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精品文档二次函数a ，b ，c 符号问题1、已知二次函数2y ax bx c =++的图象如下，则下列结论正确的是（1）a>0 ；（2）b>•0；（3）c<0；（4）0ab < ；（5）0ab <； （6）0bc <；；（7）2a+b>0 ；（8）4a+b<0 ；（9）abc ＜0；（10）0a b c ++>；（11）；a-b ＋c ＜0 ；（12）a ＋c ＞b ；（13）9a-3b ＋c ＜0；(14）4a-2b ＋c ＜0 ；（15）240b ac -> ； (16） 0＜a b 2；（17），（的实数） ；（18）3a+c<0 ；（19）；（20）（a+c ）2<b 22、二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图所示，下列结论：①c<0，②b>•0，•③4a+2b+c>0，④（a+c ）2<b 2．其中正确的有（ ）A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个3、已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示,则下列结论: ①a,b 同号;②当1x =和3x =时,函数值相等;③40a b +=④当2y =-时, x 的值只能取0.其中正确的个数是( )A.1个B.2个C. 3个D. 4个4、已知二次函数2y ax bx c =++(0a ≠)的图象如图所示，有下列结论：①240b ac ->；②0abc >；③80a c +> ④930a b c ++<． 其中，正确结论的个数是（ ）A . 1 B . 2 C . 3 D . 411O y精品文档 5、已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，有以下结论：①0a b c ++<；②1a b c -+>；③0abc >；④420a b c -+<；⑤1c a ->其中所有正确结论的序号是（ ）A ．①②B ． ①③④C ．①②③⑤D ．①②③④⑤。
人教版数学九年级上册同步专题五《二次函数abc符号问题》强化练习卷一、选择题1.如图，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于点(﹣3，0)，其对称轴为直线x=﹣.结合图象分析下列结论：①abc＞0；②3a+c＞0；③当x＜0时，y随x的增大而增大；④一元二次方程cx2+bx+a=0的两根分别为x1=﹣，x2=；⑤＜0；⑥若m，n(m＜n)为方程a(x+3)(x﹣2)+3=0的两个根，则m＜﹣3且n＞2，其中正确的结论有( )A．3个 B．4个 C．5个 D．6个2.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图所示，图象过点(-1，0)，对称轴为直线x=2.下列结论：①4a+b=0；②9a+c＞3b；③8a+7b+2c＞0；④当x＞-1时，y的值随x值的增大而增大.其中正确的结论有( )A.1个B.2个C.3个D.4个3.在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示.现给以下结论：①abc＜0；②c+2a＜0；③9a﹣3b+c=0；④a﹣b≥m(am+b)(m为实数)；⑤4ac﹣b2＜0．其中错误结论的个数有( )A．1个 B．2个 C．3个 D．4个4.已知点(1，y1)、(-2，y2)、(-4，y3)都是抛物线y=-2ax2-8ax+3(a＜0)图象上的点，则下列各式中正确的是( )A.y1＜y3＜y2B.y3＜y2＜y1C.y2＜y3＜y1D.y1＜y2＜y35.如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象.对于下列说法：①ac＞0，②2a+b＞0，③4ac＜b2，④a+b+c＜0，⑤当x＞0时，y随x的增大而减小.其中正确的是( )A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．③④⑤6.如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点的横坐标分别为﹣1，3，则下列结论正确的个数有（）①ac＜0；②2a+b=0；③4a+2b+c＞0；④对于任意x均有ax2+bx≥a+b．A.1B.2C.3D.47.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示．下列结论：①abc＞0；②2a﹣b＜0；③4a﹣2b+c＜0；④（a+c）2＜b2其中正确的个数有（）A.1B.2C.3D.48.已知二次函数y=x2－2x－3，点P在该函数的图象上，点P到x轴、y轴的距离分别为d1、d2．设d=d1+d2,下列结论中：①d没有最大值；②d没有最小值；③－1＜x＜3时,d随x的增大而增大；④满足d=5的点P有四个.其中正确结论的个数有( )A．1个 B．2个 C．3个 D．4个9.如图，抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是x=﹣1.且过点（0.5,0），有下列结论:①abc＞0；②a﹣2b+4c=0；③25a﹣10b+4c=0；④3b+2c＞0；⑤a﹣b≥m(am-b).其中所有正确的结论是（）A.①②③B.①③④C.①②③⑤D.①③⑤10.二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴是直线x=1，下列结论：①2a+b=0；②b+2c＜0；③4a+2b+c＜0；④若（0，y1），（1.5，y2）是抛物线上的两点，那么y1＜y2．其中正确的是（）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④11.已知抛物线y=ax2+bx+c（b＞a＞0）与x轴最多有一个交点，现有以下四个结论：①该抛物线的对称轴在y轴左侧；②关于x的方程ax2+bx+c+2=0无实数根；③a﹣b+c≥0；④的最小值为3．其中，正确结论的个数为（）A.1个B.2个C.3个D.4个12.二次函数y=x2+bx的图象的对称轴为直线x=1，若关于x的一元二次方程x2+bx-t=0（t为实数）在-1<x<4的范围内有解，则t的取值范围是( )A.t≥-1B.-1≤t<3C.3<t<8D.-1≤t<8二、填空题13.如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的交点A、B的横坐标分别为﹣1，3，与y轴负半轴交点C．在下面五个结论中：①bc＞0；②a+b+c＜0；③c=﹣3a；④当﹣1＜x＜3时，y＞0；⑤如果△ABC为直角三角形，那么仅a=一种情况.其中正确的结论是．（只填序号）14.如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是x=﹣1，且过点（0.5，0），有下列结论：①abc＞0；②a﹣2b+4c=0；③25a﹣10b+4c=0；④3b+2c＞0．其中所有正确的结论是（填写序号）15.如图，是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，已知抛物线的对称轴是直线x=2，与x 轴的一个交点是（-1，0）.有下列结论：①abc＜0，②4a+b=0，③抛物线与x轴的另一个交点是（5,0），④若点（﹣2,y1），（5,y2）都在抛物线上,则有y1＜y2，请将正确选项的序号都填在横线上．16.如图,二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（﹣1，2），且与x轴交点的横坐标分别为x1、x2，其中﹣2＜x1＜﹣1，0＜x2＜1，下列结论：①4a﹣2b+c＜0；②2a﹣b＜0；③abc＜0；④b2+8a＜4ac．其中正确的结论有．（填写正确结论的序号）17.图为二次函数y=ax2+bx+c的图象，给出下列说法：①ab＜0；②方程x2+bc+c=0的根为x1=﹣1，x2=3；③a+b+c＞0；④当x＞1时，y随x值的增大而增大；⑤当y＞0时，﹣1＜x＜3．其中正确的说法有．（请写出所有正确说法的序号）18.如图所示,在平面直角坐标系中,二次函数y=ax2+c(a≠0)的图象过正方形ABOC的三顶点A,B,C,则ac的值是 .19.如图，抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是x=-1．且过点（0.5，0），有下列结论：①abc＞0；②a﹣2b+4c=0；③25a﹣10b+4c=0；④3b+2c＞0；⑤a﹣b≥m（am﹣b）；其中所有正确的结论是．（填写正确结论的序号）20.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，它与x轴的两个交点分别为（-1，0），（3，0）．对于下列命题：①b-2a=0；②abc＜0；③a-2b+4c＜0；④8a+c＞0．其中正确的有 .参考答案1.C.2.B3.A.4.C5.C.6.C7.D．8.B9.D10.A11.D12.D13.答案为①②③⑤14.答案为：①③．15.答案为：②③．16.答案为：①②．17.答案为：①②④．18.答案为:-219.答案为：①③⑤．20.答案为：①；。
