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上海市考研数学复习资料线性代数重点知识梳理在上海市考研数学复习中，线性代数是一个非常重要的考试科目。
掌握线性代数的核心知识，对于考生取得好成绩至关重要。
本文将针对上海市考研数学复习资料，对线性代数的重点知识进行梳理和总结，帮助考生更好地复习备考。
一、矩阵与行列式1. 矩阵的基本概念与运算矩阵是线性代数中重要的概念之一。
在考试中，考生需要熟悉矩阵的定义、矩阵的转置、矩阵的加法和乘法等基本运算。
同时，要掌握矩阵的特殊类型，如零矩阵、单位矩阵和对角矩阵等。
2. 行列式的定义与性质行列式是线性代数中重要的工具之一，用于求解线性方程组的解、判断矩阵是否可逆等。
考生需要掌握行列式的定义、计算方法和基本性质，如行列式的展开定理、行列式的性质和行列式的性质等。
二、向量空间与线性相关性1. 向量空间的概念与性质向量空间是线性代数中的核心概念之一，用于描述由一组向量生成的空间。
考生需要掌握向量空间的定义、向量的线性组合、向量空间的性质等基本知识。
2. 线性无关性与线性相关性线性无关性与线性相关性是考核考生对向量空间中向量关系的理解与判断能力。
考生需要掌握线性无关的定义、判断线性无关性的条件和计算线性相关性的方法。
三、线性变换与矩阵1. 线性变换的定义与性质线性变换是研究向量空间之间映射关系的重要内容。
考生需要了解线性变换的定义、线性变换的性质和线性变换的矩阵表示等。
2. 线性变换的矩阵表示线性变换的矩阵表示是线性代数中的核心概念之一，用于将线性变换与矩阵相联系。
考生需要熟悉线性变换的矩阵表示的计算方法和矩阵的秩、矩阵的特征值等。
四、特征值与特征向量1. 特征值与特征向量的定义与性质特征值与特征向量是矩阵与线性变换中的重要概念，具有广泛的应用。
考生需要了解特征值和特征向量的定义、计算方法和相关性质。
2. 对角化与相似矩阵对角化和相似矩阵是矩阵与线性变换中的重要内容，用于简化矩阵的计算与分析。
考生需要了解对角化的条件、对角化的方法和相似矩阵的性质等。
考研数学线性代数重点整理一、矢量空间矢量空间是线性代数的基础概念，它描述了一组对象（称为矢量）的性质及其之间的运算规则。
以下是矢量空间的一些重要性质和定义：1. 定义：矢量空间是满足以下8个条件的集合V，其中两个运算（加法和乘法）满足特定的性质。
2. 加法：对于任意的矢量u和v，它们的和u+v也是V中的一个矢量。
3. 加法交换律：对于任意的矢量u和v，有u+v = v+u。
4. 加法结合律：对于任意的矢量u、v和w，有(u+v)+w = u+(v+w)。
5. 加法单位元：存在一个称为零矢量的特殊矢量0，对于任意的矢量v，有v+0 = 0+v = v。
6. 加法逆元：对于任意的矢量v，存在一个称为负矢量的特殊矢量-u，使得v+(-u) = (-u)+v = 0。
7. 乘法定义：对于任意的矢量v和实数c，cv也是V中的一个矢量。
8. 乘法分配律：对于任意的矢量v和实数c和d，有c(dv) = (cd)v。
9. 乘法单位元：对于任意的矢量v，有1v = v。
二、矩阵与线性方程组矩阵是线性代数中另一个重要的概念，它可以用来表示线性方程组和线性变换。
以下是与矩阵和线性方程组相关的一些重要内容：1. 矩阵定义：将数按矩形排列成的矩形数表称为矩阵，其中行数和列数分别称为矩阵的行数和列数。
2. 矩阵运算：矩阵之间可以进行加法和乘法的运算，具体规则如下：- 矩阵加法：对应位置元素相加。
- 矩阵乘法：设A是一个m×n矩阵，B是一个n×p矩阵，那么它们的乘积AB是一个m×p矩阵，乘法规则为A的行乘以B的列。
3. 线性方程组：线性方程组是一组线性方程的集合，矩阵可以用来表示和求解线性方程组。
对于一个m×n矩阵A、一个n×1矩阵X和一个m×1矩阵B，线性方程组可以表示为AX=B。
4. 线性方程组的解：根据矩阵的性质，可以通过高斯消元法、矩阵求逆等方法求解线性方程组。
2024年考研数学一专题线性代数历年题目归纳线性代数是考研数学一科目中的重要内容之一，涉及到矩阵、向量、线性方程组等多个概念和方法。
了解历年考研数学一专题线性代数的题目，可以帮助考生更好地掌握该专题的重点和难点，提高解题能力。
