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第十二章 直线相关与回归

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第12章 线性相关与回归

第12章 线性相关与回归

所以当计算出样本相关系数r后，
应对r是否来自ρ=0的总体作假设
检验，以判断两变量的总体是否有 直线相关关系。常用的假设检验方 法为t检验，其t值的计算公式为：
r 0 r tr 2 sr 1 r n2 n2
例10.2 对例10.1求得的r值作假
设检验。
1）建立假设并确定检验水准
如果我们主要目的是分析两变 量间是否存在直线相关关系，这时 我们就应进行x和y之间的线性相关
分析。如：我们要分析女大学身高
与体重之间的关系，通过散点图发
现两者有直线趋势，可对两个变量
进行线性相关分析。
直线相关（linear correlation）： 是指两变量间存在的关系为直线关 系。又称为简单相关（simple
230 .455 r 0.8012 1000 .909 82.727
即表示男青年身高与前臂长之间存在正 相关关系。但还需作假设检验
三、相关系数的假设检验
相关系数r是根据样本资料计算
出来的，它是总体相关系数ρ的估
计值。若从ρ=0的总体中进行随机
抽样，抽取的样本相关系数也可能
不等于0，这是抽样误差所致。
（3，8365）和（21，36.06）两点，就 可做出本例的直线回归方程的图示。
ˆ 注意：直线必须通过（ x ，y ）和
纵轴上（0，a）两点，因此，这两点可
以用来核对回归直线绘制是否正确。
四、回归系数的假设检验
抽样研究中，计算出的回归系数 b为样本回归系数，故应考虑假设检 验的问题。即使我们从x、y的总体
r
( x x )( y y ) ( x x ) ( y y)
22Biblioteka l xy l xxl yy

第12章-多重线性回归分析

第12章-多重线性回归分析
8
6 因变量总变异的分解
P
(X,Y)

Y
（Y Y） （Y Y）

（Y Y）
Y X

Y
Y
9
Y的总变异分解
Y Y Yˆ Y Y Yˆ
Y Y 2 Yˆ Y 2 Y Yˆ 2
总变异 SS总
回归平方和 剩余平方和
SS回
SS剩
10
Y的总变异分解
病程 (X2)
10.0 3.0 15.0 3.0 4.0 6.0 2.9 9.0 5.0 2.0 8.0 20.0
表 12-1 脂联素水平与相关因素的测量数据
空腹
回归模空型腹 ？
瘦素
脂联 BMI 病程 瘦素
脂联
(X3)

血糖 (X4)
素(Y)
(X1)
(X2)
(X3)
血糖 素(Y) (X4)
5.75 13.6 29.36 21.11 9.0 4.90 6.0 17.28
H 0： 1 2 3 4 0 ，即总体中各偏回归系数均为0； H 1：总体中各偏回归系数不为0或不全为0；
= 0.05。
2 计算检验统计量： 3 确定P值，作出推断结论。
拒绝H0，说明从整体上而言，用这四个自变量构成 的回归方程解释糖尿病患者体内脂联素的变化是有统 计学意义的。
的平方和 (Y Yˆ)2为最小。
只有一个自变量
两个自变量
例12-1 为了研究有关糖尿病患者体内脂联素水平的影响因 素，某医师测定30例患者的BMI、病程、瘦素、空腹血糖， 数据如表12-1所示。
BMI (X1)
24.22 24.22 19.03 23.39 19.49 24.38 19.03 21.11 23.32 24.34 23.82 22.86

