点评 用数学归纳法证明几何问题的关键是“找项”，即几何元素从k 个变成k ＋1个时，所证的几何量将增加多少．3．已知函数f(x)＝13x 3－x ，数列{a n }满足条件：a 1≥1，a n ＋1≥f ′(a n ＋1)．试比较11＋a 1＋11＋a 2＋11＋a 3＋…＋11＋a n与1的大小，并说明理由． 解析11＋a 1＋11＋a 2＋11＋a 3＋…＋11＋a n<1. 理由如下：因为f ′(x)＝x 2－1，a n ＋1≥f ′(a n ＋1)， 所以a n ＋1≥(a n ＋1)2－1.因为函数g(x)＝(x ＋1)2－1＝x 2＋2x 在区间[－1，＋∞)上单调递增，于是由a 1≥1，得a 2≥(a 1＋1)2－1≥22－1，进而得a 3≥(a 2＋1)2－1≥24－1>23－1， 由此猜想：a n ≥2n－1.下面用数学归纳法证明这个猜想： ①当n ＝1时，a 1≥21－1＝1，结论成立； ②假设当n ＝k(n∈N *)时结论成立， 即a k ≥2k－1，则当n ＝k ＋1时，由g(x)＝(x ＋1)2－1在区间[－1，＋∞)上单调递增知，a k ＋1≥(a k ＋1)2－1≥22k－1≥2k ＋1－1，即n ＝k ＋1时，结论也成立．由①，②知，对任意n∈N *，都有a n ≥2n－1. 即1＋a n ≥2n，所以11＋a n ≤12n .所以11＋a 1＋11＋a 2＋11＋a 3＋…＋11＋a n ≤12＋122＋123＋…＋12n ＝1－(12)n<1.。

一、选择题1．若实数231x y z ++=，则222x y z ++的最小值为（ ）A ．14B ．114C ．29D ．1292．若正数,,m n p 满足4m n p ++=，且()()()222222mn mn p n pn m p mp mnp λ+++++≥，则实数λ的取值范围为（ ）A ．(],6-∞B ．(],4-∞C ．(],12-∞D ．(],8-∞3．若正实数a b c 、、满足22ab bc ac a ++=-，则2a b c ++的最小值为（ ）A ．2B ．1C D ．4．设,,a b c R +∈，1a b c ++=，则下列选项中是假命题的是（ ）． A ．13ab bc ca ++≤B ．22213a b c ++≥ C ．33313a b c ++≥D ．1119a b c++≥ 5．已知,,a b c R +∈ ，则()()()222222a abc b b ac c c ab -+-+- 的正负情况是（ ）A ．大于零B ．大于等于零C ．小于零D ．小于等于零6．已知a ，b ，0c >，且1a b c ++=A ．3B ．C ．18D ．97．函数y ＝的最大值为（ ） A ．5 B ．8 C ．10 D ．12 8．已知向量a =(x -1,2),b =(4,y ),若a ⊥b ,则9x +3y 的最小值为( )A ．B ．4C ．12D ．69．已知a ＋b ＋c ＝1，且a ， b ， c ＞0，则 222a b b c a c+++++ 的最小值为( ) A ．1B ．3C ．6D ．910．用数学归纳法证明：11112321nn ++++<-，(*,1)n n ∈>N 时，在第二步证明从n k =到1n k =+成立时，左边增加的项数是（ ）． A ．2kB ．21k -C ．12k -D ．21k +11．设实数,,,,a b c d e 满足关系：8a b c d e ++++=，2222216a b c d e ++++=，则实数e 的最大值为（ ） A ．2B ．165C ．3D ．2512．若a ＜b ＜c ，x ＜y ＜z ，则下列各式中值最大的一个是（ ）A ．ax+cy+bzB ．bx+ay+czC ．bx+cy+azD ．ax+by+cz二、填空题13．设函数()221f x x x =--+的最大值为m . （1）求m 的值；（2）若a b m +=. 14．已知22326x y +=，则2x y +的最大值为__________． 15．已知x 2＋y 2＝10，则3x ＋4y 的最大值为______．16．已知实数,x y 4=，则22x y +的取值范围为___________.17．在三棱锥P ABC -中，三条侧棱PA 、PB 、BC 两两垂直，且PA=PB=3，PC=4，又M 是底面ABC 内一点，则M 到三个侧面的距离的平方和的最小值是________. 18．y=log sin x (x 3+2x 2+x)的定义域是_____.19．设向量(,)a b α=，(,)c d β=，其中a ，b ，c ，d R ∈，由不等式||||||⋅≤αβαβ恒成立，可以证明柯西不等式22222()()()a b c d ac bd ≥+++（当且仅当k αβ=，即ad bc =时等号成立）．已知x ，y R +∈<恒成立，利用柯西不等式可求得实数k 的取值范围为________________． 20．已知,,a b c ∈R,2229a b c ++=，23M a b c =++，则M 的最大值是___．三、解答题21．若,,a b c 为正实数，且满足231a b c ++=. （1）求abc 的最大值；（2）证明1. 22．设x ，y ，z 均为正实数，且24x y z ++=. （1）证明：22224x y z ++≥.（2.23．（1）已知函数()34f x x x =-+-，若()f x m <的解集不是空集，求实数m 的取值范围；（23a b c++≥. 24．已知函数()2f x m x =--，m ∈R ，且()1f x ≥的解集为{}13x x ≤≤. （1）求m 的值； （2）若,a b +∈R ，且112m a b a+=+，求3a b +的最小值.25．已知函数()22f x x x =+-的最小值为m . （1）求m 的值；（2）若实数a ，b 满足22a b m +=，求221112a b+++的最小值. 26．已知0a >，0b >，0c >.()1若abc a b c =++，求证：9ab bc ac ++≥；()2若3a b c ++=，求证：2223b c a a b c++≥.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】直接利用柯西不等式得到答案. 【详解】根据柯西不等式：()()2221492231x y zy z ++++≥++=，即222114xy z ++≥， 当且仅当114x =，17y =，314z =时等号成立. 故选：B. 【点睛】本题考查了柯西不等式，意在考查学生对于柯西不等式的应用能力.2．D解析：D 【分析】不等式化为222222m n p n m p p m nλ+++++≥，左边()222222444m n p n m p m n p pm n ⎛⎫+++=++++ ⎪⎝⎭，利用柯西不等式求出最小值即可求解.【详解】不等式化为222222m n p n m p p m nλ+++++≥，左边()222222444m n p n m p m n p pm n ⎛⎫+++=++++ ⎪⎝⎭()()()()222888m n p n m p m n p p m n ⎛⎫+++≥++++ ⎪ ⎪⎝⎭ ()218m n p n m p ≥+++++ 16488=⨯=， 所以8λ≤，实数λ的取值范围为(],8-∞. 故选：D3．D解析：D 【解析】分析：根据基本不等式的性质求出2a+b+c 的最小值即可． 详解：由题得：因为a 2+ac+ab+bc=2， ∴（a+b ）（a+c ）=2，又a ，b ，c 均为正实数， ∴2a+b+c=（a+b ）+（a+c ）当且仅当a+b=a+c 时，即b=c 取等号． 故选D.点睛：本题考查了绝对值的意义，考查基本不等式的性质，是一道基础题．4．C解析：C 【分析】根据基本不等式，判断AB 选项正确；举特殊值13a b c ===，可判断C 选项错误；根据柯西不等式，可判断D 选项正确. 【详解】 因为1a b c ++=，所以()21a b c ++=，即2222221a b c ab ac bc +++++=， 由基本不等式可得：222222a b c ab ac bc +++++222222222333222a b a c c b ab ac bc ab ac bc +++≥=+++++++，所以13ab bc ca ++≤，当且仅当a b c ==时，等号成立；故A 正确；又()()()222222222222222a b c a b c a b a c b c ab ac bc ++++++++++≤+++即222222332223a b c a b c ab ac bc +++++++≤， 所以22213a b c ++≥，当且仅当a b c ==时，等号成立；故B 正确； 因为,,a b c R +∈，1a b c ++=，若13a b c ===，则3331111127272793a b c ++=++=<，所以33313a b c ++≥不正确；故C 错；由柯西不等式得：()21119a b c a b c ⎛⎫++++≥= ⎪⎝⎭， 即1119a b c++≥==，即13a b c ===时，等号成立，故D 正确. 故选：C. 【点睛】本题主要考查不等式性质的应用，灵活运用基本不等式以及柯西不等式即可，属于常考题型.5．B解析：B 【分析】设0a b c >，所以333a b c ，根据排序不等式即可得出答案. 【详解】设0a b c >，所以333a b c根据排序不等式得333333a a b b c c a b b c c a ⋅+⋅+⋅++又ab ac bc ，222a b c ，所以333222a b b c c a a bc b ca c ab ++++. 所以444222a b c a bc b ca c ab ++++ 即()()()2222220aabc b b ac c c ab-+-+-.故选：B 【点睛】本题主要考查了排序不等式的应用，属于中档题.6．B解析：B 【分析】先利用柯西不等式求得2的最大值，由此求得.【详解】 由柯西不等式得：()2222222111⎡⎤≤++++⎢⎥⎣⎦()33318a b c =⨯+++=⎡⎤⎣⎦≤13a b c ===时，等号成立，故选B.