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7.应力应变状态典型习题解析

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应力状态练习题详解

应力状态练习题详解

图1-23（题19）图1-24（题20）解：由题意得知塑性区一点在与x轴交成θ角的一个平面上的切应力为为最大切应力此可以判断该平面为主剪平面，又由于切应力方向为逆时针，因此切应力为负，图1-25θτθσσos2c K Ksin2xy y =-=-32xy y x 210-1.13125-I ⨯==γεε0I 3=即：0101.13125-101.0-32-23=⨯⨯-εεε 解方程得主应变：0,0.029-0.039,321===εεε由：3-3-1000002900039n m l 100000532.5032.515⨯⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⨯⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛得： 1m l 39m 5.32l 1522=+=+ 解这个方程得：m 1=0.5575, m 2=5.16。

由于m 2=5.16＞1，与方向余弦规定不符，因此，m 1=0.5575才是正确解。

由此得：l=0.689。

即ε1=-0.039时，方向余弦为：l=0.689，m=0.5575，n=0。

同理可求：ε2=0.029时，方向余弦为：l=0.8025，m=0.5966，n=0。

图4-16 (题15))()532493=++=σ两端封闭的细长薄壁管平均直径为r，平均壁厚为l，承受内压力管材各向同性，试计算切向、轴向及径向应变增量比及应变比。

=0.2 Y =0.2×746ε0.20=129.9MPa max，图6-11（题2）解：从变形区内取一单元体作受力分析。

单元体的高度为平板间的高度，长度为一个单位。

假定是主应力且均匀分布，当沿x 轴坐标有相应的变化量就可用微分d σx 来表示。

y 方向上的压应力用的方向同金属质点流动方向相反，设每侧槽壁所受的压力p ，如图所示。

列出单元体的微分平衡方程：02)(=-+dx f h d y x x σσσ 02=⋅⋅+dx f y σ。

图6-12（题3）解：圆柱压缩为轴对称问题，采用柱座标。

材料力学：第八章-应力应变状态分析

材料力学：第八章-应力应变状态分析

斜截面: // z 轴； 方位用 a 表示；应力为 sa , ta
正负符号规定:
切应力 t － 使微体沿顺时针 旋转为正 方位角 a － 以 x 轴为始边、逆时针旋转 为正
斜截面应力公式推导 设α斜截面面积为dA, 则eb侧面和bf 底面面积分别为dAcosα, dAsinα
由于tx 与 ty 数值相等，同时
sa+90 ,ta+90
E
sa+90 ,ta+90
结论: 所画圆确为所求应力圆
应力圆的绘制与应用3
应力圆的绘制
已知 sx , tx , sy ,
画相应应力圆
t
先确定D, E两点位置, 过此二点画圆即为应力圆
Ds x ,t x , E s y ,t y
t
C OE
s 2 , 0
s 1 , 0
应力圆绘制 作D, E连线中垂线,与x轴相交即为应力圆圆心
tb sb
t
sa
O
C
ta
D
sa ,ta
t
s
E
sb ,tb
O
D
sa ,ta
C
s
E
sb ,tb
由|DC|=|CE|,可得sC值:
sC
s
2 β
+
t
2 β
s
2 α
+
t
2 α
2 sα sβ
点、面对应关系
转向相同, 转角加倍 互垂截面, 对应同一直径两端
应变状态
构件内一点处沿所有方位的应变总况或集合, 称为该点处的 应变状态
研究方法
环绕研究点切取微体, 因微体边长趋于零, 微体趋于所研究 的点, 故通常通过微体, 研究一点处的应力与应变状态
7.应力应变状态典型习题解析

7.应力应变状态典型习题解析


τx 10 MPa ) = arctan(− ) = −22.5 D 40 MPa − 15.9 MPa σ x − σ min
所以主应力 σ 1 对应的方位为 − 22.5 D 。 3、计算最大切应力
τ max =
σ1 − σ 3
2
=
44.1MPa − 0 = 22.1MPa 2
讨论：当采用公式 tan 2α 0 = −
3 4 m bh 3 60 × 10 −3 × (100 × 10 −3） = = 500 × 10 −8 m 4 12 12
1 点处弯曲正应力（压应力）
σ=
My 10 × 10 −3 N ⋅ m × 50 × 10 −3 m = = 100 × 10 6 Pa = 100MPa 500 × 10 −8 m 4 Iz
3 自受力构件内取一微体，其上承受应力如图 a 所示， τ x = σ / 3 。试求此点的主应力及主 平面微体。
σ
a a
τ
τ σx
τx
τ
y x
σ/3
σ/3
60o c
60o b d b
σ
σ
σ
(a)
(b) 题3图
3
(c)
解题分析：本题微体为一三角体。为使用极值应力计算公式，应首先建立直角坐标系并确定
(b)
解：建立 σ 、 τ 坐标系，设OC=σ1=σ2=σ3，拉应力时见图a，压应力时见图b。 ６ 用 直 角 应 变 花 测 得 构 件 表 面 上 一 点 处 三 个 方 向 的 线 应 变 分 别 为 ε 0 = 700 × 10 ，
-6
ε 45D = 350 × 10 -6 ， ε 90D = −500 × 10 -6 ，试作应变圆，求该点处的主应变数值。
应力状态与应变状态例题