本文将对2024年考研数学一专题线性代数历年题目进行归纳，以供考生参考。
1. 矩阵运算题矩阵的加法、减法、乘法是线性代数的基本内容，考研中常涉及到矩阵的运算性质和运算规律。
如下是一道历年考研数学一专题线性代数中的矩阵运算题目：【例题】已知矩阵A=（a_{ij}）_{m×n}，矩阵B=（b_{ij}）_{n×p}，矩阵C=（c_{ij}）_{p×k}，试证明：(A×B)×C=A×(B×C)。
解析：首先我们需要明确矩阵的乘法运算满足结合律。
对于(A×B)×C，先计算矩阵A和矩阵B的乘积，得到(m×p)的矩阵D。
然后将矩阵D与矩阵C相乘，得到(m×k)的矩阵E，即(A×B)×C=E。
同样地，对于A×(B×C)，先计算矩阵B和矩阵C的乘积，得到(n×k)的矩阵F。
然后将矩阵A与矩阵F相乘，得到(m×k)的矩阵G，即A×(B×C)=G。
因此，(A×B)×C=E=A×(B×C)=G，即(A×B)×C=A×(B×C)。
2. 矩阵的秩题矩阵的秩是指矩阵中非零行的最大线性无关组中所含向量的个数。
在考研数学一专题线性代数中，关于矩阵的秩有很多题目，如下所示：【例题】已知矩阵A=（a_{ij}）_{m×n}，矩阵B=（b_{ij}）_{n×p}，且秩(A)=r，秩(B)=s。
试证明：1) 秩(AB)≤min{r,s}；2) 如果r=s，且r=min{m,n,p}，则秩(AB)=r。
考研数学线性代数重点知识线性代数是考研数学中非常重要的一部分，对于许多考生来说，掌握好线性代数的重点知识是取得高分的关键。
下面我们就来详细梳理一下线性代数中的重点知识。
一、行列式行列式是线性代数中的基本概念之一，它有着多种计算方法和重要的性质。
计算行列式的方法包括：按行（列）展开法、三角化法、利用行列式的性质化简等。
其中，利用行列式的性质将其化为上三角或下三角行列式是比较常用且有效的方法。
行列式的性质包括：行列式与其转置行列式相等；对换两行（列），行列式变号；某行（列）元素乘以 k，等于用 k 乘以此行列式；若某行（列）元素是两数之和，则行列式可拆分为两个行列式之和等。
行列式在求解线性方程组、判断矩阵可逆性等方面有着重要的应用。
二、矩阵矩阵是线性代数的核心概念，包括矩阵的运算、逆矩阵、矩阵的秩等内容。
矩阵的运算有加、减、乘、数乘。
矩阵乘法需要注意其规则，不满足交换律。
逆矩阵是一个重要概念，如果矩阵 A 可逆，则存在 A 的逆矩阵A⁻¹，使得 AA⁻¹＝ A⁻¹A ＝ E（单位矩阵）。
求逆矩阵的方法有伴随矩阵法和初等变换法。
矩阵的秩反映了矩阵的“有效信息”量，通过初等变换可以求出矩阵的秩。
三、向量向量部分包括向量组的线性相关性、极大线性无关组、向量组的秩等。
判断向量组的线性相关性有定义法、行列式法、矩阵秩法等。
极大线性无关组是向量组中“最核心”的部分，它不唯一，但所含向量个数是确定的。
向量组的秩等于其极大线性无关组所含向量的个数。
四、线性方程组线性方程组是线性代数的重点应用之一。
齐次线性方程组，当系数矩阵的秩等于未知数个数时，只有零解；当系数矩阵的秩小于未知数个数时，有非零解。
非齐次线性方程组，当增广矩阵的秩等于系数矩阵的秩时，有解；当增广矩阵的秩大于系数矩阵的秩时，无解。
求解线性方程组可以使用高斯消元法。
五、特征值与特征向量特征值和特征向量反映了矩阵的某种特性。
求特征值就是求解特征方程｜λE A| ＝ 0 的根，求特征向量则是通过解齐次线性方程组（λE A)X ＝ 0 得到。
2024年考研数学线性代数的特点在于题目难度较大，并且涉及到的
知识点比较广泛。
复习建议包括有针对性地复习知识点、多做题提高解题
能力和注意平衡复习时间。
以下是详细的分析和建议：
一、2024年考研数学线性代数的特点：
1.题目难度较大：2024年考研数学线性代数的题目难度相对较大，
需要考生对各个知识点都掌握得比较扎实，不能有任何遗漏。
二、2024年考研数学线性代数复习建议：
2.多做题提高解题能力：做题是复习的最好方法，通过做题可以提高
解题能力，熟悉不同类型的题目。
可以先从一些基础性的题目开始做起，
逐渐提高难度，同时，可以借助辅导书籍和网上资源进行巩固和拓展。
在