y二次函数符号专题练习 一．基础练习1、已知抛物线y=ax 2+bx+c （a ≠0）在平面直角坐标系中的位置如图所示，则下列结论中，正确的是（ ） A 、a ＞0 B 、b ＜0 C 、c ＜0 D 、a+b+c ＞02、二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图，其对称轴x=-1，给出下列结果①b 2＞4ac ；②abc ＞0；③2a+b=0；④a+b+c ＞0；⑤a-b+c ＜0，则正确的结论是（ ） A 、①②③④ B 、②④⑤ C 、②③④ D 、 ①④⑤3、如图，二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与y 轴正半轴相交，其顶点坐标为 （ 0.5，1），下列结论：①ac ＜0；②a+b=0；③4ac-b 2=4a ；④a+b+c ＜0． 其中正确结论的个数是（ ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、44、已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示， 对称轴为直线x=1，则下列结论正确的是（ ） A 、ac ＞0 B 、方程ax 2+bx+c=0的两根是x 1=-1，x 2=3 C 、2a-b=0 D 、当x ＞0时，y 随x 的增大而减小第1题图 第2题图 第3题图 5.如图所示的二次函数y=ax 2+bx+c 的图象中，下面四条信息： （1）b 2-4ac ＞0；（2）c ＞1；（3）2a-b ＜0； （4）a+b+c ＜0．错误的有（ ）A 、2个B 、3个C 、4个D 、1个 6、已知二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图所示， 现有下列结论：①b 2-4ac ＞0 ②abc ＞0 ③8a+c ＞0 ④9a+3b+c ＜0 则其中结论正确 的个数是（ ） A 、2个 B 、3个 C 、4个 D 、5个7、（无图）已知二次函数y=ax 2的图象开口向上，则直线y=ax-1经过的象限是（ ） A 、一、二、三 B 、二、三、四 C 、一、二、四 D 、一、三、四8、如图，是二次函数 y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象的一部分， 则： ①a+b+c=0；②b ＞2a ③ax 2+bx+c=0的两根分别为 9、二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，则 abc ，ac b 42-，b a +2，c b a ++这四个式子中，值为正数的有（ ）A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个从上表可知，x=3时，y=11. 关于x 的二次函数22(81)8y mx m x m =+++的图像与x 轴有交点，则m 的范围是 。
二次函数a、b、c、△符号问题及相关问题一选择题1.如图所示，抛物线的图象则下列结论正确的是（）A a<0，b<0，c＞0，b2＜4acB a<0，b>0，c<0，b2＜4acC a<0，b>0，c＞0，b2>4acD a>0，b<0，c＞0，b2>4ac2.如图a＜0，c＞0那么y＝ax2＋bx＋c的图象是（）3.已知二次函数y=ax2+bx+c (a≠0）的图象如图所示，则下列结论：①a、b同号；②当x=1和x=3时，函数值相等；③ 4a+b=0；④当y=－2时，x的值只能取0．其中正确的个数是（）A l个 B 2个 C 3个 D 4个4.二次函数y=mx2+2mx-（3-m）的图象如图所示，则m的取值范围是（）A m＜3B m＞3C m＞0D 0＜m＜35.在同一直角坐标系中，一次函数y=ax+c和二次函数y=ax2+c的图象大致为( )6.已知抛物线y=x2+bx+c的部分图象如右图所示，若y<0，则x的取值范围是（）A −1<x<4B -1<x<3C x<-1或x>4D x<-1或x>37.在某次投篮中，球的运动路线是y=-0.2x2+3.5的一部分(如图)，若命中篮圈中心，则他与篮底的距离为( )A 3.5mB 4mC 4.5mD 4.6m8.若抛物线y=x2+8x+h2的顶点在x轴上，则（）A h=0 B h=±16 C h=±4 D h=49.如果二次函数y=ax2+m的值恒大于0，那么必有（）A a＞0，m取任意实数B a＞0，m＞0C a＜0，m＞0D a，m均可取任意实数10.已知a-b+c=0，9a+3b+c=0，则抛物线y=ax2+bx+c的顶点可能在( )A 第一或二象限B 第三或四象限C 第一或四象限D 第二或四象限11.抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）经过点（﹣1，0），且满足4a+2b+c＞0，以下结论：①a+b＞0；②a+c＞0；③﹣a+b+c ＞0；④b2﹣2ac＞5a2，其中正确的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个12.物线y=ax2+bx+c(a≠0)全部图象都在x轴下方，则( )A a>0，b2-4ac≥0B a>0，b2-4ac<0C a>0，b2-4ac≥0D a<0，b2-4ac<0二填空题13.若二次函数y=(a-1)x2-2x+1的图象与x轴只有一个交点，则a=________14.不论x取什么实数，y=2x2-6x+m的图象都在x轴的上方，那么m的取值范围是________；y=mx2－3x＋2m－m2的图象经过原点，则m＝15.二次函数y＝x2-(m-4)x+9的图象的顶点在y轴上，则m＝16.二次函数y＝x2＋2kx＋8的顶点在x轴上，则k＝17.已知抛物线y＝x2－2（k+1）x＋16的顶点在x轴上，则k的值为______18.抛物线y＝x2－(m－4)x－m与x轴的两个交点关于y轴对称，其顶点坐标为______19.已知抛物线y＝x2+2（m－3）x＋1的顶点在x轴上，则m＝______顶点坐标是_________20.平移抛物线y = x2+2x-8，使它经过原点，写出平移后抛物线的一个解析式21.如果二次函数y=x2-3x-2k,不论x取任何实数,都有y>0,则k的取值范围是________22.把抛物线y=2(x+1)2向下平移______单位后,所得抛物线在x轴上截得的线段长为523.抛物线y=-3(x+2)2的顶点坐标是_____________,若将它旋转180后得新的抛物线,其解析式为____________________24.把y=x2+bx+c的图象向右平移3个单位,再向下平移2个单位,所得图象的解析式是y=x2-3x+5,则有b=_____，c=_____三解答题25.如图，抛物线y＝ax2+bx＋c确定a，b，c，b2-4ac，a+b+c，a-b+c的符号26.抛物线y＝ax2+bx＋c的图像如图，对称轴是直线x＝－1确定a,b,c，Δ及a－b＋c 的符号27.已知抛物线y＝ax2+bx+c的一段图象如图所示．（1）确定a、b、c的符号；（2）求a+b+c的取值范围．28.如图为二次函数y=ax2＋bx＋c的图象，在下列说法中：①ac＜0；②方程ax2＋bx＋c=0的根是x1= －1, x2= 3；③a＋b＋c＞0；④当x＞1时，y随x的增大而增大.正确的说法有_____________29.有一个抛物线形的桥洞，桥洞离水面的最大高度BM为3米，跨度OA为6米，以OA所在直线为x轴，O为原点建立直角坐标系（如图所示）．（1）请你直接写出O、A、M三点的坐标；（2）一艘小船平放着一些长3米，宽2米且厚度均匀的矩形木板，要使该小船能通过此桥洞，问这些木板最高可堆放多少米（设船身底板与水面在同一平面）？30.如图，二次函数y=x2+bx+c的图象经过点M（1，—2）、N（—1，6）.（1）求二次函数的关系式；（2）把Rt△ABC 放在坐标系内，其中∠CAB=900，点A、B的坐标分别为（1，0）、（4，0），BC = 5，将△ABC沿x轴向右平移，当点C落在抛物线上时，求△ABC平移的距离.二次函数a、b、c、△符号问题及相关问题答案1.C2.D3.B4.D5.B6.B7.B8.C9.B 10.C 11.D 12.D11.分析（1）因为抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）经过点（﹣1，0），把点（﹣1，0）代入解析式，结合4a+2b+c＞0，即可整理出a+b＞0；（2）②+①×2得，6a+3c＞0，结合a＜0，故可求出a+c＞0；（3）画草图可知c＞0，结合a﹣b+c ＝0，可整理得﹣a+b+c＝2c＞0，从而求得﹣a+b+c＞0；（4）把（﹣1，0）代入解析式得a﹣b+c＝0，可得出2a+c＞0，再由a＜0，可知c＞0则c﹣2a＞0，故可得出（c+2a）（c﹣2a）＞0，即b2﹣2ac﹣5a2＞0，进而可得出结论．解：（1）因为抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）经过点（﹣1，0），所以原式可化为a﹣b+c＝0 ①，又因为4a+2b+c＞0 ②，所以②﹣①得：3a+3b＞0，即a+b＞0；（2）②+①×2得，6a+3c＞0，即2a+c＞0，∴a+c＞﹣a，∵a＜0，∴﹣a＞0，故a+c＞0；（3）因为4a+2b+c＞0，可以看作y＝ax2+bx+c（a＜0）当x＝2时的值大于0，草图为：可见c＞0，∵a﹣b+c＝0，∴﹣a+b﹣c＝0，两边同时加2c得﹣a+b﹣c+2c＝2c，整理得﹣a+b+c＝2c＞0，即﹣a+b+c＞0；（4）∵过（﹣1，0），代入得a﹣b+c＝0∴b2﹣2ac﹣5a2＝（a+c）2﹣2ac﹣5a2＝c2﹣4a2＝（c+2a）（c﹣2a）又∵4a+2b+c＞04a+2（a+c）+c＞0，即2a+c＞0①，∵a＜0，∴c＞0则c﹣2a＞0②，由①②知（c+2a）（c﹣2a）＞0，所以b2﹣2ac﹣5a2＞0，即b2﹣2ac＞5a2,综上可知正确的个数有4个．