应力状态与应变状态例题

A.（1）正确、（2）不正确；
B.（1）不正确、（2）正确；
C.（1）、（2）都正确；
D.（1）、（2）都不正确。
若构件内危险点的应力状态为二向等拉，则除 （ B ）强度理论以外，利用其他三个强度理论得到 的相当应力是相等的。
A.第一； B.第二； C.第三； D.第四；
r1
r2
r3 1 3
第二强度理论
3
＝
1＋
1－（2＋3）
对于铸铁: 0.25
1 3 2
2
（1＋）
0.8
0.5
1
2
1
2 2
2
3 2
3
1 2
3
0.6
基本习题结束
铸铁水管冬天结冰时会因冰膨胀而被胀裂， 而管内的冰却不会破坏。这是因为（ B ）。
第一强度理论
1 ＋
23 11
x 10， y 23， xy 11
max
min
x y
2
x
2
y
2
2 x
10
29.8MPa
3.72MPa
(单位 MPa)
1 29.28MPa，2 3.72MPa，3 0
1 29.28MPa< 30MPa
故满足强度要求。
某结构上危险点处的应力状态如图所示，其中σ＝ 116.7MPa，τ＝46.3MPa。材料为钢，许用应力［σ］＝ 160MPa。试用第三、第四强度理论校核此结构是否安全。
xy
cos 2
0
故所给45度方向是主应力方向。
一受扭圆轴,直径d=20mm,圆轴的材料为 钢,E=200GPa,ν=0.3。现测得圆轴表面上与轴线成450 方向的应变为ε=5.2×10-4,试求圆轴所承受的扭矩。
《材料力学》第7章-应力状态和强度理论-习题解

《材料力学》第7章-应力状态和强度理论-习题解

解：左支座为A，右支座为B，左集中力作用点为C，右集中力作用点为D。
支座反力: (↑)
=
（1）梁内最大正应力发生在跨中截面的上、下边缘
超过 的5。3％，在工程上是允许的。
（2）梁内最大剪应力发生在支承截面的中性轴处
(3)在集中力作用处偏外侧横截面上校核点a的强度
超过 的3.53%，在工程上是允许的。
解：坐标面应力:X（—0。05，0);Y（-0.2,0）
。根据以上数据作出如图所示的应
力圆。图中比例尺为 代表 。
按比例尺量得斜面的应力为：
按习题7—5得到的公式计算如下：
作图法(应力圆法)与解析法（公式法）的结果一致。
［习题7-7]试用应力圆的几何关系求图示悬臂梁距离自由端为 的截面上，在顶面以下 的一点处的最大及最小主应力,并求最大主应力与 轴之间的夹角。
解：
…………(1)
…………（2)
（1)、(2)联立,可解得 和 。
至此,三个面的应力均为已知：X（ ，0），Y（ ，0）（ , 均为负值）;
( ）。由X，Y面的应力就可以作出应力圆。
[习题7-12]一焊接钢板梁的尺寸及受力情况如图所示,梁的自重略去不计。试示 上 三点处的主应力。
解:（1）求 点的主应力
解：坐标面应力：X（15,15）,Y(0，-15）
第一强度理论：
因为 ， ，即 ，
所以 符合第一强度理论的强度条件，构件不会破坏，即安全.
第二强度理论：
因为 ,
，即 ，
所以 符合第二强度理论的强度条件，构件不会破坏，即安全。
[习题7—25]一简支钢板梁承受荷载如图a所示，其截面尺寸见图b。已知钢材的许用应力为 , .试校核梁内的最大正应力和最大切应力。并按第四强度理论校核危险截面上的a点的强度。注:通常在计算a点处的应力时，近似地按 点的位置计算。
第七章应力状态习题答案

