如何用比例解行程问题资料讲解

【例题6】 甲班与乙班学生同时从学校出发去公园，两班的步行速度相等都是 千米/小时，学校有一 辆汽车，它的速度是每小时 千米，这辆汽车恰好能坐一个班的学生．为了使两班学生在 最短时间内到达公园，设两地相距 千米，那么各个班的步行距离是 千米．
【例题7】 如图， ， 为 的三等分点； 点整时甲从 过几分钟后丙也从 出发匀速向 行走；甲，乙在 点相遇时丙恰好走到 点， 甲、丙 相遇时乙恰好到 ．那么，丙出发时是 点__________分．
三、模块3 行程中的反比例
【例题8】 一辆车从甲地开往乙地．如果车速提高 驶 米． 千米后，再将车速提高 ，可以比原定时间提前 小时到达;如果以原速行 千
【练习2】 艾迪和薇儿从学校出发去公园，二人的速度比为 儿走到公园要用 分钟？ ，艾迪走到公园用了 分钟，请问薇
【例题2】 回答下列问题： （1）甲乙两人的速度比为 ，两人同时出发，行走的时间比为 ，则甲，乙走的路程比为 : ； ，甲乙的速度比为 ，则甲乙的时间比为
（2）甲乙两人要走的路程比为 : ；
【作业2】 客车和货车同时从甲、乙两城之间的中点向相反的方向行驶，3小时后，客车到达甲城，货 车离乙城还有30千米．已知货车的速度是客车的 ，甲、乙两城相距 千米.
【作业3】 甲、乙两人分别从 、 地走．甲从 地到达 达 地共用了 两地同时相向出发．相遇后，甲继续向 地．比乙返回 小时． 地迟 地走，乙马上返回，往
小时．已知甲的速度是乙的 ．甲从 地到
【作业4】 甲、乙两列火车的速度比是 ，乙车先出发，从 站开往 站，当走到离 站 千米的地 ，那么， 、
方时，甲车从 站出发开往 站．两车相遇的地方离 、 两站的距离比是
两站之间的距离是
千米．
【作业5】 小明跑步速度是步行速度的 倍，他每天从家到学校都是步行．有一天由于晚出发 分钟， 他不得不跑步行了一半路程，另一半路程步行，这样与平时到达学校的时间一样．那么小 明每天步行上学需要时间 分钟．

本讲主线
1.基本的正比关系
时间跟速度的反比关系.
知识要点屋
1、正比例与反比例
公式：路程＝速度×时间
⑴ 路程相等,速度与时间成反比.
⑵ 时间相等,路程与速度成正比.
⑶ 速度相等,路程与时间成正比.
相遇、追及：两个人的时间都是相等的.
知识要点屋
1、甲乙两人分别从A、B两地同时出发,在距离B地
＝ 3:2
千米？
V客
V货
6
5
6
5
时间相同, =
=
所以全程12份,1份=22千米
AB：22×12=264（千米）
S客
S货
知识链接
关于相遇
1、时间相同,速度比=路程
比
2、利用路程比,找到全程占
几份
例题【三】（★ ★ ★）
A、B两地相距7200米,甲、乙分别从A、B两地同时出发,结果在距B第2400
米处相遇. 如果乙的速度提高到原来的3倍,那么两人可提前10分钟相遇,
发现还有5分钟才上课.求乐乐今天与 平时的速度比是多少？
1 1 2
路程相同, = =
2 1.5 3
t1 3
=
2 2
现在时间,45÷3×2=30（分）
t1
实际,
2
=
45
25

=

=
9
5
知识链接
1、正比列与反比例
2、公式：路程＝速度×时间
⑴ 路程相等,速度与时间成反比.
⑵ 时间相等,路程与速度成正比.
.
2. 甲乙两人同Βιβλιοθήκη 从A地同时出发. 其中甲走的较快,到达B地
后,立刻返回. 在距离B地 2 处相遇与乙相遇,那么甲速：乙

行程问题之比例的应用【知识点总结】当速度一定时，时间和路程成正比例关系当时间一定时，速度和路程成正比例关系当路程一定时，时间和速度成反比例关系【例题讲解】例1一列客车和一列货车同时从甲乙两地同时相向而行，客车与货车的速度比是11∶8，甲乙两地相距380千米。

求相遇时，客车比货车多行了多少千米？解答：在时间相同时，速度与路程成正比例V客：V货=11:8S客：S货=11:8按比例分配：380÷（11+8）=20（千米）客车比火车多行的路程：20×（11-8）=60（千米）举一反三1、小军和小明同时从A、B两地相向而行，A、B两地相距600米，小军和小明的速度比是3∶2，相遇时，小明走了多少米？解答：在时间相同时，速度与路程成正比例V军：V明=3:2S军：S明=3:2按比例分配：600÷（3+2）=120（千米）小明走的路程：120×2=240（千米）2、哥哥和弟弟同时从家和学校相向而行，哥哥和弟弟的速度比是5∶3，相遇时哥哥比弟弟多走了200米，求家离学校有多少米？解答：在时间相同时，速度与路程成正比例V哥：V弟=5:3S哥：S弟=5:3按比例分配：200÷（5-3）=100（千米）总路程：100×（5+3）=800（千米）3、聪聪和明明的速度比是6∶5，聪聪在明明后面20米，他们同时同向出发，聪聪要走多少米就可以追上明明？解答：在时间相同时，速度与路程成正比例V聪：V明=6:5S聪：S明=6:5按比例分配：20÷（6-5）=20（千米）聪聪走的路程：20×6=120（米）例2一辆货车从甲城开往乙城，又立即按原路从乙城返回到甲城，一共用了9小时，去时每小时行40千米，返回时每小时行50千米。

