高中数学必修五《等差数列的前n项和》名师教学设计

高中数学必修5《等差数列前n项和》教案及其分析精编版2022年高中数学必修5《等差数列前n项和》教案及其分析精编版课题：等差数列的前n项和教材：人教版数学必修5一、教学目标学问目标：把握等差数列前n项和公式，能较娴熟应用等差数列前n项和公式求和。

能力目标：通过对公式的推导提高同学讨论问题、分析问题、解决问题的能力。

情感目标：通过公式的推导与容易应用，激发同学的求知欲，鼓舞同学大胆尝试，培养同学敢于探究、创新的学习品质。

二、教学重点、难点重点：等差数列的前n项和公式难点：获得等差数列的前n项和公式推导的思路三、教学办法与手段启发引导、合作学习、多媒体辅助等多种手段相结合四、教学过程1、问题展现泰姬陵坐落于印度古都阿格，是十七世纪莫卧儿帝国皇帝沙杰罕为纪念其爱妃所建，她雄伟壮观，纯白大理石砌建而成的主体建造叫人心醉神迷，成为世界七大奇迹之一。

陵寝以宝石镶饰，图案之细致令人叫绝。

传奇陵寝中有一个三角形图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成，共有100层，奢侈之程度，可见一斑。

你知道这个图案一共花了多少宝石吗？2、探究发觉1+2+3 +…+99+100=(1+100) +(2+99)+ …+(50+51)=101 ×50 = 5050问题1：图案中，第1层到第21层一共有多少颗宝石？问题2：求1到n 的正整数之和。

123(1)n s n n =++++-+即问题3：{}?n n a n 如何求等差数列的前项和S3、公式应用例1、选用公式某长跑运动员７天里天天的训练量（单位：m ）是：这位长跑运动员７天共跑了多少米？例2、变用公式等差数列－10，－6，－2，2，…的前多少项的和为54？变式练习：{}120,54,999,.n n n a a a s n ===在等差数列中，求例3、知三求二{}120,37,629,.n n n a n s a a ===在等差数列中，已知d 求及4、课堂小结1()12n n n a a S +=公式1(1)22n n n S na d -=+公式5、作业布置必做题：课本52页，练习１、２、３；选做题：在等差数列中，512156136,;220,a a a a a +++==21611、已知求s 、已知求s板书设计：教案说明一、教材分析：等差数列的前n 项和是人教版数学必修5其次章的内容，是在同学学习了等差数列的概念和性质的基础上学习和讨论的。

高三数学必修五《等差数列的前n项和》教案【篇一】教学准备教学目标掌握等差数列与等比数列的性质,并能灵活应用等差(比)数列的性质解决有关等差(比)数列的综合性问题.教学重难点掌握等差数列与等比数列的性质,并能灵活应用等差(比)数列的性质解决有关等差(比)数列的综合性问题.教学过程【示范举例】例1：数列是首项为23,公差为整数,且前6项为正,从第7项开始为负的等差数列(1)求此数列的公差d;(2)设前n项和为Sn,求Sn的最大值;(3)当Sn为正数时,求n的最大值.【篇二】教学准备教学目标数列求和的综合应用教学重难点数列求和的综合应用教学过程典例分析3.数列{an}的前n项和Sn=n2-7n-8,(1)求{an}的通项公式(2)求{|an|}的前n项和Tn4.等差数列{an}的公差为,S100=145,则a1+a3+a5+…+a99=5.已知方程(x2-2x+m)(x2-2x+n)=0的四个根组成一个首项为的等差数列,则|m-n|=6.数列{an}是等差数列,且a1=2,a1+a2+a3=12(1)求{an}的通项公式(2)令bn=anxn,求数列{bn}前n项和公式7.四数中前三个数成等比数列,后三个数成等差数列,首末两项之和为21,中间两项之和为18,求此四个数8.在等差数列{an}中,a1=20,前n项和为Sn,且S10=S15,求当n为何值时,Sn 有最大值,并求出它的最大值.已知数列{an},an∈N*,Sn=(an+2)2(1)求证{an}是等差数列(2)若bn=an-30,求数列{bn}前n项的最小值0.已知f(x)=x2-2(n+1)x+n2+5n-7(n∈N*)(1)设f(x)的图象的顶点的横坐标构成数列{an},求证数列{an}是等差数列(2设f(x)的图象的顶点到x轴的距离构成数列{dn},求数列{dn}的前n项和sn.11.购买一件售价为5000元的商品,采用分期付款的办法,每期付款数相同,购买后1个月第1次付款,再过1个月第2次付款,如此下去,共付款5次后还清,如果按月利率0.8%,每月利息按复利计算(上月利息要计入下月本金),那么每期应付款多少 ?(精确到1元)12.某商品在最近100天内的价格f(t)与时间t的函数关系式是f(t)=销售量g(t)与时间t的函数关系是g(t)=-t/3+109/3(0≤t≤100)求这种商品的日销售额的最大值注：对于分段函数型的应用题,应注意对变量x的取值区间的讨论;求函数的最大值,应分别求出函数在各段中的最大值,通过比较,确定最大值。

必修五 2.3等差数列前n项和（第一课时）教学目标1．通过实例，探索等差数列的前n项和公式，了解倒序相加法；2．掌握等差数列的前n项和公式，并能用其解决一些简单问题；3.通过公式的推导和公式的运用，使学生体会从特殊到一般，再从一般到特殊的思维规律，发展学生的思维水平；4．通过现实问题和数学小故事，让学生体会数学问题与现实生活紧密联系，培养学生的数学文化素养，激发学生探究的兴趣，增强学生学好数学的心理体验。

教学重点：探索并掌握等差数列前n项和公式；学会用公式解决一些实际问题。

教学难点：等差数列前n项和公式推导思路的获得。

教学准备：多媒体课件教学过程：一、创设问题，导入新课出示图片印度泰姬陵是世界七大建筑奇迹之一，所在地阿格拉市，泰姬陵是印度古代建筑史上的经典之作，这个古陵墓融合了古印度、阿拉伯和古波斯的建筑风格，是印度伊斯兰教文化的象征.陵寝以宝石镶饰，图案之细致令人叫绝.传说当时陵寝中有一个等边三角形图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成，共有100层(如下图)，奢华之程度，可见一斑.你知道这个图案中一共有多少颗宝石吗？生：只要计算出1+2+3+…+100的结果就是这些宝石的总数.师：对，问题转化为求这100个数的和.怎样求这100个数的和呢？(学生自主探究，请学生说出自己的计算方法。