故选：D．13.2 14.m＞9／2，2 15.4 16.±22 17.3或-5 18.（0，-4） 19.4或2，（1,0）或（-1,0） 20.y=x2+2x 21.k＜-9／8 22. 25／2 23.（-2,0），y=3（x+2）2 24.3，725. a＜0，b＞0，c＞0，b2-4ac＞0，a+b+c＞0，a-b+c＜026.a＜0，b＜0，c＞0，△＞0，a-b+c＞027.解：（1）根据抛物线开口向上，则a＞0，∵对称轴在x轴正半轴可知﹣＞0，∴b＜0，又与y轴交点在y轴负半轴，∴c＜0，故a＞0，b＜0，c＜0；（2）∵抛物线y＝ax2+bx+c过点（﹣1，0），（0，﹣1），∴a﹣b+c＝0，c＝﹣1，即a﹣b＝1，a＝b+1，∴a+b+c＝b+1+b﹣1＝2b，∵b＜0，∴2b＜0，∵a＞0，∴b+1＞0，∴b＞﹣1，2b＞﹣2，故，﹣2＜a+b+c＜0．28.①②④29.解：（1）解：如图，O（0，0）．∵OA为6米，∴A（6，0），又∵BM的对称轴，BM为3米，∴M（3，3）．综上所述，O（0，0），A（6，0），M（3，3）．（2）设抛物线的关系式为y＝a（x﹣3）2+3，因为抛物线过点（0，0），所以0＝a（0﹣3）2+3，解得a＝﹣，所以y＝﹣（x﹣3）2+3＝﹣x2+2x，要使木板堆放最高，依据题意，得B点应是木板宽CD的中点，把x＝2代入y＝﹣x2+2x，得y＝，所以这些木板最高可堆放米．30.解：（1）∵M（1，﹣2），N（﹣1，6）在二次函数y＝x2+bx+c的图象上，∴，解得二次函数的关系式为y＝x2﹣4x+1．（2）Rt△ABC中，AB＝3，BC，＝5，∴AC＝4，4＝x2﹣4x+1，x2﹣4x﹣3＝0，解得（负值不合题意舍去），∵A（1，0），∴点C落在抛物线上时，△ABC向右平移（1+）个单位．。
二次函数中的符号问题(°、b、C、△等符号)预习案回顾知识点：1、抛物线y=ax1+bx+c的开口方向与有关；2、抛物线y=αv2+bx+c与y轴的交点是；3、抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是；总结：抛物线产加+法+c的符号问题：(1)。
的符号：由抛物线的开口方向确定开口向上：a>0；开口向下：«<0(2)c的符号：由抛物线与)，轴的交点位置确定：交点在X轴上方：OO；交点在X轴下方：c<0；经过坐标原点：C=O(3)b的符号：由对称轴的位置确定：对称轴在y轴左侧：a、b同号；对称轴在y轴右侧：4、b异号;对称轴是)，轴：b=0简记为：左同右异(4)从-4"的符号：由抛物线与X轴的交点个数确定：与X轴有两个交点：b2-4ac>0i与X轴有一个交点：b2-4ac=0↑与X轴无交点：b2-4ac<0(5)α+Hc的符号：由X=I时抛物线上的点的位置确定(6)Q-Hc的符号：由X=T时抛物线上的点的位置确定探究案探究一抛物线y=0x2+bx+c如图所示，试确定〃、b、c、△的符号：练一练：1.二次函数y=αχ2+"+C•的图象如图所示，则一次函数y=bx+4的图象不经过()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.已知抛物线)，=加+公+c(WO)在平面直角坐标系中的位置如图所示，则下列结论中正确的是( )A.aX)B.b<0C.CyOD.α+b+c>O3.已知二次函数y=αf+加+c(αwθ)的图象如图，对称轴为“=_1下列结论中正确24 .如图所示的二次函数y="?+云+c 的图象中，刘星同学观察得出了下面四条信息:6.如图是二次函数），=如2+"+°（。
=0）在平面直角坐标系中的图象，根据图形判断：①c >0；②a+b+c <0；③2a-b <0；b 2+Sa>4ac .其中正确的是（填写序1Q的函数的一些结论：①当机=-3时，函数图象的顶点坐标是（1-）；②当m>033时，函数图象截X 轴所得的线段长度大于∙∣;③当机<0时，函数在时，），随X 的增大而减小；④当小声0时，函数图象经过同一个点.其中正确的结论有（ ） A.®®®®B.①®® C.①③④D.®®9.已知二次函数y=f1√+∕λx +c 的图象如图所示，有以下结论：①a+Z?+c<0；②α-b+c>1：③H?c>0；④4Q -2Z J +C <0；⑤。
10A B C D二次函数：图象位置与a，b，c，（1）a决定抛物线的开口方向：a>0⇔；a<0⇔．（2）C决定抛物线与y轴交点的位置，c>0⇔抛物线交y轴于；c<0⇔抛物线交y轴于；c=0⇔．（3）ab决定抛物线对称轴的位置，当a,b同号时⇔对称轴在y轴；b=0⇔对称轴为；a,b异号⇔对称轴在y轴，简称为．一、通过抛物线的位置判断a，b，△c，的符号．例1．根据二次函数y=ax2+bx+c的图象，判断a、b、c、b2-4ac的符号yx2.看图填空（1）a＋b＋c_______0（2）a－b＋c_______0（3）2a－b_______0（4）4a＋2b＋c_______0二、通过a，b，△c，的符号判断抛物线的位置：例1．若a<0,b>0,c<0，则抛物线y=ax2+bx+c的大致图象为（）y y y yOx O x O x O xA B C D例2．若a＞0，b＞0，c＞△0，＞0，那么抛物线y=ax2+bx+c经过象限．例3.已知二次函数y=ax2+bx+c且a＜0，a-b+c＞0；则一定有b2-4ac0例4．如果函数y=kx+b的图象在第一、二、三象限内，那么函数y=kx2+bx-1的大致图象是（）y yy 1x0x-1x 0-101．若抛物线y=ax2+bx+c开口向上，则直线y=ax+3经过象限．2．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则下列条件不正确的是()yO x3．二次函数 y=ax 2+bx+c 的图象如图，则点, ⎪ 在．（ ）⎝ b 2 - 4ac b ⎭y yA 、 a < 0, b > 0, c < 0B 、 b 2 - 4ac < 0C 、 a + b + c < 0D 、 a - b + c > 0⎛ a + b ac ⎫yA 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限O4．二次函数 y=ax 2+bx+c 与一次函数 y = ax + c 在同一坐标系中的图象大致是() yyO xO xO x OxABCD5．二次函数 y=ax 2+bx+c (a ≠ 0)的图象，如图，下列结论①c < 0 ② b > 0 ③ 4a + 2b + c > 0 ④ (a + c )2 < b 2 其中正确的有（）A 、1 个B 、2 个C 、3 个D 、4 个6．已知函数 y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，关于系数 a, b , cyOxx = 1y有下列不等式① a < 0 ② b < 0 ③ c > 0 ④ 2a + b < 0 ⑤ a + b + c > 0 其中正确个数为 ．7．已知直线 y=ax 2+bx+c 不经过第一象限，则抛物线y = ax 2 + bx 一定经过（）A ．第一、二、四象限B ．第一、二、三象限C ．第一、二象限D ．第三、四象限8. 如图所示的抛物线是二次函数 y ＝ax 2-3x ＋a 2-1 的图象，那么 a 的值是__．- O 1x．． 轴正半轴相交，其顶点坐标为,1⎪ ，下列结论：①ac＜0；② 精品资料 欢迎下载9. 若抛物线 y ＝x 2－bx ＋9 的顶点在 x 轴上，则 b 的值为______若抛物线 y ＝x 2－bx ＋9 的顶点在 y 轴上，则 b 的值为______10．已知二次函数 y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)的图象如图所示，有下列结论：①abc＞0；②a＋b ＋c=2； ③a >结论是( )1 2；④b＜1．其中正确的A ．①②B ．②③C ．②④D ．③④11.二次函数 y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)的图象开口向上，图象经过点（-1,2）和（1,0），且与 y 轴负半轴交于一点，给出以下结论①abc＜0；②2a＋b ＞0；③a＋c ＝1；④a＞1．其中正确的结论是()A 、1 个B 、2 个C 、3 个D 、4 个12. 二次函数 y ＝ax 2 －2x －1 与 x 轴有交点，则 k 的取值范围________。
二次函数符号确定能力训练题二1. 如图，二次函数y=ax 2+bx+c 的图象经过点（-1，2）且与x 轴交点的横坐标分别为x 1，x 2，其中121x -<<-，201x <<．下列结论：①4a-2b+c ＜0；② 20a b -<；③ 30a b ->；④ 284b a ac +>其中正确的结论有（D ）A 、1B 、2C 、3D 、42.如图，二次函数y=ax 2+bx+c 的图象经过点（-1，2）且与x 轴交点的横坐标分别为x 1，x 2，其中121x -<<-，201x <<．下列结论：①4a-2b+c ＜0；② 20a b -<；③284b a ac +>；④1b <-。