【点睛】本小题主要考查利用柯西不等式求最大值，属于基础题.7．C解析：C 【分析】利用向量的关系a b a b ⋅≤⋅，可设向量()4,3a =，(3,b x =-，然后进行求解即可 【详解】由已知得，函数的定义域为37x ≤≤，设向量()4,3a =，(3,b x =-，则5a =，2b =，10a b a b ⋅≤⋅=，当且仅当a b 时，即0=时，等号成立，解得13925x =，属于定义域范围， 所以，该函数y 可以取得最大值为10 答案选C 【点睛】本题考查向量中的最值问题，属于中档题8．D解析：D 【解析】 【分析】首先由向量垂直的充分必要条件得到x ,y 的等式关系，然后利用均值不等式的结论整理计算即可求得最终结果. 【详解】∵a ⊥b ,∴4(x-1)+2y=0. ∴2x+y=2,∴y=2-2x ,∴9x +3y =9x +32-2x =32x +32-2x ≥ 6.=当且仅当32x =32-2x ,即x 1,12y ==时等号成立. 本题选择D 选项. 【点睛】本题的核心在考查基本不等式求最值的方法.在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．9．D解析：D 【解析】2221,a b c a b b c c a ++=∴+++++()1112++a b c a b b c c a ⎛⎫=⋅++ ⎪+++⎝⎭()()()()21111119a b b c c a a b b c c a ⎛⎫⎡⎤=+++++⋅++≥++= ⎪⎣⎦+++⎝⎭，当且仅当13a b c ===时等号成立，故选D.【易错点晴】本题主要考查利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用≥或≤时等号能否同时成立）.10．A解析：A 【解析】从n k =到1n k =+成立时，左边增加的项为1111,,,22121k kk ++- ，因此增加的项数是21012k k --+= ，选A.11．B解析：B 【解析】解：根据柯西不等式可知：4(a 2+b 2+c 2+d 2)=(1+1+1+1)(a 2+b 2+c 2+d 2)≥(a +b +c +d )2， ∴4(16-e 2)≥(8-e )2，即64-4e 2≥64-16e +e 2， ∴5e 2-16e ≤0， ∴0≤e ≤165， 本题选择B 选项.点睛：根据柯西不等式的结构特征，利用柯西不等式对有关不等式求解最值，需要对不等式变形，使之与柯西不等式有相似的结构，从而应用柯西不等式．12．D解析：D 【解析】试题分析：根据条件：a ＜b ＜c ，x ＜y ＜z ，结合排序不等式：反序和≤乱序和≤同序和，即可得出同序和ax+by+cz 最大．解：∵a ＜b ＜c ，x ＜y ＜z ，排序不等式：反序和≤乱序和≤同序和， 得：同序和ax+by+cz 最大． 故选D ．点评：本题主要考查了不等关系与不等式、排序不等式等基本知识，解答关键是利用不等关系与不等式的性质：反序和≤乱序和≤同序和．二、填空题13．（1）3；（2）【分析】（1）分段讨论去掉函数的绝对值号即可（2）把转化成然后利用柯西不等式即可【详解】解：（1）函数所以在区间内单调递增在区间内单调递减故的最大值；（2）由柯西不等式得由己知得故所解析：（1）3；（2） 【分析】（1）分段讨论去掉函数的绝对值号即可（21=【详解】解：（1）函数()4,12213,124,2x x f x x x x x x x +≤-⎧⎪=--+=--<<⎨⎪--≥⎩， 所以()f x 在区间(],1-∞-内单调递增，在区间[)1,-+∞内单调递减. 故()f x 的最大值()13m f =-=； （2）由柯西不等式，得1=.由己知3ab +=故所求最大值为1a =，2b =取得）. 【点睛】考查求含两个绝对值号的不等式的最值求法和用柯西不等式求最值，中档题.14．【分析】由柯西不等式中的代入即可得出【详解】令代入柯西不等式∴的最大值为故答案为：【点睛】本题考查柯西不等式求最值考查函数与方程思想转化与化归思想考查逻辑推理能力运算求解能力【分析】由柯西不等式2222211221212()()()a b a b a a b b +++中的1a=，2a，1b =22b =代入即可得出. 【详解】令1a =，2a ，1b =22b = 代入柯西不等式2222211221212()()()a b a b a a b b +++， ∴2224111(2)(32)()611326x y x y +++⨯=11211x y+2x y ∴+．． 【点睛】本题考查柯西不等式求最值，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力．15．【分析】由二维柯西不等式即可得解【详解】解：∵(32＋42)(x2＋y2)≥(3x ＋4y)2当且仅当3y ＝4x 时等号成立∴25×10≥(3x ＋4y)2即∴(3x ＋4y)max ＝5故答案为：5【点睛】【分析】由二维柯西不等式即可得解. 【详解】解：∵(32＋42)(x 2＋y 2)≥(3x ＋4y )2， 当且仅当3y ＝4x 时等号成立， ∴25×10≥(3x ＋4y )2，即34x y -≤+≤ ∴(3x ＋4y )max ＝.故答案为： 【点睛】本题考查了柯西不等式，重点考查了柯西不等式的应用，属基础题.16．【分析】直接利用柯西不等式化简即可【详解】由柯西不等式可得所以即所以故答案为：【点睛】本题考查了柯西不等式将原式变形得出含有待求代数式的式子是解题的关键属于基础题 解析：[3,5]【分析】直接利用柯西不等式，化简即可. 【详解】由柯西不等式可得，()222222(1)(1)142x y x y x y +++-+-+≤=≤， 所以222222(1)(1)412x y x y x y +++-+≤=++，即2235x y ≤+≤所以22[3,5]x y +∈. 故答案为：[]3,5 【点睛】本题考查了柯西不等式，将原式变形得出含有待求代数式的式子是解题的关键，属于基础题.17．【分析】利用等体积转化法求出M 到三个侧面的距离的关系式构造柯西不等式即可求解【详解】由PAPBBC 两两垂直可得平面设M 到三个侧面的距离分别为则化简得由柯西不等式知即当且仅当即时取等号故答案为【点睛】 解析：1641【分析】利用等体积转化法，求出M 到三个侧面的距离的关系式，构造柯西不等式，即可求解. 【详解】由PA 、PB 、BC 两两垂直，可得PA ⊥平面PBC ，设M 到三个侧面,,PAB PAC PBC 的距离分别为,,x y z ，则11113334343222113432M PAB M PAC M PBC A PBC V V V x y z V ----⎛⎫++=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭==⨯⨯⨯ 化简得3444x y z ++=，由柯西不等式知，()()2222222344()344x y z x y z ++++≥++，即2221641x y z ++≥，当且仅当344x y z ==，即1216,4141x y z ===时取等号.故答案为1641【点睛】本体主要考查三棱锥的体积及利用柯西不等式求最值，注意等号成立的条件，考查推理论证与运算求解能力，属于基础题.18．【解析】【分析】由题意得到关于x 的不等式组求解不等式组即可确定函数的定义域【详解】∴2kπ<x<(2k+1)π且x≠2kπ即函数的定义域为【点睛】求函数的定义域其实质就是以函数解析式有意义为准则列出解析：πx|2k πx (2k 1)π,x 2k π,k 0,1,2,?2⎧⎫<<+≠+=⎨⎬⎩⎭且【解析】【分析】由题意得到关于x 的不等式组，求解不等式组即可确定函数的定义域.【详解】32020,0101,x x x x sinx sinx >⎧++>⎧∴⎨⎨<<<<⎩⎩. ∴2kπ<x<(2k+1)π,且x ≠2kπ,0,1,2,2k π+=⋯. 即函数的定义域为|2(21),2,0,1,2,?2x k x k x k k ππππ⎧⎫<<+≠+=⎨⎬⎩⎭且. 【点睛】求函数的定义域，其实质就是以函数解析式有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集即可． 19．【解析】因为所以所以因为恒成立所以故实数的取值范围为解析：(10,)+∞【解析】因为()()()22222a b c d ac bd ++≥+，所以()()()222313x y x y +≤++，所以310x y x y +≤+，因为x ，y R +∈，3x y k x y +<+恒成立，所以10k >．故实数k 的取值范围为()10,+∞．20．【解析】试题分析：由柯西不等式式易知所以即是故应填入考点：1复数的概念；2虚数的定义；3纯虚数的定义解析：． 【解析】试题分析：由柯西不等式式易知()()()222222212323a b c a b c ++++≥++，所以23914a b c ++⨯23314a b c ++≤314考点：1．复数的概念；2．虚数的定义；3．纯虚数的定义．三、解答题21．（1）1162；（2）证明见解析. 【分析】（1）根据三元基本不等式得到323323a b c a b c ++≥⋅⋅abc 的最大值； （2）根据柯西不等式得到()211123a b c a b c ⎛⎫ ⎪⎝++++≥⎭，结合条件可完成证明.【详解】（1）因为,,a b c 为正实数，231a b c ++=所以123a b c =++≥=即1162abc ≤ 当且仅当1233a b c ===时等号成立， 所以abc 的最大值为1162； （2）由柯西不等式:()(22111231a b c a b c ++++≥=+⎪ ⎛⎫⎝⎭1≥当且仅当a ==，即a b c ===时取等号. 