高频金融数据的波动率估计80页PPT

我们称这样的数据为超高频数据 (ultra—high—frequency data）。
由于超高频数据记录了金融市场的
实时交易信息，为理解金融市场微观结 构提供了基础和可能，因而超高频数据 的研究成为近年来计量经济学领域的热 点。
高频金融数据在研究与交易过程和
市场微观结构相关的大量问题中都是很 重要的。
2019年，Hedvall发表文章<Trade concentration hypotheses: an Empirical test of information vs. demand models on the Helsinki Stock Exchange>文章对日内 “U〞型模式的理论解释进行了比较。
1、非同步交易
股票交易并不是同步发生的，不同的股 票有着不同的交易频率；即使是同一种股 票，其交易强度也是一小时一小时地、一 天一天地变化的。然而我们经常对一个固 定的时间间隔如一天、一周或者一个月来 分析收益率序列。
对于日序列，股价指的是其收盘价格， 即该股票在一个交易日内最后一次交易的 价格，而股票最后一次交易的实际时间也 是一天天变化的。
1985年，McInish和Wood发表文章 <Intraday and overnight returns and dayof-the-week effect>文中利用分钟数据发 现日内波动具有“U〞型模式。
1988年，Admati和Pfleiderer发表文章<A theory of intraday patterns: volume and price variability》，1992年Brock和 Kleidon发表文章<Periodic market closure and trading volume>分别给出了日内“U 〞型模式的理论解释。

2019
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例
估计一个变量服从均值为0得正态分布得方差
Maximize: or:
This gives:
n i1
1 2v
exp
ui2 2v
n
i 1
ln(v)
ui2 v
v
1 n
n i 1
ui2
GARCH(1,1)得应用
选择参数,最大化下式
n
i 1
ln(vi
)
ui2 vi
日元汇率数据得计算
/ 2)T
d1
T
VIX指数 VIX指数就是S&P500指数得波动率指数
VIX指数
VIX 就是芝加哥期权期货交易所 使用得市场波动性指数。通过该指数,可以了解 到市场对未来30天市场波动性得预期。
VIX由CBOT(芝加哥期权期货交易所)编制,以S&P500指数期权得隐含波动率计算 得来(1993年从8只成分股为基础计算,现在覆盖了标普500所有成分股)。若隐含 波动率高,则VIX指数也越高。该指数反映出投资者愿意付出多少成本去对冲投资 风险(用股票期权对冲风险得成本)。因此,VIX广泛用于反映投资者对后市得恐慌 程度,又称“恐慌指数”。指数愈高,意味着投资者对股市状况感到不安;指数愈低, 表示股票指数变动将趋缓。
日波动率得最新估计为每天1、53%
GARCH(p,q)
p
q
2 n
w
aiun2i
j
2 n
j
i 1
j 1
其它模型
许多其它得GARCH模型已被提出 比如,我们可以设计一个GARCH模型,使其赋予 ui2 得权重依赖
于 ui 得正负值
方差目标
一种估计GARCH(1,1)参数得很好方法就是所谓得方差目标 将长期平均方差设定为由数据计算出得抽样方差 模型只需要估计两个参数

2020/1/10
不同的标准下，波动率可以进行不同的分类，这里按照 波动率的计算方法与应用不同，将波动率分为：隐含波动 率、历史波动率和已实现波动率(高频波动率/日内波动率) 等几类。
隐含波动率 历史波动率 1预2 测波动率 已实现波动率 其他高频波动率
2020/1/10
隐含波动率
S
T
r
其中： 2
—期权价格；
—期权执行价格N(d；),N(— d ) 标的资产即
1
2
期率价；格—；年—度期化权方有差效，期隐；含— 波率连；续21 复X利eX2计2d— x无标风准险正利态
2020/1/10
21
2020/1/10
历史波动率的估计
也是一种静态波动率的估计，假定一定时期内波动 率保持不变。
目前，最常用的条件异方差模型是GARCH(1,1)模型， 基本能反映金融时间序列方差(或波动率)的特征。
2020/1/10
ARCH模型法：
在模型中，我们也可以给长期方差率指定权重，VL为长期
平均方差

