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二项式定理PPT课件

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6.3.1 《二项式定理》课件ppt

6.3.1 《二项式定理》课件ppt
2
2 6
C8 (2x ) ·(3 ) -8 (2x ) ·(3 ) +C8 (2x ) ·(3 ) -8 (2x ) ·(3 ) +8 (2x ) ·(3 ) -C8
项中除变量外的常数部分,它不仅与各项的项数有关,而且也与a,b的值有
关.
微判断
(1)二项展开式中项的系数与二项式系数是相等的.(
)
答案 ×
解析 二项展开式中项的系数与二项式系数不一定相等,只有当a,b的系数
都为1时两者相等.
(2)(x-1)5的展开式中x4项的系数为-5.(
答案 √
解析 (x-1)5的展开式中x4项的系数为-5.
3
Tk+1=C ·( √ )n-k· -
1
2 3√

=
1

C ·( 3 )n-k·

1
1 - · 3
2
∵第 6 项为常数项,∴k=5,且 n-5×2=0,∴n=10.
10-2
1

(2)由(1)知 Tk+1= - 2 ·C10
· 3 .
10-2
令
=2,则 k=2.
3
2
1
1
45
2
因为含 x3 的项是展开式中的第 4 项,所以二项式系数为C93 =84.
探究三
利用二项式定理解决整除和余数问题
例3试判断7777-1能否被19整除.
思路分析由于76是19的倍数,因此可将7777转化为(76+1)77,并用二项式定
理展开.
解 7777-1=(76+1)77-1
1
2
76
77
=7677+C77
2

二项式定理ppt课件

二项式定理ppt课件
①展开式中，每一项是怎样得到的？ （4次） ②既然这样，每一项的次数都应为几次？ 展开后具有哪些形式的项呢？ (a4，a3b，a2b2，ab3，b4) ③每一项在展开式中出现多少次，也就是展开式中各项 系数为什么？ 探索：(a+b)4= (a+b) (a+b) (a+b) (a+b)在上面4个括号中： 每个都不取b，有 C 4 恰有１个取b，有 恰有２个取b，有 恰有３个取b，有
tr12二项式系数与项的系数不同二项式系数是组合数而项的系数是该项的数字因数3通项公式可用求展开式中任意一项求时必需明确r
二 项 式 定 理
回顾：
（a b) a 2ab b 3 (a b) (a b)(a b)(a b) 2 2 (a b)(a ab ba b ) 2 2 3 2 a a b aba ab ba 3 2 bab b a b 3 2 2 3 a 3a b 3ab b 1 0 0 4 (a b) ？ (a b) ？
∴ 9-2r=3，r=3，
3 3 3 ∴ 的系数 (1)3 C9 84 , 3的二项式系数 C9 84．
例题点评
求二项展开式的某一项,或者求满足某种条
件的项,或者求某种性质的项,如含有x 3项
的系数,有理项,常数项等,通常要用到二项
式的通项求解.
注意(1)二项式系数与系数的区别.
4、在定理中，令a=1，b=x，则
(1 x) C C x C x C x C x
n 0 n 1 n 2 2 n r n r n n
n
尝试二项式定理的应用：
1 4 例 1 展 开 (1 ) x 1 4 1 4 1 1 1 1 2 3 1 3 解: (1 ) 1 C4 ( ) C4 ( ) C4 ( ) ( ) x x x x x

新教材选择性必修二7.4.1二项式定理课件(37张)

新教材选择性必修二7.4.1二项式定理课件(37张)

9．二项式(x＋y)5的展开式中，含x2y3的项的系数是________；二项式系数是
__________.(用数字作答)
【解析】根据二项式的展开式通项公式可得Tr＋1＝C
r 5
x5－ryr，可得含x2y3的项为C
3 5
x2y3，所以其系数为10，二项式系数为C53 ＝10.
答案：10 10
10．设n∈N*，则C1n ＋Cn2 6＋C3n 62＋…＋Cnn 6n－1＝________．
x－2x n 展开式中第3项的系数比第2项的系数大162.
(1)n的值；
(2)求展开式中含x3的项，并指出该项的二项式系数．
【解析】(1)因为T3＝C2n (
x
)n－2－2x
2
＝4C2n
n－6 x2
，
T2＝C1n (
x
)n－1－2x
＝－2C1n
n－3 x2
，
依题意得4C2n ＋2Cn1 ＝162，所以2Cn2 ＋Cn1 ＝81，所以n2＝81，n＝9.
二项式定理 二项式定理
基础认知·自主学习
【概念认知】
二项式定理
(a＋b)n＝ C 0 n a n ＋ C 1 n a n － 1 b ＋ ＋ C n r a n － r b r ＋ ＋ C n n b n ( n N * ) ．这个公式叫作二项式定
理，右边的多项式叫作(a＋b)n的二项展开式，它一共有_n_＋__1_项，其中
【解析】(1)根据题意得：C1m ＋Cn1 ＝7，即 m＋n＝7①，
f(x)的展开式中的x2的系数为C2m
＋C2n
m（m－1） ＝2
n（n－1） ＋2
m2＋n2－m－n
＝
2

