考研高数公式大全-一元函数微分学

一、一元函数微分学一元函数微分学由导数和微分组成。

导数：样本量随自变量的变化而变化的快慢程度；微分：曲线的切线上的纵坐标的增量。

二、常数和基本初等函数求导公式 (1) 0)(='C(2) 1)(-='μμμx x (3) x x cos )(sin ='(4) x x sin )(cos -='(5) x x 2sec )(tan =' (6) x x 2csc )(cot -=' (7) x x x tan sec )(sec ='(8) x x x cot csc )(csc -=' (9) a a a x x ln )(='(10) (e )e x x '=(11) a x x a ln 1)(log ='(12) x x 1)(ln ='，(13) 211)(arcsin x x -='(14) 211)(arccos x x --='(15)21(arctan )1x x '=+(16)21(arccot )1x x '=-+三、函数的和、差、积、商的求导法则 设)(x u u =，)(x v v =都可导，则 （1） v u v u '±'='±)( （2） u C Cu '=')(（C 是常数）（3）v u v u uv '+'=')(（4）2v v u v u v u '-'='⎪⎭⎫ ⎝⎛四、反函数求导法则若函数)(y x ϕ=在某区间y I 内可导、单调且0)(≠'y ϕ，则它的反函数)(x f y =在对应区间x I 内也可导，且)(1)(y x f ϕ'='或dydxdx dy 1=五、复合函数求导法则 设)(u f y =，而)(x u ϕ=且)(u f 及)(x ϕ都可导，则复合函数)]([x f y ϕ=的导数为dy dy du dx du dx =或()()y f u x ϕ'''=六、高阶导数的莱布尼兹公式七、隐函数的导数一般地，如果变量x ，y 之间的函数关系是由某一个方程()0,=y x F 所确定，那么这种函数就叫做由方程所确定的隐函数. 对数求导法根据隐函数的求导法，我们还可以得到一个简化求导运算的方法.它适合由几个因子通过乘、除、乘方、开方所构成的比较复杂的函数（包括幂指函数）的求导.这个方法是先取对数，化乘、除为加、减，化乘方、开方为乘积，然后利用隐函数求导法求导，因此称为对数求导法.幂指函数的一般形式为()0v y u u =>，其中,u v 是x 的函数. 八、由参数方程所确定的函数的导数22234241433339t t t t t ed dte e e dx dt dx e dt--⎛⎫=-⋅=-== ⎪-⎝⎭22223t d y d dy d e dx dx dx dx ⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭一般地，如果参数方程()()x t y t ϕψ=⎧⎪⎨=⎪⎩，（t 为参数） 确定y 与x 之间的函数关系，则称此函数关系所表示的函数为由参数方程所确定的函数.如果函数()t x ϕ=，()t y ψ=都可导，且()0≠'t ϕ，又()t x ϕ=具有单调连续的反函数()x t 1-=ϕ，则由参数方程所确定的函数可以看成()t y ψ=与()x t 1-=ϕ复合而成的函数()[]x y 1-=ϕψ，根据复合函数与反函数的求导法则，有()()t t dtdx dt dy dx dt dt dy dx dy ϕψ''=⋅=⋅=1，即()()t t dx dy ϕψ''= ，也可写成 dtdxdtdy dx dy=.求方程32ttx ey e-⎧=⎪⎨=⎪⎩所确定的函数的二阶导数22d ydx.解 ()()tt t t t e ee e e dx dy 2323232-=-=''=--，注意二阶导的求法。