【点睛】结论点睛：基本不等式和柯西不等式的推广形式如下：（1）若12,,...,n a a a 为n个正数，则12...n a a a n+++≥12...n a a a ===时取等号；（2）设1212,,...,,,,...,n n a a a b b b 为实数，则()()112222222212121122.........n n n n a a a b b b a b a b a b ++++++≥+++， 其中等号成立1212...n na a ab b b ⇔===（当某0j b =时，认为0j a =，1,2,3,...,j n =）. 22．（1）证明见解析；（2.【分析】（1）利用基本不等式得212x x +≥，212y y +≥，212z z +≥，由此可证明不等式成立；（2）利用柯西不等式求最大值．【详解】（1）证明：因为212x x +≥，()2214y y +≥，212z z +≥， 所以()22224228x y z x y z +++≥++=，即22224x y z ++≥， 当且仅当1x y z ===时，等号成立，所以不等式得证.（2）解：由柯西不等式，得()()(22424x y z ++++≥， 当且仅当2424x y z ==，即85x z ==，25y =时，等号成立.因为24x y z ++=，所以210≤，.【点睛】思路点睛：本题考查不等式的证明，证明方法是基本不等式和柯西不等式．基本基本不等式可以看作是柯西不等式的二维形式的特例．如果用基本不等式求最值，注意取得最值的条件：一正二定三相等，一个都不能少．第（1）小题也可以利用柯西不等式证明：2222(2)(121)(2)16x y z x y z ++++≥++=，当且仅当1x y z ===时等号成立． 23．（1）()1,+∞；（2）证明见解析．【分析】（1）由绝对值三角不等式可得()341f x x x =-+-≥，由题意有()min m f x >，从而求出答案；（2）（法一）由重要不等式可得222a b c ab ac bc ++++≥，由此可证明()222239a b c a b c ++++≥，由此可证结论； （法二）直接利用柯西不等式证明即可．【详解】解：（1）由绝对值三角不等式可得， ()34f x x x =-+-()()341x x ≥---=，当且仅当()()340x x --≤即34x ≤≤时等号成立，∵()f x m <的解集不是空集，∴()min 1m f x >=，∴实数m 的取值范围是()1,+∞；（2）（法一）∵222a b ab +≥，222a c ac +≥，222b c bc +≥，当且仅当a b c ==时等号成立，∴()()()222222222a b a c b ab ac c c b ++++++≥+，即222a b c ab ac bc ++++≥，当且仅当a b c ==时等号成立， ∴()222222222392a b c a b c a b c +++++++=()22229ab c a a bc b c +++++≥， 当且仅当a b c ==时等号成立， 即()222239a b c a b c ++++≥，∴3a b c ++≥． （法二）由柯西不等式可得， ()()()2222222111a b c a b c ++≥++++，当且仅当a b c ==时等号成立， ∴()222239a b c a b c ++++≥，∴3a b c ++≥． 【点睛】本题主要考查绝对值不等式的应用，考查不等式的证明，本题第一问的关键在于利用绝对值的几何意义借助绝对值三角不等式进行求解，第二问方法一的关键在于利用重要不等式得到222a b c ab ac bc ++++≥，方法二的关键在于理解并掌握柯西不等式，考查转化与化归思想，考查推理能力，属于中档题．24．（1）2m =；（2）2.【分析】（1）先整理()1f x ≥，可得21x m -≤-，利用解绝对值不等式的方法去绝对值即可得出结论；（2）利用已知条件和柯西不等式求解即可.【详解】（1）()1f x ≥即21m x --≥， 得21x m -≤-，∴()121m x m --≤-≤-，得31m x m -+≤≤+∵()1f x ≥的解集是{}13x x ≤≤，得3113m m -+=⎧⎨+=⎩， 2m =，∴2m =.（2）由（1）得1122a b a+=+，由柯西不等式得，222224⎡⎤⎡⎤⎢⎥+⋅+≥=⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦.即()224a b a++=，得32a b+≥.当12a=，32b=时，等号成立.∴3a b+的最小值是2.【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的解法和柯西不等式.属于较易题.25．（1）2m=；（2）45【分析】（1）由绝对值三角不等式可得()()222f x x x x x≥+--=+≥，即可得解；（2）由柯西不等式可得()222221112(11)12a ba b⎛⎫++++≥+⎪++⎝⎭，结合222a b+=即可得解.【详解】（1）由题意()()2222f x x x x x x x x=++-≥+--=+≥，当且仅当0x=时等号成立，故2m=；（2）由题意222a b+=，由柯西不等式得()222221112(11124)a ba b⎛⎫++++≥+⎪++⎭=⎝，当且仅当232a=，212b=时，等号成立，∴222211441235a b a b+≥=++++，故221112a b+++的最小值为45.【点睛】本题考查了绝对值三角不等式与柯西不等式的应用，属于中档题.26．()1证明见解析；()2证明见解析.【分析】()1根据已知可得1111ab bc ca++=，由柯西不等式求证即可；()2利用基本不等式求证即可.【详解】解：()1证明：由abc a b c=++得，1111ab bc ca++=，由柯西不等式，()()21111119ab bc ca ab bc ca ⎛⎫++++≥++= ⎪⎝⎭. ∴9ab bc ac ++≥，等号成立的条件为a b c ===()2证明：0a >，0b >，0c >. ∴()222b c a a b c a b c+++++ ()2222b c a a b c a b c a b c=+++++≥++ 即222b c a a b c a b c++≥++， 当且仅当1a b c ===时等号成立.又3a b c ++=，∴2223b c a a b c++≥. 【点睛】本题考查柯西不等式与基本不等式的运用，考查逻辑推理能力，属于中档题.。

第2课时综合法、放缩法课后篇巩固探究A组1.下面对命题“函数f(x)=x+是奇函数”的证明不是综合法的是()A.∀x∈R,且x≠0有f(-x)=(-x)+-=-=-f(x),则f(x)是奇函数B.∀x∈R,且x≠0有f(x)+f(-x)=x++(-x)+-=0,∴f(x)=-f(-x),则f(x)是奇函数C.∀x∈R,且x≠0,∵f(x)≠0,∴---=-1,∴f(-x)=-f(x),则f(x)是奇函数D.取x=-1,f(-1)=-1+-=-2,又f(1)=1+=2,f(-1)=-f(1),则f(x)是奇函数解析:D项中,选取特殊值进行证明,不是综合法.答案:D2.已知三角形的三边长分别为a,b,c,设M=,N=,Q=,则M,N与Q的大小关系是()A.M<N<QB.M<Q<NC.Q<N<MD.N<Q<M答案:D3.若1<x<10,则下面不等式正确的是()A.(lg x)2<lg x2<lg(lg x)B.lg x2<(lg x)2<lg(lg x)C.(lg x)2<lg(lg x)<lg x2D.lg(lg x)<(lg x)2<lg x2解析:因为1<x<10,所以0<lg x<1,所以0<(lg x)2<lg x,lg x2=2lg x>lg x>0.又lg(lg x)<0,所以lg(lg x)<(lg x)2<lg x2.答案:D4.设M=+…+-,则()A.M=1B.M<1C.M>1D.M与1大小关系不确定解析:分母全换成210,共有210个单项.答案:B5.设a,b∈R+,A=,B=,则A,B的大小关系是()A.A≥BB.A≤BC.A>BD.A<B解析:∵A2=()2=a+2+b,B2=()2=a+b,∴A2-B2>0.又A>0,B>0,∴A>B.答案:C6.设x1,x2是方程x2+px+4=0的两个不相等的实数根,则()A.|x1|>2,且|x2|>2B.|x1+x2|<4C.|x1+x2|>4D.|x1|=4,且|x2|=16解析:由方程有两个不等实根知Δ=p2-16>0,故|p|>4.又x1+x2=-p,所以|x1+x2|=|p|>4.答案:C7.等式“-”的证明过程:“等式两边同时乘-得,左边=--=1,右边=1,左边=右边,故原不等式成立”,应用了的证明方法.(填“综合法”或“分析法”)答案:综合法8.若a>c>b>0,则---的符号是.(填“正”或“负”)解析:------=----=---=---.因为a>c>b>0,所以a-b>0,a-c>0,b-c<0,abc>0,所以---<0.答案:负9.已知S n=+…+,求证:对于正整数m,n,当m>n时,|S m-S n|<.证明记a k=(k∈N+),则|a k|≤.于是,当m>n时,|S m-S n|=|a n+1+a n+2+…+a m|≤|a n+1|+|a n+2|+…+|a m|≤+…+---=--.10.导学号35664020在△ABC中,已知△ABC的面积为,外接圆半径为1,三边长分别为a,b,c,求证:.证明∵S=,R=1,S=,∴abc=1,且a,b,c不全相等,否则a=1与a=2R sin 60°=矛盾,∴=bc+ac+ab.又bc+ac≥2=2,ca+ab≥2=2,bc+ab≥2=2.∵a,b,c不全相等,∴上述三式中的等号不能同时成立.∴2(bc+ac+ab)>2(),即bc+ac+ab>.∴.B组1.下列四个命题中,不正确的是()A.若0<α<,则cos(1+α)<cos(1-α)B.若0<a<1,则->1+a>2C.若实数x,y满足y=x2,则log2(2x+2y)的最小值是D.若a,b∈R,则a2+b2+ab+1>a+b解析:若0<α<,则0<1-α<1+α<,又函数y=cos x在上是减少的,故选项A正确.当0<a<1时,--(1+a)=->0,∴->1+a.1+a≥2等号成立时,a=1不成立,∴1+a>2.