6.3.1二项式定理PPT课件(人教版)

6.3.1二项式定理PPT课件(人教版)

①
①式中的每一项都含有82这个因数，故原式能被64整除.
反思 感悟
利用二项式定理可以解决求余数和整除的问题，通常需将底 数化成两数的和与差的情势，且这种转化情势与除数有密切 的关系.
跟踪训练4 (1)已知n∈N*，求证：1＋2＋22＋…＋25n－1能被31整除.
证明 1＋2＋22＋23＋…＋25n－1＝11－－225n＝25n－1＝32n－1＝(31＋1)n－1 ＝31n＋C1n×31n－1＋…＋Cnn－1×31＋1－1＝31×(31n－1＋C1n×31n－2＋… ＋Cnn－1)， 显然括号内的数为正整数，故原式能被31整除.
反思 感悟
求多项式积的特定项的方法——“双通法”
所 谓 的 “ 双 通 法 ” 是 根 据 多 项 式 与 多 项 式 的 乘 法 法 则 得 到 (a ＋ bx)n(s＋tx)m 的展开式中一般项为：Tk＋1·Tr＋1＝Cknan－k(bx)k·Crmsm－r(tx)r，再 依据题目中对指数的特殊要求，确定 r 与 k 所满足的条件，进而求 出 r，k 的取值情况.
跟踪训练 2
在2
x－
1
6
x
的展开式中，求：
(1)第3项的二项式系数及系数；
解 第 3 项的二项式系数为 C26＝15，
又 T3＝C26(2
x)4－
1x2＝240x，
所以第3项的系数为240.
(2)含x2的项.
解
Tk＋1＝Ck6(2
x)6－k－
1xk＝(－1)k26－kCk6x3－k，
令3－k＝2，解得k＝1，
(2)(1＋2x)3(1－x)4的展开式中，含x项的系数为
A.10
B.－10
√C.2
D.－2

2025届高中数学一轮复习课件《二项式定理》ppt

2025届高中数学一轮复习课件《二项式定理》ppt
3．二项式系数 二项展开式中各项的系数___C_nk__(k∈{0，1，…，n})叫做二项式系数．
高考一轮总复习•数学
第6页
二 二项式系数的性质 1．对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数__相__等_____．
2．增减性与最大值：当 n 是偶数时，中间的一项_________取得最大值；当 n 是奇数时，
高考一轮总复习•数学
第8页
1．判断下列结论是否正确． (1)Crnan－rbr 是(a＋b)n 的展开式中的第 r 项．( ) (2)通项公式 Tr＋1＝Crnan－rbr 中的 a 和 b 不能互换．( √ ) (3)(a＋b)n 的展开式中某项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等，与该项的 二项式系数不同．(√ ) (4)若(3x－1)7＝a7x7＋a6x6＋…＋a1x＋a0，则 a7＋a6＋…＋a1 的值为 128.( )
或者其他量.
高考一轮总复习•数学
第19页
对点练 1(1)在2x－mx 6 的展开式中，若常数项为－20，则实数 m 的值为(
)
A．12
B．－12
C．－2
D．2
(2)(2024·湖北部分重点中学第二次联考)用 1,2,3,4,5 组成没有重复数字的五位数，其中
个位小于百位且百位小于万位的五位数有 n 个，则(1＋x)3＋(1＋x)4＋(1＋x)5＋…＋(1＋x)n
(3)(3
3－2)7 的展开式的通项
Tk＋1＝Ck7·(3
7－k
3)7－k·(－2)k＝Ck7·3 3
·(－2)k(k＝0,1,2,3,4,5,6,7)，
高考一轮总复习•数学
第17页
要使第 k＋1 项为有理数，则7－3 k∈Z，则 k 可取 有理项的求法．