很多学生都能采用高斯算法）师：同学们采用了什么方法计算出来的呢？生：首尾配对相加的方法，就是：1+100=2+99=3+98=…=50+51=101，有50个101，所以1+2+3+…+100=50×101=5 050.师：对，同学们想到的这个方法和小高斯想的不谋而合.高斯是伟大的数学家、天文学家，高斯十岁时，有一次老师出了一道题目，老师说：“现在给大家出道题目：1+2+…100=?”过了两分钟，正当大家在：1+2=3；3+3=6；4+6=10…算得不亦乐乎时，高斯站起来回答说：“1+2+3+…+100=5 050.”教师问：“你是如何算出答案的？”高斯回答的方法就是刚才大家说的方法.作为数学王子的高斯从小就善于观察，敢于思考，所以他能从一些简单的事物中发现和寻找出某些规律性的东西.希望大家也能像高斯一样善于观察，敢于思考.师：数列1，2，3，…，100是什么数列？而求这一百个数的和1+2+3+…+100相当于什么？ 生：这个数列是等差数列，1+2+3+…+100这个式子实质上是求这数列的前100项的和. 师 对，这节课我们就来研究等差数列的前n 项的和的问题.二、合作探究，推进新课师：我们再回到前面的印度泰姬陵的陵寝中的等边三角形图案中，在图中我们取下第1层到第49层，得到右图，则图中第1层到第49层一共有多少颗宝石呢?生：这是求“1+2+3+…+49”奇数个项的和的问题，我们刚才的方法就不能用了.要是偶数项的数求和就好首尾配成对了.师：嗯.“首尾配对”的算法分奇、偶个项的情况求和，适用于偶数个项，我们有没有简单的方法来解决这个问题呢?生：有!我用几何的方法，将这个全等三角形倒置，与原图补成平行四边形.平行四边形中的每行宝石的个数均为50个，共49行.则三角形中的宝石个数就是1+2+3+ (49)师：妙!这种方法不需分奇、偶个项的情况就可以求和，真是太好了!我们将他的几何法写成式子就是：1+2+3+ (49)49+48+47+ (1)对齐相加(其中下第二行的式子与第一行的式子恰好是倒序)这实质上就是我们数学中一种求和的重要方法——“倒序相加法”. 现在我将求和问题一般化：(1)求1到n 的正整数之和，即求1+2+3+…+(n -1)+n .(这问题在前面思路的引导下可由学生轻松解决)(2) {}n n a n 求等差数列的前项的和S ?生1：对于问题(2)，我用倒序相加法求的，因为12321n n n n S a a a a a a --=++++++，12321n n n n S a a a a a a --=++++++，再将两式相加，因为有等差数列的通项的性质：若m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+，所以.(Ⅰ) 生2：对于问题(2)，我是这样来求的：2)(1n n a a n S +=11111()(2)(3) [(1)],n a a d a d a d a n d =+++++++++-⨯因为S 11(1)[123(1)]2n n n na n d na d -=+++++-=+所以S即1(1)2n n n S na d -=+.(Ⅱ) 【归纳小结】师：两位同学的推导过程都很精彩，一位同学是用“倒序相加法”，后一位同学用的是基本量来转化为用我们前面求得的结论，并且我们得到了等差数列前n 项求和的两种不同的公式.这两种求和公式都很重要,都称为等差数列的前n 项和公式.两个公式是可以互相转化的，把 代入公式（Ⅰ）中，便可以得到公式（Ⅱ）。