一、一元函数微分法1、重要导数表：1,1(ln )',()',1,x a x x a x ax >⎧=-=⎨-<⎩1[()]'(1)()n n x a x a n x a x a ---=+--，[ln(x +=22221111(arctan )',ln(ln )',2x a x a a x a a a x x a -==++- [ln sec tan ]'sec ,[ln csc cot ]'csc ,[ln csc ]'cot ,[ln sec ]'tan θθθθθθθθθθ+=-=-==()()(1)()11(1)!()!,()ln ,[ln()](),()n m n x n x n n n n n m n mn m n x n n m a a a x a x a x a A x n m++->⎧-⎪===±==⎨±±⎪<⎩)2sin()(sin )(πn ax a ax n n +=，)2cos()(cos )(πn ax a ax n n +=. 2、一元函数微分法：设)(x f y =二阶可导，且'0y ≠，则'()1'x y y =，3''()'''x y y y =-；设(),()x t y t 二阶可导，若()y y x =由(),()x x t y y t ==所确定，则'()'()'()y x y t x t = ，3''()['()'()]()[()()()()]()y x d y t x t dx t y t x t y t x t x t '''''''==-；()0b a d f t dt dx =⎰，()()()[()]'()[()]'()g x h x d f t dt f g x g x f h x h x dx =-⎰； ()()()0[()()][()][()]nn kn k k n k u x v x C u x v x -==⋅∑，注意用麦克劳林展开式求()(0)n f ； 2[()()]()[()]()[()],[()()][()()()()]().d u x v x v x d u x u x d v x d u x v x v x du x u x dv x x =+=-二、多元函数微分法1、多元复合函数的求导法：[(),()]z f u x v x = ，则全导数dz z du z dv dx u dx v dx∂∂=⋅+⋅∂∂，或'()'()'()u v z x u x f v x f =+ [(),(,)]z f u x v x y = ，则'()x u x v z u x f v f =+，y y v z v f =[(,),(,)]z f u x y v x y = ，则x x u x v z u f v f =+，y y u y v z u f v f =+()()()()xx x u x x v x xx u xx v x x uu x uv x x vu x vv xx u xx vz u f v f u f v f u u f v f v u f v f u f v f =+++=+++++222uv vuf f x uu x x uv x vv xx u xx v u f u v f v f u f v f =++++=;222yy y uu y y uv y vv yy u yy v z u f u v f v f u f v f =++++()xy x y uu x y x y uv x y vv xy u xy v yx z u u f u v v u f v v f u f v f z =+++++=.2、隐函数的求导法（两端求导法与公式法）： 公式法1：(,)0F x y =，若0y F ≠，则存在()y y x =，且'()x y y x F F =-公式法2：(,,)0F x y z =，若0z F ≠，则存在(,)z z x y =，且x x z y y z z F F z F F =-=-， 若(,,)0F x y z =确定(,),(,),(,)x x y z y y x z z z x y ===，则1y z x x y z ∙∙=-. 3、多元函数高阶混合偏导数的求导法：若多元函数高阶混合偏导数连续，则其结果与求导次序无关. 4、多元函数的求微法： 若[(,),(,)]z f u x y v x y =　可微，则u v x y dz z du z dv z dx z dy =+=+若(,,)0(,,)0F x y z G x y z =⎧⎨=⎩确定()()y y x z z x =⎧⎨=⎩，则由00x y z xy z F dx F dy F dz G dx G dy G dz ++=⎧⎨++=⎩计算'(),'()y x z x .三、一（多）元函数性态1、函数的奇偶性：()'()'()()f x f x f x f x ⇒⇒为可导的奇（偶）函数为偶（奇）函数，为奇函数为偶函数;()()()()0()()f x f x x xaaf x f t dt a f t dt f x ⇒=⇒⎰⎰连续连续奇（偶）偶（奇()）,奇（偶）偶（奇）； 若(,)(,)f x y f x y -= ，则(,)f x y 为x I ∈(I 为关于原点对称的区间)上的奇（偶）函数.2、函数的周期性：()(0)()'()'()()f T f f x T f x T f x Tf x T =⇒⇒为周期的导函数为周期的函数，周期为周期为;()0()()()()().Tf t dt f x x x aaf t dt T f x T f x T f t dt T =⎰⇒⇒⎰⎰连续周期为周期为，为周期的连续函数周期为3、函数的单调性（含局部）：'()'()()0()()f x a f a f x a ><⇒在处连续必在处充分小的邻域内单调增减.()()()f x f x 单调区间的分界点可能为驻点,尖点连续但一导不存在,间断点；视条件而定；4、函数的凹凸性（含局部）：''()''()()0()()();f x a f a f x a ><⇒在处连续必在处充分小的邻域内是向上凹凸的()()f x f x 的拐点必为连续的坐标点,其横坐标可能为二导零点,二导不存在点；视条件而定；00000''()0(''()/),''()(,());f x f x f x x x f x ==⇒在两邻的符号相反为拐点00''()0000000''()''()0,'''()0(,());lim 0(,())f x x x x f x f x f x x f x A x f x x x →=≠⇒=≠⇒-在处连续为拐点为拐点;32201()lim ''(1'),()()ds ds K x y y R x s K x α→∆===+=∆弧微分曲率半径. 5、函数的极值性（局部）：()()f x f x 的极值点必含于定义域,其可能为驻点,尖点,间断点；若可导,其极值点必为驻点；00000'()0('()/),'()()(),()();f x f x f x x x f x ==⇒在两邻由正到负由负到正为极大小点为极大小值00'()00000'()'()0,''()()0();lim ()0()f x x x x f x f x f x x A x x x →=<>⇒=<>⇒-在处连续为极大小点为极大小点;000000200()()''()lim ()0()'()0,lim ()0().()n x x x x f x f x f x A x f x A x x x x x →→-=<>⇒==<>⇒--为极大小点;为极大小点设),(y x f z =在其驻点),(00y x 的某邻域内有二阶连续偏导数，则02<-B AC 时无极值；02>-B AC 时有极值，且当0<A 时有极大值，当0>A 时有极小值.6、条件极值：一般有三个方法：一是降元法；二是升元法--拉格朗日乘数法；三是几何法（1）在所给条件0),,(=Φz y x 下, 求目标函数),,(z y x f u =的极值. 引进拉格朗日函数 ),,(),,(),,,(z y x z y x f z y x L Φ+=λλ（2）若所给的限制条件有两个(,,)0x y z Φ=和(,,)0x y z ψ=，求目标函数),,(z y x f u =的极值. 