故选项B正确.2(a2+b2+ab+1)-2(a+b)=(a2-2a+1)+(b2-2b+1)+(a2+2ab+b2)=(a-1)2+(b-1)2+(a+b)2≥0,当且仅当a-1=0,b-1=0,a+b=0同时成立时取得等号,但这显然不成立,∴等号取不到,故选项D正确.答案:C2.已知a,b∈R+,则下列各式成立的是()A.cos2θ·lg a+sin2θ·lg b<lg(a+b)B.cos2θ·lg a+sin2θ·lg b>lg(a+b)C.=a+bD.>a+b解析:cos2θ·lg a+sin2θ·lg b<cos2θ·lg(a+b)+sin2θ·lg(a+b)=lg(a+b).答案:A3.已知x,y∈R,且1≤x2+y2≤2,z=x2+xy+y2,则z的取值范围是.解析:∵-≤xy≤,∴ (x 2+y 2)≤x 2+xy+y 2≤(x 2+y 2).又1≤x 2+y 2≤2,∴≤z ≤3.答案:4.log 23与log 34的大小关系是 . 解析:log 23-log 34== --= --=0,所以log 23-log 34>0,所以log 23>log 34. 答案:log 23>log 34 5.已知a ∈R +,则从大到小的顺序为 .解析:因为 =2 =2 ,所以2 <2 .所以>>. 答案:>>6.已知n ∈N +,求证: +…+. 分析利用来证明. 证明∵, ∴ +…+< +…+==. 7.导学号35664021已知数列{x n }的通项公式为x n =,求证:x 1·x 3·x 5·…· --.证明因为--- ·-=1,所以 - -,所以x1·x3·x5·…·-×…×--.又因为--,所以x1·x3·x5·…·--.。

第二章 §3 3.1、2一、选择题1．用数学归纳法证明“2n >n 2＋1对于n >n 0的正整数n 都成立”时，第一步证明中的起始值n 0应取( )A ．2B ．3C ．5D ．6解析： 使2n >n 2＋1，经过计算知应选C ．答案： C2．用数学归纳法证明“当n 为正奇数时，x n ＋y n 能被x ＋y 整除”的第二步是( )A ．假使n ＝2k ＋1时正确，再推n ＝2k ＋3正确B ．假使n ＝2k －1时正确，再推n ＝2k ＋1正确C ．假使n ＝k 时正确，再推n ＝k ＋1正确D ．假使n ≤k (k ≥1)时正确，再推n ＝k ＋2时正确(以上k ∈N ＋)解析： 因为是奇数，所以排除C 、D ，又当k ∈N *时，A 中2k ＋1取不到1，所以选B ． 答案： B3．在数列{a n }中，a 1＝13，且S n ＝n (2n －1)a n ，通过求a 2，a 3，a 4，猜想a n 的表达式为( ) A ．1(n －1)(n ＋1)B ．12n (2n ＋1)C ．1(2n －1)(2n ＋1)D ．1(2n ＋1)(2n ＋2)解析： 经过a 1＝13可算出a 2＝13×5，a 3＝15×7，所以选C ． 答案： C4．用数学归纳法证明“1＋12＋13＋…＋12n －1<n (n ∈N ＋，n >1)”时，由n ＝k (k >1)时不等式成立，推证n ＝k ＋1时，左边应增加的项数是( )A ．2k －1B ．2k －1C ．2kD ．2k ＋1 解析： 由k 到k ＋1，则左边增加了12k ＋12k ＋1＋…＋12k ＋1－1，共2k 项． 答案： C二、填空题5．用数学归纳法证明“对于足够大的正整数n ，总有2n >n 3”时，验证第一步不等式成立所取的第一个最小值n 0应当是__________ ________.解析： 经过计算知n 0最小应为10.答案： 106．用数学归纳法证明不等式1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n ＋n >1324的过程，由n ＝k 推导n ＝k ＋1时，不等式的左边增加的式子是__________ ______.解析： 应该比原来增加了1(2k ＋1)(2k ＋2). 答案： 1(2k ＋1)(2k ＋2)三、解答题7．求证：(n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n )＝2n ·1·3·5·…·(2n －1)(n ∈N ＋)．证明： (1)当n ＝1时，等式左边＝2，等式右边＝2×1＝2，∴等式成立．(2)假设n ＝k (k ∈N ＋)时等式成立，即(k ＋1)(k ＋2)…(k ＋k )＝2k ×1×3×5×…×(2k －1)成立．那么n ＝k ＋1时，(k ＋2)(k ＋3)…(k ＋k )(2k ＋1)(2k ＋2)＝2(k ＋1)(k ＋2)(k ＋3)…(k ＋k )(2k ＋1)＝2k ＋1×1×3×5×…×(2k －1)[2(k ＋1)－1]．即n ＝k ＋1时等式成立．由(1)(2)可知，对任何n ∈N ＋等式均成立．8．用数学归纳法证明：对一切大于1的自然数n ，不等式⎝⎛⎭⎫1＋13⎝⎛⎭⎫1＋15…⎝⎛⎭⎫1＋12n －1>2n ＋12成立． 证明： (1)当n ＝2时，左边＝1＋13＝43，右边＝52，左边>右边，∴不等式成立． (2)假设当n ＝k (k ≥2)时，不等式成立，即⎝⎛⎭⎫1＋13⎝⎛⎭⎫1＋15…⎝⎛⎭⎫1＋12k ＋1>2k ＋12. 那么当n ＝k ＋1时，⎝⎛⎭⎫1＋13⎝⎛⎭⎫1＋15…⎝⎛⎭⎫1＋12k －1⎣⎡⎦⎤1＋12(k ＋1)－1> 2k ＋12·2k ＋22k ＋1＝2k ＋22k ＋1＝4k 2＋8k ＋422k ＋1>4k 2＋8k ＋322k ＋1＝2k ＋3·2k ＋12·2k ＋1＝2(k ＋1)＋12 ∴当n ＝k ＋1时，不等式也成立．由(1)(2)知，对一切大于1的自然数n ，不等式都成立．9．是否存在常数a ，b ，c 使得1·22＋2·32＋3·42＋…＋n (n ＋1)2＝n (n ＋1)12(an 2＋bn ＋c )对一切n ∈N ＋都成立？证明你的结论．解析： 此题可用归纳猜想证明来思考．假设存在a ，b ，c 使题设的等式成立．令n ＝1，得4＝16(a ＋b ＋c )；当n ＝2时，22＝12(4a ＋2b ＋c )；当n ＝3时，70＝9a ＋3b ＋c ，联立得 a ＝3，b ＝11，c ＝10.∴当n ＝1,2,3时，等式1·22＋2·32＋3·42＋…＋n (n ＋1)2＝n (n ＋1)(3n 2＋11n ＋10)12成立． 猜想等式对n ∈N ＋都成立，下面用数学归纳法来证明．记S n ＝1·22＋2·32＋…＋n (n ＋1)2，设当n ＝k 时，上面等式成立，即有S k ＝k (k ＋1)(3k 2＋11k ＋10)12. 则当n ＝k ＋1时，S k ＋1＝S k ＋(k ＋1)(k ＋2)2＝k (k ＋1)12·(3k 2＋11k ＋10)＋(k ＋1)(k ＋2)2 ＝k (k ＋1)12·(k ＋2)(3k ＋5)＋(k ＋1)(k ＋2)2 ＝(k ＋1)(k ＋2)12·(3k 2＋5k ＋12k ＋24) ＝(k ＋1)(k ＋2)12·[3(k ＋1)2＋11(k ＋1)＋10]． ∴当n ＝k ＋1时，等式成立．综上所述，当a ＝3，b ＝11，c ＝10时，题设的等式对n ∈N ＋均成。

数学归纳法练习1用数学归纳法证明“对一切n ∈N ＋,都有2n ＞n 2－2”这一命题，证明过程中应验证( ）．A ．n ＝1时命题成立B ．n ＝1，n ＝2时命题成立C ．n ＝3时命题成立D ．n ＝1，n ＝2,n ＝3时命题成立 2某个命题与正整数有关，若当n ＝k (k ∈N ＋)时该命题成立，那么可推得当n ＝k ＋1时该命题也成立，现已知当n ＝5时该命题不成立,那么可推得（ )．A ．当n ＝6时，该命题不成立B ．当n ＝6时，该命题成立C ．当n ＝4时，该命题成立D ．当n ＝4时,该命题不成立3已知1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋n ×3n －1＝3n （na －b ）＋c 对一切n ∈N ＋成立,则a ，b ，c 的值为（ ）．A ．12a =，14b c == B ．14a b c ===C ．a ＝0，14b c ==D ．不存在这样的a ，b ，c4猜想1＝1，1－4＝－（1＋2），1－4＋9＝1＋2＋3，…，第n 个式子为__________．5已知()111123f n n =++++ (n ∈N ＋)，用数学归纳法证明()22nn f ＞时,f (2k ＋1)－f (2k )等于__________．6设平面内有n 条直线（n ≥3）,其中有且仅有两条直线互相平行,任意三条直线不过同一点，若用f (n )表示这n 条直线的交点的个数，则f （4）＝______;当n ＞4时，f （n )＝______（用n 表示）．7证明：凸n 边形的内角和f （n )＝(n －2）·180°(n ≥3)．8设数列{a n ｝的前n 项和为S n ，且方程x 2－a n x －a n ＝0有一根为S n －1，n ＝1，2，3，…．(1）求a 1，a 2；（2)猜想数列｛S n ｝的通项公式，并给出严格证明．参考答案1答案：D 假设n ＝k 时命题成立，即2k ＞k 2－2，当n ＝k ＋1时,2k ＋1＝2·2k ＞2·（k 2－2）．由2(k 2－2)≥（k ＋1）2－2⇔k 2－2k －3≥0⇔（k ＋1)(k －3)≥0⇔k ≥3．因此需验证n ＝1，2，3时命题成立．2 答案：D 依题意，n ＝4时,该命题成立，则n ＝5时,该命题成立，而n ＝5时，该命题不成立，却无法判断n ＝6时该命题成立还是不成立．故选D ．3答案：A ∵等式对任意n ∈N ＋都成立,∴当n ＝1，2,3时也成立．即2231=3(),1233(2),123333(3).a b c a b c a b c -+⎧⎪+⨯=-+⎨⎪+⨯+⨯=-+⎩解得1,21.4a b c ⎧=⎪⎪⎨⎪==⎪⎩4 答案：1－4＋9－…＋(－1）n －1n 2＝(－1)n －1（1＋2＋3＋…＋n )5 答案：111121222k k k ++++++ ∵1111111(2)1232212222k k k k k k f =+++++++++++＋， 111(2)1232k k f =++++， ∴11111(2)(2)21222k k k k k f f +-=+++++＋． 