其中正确的结论有（ D ）A 、1B 、2C 、3D 、43.（南开2016九下阶段测试三）如图，二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图像与x 轴交于(1,0)及1(,0)x ，且121x -<<-，与y 轴的交点在(0,2)上方，则下列结论中错误的是（C ）A ．0abc >B ．0a b c ++=C ．21a b ->-D ．20a c +<4.（南开2016九下半期）如图，抛物线22y x bx c =++的顶点在OAB ∆的边OB 、AB 上运动（不经过点O ，点A ），已知()0,2A ，()2,1B -，则下列说法错误的是（ D ） A 、08b <≤ B 、09c <≤ C 、12c b +> D 、2816b c <-5.（重庆一中2016九下半期）右图是二次函数2y ax bx c =++图象的一部分，过点（1x ，0），132x -<<-，对称轴为直线1x =-．给出四个结论：①0abc >；②20a b +=；③24b ac >；④ 320b c +>，其中正确的结论有 （ B ）①③A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6. （南开2016九下阶段测试二）二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，则下列结论： ①0abc >；②b a >；③0>+-c b a ；④284b a ac >-，其中正确的是 （填序号）7.已知函数y=ax 2+bx+c ，图象如图所示，则下列结论中正确的有（ ）个①abc ＜0； ②a+c ＜b ； ③a+b+c ＞0； ④2c ＜3b ．A 、1 B 、2 C 、3 D 、48.已知二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象如图所示，下列结论：①abc ＞0；②b ＜a+c ；③2a+b=0；④a+b ＞m （am+b ）（m ≠1的实数）．其中正确的结论有（ ） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个第11题图-2-3yOx-19.已知二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象如图所示，给出以下结论：①0<abc ．②042>-b ac ．③02=-b a ．④03>+c a ．⑤b a b am m -<-)(，)1(>m ，其中正确的结论有（ ）个 A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个10.已知抛物线y=ax 2+bx+c 的图象经过点（1，2），且a-b+c ＜0如图所示，则下列结论： ①abc ＞0；②a+b+c=2；③b 2-4ac ＜0；④a+c ＜1；⑤b ＞1．其中正确结论的个数是 （ ） A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个11、已知二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象如图所示，有下列结论：（1）b 2-4ac ＞0； （2）abc ＞0；（3）8a+c ＞0；（4）6a+3b+c ＞0，其中正确的结论的个数是（ ） A ．4 B ．3 C.2 D.112.如图是二次函数y=ax 2+bx+c 图象的一部分，图象过点A （x 1，0），-3＜x 1＜-2，对称轴为x=-1．给出四个结论：①abc ＞0；②2a+b=0；③b 2＞4ac ；④a-b ＞m （ma+b ）（m≠-1的实数）；⑤3b+2c ＞0．其中正确的结论有（ ） A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个13.（2006•武汉）已知抛物线y=ax 2+bx+c （a ＞0）的对称轴为直线x=-1，与x 轴的一个交点为（x 1，0），且0＜x 1＜1，下列结论：①9a-3b+c ＞0；②b ＜a ；③3a+c ＞0．其中正确结论的个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．314.（2003•武汉）已知：抛物线2(0)y ax bx c a =++<经过点（-1，0），且满足4a+2b+c ＞0，以下结论： ①a+b ＞0；②a+c ＞0；③-a+b+c ＞0；④b 2-2ac ＞5a 2，其中正确的个数有（ D ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个15.（2014•大港区二模）已知抛物线)0(2≠++=a c bx ax y 的开口向下，且经过点（1，2），与x 轴交点的横坐标分别为x 1，x 2，其中-1＜x 1＜0，1＜x 2＜2，下列结论： ①2a-b ＜0；②4a+2b+c ＜0；③c-a-2＜0；④b 2+8a-4ac ＜0． 其中，正确的结论的个数是（ C ）A 、4 B 、3 C 、2 D 、116.（2012秋•建瓯市校级期中）已知二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象与x 轴交于点（-2，0）、（x1，0），且1＜x 1＜2，与y 轴的正半轴的有交点，下列结论：①b ＜0；②b2-4ac=0；③c ＜0；④0＜ba＜1．其中正确结论的个数是（ ）A 、4 B 、3 C 、2 D 、117.如图，二次函数2y ax bx c =++（0a ≠）的图象与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，且OC OA =．则下列结论：①0<abc ；②0442>-a ac b ； ③01=+-b ac ； ④acOB OA -=⋅． 其中正确结论的个数是（B ）A ．4B ．3C ．2D ．1xy O A BC二次函数符号确定能力训练题三1.（2014•松山区校级模拟）如图，二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象经过点（1，2），且与x 轴交点的横坐标分别为x 1，x 2，其中-1＜x 1＜0，1＜x 2＜2．下列结论：①abc ＜0；②b ＜-2a ；③284b a ac +>；④2a+c ＜0．其中正确的结论有（ C ）A ．1B ．2C ．3D ．42.（2015•宝坻区二模）如图，二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象经过点A （1，2），与x 轴交点的横坐标分别为x 1，x 2，其中-1＜x 1＜0，1＜x 2＜2，下列结论：①4a+2b+c ＜0，②2a+b ＜0，③284b a ac +>，④a ＞-1，其中结论正确的有（ C ）A ．1B ．2C ．3D ．43.（2016•成都模拟）如图，已知二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图形经过点（1，2），且与x 轴交点的横坐标分别为x 1，x 2，其中-1＜x 1＜0，1＜x 2＜2，下列结论：①abc ＜0；②a ＜b ＜-2a ；③b 2+8a ＜4ac ；④-1＜a ＜0．其中正确结论的序号是4.如图，二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象经过点（-1，2），且与x 轴交点的横坐标分别为x 1、x 2，其中-2＜x 1＜-1，0＜x 2＜1，下列结论 ①4a-2b+c ＜0； ②2a-b ＜0； ③abc ＜0； ④b 2+8a ＜4ac ⑤a+c ＜-1．其中正确的有（ A ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个5.（2010•南充自主招生）如图所示，二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象经过点（-1，2），且与x 轴交点的横坐标分别为x 1、x 2，其中-2＜x 1＜-1，0＜x 2＜1，下列结论 ①4a-2b+c ＜0；②2a-b ≥0；③2a ＜-1；④284b a ac +>， 其中正确的序号为①③④6．如图所示，二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象经过点（-1，2），且与x 轴交点的横坐标为别为x 1、x 2，其中-2＜x 1＜-1，0＜x 2＜1．下列结论： ①2a-b ＜0；②2b c a +< ；③a ＜-1；④284b a ac +>． 其中正确的有（ D ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个。