解题过程中，要注重方法的灵活应用和题目的整体把握能力。
3.注意平衡复习时间：复习线性代数时，要注意平衡不同知识点的学
习时间。
可以事先规划好每个知识点的复习进度，合理安排时间，不要过
分侧重一些知识点或题型，要保证全面复习。
4.多利用历年真题：历年真题是复习的重要资料，可以了解历年考试
的趋势和重点考察的知识点。
多做历年真题可以检验自己的复习效果和提
高解题能力，也可以更好地熟悉考试的题型和命题规律。
综上所述，2024年考研数学线性代数考试的特点在于题目难度较大，并且涉及到的知识点比较广泛。
为了应对这样的考试，复习建议包括有针
对性地复习知识点、多做题提高解题能力和注意平衡复习时间。
通过认真
复习和多做练习题，相信考生们一定能够在考试中取得好的成绩。
考研线代知识点总结摘要：一、考研线性代数知识点概述二、矩阵与线性方程组三、向量空间与线性变换四、特征值与特征向量五、二次型与矩阵的对称性六、复习与拓展建议正文：一、考研线性代数知识点概述考研线性代数作为数学一门重要学科，主要包括矩阵、线性方程组、向量空间、线性变换、特征值与特征向量、二次型与矩阵的对称性等内容。
这些知识点在考研数学中占有很大比重，因此，对于线性代数的掌握程度直接影响到考研成绩。
本文将对这些知识点进行总结，以帮助考生更好地复习和掌握线性代数。
二、矩阵与线性方程组1.矩阵的运算：加法、减法、数乘、矩阵乘法、逆矩阵、行列式等。
2.线性方程组的解法：高斯消元法、克莱姆法则、齐次线性方程组、非齐次线性方程组等。
3.矩阵的秩、行阶梯形式、简化阶梯形式等。
三、向量空间与线性变换1.向量空间的概念、基、维数、向量模等。
2.线性变换的概念、性质、矩阵表示、不变量等。
四、特征值与特征向量1.特征值、特征向量的概念及求解方法。
2.矩阵的对角化、相似矩阵等。
五、二次型与矩阵的对称性1.二次型的概念、标准型、正定二次型、负定二次型、半正定二次型、半负定二次型等。
2.矩阵的对称性：对称矩阵、反对称矩阵、正交矩阵、对称分量等。
六、复习与拓展建议1.熟练掌握考研线性代数大纲要求的知识点，做到深入理解、熟练应用。
2.针对自己的薄弱环节进行有针对性的练习，提高解题能力。
3.学习线性代数相关的拓展知识，如奇异值分解、广义逆矩阵、线性空间论等。
4.注重理论联系实际，熟练运用线性代数知识解决实际问题。
总之，考研线性代数知识点繁多，要想在考试中取得好成绩，就需要扎实掌握这些知识点，并不断提高自己的解题能力。
北京市考研数学复习资料线性代数重点知识点整理线性代数作为数学的一个重要分支，广泛应用于各个领域，对于考研数学学科来说，线性代数是一个非常重要的考点。
在北京市考研数学复习资料中，线性代数的重点知识点需要我们进行详细的整理和学习。
本文将就北京市考研数学复习资料线性代数的重点知识点进行整理，以帮助考生更好地备考。
一、行列式与矩阵行列式是矩阵的一个重要性质，也是线性代数的基础。
行列式的求解方法主要有代数余子式法和按行（列）展开法。
其中，代数余子式法是根据矩阵中的元素和对应的代数余子式之间的关系来求解行列式的值。
而按行（列）展开法则是将行列式按照行（列）展开成若干个子行列式的和。
同时，我们还需要了解行列式的性质，如行（列）互换、行（列）成比例等。
矩阵是线性代数中的另一个重要概念，它是由一个个数构成的矩形阵列。
矩阵的运算主要包括矩阵的加法、矩阵的乘法和矩阵的转置运算。
矩阵的加法是将对应位置上的元素相加得到新的矩阵。
而矩阵的乘法则是利用矩阵中的元素进行运算得到新的矩阵。
转置运算指的是矩阵的行与列互换。
二、线性方程组线性方程组是线性代数中的重要内容之一，它是由一组线性方程构成的方程组。
解线性方程组的方法主要有高斯消元法、矩阵法和克拉默法则。
高斯消元法是通过不断进行方程的消元运算，将方程组化简为阶梯形或行最简形的形式，从而求解出方程组的解。
矩阵法则是利用矩阵和行列式的性质来进行求解。
而克拉默法则则是通过行列式的性质，将方程组的求解转化为行列式的求解。
三、向量空间与线性变换向量空间是由一组向量组成的线性空间，它是线性代数的核心概念之一。
在向量空间中，我们需要了解向量的线性相关性、线性无关性以及向量组的秩等概念。
线性变换指的是一个向量空间到另一个向量空间的映射，它将原来的向量映射到另一个向量上。