二项式定理 课件

二项式定理 课件
100 的余数.
0
90
91
1
又 992=(10-1)92=C92
·1092-C92
·1091+…+C92
·102-C92
·10+1,
前 91 项均能被 100 整除,后两项和为-919,因余数为正,可从前
面的数中分离出 1 000,结果为 1 000-919=81,故 9192 被 100 除所得
余数为 81.
用1110=(10+1)10的展开式进行证明,第(2)小题则可利用9192=(1009)92的展开式,或利用(90+1)92的展开式进行求解.
9
1
(1)证明 ∵1110-1=(10+1)10-1=(1010+C10
·109+…+C10
·10+1)-1
1
2
=1010+C10
·109+C10
·108+…+102
答案:-56
1.如何正确区分二项展开式中某一项的系数与二项式系数
剖析两者是不同的概念. C (r=0,1,2,…,n)叫做二项式系数,而某
一项的系数是指此项中除字母外的部分.如(1+2x)7 的二项展开式的
第 4 项的二项式系数为C73 =35,而其第 4 项的系数为C73 ·23=280.
2.如何用组合的知识理解二项式定理
二项式定理
1.二项式定理
二项展开式:(a+b)n=C0 + C1 − 1 + ⋯ + C − +
⋯ + C (n∈N*)叫做二项式定理,其中各项的系数C (k∈
{0,1,2,…,n})叫做二项式系数.

第十章 第三节 二项式定理 课件(共47张PPT)

第十章 第三节 二项式定理 课件(共47张PPT)

赋值法求系数和的应用技巧 (1)“赋值法”对形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R)的式子求其展 开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令 x＝1 即可；对形如(ax＋by)n(a， b∈R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令 x＝y＝1 即可． (2)若 f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则 f(x)展开式中各项系数之和为 f(1)， 偶次项系数之和为 a0＋a2＋a4＋…＝f（1）＋2f（－1） ，奇次项系数之和为 a1＋a3＋a5＋…＝f（1）－2f（－1） .令 x＝0，可得 a0＝f(0).
令
x＝1
代入2x－
1 x
6
＝1；
故所有项的系数之和为 1；故选 AC.]
求形如(a＋b)n(n∈N*)的展开式中与特定项相关的量 (常数项、参数值、特定项等)的步骤
(1)利用二项式定理写出二项展开式的通项公式 Tr＋1＝Crn an－rbr，常把字 母和系数分离开来(注意符号不要出错)；
(2)根据题目中的相关条件(如常数项要求指数为零，有理项要求指数为整 数)先列出相应方程(组)或不等式(组)，解出 r；
故选 B.]
3．(x＋1x －2)6(x>0)的展开式中含 x3 项的系数为________．
解析：
法一：因为(x＋1x －2)6＝(
x
－
1 x
)12，所以其展开式的通项公
式为 Tr＋1＝C1r2 (
x
)12－r(－
1 x
)r＝Cr12
(－1)r(
x )12－2r＝Cr12 (－1)rx6－r，由 6
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)Ckn an－kbk 是二项展开式的第 k 项．( ) (2)在二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项．( ) (3)(a＋b)n 的展开式中，每一项的二项式系数与 a，b 无关．( ) (4)(a＋b)n 某项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等，与该项的 二项式系数不同．( ) 答案： (1)× (2)× (3)√ (4)√

二项式定理ppt课件

二项式定理ppt课件
b=29.
题型分类 深度剖析
题型一 求展开式中的特定项或特定项的系数
【例1】在二项式 ( x 1 )n 的展开式中，前三项的 24 x
系数成等差数列，求展开式中的有理项和二项式系
数最大的项.
思维启迪 利用已知条件前三项的系数成等差数
列求出n,再用通项公式求有理项.
解 ∵二项展开式的前三项的系数分别是1，n ，
探究提高 用二项式定理处理整除问题，通常把 底数写成除数（或与除数密切关联的数）与某数的 和或差的形式，再用二项式定理展开，只考虑后面 （或者是前面）一、二项就可以了. 同时，要注意余数的范围，a=cr+b，其中余数b∈ ［0，r），r是除数，利用二项式定理展开变形后， 若剩余部分是负数要注意转换.
(
1)r x
(1)r
Crn
x2n3r ,
常数项是15，则2n=3r,且 C=rn 15，验证n=6时，r=4
合题意.
5.（2009·北京理，6）若（1+ 2）5=a+b 2(a、b为
有理数)，则a+b=
（C ）
A.45
B.55
C.70
D.80
解析 ∵(1+ 2 )5=1+5 2 +20+20 2 +20+4 2 =41+29 2 =a+b 2, 又a、b为有理数,∴ a=41, ∴a+b=41+29=70.
2)3,则a2的值为
（ B）
A.3
B.6
C.9
D.12
解析 ∵x3=［2+（x-2）］3，
∴展开式中含（x-2）2项的系数为
a2=T2+1= C32 ×23-2=3×2=6.