甲乙两城相距多少千米？解答：去和返回所走的总路程相同，在路程相同前提下，速度和时间成反比例V去：V回=40:50=4:5t去：t回=5:4，总时间时9小时，按比例分配得：9÷（5+4）=1（小时）t去：1×5=5（小时）总路程：5×40=200（千米）举一反三1、一架侦查飞机最多能带飞行18小时的汽油，它从基地带满油到某地去侦察（中途没有加油站），去时顺风每小时飞行1500千米，回时逆风飞行每小时飞行1200千米。

用比例解决行程问题1、甲乙两车同时从AB两地相对开出。

甲行驶了全程的5/11,如果甲每小时行驶4.5千米，乙行了5小时。

求AB两地相距多少千米 ?解：AB距离=（4.5×5）/（5/11）=49.5千米2、一辆客车和一辆货车分别从甲乙两地同时相向开出。

货车的速度是客车的五分之四，货车行了全程的四分之一后，再行28千米与客车相遇。

甲乙两地相距多少千米？解：客车和货车的速度之比为5：4那么相遇时的路程比=5：4相遇时货车行全程的4/9此时货车行了全程的1/4距离相遇点还有4/9-1/4=7/36那么全程=28/（7/36）=144千米3、甲乙两人绕城而行，甲每小时行8千米，乙每小时行6千米。

现在两人同时从同一地点相背出发，乙遇到甲后，再行4小时回到原出发点。

求乙绕城一周所需要的时间？解：甲乙速度比=8：6=4：3相遇时乙行了全程的3/7那么4小时就是行全程的4/7所以乙行一周用的时间=4/（4/7）=7小时4、甲乙两人同时从A地步行走向B地，当甲走了全程的1\4时，乙离B地还有640米，当甲走余下的5\6时，乙走完全程的7\10，求AB两地距离是多少米？解：甲走完1/4后余下1-1/4=3/4那么余下的5/6是3/4×5/6=5/8此时甲一共走了1/4+5/8=7/8那么甲乙的路程比=7/8：7/10=5：4所以甲走全程的1/4时，乙走了全程的1/4×4/5=1/5那么AB距离=640/（1-1/5）=800米5、甲，乙两辆汽车同时从A，B两地相对开出,相向而行。

甲车每小时行75千米，乙车行完全程需7小时。

两车开出3小时后相距15千米，A,B两地相距多少千米？解：一种情况：此时甲乙还没有相遇乙车3小时行全程的3/7甲3小时行75×3=225千米AB距离=（225+15）/（1-3/7）=240/（4/7）=420千米一种情况：甲乙已经相遇（225-15）/（1-3/7）=210/（4/7）=367.5千米6、甲，已两人要走完这条路，甲要走30分，已要走20分，走3分后，甲发现有东西没拿，拿东西耽误3分，甲再走几分钟跟乙相遇?解：甲相当于比乙晚出发3+3+3=9分钟将全部路程看作单位1那么甲的速度=1/30乙的速度=1/20甲拿完东西出发时，乙已经走了1/20×9=9/20那么甲乙合走的距离1-9/20=11/20甲乙的速度和=1/20+1/30=1/12那么再有（11/20）/（1/12）=6.6分钟相遇7、甲，乙两辆汽车从A地出发，同向而行，甲每小时走36千米，乙每小时走48千米，若甲车比乙车早出发2小时，则乙车经过多少时间才追上甲车？解：路程差=36×2=72千米速度差=48-36=12千米/小时乙车需要72/12=6小时追上甲8、甲乙两人分别从相距36千米的ab两地同时出发,相向而行,甲从a地出发至1千米时,发现有物品以往在a地，便立即返回，去了物品又立即从a地向b地行进，这样甲、乙两人恰好在a，b两地的终点处相遇，又知甲每小时比乙多走0.5千米，求甲、乙两人的速度? 解：甲在相遇时实际走了36×1/2+1×2=20千米乙走了36×1/2=18千米那么甲比乙多走20-18=2千米那么相遇时用的时间=2/0.5=4小时所以甲的速度=20/4=5千米/小时乙的速度=5-0.5=4.5千米/小时9、两列火车同时从相距400千米两地相向而行,客车每小时行60千米，货车小时行40千米，两列火车行驶几小时后，相遇有相距100千米？解：速度和=60+40=100千米/小时分两种情况，没有相遇那么需要时间=（400-100）/100=3小时已经相遇那么需要时间=（400+100）/100=5小时10、甲每小时行驶9千米，乙每小时行驶7千米。