二次函数中符号问题练习题（含答案）一．选择题（共15小题）1．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），其部分图象如图所示，下列结论：①4ac＜b2；②方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=﹣1，x2=3；③3a+c＞0④当y＞0时，x的取值范围是﹣1≤x＜3⑤当x＜0时，y随x增大而增大其中结论正确的个数是（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个2．在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列说法正确的是（）A．abc＜0，b2﹣4ac＞0 B．abc＞0，b2﹣4ac＞0C．abc＜0，b2﹣4ac＜0 D．abc＞0，b2﹣4ac＜01 2 3 4 5 6 7 3．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，以下四个结论：①a＞0；②c＞0；③b2﹣4ac＞0；④﹣＜0，正确的是（）A．①②B．②④C．①③D．③④4．二次函数y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，且a≠0）的图象如图所示，下列结论错误的是（）A．4ac＜b2B．abc＜0 C．b+c＞3a D．a＜b5．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，给出下列四个结论：①4ac﹣b2＜0；②3b+2c＜0；③4a+c ＜2b；④m（am+b）+b＜a（m≠﹣1），其中结论正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．46．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=﹣1，给出下列结论：①b2=4ac；②abc＞0；③a＞c；④4a﹣2b+c＞0，其中正确的个数有（）A．1个B．2个 C．3个 D．4个7．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴是直线x=1，下列结论：①ab＜0；②b2＞4ac；③a+b+2c＜0；④3a+c＜0．其中正确的是（）A．①④B．②④C．①②③D．①②③④8．如图，抛物线y=ax2+bx+c经过点（﹣1，0），对称轴l如图所示．则下列结论：①abc＞0；②a﹣b+c=0；③2a+c＜0；④a+b＜0，其中所有正确的结论是（）A．①③B．②③C．②④D．②③④9．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=﹣2，与x轴的一个交点在（﹣3，0）和（﹣4，0）之间，其部分图象如图所示．则下列结论：①4a﹣b=0；②c＜0；③﹣3a+c＞0；④4a﹣2b＞at2+bt（t 为实数）；⑤点（﹣，y1），（﹣，y2），（﹣，y3）是该抛物线上的点，则y1＜y2＜y3，正确的个数有（）A．4个B．3个 C．2个 D．1个8 9 10 11 12 1310．如图所示，抛物线y=ax2+bx+c的顶点为B（﹣1，3），与x轴的交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，以下结论：①b2﹣4ac=0；②a+b+c＞0；③2a﹣b=0；④c﹣a=3其中正确的有（）个．A．1 B．2 C．3 D．411．如图，在平面直角坐标系中2条直线为l1：y=﹣3x+3，l2：y=﹣3x+9，直线l1交x轴于点A，交y轴于点B，直线l2交x轴于点D，过点B作x轴的平行线交l2于点C，点A、E关于y轴对称，抛物线y=ax2+bx+c 过E、B、C三点，下列判断中：①a﹣b+c=0；②2a+b+c=5；③抛物线关于直线x=1对称；④抛物线过点（b，c）；⑤S=5，四边形ABCD其中正确的个数有（）A．5 B．4 C．3 D．212．如图抛物线y=ax2+bx+c的图象交x轴于A（﹣2，0）和点B，交y轴负半轴于点C，且OB=OC，下列结论：①2b﹣c=2；②a=；③ac=b﹣1；④＞0其中正确的个数有（）A．1个B．2个 C．3个 D．4个13．如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），顶点坐标（1，n），与y轴的交点在（0，3），（0，4）之间（包含端点），则下列结论：①abc＞0；②3a+b＜0；③﹣≤a≤﹣1；④a+b≥am2+bm（m 为任意实数）；⑤一元二次方程ax2+bx+c=n有两个不相等的实数根，其中正确的有（）A．2个B．3个 C．4个 D．5个14．已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=2，与x轴的一个交点坐标为（4，0），其部分图象如图所示，下列结论：①抛物线过原点；②4a+b+c=0；③a﹣b+c＜0；④抛物线的顶点坐标为（2，b）；⑤当x＜2时，y随x增大而增大．其中结论正确的是（）A．①②③B．③④⑤C．①②④D．①④⑤二．填空题（共5小题）19．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x=2，下列结论：①4a+b=0；②9a+c＞3b；③8a+7b+2c＞0；④当x＞﹣1时，y的值随x值的增大而增大．其中正确的结论有（填序号）19 20 21 22 2320．函数y=x2+bx+c与y=x的图象如图所示，有以下结论：①b2﹣4c＞0；②b+c+1=0；③3b+c+6=0；④当1＜x＜3时，x2+（b﹣1）x+c＜0；其中正确的个数有个．21．抛物线y=ax2+bx+c的顶点为D（﹣1，2），与x轴的一个交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，其部分图象如图，则以下结论：①b2﹣4ac＜0；②a+b+c＜0；③c﹣a=2；④方程ax2+bx+c﹣2=0有两个相等的实数根．其中正确的结论有（填序号）．22．如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A（﹣3，0），对称轴为x=﹣1．给出四个结论：①b2＞4ac；②2a+b=0；③a﹣b+c=0；④5a＜b．其中正确结论是．23．如图所示的二次函数y=ax2+bx+c的图象中，刘星同学观察得出了下面四条信息：（1）b2﹣4ac＞0；（2）c＞1；（3）2a﹣b＜0；（4）a+b+c＜0．你认为其中错误的有个．三．解答题（共1小题）24．如图，抛物线y=ax2﹣x﹣2（a≠0）的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，已知B点坐标为（4，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得PB+PC的和最小？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点M是线段BC下方的抛物线上一点，求△MBC面积的最大值，并求出此时M点的坐标．参考答案与试题解析一．选择题（共18小题）1．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），其部分图象如图所示，下列结论：①4ac＜b2；②方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=﹣1，x2=3；③3a+c＞0④当y＞0时，x的取值范围是﹣1≤x＜3⑤当x＜0时，y随x增大而增大其中结论正确的个数是（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【分析】利用抛物线与x轴的交点个数可对①进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的一个交点坐标为（3，0），则可对②进行判断；由对称轴方程得到b=﹣2a，然后根据x=﹣1时函数值为0可得到3a+c=0，则可对③进行判断；根据抛物线在x轴上方所对应的自变量的范围可对④进行判断；根据二次函数的性质对⑤进行判断．【解答】解：∵抛物线与x轴有2个交点，∴b2﹣4ac＞0，所以①正确；∵抛物线的对称轴为直线x=1，而点（﹣1，0）关于直线x=1的对称点的坐标为（3，0），∴方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=﹣1，x2=3，所以②正确；∵x=﹣=1，即b=﹣2a，而x=﹣1时，y=0，即a﹣b+c=0，∴a+2a+c=0，所以③错误；∵抛物线与x轴的两点坐标为（﹣1，0），（3，0），∴当﹣1＜x＜3时，y＞0，所以④错误；∵抛物线的对称轴为直线x=1，∴当x＜1时，y随x增大而增大，所以⑤正确．故选B．【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b 和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定：△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．2．在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列说法正确的是（）A．abc＜0，b2﹣4ac＞0 B．abc＞0，b2﹣4ac＞0C．abc＜0，b2﹣4ac＜0 D．abc＞0，b2﹣4ac＜0【分析】首先根据图象中抛物线的开口方向、对称轴的位置、与y轴交点的位置来判断出a、b、c的位置，进而判断各结论是否正确．【解答】解：根据二次函数的图象知：抛物线开口向上，则a＞0；抛物线的对称轴在y轴右侧，则x=﹣＞0，即b＜0；抛物线交y轴于负半轴，则c＜0；∴abc＞0，∵抛物线与x轴有两个不同的交点，∴△=b2﹣4ac＞0，故选B．