中考数学十大解题思路之待定系数法
知识梳理
对于某些数学问题，若得知所求结果具有某种确定的形式，则可研究和引入一些尚待确定的系数(或参数)来表示这样的结果．通过变形与比较．建立起含有待定字母系数(或参数)的方程(组)，并求出相应字母系数(或参数)的值，进而使问题获解．这种方法称之为待定系数法．
使用待定系数法解题的一般步骤是：
(1)确定所求问题含待定系数的解析式；
(2)根据恒等条件，列出一组含待定系数的方程；
(3)解方程或消去待定系数，从而使问题得到解决．
初中数学中，待定系数法主要用途如下：
典型例题
一、在求函数解析式中的运用
这是待定系数法的一个主要用途，学生也是在这种运用过程中开始较深入的接触待定系数法．初中阶段主要有正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数这几类函数，前
面三种分别可设y=kx ，k y x
=
，y=kx+b 的形式(其中k 、b 为待定系数，且k ≠0)．而二次函数可以根据题目所给条件的不同，设成y=a x 2+bx+c(a 、b 、c 为待定系数)，y=a (x －h) 2+k(a 、k 、h 为待定系数)，y=a (x －x 1)(x －x 2)( a 、x 1、x 2
为待定系数)三类形式．根据题意(可以是语句形式，也可以是图象形式)，确定出h 、k 、a 、c 、b 、x 1、x 2等待定系数． 【例1】 (05上海)点A(2，4)在正比例函数的图象上，求这个正比例函数的解析式．
【解】设这个正比例函数的解析式为y=kx(k ≠0)，把A(2，4)代入得4=2k ，∴k=2，∴y=2x ．
【例2】 已知y 与x+1成反比例，且x=2时，y=4，求函数的解析式．
【分析】 y 与x+1成反比例，把x+1看作一个整体，即可设为：1
k y x =
+ (k ≠0)，然后把x=2，y=4代入，求出k 的值即得函数的解析式． 【解】 y 与x+1成反比例，∴可设1
k y x =
+(k ≠0) 将x=2，y=4代入1
k y x =+(k ≠0)，得421k =+，解得k=12 ∴所求的函数的解析式为121y x =+． 【解题反思】 本题中y 与x+1成反比例关系，但y 与x 不是反比例关系，所以当自变量为x 时，121
y x =+不是反比例函数． 【例3】二次函数的图象经过A(1，0)、B(3，0)、C(2，－1)三点．
(1)求这个函数的解析式．
(2)求函数与直线y=－x+1的交点坐标．
【解】 (1)设这个函数的解析式为y=a x 2+bx+c ．依题意得：
0093142a b c a b c a b c =++??=++??-=++?解这个方程组得143a b c =??=-??=?
∴这个函数的解析式是：y=x 2－4x+3 (2)2431
y x x y x ?=-+?=-+? 解这个方程组得：1110x y =??=?，2221x y =??=-? ∴函数与直线的交点坐标是：(1，0)、(2，－1)
【解题反思】 运用待定系数法，由已知建立方程(组)，可求其系数的值，在把a 、b 、c 的值代入解析式时要注意符号．
二、在确定方程或解方程时，某些时候使用待定系数法也可使问题得到简化．
例如：已知一元二次方程的两根为x 1、x 2，求二次项系数为1的一元二次方程时，可设该方程为x 2+mx+n=0，则有(x －x 1)(x －x 2)=0，即x 2－(x 1+x 2)x+x 1x 2=0，对应相同项的系数得m=－(x 1+x 2)，n=x 1x 2，所以所求方程为：x 2－(x 1+x 2)x+x 1x 2=0．
【例4】 已知三次方程x 3－6x 2+11x －6=0，有一根是另一根的2倍，解该方程．
【解】设方程的三根分别为a 、2a 、b ，则有x 3－6x 2+11x －6=(x －a )(x －2a )(x －b)，左右分别展开，并把相同项的系数作比较，可得：－3a －b=－6，2a 2+3a b=11，－2a 2b=－6．解得a =1，b=3，所以该方程的根分别为：x 1=1，x 2=2，x 3=3．
三、待定系数法在分式展开化为部分分式中的应用．
分式化为部分分式时，如果用待定系数法也会产生很好的效果．
【例5】 把分式
21172x x x
-+-化为部分分式． 【解】设2117221x A B x x x x -+=+--，然后将右边进行通分，化成一个分式，由于左右两边分母相同，则只要分子相同，即：－11x+7=(A －B)x －B ．由各项系数相同得：－11x=A －B ，7=－B ，解得A=3，B=－7．所以211737221x x x x x
-+-=+-- 四、待定系数法在因式分解中的应用
【例6】 分解因式：2x 2－xy －y 2+13x+8y －7
【解】 因为2x 2－xy －y 2=(2x+y)(x －y)，所以可设2x 2－xy －y 213x+8y －7=(2x+y+8)(x －y+b)，展开比较相同项系数，可得：a =－1，b=7，所以2x 2－xy －y 2+13x+8y －7=(2x+y －
1)(x －y+7)．
五、待定系数法在多项式除法中的应用
【例7】 当a 、b 为何值时，2x 3－a x 2+bx+1能被2x －1整除?