行程问题之比例的应用【知识点总结】当速度一定时，时间和路程成正比例关系当时间一定时，速度和路程成正比例关系当路程一定时，时间和速度成反比例关系【例题讲解】例1一列客车和一列货车同时从甲乙两地同时相向而行，客车与货车的速度比是11∶8，甲乙两地相距380千米。

求相遇时，客车比货车多行了多少千米？解答：在时间相同时，速度与路程成正比例V客：V货=11:8S客：S货=11:8按比例分配：380÷（11+8）=20（千米）客车比火车多行的路程：20×（11-8）=60（千米）举一反三1、小军和小明同时从A、B两地相向而行，A、B两地相距600米，小军和小明的速度比是3∶2，相遇时，小明走了多少米？解答：在时间相同时，速度与路程成正比例V军：V明=3:2S军：S明=3:2按比例分配：600÷（3+2）=120（千米）小明走的路程：120×2=240（千米）2、哥哥和弟弟同时从家和学校相向而行，哥哥和弟弟的速度比是5∶3，相遇时哥哥比弟弟多走了200米，求家离学校有多少米？解答：在时间相同时，速度与路程成正比例V哥：V弟=5:3S哥：S弟=5:3按比例分配：200÷（5-3）=100（千米）总路程：100×（5+3）=800（千米）3、聪聪和明明的速度比是6∶5，聪聪在明明后面20米，他们同时同向出发，聪聪要走多少米就可以追上明明？解答：在时间相同时，速度与路程成正比例V聪：V明=6:5S聪：S明=6:5按比例分配：20÷（6-5）=20（千米）聪聪走的路程：20×6=120（米）例2一辆货车从甲城开往乙城，又立即按原路从乙城返回到甲城，一共用了9小时，去时每小时行40千米，返回时每小时行50千米。

甲乙两城相距多少千米？解答：去和返回所走的总路程相同，在路程相同前提下，速度和时间成反比例V去：V回=40:50=4:5t去：t回=5:4，总时间时9小时，按比例分配得：9÷（5+4）=1（小时）t去：1×5=5（小时）总路程：5×40=200（千米）举一反三1、一架侦查飞机最多能带飞行18小时的汽油，它从基地带满油到某地去侦察（中途没有加油站），去时顺风每小时飞行1500千米，回时逆风飞行每小时飞行1200千米。

比例法解行程问题
比例法解行程问题是一种常见的数学方法，可以用来解决有关行程问题的问题。

比例法的基本思想是将复杂的行程问题转化为简单的比例关系。

具体来说，如果一个行程问题中涉及到两个量，比如路程和时间，我们可以将它们的比例关系表示出来，然后通过比例关系来推导出问题的答案。

下面是比例法解行程问题的三个步骤:
1. 找到两个量的比例关系。

通常可以通过比较它们的长度、时间、体积等来找到它们的比例关系。

2. 根据比例关系列出比例式。

例如，如果两个量的比例关系是3:4，那么可以列出比例式 3/4。

3. 利用比例式推导出问题的答案。

例如，如果问题要求总共需要多少时间，可以利用比例式推导出答案:4 小时 = 总共需要时间
× 3，因此总共需要时间 = 4 ÷ 3 = 1.33 小时 (保留两位小数)。

比例法不仅可以解决常见的行程问题，还可以解决其他相似的问题，比如机械效率、生产率等问题。

比例法解行程2
比例法是一种求解行程的有效方法，能够方便地寻找最短路径或最优路径。

本文将就比例法解行程2进行详细解释。

比例法解行程2是求解一个行程2问题的有效解法。

行程2问题指的是，给定一个连接各个地点的连续网络，给定两个地点，求出从一个地点到另一个地点的最短路径，及其对应的最优路径的长度。

比例法解行程2的基本步骤为：
1.先确定要求解行程2的起点和终点。

2.确定可供经过的路径，确定每条路径的长度；
3.根据每条路径的长度，确定各条路径之间的比例关系；
4.根据比例关系，求出该行程2问题的最优路径；
5.根据最优路径，得出行程2问题的最优路径长度。

比例法是一种非常有效的求解行程2问题的方法，在求解路线问题的时候可以大大降低查找最优路径的复杂度，从而节省时间、提高效率。

然而，比例法也存在一些缺点。

首先，比例法要求每条路径的长度必须提前确定，这需要准确的路径长度测量，而这本身就属于一项困难的工作；其次，比例法得出的结果往往存在一定的误差，所以一定要结合其他方法进行验证，才能保证求解的精准度。

总之，比例法解行程2是一种有效的方法，它可以帮助我们求出行程2的最短路径和最优路径以及对应的长度，可以有效提高查找最短路径和最优路径的效率，但是也要注意一些缺点，尽量减少其带来
的误差。