课题：2.2.3等差数列的前n项和授课教师：南京市金陵中学王友伟教材：苏教版必修5一．教学目标1.经历探索等差数列前n项和公式的过程，体会化归、分类讨论等数学思想，掌握倒序相加求和法，积累数学活动的经验；2．理解等差数列前n项和公式及不同形式，能够灵活选用恰当的形式解决问题；二．教学重难点重点：等差数列前n项和公式的推导难点：从图形直观的角度分析等差数列前n项和的公式．三．教学方法与教学手段启发式教学，探究式学习，多媒体辅助教学．四．教学过程1．创设情境，引入课题前面我们学习了数列，研究了一种特殊的数列——等差数列，与学生一起回顾等差数列中的相关知识．－a n＝d(n∈N) (a1是首项，d是公差，n是项数) 等差数列的定义：a n＋1等差数列的通项公式：a n＝a1＋(n－1)d(n∈N*，n≥2)[设计意图]通过复习，帮助学生梳理知识框架，教会学生掌握研究数学的一般方法，同时为接下来应用基本量分析具体的数列做铺垫.(播放阅兵视频)我们能否从数列的视角重新看我们的阅兵队列?[设计意图]紧贴时事与生活，在激发学生爱国热情的同时，让学生感受到数学来源于生活，教会学生用数学的眼光来重新观察世界，思考问题．给出视频中的几个队列变化的画面，抽象成点阵如下：以第三幅图中的蓝色区域为例，进行研究.问题1：对于这个方阵，你能用数列的观点发现问题、提出问题吗？[设计意图]让学生尝试着去寻找队列的人数与数列的关系，内化等差数列中的首项、项数、公差等概念，引导学生学会将实际问题中的数量用抽象的数学符号进行描述，进一步培养学生观察的能力，和从实际问题中抽象出数学知识的能力.同时，让学生自行提出问题进行研究，感受到研究等差数列的前n项和并不是“心血来潮”，而是有据可依．2．探索质询，追根溯源(1)构建研究方法问题2：如何求这个区域的总人数？(尝试用多种方法)(学生分组讨论，5分钟后小组汇报)S21＝3＋4＋…＋22＋23(预设方案1)从数的角度：3＋23＝4＋22＋…＝12＋143＋232×10＋13＝273(预设方案2)从数的角度：3＋22＝4＋21＝…12＋133＋222×10＋23＝273(预设方案3)从数的角度：S 21＝3＋4＋…＋22＋23S 21＝23＋22＋…＋4＋32 S 21＝(3＋23)＋(4＋22)＋…＋(22＋4)＋(23＋3)S 21＝3＋232×21 [设计意图]因为很多学生在小学的奥数中已经“学习”了等差数列的前n 项和的公式，但是对公式背后的意义并不是非常理解，尤其是对配对的思想更是一知半解，所以这个问题中设定了奇数项的等差数列求和，引导学生发现配对时可能出现不是整数对的情形，也为接下来的奇偶项的讨论和“倒序相加法”做好铺垫．(预设方案4)几何角度：切掉左边的两列S 21＝2×21+1+2+…+21=2×21+1+212×21(预设方案5)几何角度：切掉左边的三列S 21＝3×21+1+2+…+20=3×21+ (1+20)×10[设计意图]左边设置的常数列，让学生感受到相同的数相加可以转化成乘法，呼应了前面“配对”的思想．在学生已经拥有了“补”的方法后再抛出这一问题，比较自然的引出了“割”这样的方法，培养学生学会从几何角度给出不同的解释，也为等差数列前n 项和的第二种形式的推导做铺垫．[设计意图]这一环节的设计，让学生充分感受到可以从数和形两个角度对一个等差数列进行求和，经历自行动手推导的过程，感受配对思想在计算中的带来的便捷，同时感受到可以使用“割”“补”方法对其进行分析计算，为接下来探求一般的等差数列{a n }的前n 项和奠定基础．(2)自主探究 汇报交流问题3：如何推导出等差数列{a n }的前n 项之和S n 的公式?追问：对于一个数列，已知哪些量可以求和？①已知a 1，a n ，n ；②已知a 1，d ，n ．追问2：已知a 1，a n ，n ，如何推出？(小组讨论，5分钟后小组汇报)(预设方案1)S n ＝a 1＋a 2 ＋…＋a n －1＋a n ，①S n ＝a n ＋a n －1＋…＋ a 2 ＋a 1，②①＋②相加得： 2S n ＝(a 1＋a n )＋(a 2＋a n －1)＋…＋(a n ＋a 1)＝n (a 1＋a n )，所以S n ＝n (a 1＋a n )2．(预设方案2)S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n －1＋a n(1)n 为偶数时，S n ＝(a 1＋a n )＋( a 2＋a n －1)＋…＝( a 1＋a n )n 2＝n (a 1＋a n )2 (2)n 为奇数时，S n ＝(a 1＋a n )＋( a 2＋a n －1)＋ …＋an ＋12＝( a 1＋a n )n －12＋(a 1＋a n )2 ＝n (a 1＋a n )2[阶段总结]我们运用倒序相加法得到了等差数列前n 项和的公式，其中的配对思想就是数学中的化归思想，将不同的数转化成相同的数相加，从而可以将加法转化为成为进行计算．[设计意图]研究完具体数列的求和后，让学生将掌握的方法迁移到一般的等差数列{a n }中，继续内化“倒序相加法”，并用最后两个追问让学生真正理解为何要配对，为何能配对(要证明)． 追问4：已知a 1，d ，n ，如何推出？(预设方案3)S n ＝a 1＋(a 1＋d )＋(a 1＋2d )＋ …＋[a 1＋(n －1)d ]＝na 1＋[1＋2＋…＋(n －1)]d＝na 1＋n (n －1)2d追问：能否找到几何解释所对应的图形[阶段总结]我们运用“切割法”(分组求和)的方法得到了等差数列前n 项和的公式的另外一种形式，其中d ＋2d ＋3d ＋……＋(n －1)d 还是化归成了1＋2＋……＋(n －1)的问题．[设计意图]从“割”的角度给出了公式的形象化解释，也让学生感受到等差数列的求和问题其实就可以划归为“1＋2＋……＋n ”的问题，体现出了化归的思想．追问：两个公式等价吗？[设计意图]通过这一问题，让学生观察两个公式的特点，进而发现两公式的区别，即公式①中出现a n ，而公式②中出现d ，为后面选择恰当的公式解决问题做好铺垫．同时，也让学生感受到公式①中的a n 是由a 1和d 决定的，体会a 1和d 两个基本量的地位与作用．追问：对比几种推导S n 的方法，你觉得哪种方法简洁？[设计意图]让学生重新回顾几种推导方法，经过对比发现，前几种配对的方法中，最简约的是倒序相加法，而已知a 1，d ，n 推导S n 的方法其实归根结底就是1＋2＋…＋n 的问题，而1＋2＋…＋n 问题最简约的解法还是倒序相加法．经过这样的分析，让学生明白，推导公式其实还是为了追求简约，追求简约是数学研究的一大基本原则.3．新知运用，巩固深化例1 在等差数列{a n }中，前n 项之和为S n .(1)已知a 1＝2，a 30＝90，求S 30；(2)已知a1＝5，d＝13，求S12.[设计意图]通过例题，让学生巩固公式，会根据题设条件合理地选用公式．通过追问，让学生体会n，a1，d，a n，S n这五个量，可以知三求二，从而加深学生对公式的理解与运用．同时，对于公式的选择，其原则还是追求简约.例2 求出下列各区域的总人数.重点讲最后的黑色区域(从不同的角度看不同的等差数列)[设计意图]让学生在具体的实例中使用刚才推导出的等差数列求和，熟悉公式，学以致用．4．概括知识，总结方法回顾与反思：这节课你学到了哪些知识，蕴含了哪些思想？5．分层作业，因材施教(1)巩固运用：P47 习题2.2(2)：1，2，3，4，5．(2)拓展思考：等差数列的通项公式a n可以看成关于n的函数，你能从函数的角度研究S n吗?[设计意图]分层布置作业，“巩固运用”面向全体学生，旨在掌握等差数列前n项和公式的应用．“拓展思考”为学生提供运用函数思想研究S n的机会．五．教学设计说明等差数列的前n项和的研究是在学生已经学习了等差数列的概念、通项公式等知识的基础之上，对等差数列这一特殊数列更深层次的探索和研究．任何一章知识的学习都应符合学生的认知规律，尊重学生已有的知识储备，尤其对于等差数列的前n项和的公式而言，很多学生在小学就已经从课外得知了这一公式，所以在进行知识呈现时，教师不可完全照本宣科，而需要从全新的角度切入，引导学生重新审视原有知识架构中“冰冷”的公式，带领学生揭开公式的“神秘面纱”，剖析公式推导过程中每一步所暗含的数学思想，这样才能抓住学生，让学生参与到课堂中来．本节课从时事——今年是中华人民共和国成立70周年出发，从学生们喜爱的阅兵式入手，让学生探索队列人数与数列间的关系，感受到数学来源于生活，引导学生学会用数学的眼光看世界．整节课的设计将几何中的“割补”法作为背景，结合多媒体的使用，分别从对数的角度“配对”和从形的角度“割补”进行交叉对比，让学生学会将已有的知识和研究手段迁移到新知识的学习中，让学生经历了从数到形，再从形到数的渐进过程，找到前n项和公式的两种形式的几何支撑，加深对于抽象公式的形象化理解，在获得新知的过程中体会了数形结合、化归、分类讨论等基本思想方法．例题的设置呼应了公式的两种形式，让学生在解题时体会如何选择合适的公式，也让学生在选择中体会两种公式间的联系，而公式的选用也是为了追求简约。