6.3.1二项式定理课件共15张PPT

6.3.1二项式定理课件共15张PPT

和 (a b)3 a 3 3a 2b 3ab 2 b3的概括和推广，
它是以多项式的乘法公式为基础，以组合知识为工具，
用不完全归纳法得到的，其证明可用数学归纳法．
（2）对二项式定理的理解和掌握，要从项数、系数、指
数、通项等方面的特征去熟悉他的展开式．通项公式
Tr 1 C a
r
率9％，按复利计算，10年后收回本金和利息。
试问，哪一种投资更有利？这种投资比另一种投资10年后大约
可多得利息多少元？
分析：本金10万元，年利率11％，按单利计算，10年后的本利和是
10×(1＋11％×10)＝21(万元);
本金10万元，年利率9％，按复利计算，10年后的本利和是10×(1＋
9％)10;
x
60 12 1
64 x 192x 240x 160
2 3
x x
x
3
2
0 n
1 n 1
a

b

C
a

C

n
例题讲评
例2： 求 (2 x
解:
1 6
) 的展开式中
x
的展开式的通项：
根据题意，得
因此， 2 的系数是
x
x 的系数。
艾萨克·牛顿 Isaac
Newton (1643—1727) 英国
科学家．他被誉为人类历史上
最伟大的科学家之一．他不仅
是一位物理学家、天文学家，
还是一位伟大的数学家．
牛顿二项式定理
新课引入
某人投资10万元，有两种获利的可能供选择。一种是年
利率11％，按单利计算，10年后收回本金和利息。另一种是年利

二项式定理-PPT课件

二项式定理-PPT课件
1.3 二项式定理 1.3.1 二项式定理
1
问题提出
1.(a＋b)2和(a＋b)3展开后分别等 于什么？
(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，
(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3.
2
问题提出
2.对于a＋b，(a＋b)2，(a＋b)3， (a＋b)4，(a＋b)5等代数式，数学上统 称为二项式，其一般形式为(a＋b)n
7
问题探究
根据归纳推理，你能猜测出
(a＋b)n(n∈N*)的展开式是什么
吗？
(a b)n
Cn0an Cn1an 1b Cn2an 2b2
C
n n
1abn
1
C nnb n
如何证明这个猜想？
8
大家学习辛苦了，还是要坚持
继续保持安静
9
形成结论
(a b)n Cn0an Cn1an 1b
Cnkan kbk
C nnb n
叫做二项式定理，等式右边叫做二项展
开式，其中各项的系数
C
k n
(k＝0，1，2，
…，n)叫做二项式系数.
10
问题探究
共有n＋1项；字母a的最高次
数为n且按降幂排列；字母b的最高
次数为n且按升幂排列；各项中a与
b的指数幂之和都是n；各项的二项
式系数依次为 b无关.
C
n0,C
n1,C
n2,
13
问题探究
在(a＋b)n的二项展开式中，
Tk 1 Cnkan kbk 叫做二项展开式的通
项，那么(a－b)n的二项展开式的通项
是什么？
Tk 1 ( 1)kCnkan kbk
14
问题探究
(2x＋3y)20的二项展开式的通项是什 么？

《二项式定理》(共17张)-完整版PPT课件全文

《二项式定理》(共17张)-完整版PPT课件全文

展开式的第3项是240x
例1.(2)求(2 x 1 )6的展开式 x
对于例1（2）中，请思考： ①展开式中的第3项的系数为多少？ ②展开式中的第3项的二项式系数为多少？ ③你能直接求展开式的第3项吗？
④你能直接求展开式中 x 2的系数吗？
解：④ Tk1 C6k (2
x)6k ( 1 )k x
(1)k 26k C6k x3k
N*)
①项数： 展开式共有n＋1项.
②次数： 各项的次数均为n
字母a的次数按降幂排列，由n递减到0 , 字母b的次数按升幂排列，由0递增到n .
③二项式系数: Cnk (k 0,1,2,, n)
④二项展开式的通项: Tk1 Cnk ankbk
典例剖析
例1.(1)求(1 1 )4的展开式； x
(2)求(2 x 1 )6的展开式. x
N
*
)
(1)二项式系数： Cnk (k 0,1,2,, n)
(2)二项展开式的通项：Tk1 Cnk ankbk
思想方法：
(1) 从特殊到一般的数学思维方式.
(2) 类比、等价转换的思想.
巩固型作业： 课本36页习题1.3A组第2，4题
思维拓展型作业
二项式系数Cn0 , Cn1,, Cnk ,, Cnn有何性质?
1) x
C62 (2
x )4 (
1 x
)2
C63
(2
x )3 (
1 x
)3
C64
(2
x )2 (
1 )4 x
C65 (2
x )(
1 x
)5
C66
(
1 )6 x
64x3
192x2
240x