一辆车从甲地开往乙地,如果把车速减少10%,那么要比原定时间迟1小时到达;如果以原速行驶180千米,再把车速提高20%,那么可比原定时间早1小时到达,甲.乙两地之间的距离是多少？方法一：比例法如果把车速减少10%,即速度是原来的90%.也就是说速度是原来的9/10则所用时间就是原来的10/9.1/（10/9-1）=9-----------原来用时是9小时.若车速提高20%,即速度是原来的120%.也就是说速度是原来的6/5则所用时间就是原来的5/6.也就是说全程速度提高20%的话,全程时间为9*5/6=7.5小时.实际上,以原速行驶180千米,再把车速提高20%,那么可比原定时间早1小时到达,即用了8小时.这就是说：走180千米路程提高速度与不提高速度相差0.5小时.速度提高1/5,是原来6/5,时间是原来5/6,比原来快了1-5/6=1/6也就是0.5小时.所以原来走180千米的时间是0.5/（1/6）=3小时所以原来速度是180/3=60千米/小时.两地路程为600*9=540千米.方法二：比例法原速度：减速度=10：9，所以减时间：原时间=10：9，所以减时间为：1/（1-9/10）=10小时；原时间为9小时；原速度：加速度=5：6，原时间：加时间=6：5，行驶完180千米后，原时间=1/（1/6）=6小时，所以形式180千米的时间为9-6=3小时，原速度为180/3=60千米/时，所以两地之间的距离为60*9=540千米方法三：公式法解：①原定时间：1÷10%×（1-10%）=9（小时）；②提高速度的路程：1÷[9-9÷（1+20%）]=2/3③180÷（1-）=540千米．方法四：方程法甲、乙两地之间的距离是千米设甲、乙两地之间的距离是a千米,速度是v千米/小时从甲地开往乙地,如果把车速减少十分之一,那么要比原定的时间迟1小时到达,由条件可知a/(0.9v)=a/v+1a=9v……①如果以原速行驶180千米,再把车速提高五分之一,那么可比原定时间早1小时到达,由条件可知180/v+(a-180)/(1.2v)=a/v-1a-6v=180……②由①②有：v=60千米/小时,a=540千米.。

比例法解行程问题1. 什么是比例法？比例法是一种数学问题解决方法，通过建立两个或多个量之间的比例关系，来解决一些实际问题。

在行程问题中，比例法可以用来解决关于速度、时间和距离之间的问题。

2. 行程问题的基本概念在行程问题中，我们通常需要涉及到三个基本概念：速度、时间和距离。

•速度（v）：表示单位时间内所走的距离。

•时间（t）：表示行程所花费的时间。

•距离（d）：表示两个地点之间的直线距离。

3. 比例法应用实例假设我们要解决以下问题：问题：小明骑自行车从A地到B地，全程60公里，速度是每小时20公里。

那么他需要花费多长时间到达B地？解决方法如下：我们可以建立速度和时间之间的比例关系：速度时间=距离时间根据已知条件，速度为20公里/小时，距离为60公里，时间为未知数，可以表示为t。

带入已知条件，得到以下比例关系：20 t = 601通过等式两边的乘法运算，解出未知数t的值：20t=60t=60 20t=3（小时）因此，小明需要花费3小时到达B地。

4. 比例法的推广在行程问题中，比例法可以推广到更复杂的情况。

下面我们来看一个推广实例：问题：小红骑自行车从A地到B地，全程120公里，速度是每小时30公里。

小明骑自行车从B地到C地，速度是每小时25公里。

两人同时间出发，那么他们在哪个地点会相遇？解决方法如下：仍然可以建立速度和时间之间的比例关系。

由于两人同时间出发，所以他们在相同的时间内走过的距离相等。

设小红和小明走了t小时后相遇在D地点，那么根据已知条件，我们可以建立以下比例关系：速度小红时间相遇=速度小明时间相遇根据已知条件，速度小红为30公里/小时，速度小明为25公里/小时，距离AD为小红的行程距离，距离CD为小明的行程距离。

带入已知条件，得到以下比例关系：30 t = 25t从上述等式中，我们可以推出t的值为任何值，因此无法确定他们在哪个地点相遇。

总结通过以上实例，我们可以看出比例法在解决行程问题中的重要性。

比例在行程问题中的应用1. 介绍行程问题在生活中非常常见，比如计划旅行、安排会议、制定项目进度等等都会涉及到行程安排。

而在进行行程安排时，比例是一个非常重要的工具，可以帮助我们有效地进行安排和优化。

2. 比例的基本概念在讨论比例在行程问题中的应用之前，首先需要了解比例的基本概念。

比例是指两个或多个量的相对关系。

一般来说，比例可以用两个整数或两个有理数的比表示，比如1：2、2：3等等。

3. 比例在时间安排中的应用3.1 比例在旅行计划中的应用比例可以帮助我们在旅行计划中合理安排时间。

当我们计划游览各个景点时，可以根据景点的重要程度和游览时间的长短进行比例分配。

比如，如果我们计划在一天内游览三个景点，根据景点的重要程度分别设定比例为1：2：3，那么我们可以安排第一个景点游览1小时，第二个景点游览2小时，第三个景点游览3小时。