【解】 设2x 2－a x 2+bx+l=(2x －1)(x 2+mx －1)，右边展开由x 的相同项的系数相同可得a 、b ，m 的方程组，解得：a =3，b=－3．m=－1
1．已知：一次函数的图象经过(－4，15)、(6，－5)两点，求此一次函数的解析式．
2．(08镇江)二次函数的图象经过点A(0，－3)，B(2，－3)，C(－1，0)．
(1)求此二次函数的关系式；
(2)求此二次函数图象的顶点坐标；
(3)填空：把二次函数的图象沿坐标轴方向最少平移________个单位，使得该图象的顶点在原点．
3．如图所示，已知抛物线的对称轴是直线x=3，它与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点A、C的坐标分别是(8，0)、(0，4)，求这个抛物线的解析式．
4．(07枣庄)在平面直角坐标系中，△AOB的位置如图所示，已知∠AOB=90°，AO=BO，点A的坐标为(－3，1)
(1)求点B的坐标．
(2)求过A，O，B三点的抛物线的解析式；
(3)设点B关于抛物线的对称轴的对称点为B1，求△AB1B的面积．
1．y=－2x+7 2．(1)设y=a x 2+bx －3，把点(2，－3)，(－1，0)代入得4233300
a b a b +-=-??--=?，
解方程组得12
a b =??=-?． ∴y=x 2－2x －3．(也可设y=a (x －1) 2+k)． (2)y=x 2－2x －3=(x －1) 2－4，∴函数的顶点坐标为(1，－4)． (3)5
3．解：观察图象可知，A 、C 两点的坐标分别是(8，0)、(0，4)，对称轴是直线x=3．因为对称轴是直线x=3，所以B 点坐标为(－2，0)．设所求二次函数为y=a (x －x 1)(x －x 2)，由已知，这个图象经过点(8，0)、(－2，0)，可以得到y=a (x －8)(x+2)．又由于其图象过(0，
4)点，将点代入，得所求二次函数的关系式是213442
y x x =-++． 4．解：(1)作AC ⊥x 轴，BD ⊥x 轴，垂足分别为C ，D ，则∠ACO=∠ODB=90°． ∴∠AOC+∠OAC=90°．又∠AOB=90°，∴∠AOC+∠BOD=90°．∴∠OAC=∠BOD ．又AO=BO ，∴△ACO ≌△ODB ．∴OD=AC=1，DB=OC=3．∴点B 的坐标为(1，3)．
(2)抛物线过原点，可设所求抛物线的解析式为y=a x 2+bx ．将A(－3，1)，B(1，3)代入，解得56a =，136b =．故所求抛物线的解析式为251366
y x x =+． (3)抛物线的对称轴的方程是1310
x =-． 点B 关于抛物线的对称轴的对称点为11835B ??-
???，．在△AB 1B 中，底边B 1B=4．6，高为2．1 4.6S AB B ∴=
2016年北京中考专题突破几何综合 在北京中考试卷中，几何综合题通常出现在后两题，分值为8分或7分．几何综合题主要包含三角形(全等、相似)、四边形、锐角三角函数、圆等知识，主要研究图形中的数量关系、位置关系、几何计算以及图形的运动、变换等规律． 求解几何综合题时，关键是抓住“基本图形”，能在复杂的几何图形中辨认、分解出基本图形，或通过添加辅助线补全、构造基本图形，或运用图形变换的思想将分散的条件集中起来，从而产生基本图形，再根据基本图形的性质，合理运用方程、三角函数的运算等进行推理与计算． 1．[2015·北京] 在正方形ABCD中，BD是一条对角线，点P在射线CD上(与点C，D 不重合)，连接AP，平移△ADP，使点D移动到点C，得到△BCQ，过点Q作QH⊥BD于点H，连接AH，PH. (1)若点P在线段CD上，如图Z9－1(a)． ①依题意补全图(a)； ②判断AH与PH的数量关系与位置关系，并加以证明． (2)若点P在线段CD的延长线上，且∠AHQ＝152°，正方形ABCD的边长为1，请写出求DP长的思路．(可以不写出计算结果 ．．．．．．．．．) 图Z9－1 2．[2014·北京] 在正方形ABCD外侧作直线AP，点B关于直线AP的对称点为E，连接BE，DE，其中DE交直线AP于点F. (1)依题意补全图Z9－2①； (2)若∠PAB＝20°，求∠ADF的度数； (3)如图②，若45°<∠PAB<90°，用等式表示线段AB，FE，FD之间的数量关系，并证明．
图Z9－2 3．[2013·北京] 在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α(0°<α<60°)，将线段BC绕点B 逆时针旋转60°得到线段B D. (1)如图Z9－3①，直接写出∠ABD的大小(用含α的式子表示)； (2)如图②，∠BCE＝150°，∠ABE＝60°，判断△ABE的形状并加以证明； (3)在(2)的条件下，连接DE，若∠DEC＝45°，求α的值． 图Z9－3 4．[2012·北京] 在△ABC中，BA＝BC，∠BAC＝α，M是AC的中点，P是线段BM上的动点，将线段PA绕点P顺时针旋转2α得到线段PQ. (1)若α＝60°且点P与点M重合(如图Z9－4①)，线段CQ的延长线交射线BM于点D，请补全图形，并写出∠CDB的度数； (2)在图②中，点P不与点B，M重合，线段CQ的延长线与射线BM交于点D，猜想∠CDB 的大小(用含α的代数式表示)，并加以证明； (3)对于适当大小的α，当点P在线段BM上运动到某一位置(不与点B，M重合)时，能使得线段CQ的延长线与射线BM交于点D，且PQ＝DQ，请直接写出α的范围． 图Z9－4
《公式法因式分解》教学设计 永年县第八中学——胡平亮 一、教学内容：冀教版七年级数学第十一章公式法分解因式 二、教学目标： 知识与技能 1、经历逆用平方差公式的过程． 2、会运用平方差公式，并能运用公式进行简单的分解因式． 过程与方法 1、在逆用平方差公式的过程中，培养符号感和推理能力． 2、培养学生观察、归纳、概括的能力． 情感与价值观要求： 在分解过程中发现规律，并能用符号表示，从而体会数学的简捷美；让学生在合作探究的学习过程中体验成功的喜悦；培养学生敢于挑战；勇于探索的精神和善于观察、大胆创新的思维品质。 三、教学重点： 利用平方差公式进行分解因式 四、教学难点： 领会因式分解的解题步骤和分解因式的彻底性。 五、教学准备： 深研课标和教材，分析学情，制作课件 六、教学过程； 一、知识回顾 1、根据因式分解的概念，判断下列由左边到右边的变形，哪些是因式分解，哪些不是，为什么？ （1）、(2x-1)2=4x2-4x+1 否 （2）、 3x2＋9xy－3x＝3x(x＋3y－1) 是 （3）、4x2-1-4xy+y2=(2x+1)(2x-1)-y(4x-y) 否 2、把下列各式进行因式分解