线性变换的性质主要包括线性性、单射性和满射性等。
四、特征值与特征向量特征值与特征向量也是线性代数的重要概念之一。
在矩阵中，特征值是一个数，特征向量是与该数相关联的向量。
天津市考研数学线性代数重点知识总结线性代数是数学的一个重要分支，也是考研数学的一门重要课程。
对于考研数学线性代数的学习，我们需要掌握一些重点知识。
本文将对天津市考研数学线性代数的重点知识进行总结和讲解。
一、向量空间和线性变换1. 向量空间的定义及性质向量空间是线性代数中最基本的概念之一。
向量空间的定义包括十条性质，分别是封闭性、结合律、零向量、相反元、标量乘法、分配律、单位向量、范数、内积和正交。
掌握这些定义及性质，对于理解向量空间的本质和性质具有重要意义。
2. 线性变换的定义及性质线性变换是指在向量空间中进行的一种特殊的变换方式。
线性变换具有保持加法和标量乘法结构的性质，即线性变换满足线性性质。
线性变换的定义包括保持加法和标量乘法两个性质，同时还有线性变换的矩阵表示、复合和逆变换等重要性质需要掌握。
二、矩阵和行列式1. 矩阵的定义及基本运算矩阵是线性代数中另一个重要的概念，是一个矩形的数表。
矩阵的基本运算包括矩阵的加法、数乘和乘法等。
此外，矩阵的转置、乘法的结合律和分配律等性质也是需要掌握的重点。
2. 行列式的定义及性质行列式是一种用于描述矩阵的重要工具。
行列式的定义包括两种形式，一种是二阶行列式的定义，另一种是n阶行列式的定义。
行列式具有很多性质，如行列式的转置、乘法、行交换和性质不变性等。
掌握行列式的定义及性质对于矩阵的运算及线性方程组的求解非常重要。
三、线性方程组1. 线性方程组的基本概念线性方程组是线性代数中一个重要的研究对象。
线性方程组的基本概念包括齐次线性方程组和非齐次线性方程组的定义及性质。
齐次线性方程组的解空间是一个向量空间，而非齐次线性方程组的解空间则是一个平行于齐次线性方程组解空间的平面。
2. 线性方程组的求解方法线性方程组的求解包括高斯消元法、矩阵的行变换及矩阵的逆等方法。
高斯消元法是线性方程组求解的一种常用方法，它通过矩阵的行变换将线性方程组转化为简化行阶梯形矩阵，然后利用简化行阶梯形矩阵求解线性方程组。
《线性代数》复习提纲第一章、行列式1．行列式的定义：用2n 个元素ij a 组成的记号称为n 阶行列式。
（1）它表示所有可能的取自不同行不同列的n 个元素乘积的代数和； （2）展开式共有n!项，其中符号正负各半； 2．行列式的计算一阶|α|=α行列式，二、三阶行列式有对角线法则； N 阶（n ≥3）行列式的计算：降阶法定理：n 阶行列式的值等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积的和。
方法：选取比较简单的一行（列），保保留一个非零元素，其余元素化为0，利用定理展开降阶。
特殊情况：上、下三角形行列式、对角形行列式的值等于主对角线上元素的乘积；◊行列式值为0的几种情况：Ⅰ 行列式某行（列）元素全为0； Ⅱ 行列式某行（列）的对应元素相同；Ⅲ 行列式某行（列）的元素对应成比例； Ⅳ 奇数阶的反对称行列式。
3.概念：全排列、排列的逆序数、奇排列、偶排列、余子式ij M 、代数余子式ij j i ij M A +-=)1( 定理：一个排列中任意两个元素对换，改变排列的奇偶性。
奇排列变为标准排列的对换次数为基数，偶排列为偶数。
n 阶行列式也可定义：n q q q na a a ⋯=∑21t211-D ）（，t 为n q q q ⋯21的逆序数4.行列式性质：1、行列式与其转置行列式相等。
2、互换行列式两行或两列，行列式变号。
若有两行(列)相等或成比例，则为行列式0。
3、行列式某行（列）乘数k,等于k 乘此行列式。
行列式某行（列）的公因子可提到外面。
4、行列式某行（列）的元素都是两数之和，则此行列式等于两个行列式之和。
5、行列式某行（列）乘一个数加到另一行（列）上，行列式不变。
6、行列式等于他的任一行（列）的各元素与其对应代数余子式的乘积之和。