第十二章直线回归与相关_PPT幻灯片

第十二章直线回归与相关_PPT幻灯片

相同秩次较多时需校正：
rs =
[(n3-n)/6]-(TX+TY)-d2
[(n3-n)/6]-2TX [(n3-n)/6]-2TY
(T = (tj3 - tj)/12)
二. 等级相关系数的显著性检验
n50时: 查rs界值表； n >50时： u = rs n - 1
例 就下表资料分析血小板浓度和出血症的关系。
2.t检验 H0: =0;
H1: 0
t = b- = b
Sb
Sb
Sb =
MS误 (X - X)2
五. 直线回归的区间估计
1.总体回归系数的区间估计
b t/2,n-2Sb ,
Sb=
MS误 lXX
2. Y的估计
Y t/2,n-2SY ,
SY = SY.X
1
+ (X0 - X)2
n (X - X)2
相关程度。
第三节 直线回归与相ຫໍສະໝຸດ 的区别 和联系一.区别1.资料要求不同； 2.应用情况不同； 3.量纲不同。
二.联系
1.方向一致； 2.假设检验等价； 3.换算：
r = lxy / lXXlYY
所以 b = r lYY / lXX
另有：r = bb
b = lxy / lXX r = b lXX / lYY
12例病人的血小板浓度和出血症的关系
病例号 血小板数(109/L) 编秩 出血症状 编秩
d
1
120
1
++
10.5
9.5
2
130
3
160
2
+++
3
±
12
10

第12章简单回归分析2

第12章简单回归分析2
Y ˆ2.99+40.9 39X 73
假设检验
例： 用上例资料检验脐带血TSH水平对母血TSH水 平的直线关系是否成立?
Ho:β＝0 即母血TSH水平与脐带血TSH水平之间 无线性关系
H1:β≠0 即母血TSH水平与脐带血TSH水平之间有 线性关系
α ＝0.05
方差分析表
已知 υ1＝1， υ2＝8，查F界值表，得P<0.05，按 α＝0.05水准拒绝Ho，接受H1，故可以认为脐带血 TSH水平与母血TSH水平之间有线性关系
残差(residual)或剩余值，即实测值Y与假定回
归线上的估计值 Y ˆ 的纵向距离 Y Yˆ。
求解a、b实际上就是“合理地”找到一条能最好
地代表数据点分布趋势的直线。
原则：最小二乘法(least sum of squares)，即可 保证各实测点至直线的纵向距离的平方和最小。
最小二乘法
两部分构成，即：
(yy)(y ˆy)+(yy ˆ)
上式两端平方，然后对所有的n点求和，则有
(yy)2 [(y ˆy)+(yy ˆ)2 ]
离差平方和的分解
（三个平方和的关系）
1. 从图上看有
y y y y ˆ+ y ˆ y
2. 两端平方后求和有
n
求X，Y，l XX，lYY，l XY X 15.79 8 2.00，Y 249.01 8 31.13
lXX 47.0315.972 8 15.15 lYY 8468.78 249.012 8 718.03
lXY 594.4815.97249.01 8 97.39
另一次抽样研究 50岁年龄组舒张压得总体均数估

第十二章 直线相关与回归

第十二章 直线相关与回归
万象馆·20四、回归方程的应用
1．描述两个变量之间的数量依存关系 2．利用回归方程进行预测 3．利用回归方程进行统计控制万象馆·21五、注意事项
1．要求应变量Y服从正态分布，通常自变量X为可以精确 测量或严格控制的因素。
2．作回归分析时要有实际意义，不能把毫无关联的两事 物或现象进行回归分析。
r lXY
74.31
0.8115
lXX lYY设检验
❖ t 检验
tr
r0 Sr
r
1 r 2 /n 2
❖ 查表法
根据自由度查相关系数r界值表，查出r0.05()，若rr0.05() ,
则认为P0.05，不拒绝H0，若rr0.05() , 则认为P0.05， 拒绝H0，接受H1。
2．计算统计量
Y
Y
2
36.7324 (74.308)2
/ 228.2
12.541
SY .X
12.54 1.1199 12 2
sb
1.1199 0.0741 228.25
t 0.3256 断结果
查t值表，t0.01(10)=3.169，tb> t0.01(10) ，P<0.01，按 α=0.05水准，拒绝H0，接受H1，认为糖尿病患者血糖和 胰岛素之间存在直线回归关系。
1．在应用上不同 分析变量间关系的密切程度和方向时用相关，描述
变量间在数量上相互依存关系时用回归。 2．在资料要求上不同
相关分析要求X、Y均要服从正态分布，即双变量正 态分布资料。回归分析时，要求应变量Y服从正态分布， X是可以精确测量或严格控制的变量。万象馆·25（二）联 系
1．相关系数与回归系数的正负号相同。 2．回归系数与相关系数的假设检验等价。 3．可以用回归解释相关。