第七章应力状态习题答案


2
7 . 4 已知应力状态如题 7 . 4 图所示，图中应力单位皆为 MPa 。试用解析法及图解法求： ( l ）主 应力大小，主平面位置； ( 2 ）在单元体上绘出主平面位置及主应力方向； ( 3 ）最大切应力。
解
（ a ）如题 7 . 4 图（ a ）所示。
σ x ＝50MPa， σ y ＝0，τ xy ＝20 MPa
σ x ＝－20 MPa ， σ y = 30 , τ xy ＝20 MPa
( 1 ）解析法
2 ⎡ −20 + 30 ⎤ σ max ⎫ σ x + σ y ⎛ σ x −σ y ⎞ ⎧ 37 MPa ⎛ −20 − 30 ⎞ ⎢ ± ⎜ ± ⎜ + 202 ⎥ MPa = ⎨ ⎬= ⎟ + τ xy = ⎟ σ min ⎭ 2 2 2 ⎢ ⎥ ⎝ ⎠ ⎩−27 MPa ⎝ 2 ⎠ ⎣ ⎦ 2
。
1
斜截面 AB 与 x 平面的夹角 a2 = 105 ，其上应力 σ a2＝45MPa,τ a = 25 3MPa 。将这些数据代入斜截面
。
2
上应力公式中，对 AB 斜截面有
σx +σ y
2
+
σ x −σ y
2
cos 210。− τ xy sin 210。= 45 ①
σ x −σ y
2
sin 210。+ τ xy cos 210。= 25 3 ②
σ x ＝0 ， σ y = －80 MPa , τ xy ＝20 MPa
( 1 ）解析法
2 ⎡ 0 − 80 ⎤ σ max ⎫ σ x + σ y ⎛ σ x −σ y ⎞ ⎧ 4.7 MPa ⎛ 0 + 80 ⎞ 2 ⎢ ⎥ 20 MPa = ⎨ τ = ± + = ± + ⎬ ⎜ ⎟ xy ⎜ ⎟ σ min ⎭ 2 ⎢ 2 ⎥ ⎝ 2 ⎠ ⎩−84.7 MPa ⎝ 2 ⎠ ⎣ ⎦ 2
应力状态分析及强度理论习题讲解

应力状态分析及强度理论习题讲解


答案：
D
四、计算
1. 构件内危险点应力状态如图所示，试作强度校核： 1）材料为铸铁，已知许用拉应力 t 30MPa,压应力 90MPa；3）材料仍为铸铁，应力分量中 为压应力。
15MPa
c 90MPa，泊松比 =0.25；2）材料为铝合金，
15MPa






45 ， 45
90 90
45 45
45
x
O


45 ， 45
（b）
45
45
x
（c）
（d）
4.用电阻应变仪测得空心钢轴表面一点与母线成45 方向 上的正应变 45 200 103。已知该轴转速为120r / min ， 外径D 120mm，内径d 80mm,钢材E 210GPa， =0.28， 求轴传递的功率。
45
a b
1
45



1
3
O


45 3
x
（b）
4 WP D 1 12 10 1 8 /12 16 16 272.3 106 m 3 n E 所以 N WP 45 9550 1 120 210 109 272.3 106 200 103 112kW 9550 1 0.28 3 4 3 6
n

dA
y

30
120
1
t
30
20
1 2
x
2
40 30
（b）

4 5,26 B C
68
240
3)作应力圆（图（c）） （1）取比例尺，1cm-20MPa，在 - 坐标平 面内作点1（+20，0）、2（-40，0）；
工程力学-材料力学之应力应变状态分析

工程力学-材料力学之应力应变状态分析

泊松比 = 0.3 , F1=100KN ， F2=100KN。
求：（1）A点处的主应变 1， 2 ， 3
（2）A点处的线应变 x ， y ， z
F1 b A F2 z b=50mm h=100mm
Hale Waihona Puke 19F2al
解：梁为拉伸与弯曲的组合变形. A点有拉伸引起的正应力
和弯曲引起的切应力.
铜块横截面上的压应力mpa3010300analysiessst155mpa铜块的主应力为mpampa30最大切应力mpa2510951010034analysiessst例题11一直径d20mm的实心圆轴在轴的的两端加力矩m126n45方向的应变analysiessstanalysiessst外径d60mm的薄壁圆筒在表面上k点与其轴线成45y两方向分别贴上应变片然后在圆筒两端作用矩为的扭转力偶如图所示已知圆筒材料的弹性常数为若该圆筒的变形在弹性范围内且analysiessst从圆筒表面k点处取出单元体其各面上的应力分量如图所示可求得mpa80maxmpa80maxanalysiessstmaxmaxmax10拉应变圆筒表面上k点处沿径向z轴的应变和圆筒中任一点该点到圆筒横截面中心的距离为maxmax因此该圆筒变形后的厚度并无变化仍然为t10mmanalysiessstb50mmh100mm例题13已知矩形外伸梁受力f作用
在任意形式的应力状态下, 各向同性材料内一点处的体
积应变与通过该点的任意三个相互垂直的平面上的正应力之
和成正比, 而与切应力无关.
11
例题10 边长 a = 0.1m 的铜立方块，无间隙地放入体积较大， 变形可略去
不计的钢凹槽中, 如图所示. 已知铜的弹性模量 E=100GPa，泊松比 =0.34， 当受到F=300kN 的均布压力作用时，求该铜块的主应力、体积应变以及最
关于应力应变状态问题