【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，由图象找出有关a，b，c的相关信息以及抛物线与x 轴交点情况，是解题的关键．3．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，以下四个结论：①a＞0；②c＞0；③b2﹣4ac＞0；④﹣＜0，正确的是（）A．①②B．②④C．①③D．③④【分析】①由抛物线开口向上可得出a＞0，结论①正确；②由抛物线与y轴的交点在y轴负半轴可得出c＜0，结论②错误；③由抛物线与x轴有两个交点，可得出△=b2﹣4ac＞0，结论③正确；④由抛物线的对称轴在y轴右侧，可得出﹣＞0，结论④错误．综上即可得出结论．【解答】解：①∵抛物线开口向上，∴a＞0，结论①正确；②∵抛物线与y轴的交点在y轴负半轴，∴c＜0，结论②错误；③∵抛物线与x轴有两个交点，∴△=b2﹣4ac＞0，结论③正确；④∵抛物线的对称轴在y轴右侧，∴﹣＞0，结论④错误．故选C．【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系以及抛物线与x轴的交点，观察函数图象逐一分析四条结论的正误是解题的关键．4．二次函数y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，且a≠0）的图象如图所示，下列结论错误的是（）A．4ac＜b2B．abc＜0 C．b+c＞3a D．a＜b【分析】根据二次函数的图象与性质即可求出答案．【解答】解：（A）由图象可知：△＞0，∴b2﹣4ac＞0，∴b2＞4ac，故A正确；∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线与y轴的负半轴，∴c＜0，∵抛物线对称轴为x=﹣＜0，∴b＜0，∴abc＜0，故B正确；∵当x=﹣1时，y=a﹣b+c＞0，∴a+c＞b，∵b＞2a∴a+b+c＞2b＞4a，b+c＞3a故C正确；∵当x=﹣1时y=a﹣b+c＞0，∴a﹣b+c＞c，∴a﹣b＞0，∴a＞b，故D错误；故选（D）【点评】本题考查二次函数图象与性质，解题的关键是熟练运用二次函数的性质，本题属于中等题型，5．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，给出下列四个结论：①4ac﹣b2＜0；②3b+2c＜0；③4a+c＜2b；④m（am+b）+b＜a（m≠﹣1），其中结论正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】由抛物线与x轴有两个交点得到b2﹣4ac＞0，可判断①；根据对称轴是x=﹣1，可得x=﹣2、0时，y的值相等，所以4a﹣2b+c＞0，可判断③；根据﹣=﹣1，得出b=2a，再根据a+b+c＜0，可得b+b+c＜0，所以3b+2c＜0，可判断②；x=﹣1时该二次函数取得最大值，据此可判断④．【解答】解：∵图象与x轴有两个交点，∴方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，∴b2﹣4ac＞0，∴4ac﹣b2＜0，①正确；∵﹣=﹣1，∴b=2a，∵a+b+c＜0，∴b+b+c＜0，3b+2c＜0，∴②是正确；∵当x=﹣2时，y＞0，∴4a﹣2b+c＞0，∴4a+c＞2b，③错误；∵由图象可知x=﹣1时该二次函数取得最大值，∴a﹣b+c＞am2+bm+c（m≠﹣1）．∴m（am+b）＜a﹣b．故④正确∴正确的有①②④三个，故选C．【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题的关键是能看懂图象，利用数形结合的思想解答．6．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=﹣1，给出下列结论：①b2=4ac；②abc＞0；③a＞c；④4a﹣2b+c＞0，其中正确的个数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】①利用抛物线与x轴有2个交点和判别式的意义对①进行判断；②由抛物线开口方向得到a＞0，由抛物线对称轴位置确定b＞0，由抛物线与y轴交点位置得到c＞0，则可作判断；③利用x=﹣1时a﹣b+c＜0，然后把b=2a代入可判断；④利用抛物线的对称性得到x=﹣2和x=0时的函数值相等，即x=﹣2时，y＞0，则可进行判断．【解答】解：①∵抛物线与x轴有2个交点，∴△=b2﹣4ac＞0，所以①错误；②∵抛物线开口向上，∴a＞0，∵抛物线的对称轴在y轴的右侧，∴a、b同号，∴b＞0，∵抛物线与y轴交点在x轴上方，∴c＞0，∴abc＞0，所以②正确；③∵x=﹣1时，y＜0，即a﹣b+c＜0，∵对称轴为直线x=﹣1，∴﹣=﹣1，∴b=2a，∴a﹣2a+c＜0，即a＞c，所以③正确；④∵抛物线的对称轴为直线x=﹣1，∴x=﹣2和x=0时的函数值相等，即x=﹣2时，y＞0，∴4a﹣2b+c＞0，所以④正确．所以本题正确的有：②③④，三个，故选C．【点评】本题考查了二次函数与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），要熟练掌握以下几点：①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；③常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）；④抛物线与x轴交点个数由△决定：△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．7．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴是直线x=1，下列结论：①ab＜0；②b2＞4ac；③a+b+2c＜0；④3a+c＜0．其中正确的是（）A．①④B．②④C．①②③D．①②③④【分析】由抛物线开口方向得到a＞0，然后利用抛物线抛物线的对称轴得到b的符合，则可对①进行判断；利用判别式的意义和抛物线与x轴有2个交点可对②进行判断；利用x=1时，y＜0和c＜0可对③进行判断；利用抛物线的对称轴方程得到b=﹣2a，加上x=﹣1时，y＞0，即a﹣b+c＞0，则可对④进行判断．【解答】解：∵抛物线开口向上，∴a＞0，∵抛物线的对称轴为直线x=﹣=1，∴b=﹣2a＜0，∴ab＜0，所以①正确；∵抛物线与x轴有2个交点，∴△=b2﹣4ac＞0，所以②正确；∵x=1时，y＜0，∴a+b+c＜0，而c＜0，∴a+b+2c＜0，所以③正确；∵抛物线的对称轴为直线x=﹣=1，∴b=﹣2a，而x=﹣1时，y＞0，即a﹣b+c＞0，∴a+2a+c＞0，所以④错误．故选C．【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b 和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）．抛物线与x轴交点个数有△决定：△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．8．如图，抛物线y=ax2+bx+c经过点（﹣1，0），对称轴l如图所示．则下列结论：①abc＞0；②a﹣b+c=0；③2a+c＜0；④a+b＜0，其中所有正确的结论是（）A．①③B．②③C．②④D．②③④【分析】①根据开口向下得出a＜0，根据对称轴在y轴右侧，得出b＞0，根据图象与y轴的交点在y轴的正半轴上，得出c＞0，从而得出abc＜0，进而判断①错误；②由抛物线y=ax2+bx+c经过点（﹣1，0），即可判断②正确；③由图可知，x=2时，y＜0，即4a+2b+c＜0，把b=a+c代入即可判断③正确；④由图可知，x=2时，y＜0，即4a+2b+c＜0，把c=b﹣a代入即可判断④正确．【解答】解：①∵二次函数图象的开口向下，∴a＜0，∵二次函数图象的对称轴在y轴右侧，∴﹣＞0，∴b＞0，∵二次函数的图象与y轴的交点在y轴的正半轴上，∴c＞0，∴abc＜0，故①错误；②∵抛物线y=ax2+bx+c经过点（﹣1，0），∴a﹣b+c=0，故②正确；③∵a﹣b+c=0，∴b=a+c．由图可知，x=2时，y＜0，即4a+2b+c＜0，∴4a+2（a+c）+c＜0，∴6a+3c＜0，∴2a+c＜0，故③正确；④∵a﹣b+c=0，∴c=b﹣a．由图可知，x=2时，y＜0，即4a+2b+c＜0，∴4a+2b+b﹣a＜0，∴3a+3b＜0，∴a+b＜0，故④正确．故选D．【点评】本题考查了二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的性质：①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；|a|还可以决定开口大小，|a|越大开口就越小．②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）③常数项c决定抛物线与y轴交点．抛物线与y轴交于（0，c）．④抛物线与x 轴交点个数．△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．9．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=﹣2，与x轴的一个交点在（﹣3，0）和（﹣4，0）之间，其部分图象如图所示．