12章多重线性回归与相关

12章多重线性回归与相关

一、自变量筛选的标准与原则
2.残差均方缩小与调整决定系数增大 MS残=SS残/（n-p-1） MS残缩小的准则可以看做是在SS残缩小准则的基础上 增加了（n-p-1）-1因子，该因子随模型中自变量个数 p的增加而增加，体现了对模型中自变量个数增加而 施加的“惩罚”。 调整决定系数Ra2越大越好，与MS残等价。
包含汽车流量、气温、气湿与风速这四个自变量的回
归方程可解释交通点空气NO浓度变异性的78.74%
2.复相关系数R (multiple correlation coefficient)
定义为确定系数的算术平方根，
R SS回 SS总
表示变量Y与k个自变量的线性相关的密切程度。 对本例R=0.8837，表示交通点空气NO浓度与汽车流量、
表12-5 空气中NO浓度与各自变量的相关系数与偏相关系数
自变量 车流X1 相关系数 0.80800 偏相关系数 0.6920 偏相关系数P值 0.0005
气温X2
气湿X3 风速X4
0.1724
0.2754 -0.67957
0.47670
-0.00218 -0.59275
0.0289
0.9925 0.0046
第十二章
第一节 第二节 第三节 第四节
多重线性回归与相关
多重线性回归的概念与统计描述 多重线性回归的假设检验 复相关系数与偏相关系数 自变量筛选
一、整体回归效应的假设检验(方差分析)
表12-2 检验回归方程整体意义的方差分析表
变异来源 回归模型
残差 总变异
SS
0.0639 6 0.0172 7 0.0812 3
风速
(X4) 2.00 2.40 3.00 1.00 2.80 1.45 1.50 1.50 0.90 0.65 1.83 2.00

(完整版)第十二章相关和回归分析练习试题

第十二章相关与回归分析一、填空1.如果两变量的相关系数为0，说明这两变量之间_____________。

2.相关关系按方向不同，可分为__________和__________。

3.相关关系按相关变量的多少，分为______和复相关。

4．在数量上表现为现象依存关系的两个变量，通常称为自变量和因变量。

自变量是作为（变化根据）的变量，因变量是随（自变量）的变化而发生相应变化的变量。

5．对于表现为因果关系的相关关系来说，自变量一般都是确定性变量，因变量则一般是（随机性）变量。

6．变量间的相关程度，可以用不知Y与X有关系时预测Y的全部误差E1，减去知道Y与X有关系时预测Y的联系误差E2，再将其化为比例来度量，这就是（削减误差比例）。

7．依据数理统计原理，在样本容量较大的情况下，可以作出以下两个假定：（1）实际观察值Y围绕每个估计值cY是服从（）；（2）分布中围绕每个可能的cY值的（）是相同的。

7.已知：工资（元）倚劳动生产率（千元）的回归方程为xyc8010+=，因此，当劳动生产率每增长1千元，工资就平均增加 80 元。

8．根据资料，分析现象之间是否存在相关关系，其表现形式或类型如何，并对具有相关关系的现象之间数量变化的议案关系进行测定，即建立一个相关的数学表达式，称为（回归方程），并据以进行估计和预测。