集体备课电子教案高一年级数学备课组（总第课时）主备人：时间：年月日等差数列前n 项和公式的基本运算在等差数列{a n }中， (1)已知a 6＝10，S 5＝5，求a 8； (2)已知a 2＋a 4＝485，求S 5.【思路探究】 (1)能否把已知条件写成关于a 1，d 的方程组并求出a 1，d 进而解出a 8的值？(2)能否使用等差数列的下标和性质求出a 1＋a 5？可以求S 5的值吗？等差数列中(1)已知首项、末项与项数求前n 项和时一般用公式S n ＝n a 1＋a n2，由于a 1＋a n ＝a 2＋a n －1＝a 3＋a n －2＝…，故解决本类问题常用到等差数列的“下标和”性质．(2)通项公式与前n 项和公式中涉及到a 1，d ，n ，a n ，S n 五个量，已知其中的三个可求其余两个量，即“知三求二”，体现了方程思想的应用．(1)在等差数列{a n }中，已知a 3＋a 15＝40，求S 17；(2)在等差数列{a n }中，已知a 3＝16，S 20＝20，若S n ＝110，求n .一支车队有15辆车，某天依次出发执行任务．第1辆车于下午2时出发，第2辆车于下午2时10分出发，第3辆车于下午2时20分出发，依此类推．假设所有的司机都连续开车，并且都在下午6时停下休息． (1)到下午6时，最后一辆车行驶了多长时间？(2)如果每辆车的行驶速度都是60 km/h ，这支车队当天一共行驶了多少路程？ 【思路探究】 (1)各车辆行驶的时间是否构成等差数列？(2)最后一辆车行驶的时间是这个数列的第几项？(3)所有车行驶的总时间该如何计算？【自主解答】 由题意，知第1辆车休息时行驶了240 min ，各辆车行驶的时间构成一个等差数列{a n }，其中a 1＝240，公差d ＝－10，则a n ＝240－10(n －1)＝－10n ＋250. (1)因为a 15＝－10×15＋250＝100，所以到下午6时，最后一辆车行驶了100 min. (2)这支车队所有车辆行驶的总时间为240＋1002×15＝2 550 min ＝852h ，所以这支车队当天一共行驶的路程为852×60＝2 550 (km)．当n ＝1时，a 1＝S 1＝1，不符合上式．∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝，2n ，n∴数列{a n }不是等差数列． 小结1．求等差数列前n 项和公式的方法称为倒序相加法．2．等差数列的两个求和公式中，一共涉及a 1，a n ，S n ，n ，d 五个量，通常已知其中三个量，可求另外两个量．在求等差数列的和时，一般地，若已知首项a 1及末项a n ，用公式S n ＝n a 1＋a 22较好，若已知首项a 1及公差d ，用公式S n ＝na 1＋n n －2d 较好．3．已知数列的前n 项和S n ，可以求通项公式a n 为：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝，S n －S n －1，n精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。

高中数学必修5《等差数列的前n项和》教案一、教学目标1. 了解等差数列的概念和性质；2. 能够求等差数列前n项和的公式；3. 能够应用等差数列的前n项和公式解决实际问题。

二、教学重难点1. 理解等差数列的性质和前n项和公式的推导过程；2. 能够正确运用公式解决实际问题。

三、教学方法1. 归纳法教学法；2. 实例演示法；3. 课堂讲解法。

四、教学过程1. 等差数列的概念和性质1) 定义：若一个数列从第二项开始，每一项与它的前一项之差相等，则该数列为等差数列。

2) 性质：（1）等差数列的通项公式：$a_n=a_1+(n-1)d$。

（2）等差数列的前n项之和：$S_n=\frac{n[a_1+a_n]}{2}$。

3) 练习：已知等差数列的首项为$5$，公差为$3$，求第$10$项的值。

解：$a_n=a_1+(n-1)d=5+(10-1)×3=32$。

2. 等差数列的前n项和1）等差数列的前n项和定义为：$S_n=a_1+a_2+\cdots+a_n$。

2）考虑S(n)+S(n)的值：S(n)+S(n)=a1+a2+...+a(n-1)+anan+an-1+...+a2+a1结论：S(n)+S(n)=(a1+an)+(a2+a(n-1))+...，共n/2项，其值均为a1+an。

即：2S(n)=n×(a1+an)。

故：$S_n=\frac{n[a_1+a_n]}{2}$。

3）练习：已知等差数列的首项为$2$, 公差为$3$, 求该等差数列的前$10$项和。

解：$a_1=2,d=3,n=10$,$S_n=\frac{n[a_1+a_n]}{2}=\frac{10[2+(2+9×3)]}{2}=110$。

五、课后作业1. 熟练掌握等差数列的概念及其公式；2. 完成教材上相应的练习题；3. 思考并尝试解决实际生活中遇到的等差数列问题。

《等差数列的前n项和》教学设计教学目标知识与技能目标(1)掌握等差数列前n项和公式;(2)掌握等差数列前n项和公式的推导过程;(3)会简单运用等差数列的前n项和公式。

过程与方法目标(1)通过对等差数列前n项和公式的推导过程,渗透倒序相加求和的数学方法；(2)通过公式的运用体会方程的思想；情感态度与价值观目标结合具体模型,将教材知识和实际生活联系起来,使学生感受数学的实用性,有效激发学习兴趣,并通过对等差数列求和历史的了解,渗透数学史和数学文化。