6 答案：5 1(1)(2)2n n +- f (3)＝2，f （4）＝5，f (5)＝9，每增加一条直线，交点增加的个数等于原来直线的条数．∴f （4）－f （3)＝3,f （5）－f (4)＝4，…，f (n ）－f (n －1)＝n －1． 累加，得()31()(3)341(3)2n f n f n n +(-)-=+++-=-， ∴1()=(1)(2)2f n n n ++． 7 答案：证明：（1）当n ＝3时，f （3）＝180°，(3－2)×180°＝180°,命题成立．(2)假设当n ＝k （k ∈N ＋,k ≥3）时，命题成立，即凸k 边形的内角和f （k ）＝(k －2)·180°．当边数为（k ＋1)时,如图，把（k ＋1)边形分割为一个k 边形和△A 1A k A k ＋1，因此凸(k ＋1）边形的内角和为凸k 边形内角和加上△A 1A k A k ＋1的内角和．∴f (k ＋1)＝f （k ）＋180°＝(k －2)·180°＋180°＝［(k ＋1)－2]·180°．∴当n ＝k ＋1时命题也成立．由(1）(2)，得n ≥3时，凸n 边形的内角和为f （n )＝(n －2)·180°． 8 答案：分析：第（1）题中代入n ＝1和n ＝2即可求出．在第(2)题中先根据前n 项猜出通项,再利用数学归纳法给予证明．解：（1）当n ＝1时，x 2－a 1x －a 1＝0的一根为S 1－1＝a 1－1，代入，得(a 1－1）2－a 1(a 1－1)－a 1＝0,解得112a =． 当n ＝2时，x 2－a 2x －a 2＝0有一根为22112Sa -=-． 于是2222211=022a a a a ⎛⎫⎛⎫---- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得216a =． (2）由题设(S n －1)2－a n （S n －1）－a n ＝0，即22+1=0n n n n S S a S --．当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1，代入上式，得S n －1S n －2S n ＋1＝0．①由(1），得1112S a ==，212112263S a a =+=+=． 由①可得334S =．。

1．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋(2n ＋1)＝(n ＋1)·(2n ＋1)时，在验证n ＝1成立时，左边所得的代数式为( )A ．1B ．1＋3C ．1＋2＋3D ．1＋2＋3＋4解析：选C.当n ＝1时左边有2×1＋1＝3项，∴左边所得的代数式为1＋2＋3.2．在应用数学归纳法证明凸n 边形的对角线为12n ·(n －3)条时，第一步检验第一个值n 0等于( )A ．1B ．2C ．3D ．0解析：选C.边数最少的凸n 边形是三角形．3．用数学归纳法证明等式“1＋3＋5＋…＋(2n －1)＝n 2”时，从k 到k ＋1左边需增加的代数式为( )A ．2k －2B ．2k －1C ．2kD ．2k ＋1解析：选D.等式“1＋3＋5＋…＋(2n －1)＝n 2”中，当n ＝k 时，等式的左边＝1＋3＋5＋…＋(2k －1)，当n ＝k ＋1时，等式的左边＝1＋3＋5＋…＋(2k －1)＋[2(k ＋1)－1]＝1＋3＋5＋…＋(2k －1)＋(2k ＋1)，∴从k 到k ＋1左边需增加的代数式为2k ＋1.4．用数学归纳法证明：“当n 为奇数时，x n ＋y n 能被x ＋y 整除”时，在归纳假设中，假设当n ＝k 时命题成立，那么下一步应证明n ＝________时命题也成立．解析：两个奇数之间相差2.∴n ＝k ＋2.答案：k ＋25．用数学归纳法证明“n 2＋n <n ＋1(n ∈N ＋)”的过程中的第二步n ＝k ＋1时(n ＝1已验，n ＝k 已假设成立)，这样证明：(k ＋1)2＋(k ＋1)＝k 2＋3k ＋2< k 2＋4k ＋4＝(k ＋1)＋1，∴当n ＝k ＋1时，命题成立，此种证法( )A ．是正确的B ．归纳假设写法不正确C ．从k 到k ＋1推理不严密D ．从k 到k ＋1的推理过程未使用归纳假设解析：选D.从k 到k ＋1的推理过程中未使用归纳假设，证明方法错误．6．用数学归纳法证明“n 3＋(n ＋1)3＋(n ＋2)3，(n ∈N ＋)能被9整除”，要利用归纳法假设证n ＝k ＋1时的情况，只需展开( )A ．(k ＋3)3B ．(k ＋2)3C ．(k ＋1)3D ．(k ＋1)3＋(k ＋2)3解析：选A.假设n ＝k 时，原式k 3＋(k ＋1)3＋(k ＋2)3能被9整除，当n ＝k ＋1时，(k ＋1)3＋(k ＋2)3＋(k ＋3)3为了能用上面的归纳假设，只需将(k ＋3)3展开，让其出现k 3，且展开式中除k 3以外的各项和也能被3整除．7．记凸k 边形的内角和为f (k )，则凸k ＋1边形的内角和f (k ＋1)＝f (k )＋( )A.π2 B ．πC ．2πD.32π 解析：选B.n ＝k 到n ＝k ＋1时，内角和增加π.8．某个命题：(1)当n ＝1时，命题成立(2)假设n ＝k (k ≥1，k ∈N ＋)时成立，可以推出n ＝k ＋2时也成立，则命题对________成立( )A ．正整数B ．正奇数C ．正偶数D ．都不是解析：选B.由题意知，k ＝1时，k ＋2＝3；k ＝3时，k ＋2＝5，依此类推知，命题对所有正奇数成立，故选B.9．在数列{a n }中，a 1＝13，且S n ＝n (2n －1)a n ，通过求a 2，a 3，a 4，猜想a n 的表达式为( ) A.1(n －1)(n ＋1) B.12n (2n ＋1)C.1(2n －1)(2n ＋1)D.1(2n ＋1)(2n ＋2)解析：选C.∵a 1＝13， 由S n ＝n (2n －1)a n ，得a 1＋a 2＝2(2×2－1)a 2，解得a 2＝115＝13×5， a 1＋a 2＋a 3＝3×(2×3－1)a 3，解得a 3＝135＝15×7， a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝4(2×4－1)a 4，解得a 4＝163＝17×9. 猜想a n ＝1(2n －1)(2n ＋1). 10．用数学归纳法证明“1＋2＋22＋…＋2n －1＝2n －1(n ∈N ＋)”的过程中，第二步假设n ＝k时等式成立，则当n ＝k ＋1时应得到________．解析：∵n ＝k 时，命题为“1＋2＋22＋…＋2k －1＝2k －1”，∴n ＝k ＋1时为使用归纳假设，应写成1＋2＋22＋…＋2k －1＋2k ＝2k －1＋2k ＝2k ＋1－1.答案：1＋2＋22＋…＋2k －1＋2k ＝2k ＋1－111．用数学归纳法证明12＋cos α＋cos3α＋…＋cos(2n －1)α＝1sin α·sin 2n ＋12α·cos 2n －12α(α≠n π，n ∈N)，在验证n ＝1等式成立时，左边计算所得的项是________．解析：由等式的特点知：当n ＝1时，左边从第一项起，一直加到cos(2n －1)α，故左边计算所得的项是12＋cos α. 答案：12＋cos α 12．用数学归纳法证明：1×4＋2×7＋…＋n ·(3n ＋1)＝n (n ＋1)2(n ∈N ＋)．证明：(1)n ＝1时，左边＝1×(3×1＋1)＝4，右边＝1×(1＋1)2＝4，左边＝右边．(2)假设n ＝k (n ∈N ＋)时，命题成立，即：1×4＋2×7＋…＋k ·(3k ＋1)＝k ·(k ＋1)2当n ＝k ＋1时，左边＝1×4＋…＋k ·(3k ＋1)＋(k ＋1)·(3k ＋4)＝k ·(k ＋1)2＋(k ＋1)·(3k ＋4)＝(k ＋1)[k (k ＋1)＋3k ＋4]＝(k ＋1)·(k 2＋4k ＋4)＝(k ＋1)·(k ＋2)2.∴n ＝k ＋1时，命题也成立．由(1)(2)知：对n ∈N ＋，1×4＋2×7＋…＋n (3n ＋1)＝n (n ＋1)2.13．设正数数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝12⎝⎛⎭⎫a n ＋1a n ，试推测出a n 的表达式，并用数学归纳法加以证明．解：∵S 1＝a 1，∴a 1＝12(a 1＋1a 1)， 解得正数a 1＝1；∵a 1＋a 2＝S 2＝12(a 2＋1a 2)， ∴2＋a 2＝1a 2，即a 22＋2a 2－1＝0， 解得a 2＝2－1；∵S 2＋a 3＝S 3，即2＋a 3＝12(a 3＋1a 3)， ∴a 23＋22a 3－1＝0，解得a 3＝3－ 2. 观察a 1＝1，a 2＝2－1，a 3＝3－2， 猜想a n ＝n －n －1.用数学归纳法证明如下：(1)当n ＝1时，由以上知猜想式成立．(2)假设当n ＝k (k ≥1)时，猜想式成立， 即a k ＝k －k －1.由S k ＋a k ＋1＝S k ＋1，有12(a k ＋1a k )＋a k ＋1＝12(a k ＋1＋1a k ＋1)， 即12(k －k －1＋1k －k －1)＋a k ＋1 ＝12(a k ＋1＋1a k ＋1)． 亦即2k ＋a k ＋1＝1a k ＋1，a 2k ＋1＋2k ·a k ＋1－1＝0， 解得正数a k ＋1＝k ＋1－k即当n ＝k ＋1时，猜想式也成立．根据(1)和(2)，可知对任意自然数猜想式a n ＝n －n －1成立．。