（1）. a3b3-a2b-ab （2）(3x+y)(3x-y) （3）、（x+5)(x-5) 利用一组整式的乘法运算复习平方差公式，为探究运用平方差公式进行分解因式打下基础。 二、导入新课： 你能把多项式：x2 -25、9x2 -y2分解因式吗？ 利用一组运用平方差公式分解因式的习题，引导学生利用逆向思维去探究如何分解 a2- b2类的二次二项式。学生从对比整式的乘法去探索分解因式方法，可以感受到这种互逆变形以及它们之间的联系。 三、探究与交流 a2- b2=(a+b)(a-b) （1）用语言怎样叙述公式？ （2）公式有什么结构特征？ （3）公式中的字母a、b可以表示什么？引导学生观察平方差公式的结构特征， 学生在互动交流中，既形成了对知识的全面认识，又培养了观察、分析能力以及合作交流的能力。 判断：下列多项式能不能运用平方差公式分解因式？ (1) m2－1 (2)4m2－9 （3）(3)4m2+9 （4）(4)x2－25y + (5) －x2－25y2 (6) －x2－25y2 通过这一组判断，使学生加深理解和掌握平方差公式的结构特征，既突出了重点，也培养了学生的应用意识。 四、体验新知： （A）通过自学例1: 分解因式(1)25-16x2 (2)9a2 -1/4b2 引导学生得出分解因式的一般步骤，向学生渗透“化归”思想。 要让学生明确： （1）要先确定公式中的a和b； （2）学习规范的步骤书写。 （B）例2、分解因式9(m+n)2-(m-n)2
知b 的值”，解答此题，只需设定==k，则a=3k，b=2k，代入即可求解。这 ( “· ； ， 中考专题之：待定系数法 在数学问题中，若得知所求结果具有某种确定的形式，则可设定一些尚待确定的系数或参数)来表示 这样的结果，这些待确定的系数(或参数)，称作待定系数。然后根据已知条件，选用恰当的方法，来确定这些系数，这种解决问题的方法叫待定系数法。待定系数法是数学中的基本方法之一。它渗透于初中数学教材的各个部分，在中考中有着广泛应用。 应用待定系数法解题以多项式的恒等知识为理论基础，通常有三种方法：比较系数法；代入特殊值法；消除待定系数法。 比较系数法通过比较等式两端项的系数而得到方程（组），从而使问题获解。例如：已知x2-3=（1-A）x2 ＋Bx＋C，求A，B，C的值”，解答此题，并不困难，只需将右式与左式的多项式中对应项的系数加以比较后，就可得到A，B，C的值。这里的A，B，C就是有待于确定的系数。 代入特殊值法通过代入特殊值而得到方程（组），从而使问题获解。例如：“点（2，﹣3）在正比例 函数图象上，求此正比例函数”，解答此题，只需设定正比例函数为y=kx，将（2，﹣3）代入即可得到k 的值，从而求得正比例函数解析式。这里的k就是有待于确定的系数。 消除待定系数法通过设定待定参数，把相关变量用它表示，代入所求，从而使问题获解。例如：“已2a-b b2a-b =，求 a3a+b a3a+b 里的k就是消除的待定参数。 应用待定系数法解题的一般步骤是： （1）确定所求问题的待定系数，建立条件与结果含有待定的系数的恒等式； （2）根据恒等式列出含有待定的系数的方程（组） （3）解方程（组）或消去待定系数，从而使问题得到解决。 在初中阶段和中考中应用待定系数法解题常常使用在代数式变型、分式求值、因式分解、求函数解析式、求解规律性问题、几何问题等方面。下面通过中考的实例探讨其应用。 一.待定系数法在代数式变型中的应用：在应用待定系数法解有关代数式变型的问题中，根据右式与左式多项式中对应项的系数相等的原理列出方程（组）解出方程（组）即可求得答案。 典型例题： 例：若x2+6x+k是完全平方式，则k=【】 A．9B．－9C．±9D．±3 练习题： 1.已知x2＋16x＋k是完全平方式，则常数k等于【】 A．64B．48C．32D．16
待定系数法分解因式（附答案）待定系数法作为最常用的解题方法，可以运用于因式分解、确定方程系数、解决应用问题等各种场合。其指导作用贯穿于初中、高中甚至于大学的许多课程之中，认真学好并掌握待定系数法，必将大有裨益。 内容综述 将一个多项式表示成另一种含有待定系数的新的形式，这样就得到一个恒等式。然后根据恒等式的性质得出系数应满足的方程或方程组，其后通过解方程或方程组便可求出待定的系数，或找出某些系数所满足的关系式，这种解决问题的方法叫做待定系数法。 本讲主要介绍待定系数法在因式分解中的作用。同学们要仔细体会解题的技巧。 要点解析 这一部分中，通过一系列题目的因式分解过程，同学们要学会用待定系数法进行因式分解时的方法，步骤，技巧等。 例1 分解因式 思路1 因为 所以设原式的分解式是然后展开，利用多项式的恒等，求出m, n,的值。 解法1因为所以可设 比较系数，得 由①、②解得把代入③式也成立。 ∴ 思路2 前面同思路1，然后给x,y取特殊值，求出m,n 的值。 解法2 因为所以可设
因为该式是恒等式，所以它对所有使式子有意义的x,y都成立，那么无妨令得 令得 解①、②得或 把它们分别代入恒等式检验，得 ∴ 说明：本题解法中方程的个数多于未知数的个数，必须把求得的值代入多余的方程逐一检验。若有的解对某个方程或所设的等式不成立，则需将此解舍去；若得方程组无解，则说明原式不能分解成所设形成的因式。 例2 分解因式 思路本题是关于x的四次多项式，可考虑用待定系数法将其分解为两个二次式之积。 解设 由恒等式性质有： 由①、③解得代入②中，②式成立。 ∴ 说明若设原式 由待定系数法解题知关于a与b的方程组无解，故设原式
专题一 图表信息 专题提升演练 1.如图,根据程序计算函数值,若输入的x值为,则输出的函数值为( ) A. B. C. D. 2.如图,AB为半圆的直径,点P为AB上一动点,动点P从点A出发,沿AB匀速运动到点B,运动时间为t,分别以AP和PB为直径作半圆,则图中阴影部分的面积S与时间t之间的函数图象大致为( ) 3.如图是小明设计的用手电筒来测量某古城墙高度的示意图.在点P处放一水平的平面镜,光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处,已知AB⊥BD,CD⊥BD,测得AB=1.2 m, BP=1.8 m,PD=12 m,则该古城墙的高度是( ) B.8 m C.18 m D.24 m 4.某种蓄电池的电压为定值,使用此电源时,电流I(单位:A)与可变电阻R(单位:Ω)之间的函数关系如图,当用电器的电流为10 A时,用电器的可变电阻阻值为 Ω. .6 5.为鼓励居民节约用电,某省试行阶梯电价收费制,具体执行方案如下: 档次每户每月用电数/度执行电价/(元/度) 第一档小于等于2000.55 第二档大于200小于4000.6
第三档大于等于4000.85 例如:一户居民七月用电420度,则需缴电费420×0.85=357(元). 某户居民五月、六月共用电500度,缴电费290.5元.已知该用户六月用电量大于五月,且五月、六月的用电量均小于400度.问该户居民五月、六月各用电多少度? 500度,所以每个月用电量不可能都在第一档. 假设该用户五月、六月每月用电均超过200度, 此时的电费共计:500×0.6=300(元), 而300>290.5,不符合题意. 又因为六月用电量大于五月,所以五月用电量在第一档,六月用电量在第二档. 设五月用电x度,六月用电y度, 根据题意,得 故该户居民五月、六月各用电190度、310度. 6.在一次中学生田径运动会上,根据参加男子跳高初赛的运动员的成绩(单位:m),绘制出如下的统计图 ①和图②.请根据相关信息,解答下列问题: 图① 图② (1)图①中a的值为 ; . (2)∵ =1.61, ∴这组数据的平均数是1.61. ∵在这组数据中,1.65出现了6次,出现的次数最多, ∴这组数据的众数为1.65. ∵将这组数据按从小到大的顺序排列,其中处于中间的两个数都是1.60,又=1.60, ∴这组数据的中位数为1.60.