教学重难点教学重点：等差数列前n项和公式的推导和应用。

教学难点：等差数列前n项和公式推导思路的获得。

重难点突破措施本课在设计上采用了由特殊到一般、从具体到抽象的教学策略．利用数形结合、类比归纳的思想，层层深入，通过学生自主探究，分析、整理出推导公式的不同思路，同时，借助多媒体的直观演示，帮助学生理解，并通过范例后的变式训练和教师的点拨引导，师生互动、讲练结合，从而突出重点、突破教学难点。

教学教法充分发挥教师的主导作用和学生的主体作用，采用“启发——探究——讨论”的高效课堂的模式。

教学过程设计一、问题引入：创设情境：首先让学生欣赏一幅美丽的图片——泰姬陵。

泰姬陵是印度著名的旅游景点，传说中陵寝中有一个三角形的图案嵌有大小相同的宝石，共有100层，同时提出第一个问题：你能计算出这个图案一共花了多少颗宝石吗？也即计算1+2+3+…..+100=？模型直观用实际生活引入新课。

问题1提出：计算1+2+3+4+….100=？教师活动：引出前n 项和的定义，（板书）并引出高斯的故事。

二、探究公式：提出问题：高斯如何计1+2+3+4+ (100)教师活动：总结高斯算法所蕴含的思想方法高明之处：将不同数的求和问题转化为相同数的求和问题.活动：回答高斯故事总结算法思想：1+100=101，2+99=101，…..50+51=101， ∴50⨯（1+101）=5050学生1：将首末两项配对，第二项与倒数第二项配对，以此类推，每一对的和都相等，并且都等于 。

等差数列的前n 项和一、教学目标1、知识与技能：（1）进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n 项和公式；（2）了解等差数列的一些性质，并会用它们解决一些相关问题；（3）会利用等差数列通项公式与前n 项和的公式研究S n 的最值。

2、过程与方法：（1）经历公式应用的过程，形成认识问题、解决问题的一般思路和方法；（2）学会其常用的数学方法和体现出的数学思想，促进学生的思维水平的发展。

3、情感态度与价值观：通过有关内容在实际生活中的应用，使学生再一次感受数学源于生活，又服务于生活的实用性，引导学生要善于观察生活，从生活中发现问题，并数学地解决问题。