引进拉格朗日函数 (,,,)(,,)(,,)(,,)L x y z f x y z x y z x y z λλμ=+Φ+ψ. 7、多元函数的最大值与最小值（闭区域上的连续函数一定取得最大值和最小值）： （1） 求函数),(y x f 在D 内所有驻点处的函数值； （2） 求),(y x f 在D 的边界上的最大值和最小值； （3） 将前两步得到的所有函数值进行比较，其中最大者即为最大值, 最小者即为最小值. 注：在证明不等式(,)DA f x y dB σ≤≤⎰⎰的问题时，需将),(y x f 在D 上的最值问题与积分估值定理联合考虑.四、典型例题例1、设[ln(f x +=)]1[ln(2x x f ++''．解：[ln([ln()][ln(f x df x d x x '=+=，则[ln('[ln()]ln(f x df x d x ''=+= 注：[(())]'(())'()(())f u x f u x u x f u x ''=≠．例2、函数)(u f 可导，)(2x f y =当自变量x 在1-=x 处取得增量1.0-=∆x 时，相应的函数增量y ∆的线性主部为0.1，则(1)f '=0.5． 提示：22[()]'2'()dy f x x xf x x =∆=∆．例3、设)(x f y =是由方程组⎩⎨⎧=+-++=01sin 3232y t e t t x y 所确定的隐函数，求202|t d ydx =．解：⎩⎨⎧='+''-+-=''⇒⎩⎨⎧=-'++='0)()()2(sin cos 6)(0)1sin )((cos 26)(2t y t y y t e t e t x t e t y t e t t x y yy y 因e t y t x t y t t t ='='====000)(,6)(,1)(，有 2002)(,6)(e t y t x t t =''=''==而 223()[]()()()()()()()d y t d y y t x t y t x t dt x t dx x t x t ''''''''-==''，故 220(23)4x d y e e dx =-=． 例4、设232+-=x x xy ，求)(n y ．解： ])2(2)1(1[!)1()21(2)11(11)()()(++-++⋅-=-++=n n n n n n x x n x x y ．注：可用麦克劳林展开式求()(0)n y ． 例5、设,siny x eu x-=则2111(2,)(2,)(,)xy yx y x d u u u x dx πππ=⎛⎫=== ⎪⎝⎭2()e π.例6、设)(),(xyg yx xy f z +=, f 具有二阶连续偏导数,g 具有二阶连续导数, 求xy z .解：1221x yz yf f g y x'''=+-， 111122212222223111()()xy x x y z f y xf f f xf f g g y y y y x x '''''''''''''=+--+--- 112212323211x y xyf f f f g g y y x x'''=-+---例7、设函数),(v u F 可微，(,)0F x z z y αβ=确定了(,)z z x y =，其中αβ、为常数，且满足0αβ≠，则x y xz yz βα+=z αβ．提示：运用两端求导法与公式法的过程中，要注意链式法则，本题也可用全微分法． 例8、设),(t x f y =,而t 是由方程0),,(=t y x F 所确定的y x ,的函数,若,F f 都具有一阶连续偏导数，试求'()y x .解：方程的两边求微分得0x t xy t dy f dx f dtF dx F dy F dt =+⎧⎪⎨++=⎪⎩，解之得'()y x =x t t x t t y f F f F F f F -+.例9、设函数),(y x f z =在点)1,1(处可微, ,1)1,1(=f (1,1)2,(1,1)3x y f f ==,)),(,()(x x f x f x =ϕ, 求13)(=x x dx d ϕ 解：1)1,1())1,1(,1()1(===f f f ϕ. 322()3()()3()[(,(,))(,(,))(,)]x y d d d x x x x f x f x x f x f x x f x x dx dx dxϕϕϕϕ===+ 23()[(,(,))(,(,))((,)(,))]x y x y x f x f x x f x f x x f x x f x x ϕ=++故13)(=x x dx d ϕ=3(1)[(1,1)(1,1)((1,1)(1,1))]51x y x y f f f f ϕ++=. 例10、设(,)u x y 二阶偏导数连续，且0xx yy u u -=，(, 2)u x x x =，2(, 2)x u x x x =， 求(, 2)xx u x x ，(, 2)xy u x x ，(, 2)yy u x x .解：等式x x x u =)2,(两端对x 求导,得(,2)2(,2)1x y u x x u x x +=，则21(,2)(1)2y u x x x =-这两个等式,对x 求导得(,2)2(,2)2xx xy u x x u x x x +=, (,2)2(,2)yx yy u x x u x x x +=- 由已知条件得,xx yy xy yx u u u u ==, 故解得x u u yy xx 34-==， x u xy 35= . 例11、设(,)ax y z u x y e +=，0xy u =，试确定常数a ，使0xy x y z z z z --+=.解：(),(),[()()]ax y ax y ax y x x y y x x xy y z e u au z e u u z e u au u au +++=+=+=++++ ，由0xy u =，可得(1)01ax y xy x y y z z z z e a u a +--+=-=⇒=.例12、对螺旋线θρe =在)2,(),(2πθρπe =处的切线的直角坐标方程为2πe y x =+．例13、设()f x 连续，在0x 可导，且200()f x x =，()00'2f x x >，则存在0>δ ，使得（C ）（A ）20()f x x -在00()x x δ+，内单增 （B ）20()f x x -在00()x x δ-，内单减（C ）对任意的00()x x x δ∈+，有2()f x x >（D ）对任意的00()x x x δ∈-，有2()f x x > 提示：令2()()F x f x x =-.例14、曲线()234(1)(2)(3)(4)f x x x x x =----的一个拐点为（C ）（A ）(1,0) （B ）(2,0) （C ）(3,0) （D ）(4,0)例15、设()f x 在0x =某邻域内有二阶连续导数，且"0()lim11cos x xf x x→=-，则（C ） （A ）'(0)0f =，且(0)f 是()f x 的极值（B ）'(0)0f ≠，但(0)f 是()f x 的极值（C ）"(0)0f =，且(0,(0))f 是曲线()y f x =的拐点 （D ）"(0)0f ≠，但(0,(0))f 是曲线()y f x =的拐点例16、设函数()y f x =具有二阶导数，且()0,()0f x f x '''>>，x ∆为自变量x 在0x 处的增量，y ∆与dy 分别为()f x 在点0x 处对应的增量与微分，若0x ∆>，则（A ） （A ）0dy y <<∆（B ）0y dy <∆<（C ）0y dy ∆<<D ）0dy y <∆<例17、()f x 是奇函数，除0x =外处处连续，0x =是其第一类间断点，则()0xf t dt ⎰是（B ）（A ）连续的奇函数 （B ）连续的偶函数（C ）在x =0间断的奇函数（D ）在x =0间断的偶函数提示：令()()(),000,0f x x f x f x +>⎧⎪=⎨+=⎪⎩，()()0000lim lim 0x x x x f t dt f t dt +++→→==⎰⎰ 例18、求证：（1）()0()()()(),f x a T Taf x f x T f x dxf x dx +=+=⎰⎰可积（2）()0()()()()f x nT Tf x f x T f x dxn f x dx =+=⎰⎰可积．