用公式法进行因式分解 【教学目标】 （一）知识与技能 1．知识目标：使学生了解平方差公式和完全平方公式的结构特点。会用公式法分解因式。 2．能力目标：通过对平方差公式和完全平方公式的辨析，培养学生的观察能力。 （二）过程与方法 1．在引导学生逆用乘法公式的过程中，培养学生逆向思维能力。 2．经历探索因式分解方法的过程，培养学生自主探索、发现问题的能力，通过猜测、推理、验证、归纳等步骤，发展学生的数学思维能力。 （三）情感态度与价值观 通过公式法因式分解的学习，使学生体会数学美，体会成功的自信和团结合作精神，在知识的应用过程中获得研究问题、解决问题的经验和方法。 【教学方法】 引导发现，合作交流。 【教学重难点】 正确熟练运用公式法分解因式，综合运用提公因式法和公式法分解因式。 【教学过程】 （一）创设情境，引入新知 让学生写出学过的两组乘法公式 （a＋b）（a-b）＝a2-b2 （a±b）2＝a2±2ab+b2 （二）师生互动，概括新知 1．活动1：让学生把上面两个公式左右两边倒过来会出现什么情形？可不可以用此来分解因式？ a2-b2＝（a＋b）（a-b） a2±2ab+b2＝（a±b）2 由多项式的乘法公式由右向左逆用，这样就又给我们提供了一种新的分解因式的方法——公式法。运用这些公式可以将某些符合条件的多项式分解因式。
2．活动2：让学生观察、发现、交流、讨论下列问题： （1）公式有什么特点？ （2）用语言叙述公式。 （3）公式中的a、b可以表示什么？ （4）根据你对公式的理解，请举出几个用公式法分解因式的例子，并指出多项式中谁相当于公式中的a，谁相当于公式中的b？ 以上问题，尽量让学生自主探索、交流发现，老师补充总结。 （三）合作交流，巩固新知 1．例1：把下列各式进行因式分解 （1）4x2-25 （2）16a2-9b2 分析：注意引导学生观察所给多项式的项数，每个项可以看成是什么“东西”的平方，使之与平方差公式进行对照，确认公式中的字母在每个题目中对应的数或式后，再用平方差公式进行因式分解。 2．练习1：把下列各式分解因式 （1）x2－9 （2）4m2-n2 （3）25—4x2y2 （4）49x2-36y2 学生自主完成并交流体会。 3．例2：把下列各式进行因式分解： （1）25x2+20x+4； （2）9m2-6mn+n2； （3）x2+x+ 分析：由于受到前面用平方差公式分解因式的影响，学生对于这两个多项式因式分解比较容易想到用完全平方公式，学生容易接受，教师要把重点放在研究公式的特征上来。 可采用让学生自主讨论的方式进行教学，引导学生从多项式的项数、每项的特点、整个多项式的特点等几个方面进行研究。然后交流各自的体会。 4．练习2：把下列各式分解因式 （1）
用待定系数法求三角函数最值 武增明 用均值不等式求三角函数最值时，“各数相等”及“和（或积）为定值”是两个需要刻意凑出的条件，从何处入手，怎样拆项，如何凑出定值且使等号成立，又能使解答过程简捷明快，这确实既“活”又“巧”，对此问题，现利用待定系数法探析。 例1. 设x ∈（0，π），求函数x sin 22x sin y +=的最小值。 分析：拿到此题，很容易想到下面的解法。 因为 sinx ＞0， 所以2x sin 22x sin 2x sin 22x sin y =?≥+=。故y min =2。 显然，这种解法是错误的！错误的原因是没有考虑“=”号成立的条件。由 x sin 22x sin =得sinx=2，这样的x 不存在，故为错解。 事实上，此题是可以用均值不等式来解答的，但需要拆项，如何拆，既能使其积为定值，又能使“=”号成立，这确实是一个难点，笔者认为，待定系数法就能很好地解决这 个问题，为此，先引入一个待定系数λ（0＜λ＜2，使x sin 2x sin 2x sin y λ-+λ+=。由均值不等式及正弦函数的有界性，得λ-+λ≥λ-+λ?≥22x sin 2x sin 2x sin 2y 。 当且仅当x sin 2x sin λ=且sinx=1，即λ=21时，上式等号成立。将λ=21代入，得y min =2 5。 另解：y=)x sin 4x (sin 21+。 令sinx=t(0＜t ≤1＝，易证)t 4t (21y +=在（0，1]上单调递减，所以25)141(21y min =+=。 例2. 当x ∈(0，2π)时，求函数x cos 2x sin 36y +=的最小值。 分析：因为x ∈(0， 2 π)，所以sinx ＞0，cosx ＞0，引入大于零的待定系数k ，则函数x cos 2x sin 36y +=可变形为x cos 1x cos 1x sin k x sin 33x sin 33y 2++++=+kcos 2x －k ≥