二、教学重点 熟练掌握等差数列的求和公式.教学难点 灵活应用求和公式解决问题. 三、教学方法：探究归纳，讲练结合四、教学过程（一）、导入新课师 首先回忆一下上一节课所学主要内容.生 我们上一节课学习了等差数列的前n 项和的两个公式： (1)2)(1n n a a n S +=；(2)2)1(1d n n na S n -+=.师 对，我们上一节课学习了等差数列的前n 项和的公式，了解等差数列的一些性质.学会了求和问题的一些方法，本节课我们继续围绕等差数列的前n 项和的公式的内容来进一步学习与探究.（二）、推进新课［合作探究］师 本节课的第一个内容是来研究一下等差数列的前n 项和的公式的函数表示，请同学们将求和公式写成关于n 的函数形式.生 我将等差数列{a n }的前n 项和的公式2)1(1d n n na S n -+=整理、变形得到：)2(212d a n d S n -+=n.(*)师 很好!我们能否说(*)式是关于n 的二次函数呢? 生1 能，(*)式就是关于n 的二次函数.生2 不能，(*)式不一定是关于n 的二次函数.师 为什么?生2 若等差数列的公差为0，即d=0时，(*)式实际是关于n 的一次函数!只有当d ≠0时，(*)式才是关于n 的二次函数.师 说得很好!等差数列{a n }的前n 项和的公式可以是关于n 的一次函数或二次函数.我来问一下：这函数有什么特征? 生 它一定不含常数项，即常数项为0.生 它的二次项系数是公差的一半.……师 对的，等差数列{a n }的前n 项和为不含常数项的一次函数或二次函数.问：若一数列的前n 项和为n 的一次函数或二次函数，则这数列一定是等差数列吗? 生 不一定，还要求不含常数项才能确保是等差数列.师 说的在理.同学们能画出(*)式表示的函数图象或描述一下它的图象特征吗?生 当d=0时，(*)式是关于n 的一次函数，所以它的图象是位于一条直线上的离散的点列，当d ≠0时，(*)式是n 的二次函数，它的图象是在二次函数x d a x d y )2(212-+=的图象上的一群孤立的点.这些点的坐标为(n,S n )(n=1，2，3，…). 师 说得很精辟.［例题剖析］【例】 (课本例4)分析:等差数列{a n }的前n 项和公式可以写成n d a n d S n )2(212-+=，所以S n 可以看成函数x d a x d y )2(212-+= (x∈N *)当x=n 时的函数值.另一方面，容易知道S n 关于n 的图象是一条抛物线上的点.因此我们可以利用二次函数来求n 的值.(解答见课本第52页) 师 我们能否换一个角度再来思考一下这个问题呢？请同学们说出这个数列的首项和公差.生 它的首项为5，公差为75-.师 对，它的首项为正数，公差小于零，因而这个数列是个单调递减数列，当这数列的项出现负数时，则它的前n 项的和一定会开始减小，在这样的情况下，同学们是否会产生新的解题思路呢？生 老师，我有一种解法：先求出它的通项，求得结果是a n =a 1+(n-1)d=74075+-n . 我令74075+=n a n ≤0，得到了n ≥8，这样我就可以知道a 8=0，而a 9＜0.从而便可以发现S 7=S 8，从第9项和S n 开始减小，由于a 8=0对数列的和不产生影响，所以就可以说这个等差数列的前7项或8项的和最大.师 说得非常好!这说明我们可以通过研究它的通项取值的正负情况来研究数列的和的变化情况. ［方法引导］师 受刚才这位同学的新解法的启发，我们大家一起来归纳一下这种解法的规律①当等差数列{a n }的首项大于零，公差小于零时，它的前n 项的和有怎样的最值?可通过什么来求达到最值时的n 的值? 生S n 有最大值，可通过⎩⎨⎧≤≥+001n n a a 求得n 的值.师 ②当等差数列{a n }的首项不大于零，公差大于零时，它的前n 项的和有怎样的最值?可通过什么来求达到最值时的n 的值?生 S n 有最小值，可以通过⎩⎨⎧≥≤+001n n a a 求得n 的值. ［教师精讲］好!有了这种方法再结合前面的函数性质的方法，我们求等差数列的前n 项的和的最值问题就有法可依了.主要有两种：(1)利用a n 取值的正负情况来研究数列的和的变化情况；(2)利用S n ：由n d a n d S n )2(212-+=利用二次函数求得S n 取最值时n 的值. （三）、课堂练习：请同学们做下面的一道练习： 已知：a n =1 024+lg21-n (lg2=0.3 01 0)n ∈*.问多少项之和为最大？前多少项之和的绝对值最小？(让一位学生上黑板去板演)解：1°⎩⎨⎧-=≥-+=+02lg 102402lg )1(10241＜n a n a n n 2lg 10242lg 1024≤⇒n ＜+1⇒3 401＜n ＜3 403.所以n=3 402.2°S n =1 024n+2)1(-n n (-lg2)，当S n =0或S n 趋近于0时其和绝对值最小，令S n =0，即1 024+2)1(-n n (-lg2)=0,得n =2lg 2048+1≈6 804.99.因为n ∈N *，所以有n=6 805.(教师可根据学生的解答情况和解题过程中出现的问题进行点评)［合作探究］师 我们大家再一起来看这样一个问题：全体正奇数排成下表：13 57 9 1113 15 17 1921 23 25 27 29…………此表的构成规律是：第n行恰有n个连续奇数;从第二行起，每一行第一个数与上一行最后一个数是相邻奇数，问2 005是第几行的第几个数?师此题是数表问题，近年来这类问题如一颗“明珠”频频出现在数学竞赛和高考中，成为出题专家们的“新宠”，值得我们探索.请同学们根据此表的构成规律，将自己的发现告诉我.生1 我发现这数表n行共有1+2+3+…+n个数，即n行共有2)1(+nn个奇数.师很好!要想知道2 005是第几行的第几个数，必须先研究第n行的构成规律.生2 根据生1的发现，就可得到第n行的最后一个数是2×2)1(+nn-1=n2+n-1.生3 我得到第n行的第一个数是(n2+n-1)-2(n-1)=n2-n+1.师现在我们对第n行已经非常了解了，那么这问题也就好解决了，谁来求求看?生4 我设n2-n+1≤2 005≤n2+n-1，解这不等式组便可求出n=45，n2-n+1=1 981.再设2 005是第45行中的第m个数，则由2 005=1 981+(m-1)×2，解得m=13.因此，2 005是此表中的第45行中的第13个数.师 很好!由这解法可以看出，只要我们研究出了第n 行的构成规律，则可由此展开我们的思路.从整体上把握等差数列的性质，是迅速解答本题的关键.（四）、课堂小结：本节课我们学习并探究了等差数列的前n 项和的哪些内容?生1我们学会了利用等差数列通项公式与前n 项和的公式研究S n 的最值的方法：①利用a n ：当a n ＞0，d ＜0，前n 项和有最大值.可由a n ≥0，且a n+1≤0，求得n 的值；当a n ≤0，d ＞0，前n 项和有最小值.可由a n ≤0，且a n+1≥0，求得n 的值.②利用S n ：由S n =2d n 2+(a 1-2d )n 利用二次函数求得S n 取最值时n 的值.生2 我们还对等差数列中的数表问题的常规解法作了探究，学习了从整体上把握等差数列的性质来解决问题的数学思想方法.师 本节课我们在熟练掌握等差数列的通项公式和前n 项和公式的基础上，进一步去了解了等差数列的一些性质，并会用它们解决一些相关问题.学会了一些常用的数学方法和数学思想，从而使我们从等差数列的前n 项和公式的结构特征上来更深刻地认识等差数列.（五）、布置作业课本习题1-2 A 组14、15 B 组4预习提纲：①什么是等比数列？②等比数列的通项公式如何求？五、教学反思：。

等差数列的前n项和一、背景分析本节课教学内容是高中课程标准实验教科书必修5（人教A版）中第二章的第三节内容．本节课主要研究如何应用倒序相加法求等差数列的前n项和以及该求和公式的应用．等差数列在现实生活中比较常见，因此等差数列求和就成为我们在实际生活中经常遇到的一类问题．同时，求数列前n项和也是数列研究的基本问题，通过对公式推导，可以让学生进一步掌握从特殊到一般的研究问题方法．二、学情分析在本节课之前学生已经学习了等差数列的通项公式及基本性质，也对高斯算法有所了解，这都为倒序相加法的教学提供了基础；同时学生已有了函数知识，因此在教学中可适当渗透函数思想．高斯的算法与一般的等差数列求和还有一定的距离，如何从首尾配对法引出倒序相加法，这是学生学习的障碍．三、设计理念让学生在具体的问题情境中经历知识的形成和发展，让学生利用自己的原有认知结构中相关的知识与经验，自主地在教师的引导下促进对新知识的建构，因为建构主义学习理论认为，学习是学生积极主动地建构知识的过程．在教学过程中，根据教学内容，从介绍高斯的算法开始，探究这种方法如何推广到一般等差数列的前n项和的求法．通过设计一些从简单到复杂，从特殊到一般的问题，层层铺垫，组织和启发学生获得公式的推导思路，并且充分引导学生展开自主、合作、探究学习，通过生生互动和师生互动等形式，让学生在问题解决中学会思考、学会学习．同时根据我校的特点，为了促进成绩优秀学生的发展，还设计了选做题和探索题，进一步培养优秀生用函数观点分析、解决问题的能力，达到了分层教学的目的．四、教学目标1. 理解等差数列前n项和公式的推导过程；掌握并能熟练运用等差数列前n项和公式；了解倒序相加法的原理；2. 通过公式的推导过程，体验从特殊到一般的研究方法，渗透函数思想与方程（组）思想，培养观察、归纳、反思的能力；通过小组讨论学习，培养合作交流、独立思考等良好的个性品质．五、教学重点和难点本节教学重点是探索并掌握等差数列前n项和公式，学会用公式解决一些实际问题；难点是等差数列前n项和公式推导思路的获得．六、教学过程设计（一）创设情景，唤起学生知识经验的感悟和体验有一组袋子，第一个袋子里面有一个球，后一个袋子比前一个袋子多一个相同个数的球，求(1)袋子里球的个数；(2)前50个袋子里共有多少球。