这种分析方法，通常又称为（回归分析）。

9．积差系数r是（协方差）与X和Y的标准差的乘积之比。

二、单项选择1．欲以图形显示两变量X和Y的关系，最好创建（D ）。

A 直方图 B 圆形图 C 柱形图 D 散点图2．在相关分析中，对两个变量的要求是（ A ）。

A 都是随机变量B 都不是随机变量C 其中一个是随机变量，一个是常数D 都是常数3. 相关关系的种类按其涉及变量多少可分为( )。

A. 正相关和负相关B. 单相关和复相关C. 线性相关和非线性相关D. 不相关、不完全相关、完全相关4．关于相关系数，下面不正确的描述是（ B ）。

第十二章 回归分析

第十二章 回归分析
回归分析
如果我们将存在相关的两个变量，一个作为自变 量，另一个作为因变量，并把两者之间不十分稳 定的、准确的关系，用数学方程式来表达，则可 利用该方程由自变量的值来估计、预测因变量的 估计值，这一过程称为回归分析。 相关表示两个变量之间的双向相互关系，回归表 示一个变量随另一个变量做不同程度变化的单向 关系。
• 线性回归的基本假设
– – – – 线性关系 正态分布 独立性假设 误差等分散性假设
• 回归方程的建立
– 步骤：1）作散点图；2）设直线方程；3）选定具体方 法，计算表达式中的a和b；4）将a和b代入表达式，得 到回归方程。 – 方法：1）平均数法；2）最小二乘法。 • 最小二乘法：在配置回归线时，回归系数b的确定原则是 使散布图上各点距回归线上相应点的纵向距离平方和为最 小，这种求b的方法即最小二乘法。
• 回归分析与相关分析的关系
– 理解： • 同属相关分析； • 对称设计与不对称设计。 – 回归系数与相关系数的关系 • 相关系数是两个回归系数的几何平均数。
第二节 一元线性回归方程的检验
• 估计误差的标准差
某一X值相对应的诸Y 值，是以Y的平均数YX 为中 ˆ 心呈正态分布的。而与某一X值相对应的回归值 Y 就是与该X值相对应的那些诸Y值的平均数YX的估 ˆ 计值。由 Y 估计YX 会有一定的误差。误差大小 与X值相对应的诸Y值分布范围有关，范围大，误 差大，估计的准确性、可靠性小，范围小，误差小， 估计的准确性、可靠性大。 ˆ 我们需要一个用来描述由Y 估计YX 时误差大小的 指标，即估计误差的标准差。平均数与标准差未知， 样本的无偏估计量为：

a YX Y bYX X
• 列回归方程式（见教材）

最新直线相关与回归LinearcorrelationandregressionPPT课件


(YYˆ)2
n2
( Y Y ˆ ) 2 ( Y Y ) 2 [ ( X ( X X ) ( Y X ) 2 Y ) ] 2
根据数理统计的理论，同一批资料计算所得tr与tb 是相同的，即tr=tb。处理资料时可用检验相关显 著性代替其回归显著性。
由于 r在α=0.01水准上显著，故可判断样本回归系 数-8.5045与0的相差有显著性，说明存在凝血时 间随凝血酶浓度变化而变化的回归关系。
今∣tr∣>t0.01,13，P<0.01，在α=0.01水准上 拒绝H0，接受H1，故可认为凝血时间的长短与 血液中酶浓度有负相关。
（二）查表法： 为简化tr检验的计算过程，数理统计工作者根据t
分配表，已把不同自由度时r的临界值求出，并
列成相关系数界值表（见附表13-1）。故只需
查表就可知道该r值是否显著，不必再计算tr值。
b>0，Y随X的增大而增大（减少而减少）—— 斜上；
b<0，Y随X的增大而减小（减少而增加）—— 斜下；
b=0，Y与X无直线关系
—— 水平。
｜b｜越大，表示Y随X变化越快，直线越陡峭。
直线回归方程的计算
最小二乘法原则(least squares method)：使各散点到
直线的纵向距离的平方和最小。即： YYˆ最2小。
b ( X ( X X ) X Y ) 2 ( Y ) X X 2 Y X X 2 Y / n /n l l X XX Y
aYbX 因为直线一定经过“均数”点
举例
根据前面的相关分析以及医学上有关凝血的机理， 可知凝血时间依凝血酶浓度而异，且有密切的关 系。因此可进一步作由凝血酶浓度（X）推算凝 血时间（Y）的回归方程。步骤如下：