则下列结论：①4a﹣b=0；②c＜0；③﹣3a+c＞0；④4a﹣2b＞at2+bt（t 为实数）；⑤点（﹣，y1），（﹣，y2），（﹣，y3）是该抛物线上的点，则y1＜y2＜y3，正确的个数有A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【分析】根据抛物线的对称轴可判断①，由抛物线与x轴的交点及抛物线的对称性可判断②，由x=﹣1时y＞0可判断③，由x=﹣2时函数取得最大值可判断④，根据抛物线的开口向下且对称轴为直线x=﹣2知图象上离对称轴水平距离越小函数值越大，可判断⑤．【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x=﹣=﹣2，∴4a﹣b=0，所以①正确；∵与x轴的一个交点在（﹣3，0）和（﹣4，0）之间，∴由抛物线的对称性知，另一个交点在（﹣1，0）和（0，0）之间，∴抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴，即c＜0，故②正确；∵由②知，x=﹣1时y＞0，且b=4a，即a﹣b+c=a﹣4a+c=﹣3a+c＞0，所以③正确；由函数图象知当x=﹣2时，函数取得最大值，∴4a﹣2b+c≥at2+bt+c，即4a﹣2b≥at2+bt（t为实数），故④错误；∵抛物线的开口向下，且对称轴为直线x=﹣2，∴抛物线上离对称轴水平距离越小，函数值越大，∴y1＜y3＜y2，故⑤错误；故选：B．【点评】本题考查了二次函数与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定：△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x 轴有1个交点；△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．10．如图所示，抛物线y=ax2+bx+c的顶点为B（﹣1，3），与x轴的交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，以下结论：①b2﹣4ac=0；②a+b+c＞0；③2a﹣b=0；④c﹣a=3其中正确的有（）个．A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根据抛物线的图象与性质即可判断．【解答】解：抛物线与x轴有两个交点，∴△＞0，∴b2﹣4ac＞0，故①错误；由于对称轴为x=﹣1，∴x=﹣3与x=1关于x=﹣1对称，∵x=﹣3时，y＜0，∴x=1时，y=a+b+c＜0，故②错误；∵对称轴为x=﹣=﹣1，∴2a﹣b=0，故③正确；∵顶点为B（﹣1，3），∴y=a﹣b+c=3，∴y=a﹣2a+c=3，即c﹣a=3，故④正确；故选（B）点评】本题考查抛物线的图象与性质，解题的关键是熟练运用抛物线的图象与性质，本题属于中等题型．11．如图，在平面直角坐标系中2条直线为l1：y=﹣3x+3，l2：y=﹣3x+9，直线l1交x轴于点A，交y轴于点B，直线l2交x轴于点D，过点B作x轴的平行线交l2于点C，点A、E关于y轴对称，抛物线y=ax2+bx+c 过E、B、C三点，下列判断中：=5，①a﹣b+c=0；②2a+b+c=5；③抛物线关于直线x=1对称；④抛物线过点（b，c）；⑤S四边形ABCD其中正确的个数有（）A．5 B．4 C．3 D．2【分析】根据直线l1的解析式求出A（1，0），B（0，3），根据关于y轴对称的两点坐标特征求出E（﹣1，0）．根据平行于x轴的直线上任意两点纵坐标相同得出C点纵坐标与B点纵坐标相同都是3，再根据二次函数图象上点的坐标特征求出C（2，3）．利用待定系数法求出抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3，进而判断各选项即可．【解答】解：∵直线l1：y=﹣3x+3交x轴于点A，交y轴于点B，∴A（1，0），B（0，3），∵点A、E关于y轴对称，∴E（﹣1，0）．∵直线l2：y=﹣3x+9交x轴于点D，过点B作x轴的平行线交l2于点C，∴D（3，0），C点纵坐标与B点纵坐标相同都是3，把y=3代入y=﹣3x+9，得3=﹣3x+9，解得x=2，∴C（2，3）．∵抛物线y=ax2+bx+c过E、B、C三点，∴，解得，∴y=﹣x2+2x+3．①∵抛物线y=ax2+bx+c过E（﹣1，0），∴a﹣b+c=0，故①正确；②∵a=﹣1，b=2，c=3，∴2a+b+c=﹣2+2+3=3≠5，故②错误；③∵抛物线过B（0，3），C（2，3）两点，∴对称轴是直线x=1，∴抛物线关于直线x=1对称，故③正确；④∵b=2，c=3，抛物线过C（2，3）点，∴抛物线过点（b，c），故④正确；⑤∵直线l1∥l2，即AB∥CD，又BC∥AD，∴四边形ABCD是平行四边形，=BC•OB=2×3=6≠5，故⑤错误．∴S四边形ABCD综上可知，正确的结论有3个．故选C．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，一次函数、二次函数图象上点的坐标特征，关于y轴对称的两点坐标特征，平行于x轴的直线上任意两点坐标特征，待定系数法求抛物线的解析式，平行四边形的判定及面积公式，综合性较强，求出抛物线的解析式是解题的关键．12．如图抛物线y=ax2+bx+c的图象交x轴于A（﹣2，0）和点B，交y轴负半轴于点C，且OB=OC，下列结论：①2b﹣c=2；②a=；③ac=b﹣1；④＞0其中正确的个数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】根据抛物线的开口方向，对称轴公式以及二次函数图象上点的坐标特征来判断a、b、c的符号以及它们之间的数量关系，即可得出结论．【解答】解：据图象可知a＞0，c＜0，b＞0，∴＜0，故④错误；∵OB=OC，∴OB=﹣c，∴点B坐标为（﹣c，0），∴ac2﹣bc+c=0，∴ac﹣b+1=0，∴ac=b﹣1，故③正确；∵A（﹣2，0），B（﹣c，0），抛物线线y=ax2+bx+c与x轴交于A（﹣2，0）和B（﹣c，0）两点，∴2c=，∴2=，∴a=，故②正确；∵ac﹣b+1=0，∴b=ac+1，a=，∴b=c+1∴2b﹣c=2，故①正确；故选：C．【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b 和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）；常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y 轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定：△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．13．如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），顶点坐标（1，n），与y轴的交点在（0，3），（0，4）之间（包含端点），则下列结论：①abc＞0；②3a+b＜0；③﹣≤a≤﹣1；④a+b≥am2+bm（m为任意实数）；⑤一元二次方程ax2+bx+c=n有两个不相等的实数根，其中正确的有（）A．2个B．3个 C．4个 D．5个【分析】根据抛物线开口向下判断出a＜0，再根据顶点横坐标用a表示出b，根据与y轴的交点求出c的取值范围，然后判断出①错误，②正确，根据点A的坐标用c表示出a，再根据c的取值范围解不等式求出③正确，根据顶点坐标判断出④正确，⑤错误，从而得解．【解答】解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵顶点坐标（1，n），∴对称轴为直线x=1，∴﹣=1，∴b=﹣2a＞0，∵与y轴的交点在（0，3），（0，4）之间（包含端点），∴3≤c≤4，∴abc＜0，故①错误，3a+b=3a+（﹣2a）=a＜0，故②正确，∵与x轴交于点A（﹣1，0），∴a﹣b+c=0，∴a﹣（﹣2a）+c=0，∴c=﹣3a，∴3≤﹣3a≤4，∴﹣≤a≤﹣1，故③正确，∵顶点坐标为（1，n），∴当x=1时，函数有最大值n，∴a+b+c≥am2+bm+c，∴a+b≥am2+bm，故④正确一元二次方程ax2+bx+c=n有两个相等的实数根x1=x2=1，故⑤错误，综上所述，结论正确的是②③④共3个．故选B．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，主要利用了二次函数的开口方向，对称轴，最值问题，以及二次函数图象上点的坐标特征，关键在于根据顶点横坐标表示出a、b的关系．14．已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=2，与x轴的一个交点坐标为（4，0），其部分图象如图所示，下列结论：①抛物线过原点；②4a+b+c=0；③a﹣b+c＜0；④抛物线的顶点坐标为（2，b）；⑤当x＜2时，y随x增大而增大．其中结论正确的是（）A．①②③B．③④⑤C．①②④D．①④⑤【分析】①由抛物线的对称轴结合抛物线与x轴的一个交点坐标，可求出另一交点坐标，结论①正确；②由抛物线对称轴为2以及抛物线过原点，即可得出b=﹣4a、c=0，即4a+b+c=0，结论②正确；③根据抛物线的对称性结合当x=5时y＞0，即可得出a﹣b+c＞0，结论③错误；④将x=2代入二次函数解析式中结合4a+b+c=0，即可求出抛物线的顶点坐标，结论④正确；⑤观察函数图象可知，当x＜2时，yy随x增大而减小，结论⑤错误．综上即可得出结论．