《等差数列的前n项和》教案（1）教学目标1．掌握等差数列前n项和公式及其获取思路；会用等差数列的前n项和公式解决一些简单的与前n项和有关的问题．2．通过公式的推导和公式的运用，使学生体会从特殊到一般，再从一般到特殊的思维规律，初步形成认识问题，解决问题的一般思路和方法；通过公式推导的过程教学，对学生进行思维灵活性与广阔性的训练，发展学生的思维水平．3．通过公式的推导过程，展现数学中的对称美．教学重点难点重点：等差数列n项和公式的理解、推导及应；难点：灵活应用等差数列前n项公式解决一些简单的有关问题．教法与学法教学方法：创设情景、启发引导、自主探究；学习方法：独立思考、自主探索、动手操作、合作交流．教学过程“这是小学时就知道的一个故事，高斯的算法非常高明，的首项为，公差为，和的奇，，于是有：．这就是倒序相加法．．和．教学设计说明1．教材地位分析本节课的教学内容是等差数列前n项和公式的推导及其简单应用．在推导等差数列前n 项和公式的过程中，采用了：（1）．从特殊到一般的研究方法；（2）．等差数列的基本元表示；（3）．逆序相加求和．不仅得出了等差数列前n项和公式，而且对以后推导等比数列前n项和公式有一定的启发，也是一种常用的数学思想方法．等差数列前n项和是学习极限、微积分的基础，与数学课程的其它内容（函数、三角、不等式等）有着密切的联系．2．学生现实状况分析（1）学生已经掌握了函数和数列的一些基础知识．比如等差数列的定义，通项公式及性质，并能够独立的解决一些简单的问题．（2）学生在前面的学习当中已经具备了一些抽象思维能力．（3）学生基础弱，需要在教师引导下进行预习，复习，巩固．。

课题:等差数列的前n项和
教材:《数学必修5》第二章2.2.3
一、教学目标：
1．掌握等差数列的前n项和公式及推导该公式的数学思想方法
2．学会用等差数列的前n项和公式解决一些简单的问题
3．通过公式的探索、发现、推导培养学生观察、分析、归纳的能力
二、教学重难点：
教学重点：运用等差数列的前n项和公式解决一些简单的问题
教学难点：等差数列的前n项和公式的推导
三、教学方法和教学手段：
本课采用“探究—发现—审视”教学模式，突出活动的组织设计与方法的引导，学生自主探究与合作交流
四、教学过程：
问题情境：
如图，某仓库堆放的一堆钢管
从数学的角度我们可以获取哪些信息？
根据这些信息可以提出什么问题？
6456789?
S=+++++=
引出课题:等差数列的前n项和
学生活动：
问题1：你能找到一个最特殊最简单的等差数列吗？
11111
n n
++++=⨯
个
1是相同数，n是相同数的个数
问题2：
6456789
S=+++++
没有相同数，构造相同数13，相同数的个数是3。

课题：必修⑤2.3等差数列的前n项和三维目标：1、知识与技能（1）理解等差数列前项和的定义以及等差数列前项和公式推导的过程，并理解推导此公式的方法——倒序相加法，记忆公式的两种形式；（2）用方程思想认识等差数列前项和的公式，利用公式求；等差数列通项公式与前项和的公式两套公式涉及五个字母，已知其中三个量求另两个值；（3）会用等差数列的前n项和公式解决一些简单的与前n项和有关的问题.2、过程与方法（1）通过对历史有名的高斯求和的介绍，引导学生发现等差数列的第k项与倒数第k项的和等于首项与末项的和这个规律，然后体验从特殊到一般的研究方法。

通过公式的探索、发现，在知识发生、发展以及形成过程中培养学生观察、联想、归纳、分析、综合和逻辑推理的能力。

（2）通过公式的推导过程，展现数学中的对称美；通过有关内容在实际生活中的应用，使学生再一次感受数学源于生活，又服务于生活的实用性，引导学生要善于观察生活，从生活中发现问题，并运用数学知识和方法科学地解决问题.3、情态与价值观(1) 通过对数列知识的进一步学习，不断培养自主学习、合作交流、善于反思、勤于总结的科学态度和锲而不舍的钻研精神，提高参与意识和合作精神；（2）通过生动具体的现实问题，激发学生探究的兴趣和欲望，树立学生求真的勇气和自信心，产生热爱数学的情感, 形成学数学、用数学的思维和意识，培养学好数学的信心，体验在学习中获得成功的成就感，为远大的志向而不懈奋斗。

教学重点：等差数列前项和公式的推导和应用教学难点：公式推导的思路及综合运用教具：多媒体、实物投影仪教学方法：合作探究、分层推进教学法教学过程：一、双基回眸 科学导入：★前面，我们学习了等差数列的概念、通项公式及其有关性质，并运用这些知识解决了许多的实际问题，请同学们回顾一下学过的等差数列基本知识和性质：① 等差数列定义：即d a a n n =--1(n ≥2)② 由三个数a ，A ，b 组成的等差数列可以看成最简单的等差数列，这时，A 叫做a 与b 的等差中项。

等差数列的前n 项和教学目标1．进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n 项和公式．2．了解等差数列的一些性质，并会用它们解决一些相关问题.教学重点熟练掌握等差数列的求和公式教学难点灵活应用求和公式解决问题.教学方法讲练相结合教具准备(I)复习回顾师：（提问）等差数列求和公式？生：（回答）d n n na a a n S n n 2)1(2)(11-+=+= （Ⅱ）讲授新课师：结合下列例题，掌握一下它的基本应用例1：求集合{}100,,7*<∈=m N n n m m 且的元素个数，并求这些元素的和。