（按行、列展开法则）7、行列式某一行（列）与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和为0.5.克拉默法则：：若线性方程组的系数行列式0D ≠，则方程有且仅有唯一解DD D Dx D D n =⋯==n 2211x ,x ，，。
1、行列式1.n行列式共有2n个元素，展开后有!n项，可分解为2n行列式；2.代数余子式的性质：①、ijA和ija的大小无关；②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0；③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A；3.代数余子式和余子式的关系：(1)(1)i j i jij ij ij ijM A A M++=-=-4.设n行列式D：将D上、下翻转或左右翻转，所得行列式为1D，则(1)21(1)n nD D-=-；将D顺时针或逆时针旋转90，所得行列式为2D，则(1)22(1)n nD D-=-；将D主对角线翻转后（转置），所得行列式为3D，则3D D=；将D主副角线翻转后，所得行列式为4D，则4D D=；5.行列式的重要公式：①、主对角行列式：主对角元素的乘积；②、副对角行列式：副对角元素的乘积(1)2(1)n n-⨯ -；③、上、下三角行列式（ =◥◣）：主对角元素的乘积；④、◤和◢：副对角元素的乘积(1)2(1)n n-⨯ -；⑤、拉普拉斯展开式：A O A CA BC B O B==、(1)m nC A O AA BB O B C==-⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积；⑦、特征值；6.对于n阶行列式A，恒有：1(1)nn k n kkkE A Sλλλ-=-=+-∑，其中k S为k阶主子式；7.证明0A=的方法：①、A A=-；②、反证法；③、构造齐次方程组0Ax=，证明其有非零解；④、利用秩，证明()r A n<；⑤、证明0是其特征值；1.A是n阶可逆矩阵：⇔0A≠（是非奇异矩阵）；⇔()r A n=（是满秩矩阵）⇔A的行（列）向量组线性无关；⇔齐次方程组0Ax=有非零解；⇔nb R∀∈，Ax b=总有唯一解；2、矩阵⇔A与E等价；⇔A B=E(或B A=E）；⇔A经过初等变换可转化为单位阵；⇔A可表示成若干个初等矩阵的乘积；⇔A的特征值全不为0；⇔T A A是正定矩阵；⇔A的行（列）向量组是n R的一组基；⇔A是n R中某两组基的过渡矩阵；2.对于n阶矩阵A：**AA A A A E==无条件恒成立；3.1**111**()()()()()()T T T TA A A A A A----===***111 ()()()T T TAB B A AB B A AB B A---===4.矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代数和；5.关于分块矩阵的重要结论，其中均A、B可逆：若12sAAAA⎛⎫⎪⎪=⎪⎪⎝⎭，则：Ⅰ、12sA A A A=；Ⅱ、111121sAAAA----⎛⎫⎪⎪=⎪⎪⎪⎝⎭；②、111A O A OO B O B---⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭；（主对角分块）③、111O A O BB O A O---⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭；（副对角分块）④、11111A C A A CBO B O B-----⎛⎫-⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭；（拉普拉斯）⑤、11111A O A OC B B CA B-----⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭；（拉普拉斯）1.一个m n⨯矩阵A，总可经过初等变换化为标准形，其标准形是唯一确定的：rm nE OFO O⨯⎛⎫= ⎪⎝⎭；等价类：所有与A等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类；标准形为其形状最简单的矩阵；对于同型矩阵A、B，若()()r A r B A B= ⇔ ；3、矩阵的初等变换与线性方程组2.