关于应力应变状态问题

关于应力应变状态问题（含组合变形）2009年10月29日星期四应力应变状态重点公式： 基本公式：ατασσσσσα2sin 2cos 22xy yx yx --++= ατασσσσσα2sin 2cos 2290xy yx y x +--+=+ατασστα2cos 2sin 2xy yx +-=yx xyσστα--=22tan ()22max 4212xy y x y x τσσσσσ+-++= ()22min 4212xy y x yx τσσσσσ+--+= 应力圆的绘制及其应用：①、强调单元体的面与应力圆上的点一一对应关系。

即：点面对应，转向相同，转角两倍。

②、确定任意斜截面上的应力；②、确定主应力的大小和方向；③、三向应力圆的绘制及其应用。

广义胡可定律及其公式：(){}z y x x Eσσμσε+-=1 G xy xy τγ= (){}x z y y Eσσμσε+-=1 G yz yz τγ= (){}y x z z E σσμσε+-=1 G zx zx τγ= (){}32111σσμσε+-=E ；(){}13221σσμσε+-=E ；(){}21331σσμσε+-=E习题：P255 7.7、7.9、7.10、7.12、7.14、7.19、7.26、7.27、7.28、7.37、四种常用强度理论：最大拉应力理论（第一强度理论）[]σσ≤1最大伸长线应变理论（第二强度理论）()[]σσσμσ≤+-321最大切应力理论（第三强度理论）[]σσσ≤-31畸变能密度理论（第四强度理论）()()()[][]σσσσσσσ≤-+-+-21323222121 01、十、图示为一平面应力状态下的单元体。

试证明任意互相垂直截面上的正应力之和为常数。

即： 90++=+αασσσσy x 或min max σσσσ+=+y x 。

（7分）（2009吉大）02、4、已知平面应力状态如图（应力单位MPa ），试计算主应力大小及方位，在图上标出主应力方位。

应力状态和强度理论 习题及答案

应力状态和强度理论 习题及答案

应力状态和强度理论一、判断题1.若单元体某一截面上的剪应力为零，则该截面称为主平面。

（）2.主平面上的剪应力称为主应力。

（）3.当单元体上只有一个主应力不为零时，称作二向应力状态。

（）5.图2所示单元体最大剪应力为25Mpa。

（）6.图3所示单元体为单向应力状态。

（）图2图3图47. 向应力状态如图4所示，其最大主应力σ1=3σ（）。

8. 任一单元体，在最大正应力作用面上，剪应力为零。

（）9. 主应力是指剪力为零的截面上的正应力。

（）10.力圆上任一点的横坐标值对应单元体某一截面上的正应力。

（）二、选择题1.图1所示应力圆对应的单元体为图（）。

图 5三、选择题1.若一点的应力状态为平面应力状态，那么该点的主应力不可能为：（）。

A 、σ1> 0 σ2=σ3=0 B、σ1> 0 σ2 =0 σ3 < 0C、σ1>σ2>0 σ3=0D、σ1>σ2>σ3>0２.已知单元体各面上的应力如图，则其主平面方位为（）。

A、B、C、D、四、填空题１.图示为一平面应力状态的单元体及其应力圆，试在应力圆上表示０－１，０－２，０－３平面的位置。

图 62.试验表明，材料受力后的破坏主要有两种形式，一种是，是由于或所引起；另一种是，是由于所引起的。

3.一单元体如图所示，则单元体的主应力为__________ ，为__________ ，为__________ ，最大主应力与x 轴的夹角为__________ 。

五、简单计算1.单元体上的应力如图7所示，试求其它应力和最大剪应力。

2.图8所示单元体，试求图示斜截面上的正应力和剪应力。

图7图8 3.试求图示单元体o斜截面应力。

已知：。

图 9。

材料力学习题第六章应力状态分析答案详解

材料力学习题第六章应力状态分析答案详解

第6章 应力状态分析一、选择题1、对于图示各点应力状态，属于单向应力状态的是（A ）。

20（MPa ）20d20（A ）a 点；（B ）b 点；（C ）c 点；（D ）d 点 。

2、在平面应力状态下，对于任意两斜截面上的正应力αβσσ=成立的充分必要条件，有下列四种答案，正确答案是（ B ）。

（A ）,0x y xy σστ=≠；（B ）,0x y xy σστ==；（C ）,0x y xy σστ≠=；（D ）x y xy σστ==。

3、已知单元体AB 、BC 面上只作用有切应力τ，现关于AC 面上应力有下列四种答案，正确答案是（ C ）。

（A ）AC AC /2,0ττσ==； （B ）AC AC /2,/2ττσ==； （C ）AC AC /2,/2ττσ==；（D ）AC AC /2,/2ττσ=-=。

4、矩形截面简支梁受力如图（a ）所示，横截面上各点的应力状态如图（b ）所示。

关于它们的正确性，现有四种答案，正确答案是（ D ）。

(b)(a)（A）点1、2的应力状态是正确的；（B）点2、3的应力状态是正确的；（C）点3、4的应力状态是正确的；（D）点1、5的应力状态是正确的。

5、对于图示三种应力状态（a）、（b）、（c）之间的关系，有下列四种答案，正确答案是（ D ）。

τ(a)(b) (c)（A）三种应力状态均相同；（B）三种应力状态均不同；（C）（b）和（c）相同；（D）（a）和（c）相同；6、关于图示主应力单元体的最大切应力作用面有下列四种答案，正确答案是（ B ）。