提示：（1）令0()()(),a T TaF a f x dx f x dx +=-⎰⎰a R ∈用求导法，这比用换元法方便（2）令0()()()nT T G n f x dx n f x dx =-⎰⎰，用求导法错误，因n Z ∈,用换元法方便111(1)0()()()()()n n n x kT u nT k T T T TkTk k k f x dx f x dx f kT u du f x dx n f x dx ---=++=====+==∑∑∑⎰⎰⎰⎰⎰．例19、设)(u ϕ是连续的正值函数，试证明：⎰--=ccdu u u x x f )()(ϕ在],[c c -上是上凹的.证明：⎰⎰-+-=-cxxcdu u u x du u u x x f )()()()()(ϕϕ⎰⎰⎰⎰---+-=xc xcxcxcdu u u du u x du u u du u x )()()()(ϕϕϕϕ⎰⎰>=''+='-ucxcx x f du u du u x f 0)(2)(,)()()(ϕϕϕ，故，原题得证.例20、数列21{(12)}n n +中的最大项为916．提示：设21()(12),[1,)x f x x x +=∈+∞，令()0f x '=，则在2ln 2x =处()f x 取得最大值，又2223<<，而19(2),(3)216f f ==，故该数列的最大值为第三项：169． 例21、设)(x f 二阶导数连续,且xe xf x x f x --='--''-11)()1(2)()1(， 试问（1）若)1( ≠=a a x 是极值点时,是极小值点还时极大值点？（2）若1=x 是极值点时,是极大值点还是极小值点?提示：（1）将0)(='a f 代入xe xf x x f x --='--''-11)()1(2)()1(，得1()(1)1)(0)af a e a a -''=--≠，则)(x f 在a x =取极小值；（2）由1()2()(1)1)xf x f x e x -'''-=--，知11lim ()2lim ()1x x f x f x →→'''-=则,01)1(>=''f 又0)1(='f ，故1=x 为)(x f 的极小值点. 例22、已知函数),(y x f 在点(0,0)的某个邻域内连续, 且1)(),(lim22200=+-→→y x xyy x f y x , 则(A )A 点(0,0)不是(,)f x y 的极值点.B 点(0,0)是),(y x f 的极大值点.C 点(0,0)是),(y x f 的极小值点.D 无法判断点(0,0)是否为),(y x f 的极值点？提示:由),(y x f 在点(0,0)的连续性及1)(),(lim22200=+-→→y x xyy x f y x ，知0)0,0(=f .且α+=+-1)(),(222y x xy y x f ,其中0lim 00=→→αy x ，则222222)()(),(y x y x xy y x f ++++=α 令x y =, 得22(,)()f x x x o x =+，令x y -=, 得22(,)()f x x x o x -=-+.从而),(y x f 在(0,0)点的邻域内始终可正可负, 又0)0,0(=f , 由极值定义选(A).例23、 2(,)()x z x y e ax b y -=+-满足条件20b a =≥时，(1,0)z -为其极大值. 提示：由必要条件知，2b a =，再由充分条件知0a >，经验证0a =也可以. 例24、已知()f u 具有二阶导数，且(0)1f '=， )(x y y =由11y y xe --=所确定， 设(ln sin )()z f y x g x =-=，判定()g x 在0x =处的极值性.提示：在11y y xe --=中, 令0=x 得(0)1y =，将其两边对x 求导，110y y y e xe y --''--=， 再对x 求导得111210y y y y y e y e y xe y xe y ----'''''''----= 将1,0==y x 代入上面两式得(0)1,(0) 2.y y '''=='()(cos )(ln sin )z x y y x f y x ''=--，222''()(cos )(ln sin )[()sin ](ln sin )z x y y x f y x y y y y x f y x '''''''=--+-+-将(0)1y =，(0)1(0)2y y '''==，，(0)1f '=代入上面两式得0'()0,x z x ==0''()1x z x ==.例25、求由方程010422222=--+-++z y x z y x 确定的函数),(y x f z =的极值.[解一] ⎩⎨⎧='-+'+='--'+0422204222y y x x z z z y z z z x )(a由函数极值的必要条件知0,0='='y x z z ,将其代入)(a 得驻点)1,1(-P .又 z z A Pxx-=''=21 ，0=''=P xy z B ，zz C P yy -=''=21因为 2210(2)AC B z -=>- )2(≠z ，故)1,1(-=f z 为极值. 将1,1-==y x 代入方程010422222=--+-++z y x z y x ,得6,221=-=z z 将21-=z 代入)(b 中可知0A >，故2)1,1(-=-=f z 为极小值. 将61=z 代入)(b 中可知0A <，故6)1,1(=-=f z 为极大值. [解二] 配方法. 22)1()1(162+---±=-y x z显然,6=z 为极大值, 2-=z 为极小值.例26、已知函数(,)z f x y = 的全微分ydy xdx dz 22-=，并且(1,1)2f =．求(,)f x y 在椭圆域}14),{(22≤+=y x y x D 上的最大值和最小值. 解:2222()dz xdx ydy d x y C =-=-+，则22(,)z f x y x y C ==-+，再由(1,1)2f =，得 C=2, 故 .2),(22+-=y x y x f令20,20x y f x f y ===-=得可能极值点为(0,0)，且(0,0)2f =再考虑其在边界曲线1422=+y x 上的情形：令22(,)(,)(1)4y L x y f x y x λ=++-， 由2212(1)0,20,1024x y y L x L y x λλ=+==-+=+-=() 得可能极值点为(0,2)±，(1,0)± ，而,2)2,0(-=±f 3)0,1(=±f ， 可见(,)z f x y =在区域D 内的最大值为3，最小值为-2.推广：求证：2214y x σ+≤≤≤⎰⎰.例27.求曲线1:0z C y ⎧=⎪⎨=⎪⎩2230:0x y C z +-=⎧⎨=⎩之间的距离.解：任取1(s C ∈，2(32,,0)t t C -∈，则222(23)D d s t t s ==+-++由2(23)10,4(23)20s t D s t D s t t =+-+==+-+=，得唯一驻点1(,1)2P ，从几何意义知d 客观存在，故所求距离为1(,1)22d =．注：（1）d =3．从几何意义上知，(,,)P x y z 到12(1,2,0),(3,1,2)P P --的距离之和最小为123PP =．（2）函数(,)f u v =． 提示：该题可转化为在椭圆4422=+y x 上求一点，使其到直线0632=-+y x 的距离最短，作椭圆切线平行于已知直线求解，或以椭圆方程为条件，其上点到直线的距离平方为目标函数，用拉格朗日乘数法完成．例28.求函数xyz f = 在条件0,1222=++=++z y x z y x 下的极值.解 令)()1(222z y x z y x xyz L +++-+++=μλ有 02=++=μλx yz L x ， 02=++=μλy xz L y ，02=++=μλz xy L z 得 z z y y x x μλμλμλ+=+=+222222，又0,1222=++=++z y x z y x得z x =， 解得驻点)61,62,61(1-P ，)61,62,61(2--P 。