这样，可以保证我们充分游览每个景点的同时，也能够按照比例合理安排时间，提高游览效率。

3.2 比例在会议安排中的应用比例也可以帮助我们在会议安排中合理分配时间。

当我们安排会议议程时，可以根据不同议题的重要程度和讨论时间的需求进行比例分配。

比如，如果一场会议有3个议题，根据重要程度分别设定比例为2：3：4，那么我们可以安排第一个议题讨论1小时，第二个议题讨论1.5小时，第三个议题讨论2小时。

这样，可以保证每个议题都能够得到充分讨论的同时，也能够按照比例合理安排时间，提高会议效率。

3.3 比例在项目进度中的应用比例还可以帮助我们在项目进度中合理安排时间。

当我们制定项目进度计划时，可以根据不同任务的工作量和时间需求进行比例分配。

比如，如果一个项目有5个任务，根据工作量分别设定比例为1：2：3：4：5，那么我们可以安排第一个任务需要1天完成，第二个任务需要2天完成，第三个任务需要3天完成，依次类推。

这样，可以保证每个任务都能够按照比例合理安排时间，提高项目进度的执行效率。

4. 比例的灵活运用比例在行程问题中的应用并不仅限于上述几个方面，我们还可以根据实际情况进行灵活运用。

一般行程问题、比和比例解决行程问题比例做行程问题速度、时间、距离，这三个量的关系：（1）时间相同，速度比=距离比 当甲乙行驶时间相同时，如果V 甲：V 乙＝3：4那么S 甲：S 乙＝3：4；（2）速度相同，时间比=距离比 当甲乙速度相同时，如果T 甲：T 乙＝3：4 那么S 甲：S 乙＝3：4（3）距离相同，速度比=时间的反比 当甲乙行驶距离相同时，如果T 甲：T 乙＝3：4 那么V 甲：V 乙＝4：3。

例：甲乙二车同时从AB 两地同时出发，相向而行，甲车每小时行56千米，乙车每小时行48千米。

两车在距离中点32千米处相遇。

求AB 两地相距多少千米？分析：这道题给了两车的速度，我们很容易得到两车的速度比。

这时我们可以用比例来做这道题。

大家要抓住三个要点：一、时间相同，速度比=距离比。

二、两车第一次迎面相遇时合走一个全程。

三、两车在距离中点处相遇，即：两车相遇时，甲比乙多走32×2=64。

解：由题意然V 甲：V 乙＝56：48=7：6即：相同时间内，甲走7份乙走6份。

两车第一次迎面相遇时合走一个全程。

我们可以把AB 之间的路程分为（7＋6）＝13份。

两车相遇时，甲比乙多走1份是32×2=。

AB 之间的路程为13份，AB 之间的路程为13×64=。

这时这道题就变得很简单了。

如果不用比例做这道题，还有别的做法吗？下面我们看以下几种做法：方法二：两车相遇时，甲比乙多走32×2=。

出现距离差属于追及问题，而这道题是相遇问题，我们可以把相遇问题转化成追及问题。

每小时甲比乙多走56－48=。

距离差÷速度差=追击时间。

64÷8=8小时。

即相遇时间为8小时。

所以相遇时间×速度和=距离和（56＋48）×8＝方法三：在行程问题中常用到列方程解应用题，大家要注意培养自己列方程解应用题的能力，这对你今后中学的学习很有帮助。

那么这道题我们就用列方程解一下。

比例类行程问题内容概述本讲主要讲解如何利用比例求解行程问题，而行程问题中的三个量：速度、时间、路程在某些时候存在比例关系．典型问题1．甲、乙、丙三辆汽车各以一定的速度从4地开往B地．若乙比丙晚出发10分钟，则乙出发后40分钟追上丙；若甲比乙又晚出发20分钟，则甲出发后1小时40分钟追上丙；那么甲出发后追上乙所需要的时间为多少分钟?【分析与解】我们知道开始时，乙走了40分钟与丙走了40+10=50分钟的路程相等，所以速度比为乙：丙=5：4；甲走了100分钟，丙走了100+20+lO=130分钟所走的路程相等，所以速度比为：甲：丙=13：10于是．甲：乙：丙=26：25：20．于是，乙比甲先走20分钟，路程相当于20⨯25=500，速度差相当于26-25=l；于是，追击时间为500÷1=500分钟．2. 客车和货车分别从甲、乙两地出发相向而行．如果两车出发的时间都是6：00，那么它们在11：00相遇；如果客车和货车分别于7：00和8：00出发，那么它们在12：40相遇．现在，客车和货车出发的时间分别是10：00和8：00，则何时它们相遇?(本题中所述的时间均为同一天，采用24小时制计法．)【分析与解】第一次，客、货各走了5小时；第二次，客、货各走了5小时40分，4小时40分，但是两次客、货所走的路程和不变；于是有300客+300货=340客+280货；40客=20货，所以客、货两车的速度比为1：2：将全程看成“1”，则客、货车速度和为1÷5=15；所以客车速度为113515÷=；货车的速度为122=1515⨯；货车先出发2小时，于是行走了2421515⨯=；于是剩下的路程为41111515-=；还需要的时间为111111553÷=小时，还需要3小时40分钟，在10：00后计时，所以相遇时间为13点40分．3．在久远的古代，有一个智者叫做芝诺，他曾经说过：兔子永远追不上10米外的乌龟．他这样解释：当兔子跑到10米处(即乌龟原来的地方)，乌龟已经往前走了一点；当兔子再次到达乌龟的位置时，乌龟又往前走了一点，……，也就说当兔子到达乌龟以前的位置时，乌龟总是往前走了一点，所以兔子永远追不上乌龟．你认为芝诺的说法错在哪里?【分析与解】因为兔子的速度比乌龟快，为了方便叙述，假设兔子的速度是乌龟的10倍．那么，按芝诺的说法，这些时间，乌龟走的路程为：10，1，0.1，0.01，0.001，……是无穷的，而10+1+0.1+0.01+0.001+…=1009，也就是说兔子只是在乌龟行走1009米之前追不上．等乌龟在1009米之后，兔子就在它的前面了．在这里，芝诺用无穷个数的和来说明它们的和一定是无穷的，这显然是谬误的．。