(A) (B) (D)(C)解答：maxτ发生在1σ成45的斜截面上7、广义胡克定律适用范围，有下列四种答案，正确答案是（ C ）。

（A）脆性材料；（B）塑性材料；（C）材料为各向同性，且处于线弹性范围内；（D）任何材料；8、三个弹性常数之间的关系：/[2(1)]G E v =+ 适用于（ C ）。

（A ）任何材料在任何变形阶级； （B ）各向同性材料在任何变形阶级； （C ）各向同性材料应力在比例极限范围内；（D ）任何材料在弹性变形范围内。

材料力学典型例题及解析 7.应力应变状态典型习题解析

应力、应变状态分析典型习题解析1 已知矩形截面梁，某截面上的剪力F S =120 kN 及弯矩m kN 10⋅=M 。

绘出表示1、2、3及4点应力状态的微体，并求出各点的主应力。

b = 60 mm ，h = 100 mm 。

解题分析： 从图中可分析1、4点是单向应力状态，2点在中性轴上为纯剪切应力状态，31取平行和垂直与梁横截面的六个平面，构成微体。

则各点处的应力状态如图示。

2、 梁截面惯性矩为 点微体上既有正应力又有切应力。

解：、画各点处微体的应力状态图计算各点处主应力4843333m 1050012m 10100(106012−−−×=×××==）bh I z1点处弯曲正应力（压应力）MPa 100Pa 10100m 10500m1050m N 101064833−=×=×××⋅×==−−zI My σ 1点为单向压缩受力状态，所以 021==σσ，MPa 1003−=σ 2点为纯剪切应力状态， MPa 30Pa 1030m10100602N 1012036263=×=×××××=−τ（向下）容易得到，MPa 301=σ，02=σ，MPa 303−=σ 3点为一般平面应力状态弯曲正应力MPa 50Pa 1050m 10500m 1025m N 101064833=×=×××⋅×==−−zI My σ 弯曲切应力F S =120 kN题图1MPa 5.22Pa 1050.22m10500m 1060m 105.372560N 101206483393*S =×=××××××××==−−−z z bI S F τ MPa 6.8MPa 6.58Pa)105.22()2Pa 1050(2Pa 1050)2(22626622min max −=×+×±×=+−±+=xy x y x τσσσσσσ所以 MPa 6.581=σ，02=σ，MPa 6.83−=σ4点为单向拉伸应力状态，拉伸正应力的大小与1点相等。

应力状态分析及强度理论习题讲解







1
1
45
3
O


45 3
x
（b）
二、选择题
1. 在冬天严寒天气下，水管中的水会因受冻而结冰。根据 低温下水管和冰所受应力情况可知_____。 （A）冰先破裂而水管完好 （C）冰与水管同时破裂 （B）水管先破裂而冰完好 （D）不一定何者先破裂
答案：
B
2. 铸铁在纯剪应力状态下的强度条件可写为 。此时 引起材料弹性失效的力学原因是_____。 （A）拉应力引起拉断 （C）剪应力引起剪断 （B）压应力引起剪断 （D）都有可能
135
45
（a）
解： 利用广义胡克定律求解。 对图（b）所示单向应力状态作应力圆（图（c））， 得图（ d）所示应力状态，即有 45 、 135 方向正应力
45 /2 ， 135 45 /2
代入广义胡克定律有 1 1 45 45 135 E 2 E 1 1 135 135 45 E 2 E
r 2 ， 0.5
1 t
t
3）对中碳钢，虽为塑性材料，但比低碳钢塑性要差， 可选用第三强度理论。 1 2 2 2 r4 1 2 2 3 3 1 2 3 2 * 而强度条件 * 式在平面应力状态下（即应力分量 、 在同一平面内，见图（b））分别选用第三、四理论推 得的结果。
答案：
D
四、计算
1.已知应力状态如图（a）所示，要求：1）用截面法求指定 截面上应力；2）用斜截面上应力公式校核；3）用应力圆 法校核。
40MPa
30
20MPa

刘鸿文《材料力学》(第5版)笔记和课后习题(含考研真题)详解-应力和应变分析强度理论(圣才出品)