本册综合检测一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知：a ＋b >0，b <0，那么( ) A ．a >b >－a >－b B ．a >－a >b >－b C ．a >－b >b >－aD ．－a >－b >a >b解析：∵a ＋b >0，∴a >－b ，b >－a . ∵b <0，∴－b >0>b . ∴a >－b >b >－a . 答案： C2．若不等式|2x －3|>4与不等式x 2＋px ＋q >0的解集相同，则p ∶q 等于( ) A ．12∶7 B ．7∶12 C ．(－12)∶7D ．(－3)∶4解析： |2x －3|>4⇔2x －3>4或2x －3<－4⇔x >72或x <－12，∴72－12＝－p ，p ＝－3，72×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝q ，q ＝－74， ∴p ∶q ＝12∶7. 答案： A3．已知a ，b ，x 1，x 2为互 不相等的正数，y 1＝ax1＋bx2a ＋b ，y 2＝ax1＋ax2a ＋b ，则y 1与y 2的大小关系为( )A ．y 1>y 2B ．y 1<y 2C ．y 1＝y 2D ．不能确定解析：∵y 1－y 2＝－a ＋b，又∵a ，b ，x 1，x 2为互不相等的正数， ∴y 1与y 2的关系不确定，故选D ． 答案： D4．若不等式x 2＋ax ＋1≥0对一切x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12恒成立，则a 的最小值为( )A ．0B ．－2C ．－52D ．－3解析：∵x 2＋ax ＋1≥0∴a ≥－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ，x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12， 又∵－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 的最大值为－52，∴a min ＝－52.答案： C5．如果P ＝17，Q ＝1＋15，R ＝5＋7，那么有( ) A ．P >Q >R B ．R >P >Q C ．Q >R >PD ．R >Q >P解析：P 2＝17，Q 2＝16＋215，R 2＝12＋235，∴Q 2－P 2＝215－1>0，R 2－P 2＝235－5>0，∴P 最小．Q 2－R 2＝215＋4－235，又(215＋4)2＝16＋60＋1615 ＝76＋1615<76＋1616＝140， (235)2＝4×35＝140， ∴235>215＋4， ∴Q 2<R 2，∴Q <R ， ∴选D ． 答案： D6．用数学归纳法证明“对于任意x >0和正整数n ，都有x n＋xn －2x n －4＋…＋1xn －4＋1xn －2＋1xn≥n ＋1”时，需验证的使命题成立的最小正整数值n 0应为( )A ．n 0＝1B ．n 0＝2C ．n 0＝1,2D ．以上答案均不正确解析：n 0＝1时，x ＋1x ≥1＋1成立，再用数学归纳法证明．答案： A7．函数y ＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x －1＋5(x >1)的最小值为( ) A ．－3B ．3C ．4D ．－4解析：∵x >1，∴x －1>0， ∴y ＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1＋1x －1＋6≥log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2－1x －1＋6 ＝log 28＝3，当且仅当x －1＝1x －1时等号成立，又x >0，∴x ＝2时，y 有最小值3，选B ． 答案： B8．“|x －1|<2”是x <3的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：∵|x －1|<2⇔－2<x －1<2⇔－1<x <3. ∵－1<x <3⇒x <3，反之不成立．从而得出“|x －1|<2”是“x <3”的充分不必要条件． 答案： A9．用数学归纳法证明12＋cos α＋cos 3α＋…＋cos(2n －1)α＝sin 2n ＋12α·cos 2n －12αsin α(a ≠k π，k ∈Z ，n ∈N ＋)，在验证n ＝1时，左边计算所得的项是( )A ．12B ．12＋cos α C ．12＋cos α＋cos 3α D ．12＋cos α＋cos 2α＋3cos α 解析： 首项12，末项cos(2×1－1)α＝cos α.答案： B10．设实数x 1，x 2，…，x n 的算术平均值是x ，a ≠x (a ∈R )，并记p ＝(x 1－x )2＋…＋(x n－x )2，q ＝(x 1－a )2＋…＋(x n －a )2，则p 与q 的大小关系是( )A ．p >qB ．p <qC ．p ＝qD ．不确定解析：∵p ＝(x 21＋x 2＋…＋x 2n )－2(x 1＋x 2＋…＋x n )·x ＋n ·x 2＝(x 21＋x 2＋…＋x 2n )－n x 2，q ＝(x 21＋x 2＋…＋x 2n )－2a (x 1＋x 2＋…＋x n )＋na 2，∴q －p ＝－2a ·n ·x ＋na 2＋n x 2＝(x －a )2·n >0，∴q >p . 答案： B11．已知实数x ，y 满足x 2＋y 2＝1，则(1－xy )(1＋xy )有( ) A ．最小值12和最大值1B ．最小值34和最大值1C ．最小值12和最大值34D ．最小值1解析： 1＝x 2＋y 2≥|2xy |， ∴|xy |≤12，(1－xy )·(1＋xy )＝1－(xy )2， ∴1－x 2y 2≥34且1－x 2y 2≤1.答案： B12．在数列{a n }中，a 1＝13，且S n ＝n (2n －1)a n ，通过求a 2，a 3，a 4，猜想a n 的表达式为( )A ．1－＋B ．1＋C ．1－＋D ．1＋＋解析： 经过a 1＝13可算出a 2＝13×5，a 3＝15×7，所以选C ．答案： C二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上) 13．若不等式|x －1|<a 成立的充分条件是0<x <4，则实数a 的取值范围是________. 解析： |x －1|<a ⇔1－a <x <1＋a∴⎩⎪⎨⎪⎧1－a≤0.1＋a≥4.故a ≥3.答案： [3，＋∞)14．如果x >0，y >0，x ＋y ＋xy ＝2，则x ＋y 的最小值为________. 解析： 由x ＋y ＋xy ＝2得2－(x ＋y )＝xy ， ∴2－(x ＋y )≤⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y 22，即(x ＋y )2＋4(x ＋y )－8≥0，∴x ＋y ≤－2－23或x ＋y ≥23－2， 又∵x >0，y >0， ∴(x ＋y )min ＝23－2. 答案： 23－215．若f (n )＝n2＋1－n ，g (n )＝12n，n ∈N ＋，则f (n )与g (n )的大小关系为________. 解析：f (n )＝n2＋1－n ＝1n2＋1＋n <1n ＋n ＝12n＝g (n )．答案： g (n )>f (n )16．已知f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n (n ∈N *)，用数学归纳法证明f (2n )>n 2时，f (2k ＋1)－f (2k)＝________.解析：∵f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n ，∴f (2k)＝1＋12＋13＋ (12)，f (2k ＋1)＝1＋12＋13＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋1， ∴f (2k ＋1)－f (2k)＝12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋1.答案：12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋1三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(12分)设函数f (x )＝|x －4|＋|x －1|. (1)求f (x )的最小值．(2)若f (x )≤5，求x 的取值范围． 解析：f (x )＝|x －4|＋|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －5 3 ，5－2x作出y ＝f (x )的图象，如图所示．则(1)f (x )的最小值为3.(2)若f (x )≤5，则2x －5≤5，∴4≤x ≤5， ∴3≤5，∴1<x <4. 由5－2x ≤5，∴0≤x ≤1， ∴x 的取值范围为[0,5]．18．(12分)已知0<a <1，求证：1a ＋41－a ≥9.证明： ∵(3a －1)2≥0， ∴9a 2－6a ＋1≥0， ∴1＋3a ≥9a (1－a )． ∵0<a <1， ∴1＋3a－≥9， 即1－a ＋4a －≥9，即1a ＋41－a≥9. 19．(12分)若0<a <2,0<b <2,0<c <2，求证：(2－a )b ，(2－b )c ，(2－c )a ，不能同时大于1. 证明： 假设三数同时大于1， 即(2－a )b >1，(2－b )c >1，(2－c )a >1， 那么－＋b 2≥－>1，①同理－＋c2>1，②－＋a2>1.③由①＋②＋③得3>3， 上式显然是错误的， ∴该假设不成立．∴(2－a )b ，(2－b )c ，(2－c )a 不能同时大于1. 20．(12分)若n 是不小于2的正整数，试证： 47<1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n <22.证明： 1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＝(1＋12＋13＋…＋12n )－2(12＋14＋…＋12n )＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n， 所以求证式等价于47<1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n <22. 