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第07章 应力与应变分析(作业解答)

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ε 45o =
−
−γ 2
sin 90o
=
γ 2
∴ γ = 2ε 45o
τ
= Gγ
=
E 2(1 +
ν
)
2ε
45o
=
Eε 45o (1 +ν )
= 16M e πd 3
7-2
∴Me
=
Eε 45o πd 3 16(1 + ν )
7-10 从 钢 构 件 内 某 点 周 围 取 出 的 单 元 体 如 图 所 示 。 已 知
解：
体积应变为：θ
=
1 − 2ν E
(σ 1
+σ
2
+σ3)
a
单元体的体积应变为：θ a
=
1 − 2ν E
(3 × 300) = 900 1 − 2ν
E
b
单元体的体积应变为：θ b
=
1 − 2ν E
(1000
+
300
−
400) =
900 1 − 2ν E
∴ 二单元体的体积改变完全相同。
解：
1．求对角线 AC 方向及其垂直方向的应力
( ) ( ) σ 30o
= 30 + 30 × cos 60o 22
− (−15)× sin 60o
MPa = 35.5MPa
( ) ( ) σ120o
= 30 + 30 × cos 240o 22
− (−15)× sin 240o
MPa = −5.5MPa
2．求对角线 AC 方向的应变
( ) ε30o
=
1 E
σ 30o
− νσ 120o
=
1 200 ×103
× (35.5
+
0.3× 5.5) = 186 ×10−6
3．求对角线 AC 方向的长度改变
Δl AC
= ε 30o
⋅ lAC
= 186 ×10−6
×Leabharlann 25 sin 30omm
= 9.3×10−3 mm
7-3
tan2α 0
= − 2τ xy σx −σ y
= − 2 × 20 50
= − 4 ，故 5
α 0 = −19.3o 或70.7o
τ max
=
σ1
−σ3 2
=
57 − (− 7) MPa
2
= 32MPa
7-7 试求图示应力状态的主应力和最大切应力（图中应力单位为 MPa ）。
50 50
解： (a)
τA
= TA Wp
= 16TA πd 3
= 16 ×160 ×103 π × 203
MPa = 101.9MPa
B 点： TB = −80N ⋅ m
τB
= TB Wp
= 16TB πd 3
=
−
16
×（− 80 × π × 203
103）MPa
= −50.9MPa
AB 点的单元体如图所示，图中应力单位为 MPa
(a)
7-1
解： (a) σ x = 50MPa ， σ y = 0 ，τ xy = 20MPa
( ) σ
σ
max min
⎫ ⎬ ⎭
=
σx
+σ y 2
±
⎜⎜⎝⎛ σ x
−σ y 2
⎟⎟⎠⎞2
+
τ xy
2
= 50 ± 2
⎜⎛ ⎝
50 ⎟⎞2 2⎠
+
202
MPa
=
⎧ 57.0 ⎩⎨− 7.0 MPa
∴ σ 1 = 57.0MPa ， σ 2 = 0 ， σ 3 = −7.0MPa
(a)
σ 1 = σ 2 = 50MPa ， σ 3 = −50MPa
τ max
=
σ1
−σ3 2
=
50 − (− 50) MPa
2
=
50MPa
7-8 图 示 直 径 d = 20 mm 的 钢 质 受 扭 圆 轴 ， 钢 的 弹 性 模 量
E = 210 GPa ，泊松比ν = 0.3 。现由电测法测得圆轴表面上与母线成
σ = 30 MPa ，τ = 15 MPa ，钢的弹性模量 E = 200 GPa ，泊松比ν = 0.3 。
试求对角线 AC 的长度改变。
B
τ
C
σ 25
30
A
C
7-16 有 a 和 b 两个单元体，已知 a 单元体上的三个主应力为
σ 1 = σ 2 = σ 3 = 300 MPa ，b 单元体上的三个主应力为 σ 1 = 1000 MPa ， σ 2 = 300 MPa ，σ 3 = −400 MPa 。试问这二个单元体的体积改变有无 差异？
−νσ −45o
= 1 +ν τ = 1 +ν ⋅ 16M e
E
E πd 3
可求得
Me =
E π d 3ε 45o
16(1+ν )
=
210 ×109
×π
× 203 ×10−9
16(1 + 0.3)
× 520 ×10−6
N⋅m
= 131.9N
⋅m
方法 2： ε x= ε y = 0 γ xy = −γ
7-4 已知应力状态如图所示（图中应力单位为 MPa ），试用解析 法求：
(1) 主应力的大小和主平面的方位； (2) 在单元体上绘出主平面的位置和主应力的方向； (3) 最大切应力。
20 σ 3
50 α0 = −19.33o
σ1
7-2 试用解析法求图示单元体斜截面 ab 上的应力（图中应力单
位为 MPa ）。
σ
x′
=
−40 + 2
0
+
−40 − 2
0
cos120o
−
20sin120o MPa
=
−27.3MPa
τ x′y′ =
−40 − 0 sin 120o + 20 cos120o MPa = −27.3MPa 2
解：
(a) A 点
(a) B 点
(a)
A 点： TA = 240N ⋅ m − 80N ⋅ m = 160N ⋅ m
45o 方向的线应变为 ε 45o = 520 ×10−6 ，试求圆轴所承受的外力偶矩
Me。
MT e
MT e
τ
45°
d
τ
解：
方法 1：
围绕圆轴表面截取单元体，为纯剪切应力状态如图所示，
τ = 16M e πd 3
故 σ 45o = τ ， σ −45o = −τ
( ) 其中
ε 45o
=
1 E
σ 45o
第七章 应力与应变分析
7-1 试用单元体表示图示构件中 A、B 点的应力状态，并求出单 元体上的应力数值。
(a)
240N .m
80N.m
A . ..
. B
.. ..
φ 20
101.9
50.9
20
a 30
40
b
(b) 解：
(b) σ x = −40MPa ， σ y = 0 ，τ xy = 20MPa ，α = 60o