OA1
= OC + CA1
= x
+ y 2
+
(
x
− y )2 2
+
2 xy
= max = 1
OB1
= OC − CB1
=
x
+ 2
y
−
(
x
− 2
y
)2
+
2 xy
= min
=2
b．确定主平面方位的方法
如图 7-3（b）（c）所示，将半径 CD 旋转 20 到 CA1 处，单元体 x 轴沿 20 旋转方向
图 7-2 应力圆 （2）应力圆的应用 ①应力圆与单元体应力间的关系 点面之间的对应关系：单元体某一面上的应力，必对应于应力圆上某一点的坐标； 夹角关系：圆周上任意两点所引半径的夹角等于单元体上对应两截面夹角的两倍，且两 者的转向一致。 ②求单元体上任一截面上的应力 从应力圆的半径 CD 按方位角 α 的转向转动 2α 得到半径 CE，圆周上 E 点的坐标就是
任意两个互相垂直的截面上的正应力之和为常数，即 + +90 = x + y 。
③最大切应力和最小切应力 切应力的大小
max min
=
x
− y 2
2
+ 2xy
=
1 2
(max
− min )
切应力极值所在截面方位角
tan
21
=
x − y 2 xy
最大和最小切应力所在平面与主平面的夹角为 45°，即1 = 0 + 45。
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第 7 章 应力和应变分析强度理论

材料力学第7章应力和应变强度理论.答案


y
xy
x
§7.3 二向应力状态分析—解析法-实例1 解：1） 斜面上的应力
x y x y cos 2 xy sin 2 2 2
9.02 MPa
60 40 60 40 cos( 60 ) 30 sin( 60 ) 2 2
Me A B D C Me y
Me wt
在圆轴表层取出单元体ABCD ，单元体各面上的应力为：
x
ABCD
x y 0, xy
§7.3 二向应力状态分析—解析法-实例2
2). 主应力大小及方向确定
max x y x y 2 xy min 2 2
§7.3 二向应力状态分析—解析法-实例1
3）主应力单元体：
y
3
xy

1
x
15 .5
§7.3 二向应力状态分析—解析法-实例2 例7.4: 分析圆轴扭转时的应力状态。
Me A B D
C
Me
§7.3 二向应力状态分析—解析法-实例2
解：1). 单元体的应力状态
圆轴扭转时，在横截面的边缘 处切应力最大，数值为：x y来自2y xy

min
x y 2 xy 2 2 48.3MPa
x y
2
x
1 68.3MP a, 2 0, 3 48.3MP a
§7.3 二向应力状态分析—解析法-实例1
确定主平面的方位：
y
1 ( x y ) sin 2 xy cos 2 2
§7.3 二向应力状态分析—解析法
确定正应力和切应力的极值及它们所在平面的位置

第七章应力状态习题答案


( 2 ）图解法作应力圆如题 7 . 4 图（ d 1）所示。应力圆与 σ 轴的两个交点的坐标，即是 σ 1 、 σ 3 的数 值。由 CDx ，顺时针旋转 2α 0 ，可确定主平面的方位。 CDx 的长度即为最大切应力的数值。主应力单 元体如题 7 . 4 图（d2）所示。
5
( e ）如题 7 . 4 图（ e ）所示。
τα =
σ x −σ y
2
⎛ 100 − 50 ⎞ sin 2α + τ xy cos 2α = ⎜ sin120D + 0 ⎟ MPa = 21.7 MPa 2 ⎝ ⎠
( 2 ）图解法 作应力圆如题 7 . 3 图（ cl ）所示。从图中可量得 Dα 点的坐标，此坐标便是 σ α 和 τ α 数值。 ( d ）如题 7 . 3 图（ d ）所示。
按照主应力的记号规定
σ 1 ＝4.7MPa， σ 2 ＝0， σ 3 ＝－84.7MPa
tan 2α 0 = − 2τ xy
σ x −σ y
=
=
−2 × 20 = −0.5 ， α 0 ＝－13.3° 0 + 80
τ max =
σ1 − σ 3
2
4.7 + 84.7 MPa = 44.7 MPa 2
。
1
斜截面 AB 与 x 平面的夹角 a2 = 105 ，其上应力 σ a2＝45MPa,τ a = 25 3MPa 。将这些数据代入斜截面
。
2
上应力公式中，对 AB 斜截面有
σx +σ y
2
+
σ x −σ y
2
cos 210。− τ xy sin 210。= 45 ①
σ x −σ y

应力状态分析及强度理论习题讲解


2
50 80
F
G
30 60 30
O
B E C
1
A

（b）
= GE AE tan 30 (80 50) tan 30
=10 3 =17.3MPa 10 3 r 20MPa sin 60 3/2 = OB OA AB 80 2r 40MPa 所以 1 80MPa ， 2 40MPa ， 3 0
3）求主应力 15 1 2 2 1， 15 4 15 3 2 2 （-9.27）MPa 0 铸铁为脆性材料，抗拉与抗压强度不等，又 1 3 ， 主应力中压力占优。 选第二强度理论
r 2 ， 0.5
1 t
t
3）对中碳钢，虽为塑性材料，但比低碳钢塑性要差， 可选用第三强度理论。 1 2 2 2 r4 1 2 2 3 3 1 2 3 2 * 而强度条件 * 式在平面应力状态下（即应力分量 、 在同一平面内，见图（b））分别选用第三、四理论推 得的结果。