解由m=100，得72147100=<n 满足此不等式的正整数n 共有14个，所以集合m 中的元素共有14个，从小到大可列为： 7，7×2，7×3，7×4，…7×14即：7，14，21，28， (98)这个数列是等差数列，记为{},n a 其中7352)987(14 98,714141=+⨯=∴==S a a 答：集合m 中共有14个元素，它们和等于735例2：已知一个等差数列的前10项的和是310，前20项的和是1220，由此可以确定求其前n 项和的公式吗？分析：若要确定其前n 项求和公式，则要确定 d.1和a 由已知条件可获两个关于1a 和d 的关系式，从而可求得.解：由题意知1220,3102010==S S ， 代入公式d n n na S n 2)1(1-+= 可得⎩⎨⎧=+=+122019020310451011d a d a 解得⎩⎨⎧==641d an n n n n S n +=⨯-+=∴2362)1(4 师：看来，可以由S 10与S 20来确定S n 。

例3：已知数列{},n a 是等差数列，S n 是其前n 项和，还应证：S 6，S 12-S 6，S 18-S 12成等差数列，设k k k k k S S S S S N k 232,,,--∈+成等差数列吗？ 生：分析题意，解决问题.解：设{},n a 首项是1a ，公差为d则：6543216a a a a a a S +++++=为等差数列1218612661212111098712111098718171615141312186654321654321121110987612,,3636)()6()6()6()6()6()6(3636)()6()6()6()6()6()6(S S S S S dS S da a a a a a d a d a d a d a d a d a a a a a a a S S dS d a a a a a a d a d a d a d a d a d a a a a a a a S S --∴+-=++++++=+++++++++++=+++++=-+=++++++=+++++++++++=+++++=- 同理可得k k k k k S S S S S 232,,--成等差数列.（Ⅲ）课堂练习生：9板演练习）师：给出答案，讲评练习.(Ⅳ)课时小结师：综上所述：①灵活应用通项公式和n 项和公式；②k k k k k S S S S S 232,,--也成等差数列.（V ）课后作业一、1．课本二、1．预习内容：2．预习提纲：①什么是等比数列？②等比数列的通项公式如何求？板书设计教学后记。

课题：等差数列的前n 项和教材：苏教版普通高中课程标准实验教科书 必修五▲1、教学目标：（1）掌握“倒序相加法”求等差数列的前n 项和公式的方法；（2）掌握等差数列的前n 项和公式，并能用公式解决一些简单问题；（3）在探索活动中培养学生观察、分析的能力，培养学生由特殊到一般的归纳能力。

▲2、教学重点、难点：等差数列的前n 项和公式的推导，等差数列的前n 项和公式的应用。

▲3、教学方法与教学手段：合作探究法、讲授法、多媒体教学。

▲4、教学过程：探究一、猜想等差数列的前n 项和公式今有与人钱，初一人与一钱，次一人与二钱，次一人与三钱，以次与之，转多一钱，共有百人，问共与几钱？ ——《张丘建算经》【设计意图】通过中国北魏时期《张丘建算经》中一道数学题导入所学内容。

引导学生通过观察、讨论发现问题中的等差数列，11a =，22a =，33a =，·，100100a =，需求123100a a a a +++⋅⋅⋅+。

评价学生观点，同时渗透利用数学建模的方法解决实际问题的思想。

继而引出本节课的第一个概念：等差数列{}n a 的前n 项和的定义： 一般地，我们称123n a a a a +++⋅⋅⋅+为等差数列{}n a 的前n 项和，用n S 表示，即123n n S a a a a =+++⋅⋅⋅+，回到古代的问题，转化为数学语言，即为问题1。

问题1：如何求123100+++⋅⋅⋅+？【学生活动】理解首尾配对求和的原理和方法,讨论高斯求和的精髓和局限性。

【设计意图】通过数学科学史的学习感悟我国古代数学的辉煌成就，渗透情感态度价值观教育。

高斯求和的精髓在于首尾配对，体现了消项的思想，但有局限性，项数必须是偶数项。

当项数不确定时如何计算？引出新的思考。

问题2：如何求123n +++⋅⋅⋅+？【学生活动】小组讨论，如何求和？【设计意图】引导学生回顾前两个问题，对n 进行分类讨论。

师生共同得到(1)2n n n S +=，指出结果中第一个n 的含义是项数，1的含义是首项，后一个n 的含义是末项。

人教版高中数学必修五 2.3 等差数列的前 n 项和教课方案知识与能力目标：（1）类比高斯算法，研究等差数列前项和公式，理解公式的推导方法；（2）能较娴熟地应用等差数列前项和公式解决有关问题；过程与方法目标：经历公式的推导过程，领会层层深入的研究方式，体验从特别到一般、详细到抽象的研究方法，学会察看、概括、反省与逻辑推理的能力；感情态度与价值观：经过生动详细的现实问题，激发学生研究的兴趣和欲念，建立学生求真的勇气和自信心，加强学生学好数学的心理体验，产生热爱数学的感情，体验在学习中获取成功。

二、教课要点与难点1、教课要点：等差数列前项和公式的推导和应用2、教课难点：公式推导的思路3、重难点解决的方法策略：本课在设计上采纳了从特别到一般、从详细到抽象的教课策略。

利用分类议论、类比概括的思想，层层深入。

经过学生自主研究，剖析、整理出推导公式的不一样思路，同时，借助多媒体的直观演示，帮助学生理解，并经过典范后的变式训练和教师的点拨指引、师生互动、讲练联合，突出要点、打破难点。

三、教课方法讲解法、多媒体展现四、教课流程创建问题情境，提出问题——研究等差数列前项和公式——公式理解和深入——公式应用，反应评论——概括总结，升华认知五、教课过程设计（一）创建情形，提出问题在生活中有这样一个例子，建筑工地上有一堆圆木，从上到下每层的数量分别为 1,2,3 ，... ，10，叠加起来恰好近似于一个三角形的图案问题 1：如有 10 层，共有几根圆木；如有100 层，共有几根圆木？教师活动：利用多媒体，展现圆木堆的图片，指引学生察看每一层木头数的变化状况学生活动：赏识之余察看每层圆木数的变化状况并试试解决问题 1.活动预设：（1）能获取的信息：从上到下，圆木数以 1 为公差挨次递加，组成等差数列。

（2）需要解决的问题： 100 层中终究共有多少根圆木？【设计企图】（1）教师先用多媒体展现彩图体现的问题，使学生进入问题情境，激发学生的兴趣，并使学生领会数学根源于生产生活。