2 n
VL

u m
2
i1 i ni
三个8 层次
波动率估计（方法研究）
波动率特征（自相关、长记忆、杠杆效应）
波动率预测（参数估计、模型评价）
2020/1/10
波动率研究发展的三个阶段
从纵向看，波动率模型经历了三个发展阶段： 第一个阶段：经典的金融分析模型中的波动率，如Black-Scholes的期权定价模型，这些模型假定市场收益率呈正 态分布，波动率是恒定的，遵从随机游走过程。 第二个阶段：Engle(1982)提出了ARCH模型，Bollerslev(1986)把这个模型一般化，得到GARCH，由此产生出 一个新的条件波动率研究领域，条件波动率模型层出不穷，它们大多是对GARCH的拓展，以更好的模拟某种特定 的市场效应。与此同时，Taylor(1986)、Hull和White(1987)以及Chesney和Scott(1989)提出了随机波动率模 型。随机波动率模型更易于写成连续形式，往往用于对衍生工具的理论分析（例如期权定价）。 第三阶段：近十年来，用高频分时数据估计波动率的方法开始流行，Andersen、Bollerslev、Diebold、Labys等 （1998、1999、2000、2001）对此方法进行了一系列的研究。以往的波动率都是无法观测到的，它们隐含在价 格曲线或收益率曲线中，人们只能通过收益曲线的时间序列来估计随机波动率模型的参数，继而预测波动率以及评 价各种波动率模型。高频估计能得到准确的波动率估计值，因而可以把波动率的高频估计当做一个观测到的时间序 列，以此为基础，波动率的实证检验和预测研究将能大大拓展。

i i i 1

利用有关 ui 的 m 天观测数据（从第n天开始往前 推），得出：
m 1 n2 ( un i u ) 2 m 1 i 1
1 m u un i m i 1

当时间间隔很小时，对数收益率可以用百分比收益 率替代 定义： ui （Si -Si 1）Si 1 假定 ui 的均值 u 为0 m-1被m代替 于是方差公式简化为

ui 的波动率用其标准差 衡量。
假设日对数收益率 ui 服从正态分布，则可以根据日 波动率 计算该资产的T日波动率：

T

提问：年波动率如何计算？

假设Si为金融资产在第i日的价格，该资产的对数收 益率为：
ui ln( Si Si 1 )

ui 的波动率用其标准差 衡量。
假设日对数收益率 ui 服从正态分布，则可以根据日 波动率 计算该资产的T日波动率：
2 n 由最近的u的观测值以及最

令 VL
，可以将GARCH（1,1）模型写成
2 2 2 n a un 1 n 1
其中
VL 1a
2 2 2 n a i un j n j i i 1 j 1
p
q

许多其它的GARCH模型已被提出 如，我们可以设计一个GARCH模型，使其赋予 ui 的权重依赖于 ui2 的正负值

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.
波动率的定义 金融资产的收益率是否服从正态分布 从期权价格反推波动率：隐含波动率 采用历史数据来估算波动率 检测日波动率 波动率模型的参数估计 波动率预测


在分析很多市场变量的收益行为时，利用幂律似乎 要比利用正态分布更好。

1
“已实现”波动率模型与GARCH和SV 类模型的比较
GARCH类模型和SV类模型多年来一直是波
动性估计常用的方法，但是扩展到多变量的 情况下， GARCH类模型和SV类模型由于 “维数灾难”问题，很难得到它们参数正确 的估计值。 “已实现”波动率无需建模，计算简便，可 以很好的应用于投资组合风险管理研究中， 因此已经成为学术界研究的新热点。


处理投资组合协方差的模型
DCC-GARCH模型

采用低频时间序列对多个资产收益的时变方差和协 方差建模的主要工具有多元GARCH模型和多元SV 模型，但是多元GARCH模型和多元SV模型的参数 估计由于“维数灾难”问题一直没有很好的解决。 DCC模型比较好的解决了多元GARCH的“维数灾 难”问题。