二项式定理的推导 教学课件 (共27张PPT) 高中数学北师大版选择性必修第一册

二项式定理的推导 教学课件 (共27张PPT) 高中数学北师大版选择性必修第一册
解：
(1 x)n 1 C1n x C2n x2
Ckn xk
xn
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例 2： 求 x 2 5 的展开式.
解：
(x 2)5
C95 x5 20 C15x4 21 C52 x3 22 C35x2 23 C54 x124 x5 10x4 40x3 80x2 80x 32.
k bk
共有
C
k n
个，将它们合并同类项可得
(a b)n C0nan C1nan 1b
Cknan kbk
Cnnbn n N
对二项式通项的理解 1．二项式通项体现了二项展开式的项数、系数及a与b的指数的变化规律，是 二项式定理的核心，它在求二项展开式的某些特定项（如含指定幂的项、常数 项、中间项、有理项、系数最大项等）或项的系数等方面有着广泛的应用．
A.1
B. 1
C. (1)n
D.3n
解析：1 2C1n 4C2n 8C3n (2)n Cnn
(2)0 C0n
(2)1 C1n
(2)
2
C
2 n
(2)3 C3n
(2)n
C
n n
(1 2)n (1)n
故选:C.
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-x 6.
2．二项式定理是一个恒等式． （1）利用二项式定理可以展开给定的二项式，逆用二项式定理可以化简、求和、 证明．
（2）对于任意的 a，b，该等式都成立．
例如：① (a b)n C0nan
1 C1nan 1b
② 1 x n C0n C1n x Cn2 x2

第三节 二项式定理 课件(共36张PPT)

第三节 二项式定理 课件(共36张PPT)

其展开式的第k＋1项为Tk＋1＝Ck4(x2＋x)4－kyk，
因为要求x3y2的系数，所以k＝2， 所以T3＝C24(x2＋x)4－2y2＝6(x2＋x)2y2. 因为(x2＋x)2的展开式中x3的系数为2， 所以x3y2的系数是6×2＝12.
法二 (x2＋x＋y)4表示4个因式x2＋x＋y的乘积，在 这4个因式中，有2个因式选y，其余的2个因式中有一个 选x，剩下的一个选x2，即可得到含x3y2的项，故x3y2的系 数是C24·C12·C11＝12.
对于几个多项式和的展开中的特定项(系数)问题， 只需依据二项展开式的通项，从每一项中分别得到特定 的项，再求和即可．
角度 几个多项式积的展开式中特定项(系数)问题 [例4] (1)(2x－3) 1＋1x 6 的展开式中剔除常数项后的 各项系数和为( ) A．－73 B．－61 C．－55 D．－63 (2)已知(x－1)(ax＋1)6的展开式中含x2项的系数为0， 则正实数a＝________． 解析：(1)(2x－3)1＋1x6的展开式中所有项的系数和为 (2－3)(1＋1)6＝－64，(2x－3)1＋1x6＝
为( )
A．－1
B．1
C．32
解析：由题意可得CC6162aa54bb＝2＝－13158，，
D．64
解得ab＝＝1－，3，或ab＝＝－3. 1，则(ax＋b)6＝(x－3)6， 令x＝1得展开式中所有项的系数和为(－2)6＝64，故选D. 答案：D
2．(2020·包头模拟)已知(2x－1)5＝a5x5＋a4x4＋a3x3＋
[例2] (1)若(1－x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋ a5x5，则|a0|－|a1|＋|a2|－|a3|＋|a4|－|a5|＝( )

二项式定理课件

二项式定理课件

例题讲解
例2. (x
1 x
)9
的展开式中x3的系数.
归纳小结
1.注意二项式定理 中二项展开式的特征 2.区别二项式系数，项的系数及项； 3.掌握用通项公式求二项式系数，项的系数及项。
课后作业
课本31页练习及本节教辅
课后思考
在（x2 + 3x + 2）5 的展开式中，x的系数为多少？
C
0 n
C n1x
Cn2x 2
Cnrx r
C
n n
x
n
类比思考
1.问(a＋b)n与(b＋a)n的展开式是否相同？
2. (a-b)n的展开式形式？
(a b)n Cn0an Cn1an 1b Cn2an 2b2
( 1)nCnnbn
例题讲解
例1.求 (2 x 1 )6 的展开式。 x
例2. (1＋2x)7的展开式中第4项的二项式系数和系数分别是什么？
探究发现
从组合的角度看待的(a＋b)4展开式。
(a+b)4 ＝ C40 a4 ＋C41 a3b ＋ C42 a2b2 ＋ C43 ab3 ＋ C44 b4
发现定理
从组合的角度看待的(a＋b)n展开式。
(a
b)n
C
0 n
a
n
C
1 n
a
n
1b
C n2a n2b 2
Hale Waihona Puke Cr na
n
r
b
r
C nnbn
二项式定理
定理背景
1.什么是二项式？
对于a＋b，(a＋b)2，(a＋b)3等代数式，数学上统称为二项式，其一般形式为(a＋b)n （n∈N*）