行最简形矩阵：①、只能通过初等行变换获得；②、每行首个非0元素必须为1；③、每行首个非0元素所在列的其他元素必须为0；3.初等行变换的应用：（初等列变换类似，或转置后采用初等行变换）①、若(,)(,)rA E E X，则A可逆，且1X A-=；②、对矩阵(,)A B做初等行变化，当A变为E时，B就变成1A B-，即：1(,)(,)cA B E A B-~ ；③、求解线形方程组：对于n个未知数n个方程Ax b=，如果(,)(,)rA b E x，则A可逆，且1x A b-=；4.初等矩阵和对角矩阵的概念：①、初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵；②、12n⎛⎫⎪⎪Λ=⎪⎪⎝⎭λλλ，左乘矩阵A，iλ乘A的各行元素；右乘，iλ乘A的各列元素；③、对调两行或两列，符号(,)E i j，且1(,)(,)E i j E i j-=，例如：1111111-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；④、倍乘某行或某列，符号(())E i k，且11(())(())E i k E ik-=，例如：1111(0)11k kk-⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪=≠⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭；⑤、倍加某行或某列，符号(())E ij k,且1(())(())E ij k E ij k-=-，如：11111(0)11k kk--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=≠⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；5.矩阵秩的基本性质：①、0()min(,)m nr A m n⨯≤≤；②、()()Tr A r A=；③、若A B，则()()r A r B=；④、若P、Q可逆，则()()()()r A r PA r AQ r PAQ===；（可逆矩阵不影响矩阵的秩）⑤、max((),())(,)()()r A r B r A B r A r B ≤≤+； ⑥、()()()r A B r A r B +≤+；⑦、 r(A)+r(B)-n ≤()min((),())r AB r A r B ≤；⑧、如果A 是m n ⨯矩阵，B 是n s ⨯矩阵，且0AB =，则： Ⅰ、B 的列向量全部是齐次方程组0AX =解（转置运算后的结论）；Ⅱ、()()r A r B n +≤⑨、若A 、B 均为n 阶方阵，则()()()r AB r A r B n ≥+-； ⑩、r(A)-r(B)≤r(A ±B)≤r(A)+r(B) 、 r(k A)=r(A) (k ≠0);6. 三种特殊矩阵的方幂：①、秩为1的矩阵：一定可以分解为列矩阵（向量）⨯行矩阵（向量）的形式，再采用结合律；②、型如101001a c b ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭的矩阵：利用二项展开式；二项展开式：01111110()n nnn m n mmn n n n m m n mnnnnnn m a b C a C a b C ab Ca bC b C a b -----=+=++++++=∑；注：Ⅰ、()n a b +展开后有1n +项；Ⅱ、0(1)(1)!1123!()!--+====-m nn n n n n n m n C C C m m n mⅢ、组合的性质：11112---+-===+==∑nmn m m m m rnr r nnn nnnn n r C CCC CCrC nC ； ③、利用特征值和相似对角化： 7. 伴随矩阵：①、伴随矩阵的秩：*()()1()10()1n r A n r A r A n r A n = ⎧⎪==-⎨⎪<-⎩； ②、伴随矩阵的特征值：*1*(,)AAAX X A A A A X X λλλ- == ⇒ =；③、*1A A A -=、1*n A A-=8. 