波动率估计的模型
波动率是投资组合的构建, 衍生产品定价以及金融风险管
理的关键变量, 对波动率的准确预测一直是现代金融学研 究的热点问题。 低频时间序列领域, 可以直接用GARCH 类模型和SV类模 型进行波动率估计。 而高频金融时间序列通常是指以天、小时、分钟甚至秒 为频率所采集的按时间先后顺序排列的金融类数据。 “已实现”波动率( realized volatility) 是针对高频时间序 列而开发的一种全新的波动率的测度方法。这种波动率 的度量方法中没有模型(model free) , 计算方便, 在金融研 究领域和实际操作领域都有很广阔的应用前景。
首先定义p(t)是金融资产的对数价格过程，投资于 该金融资产 时段上的对数收益率为： 其中， >0表示时间间隔。 当 =1时，
r (t , ) p(t ) p(t )
r (t , ) p(t 1) p(t )

其中，$\sig m a$为标准差，$r_i$为第i期的收益率， $\bar{r}$为平均收益率，n为样本数量。
意义
计算收益波动率有助于帮助投资者评估自己的风险 承受能力，从而更好地制定投资策略，获得预期的 回报。
收益波动率计算的步骤
1
1. 收集数据
收集投资组合历史收益数据，确保数据完整和可靠。
2
《收益波动率计算》PPT 课件
本课件旨在让您深入了解收益波动率的计算和分析，帮助您更好地把握投资 风险并做出明智的决策。
收益波动率的定义
收益波动率是表征证券或投资组合风险程度的指标。它是以历史数据为基础， 计算投资收益的标准差来衡量风险的，越大代表风险越高。
收益波动率计算的公式
公式
$\sig m a = \sqrt{\frac{\sum _{i= 1}^ n(r_i\bar{r})^ 2}{n - 1}}$
总结与提问环节
在本节课程中，我们深入了解了收益波动率的计算、意义和应用场景，并通 过案例分析加深理解。如果您有什么问题，欢迎提问。
2. 计算平均值
用数据求出平均收益率，即 $\bar{r}$。
3
3. 计算偏差
对每个期间的收益率与平均值之差进行计算。
4
4. 计算标准差
对各期间偏差平方和进行求和，再除以样本数然后开方，即可得到标准差。
收益波动率的解读与分析
解读
收益波动率较高的投资组合表明风险较高，但同时 可能具有更高的收益潜力。
黄金
收益波动率通常较低，但对于通货膨胀等外部 因素有一定的抵御能力。Βιβλιοθήκη 常见收益波动率的应用和意义
风险评估
收益波动率是评估投资风险的 重要指标，帮助投资者进行风 险管理。

h 0
2h
计算V(St+h, t)与V(St−h, t)时使用相同数据。
➢
t (r2)St
St 122St2
2 0,
St2
(ST,T).
47
10.4 障碍期权的简介和静态对冲
障碍期权（Barrier Option）
Out option（触碰失效期权） 当基本资产价格触碰某确定边界时，期权失效， payoff为0（或者payoff为R, 称为Rebate）。
Vik112(2i2ri)tVik1(1(2i2r)t)Vik
12(2i2ri)tVik1.
37
10.2 偏微分方程的有限差分解法
38
10.2 偏微分方程的有限差分解法
边界条件与终值条件
➢ Call option （K
➢ Put option
为执行价格）
V
k 0
0,
VIkISKerkt.
V i0m ax(iSK ,0).
V t rSt S Vt 1 22St2 S 2V t2rV.
29
10.1 期权定价回顾
Black-Scholes-Merton定价方程的解可以表示为
V (S t,t)E * e r(T t)p a y o ff ,
其中E*[.]表示在风险中性世界中求期望。（可以使用 二叉树或者三叉树模型近似计算）
K 2
K 2
14
9.3 隐含波动率与隐含风险中性分布 数值计算
假定T时刻到期的执行价格K−δ，K， K+δ的欧式看涨 期权的价格分别为c1，c2，c3，则
g(K)erTc1c322c2.
15
9.4 波动微笑和波动偏斜
以隐含波动率和执行价格为坐标轴，描述期权的隐含 波动率对于期权执行价格的变化规律的曲线。 波动微笑（Volatility smile）常见于外汇期权