《二项式定理》课件

《二项式定理》课件
二项式系数是组合数的一种形式，记 为$C(n, k)$，表示从n个不同元素中 选取k个元素的组合数。
二项式定理的应用场景
01
02
03
04
在数学领域，二项式定理常用 于解决组合数学问题，如排列
、组合、概率等。
在物理领域，二项式定理可以 用于计算各种物理量的展开式 ，如力学、电磁学、光学等领
域。
在计算机科学领域，二项式定 理可以用于快速算法设计、数
详细描述
切比雪夫二项式定理是由切比雪夫发现的一种数学定理，它适用于解决与切比雪 夫多项式相关的问题。该定理可以用来计算切比雪夫多项式的系数，从而得到一 些重要的数学结论。
贝塞尔二项式定理
总结词
贝塞尔二项式定理是二项式定理的一 种特殊形式，它适用于解决与贝塞尔 函数相关的问题。
详细描述
贝塞尔二项式定理是由贝塞尔发现的 一种数学定理，它适用于解决与贝塞 尔函数相关的问题。该定理可以用来 计算贝塞尔函数的系数，从而得到一 些重要的数学结论。
总结词
牛顿二项式定理是二项式定理的一种特殊形式，它适用于解决特定的问题，如 无穷级数求和等。
详细描述
牛顿二项式定理是由牛顿发现的一种数学定理，它适用于解决一些特定的问题 ，如无穷级数求和等。该定理可以用来计算二项式展开式的系数，从而得到一 些重要的数学结论。
切比雪夫二项式定理
总结词
切比雪夫二项式定理是二项式定理的一种特殊形式，它适用于解决与切比雪夫多 项式相关的问题。
04
二项式定理的扩展与推广
二项式定理的扩展形式
扩展到多于两项的乘积
扩展到无穷级数
二项式定理可以扩展到多项式乘积的 形式，即$(a+b+c)^n$的展开形式。

1.5二项式定理PPT优秀课件

1.5二项式定理PPT优秀课件

2）注意区别二项式系数与项的系数的概念
二项式系数为 C
r n
；
项的系数为：二项式系数与数字系数的积
3）求二项式系数或项的系数的一种方法是将
二项式展开
例3、求（x+a)12的展开式中的倒数第4项
解: ( x a ) 1 2 的 展 开 式 有 1 3 项 , 倒 数 第 4 项 是 它 的 第 1 0 项 . T 9 1C 1 9 2x1 2 9a 92 2 0x3a 9.
例 4 、 ( 1 ) 求 （ 1 + 2 x ) 7 的 展 开 式 的 第 4 项 的 系 数
( 2 ) 求 （ x 1 )9 的 展 开 式 中 x 3 的 系 数 和 中 间 项 x
解: ( 1 ) T 3 1 C 7 3 1 7 3 ( 2 x ) 3 2 8 0 x 3 第四项系数为280.
第= 6 三C 4 6 项4 x (3 2 的x 二)1 2项9 2 式C x 6 5 系(2 2 数 x为)2 4 CC 0 626 6 x ] 11 56 0 6 x 0 1 x 2 2 x 1 3 第六项的系数为 C652(1)512
注：1）注意对二项式定理的灵活应用
由 9 (2 2 r )T r 3 1, 得 C r 9 rx = 9 3 r . (故 1 x x )3 的 r 系 ( 数 1 )r为 C 9 r( x- 9 1 2r) .3 C 9 3 8 4 .
中 间 一 项 是 第 5 项 ,T 4 1 C 8 4 x 8 4 ( 1 x)4 7 0 .
Cnr an-rbr：二项展开式的通项，记作Tr+1 Cnr ： 二项式系数
注1）．二项展开式共有n+1项 2）．各项中a的指数从n起依次减小1，到0为此