六年级巧用比例解行程问题巧用比例解行程问题例1：甲、乙两车的速度比是4：7，两车同时从两地相对出发，在距中点15千米处相遇，两地相距多少千米？例2：两列火车同时从两个城市相对开出，6.5小时相遇。

相遇时甲车比乙车多行52千米，乙车的速度是甲车的23。

求两城之间的距离。

1、甲、乙两车同时从AB 两地相对而行，甲、乙两车速度比7：5，相遇时距中点12千米，AB 两地相距多少千米？2、两只轮船同时从甲、乙两港相对开出，客船每小时行42千米，货船的速度是客船的56。

两只轮船在离甲、乙两港中点7千米处相遇，甲、乙两港间的距离是多少？3、客车由甲城到乙城需行10小时，货车从乙城到甲城需行15小时，两车同时相向开出，相遇时客车距离乙城还有192千米，求两城间的距离。

4、甲、乙两车分别从AB两地同时相向而行，3小时相遇。

已知甲车行1小时距B 地340千米，乙车行1小时距A地360千米。

AB两地相距多少千米？例3：甲、乙两车同时从AB两地相对而行，5小时相遇，已知甲、乙两车速度的比是2：3，甲车行完全程需多少小时？例4：客车和货车同时从AB两地相对开出，客车每小时行60千米，货车每小时行全程的115，相遇时客车和货车所行路程的比是5：4。

AB两地相距多少千米？5、甲、乙两车同时从AB 两地相对而行，4小时相遇，已知甲、乙两车速度的比是3：5，乙车行完全程需多少小时？6、甲、乙两个城市相距若干千米，一列客车与一列货车同时从两个城市相对开出，3小时后相遇，相遇时客车比货车多行60千米，货车与客车速度比是9：11。

货车平均每小时行多少千米？7、客车和货车同时从甲、乙两地相对开出，客车每小时行全程的15，货车每小时行50千米。

相遇时客车和货车所行的路程的比是3：2。

甲、乙两地相距多少千米？8、甲、乙两车同时相对而行，甲车行全长需8小时，乙车每小时56千米，相遇时，甲、乙两车所行路程的比是3：4，这时乙车行了多少千米？例5：甲、乙两车同时从AB两地相向而行，4小时后相遇，相遇后甲又行了3小时到达B地，这时乙车离A地70千米，AB两地相距多少千米？例6：甲、乙两车同时从AB两地相向而行，当甲到达B地时，乙车距A地30千米，当乙车到达A地时，甲车超过B地40千米，AB两地相距多少千米？9、小强和小军分别从AB两地同时相对而行，8分钟相遇，相遇后又行6分钟小军到达A地，这时小强离B地160米，AB两地相距多少米？10、快车从A地，慢车从B地同时出发相向而行，经过4小时相遇，相遇后两车仍按原速度继续前进，又经过5小时慢车到达A地，这时快车已超过B地90千米。