由柯西不等式，有⎝⎛⎭⎪⎫1n ＋1＋1n ＋2＋...＋12n [(n ＋1)＋(n ＋2)＋...＋(2n )]>n 2， 于是1n ＋1＋1n ＋2＋ (12)>n2＋＋＋＋…＋2n ＝2n 3n ＋1＝23＋1n ≥23＋12＝47. 又由柯西不等式，有 1n ＋1＋1n ＋2＋ (12)< ＋12＋…＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋＋1＋＋…＋1<n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －12n ＝22.故不等式得证．21．(12分)某自来水厂要制作容积为500 m 3的无盖长方体水箱，现有三种不同规格的长方形金属制箱材料(单位：m)：①19×19；②30×10；③25×12，请你选择其中的一种规格材料，并设计出相应的制作方案(要求：①用料最省；②简便易行)． 解析： 设无盖长方体水箱的长、宽、高分别为a 、b 、c ， 由题意，可得abc ＝500， 长方体水箱的表面积为：S ＝2bc ＋2ac ＋ab .由均值不等式，知S ＝2bc ＋2ac ＋ab ≥332bc·2ac·ab＝334×5002 ＝300.当且仅当2bc ＝2ca ＝ab ， 即a ＝b ＝10，c ＝5时，S ＝2bc ＋2ca ＋ab ＝300为最小，这表明将无盖长方体的尺寸设计为 10×10×5(即2∶2∶1)时，其用料最省．如何选择材料并设计制作方案？就要研究三种供选择的材料，哪一种更易制作成长方体水箱的平面展开图．逆向思维，先将无盖长方体展开成平面图：如图(1)，进一步剪拼成图(2)的长30 m ，宽10 m(长∶宽＝3∶1)的长方形．因此，应选择规格30×10的制作材料，制作方案如图(3)．可以看出，图(3)这种“先割后补”的方案不但可使用料最省，而且简便易行．22．(14分)已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n 2·a n (n ∈N ＋)，(1)求a 2，a 3，并求数列{a n }的通项公式； (2)设c n ＝n an ，求证：c 1＋c 2＋c 3＋…＋c n <710.解析： (1)∵a 1＝2，a n ＋1＝2⎝⎛⎭⎪⎫1＋1n2·a n (n ∈N ＋)， ∴a 2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋112·a 1＝16，a 3＝2⎝⎛⎭⎪⎫1＋122·a 2＝72.又∵an ＋1＋＝2·ann2，n ∈N ＋， ∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫an n2为等比数列． ∴an n2＝a112·2n －1＝2n ，∴a n ＝n 2·2n . (2)c n ＝n an ＝1n·2n ，∴c 1＋c 2＋c 3＋…＋c n ＝11·2＋12·22＋13·23＋…＋1n·2n<12＋18＋124＋14·⎝ ⎛⎭⎪⎫124＋125＋ (12)＝23＋14·124[1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －3]1－12 <23＋14·1241－12＝23＋132＝6796＝670960<96×796×10＝710， 所以结论成立．。

3.2数学归纳法的应用课后篇巩固探究A组1.若x>-1,x≠0,则下列不等式正确的是()A.(1+x)3<1+3xB.(1+x<1+xC.(1+x)-2<1-2xD.(1+x<1+x解析:由贝努利不等式可得D项正确.答案:D2.用数学归纳法证明“2n>n2+1对于n≥n0的正整数n都成立”时,第一步证明中的起始值n0应取()A.2B.3C.5D.6答案:C3.某同学回答“用数学归纳法证明<n+1(n∈N+)”的过程如下:证明:(1)当n=1时,显然命题是正确的;(2)假设当n=k(k≥1,k∈N+)时有<k+1,则当n=k+1时,=(k+1)+1,所以当n=k+1时命题是正确的.由(1)(2)可知对于n∈N+,命题都是正确的.以上证法是错误的,错误在于()A.从n=k到n=k+1的推理过程没有使用归纳假设B.归纳假设的写法不正确C.从n=k到n=k+1的推理不严密D.当n=1时,验证过程不具体解析:证明<(k+1)+1时进行了一般意义的放大.而没有使用归纳假设<k+1.答案:A4.已知f(n)=1++…+(n∈N+),用数学归纳法证明f(2n)>时,f(2k+1)-f(2k)等于.解析:f(2k+1)-f(2k)=1++…++…+.答案:+…+5.已知x>0,观察下列几个不等式:x+≥2;x+≥3;x+≥4;x+≥5…归纳猜想一般的不等式为.答案:x+≥n+1(n为正整数)6.用数学归纳法证明(a,b是非负实数,n∈N+)时,假设当n=k时不等式(*)成立,再推证当n=k+1时不等式也成立的关键是将(*)式两边同乘.解析:对比n=k与n=k+1时的结论可知,两边只需同乘即可.答案:7.用数学归纳法证明不等式1++…+<2(n∈N+).证明(1)当n=1时,左边=1,右边=2.左边<右边,不等式成立.(2)假设当n=k(k≥1,k∈N+)时,不等式成立,即1++…+<2.则当n=k+1时,1++…+<2=2.所以当n=k+1时,不等式成立.由(1)(2)可知,原不等式对任意n∈N+都成立.8.导学号35664046已知数列{a n}满足:a1=,且a n=---(n≥2,n∈N+).(1)求数列{a n}的通项公式;(2)求证:对一切正整数n,不等式a1a2…a n<2n!恒成立.(1)解将条件变为1----,因此数列-为一个等比数列,其首项为1-,公比为,从而1-,因此得a n=-(n≥1,n∈N+).①(2)证明由①得a1a2…a n=---.为证明a1a2…a n<2n!,只要证明当n∈N+时,有--×…×-.②显然,左端每个因式皆为正数,先证明对n∈N+,有--×…×-≥1-.③下面用数学归纳法证明③式:(ⅰ)当n=1时,显然③式成立,(ⅱ)假设当n=k(k∈N+,k≥1)时,③式成立,即--×…×-≥1-,则当n=k+1时,--×…×--≥--=1-≥1-.即当n=k+1时,③式也成立.故对一切n∈N+,③式都成立.利用③,得--×…×-≥1-=1---=1--.故原不等式成立.B组1.用数学归纳法证明+…+-(n≥n0,且n∈N+),则n的最小值n0为()A.1B.2C.3D.4解析:当n=1时,左边==1,右边=10=1,1>1不成立;当n=2时,左边==2+1=3,右边=,3>,成立;当n=3时,左边==3+3+1=7,右边=31=3,7>3,成立.所以n的最小值n0为2.答案:B2.已知a1=1,a n+1>a n,且(a n+1-a n)2-2(a n+1+a n)+1=0,先计算a2,a3,再猜想a n等于()A.nB.n2C.n3D.答案:B<n(n∈N+,且n>1),第一步要证的不等式3.用数学归纳法证明1++…+-是.=1+,右边=2,故填1+<2.解析:当n=2时,左边=1+-答案:1+<24.设a,b均为正实数,n∈N+,已知M=(a+b)n,N=a n+na n-1b,则M,N的大小关系为. 提示利用贝努利不等式令解析:由贝努利不等式(1+x)n>1+nx(x>-1,且x≠0,n>1,n∈N+),知当n>1时,令x=,则>1+n·,所以>1+n·,即(a+b)n>a n+na n-1b.当n=1时,M=N.故M≥N.答案:M≥N5.导学号35664047已知数列{a n}的前n项和S n满足:S n=-1,且a n>0,n∈N+.(1)求a1,a2,a3,并猜想{a n}的通项公式;(2)证明通项公式的正确性.(1)解当n=1时,由已知得a1=-1,即+2a1-2=0.∴a1=-1或a1=--1(舍去).当n=2时,由已知得a1+a2=-1,将a1=-1代入并整理得+2a2-2=0.∴a2=或a2=-(舍去).同理可得a3=.由a1,a2,a3,猜想a n=-(n∈N+).(2)证明①由(1)的计算过程知,当n=1,2,3时,通项公式成立.②假设当n=k(k>3,k∈N+)时,通项公式成立,即a k=-.则当n=k+1时,a k+1=S k+1-S k=,将a k=-代入上式并整理得+2a k+1-2=0,解得a k+1=或a k+1=-(舍去).即当n=k+1时,通项公式也成立.由①②可知,对所有n∈N+,a n=-都成立.6.导学号35664048设数列{a n}满足a1=0,a n+1=c+1-c,n∈N+,其中c为实数. (1)证明:a n∈[0,1]对任意n∈N+成立的充分必要条件是c∈[0,1];(2)设0<c<,证明:a n≥1-(3c)n-1,n∈N+.证明(1)必要性:∵a1=0,∴a2=1-c.∵a2∈[0,1],∴0≤1-c≤1,即c∈[0,1].充分性:设c∈[0,1],对n∈N+用数学归纳法证明a n∈[0,1].当n=1时,a1=0∈[0,1].假设a k∈[0,1](k∈N+,k≥1),则a k+1=c+1-c≤c+1-c=1,且a k+1=c+1-c≥1-c≥0,故a k+1∈[0,1].由数学归纳法,知a n∈[0,1]对所有的n∈N+成立.综上可得,a n∈[0,1]对任意n∈N+成立的充分必要条件是c∈[0,1].(2)设0<c<,当n=1时,a1=0,结论成立.当n≥2时,∵a n=c-+1-c,∴1-a n=c(1--)=c(1-a n-1)(1+a n-1+-).∵0<c<,由(1)知a n-1∈[0,1],∴1+a n-1+-≤3,且1-a n-1≥0.∴1-a n≤3c(1-a n-1).∴1-a n≤3c(1-a n-1)≤(3c)2(1-a n-2)≤…≤(3c)n-1(1-a1)=(3c)n-1.∴a n≥1-(3c)n-1(n∈N+).。