二项式定理课件ppt

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二项式定理的应用举例
04
求解某些特定形式的幂级数展开式
01
幂级数展开式的求解
二项式定理可以用于求解某些特定形式的幂级数展开式 ，例如$(a+b)^n$的展开式。
02
泰勒级数展开
利用二项式定理，我们可以求解一些函数的泰勒级数展 开，从而得到函数在某个点的近似值。
03
幂级数的求和
对于一些特定的幂级数，我们可以利用二项式定理找到 其求和的方法。
其中，C(n,k)表示从n个不同元素中取出k个元素的组合数。
二项式系数的性质
二项式系数是组合数的推广 ，它具有与组合数相同的性 质，例如
1. 对称性：对于任何自然数n ，C(n,k) = C(n,n-k)。
2. 递推性：C(n+1,k) = C(n,k-1) + C(n,k)。
3. 组合恒等式：C(n,k) + C(n,k-1) = C(n+1,k)。
二项式定理的历史背景
二项式定理最初由牛顿在17世纪发 现，用于解决一些特殊的数学问题。
之后，许多数学家都对二项式定理进 行了研究和推广，使其成为现代数学 中的基本工具之一。
二项式定理的意义与应用
01
二项式定理是组合数学的基础，可以帮助我们理解和分 析一些组合问题的内在规律。
02
在统计学中，二项式定理可以用于计算样本数量较少时 的置信区间和置信度。
深化理解的进阶题目
总结词
深入理解概念
详细描述
在基本掌握二项式定理的基础上，通过解决 一些相对复杂的进阶题目，帮助学生深入理 解二项式定理的概念和变形方式，进一步提 高解题能力。
有趣的开放性问题
总结词
激发学习兴趣
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开普勒行星运动三定律
[探究1] 行星运动绕太阳运动的轨道是
什么形状？
圆？
地球
年份 春分 夏至 秋分 冬至 2004 3/20 6/21 9/23 12/21 2005 3/20 6/21 9/23 12/21 2006 3/21 6/21 9/23 12/21
春92天 夏94天
秋89天
秋冬两季比春夏两季时间短
周期为T，如果飞船要返回地面，可在轨道上的某 一点A处，将速率降低到适当数值，从而使飞船 沿着以地心为焦点的特殊椭圆轨道运动，椭圆和 地球表面在B点相切，如图所示，如果地球半径 为R，求飞船由A点到B点所需的时间。
R
B
R0
A
3)．你能分析说明各项前的系数吗？ a4 a3b a2b2 ab3 b4
每个都不取b的情况有1种，即C40 ,则a4前的 系数为C40
恰有1个取b的情况有C41种，则a3b前的系数为C41
恰有2个取b的情况有C42 种，则a2b2前的系数为C42
恰有3个取b的情况有C43 种，则ab3前的系数为C43
1、多数行星绕太阳运动的轨道十分 接近圆，太阳处在圆心；
2、对某一行星来说，它绕太阳做圆 周运动的角速度（或线速度大小） 不变，即行星做匀速圆周运动；
3、所有行星轨道半径的三次方跟它 的公转周期的二次方的比值都相等。
• [课堂训练]
• 1．下列说法正确的 是…………………………( )
• A．地球是宇宙的中心，太阳、月亮及其他行 星都绕地球运动
每个都不取b的情况有1种，即C20 ,则a2前的系 数为C20 恰有1个取b的情况有C21种，则ab前的系数为C21 恰有2个取b的情况有C22 种，则b2前的系数为C22
(a+b)2 = a2 +2ab+b2 ＝C20 a2 + C21 ab+ C22 b2
(a+b)3=a3 + 3a2b+3ab2 + b3
Cnr an-rbr：二项展开式的通项，记作Tr+1 Cnr ： 二项式系数
注1）．二项展开式共有n+1项
2）．各项中a的指数从n起依次减小1，到0为此
各项中b的指数从0起依次增加1，到n为此 如(1+x)n =1+ Cn1 x+ Cn2 x2＋ … ＋Cnr xr ＋…+ xn
应用
例1：展开（1＋ 1 )4
(2)求（x 1 )9的展开式中x3的系数和中间项 x
解: (1)T31 C73 g173 (2x)3 280x3 第四项系数为280.
由9 (22r)Tr31 ,得Cr9r x=93r.(故 1xx)3r的系(数1)r为C9r(x9-12r).3C93 84.
中间一项是第5项,T41
C84 x84 (
27.322
K值
3.36×1018 3.35×1018 3.31×1018 3.36×1018
结论
k值与中心天体有关， 而与环绕天体无关
观察九大行星图思考
1、冥王星离太阳 “最远”，绕太阳运 动的公转周期最长， 对吗？
2、金星与地球都在 绕太阳运转,那么金 星上的一天肯定比24 小时短吗?
实际上行星绕太阳的运动很 接近圆，在中学阶段，可近似 看成圆来处理问题，那么开普 勒三定律的形式又如何？
(2x 1)6 C62 (2x)4
C63 (2x)3
C64 (2x)2 C65 (2x) C66 ]
=64x3 192x2 240x 160
第三项的二项式系数为 C62 15
60 x
12 x2
1 x3
第六项的系数为 C65 g2(1)5 12