第二章 一元函数微分学2013考试内容 (本大纲为数学1，数学2-3需要根据大纲作部分增删)导数和微分的概念 导数的几何意义和物理意义 函数的可导性与连续性之间的关系 平面曲线的切线和法线 导数和微分的四则运算 基本初等函数的导数 复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法 高阶导数 一阶微分形式的不变性 微分中值定理 洛必达法则 函数单调性的判别 函数的极值 函数图形的凹凸性、拐点及渐近线 函数图形的描绘 函数的最大值与最小值 弧微分 曲率的概念 曲率圆与曲率半径2013年考试要求1. 理解导数和微分的概念，理解导数与微分的关系，理解导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的关系。

2. 掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数的导数公式。

了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分。

3. 了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数。

4. 会求分段函数的导数，会求隐函数和由参数方程所确定的函数以及反函数的导数。

5. 理解并会用罗尔（Rolle ）定理、拉格郎日（Lagrange ）中值定理和泰勒（Taylor ）定理，了解并会用柯西（Cauchy ）中值定理。

6. 掌握用洛必达法则求未定式极限的方法。

7. 理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及其应用。

8. 会用导数判断函数图形的凹凸性（注：在区间（a ，b ）内，设函数f(x)具有二阶导数。

当''()0f x >时，f(x)的图形是凹的；当''()0f x <时，f(x)的图形是凸的），会求函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐近线，会描绘函数的图形。

了解曲率、曲率圆与曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径。

一、导数的定义、几何意义、物理意义、经济学意义1.1定义：()f x 在0x 的某一邻域内有定义，而且000()()limx f x x f x x∆→+∆-∆存在；称0000()()lim=()x f x x f x f x x∆→+∆-'∆为导数。