关于A 矩阵秩的描述：①、()r A n =，A 中有n 阶子式不为0，1n +阶子式全部为0；（两句话）②、()r A n <，A 中有n 阶子式全部为0； ③、()r A n ≥，A 中有n 阶子式不为0；9. 线性方程组：Ax b =，其中A 为m n ⨯矩阵，则：①、m 与方程的个数相同，即方程组Ax b =有m 个方程；②、n 与方程组得未知数个数相同，方程组Ax b =为n 元方程； 10. 线性方程组Ax b =的求解：①、对增广矩阵B 进行初等行变换（只能使用初等行变换）； ②、齐次解为对应齐次方程组的解； ③、特解：自由变量赋初值后求得；11. 由n 个未知数m 个方程的方程组构成n 元线性方程：①、11112211211222221122n n n n m m nm n na x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b +++= ⎧⎪+++= ⎪⎨⎪⎪+++=⎩；②、1112111212222212n n m m mn m m a a a x b a a a x b Ax b a a a x b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪=⇔= ⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（向量方程，A 为m n ⨯矩阵，m 个方程，n 个未知数）③、()1212n n x x a a a x β⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭（全部按列分块，其中12n b b b β⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭）； ④、1122n n a x a x a x β+++=（线性表出）⑤、有解的充要条件：()(,)r A r A n β=≤（n 为未知数的个数或维数）4、向量组的线性相关性1.m个n维列向量所组成的向量组A：12,,,mααα构成n m⨯矩阵12(,,,)mA=ααα；m个n维行向量所组成的向量组B：12,,,T T Tmβββ构成m n⨯矩阵12TTTmBβββ⎛⎫⎪⎪=⎪⎪⎪⎝⎭；含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应；2.①、向量组的线性相关、无关0Ax⇔=有、无非零解；（齐次线性方程组）②、向量的线性表出Ax b⇔=是否有解；（线性方程组）③、向量组的相互线性表示AX B⇔=是否有解；（矩阵方程）3.矩阵m nA⨯与l nB⨯行向量组等价的充分必要条件是：齐次方程组0Ax=和0Bx=同解；(101P例14)4.()()Tr A A r A=；(101P例15)5.n维向量线性相关的几何意义：①、α线性相关⇔0α=；②、,αβ线性相关⇔,αβ坐标成比例或共线（平行）；③、,,αβγ线性相关⇔,,αβγ共面；6.线性相关与无关的两套定理：若12,,,sααα线性相关，则121,,,,s sαααα+必线性相关；若12,,,sααα线性无关，则121,,,sααα-必线性无关；（向量的个数加加减减，二者为对偶）若r维向量组A的每个向量上添上n r-个分量，构成n维向量组B：若A线性无关，则B也线性无关；反之若B线性相关，则A也线性相关；（向量组的维数加加减减）简言之：无关组延长后仍无关，反之，不确定；7.向量组A（个数为r）能由向量组B（个数为s）线性表示，且A线性无关，则r s≤(二版74P定理7)；向量组A能由向量组B线性表示，则()()r A r B≤；（86P定理3）向量组A能由向量组B线性表示AX B⇔=有解；()(,)r A r A B⇔=（85P定理2）向量组A能由向量组B等价()()(,)r A r B r A B⇔ ==（85P定理2推论）8.方阵A可逆⇔存在有限个初等矩阵12,,,lP P P，使12lA P P P=；①、矩阵行等价：~rA B PA B⇔=（左乘，P可逆）0Ax⇔=与0Bx=同解②、矩阵列等价：~cA B AQ B ⇔=（右乘，Q 可逆）； ③、矩阵等价：~A B PAQ B ⇔=（P 、Q 可逆）； 9. 