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材料力学带答疑

材料力学带答疑

第七章应力和应变分析强度理论1.单元体最大剪应力作用面上必无正应力答案此说法错误（在最大、最小正应力作用面上剪应力一定为零；在最大剪应力作用面上正应力不一定为零。

拉伸变形时，最大正应力发生在横截面上，在横截面上剪应力为零；最大剪应力发生在45度角的斜截面上，在此斜截面上正应力为σ/2。

）2. 单向应力状态有一个主平面，二向应力状态有两个主平面答案此说法错误（无论几向应力状态均有三个主平面，单向应力状态中有一个主平面上的正应力不为零；二向应力状态中有两个主平面上的正应力不为零）3. 弯曲变形时梁中最大正应力所在的点处于单向应力状态答案此说法正确（最大正应力位于横截面的最上端和最下端，在此处剪应力为零。

）4. 在受力物体中一点的应力状态，最大正应力作用面上切应力一定是零答案此说法正确（最大正应力就是主应力，主应力所在的面剪应力一定是零）5.应力超过材料的比例极限后，广义虎克定律不再成立答案此说法正确（广义虎克定律的适用范围是各向同性的线弹性材料。

）6. 材料的破坏形式由材料的种类而定答案此说法错误（材料的破坏形式由危险点所处的应力状态和材料的种类综合决定的）7. 不同强度理论的破坏原因不同答案此说法正确（不同的强度理论的破坏原因分别为：最大拉应力、最大线应变、最大剪应力、形状比能。

）二、选择1.滚珠轴承中，滚珠与外圆接触点为应力状态。

A：二向； B：单向C：三向D：纯剪切答案正确选择C（接触点在铅垂方向受压，使单元体向周围膨胀，于是引起周围材料对接触点在前后、左右方向的约束应力。

）2.厚玻璃杯因沸水倒入而发生破裂，裂纹起始于。

A：内壁 B：外壁 C：内外壁同时 D：壁厚的中间答案正确选择：B （厚玻璃杯倒入沸水，使得内壁受热膨胀，外壁对内壁产生压应力的作用；内壁膨胀使得外壁受拉，固裂纹起始于外壁。

）3. 受内压作用的封闭薄壁圆筒，在通过其壁上任意一点的纵、横两个截面中。

A：纵、横两截面均不是主平面； B：横截面是主平面、纵截面不是主平面；C：纵、横二截面均是主平面； D：纵截面是主平面，横截面不是主平面；答案正确选择：C （在受内压作用的封闭薄壁圆筒的壁上任意取一点的应力状态为二向不等值拉伸，其σx =pD/4t、σy=pD/2t。

工程力学7第七章应力状态和应变状态分析

工程力学7第七章应力状态和应变状态分析


x y x y cos 2 x sin 2 2 2 x y sin 2 x cos 2 2
0
x y
2
(
x y
2
)
2
2
2 x
y
y
y
2
090
0
x y
2
(
x y
2
2、为什么要研究一点的应力状态 单向应力状态和纯剪切应力状态的强度计算
σmax≤ [σ] τ
max≤[τ
]
梁截面上的任意点的强度如何计算？
分析材料破坏机理
F F F F T
T
3、怎么研究一点的应力状态
单元体
•各面上的应力均匀分布