几个重要极限与几个重要的等价无穷小① 1sin lim 0=→x x x ，推广：1)()(sin 0)(lim =→x x x ϕϕϕ，其中0)(≠x ϕ。

② ()e x x x =+∞→11lim ，推广：()()()()e x x x =+→ϕϕϕ101lim ，其中()0≠x ϕ。

③ )0a (1lim ,1lim >==∞→∞→常数n n n n a n ，())00(0lim ,0ln lim 0>>==-∞→→+k e x x x x k x k x ，常数δδδ ④ 当0→x 时，()(),~11,~1ln ,~1,21~cos 1,~tan ,~sin 2ax x x x x e x x x x x a x -++--())0k (~,1,0ln ~1,~arctan ,~arcsin >>+≠>-m x x x a a a x a x x x x m k m x 常数（1）常用的导数（微分）运算法则以下均设所涉及的函数可导，则有① ()μυμυ'+'='+()υμυμd d d ±=±② ()v u v u uv '+'='()vdu udv uv d += ()u C Cu '='()Cdu Cu d =③ )0(,2≠'-'='⎪⎭⎫ ⎝⎛v v v u u v v u )0(,2≠-=⎪⎭⎫ ⎝⎛v v udv vdu v u d ④ 设，)(),(x u u f y ϕ==则有,dy dxdu du dy dx ∙=即()()[]()()()x x f x f ϕϕϕ'∙'='. 与此相应的微分运算法则，就是微分形式不变性，即不论u 是自变量还是中间变量，均有 ()du u f dy '=.（2）基本初等函数的倒数（微分）公式① 为常数）（C C 0=')(0为常数C dC =② ()为常数）（αααα1-='x x )(1为常数ααααdx x dx -=③ ())1,0,(ln ≠>='a a a a a a x x 为常数)1,0,(ln ≠>=a a a adx a da x x 为常数()x x e e ='dx e de x x =④ ())1,0(ln 1log ≠>='a a a x x a )1,0(ln 1log ≠>=a a dx ax x d a ()x x 1ln ='dx x x d 1ln = ⑤ ()x x cos sin ='xdx x d cos sin =⑥ ()x x sin cos -='xdx x d sin cos -=⑦()x x 2sec tan ='xdx x d 2sec tan = ⑧ ()x x 2csc cot -='xdx x d 2csc cot -=⑨ ()x x x tan sec sec ='xdx x x d tan sec sec =⑩()x x x cot csc csc -='xdx x x d cot csc csc -= 11 ()211arcsin x x -='dx x x d 211arcsin -=12 ()211arccos x x --='dx x x d 211arccos --= 13 ()211arctan x x +='dx xx d 211arctan += 14 ()211cot x x arc +-='dx xx darc 211cot +-= （3）变限积分求导公式设)(t f 为连续函数，)(1x ϕ与)(2x ϕ均求导，则有()())()()()()(1122)()(21x x f x x f dt t f x x ϕϕϕϕϕϕ'-'='⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰（4）n 阶导数运算法则以下均设u,v 为n 阶可导，则有()()()()n n n v u v u ±=±()()()n n Cu Cu =()()()()()()()n k k n k n n n n n uv v u C v u C v u uv ++++'+=-- (11)后一公式称为乘积的高阶导数的莱布尼茨公式。

一元函数微分学公式微分学是数学中的一个重要分支，研究函数的微小变化。

在微分学中，一元函数的微分公式是非常基础且重要的知识点。

本文将介绍一元函数微分学公式的相关内容，帮助读者更好地理解和应用微分学知识。

一元函数微分学公式主要包括导数的定义、常见函数的导数公式、导数运算法则以及高阶导数等内容。

下面我们逐一介绍这些内容。

1. 导数的定义导数是一元函数微分学的核心概念，它描述了函数在某一点上的变化率。

设函数f(x)在点x=a处可导，则导数f'(a)的定义为：f'(a) = lim┬(x→a)⁡〖(f(x)-f(a))/(x-a)〗其中lim表示极限，x→a表示x趋近于a的过程，(f(x)-f(a))/(x-a)表示函数的增量与自变量增量的比值。

导数可以理解为函数在该点上的瞬时变化率。

2. 常见函数的导数公式对于一些常见的函数，我们可以通过求导公式来快速计算它们的导数。

以下是一些常见函数的导数公式：- 幂函数：(x^n)' = nx^(n-1)，其中n为常数；- 指数函数：(a^x)' = a^x * ln(a)，其中a为常数；- 对数函数：(logₐx)' = 1/(x * ln(a))，其中a为底数；- 三角函数：(sinx)' = cosx，(cosx)' = -sinx，(tanx)' = sec^2(x)，其中x为弧度；- 反三角函数：(arcsinx)' = 1/√(1-x^2)，(arccosx)' = -1/√(1-x^2)，(arctanx)' = 1/(1+x^2)，其中x在定义域内。

通过这些导数公式，我们可以快速求解常见函数的导数，为后续的微分计算提供便利。

3. 导数运算法则在微分学中，导数具有一些基本的运算法则，可以帮助我们简化复杂函数的导数计算。

- 常数倍法则：(cu)' = cu'，其中c为常数；- 和差法则：(f(x)±g(x))' = f'(x)±g'(x)；- 积法则：(f(x)g(x))' = f'(x)g(x)+f(x)g'(x)；- 商法则：(f(x)/g(x))' = (f'(x)g(x)-f(x)g'(x))/[g(x)]^2，其中g(x)≠0。

【大小】【打印】【关闭】启航考研数学系列精讲之二一元函数积分的计算（一）一元函数积分包括不定积分与定积分，以及作为定积分推广的广义积分．对于不定积分需要掌握的，除了原函数与不定积分的概念与基本性质外，就是基本积分公式与两种基本积分方法。

这是因为任何积分过程最终都要化为基本积分公式中已有的形式，否则就需要再进一步简化，而两种基本的积分方法，变量替换法(换元积分法)与分部积分法是简化积分的主要方法。