（a）
2
解：求主应力(可用应力圆法或解析法)
1 2 ， 2 ， 3
）对低碳钢，选第三理论或第四理论
r 1 3 3 ， 0.333
3
1 2 2 2 r4 2 3 7 ， 2 0.378 2）对铸铁，拉应力占优，选第一理论
答案：
D
四、计算
1.已知应力状态如图（a）所示，要求：1）用截面法求指定 截面上应力；2）用斜截面上应力公式校核；3）用应力圆 法校核。
40MPa
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3 4 m bh 3 60 × 10 −3 × (100 × 10 −3） = = 500 × 10 −8 m 4 12 12
1 点处弯曲正应力（压应力）
σ=
My 10 × 10 −3 N ⋅ m × 50 × 10 −3 m = = 100 × 10 6 Pa = 100MPa 500 × 10 −8 m 4 Iz
My 10 × 10 3 N ⋅ m × 25 × 10 −3 m = = 50 × 10 6 Pa = 50MPa 500 × 10 −8 m 4 Iz
1
τ=
FS S z* 120 ×10 3 N × 60 × 25 × 37.5 ×10 −9 m 3 = = 22.50 × 10 6 Pa = 22.5MPa bI z 60 × 10 −3 m × 500 ×10 −8 m 4
体abc从中间竖直切开后，由于左右对称性，所以截开面ad上的剪应力必为零，即 τ x = 0 。由 剪应力互等定理知db边上切应力也为零。所以，可以确定ad面和db面即是该点的主平面。 由于直角三角形 adb 微体处于平衡状态，于是有
∑ Fx = 0 ，
τ Aab sin 30 D + σ x Aab cos 30 D = 0 ，得
γ/2
ε3
y
A'
ε3 ε90o
D'
D
C B
2α0 A
ε1 ε
ε45o
11.3o
ε1
ε0o
(a)
x
ε90o
ε45o ε0o
(b)
B'
题6图 解题分析：已知一点处三个方位上的正应变，可完全确定应变圆。 解： 1、确定 ε ，(γ/2)坐标系 2、在 ε 轴上量取 ε 0 值，得点 A；在 ε 轴上量取 ε 45D 值，得点 B；在 ε 轴上量取 ε 90D 值， 得点 D。分别过 A、B、D 点做 ε 轴垂线。 3、平分 AD 得圆心 C。
4
4、量取 τ max = 172.5MPa ５ 在三向应力状态中，如果 σ 1 = σ 2 = σ 3 ，并且都是拉应力，它的应力圆是怎样的？又如果 都是压应力，它的应力圆又是怎样的？
τ τ
O
σ1=σ2=σ3
C
σ
C
σ1=σ2=σ3
O
σ
(a)
题5图 解题分析：当 σ 1 = σ 3 时，应力圆均为点圆。
2
⎧44.1MPa （40 + 20）MPa （40 − 20）MPa 2 2 （10MPa） = ± ( ) + =⎨ 2 2 ⎩15.9MPa
所以主应力为
σ 1 = 44.1MPa ， σ 2 = 15.9MPa ， σ 3 = 0
由公式 tan α 0 = −
τx 得 σ x − σ min
α 0 = arctan(−
5
4、在 D 点向上量取 DD'= CB。 5、 连 D'C 即为应变圆半径， 作应变圆交 ε 轴于 ε 1 和 ε 3 两点， 则 ε 1 和 ε 3 即为主应变数值。 6、连CA'，∠A'C ε 1 =2α0，即可得主应变 ε 1 与 ε 0 的夹角 α 0 。 7、结果 ε 1 = 750 × 10 -6 ， ε 3 = −550 × 10 -6 ， α 0 = 11.3D 讨论 ：可以证明：在直 角三角形 CDD' 及三角形 CBB' 中， CD'= CB'= 应变圆半径。 △CDD'≌△B'BC，故 DD'= CB 7 边长为 20 mm 的钢立方体置于钢模中，在顶面上受力 F = 14 kN 作用。已知 µ = 0.3 ，假设 钢模的变形以及立方体与钢模之间的摩擦力可以忽略不计。试求立方体各个面上的正应力。
F=14kN
x
z
y
题7图 解题分析：钢立方体置于钢模中，在 y 方向有应力，x、z 方向限制钢立方体变形，即 ε x = 0 、
ε z = 0 ，以此可求出 σ x 和 σ z 。
解：1、 σ y = −
14 × 10 3 N F =− = −35 × 10 6 Pa = −35 MPa A 20 × 20 × 10 −6 m 2
τx 10 MPa ) = arctan(− ) = −22.5 D 40 MPa − 15.9 MPa σ x − σ min
所以主应力 σ 1 对应的方位为 − 22.5 D 。 3、计算最大切应力
τ max =
σ1 − σ 3
2
=
44.1MPa − 0 = 22.1MPa 2