• 相互平行的一对面上 应力大小相等、符号相同
满足：力的平衡条件 切应力互等定理
§7-2 平面应力状态分析
一、解析法:
1.任意斜面上的应力 y

y

y
y
y
n
y

x
a
x

e
d
x

x
x
bz
x
x

x
e
x
x




y


f
yy
x
x

b


c
y

y

y
f t
应力的符号规定同前 α角以从x轴正向逆时针 转到斜面的法线为正
(设ef的面积为dA)
x y x y cos 2 x sin 2 2 2 x y sin 2 x cos 2 2
第七章应力状态及应变状态分析

第七章应力状态及应变状态分析

第七章 应力状态及应变状态分析第一节 概 述在第一章中将应力定义为内力的集度或单位面积的内力值。

应力又分正应力σ和剪应力τ两种。

前面各章的知识表明，受力杆件中任一点的应力是随截面位置及点的位置的不同而不同，如7-1（a ）中a 、b 两点分别在两个截面上，其应力是不同的。

同一截面上的各点，如图7-1（b ）中b 、c 两点的应力一般情况下也是不同的。

同一点不同方向的应力也是不同的。

过一点各个方向上的应力情况称为该点的应力状态．．．．，应力状态分析就是要研究杆件中某一点（特别是危险点）各个方向上的应力之间的关系，确定该点处的最大正应力和最大剪应力，为强度计算提供重要依据。

研究应力状态的方法是过杆件中的任一点取出一个微小的六面体——单元．．体．。

如图7-1（a ）中过a 点取出的单元体放大如图7-2所示。

单元体三个方向的边长很小且趋于零，则该单元体代表一点，即a 点，互相平行的平面上的正应力相等，剪应力也相等。

杆件在任意荷载作用下，从中所取出的单元体表面上一般既有正应为又有剪应力，如图7-2所示。

当图7-2所示的单元体各面上的,0,0,0,0,0,0======zy zx yx yz xz xy ττττττ 即六个面上均没有剪应力作用时，这种面叫做特殊平面，并定义为主平面．．．。

该主(a)(b)图7-1各点的应力情况平面上作用的正应力称为主应力．．．，用,,,321σσσ表示（,321σσσ≥≥），如图7-3所示。

各面均为主平面的单元体，称为主单元体．．．．。

三个主应力中若有两个等于零一个不等于零，该单元体称为单向应力状态．．．．．．，如图7-4（a ）；三个主应力中有一个等于零，两个不等于零，该单元体称为二向应．．．力状态．．．，如图7-4（b ）；三个主应力均不等于零，该单元体称为三向应力状态．．．．．．，如7-3。

单向应力状态和二向应力状态属平面应力状态，三向应力状态属空间应力状．．．．．态．。

7.应力应变状态典型习题解析

7.应力应变状态典型习题解析


τx 10 MPa ) = arctan(− ) = −22.5 D 40 MPa − 15.9 MPa σ x − σ min
所以主应力 σ 1 对应的方位为 − 22.5 D 。 3、计算最大切应力
τ max =
σ1 − σ 3
2
=
44.1MPa − 0 = 22.1MPa 2
讨论：当采用公式 tan 2α 0 = −
3 4 m bh 3 60 × 10 −3 × (100 × 10 −3） = = 500 × 10 −8 m 4 12 12
1 点处弯曲正应力（压应力）
σ=
My 10 × 10 −3 N ⋅ m × 50 × 10 −3 m = = 100 × 10 6 Pa = 100MPa 500 × 10 −8 m 4 Iz
3 自受力构件内取一微体，其上承受应力如图 a 所示， τ x = σ / 3 。试求此点的主应力及主 平面微体。
σ
a a
τ
τ σx
τx
τ
y x
σ/3
σ/3
60o c
60o b d b
σ
σ
σ
(a)
(b) 题3图
3
(c)
解题分析：本题微体为一三角体。为使用极值应力计算公式，应首先建立直角坐标系并确定
(b)
解：建立 σ 、 τ 坐标系，设OC=σ1=σ2=σ3，拉应力时见图a，压应力时见图b。 ６ 用 直 角 应 变 花 测 得 构 件 表 面 上 一 点 处 三 个 方 向 的 线 应 变 分 别 为 ε 0 = 700 × 10 ，
-6
ε 45D = 350 × 10 -6 ， ε 90D = −500 × 10 -6 ，试作应变圆，求该点处的主应变数值。