除此之外，一些特殊的积分方法，如：有理函数积分法、三角函数有理式的积分法、某些简单无理式的积分法等，则是在特定情况下的特殊方法。

由于不定积分的计算是最基本的，它渗透于一切积分之中，所以这里将不单独予以讲述，而是将其融合于定积分的计算之中。

为了帮助读者查找，在分类讲述例题之前将列出基本积分公式。

借助于牛顿—莱布尼兹(Newton—Leibniz)公式，定积分可化为被积函数的任一原函数在积分上限与下限两点函数值的差。

这样，只要能求出原函数就解决了定积分的计算问题，而求原函数则是不定积分所解决的问题。

然而，定积分的计算过程并不是分为求原函数与求原函数在上、下限函数值的差两个步骤，而是把两者结合起来。

这样，如同不定积分一样，定积分也有两个基本方法，那就是变量替换法与分部积分法。

牛顿—莱布尼兹公式的基础是关于变限积分求导数的定理，同时在如何求极限的部分也涉及到，这里就不再重复了。

一、定积分的变量替换法定理设f(x)在区间[a,b]上连续，代换x＝Ф(t)满足条件：(1)Ф’(t)在[α,β]上连续；(2)Ф(α)=a,Ф(β)=b，并且当α≤t≤β时，a≤Ф(t)≤b，则（1）注 (1)在定理的叙述中，，，定义于区间[α,β]，说明呈上升趋势．实际上，呈下降趋势也是一样的，亦即定理中的区间[α,β]，刖改为[β,α]。

(2)在定积分作变量替换时，一定要同时更换积分限，而且积分限的更换可以采用表格形式表示。

(3)不定积分的变量替换有第一与第二换元法之分。

2023考研数学高数暑期复习资料：一元函数微分学1500字高等数学中的一元函数微分学是考研数学中的一项重要内容，需要对函数的极限、连续性、可导性等进行深入理解和掌握。

下面是一份关于一元函数微分学的暑期复习资料，帮助你加深对这一部分知识的理解。

一、函数的极限函数的极限是函数微分学的基础，它描述了函数在某一点附近的变化规律。

函数f(x)在x=a处的极限表示为：lim(x→a) f(x) = L (1)其中L是一个常数。

求极限的方法有以下几种：1. 代入法：直接将x的值代入函数中计算；2. 分段函数法：对于给定的x值，根据函数定义可以知道函数的取值范围，进而确定极限；3. 非零有限常数的乘除法则：lim(x→a) kf(x) = klim(x→a) f(x)，其中k是非零有限常数；4. 加减法则：lim(x→a) [f(x) ± g(x)] = lim(x→a) f(x) ± lim(x→a) g(x)；5. 乘法法则：lim(x→a) [f(x)g(x)] = lim(x→a) f(x) · lim(x→a) g(x)；6. 分数法则：lim(x→a) [f(x)/g(x)] = lim(x→a) f(x) / lim(x→a) g(x)，其中lim(x→a) g(x) ≠ 0。

二、函数的连续性函数的连续性是指函数在定义域内某一点的函数值和极限值相等的性质。

函数f(x)在x=a处连续可以表示为：lim(x→a) f(x) = f(a) (2)连续性有以下几个基本性质：1. 左极限等于右极限等于函数值的情况下，函数连续；2. 复合函数的连续性：若f(x)在x=a处连续，g(x)在y=b处连续，则[f(g(x))]在x=a 处连续；3. 级数与函数的连续性：若级数∑_[n=1]^∞▒a_n(x)在x=a处收敛，则函数[f(x)]=∑_[n=1]^∞▒a_n(x)在x=a处连续。

n 一元函数微分学1、数列极限若数列 {x }及常数a ，0,ε∀>N ∃正数，当n N >时，有n x a ε-<，则称该数列{}n x 的极限为a ，记作lim n n x a →∞=或()n x a n →→∞。

此时也称数列收敛，否则称数列发散。

数列极限的四则运算：若lim ,lim ,n n n n x A y B →∞→∞==则：1）lim()n n n x y A B →∞±=±；2）lim n n n x y AB →∞=；高 数一元函数微分学知识点速记3）0时，limn n x n =Ay →∞y B当n ≠0且B ≠lim n n n y z =a 夹逼准则：设lim n →∞→∞=，且当n >N 时，有y n n n≤x ≤z ，则lim n n x →∞=a 。

2、函数极限lim x f (x )=A →+∞⇔∀ε>0，∃X >0，当x >X 时，有f (x )-A <εlim x f (x )=A →-∞⇔∀ε>0，∃X >0，当x <-X 时，有f (x )-A <ε●左极限：000(x )lim 00,x )(x )x →x f f (x )=A x ∈(x f εδε--=⇔∀>∃δ>--A <，当时，有●右极限：000(x )lim 0(x ,(x )x →x f f (x )=A x ∈x f εδε++=⇔∀>0,∃δ>-A <当+)时，有x →x 0x →x 0x →x 0lim f (x )A f (x f (x )=Alim +)lim -=⇔=3、几个重要极限1）lim sin x =1x →0x2）0lim 1(+)1x x x e→=3）)=1a >o n 4）1n =5）lim e x =0x →-∞6）lim x e x →+∞=∞7）x →0lim +x 1x =4、无穷小量无穷小量：若(x )0lim x →x f =0，则称函数f (x )是当0x →x 时的无穷小量。