第2讲利用待定系数法因式分解、分式的拆分等 一、 方法技巧 1. 待定系数法运用于因式分解、分式的拆分等问题中，其理论依据是多项式恒等，也就是利用了 多项式()()f x g x =的充要条件是：对于一个任意的x=a 值，都有()()f x g x =；或者两个多项 式各关于x 的同类项的系数对应相等． 2. 使用待定系数法解题的一般步骤是： （1）确定所求问题含待定系数的一般解析式； （2）根据恒等条件，列出一组含待定系数的方程（组）； （3）解方程（组），从而使问题得到解决. 例如：“已知()22 52x a x bx c -=-?++，求a ，b ，c 的值．” 解答此题，并不困难．只需将右式与左式的多项式中的对应项的系数加以比较后，就可得到a ， b ， c 的值．这里的a ，b ，c 是有待于确定的系数，这种解决问题的方法就是待定系数法． 3. 格式与步骤: (1)确定所求问题含待定系数的解析式. 上面例题中，解析式就是：()2 2a x bx c -?++ (2)根据恒等条件，列出一组含待定系数的方程. 在这一题中，恒等条件是： 210 5a b c -=??=??=-? (3)解方程或消去待定系数，从而使问题得到解决. ∴10 5a b c =??=??=-? 二、应用举例 类型一 利用待定系数法解决因式分解问题 【例题1】已知多项式432237x x ax x b -+++能被22x x +-整除. （1）求a ，b （2）分解因式：432237x x ax x b -+++ 【答案】（1） 12 6a b =-=和 （2）()()4322223127 6 2253x x x x x x x x --++=+--- 【解析】
中考数学的解题思路和 技巧 文件编码（008-TTIG-UTITD-GKBTT-PUUTI-WYTUI-8256）
在中考数学解题的时候，经常会碰到一些困难的题目，而往往很多考生在这些难题中浪费了大量的时间，导致中考分数低。所以，我们在中考的时候，就需要掌握一些中考的解题技巧，来解决这些事情。 中考的解题技巧还是很多的，下面我们就来看看其中一些比较重要的。 首先，审题时注意力要集中，思维应直接指向试题，力争做到眼到、心到、手到。审题时，应弄清已知条件、所求结论，同时在短时间内汇集有关概念、公式、定理，用综合法、或分析法、或两头凑的方法，探索解题途径。特别注意已知条件所设的陷阱，仔细审题，认真分析是否该分类讨论，以免丢解。 其次，在答题顺序上，应逐题进行解答,由易到难。要正确迅速地完成选择题和填空题，有效利用时间，为顺利完成中档题和压轴题奠定基础。在逐题进行解答时，遇到一时解不出的题应先放下(别忘了做记号，以免落题)，把会解的题目都做完后，再回来把留下的疑难逐一解决。 第三，遇到平时没见过的题目，不要慌，稳定好情绪。题目貌似异常，其实都出自原本。要冷静回想它与平时见过的题目、书本中的知识有哪些关联。要相信自己的功底，多方寻找思路，便能豁然得释。切忌对着题发呆不敢下手，有时动笔做一做或者画一画，就图形进行相应地
分析，也就做出来了。尽可能解答一步是一步，不放过多得一分的机会。 第四，解综合题时，应步步为营，稳扎稳打，否则前面错了，后面即使方法对了，也得分甚少。 最后，注意认真检查，如感觉某题答错了，不能盲目去改，要十分冷静地重新审题，仔细研究，确定此时思路正确，再动笔去改，因为此时易把正确的改错了，尽量减少失误。检查在数学考试中尤为重要，它是减少失误的最有效途径。 另外，面对冲刺中考，本文为大家准备了中考数学答题的指导方法。 1、配方法 所谓配方，就是把一个解析式利用恒等变形的方法，把其中的某些项配成一个或几个多项式正整数次幂的和形式。通过配方解决数学问题的方法叫配方法。其中，用的最多的是配成完全平方式。配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法，它的应用十分非常广泛，在因式分解、化简根式、解方程、证明等式和不等式、求函数的极值和解析式等方面都经常用到它。 2、因式分解法
12.4用公式法进行因式分解（1） 教学目标： 1、会用公式法进行因式分解； 2、了解因式分解的一般步骤. 重点、难点： 综合运用平方差公式、完全平方公式分解因式.学会根据题目的结构特点，灵活选择公式. 教学过程： 活动一：导课 1、教师出示练习：把下列各多项式进行因式分解： （1）a 2－b 2 （2）a 2±2ab+b 2 2、师生交流讨论：你能说说你算得快的原因吗？ 把乘法公式：平方差公式：(a+b)(a －b)＝a 2－b 2 完全平方公式：(a±b) 2＝a 2±2ab+b 2 反过来就得到： a 2－ b 2=（a+b)(a －b) a 2±2ab+b 2＝(a±b) 2 活动二：教师说明用公式法进行因式分解的概念：把它们作为公式，就可以把某些多项式进行因式分解，这种因式分解的方法叫做公式法. 活动三：做一做 教师出示例题，学生尝试完成. 例1：分解因式：（1）4a 2－9b 2 (2)－25a 2y 4+16b 16 解：（1）4a 2－9b 2 ＝(2a)2－(3b)2 ＝(2a+3b)(2a －3b) 解：（2）－25a 2y 4+16b 16 ＝16b 16－25a 2y 4 ＝(4b 8)2－(5ay 2)2 ＝(4b 8+5ay 2)(4b 8－5ay 2) 师生点评：要先将原式写成公式左边的形式，写成(4b 8)2－(5ay 2)2 学生练习：分解因式：（1）36b 4x 8－9c 6y 10 （2）81x 8－y 8 解：（1）36b 4x 8－9c 6y 10 ＝9(4b 4x 8－c 6y 10) ＝9[(2b 2x 4)2－(c 3y 5)2] ＝9(2b 2x 4+c 3y 5)(2b 2x 4－c 3y 5) （2）8188y x
公式及方法大全 待定系数法(因式分解) 待定系数法是数学中的一种重要的解题方法，应用很广泛，这里介绍它在因式分解中的应用． 在因式分解时，一些多项式经过分析，可以断定它能分解成某几个因式，但这几个因式中的某些系数尚未确定，这时可以用一些字母来表示待定的系数．由于该多项式等于这几个因式的乘积，根据多项式恒等的性质，两边对应项系数应该相等，或取多项式中原有字母的几个特殊值，列出关于待定系数的方程(或方程组)，解出待定字母系数的值，这种因式分解的方法叫作待定系数法． 常用的因式分解公式：