§3数学归纳法与贝努利不等式3.1数学归纳法课后篇巩固探究A组1.用数学归纳法证明1+2+3+…+(2n+1)=(n+1)·(2n+1),在验证n=1成立时,左边所得的代数式为()A.1B.1+3C.1+2+3D.1+2+3+4解析:当n=1时左边有2n+1=2×1+1=3,所以左边所得的代数式为1+2+3.答案:C2.已知n是正奇数,用数学归纳法证明时,若已假设当n=k(k≥1且为奇数)时命题为真,则还需证明()A.n=k+1时命题成立B.n=k+2时命题成立C.n=2k+2时命题成立D.n=2(k+2)时命题成立解析:因为n是正奇数,所以只需证明等式对所有奇数都成立,又k的下一个奇数是k+2,故选B.答案:B3.用数学归纳法证明12+22+…+(n-1)2+n2+(n-1)2+…+22+12=n(2n 2+1)时,由n=k(k≥1)的假设到证明n=k+1时,等式左边应添加的式子是()A.(k+1)2+2k2B.(k+1)2+k2C.(k+1)2D.13(k+1)[2(k+1)2+1]解析:当n=k(k≥1)时,左边为12+22+…+(k-1)2+k2+(k-1)2+…+22+12,当n=k+1时,左边为12+22+…+k2+(k+1)2+k2+(k-1)2+…+22+12,分析等式变化规律可知左边实际增加的是(k+1)2+k2.答案:B4.下列代数式(其中k∈N+)能被9整除的是()A.6+6·7kB.2+7k-1C.2(2+7k+1)D.3(2+7k)解析:(1)当k=1时,显然只有3(2+7k)能被9整除.(2)假设当k=n(n∈N+,n≥1)时,命题成立,即3(2+7k)能被9整除,则当k=n+1时,3(2+7k+1)=21(2+7k)-36也能被9整除,即当k=n+1时,命题也成立.由(1)(2)可知,命题对任何k∈N+都成立.答案:D5.用数学归纳法证明:1-12+13−14+…+12n-1−12n=1n+1+1n+2+…+12n,第一步应验证的等式是.解析:当n=1时,等式的左边为1-12=12,右边=12,所以左边=右边.答案:1-12=126.若凸n(n≥4)边形有f(n)条对角线,则凸(n+1)边形的对角线条数f(n+1)为. 解析:由题意知f(n+1)-f(n)=n-1,故f(n+1)=f(n)+n-1.答案:f(n)+n-17.若s(n)=1+12+13+…+13n-1(n∈N+),则s(5)-s(4)=.解析:依题意,s(5)=1+12+13+…+114,s(4)=1+12+13+…+111,于是s(5)-s(4)=112+113+114.答案:112+113+1148.已知f(n)=(2n+7)×3n+9(n∈N+),用数学归纳法证明f(n)能被36整除.证明(1)当n=1时,f(1)=(2+7)×3+9=36,能被36整除,结论成立.(2)假设当n=k(k∈N+,k≥2)时,结论成立,即f(k)=(2k+7)×3k+9能被36整除,则当n=k+1时,f(k+1)=[2(k+1)+7]×3k+1+9=(2k+7)×3k+1+2×3k+1+9=(2k+7)×3k×3+2×3k+1+9=3[(2k+7)×3k+9]-27+2×3k+1+9=3[(2k+7)×3k+9]+18(3k-1-1).因为3k-1-1(k∈N+,k≥2)是2的倍数,所以18(3k-1-1)能被36整除,即当n=k+1时,结论也成立.根据(1)和(2),可知对一切正整数n,都有f(n)=(2n+7)×3n+9能被36整除.9.用数学归纳法证明:12-22+32-42+…+(-1)n-1n2=(-1)n-1·n(n+1)2(n∈N+).证明(1)当n=1时,左边=12=1,右边=(-1)0×1×(1+1)2=1,左边=右边,等式成立.(2)假设n=k(k∈N+)时,等式成立,即12-22+32-42+…+(-1)k-1k2=(-1)k-1·k(k+1)2.则当n=k+1时,12-22+32-42+…+(-1)k-1k2+(-1)k(k+1)2=(-1)k-1·k(k+1)2+(-1)k(k+1)2=(-1)k (k+1)·[(k +1)-k 2]=(-1)k ·(k+1)[(k+1)+1]2. 因此当n=k+1时,等式也成立,根据(1)(2)可知,对于任何n ∈N +等式成立.10.导学号35664042已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ,且a n 2+2a n =4S n .(1)计算a 1,a 2,a 3,a 4的值,并猜想数列{a n }的通项公式;(2)用数学归纳法证明(1)中猜想的结论.解(1)当n=1时,a 12+2a 1=4S 1,即a 12+2a 1=4a 1,即a 12-2a 1=0,解得a 1=2(a 1=0舍去);当n=2时,a 22+2a 2=4S 2,即a 22+2a 2=4(2+a 2),即a 22-2a 2-8=0,解得a 2=4(a 2=-2舍去);当n=3时,a 32+2a 3=4S 3,即a 32+2a 3=4(2+4+a 3),即a 32-2a 3-24=0,解得a 3=6(a 3=-4舍去);当n=4时,a 42+2a 4=4S 4,即a 42+2a 4=4(2+4+6+a 4),即a 42-2a 4-48=0,解得a 4=8(a 4=-6舍去).由以上结果猜想数列{a n }的通项公式为a n =2n (n ∈N +).(2)下面用数学归纳法证明{a n }的通项公式为a n =2n (n ∈N +).①当n=1时,a 1=2,由(1)知,结论成立.②假设当n=k (k ∈N +)时,结论成立,即a k =2k ,这时有a k 2+2a k =4S k ,即S k =k 2+k.则当n=k+1时,a k+12+2a k+1=4S k+1,即a k+12+2a k+1=4(S k +a k+1),所以a k+12-2a k+1=4k 2+4k ,解得a k+1=2k+2=2(k+1)(a k+1=-2k 舍去).故当n=k+1时,结论也成立.由①②可知,结论对任意n ∈N +都成立.B 组1.用数学归纳法证明“1+2+22+…+2n+2=2n+3-1(n ∈N +)”,在验证n=1时,左边计算所得的式子为( )A.1B.1+2C.1+2+22D.1+2+22+23 解析:当n=1时,左边为1+2+22+23. 答案:D2.设平面内有k 条直线,其中任何两条不平行,任何三条不共点,设k 条直线的交点个数为f (k ),则f (k+1)与f (k )的关系是( )A.f (k+1)=f (k )+k+1B.f (k+1)=f (k )+k-1C.f (k+1)=f (k )+kD.f (k+1)=f (k )+k+2解析:当n=k+1时,任取其中1条直线,记为l ,则除l 外的其他k 条直线的交点的个数为f (k ),因为已知任何两条直线不平行,所以直线l 必与平面内其他k 条直线都相交(有k 个交点).又因为已知任何三条直线不过同一点,所以上面的k 个交点两两不相同,且与平面内其他的f (k )个交点也两两不相同,从而平面内交点的个数是f (k )+k=f (k+1).答案:C3.已知1+2×3+3×32+4×33+…+n×3n-1=3n (na-b )+c 对一切n ∈N +都成立,则a ,b ,c 的值为( )A.a=12,b=c=14B.a=b=c=14C.a=0,b=c=14D.不存在这样的a ,b ,c解析:由于该等式对一切n ∈N +都成立,不妨取n=1,2,3,则有{1=3(a -b )+c ,1+2×3=9(2a -b )+c ,1+2×3+3×32=27(3a -b )+c ,解得a=12,b=c=14.答案:A4.在数列{a n }中,a 1=13,且S n =n (2n-1)a n (n ∈N +),通过求a 2,a 3,a 4,猜想a n 的表达式为 .解析:由a 1=13,S n =n (2n-1)a n 求得a 2=115=13×5,a 3=135=15×7,a 4=163=17×9. 猜想a n =1(2n -1)(2n+1)(n ∈N +).答案:a n =1(2n -1)(2n+1)(n ∈N +)5.已知数列{a n }满足a 1=1,a n =3n-1+a n-1(n ≥2).(1)求a 2,a 3;(2)证明:a n =3n -1(n ∈N +). (1)解由a 1=1,得a 2=3+1=4,a 3=32+4=13.(2)证明①当n=1时,a 1=1=31-12.故命题成立.②假设当n=k (k ≥1)时命题成立,即a k =3k -12.那么当n=k+1时,a k+1=a k +3k =3k -12+3k=3k -1+2·3k 2=3k+1-12, 即当n=k+1时,命题也成立.由①②知,命题对n ∈N +都成立,即a n =3n -12(n ∈N +). 6.导学号35664043设a n =1+12+13+ (1)(n ∈N +),是否存在关于n 的整式g (n ),使得等式a 1+a 2+a 3+…+a n-1=g (n )·(a n -1)对大于1的一切自然数n 都成立?证明你的结论. 解假设g (n )存在,则当n=2时,a 1=g (2)(a 2-1),即1=g (2)(1+12-1),故g (2)=2.当n=3时,a 1+a 2=g (3)(a 3-1),即1+(1+12)=g (3)(1+12+13-1), 故g (3)=3.当n=4时,a 1+a 2+a 3=g (4)(a 4-1),即1+(1+12)+(1+12+13) =g (4)(1+12+13+14-1),故g (4)=4.由此猜想g (n )=n (n ≥2,n ∈N +).下面用数学归纳法证明当n ≥2,n ∈N +时,等式a 1+a 2+…+a n-1=n (a n -1)成立.(1)当n=2时,a 1=1,g (2)(a 2-1)=2×(1+12-1)=1,结论成立.(2)假设当n=k (k ∈N +,k ≥2)时结论成立,即a 1+a 2+…+a k-1=k (a k -1)成立.那么当n=k+1时,a 1+a 2+…+a k-1+a k =k (a k -1)+a k =(k+1)a k -k=(k+1)a k -(k+1)+1=(k+1)·(a k +1k+1-1)=(k+1)(a k+1-1),说明当n=k+1时,结论成立. 由(1)(2)可知,对一切大于1的自然数n ,存在g (n )=n ,使等式a 1+a 2+…+a n-1=g (n )(a n -1)成立.由Ruize收集整理。