对于矩阵m n A ⨯与l n B ⨯：①、若A 与B 行等价，则A 与B 的行秩相等；②、若A 与B 行等价，则0Ax =与0Bx =同解，且A 与B 的任何对应的列向量组具有相同的线性相关性；③、矩阵的初等变换不改变矩阵的秩； ④、矩阵A 的行秩等于列秩； 10. 若m s s n m n A B C ⨯⨯⨯=，则：①、C 的列向量组能由A 的列向量组线性表示，B 为系数矩阵； ②、C 的行向量组能由B 的行向量组线性表示，T A 为系数矩阵；（转置） 11. 齐次方程组0Bx =的解一定是0ABx =的解，考试中可以直接作为定理使用，而无需证明；①、0ABx = 只有零解0Bx ⇒ =只有零解；②、0Bx = 有非零解0ABx ⇒ =一定存在非零解； 12. 设向量组12:,,,n r r B b b b ⨯可由向量组12:,,,n s s A a a a ⨯线性表示为：（110P 题19结论）1212(,,,)(,,,)r s b b b a a a K =（B AK =）其中K 为s r ⨯，且A 线性无关，则B 组线性无关()r K r ⇔=；（B 与K 的列向量组具有相同线性相关性）（必要性：()()(),(),()r r B r AK r K r K r r K r ==≤≤∴=；充分性：反证法） 注：当r s =时，K 为方阵，可当作定理使用；13. ①、对矩阵m n A ⨯，存在n m Q ⨯，m AQ E = ()r A m ⇔=、Q 的列向量线性无关；（87P ）②、对矩阵m n A ⨯，存在n m P ⨯，n PA E = ()r A n ⇔=、P 的行向量线性无关； 14. 12,,,s ααα线性相关⇔存在一组不全为0的数12,,,s k k k ，使得11220s s k k k ααα+++=成立；（定义）⇔1212(,,,)0s s x xx ααα⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭有非零解，即0Ax =有非零解；⇔12(,,,)s r s ααα<，系数矩阵的秩小于未知数的个数；15. 设m n ⨯的矩阵A 的秩为r ，则n 元齐次线性方程组0Ax =的解集S 的秩为：()r S n r =-； 16. 若*η为Ax b =的一个解，12,,,n r ξξξ-为0Ax =的一个基础解系，则*12,,,,n r ηξξξ-线性无关；（111P 题33结论）5、相似矩阵和二次型1.正交矩阵T A A E⇔=或1TA A-=（定义），性质：①、A的列向量都是单位向量，且两两正交，即1(,1,2,)Ti ji ja a i j ni j=⎧==⎨≠⎩；②、若A为正交矩阵，则1TA A-=也为正交阵，且1A=±；③、若A、B正交阵，则AB也是正交阵；注意：求解正交阵，千万不要忘记施密特正交化和单位化；2.施密特正交化：12(,,,)ra a a11b a=；1222111[,][,]b ab a bb b=-…………………121121112211[,][,][,][,][,][,]r r r rr r rr rb a b a b ab a b b bb b b b b b----=----;3.对于普通方阵，不同特征值对应的特征向量线性无关；对于实对称阵，不同特征值对应的特征向量正交；4.①、A与B等价⇔A经过初等变换得到B；⇔=PAQ B，P、Q可逆；()()⇔=r A r B，A、B同型；②、A与B合同⇔=TC AC B，其中可逆；⇔T x Ax与T x Bx有相同的正、负惯性指数；③、A与B相似1-⇔=P AP B；5.相似一定合同、合同未必相似；若C为正交矩阵，则TC AC B=⇒A B，（合同、相似的约束条件不同，相似的更严格）；6.A为对称阵，则A为二次型矩阵；7.n元二次型T x Ax为正定：A⇔的正惯性指数为n；A⇔与E合同，即存在可逆矩阵C，使T C AC E=；A⇔的所有特征值均为正数；A⇔的各阶顺序主子式均大于0；0,0iia A⇒>>；(必要条件)8.ψ（λ）是ψ（A）的特征值。