行程问题比例法详解一、比例关系基础比例关系是数学中一种重要的概念，它描述了两个数或量之间的相对大小和关系。

比例关系可以通过简单的算术运算进行描述，其应用场景广泛，如工程、医学、经济等领域。

1.1 定义和理解比例比例可以定义为两个数或量之间的比值。

例如，若A与B成比例，可以表示为A:B=1:2，意味着A是B的一半。

理解比例关系的关键在于明白其表达的是两个数或量之间的相对大小和比例，而非绝对值。

1.2 比例的运算性质比例具有一些基本的运算性质，如交叉乘法、反比等。

例如，若A:B=C:D，则A×D=B×C，这个性质在解决行程问题时非常有用。

反比则描述了两个量之间的变化关系，若A与B成反比，则当A增加时，B减少，反之亦然。

1.3 比例的应用场景比例关系在现实生活中应用广泛。

例如，在购物时，价格和购买量之间的关系通常可以用比例来描述；在工程中，材料用量和成本之间的关系也可以用比例来描述。

此外，比例关系还经常出现在医学、物理学、经济学等领域。

二、行程问题中的比例关系在行程问题中，比例关系通常表现在距离、速度和时间的关系上。

下面将详细讨论这三个方面以及比例关系在行程问题中的表现。

2.1 距离、速度和时间的关系在行程问题中，距离是物体或人在一段时间内移动的直线距离。

速度则是单位时间内移动的距离，通常表示为距离除以时间。

时间则是物体或人移动所需的时间。

这三个量之间的关系可以用以下公式表示：距离=速度×时间。

2.2 比例关系在行程问题中的表现在行程问题中，比例关系通常表现在速度和时间的关系上。

例如，若一个人的速度是另一人的两倍，则他所需的时间是另一人的一半。

这种比例关系在追及问题、相遇问题和环行跑道问题等行程问题中都有体现。

2.3 比例关系在行程问题中的实际应用比例关系在行程问题中的应用可以帮助我们更好地理解和解决各种问题。

例如，在追及问题中，我们可以通过比较两个物体的速度和时间来计算它们何时相遇；在相遇问题中，我们可以利用比例关系计算两车在不同时间点上的位置；在环行跑道问题中，我们可以利用比例关系计算不同速度的车辆在相同时间内所行驶的距离。

行测备考：比例法帮你解决行测中行程问题行测备考：比例法帮你解决行测中行程问题随着省考面试的完毕，我们下半年即将迎来大多数人参加的国家公务员考试，其中在公考中行测数量里面的行程问题一直是令很多人头疼的问题，今天就带大家来看看工程问题有没有快速好解的方法技巧。

工程问题主要研究的问题是路程〔S〕、速度〔V〕和时间〔T〕三者之间的关系：S=VT，但是假如不提早理解一些方法，在遇到局部比拟复杂一点的题型还是会消耗太长的时间和精力，所以我们需要给大家介绍一种比拟简单实用的可以解决行程问题的方法——比例法，我们先来看两道例题。

例1.小王早上上班从家到公司用了40分钟，晚上下班回家因为着急做饭，加快速度30分钟到家，求小王上班和下班速度只比为多少？A.4/3B.2/3C.3/4D.1/2【答案】C。

解析：这道题目是典型的行程问题，对于小王而言，上班和下班走的都是同一段路，即总路程S一样，那么早上上班的速度为：S/40；下班速度为：S/30；此时上下班速度之比进展约分发现总路程S可以约去，得到结果3/4。

即选C。

根据以上的这道例题可以得知对于同一段路程而言，时间之比和速度之比成反比，即同一路程中，时间之比为4/3，速度之比，那么为3/4，那我们能得出在以后行程问题中，假设路程〔S〕为定值，速度〔V〕和时间〔T〕成反比〔比例相反〕。

例2.百米赛跑小明跑到终点时，小红间隔终点还有十米，求小明和小红的速度比？A.10/9B.11/10C.12/11D.6/5【答案】A。

解析：此题与上道题目不同，两者的时间一样，并且一样时间小明和小红分别的路程，那么小明速度为：100/t；小红速度为：90/t；那么小明小红速度之比约去一样时间t，速度之比为10/9，即选A。

根据以上的这道例题可以得知对于同一时间而言，路程之比和速度之比成正比，即同一时间，路程之比为10/9速度之比也为10/9，那我们能得出在以后行程问题中，假设时间〔T〕为定值，路程〔S〕和速度〔V〕成正比〔比例一样〕。

五年级春季知识点总结
吴超超
第十讲 比例法解行程
从一个工具性的知识点而言，比例在解很多应用题时有着“得天独厚”的优 势， 往往体现在方法的灵活性和思维的巧妙性上， 使得一道看似很难的题目变得 简单明了。比例的技巧不仅可用于解行程问题，对于工程问题、分数百分数应用 题也有广泛的应用。
一．基本概念与比例关系
������ ������
: 速度一定（即路程和时间的比值一定） ，路程与时间成正比。
s甲 s乙
即： ������甲 = =
t甲 t乙
: 时间一定（即路程和速度的比值一定） ，路程与速度成正比。
s甲 s乙
即： t甲 = t乙 ：
=
v甲 v乙
1
五年级春季知识点总结
1.比和比例： 比：代表两个数相除的关系。也就是说“比”就是“除法”算式。 比例：表示两个比相等的式子。也就是说“比例”是个“等式” 。 2.正比例与反比例： 正比例：比值（或者商）一定的两个量成正比。 反比例：乘积一定的两个量成反比。 注意：①判断两个量成正比还是反比的唯一依据就是定义！ ②若两个量成正比，则两个量同增同减；若两个量成反比，则两个量 一增一减。 但是并不是同方向变化的都叫成正比， 反方向变化的都叫 成反比。 3.行程中的比例关系： ⑴v =
通常， 在解这一类问题时， 只需要画图比较速度不同的部分。 画图时， 可按照 “不 同速度不同形” 的原则， 用不同形状的线表示不同速度下的路程， 帮助分析题目。
四．练习题
【练习 1 】 A、 B 两地相距 7200 米，甲、乙分别从 A， B 两地同时出发，结 果在距 B 地 2400 米处相遇．如果乙的速度提高到原来的 3 倍，那么两人可提 前 10 分钟相遇，则甲的速度是每分钟行多少米？