注：1）注意对二项式定理的灵活应用
2）注意区别二项式系数与项的系数的概念
椭圆的一个焦点上． • 3．知道所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周
期的二次方的比值都相等，且这个比值与行星的质量无关， 但与太阳的质量有关． • 4．理解人们对行星运动的认识过程是漫长复杂的，真理 是来之不易的． • 过程与方法 • 通过托勒密、哥白尼、第谷·布拉赫、开普勒等几位科 学家对行星运动的不同认识，了解人类认识事物本质的曲 折性并加深对行星运动的理解．
• 教学难点 • 对开普勒行星运动定律的理解和应用，通过本节的学习
可以澄清人们对天体运动神秘、模糊的认识．
• 教学方法 • 探究、讲授、讨论、练习 • 教具准备 • 挂图、多媒体课件
太阳系
古人对天体运动有 哪些看法？
科学的足迹
1、地心说
代表人物：托勒密
观点： 地球是宇宙的中心， 是静止不动的，太阳、月 亮以及其他行星都绕地球 运动。
1.5 二 项 式 定 理
引入
(a+b)2 = a2 +2ab+b2 (a+b)3=a3 + 3a2b+3ab2 + b3
那么将(a+b)4 ，(a+b)5 . . .展开后，它们 的各项是什么呢？
对(a+b)2展开式的分析
(a+b)2＝ (a+b) (a+b) 展开后其项的形式为：a2 ， ab ， b2 考虑b
1)4 x
70.
练习：
1、求
(
x
3 )9 的展开式常数项
3x
解:
Tr 1
C9r
( x )9r 3
(
3 )r x
C9r
(
1)9r 3
3r
9r
x
1 2
r
由9-r-
1 2
r
0得r
6.
T7
C96
(1 3
)96
36
2268
练习：
2、求 ( x 3 )9的展开式的中间两项
解:
3x
展开式共有10项,中间两项是第5、6项。
二项式系数为
C
r n
；
项的系数为：二二项式展开
例3、求（x+a)12的展开式中的倒数第4项
解: (x a)12的展开式有13项,倒数第4项是它的第10项.
T91 C192 x129a9 220x3a9.
例4、(1)求（1+2x)7的展开式的第4项的系数
表达式： a3 T2
半长轴
=k
行星绕太阳公转 的周期
探究2：
行星 半长轴(x106km) 公转周期(天)
水星
57
87.97
金星
108
225
地球
149
365
火星
228
687
木星
778
4333
土星
1426
10759
天王星
2869
30686
海王星
4495
60188
同步卫星 0.0424
1
月球
0.3844
科学的足迹
2、日心说
哥白尼：拦住了太阳，推动了地球
观点：太阳是静止不动的，地球和其他行 星都在绕太阳做匀速圆周运动。
科学的足迹
3、日心说的进一步完善
(1)天才观察者： 第谷·布拉赫
第 谷（丹麦）
把天体位置测量的误差由10/ 减少到2/
科学的足迹
3、日心说的进一步完善
• (2) 开普勒： • 真理超出希望
• B.太阳是宇宙的中心，所有天体都绕太阳运动
• C.太阳是静止不动的，地球和其他行星都绕太 阳运动
• D．“地心说”和哥白尼提出的“日心说”现 在看来都是不正确的
• 分析；“地心说”是错误的，所以A不正 确．太阳系在银河系中运动，银河系也在 运动，所以，B、C不正确，D正确．
课堂训练
2、神舟六号沿半径为R的圆周绕地球运动，其
= C30a3 +C31a2b+C32ab2 +C33 b3
(a+b)4＝ (a+b) (a+b) (a+b) (a+b)＝？
问题：
1)．(a+b)4展开后各项形式分别是什么？ a4 a3b a2b2 ab3 b4
2)．各项前的系数代表着什么？ 各项前的系数 就是在4个括号中选几个 取b的方法种数 3)．你能分析说明各项前的系数吗？
冬90天
若是匀速圆 周运动……
开普勒（德国）
第 谷（丹麦）
↓
↓
四年多的刻苦计算 → 8分的误差 ←二十年的精心观测
↓
否定19 种假设
↓
行星轨道为椭圆
假设地球绕太阳的运动是一个椭 圆运动,太阳在焦点上,根据曲线运动的 特点，得在秋分到冬至再到春分的时 间比从春分到夏至再到秋分的时间短， 所以秋冬两季比春夏两季要短。
• 情感、态度与价值观 • 1．澄清对天体运动裨秘、模糊的认识，掌握人类认识
自然规律的科学方法．
• 2．感悟科学是人类进步不竭的动力． • 教学重点 • 理解和掌握开普勒行星运动定律，认识行星的运动．学
好本节有利于对宇宙中行星的运动规律的认识，掌握人类 认识自然规律的科学方法，并有利于对人造卫星的学习．
T5
T41
C94
(
x 3
)94
(
3 )4 x
42x3
T6
T51
C95
(
x 3
)95
(
3
)5
3
42x 2
x
小结
1）注意二项式定理 中二项展开式的特征
2）区别二项式系数，项的系数
3）掌握用通项公式求二项式系数，项的系 数及项
高中物理新人教版 必修２系列课件
6.1《行星的运动》
教学目标
• 知识与技能 • 1．知道地心说和日心说的基本内容． • 2．知道所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在