讨论：当采用公式 tan 2α 0 = −
σx +σ y
σ x −σ y
2
τα =
sin 2α + τ x cos 2α 2 （40 − 20）MPa sin 120 D + 10MPa cos 120 D = 3.66MPa = 2
σ x −σ y
2、计算主应力及其方位
σ max =
min
σx +σ y
2
± (
σ x −σ y
2
)2 + τ x
(b)
σ z = σ x = −15 MPa
(压)
6
σ 1 = 100MPa ， σ 2 = σ 3 = 0
2 试求图示微体斜截面上的应力，主应力及其方位，并求最大切应力。
y 20 MPa
σ2
40 MPa 22.5 30
o o
x
10 MPa
图2 解题分析： 所要计算的斜截面外法线与 x 轴的夹角 α 为正 60 。斜截面应力计算公式中，α 角正负号规定为自 x 轴正向逆时针转向外法线为正。 解：1、计算斜截面上应力 选取 x y 坐标系，如图示。则该微体各应力为
σ
O C
σ3
σ1
(a)
题4图
(b)
解题分析： 本题应理解为已知了 A 点处微体两个斜截面上的应力，或者说已知了应力圆上 的两个点。但是，已知圆上的两个点并不能确定这个圆，所以还需要补充一个条件。这个补 充条件是：应力圆的圆心必在横坐标轴（即 σ 轴）上。 解：1、建立 σ 、 τ 坐标系(见图 b) 2、在坐标图上确定点D(200，100)和点D1(-100，50)，连接D、D1，做DD1线的中垂线， 交于 σ 轴上C点。以C点为圆心，CD为半径作圆，即为所求之应力圆。 3、在应力圆上量取 σ 1 = 235MPa ， σ 2 = 0 ， σ 3 = −110MPa 。
σ3
2
τ σ1
3
τ
σ
4
4 FS=120 kN
题1图 解题分析： 从图中可分析 1、4 点是单向应力状态，2 点在中性轴上为纯剪切应力状态，3 点微体上既有正应力又有切应力。 解：1、画各点处微体的应力状态图 取平行和垂直与梁横截面的六个平面，构成微体。则各点处的应力状态如图示。 2、 计算各点处主应力 梁截面惯性矩为 I z =
1 点为单向压缩受力状态，所以 σ 1 = σ 2 = 0 ， σ 3 = −100MPa 2 点为纯剪切应力状态， τ =
3 × 120 × 10 3 N 2 × 60 × 100 × 10 −6 m 2 = 30 × 10 6 Pa = 30MPa （向下）
容易得到， σ 1 = 30MPa ， σ 2 = 0 ， σ 3 = −30MPa 3 点为一般平面应力状态 弯曲正应力 σ = 弯曲切应力
应力、应变状态分析
典型习题解析
1 已知矩形截面梁，某截面上的剪力FS=120 kN及弯矩 M = 10 kN ⋅ m 。绘出表示 1、2、3 及 4 点应力状态的微体，并求出各点的主应力。b = 60 mm，h = 100 mm。
M=10 kN·m b h 1 2 3 50 mm 中性轴 25 mm 1
σ x −σ y 2 σ max σ x + σ y 2 = ± ( ) +τ x σ min 2 2
= 58.6MPa 50 × 10 6 Pa 50 × 10 6 Pa 2 ± ( ) + (22.5 × 10 6 Pa) 2 = − 8.6MPa 2 2
所以 σ 1 = 58.6MPa ， σ 2 = 0 ， σ 3 = −8.6MPa 4 点为单向拉伸应力状态，拉伸正应力的大小与 1 点相等。所以 4 点的主应力为
σ x = −τ / 3 = −σ / 3 (压)
所以该点处主应力为 σ 1 = σ ， σ 2 = 0 ， σ 3 = −σ / 3 。 ４ 构件中某点 A 为平面应力状态，两斜截面上的应力如图 a 所示。试用应力圆求主应力和 最大切应力。
τ τmax
D(200,100) 100 50 A 200 100 D1(-100,50)
D
σ x = 40MPa ， σ y = 20MPa ， τ x = 10MPa
α = 60 D 斜截面上的应力为
σα =
cos 2α − τ x sin 2α 2 2 （40 + 20）MPa （40 − 20）MPa cos 120 D − 10MPa sin 120 D = 16.3MPa = + 2 2 +
σ x 、σ y 和 τ x 。微体处于静力平衡状态，所以从其上切取的任何一块也应处于静力平衡状态。
在建立直角坐标系后，利用上述关系可计算出 σ x 、 σ y 和 τ x 。 解：从三角形微体中取出一直角三角形adb，并建立直角坐标系，如图b所示。图b 中，
∠adb = 90 D ，并用Aab表示ab斜面面积。设在ad截面上设正应力为 σ x 、切应力为 τ x方向的应变均为零。
εx =
σ x − µ (σ y + σ z )
E
=0