例1 分解因式：x2+3xy+2y2+4x+5y+3． 分析由于 (x2+3xy+2y2)=(x+2y)(x+y)， 若原式可以分解因式，那么它的两个一次项一定是 x+2y+m和x+y+n的形式，应用待定系数法即可求出m和n，使问题得到解决． 解设 x2+3xy+2y2+4x+5y+3 =(x+2y+m)(x+y+n) =x2+3xy+2y2+(m+n)x+(m+2n)y+mn，
比较两边对应项的系数，则有 解之得m=3，n=1．所以 原式=(x+2y+3)(x+y+1)． 说明本题也可用双十字相乘法，请同学们自己解一下．例2 分解因式：x4-2x3-27x2-44x+7． 分析本题所给的是一元整系数多项式，根据前面讲过的求根法，若原式有有理根，则只可能是±1，±7(7的约数)，经检验，它们都不是原式的根，所以，在有理数集内，原式没有一次因式．如果原式能分解，只能分解为 (x2+ax+b)(x2+cx+d)的形式． 解设 原式=(x2+ax+b)(x2+cx+d) =x4+(a+c)x3+(b+d+ac)x2+(ad+bc)x+bd， 所以有 由bd=7，先考虑b=1，d=7有 所以 原式=(x2-7x+1)(x2+5x+7)．
专业资料整理分享 中考数学压轴题解题技巧 湖北竹溪城关中学明道银 解中考数学压轴题秘诀（一） 数学综合题关键是第24题和25题，我们不妨把它分为函数型综合题和几何型综合题。 （一）函数型综合题：是先给定直角坐标系和几何图形，求（已知）函数的解析式（即在求解前已知函数的类型），然后进行图形的研究，求点的坐标或研究图形的某些性质。初中已知函数有：①一次函数（包括正比例函数）和常值函数，它们所对应的图像是直线；②反比例函数，它所对应的图像是双曲线； ③二次函数，它所对应的图像是抛物线。求已知函数的解析式主要方法是待定系数法，关键是求点的坐标，而求点的坐标基本方法是几何法（图形法）和代数法（解析法）。此类题基本在第24题，满分12分，基本分2－3小题来呈现。 （二）几何型综合题：是先给定几何图形，根据已知条件进行计算，然后有动点（或动线段）运动，对应产生线段、面积等的变化，求对应的（未知）函数的解析式(即在没有求出之前不知道函数解析式的形式是什么)和求函数的定义域，最后根据所求的函数关系进行探索研究，一般有：在什么条件下图形是等腰三角形、直角三角形、四边形是菱形、梯形等或探索两个三角形满足什么条件相似等或探究线段之间的位置关系等或探索面积之间满足一定关系求x的值等和直线（圆）与圆的相切时求自变量的值等。求未知函数解析式的关键是
列出包含自变量和因变量之间的等量关系（即列出含有x、y的方程），变形写成y＝f（x）的形式。一般有直接法（直接列出含有x和y的方程）和复合法（列出含有x和y和第三个变量的方程，然后求出第三个变量和x之间的函数关系式，代入消去第三个变量，得到y＝f（x）的形式），当然还有参数法，这个已超出初中数学教学要求。找等量关系的途径在初中主要有利用勾股定理、平行线截得比例线段、三角形相似、面积相等方法。求定义域主要是寻找图形的特殊位置（极限位置）和根据解析式求解。而最后的探索问题千变万化，但少不了对图形的分析和研究，用几何和代数的方法求出x的值。几何型综合题基本在第25题做为压轴题出现，满分14分，一般分三小题呈现。 在解数学综合题时我们要做到：数形结合记心头，大题小作来转化，潜在条件不能忘，化动为静多画图，分类讨论要严密，方程函数是工具，计算推理要严谨，创新品质得提高。 解中考数学压轴题秘诀（二） 具有选拔功能的中考压轴题是为考察考生综合运用知识的能力而设计的题目，其特点是知识点多，覆盖面广，条件隐蔽，关系复杂，思路难觅，解法灵活。解数学压轴题，一要树立必胜的信心，二要具备扎实的基础知识和熟练的基本技能，三要掌握常用的解题策略。现介绍几种常用的解题策略，供初三同学参考。 1、以坐标系为桥梁，运用数形结合思想：
《用公式法进行因式分解》教案 教学目标： 知识与技能：了解运用公式分解因式的意义，掌握用平方差分解因式；了解提公因式法分解因式首先考虑用平方差分解因式. 过程与方法：通过对平方差公式特点的辨析，培养学生的观察能力；训练学生对平方差公式的运用能力. 情感、态度与价值观：在引导学生逆用乘法公式的过程中，培养学生的逆向思维能力. 教学重难点： 教学重点：运用平方差公式分解因式. 教学难点：灵活运用公式法或已经学过的的提公因式法分解因式，正确判断因式分解的彻底性. 教学过程： （一）观察与思考： 你能把下列多项式进行因式分解吗？ （1）22b a -； （2）222b ab a ++. 学生：它们都是乘法公式中等号右边的形式，能利用乘法公式试一试吗？ 把乘法公式： . 2)(,2)(, ))((22222222b ab a b a b ab a b a b a b a b a +-=-++=+-=-+ 的左边和右边分别交换位置，就得到 . )(2;)(2); )((22222222b a b ab a b a b ab a b a b a b a -=+-+=++-+=- 把它们作为公式，就可以把具备平方差或完全平方式形式的多项式进行因式分解，这种因素分解的方法叫做公式法.