1.基本公式：路程=速度×时间2．解题方法：解行程问题时，要注意充分利用图示把题中的情节形象地表示出来，有助于分析数量关系，有助于迅速地找到解题思路。

3.比例解行程：行程问题中有很多比例关系，在只知道和差、比例时，用比例法可求得具体数值．更重要的是，在一些较复杂的题目中，有些条件(如路程、速度、时间等)往往是不确定的，在没有具体数值的情况下，只能用比例解题，我们常常会应用比例的工具分析2个物体在某一段相同路线上的运动情况，我们将甲、乙的速度、时间、路程分别用,,v v t t s s 乙乙乙甲甲甲，；；来表示，大体可分为以下两种情况：（1）当2个物体运行速度在所讨论的路线上保持不变时，经过同一段时间后，他们走过的路程之比就等于他们的速度之比。

s v s v =甲甲乙乙，甲乙在同一段时间t 内的路程之比等于速度比 （2）当2个物体运行速度在所讨论的路线上保持不变时，走过相同的路程时，2个物体所用的时间之比等于他们速度的反比。

v t v t =甲乙乙甲，甲乙在同一段路程s 上的时间之比等于速度比的反比。

二．例题精讲 例1： 小张从甲地到乙地步行需要36分钟，小王骑自行车从乙地到甲地需要12分钟．他们同时出发，多少分钟后两人相遇?点睛:相同的路程时,速度与时间成反比.两人的时间比为：36：12＝3：1即速度比为：1：336÷（3＋1）＝9（分）例2：甲、乙二人同时从学校出发到少年宫去，已知学校到少年宫的距离是2400米，甲到少年宫后立即返回学校，在距离少年宫300米处遇到乙，此时他们离开学校已30分钟．甲每分钟走多少米，乙每分钟走多少米．点睛:已知两速度之差与两速度之和,求单独的速度,可用和差公式.速度差＝300×2÷30＝20（米/分）速度和＝2400×2÷30＝160（米/分）甲：（160＋20）÷2＝90（米/分）乙：（160－20）÷2＝70（米/分）例3：小李从A 城到B 城，速度是5千米/小时．小兰从B 城到A 城，速度是4千米/小时．两人同时出发，结果在离A 、B 两城的中点1千米的地方相遇，求A 、B 两城间的距离？点睛：小李和小兰的速度比是：5：4则路程比是：5：4在距离中点1千米处相遇,那么速度快的比速度慢的多走了2×1=2千米小李比小兰多走了1个单位=2千米所以两地距离=2×（4+5）=18千米答：两地距离为18千米.例4:一辆汽车从甲地开往乙地,每小时行50千米,返回时每小时行60千米,已知去时用了6小时,那么返回时用了多少小时?点睛:因为去时和返回时所行的路程一定,那么去时与返回时的速度和所用时间成反比.去时和返回时的速度比是:50:60=5:6所用的时间比与速度比是:6:5返回时用的时间为:6÷6×5=5(小时)答:返回时用了5小时.例5:甲乙两车分别从AB两地同时出发相向而行,甲车每小时行50千米,乙车的速度是甲车的4/5,当甲车行至全程的2/5时,乙车距中点还有36千米.AB两地相距多少千米?点睛:由题中条件可求出速度比,因为时间一定,所以两车所行的路程和它们的速度成正比.甲乙两车的速度比是:5:4两车在相同时间里所行的路程比是:5:4当甲车行至全程的2/5时,乙车响起了全程的2/5×4/5=8/25乙车距中点还有全程的：1/2-8/25=9/25AB两地相距:36÷9/25=200(千米)答:两地相距200千米.例6:甲乙两车同时分别从AB两地出发相向而行,当甲车行了全程的1/4时,乙车行了全程的1/3,当乙车行完全程时,甲车距终点还有20千米,AB两地相距多少千米?点睛:由条件”当甲车行了全程的1/4时,乙车行了全程的1/3”可求出两车在相同时间里所行的路程比.甲乙两车在相同时间里所行的路程比是:1/4:1/3=3:4就是说当乙车行完全程时,甲车距终点还有4-3=1(份)路程,这一份的路程就是20千米.因此,AB两地相距:20÷(4-3)×4=80(千米)答：AB两地相距80千米、例7：甲乙两车的速度分别是50千米每小时，40千米每小时，乙车先从B站开入A站，当到离B站72千米的D地时，甲车从A站开入B站，在C地与乙车相遇，如果甲乙两车相遇地C地离AB两站的路程比是3：4，那么AB两站之间的路程是多少千米？点睛：由题意知甲乙两车的速度比是：50：40=5：4甲乙两车在相同时间里所行路程比是：5：4所以AC:CD=5:4,又因为AC:CB=3:4,而5:4=15:12,3:4=15:20所以，AB两站之间的路程为：72÷（20-12）×（15+20）=315（千米）答：AB两站之间的路程是315千米。