直线相关与回归


变量X和Y不服从双变量正态分 布，或均为多分类有序资料， 可以用Spearman秩相关
主要输出结果：
图 8-6 correlations结果
胸围与肺活量之间的相关系数为0.504，P=0.138，无 统计学意义，那么我们可以认为女大学生胸围与肺活量之 间不存在线性相关性。
Spearman 秩相关
例8-1. 某地10名一年级女大学生的胸围（cm）与肺活量（L） 数据见下表，试分析两个变量有无线性相关关系？
表 8-1 某地10名一年级女大学生的胸围（cm）与肺活量（L）
【操作步骤】
1. 建立SPSS数据文件，如图8-1所示
图8-1 数据库文件
2．绘制散点图，直观判断两个变量之间有无线性关系 Graphs —> Scatter/Dot… —> Simple Scatter —> Define， 将胸围选入X Axis中，将肺活量选入Y Axis中—>Titles…—> 在Title的Line 1中输入散点图的标题—>Continue—>OK。
单击Statistics，打开子对话框—> 在Regression Coefficients中选择 Estimates 选择Model fit—>Continue —>OK。
主要输出结果
图 8-14 拟合过程中变量进入/退出模型的情况 线性回归中只有一个自变量，并且采取强行进入的方法
图 8-15 模型的拟合优度情况 模型中相关系数R=0.882， 决定系数为0.778， 校正决定系数为0.740
一、直线相关
【目的】 掌握直线相关的作用、应用前提 掌握线性相关SPSS操作方法 正确解释线性相关的输出结果
【原理】
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题目12-1：某医生随机抽查了12名糖尿病患者的空腹血糖及胰岛素值，数据见下表，试做相关与回归分析编号
胰岛素X 血糖Y XY 1
10.313.32137.1962
11.210.82121.1843
14.012.04168.560
415.212.21185.5925
16.211.10179.8206
18.49.49174.6167
18.711.54215.7988
19.29.05173.7609
19.87.88156.02410
22.010.16223.52011
23.18.38193.57812
25.07.71192.750合计213.1123.702122.398
1.直线相关
直线相关是探讨服从正态分布的两个随机变量X 和Y 有无线性相关关系的一种统计分析方法。

样本含量
n 12相关系数
r -0.8115318相关系数的标准误
0.18477449检验统计量
4.39201203自由度
10P 值0.001351812.直线回归分析
直线回归分析是探讨两个连续性变量依存关系的一种统计分析方法，一般表达式为：在研究相关分析前，通常要绘制散点图，它可以直观的反映出两变量间有无线性关系。

直线相关
111血糖(m m o l /L )r s r t v ()(12-
-=n r r
样本含量
n 12回归系数
b -0.3255558截距
a 16.0896612回归系数的标准误
0.07412452剩余标准差
1.11986708检验统计量
4.39201203自由度
10P 值
0.00135181决定系数0.65858386列 1列 2列 1
1列 2-0.81153181
SUMMARY OUTPUT 回归统计Multiple R 0.8115318R Square 0.658583863Adjusted R Square
0.624442249标准误差
1.119867078观测值12
方差分析
df
SS MS F 回归分析
124.1913439424.1913439419.28976963残差
1012.54102273 1.254102273总计1136.73236667
Coefficients 标准误差t Stat P-value
x y s .b s v b t 2
r xx x y b l s s .
Intercept16.08966123 1.35544369811.87040174 3.23529E-07 X Variable 1-0.3255557710.074124517-4.3920120260.001351809
RESIDUAL OUTPUT
观测值预测 Y残差标准残差
112.736436790.5835632110.546534737
212.4434366-1.623436595-1.520425682
311.531880440.5081195620.475878167
411.14121351 1.068786487 1.000969442
510.815657740.2843422580.266300065
610.09943505-0.609435047-0.570764944
710.00176832 1.538231684 1.440627225
89.838990431-0.788990431-0.738927111
99.643656968-1.763656968-1.651748739
108.927434273 1.232565727 1.154356499
118.569322926-0.189322926-0.177309936
127.950766962-0.240766962-0.225489725
岛素值，数据见下表，试做相关与回归分析。

关关系的一种统计分析方法。

方法，一般表达式为：两变量间有无线性关系。

线相关与回归
=t r bx a y
+=ˆb
s b t 0-=2-=n v
Significance F
0.001351809
Lower 95%Upper 95%下限 95.0%
上限 95.0%
b s
13.0695444719.10977813.0695444719.109778
-0.490715486-0.1603961-0.49071549-0.1603961
PROBABILITY OUTPUT
百分比排位Y
4.1666666677.71
12.57.88
20.833333338.38
29.166666679.05
37.59.49
45.8333333310.16
54.1666666710.82
62.511.1
70.8333333311.54
79.1666666712.04
87.512.21
95.8333333313.32。