（二）例题解析： 例1：把下列各式进行因式分解： （1）2542-x ； （2）22916b a -. 例2：把下列各式进行因式分解： （1）;420252++x x （2）2269n mn m +-； （3）4 12++x x . 例3：把下列各式进行因式分解： （1）24322x x +-； （2）22363ay axy ax +-. 例4：把下列各式进行因式分解： （1）22)2()2(b a b a +--； （2）2)(2)(2050y x n y x n n -+--. 课堂总结： 本节课你学会了什么？
中考数学 待定系数法 知识梳理 对于某些数学问题，若得知所求结果具有某种确定的形式，则可研究和引入一些尚待确定的系数(或参数)来表示这样的结果．通过变形与比较．建立起含有待定字母系数(或参数)的方程(组)，并求出相应字母系数(或参数)的值，进而使问题获解．这种方法称之为待定系数法． 使用待定系数法解题的一般步骤是： (1)确定所求问题含待定系数的解析式； (2)根据恒等条件，列出一组含待定系数的方程； (3)解方程或消去待定系数，从而使问题得到解决． 初中数学中，待定系数法主要用途如下： 典型例题 一、在求函数解析式中的运用 这是待定系数法的一个主要用途，学生也是在这种运用过程中开始较深入的接触待定系数法．初中阶段主要有正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数这几类函数，前面三种分别可设y=kx ，k y x =，y=kx+b 的形式(其中k 、b 为待定系数，且k ≠0)．而二次函数可以根据题目所给条件的不同，设成y=a x 2+bx+c(a 、b 、c 为待定系数)，y=a (x －h) 2+k(a 、k 、h 为待定系数)，y=a (x －x 1)(x －x 2)( a 、x 1、x 2为待定系数)三类形式．根据题意(可以是语句形式，也可以是图象形式)，确定出h 、k 、a 、c 、b 、x 1、x 2等待定系数． 【例1】 (05上海)点A(2，4)在正比例函数的图象上，求这个正比例函数的解析式． 【解】设这个正比例函数的解析式为y=kx(k ≠0)，把A(2，4)代入得4=2k ，∴k=2，∴y=2x ． 【例2】 已知y 与x+1成反比例，且x=2时，y=4，求函数的解析式． 【分析】 y 与x+1成反比例，把x+1看作一个整体，即可设为：1k y x = + (k ≠0)，然后把x=2，y=4代入，求出k 的值即得函数的解析式． 【解】 y 与x+1成反比例，∴可设1k y x =+(k ≠0)
因式分解（四）待定系数法、求根法 【知识要点】待定系数法 有的多项式虽不能直接分解因式，但可由式子的最高次数与系数的特点断定其分解结果的因式形式。如只含一个字母的三次多项式分解的结果可能是一个一次二项式乘以一个二次三项式，也可能是三个一次因式的积。于是，我们可以先假设要分解因式的多项式等于几个因式的积，再根据恒等式的性质列出方程（组），进而确定其中的系数，得到分解结果，这种方法就称为待定系数法。 用待定系数法分解因式时需利用恒等式的如下重要性质： 如果a n x n ＋a n-1x n-1＋…＋a 1x ＋a 0≡b n x n ＋b n-1x n-1＋…＋b 1x ＋b 0，那么a n = b n,a n-1= b n-1…，a 1=b 1 a 0=b 0，即恒等式同次项的对应系数一定相等。 这里，“≡”表示“恒等于”，即对任何x 值，等式左边的值都等于右边的值。 【典型例题】 例1 若3233x x x k +-+有一个因式是1x +，求k 的值。 例2 已知32 4715ax bx x +--被31x +和23x -整除，求,a b 的值，并将该多项式分解因式。 例3 设32324x x xy kx y +---可分解为一次与二次因式之积，则k 为多少？ 例4 若代数式(1)(2)(3)x x x x p ++++恰好能分解为两个二次整式的乘积。（其中二次项系数均为1，且一次项系数相同），求P 的最大值。
例5 设()p x 是一个关于x 的二次多项式，且32 7561(1)()x x x m x p x a -+--=-+，其中,m a 是与x 无关的常数，求()p x 的表达式。 例6 多项式m y x y xy x +-++-5112101222可以分解为两个一次因式的积，求m 的值。 因式分解（四）待定系数法、求根法练习 1．已知225x x ++是42 x ax b ++的一个因式，求a b +的值。 2．如果22754324x xy ay x y ++-+-可分解为两个一次因式之积，求a 的值。 3．多项式2256x axy by x y ++-++的一个因式是2x y +-。求a b +的值。 4．已知多项式2223286x xy y x y +--+-的值恒等于两个因式()()22x y A x y B ++-+乘积的值，求A B +的值。
中考数学专项讲解 配方法 知识梳理 把代数式通过凑配等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质达到增加问题的条件的目的，这种解题方法叫配方法． 配方法的作用在于改变代数式的原有结构，是求解变形的一种手段；配方法的实质在于改变式子的非负性，是挖掘隐含条件的有力工具，配方法在代数式的化简求值、解方程、解最值问题、讨论不等关系等方面有广泛的应用． 运用配方法解题的关键是恰当的“凑配”，应具有整体把握题设条件的能力，即善于将某项拆开又重新分配组合，得到完全平方式． 典型例题 一、配方法在解一元二次方程中的应用 【例1】用配方法解方程x 2+6x+3=0． 【解】 移项，得x 2+6x =－3 配方，得222 666322x x ????++=-+ ? ????? 即(x+3) 2=6，从而3x += 所以13x =，23x =． 二、配方法在一元二次方程根的判别式中的应用 一般地，这种题型方程系数含有字母，可通过配方法把b 2－4a c 变形为±(m ±h) 2+k 的形式，由此得出结论，无论m 为何值，b 2－4a c ≥0或b 2－4a c ≤0，从而判定一元二次方程根的情况． 【例2】 已知关于x 的方程x 2－m x+m －2=0．求证：方程有两个不相等的实数根． 【证明】 因为△=(m －2)2+4>0 所以方程x 2－mx+m －2=0有两个不相等的实根； 变式；已知二次函数y=x 2－mx+m －2，求证：不论m 为何值，抛物线y=x 2－mx+m －2总与x 有两个不同的交点． 三、配方法在求二次函数的顶点坐标和最值的应用 对于任何一个二次函数都可以通过配方法把原来的二次函数配方成y=a (x －h) 2+k 的形式，则得到顶点坐标(h ，k)；若a >0，函数值y 有最小值k ；若a <0时，函数值y 有最大值为k ． 【例3】通过配方，写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标： (1)y=x 2－2x －4； (2)21522 y x x =-+- 【解】 (1)()22 222 2224241522y x x x x x ????=--=-+--=-- ? ????? a =1>0，∴开口向上． 对称轴方程是x=1，顶点坐标是(1，－5)．
专题一5大数学思想方法 类型一分类讨论思想 (2018·临沂中考)将矩形ABCD绕点A顺时针旋转α(0°＜α＜360°)，得到矩形AEFG. (1)如图，当点E在BD上时，求证：FD＝CD； (2)当α为何值时，GC＝GB？画出图形，并说明理由． 【分析】 (1)先判定四边形BDFA是平行四边形，可得FD＝AB，再根据AB＝CD，即可得出FD＝CD；(2)当GC＝GB时，点G在BC的垂直平分线上，分情况讨论，即可得到旋转角α的度数． 【自主解答】 在数学中，如果一个命题的条件或结论有多种可能的情况，难以统一解答，那么就需要按可能出现的各种情况分类讨论，最后综合归纳问题的正确答案． 1．(2018·宿迁中考)在平面直角坐标系中，过点(1，2)作直线l，若直线l与两坐标轴围成的三角形面积为4，则满足条件的直线l的条数是( ) A．5 B．4 C．3 D．2 2．(2018·随州中考)为迎接“世界华人炎帝故里寻根节”，某工厂接到一批纪念品生产订单，按要求在15天内完成，约定这批纪念品的出厂价为每件20元，设第x天(1≤x≤15，且x为整数)每件产品的成本是p元，p与x之间符合一次函数关系，部分数据如表：