【解答】解：①∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=2，与x轴的一个交点坐标为（4，0），∴抛物线与x轴的另一交点坐标为（0，0），结论①正确；②∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=2，且抛物线过原点，∴﹣=2，c=0，∴b=﹣4a，c=0，∴4a+b+c=0，结论②正确；③∵当x=﹣1和x=5时，y值相同，且均为正，∴a﹣b+c＞0，结论③错误；④当x=2时，y=ax2+bx+c=4a+2b+c=（4a+b+c）+b=b，∴抛物线的顶点坐标为（2，b），结论④正确；⑤观察函数图象可知：当x＜2时，y随x增大而减小，结论⑤错误．综上所述，正确的结论有：①②④．故选C．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数图象与系数的关系以及二次函数图象上点的坐标特征，逐一分析五条结论的正误是解题的关键．二．填空题（共5小题）19．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x=2，下列结论：①4a+b=0；②9a+c＞3b；③8a+7b+2c＞0；④当x＞﹣1时，y的值随x值的增大而增大．其中正确的结论有①③（填序号）【分析】由抛物线的对称轴方程得到b=﹣4a＞0，则可对①进行判断；由于x=﹣3时，y＜0，则可对②进行判断；利用抛物线与x轴的一个交点为（﹣1，0）得a﹣b+c=0，把b=﹣4a代入可得c=﹣5a，则8a+7b+2c=﹣30a，于是可对③进行判断；根据而此函数的性质可对④进行判断．【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x=﹣=2，∴b=﹣4a＞0，即4a+b=0，所以①正确；∵x=﹣3时，y＜0，∴9a﹣3b+c＜0，即9a+c＜3b，所以②错误；∵抛物线与x轴的一个交点为（﹣1，0），∴x=﹣1时，a﹣b+c=0，∴a+4a+c=0，∴c=﹣5a，∴8a+7b+2c=8a﹣28a﹣10a=﹣30a，而a＜0，∴8a+7b+2c＞0，所以③正确；∵抛物线的对称轴为直线x=2，∴当x＜2时，函数值随x增大而增大，所以④错误．故答案为①③．【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），a决定抛物线的开口方向和大小，当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab ＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定：△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．20．函数y=x2+bx+c与y=x的图象如图所示，有以下结论：①b2﹣4c＞0；②b+c+1=0；③3b+c+6=0；④当1＜x＜3时，x2+（b﹣1）x+c＜0；其中正确的个数有2个．【分析】由函数y=x2+bx+c与x轴无交点，可得b2﹣4c＜0；当x=1时，y=1+b+c=1；当x=3时，y=9+3b+c=3；当1＜x＜3时，二次函数值小于一次函数值，可得x2+bx+c＜x，继而可求得答案．【解答】解：∵函数y=x2+bx+c与x轴无交点，∴b2﹣4ac＜0；故①错误；当x=1时，y=1+b+c=1，故②错误；∵当x=3时，y=9+3b+c=3，∴3b+c+6=0；③正确；∵当1＜x＜3时，二次函数值小于一次函数值，∴x2+bx+c＜x，∴x2+（b﹣1）x+c＜0．故④正确．故答案是：2．故④正确．故答案是：2．【点评】主要考查图象与二次函数系数之间的关系．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．21．抛物线y=ax2+bx+c的顶点为D（﹣1，2），与x轴的一个交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，其部分图象如图，则以下结论：①b2﹣4ac＜0；②a+b+c＜0；③c﹣a=2；④方程ax2+bx+c﹣2=0有两个相等的实数根．其中正确的结论有②③④（填序号）．【分析】由抛物线与x轴有两个交点得到b2﹣4ac＞0；由抛物线顶点坐标得到抛物线的对称轴为直线x=﹣1，则根据抛物线的对称性得抛物线与x轴的另一个交点在点（0，0）和（1，0）之间，所以当x=1时，y＜0，则a+b+c＜0；由抛物线的顶点为D（﹣1，2）得a﹣b+c=2，由抛物线的对称轴为直线x=﹣=﹣1得b=2a，所以c﹣a=2；根据二次函数的最大值问题，当x=﹣1时，二次函数有最大值为2，即只有x=﹣1时，ax2+bx+c=2，所以说方程ax2+bx+c﹣2=0有两个相等的实数根．【解答】解：∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，所以①错误；∵顶点为D（﹣1，2），∴抛物线的对称轴为直线x=﹣1，∵抛物线与x轴的一个交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，∴抛物线与x轴的另一个交点在点（0，0）和（1，0）之间，∴当x=1时，y＜0，∴a+b+c＜0，所以②正确；∵抛物线的顶点为D（﹣1，2），∴a﹣b+c=2，∵抛物线的对称轴为直线x=﹣=﹣1，∴b=2a，∴a﹣2a+c=2，即c﹣a=2，所以③正确；∵当x=﹣1时，二次函数有最大值为2，即只有x=﹣1时，ax2+bx+c=2，∴方程ax2+bx+c﹣2=0有两个相等的实数根，所以④正确．故答案为②③④．【点评】本题考查了二次函数的图象与系数的关系：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象为抛物线，当a＞0，抛物线开口向上；对称轴为直线x=﹣；抛物线与y轴的交点坐标为（0，c）；当b2﹣4ac＞0，抛物线与x轴有两个交点；当b2﹣4ac=0，抛物线与x轴有一个交点；当b2﹣4ac＜0，抛物线与x轴没有交点．22．如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A（﹣3，0），对称轴为x=﹣1．给出四个结论：①b2＞4ac；②2a+b=0；③a﹣b+c=0；④5a＜b．其中正确结论是①④．【分析】①由图象与x轴有交点，对称轴为x==﹣1，与y轴的交点在y轴的正半轴上，可以推出b2﹣4ac＞0，可对①进行判断；②由抛物线的开口向下知a＜0，与y轴的交点在y轴的正半轴上得到c＞0，由对称轴为x==﹣1，可以②进行分析判断；③由x=﹣1时y有最大值，由图象可知y≠0，可对③进行分析判断；④把x=1，x=﹣3代入解析式得a+b+c=0，9a﹣3b+c=0，两边相加整理得5a﹣b=﹣c＜0，即5a＜b，即可对④进行判断．【解答】解：①∵图象与x轴有交点，对称轴为x==﹣1，与y轴的交点在y轴的正半轴上，又∵二次函数的图象是抛物线，∴与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac，故①正确；②∵抛物线的开口向下，∴a＜0，∵与y轴的交点在y轴的正半轴上，∴c＞0，∵对称轴为x==﹣1，∴2a=b，∴2a+b=4a，a≠0，故②错误；③∵x=﹣1时y有最大值，由图象可知y≠0，故③错误；④把x=1，x=﹣3代入解析式得a+b+c=0，9a﹣3b+c=0，两边相加整理得5a﹣b=﹣c＜0，即5a＜b，故④正确；故答案为：①④．【点评】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，解答此类问题的关键是掌握二次函数y=ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定，解题时要注意数形结合思想的运用．23．如图所示的二次函数y=ax2+bx+c的图象中，刘星同学观察得出了下面四条信息：（1）b2﹣4ac＞0；（2）c＞1；（3）2a﹣b＜0；（4）a+b+c＜0．你认为其中错误的有1个．【分析】由抛物线的图象可得：抛物线开口向下，与x轴有两个交点，与y轴的交点在0到1之间，对称轴在﹣1到0之间，且x=1时，对应的函数值小于0，对四个选项进行判断，即可得到错误选项的个数．【解答】解：由图象可知：抛物线与x轴交于两个点，∴b2﹣4ac＞0，选项（1）正确；由函数图象可得0＜c＜1，选项（2）错误；由抛物线的对称轴的位置可得：﹣1＜﹣＜0，又抛物线开口向下，∴a＜0，不等式﹣1＜﹣变形得：2a＜b，即2a﹣b＜0，选项（3）正确；由函数图象可得：当x=1时对应的函数值小于0，即a+b+c＜0，选项（4）正确，其中错误的选项为（2），共1个．其中错误的选项为（2），共1个．故答案为：1【点评】此题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），a由抛物线的开口方向决定；c由抛物线与y轴交点位置决定；b的符合由a及对称轴的位置共同决定，抛物线与x轴交点的个数由根的判别式b2﹣4ac来决定，此外可以由抛物线上特殊点对应的函数值的正负来决定所求式子的正确与否，比如出现判断a+b+c的正负，即要找x=1时的函数值的正负，判断a﹣b+c的正负即要找x=﹣1时的函数值的正负．三．解答题（共1小题）24．如图，抛物线y=ax2﹣x﹣2（a≠0）的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，已知B点坐标为（4，0）．。