高等数学讲义--一元函数微分学第二章一元函数微分学S.1导数与微分(甲)内容要点一、导数与微分概念 1、导数的定义设函数y f(x)在点χo 的某领域内有定义，自变量 X 在X o 处有增量 X ,相应地函数增量y f(x oX ) f (X O )。

如果极限存在，则称此极限值为函数f (X )在X o 处的导数(也称微商)，记作f (X o ),或y X 冷，dy∣ X X 0，df(X) X X 0等，并称函数y f(χ)在点X o 处可导。

如果上面的极限不存在，则dX dx称函数y f (x)在点x 0处不可导。

导数定义的另一等价形式，令X X 0X ， X X X 0 ，则f (X o )Iim f(X) f (X O) X xoX X o我们也引进单侧导数概念。

右导数： f (x o ) Iim f (X) f (X O )Iim f (X OX) f (X O)XXDXX OX OX 左导数： f (X) f(X o )1f (X ox) f(X o ) f (x o ) IimIim XXDXX OX oX则有f (X)在点X o 处可导 f (X)在点X o 处左、右导数皆存在且相等。

2.导数的几何意义与物理意义如果函数y f (X)在点X o 处导数f (X o )存在，则在几何上 f (X o )表示曲线y f (X) 在点(X o ,f (X O ))处的切线的斜率切线方程：y f (x o ) f (X O )(X x o )Iim -ylim f(X o X ) f(X o )XX法线方程：y f(x0) (X X0) (f(x0) 0)f (X o)设物体作直线运动时路程S与时间t的函数关系为S f (t),如果f(t0)存在，则f (t0)表示物体在时刻t0时的瞬时速度。

3.函数的可导性与连续性之间的关系如果函数y f (X)在点X0处可导，则f(x)在点X0处一定连续，反之不然，即函数f (X)在点X。

考研数学公式大全考研数学对于许多考生来说是一座难以逾越的大山，而熟练掌握各类公式则是攻克这座大山的重要武器。

以下为大家整理了一份较为全面的考研数学公式，希望能助大家一臂之力。

一、高等数学部分1、函数、极限与连续（1）极限的四则运算法则：若 lim f(x) ＝ A，lim g(x) ＝ B，则 limf(x) ± g(x) ＝ lim f(x) ± lim g(x) ＝ A ± B；lim f(x) · g(x) ＝ lim f(x) · limg(x) ＝ A · B；lim f(x) ／ g(x) ＝ lim f(x) ／ lim g(x) ＝ A ／ B （B ≠ 0）。

（2）两个重要极限：lim （sin x ／ x) ＝ 1 （x → 0）；lim （1 ＋ 1 ／ x)＾x ＝ e （x → ∞）。

（3）无穷小量的性质：有限个无穷小量的和、差、积仍是无穷小量；无穷小量与有界函数的乘积是无穷小量。

（4）函数连续的定义：设函数 y ＝ f(x) 在点 x₀的某一邻域内有定义，如果 lim （x → x₀) f(x) ＝ f(x₀)，则称函数 f(x) 在点 x₀处连续。

2、一元函数微分学（1）导数的定义：f'（x₀) ＝ lim （Δx → 0) f(x₀＋Δx) f(x₀) ／Δx。

（2）基本导数公式：（x^n)＇＝ nx^（n 1)；（sin x)＇＝ cos x；（cos x)＇＝ sin x；（e^x)＇＝ e^x；（ln x)＇＝ 1 ／ x。

（3）导数的四则运算法则：f(x) ± g(x)＇＝ f'（x) ± g'（x)；f(x) · g(x)＇＝ f'（x)g(x) ＋ f(x)g'（x)；f(x) ／ g(x)＇＝ f'（x)g(x)f(x)g'（x) ／ g(x)＾2 （g(x) ≠ 0）。

考研数学涉及多个领域，而每个领域都有大量的公式和概念。

以下是一些考研数学中常见的公式：### 高等数学1. 微积分- 极限定义：$$\lim_{x \to a} f(x) = L$$- 求导法则：$\frac{d}{dx}(u \pm v) = u' \pm v'$，$\frac{d}{dx}(uv) = uv' + vu'$，$\frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right) = \frac{u'v -uv'}{v^2}$- 不定积分：$\int f(x) \,dx$- 定积分：$\int_a^b f(x) \,dx$2. 微分方程- 一阶线性微分方程：$y' + P(x)y = Q(x)$- 二阶线性常系数齐次微分方程：$ay'' + by' + cy = 0$### 线性代数1. 矩阵- 矩阵乘法：$C = A \cdot B$- 逆矩阵：$A^{-1}$- 行列式：$|A|$2. 向量- 向量点积：$ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} =|\mathbf{a}| |\mathbf{b}| \cos{\theta}$- 向量叉积：$ \mathbf{a} \times \mathbf{b} =|\mathbf{a}| |\mathbf{b}| \sin{\theta}$### 概率论与数理统计1. 概率- 条件概率：$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$- 贝叶斯定理：$P(A|B) = \frac{P(B|A)P(A)}{P(B)}$2. 统计- 样本均值：$\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n}$- 样本方差：$s^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i -\bar{x})^2}{n-1}$这只是一小部分的公式。