任务完成后，统计发现工人李师傅第x天生产的产品件数y(件)与x(天)满足如下关系： 设李师傅第x天创造的产品利润为W元． (1)直接写出p与x，W与x之间的函数关系式，并注明自变量x的取值范围； (2)求李师傅第几天创造的利润最大？最大利润是多少元？ (3)任务完成后，统计发现平均每个工人每天创造的利润为299元．工厂制定如下奖励制度：如果一个工人某天创造的利润超过该平均值，则该工人当天可获得20元奖金．请计算李师傅共可获得多少元奖金？ 类型二数形结合思想 (2018·齐齐哈尔中考)某班级同学从学校出发去扎龙自然保护区研学旅行，一部分乘坐大客车先出发，余下的几人20 min后乘坐小轿车沿同一路线出行，大客车中途停车等候，小轿车赶上来之后，大 客车以出发时速度的10 7 继续行驶，小轿车保持原速度不变．小轿车司机因路线不熟错过了景点入口，在 驶过景点入口6 km时，原路提速返回，恰好与大客车同时到达景点入口．两车距学校的路程s(km)和行驶时间t(min)之间的函数关系如图所示． 请结合图象解决下面问题：
第 10 讲 待定系数法(高中版) （第课时） D 重点：1． ；2．；3．。 难点 ：1．；2．； 3．；。 其中含有某些待定的系数，而后根据题设条件列出关于待定系数的等式，最后解出这些待定系数的值或找到这些待定系数间的某种关系，从而解答数学问题，这种解题方法称为待定系数法。 待定系数法是中学数学常用的方法，它常用在求代数式的值、因式分解、恒等变形、求函数表达式、数列求和、求复数、求曲线方程等等方面。 使用待定系数法解题的基本步骤是：第一步，针对所求问题，确定含有待定系数的解析式；第二步，列出一组含待定系数的方程；第三步，解方程组确定待定系数或者消去待定系数。确定待定系数的值常用比较系数法或特殊值法。 二次函数解析式有三种表达形式， 1．一般式：y=ax 2+bx+c ；其中 a≠0, a, b, c 为常数 2．顶点式：y=a(x-h)2+k ；其中a≠0, a, h, k 为常数，（h,k ）为顶点坐标。 3．交点式：y=a(x-x 1)(x-x 2)；其中a≠0, a, x 1,x 2 为常数，x 1,x 2是抛物线与横轴两交点的横坐标。 每种形式都有三个待定的系数，所以用待定系数法求二次函数解析式应注意以下几点： 根据题目给定的条件注意选择适当的表达形式，一般已知抛物线的顶点，用顶点式；已知抛物线与x 轴的两个交点（或与x 轴的一个交点及对称轴），用交点式。 解题过程中待定的系数越少，需构造的方程也越少，这样可以大大简化计算过程，故尽量由已知条件先行直接确定某些系数。 若题目给定二次函数解析式的某种形式（如y=ax 2+ bx+c=0 (a≠0)），那么最后的结果必须写成此种形式。 1．待定系数法在求数列通项中的应用 例.（高三）数列{a n }满足a 1=1，a n = 21 a 1 n +1（n ≥2），求数列{a n }的通项公式。
因式分解的十二种方法 把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式因式分解.因式分解的方法多种多样,现总结如下： 1、提公因法 如果一个多项式的各项都含有公因式,那么就可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成两个因式乘积的形式. 例1、分解因式x -2x -x(2003淮安市中考题) x -2x -x=x(x -2x-1) 2、应用公式法 由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系,如果把乘法公式反过来,那么就可以用来把某些多项式分解因式. 例2、分解因式a +4ab+4b (2003南通市中考题) a +4ab+4 b =（a+2b） 3、分组分解法 要把多项式am+an+bm+bn分解因式,可以先把它前两项分成一组,并提出公因式a,把它后两项分成一组,并提出公因式b,从而得到a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n,从而得到(a+b)(m+n) 例3、分解因式m +5n-mn-5m m +5n-mn-5m= m -5m -mn+5n = (m -5m )+(-mn+5n) =m(m-5)-n(m-5) =(m-5)(m-n) 4、十字相乘法 对于mx +px+q形式的多项式,如果a×b=m,c×d=q且ac+bd=p,则多项式可因式分解为(ax+d)(bx+c) 例4、分解因式7x -19x-6 分析：1 -3 7 2 2-21=-19 7x -19x-6=（7x+2）(x-3) 5、配方法 对于那些不能利用公式法的多项式,有的可以利用将其配成一个完全平方式,然后再利用平方差公式,就能将其因式分解. 例5、分解因式x +3x-40 解x +3x-40=x +3x+( ) -( ) -40 =(x+ ) -( ) =(x+ + )(x+ - ) =(x+8)(x-5) 6、拆、添项法 可以把多项式拆成若干部分,再用进行因式分解. 例6、分解因式bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b) bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b) =bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b) =c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a)
三．待定系数因式分解（整体思想） 1．分解因式：2235294x xy y x y +-++- 2．分解因式432435x x x x -+++ 3．若a 是自然数，且4324153027a a a a -+-+的值是一个质数，求这个质数。 4．分解因式 432227447x x x x ---+ 5．分解因式：4322x x x +++ 6．22282143x xy y x y +-++- 7．当m 为何值时，2223x xy y my +-+-能分解成两个整系数一次因式之积？ 8．把多项式43244521x x x x -+-+写成一个多项式的完全平方式。 9． 22823x xy y --可以化为具有整系数的两个多项式的平方差。 10．已知多项式2223286x xy y x y +--+-的值恒等于两个因式()()22x y A x y B ++-+乘积的值，那么A+B 等于多少？ 11．若3233x x x k +-+有一个因式是1x +，求k 的值。 12．已知324715ax bx x +--被31x +和23x -整除，求,a b 的值，并将该多项式分解因式。 13．设32324x x xy kx y +---可分解为一次与二次因式之积，则k 为多少？ 14．若代数式(1)(2)(3)x x x x p ++++恰好能分解为两个二次整式的乘积。（其中二次项系数均为1，且一次项系数相同），求P 的最大值。 15．设()p x 是一个关于x 的二次多项式，且327561(1)()x x x m x p x a -+--=-+，其中,m a 是与x 无关的常数，求()p x 的表达式。 16．多项式m y x y xy x +-++-5112101222可以分解为两个一次因式的积，求m 的值。 17．已知225x x ++是42x ax b ++的一个因式，求a b +的值。 18．如果22754324x xy ay x y ++-+-可分解为两个一次因式之积，求a 的值。 19． 多项式2256x axy by x y ++-++的一个因式是2x y +-。求a b +的值。