13级概率统计试卷A

《概率论与数理统计》试卷（A ）注：可能用到的数据()()()()()()()()()()()0.050.0250.050.050.0250.02522220.9750.9750.0250.0251.645,1.96,4 2.3138,5 2.0150,004 2.7764,5 2.5706, 1.6450.95, 1.960.9756 1.237,7 1.1.690,614.449,716.013z z t t t t χχχχ====Φ===Φ=Φ=====一、填空题（每小题4分，共40分）1．设3/1)()(==B P A P ，()1/2P A B = ，则()|P A B = 3/4 2．设随机变量X 的概率密度为()⎩⎨⎧<<=其他,010,2x x x fY 表示对X 的三次独立重复观察试验中事件{}2/1≤X 出现的次数，则{}==2Y P 9/643．设随机变量()()0,~2>σσμN X ，且二次方程042=++X y y 无实根的概率为12，则=μ 44．设随机变量1X 与2X 有相同的分布，其分布律为{}114i P X =-=， {}102i P X ==， {}114i P X ==， 1,2i =且满足1}0{21==X X P ，则==}{21X X P 05．已知随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，令1232-+=X X Y ，则Y的数学期望()E Y = 1532-+λλ6．设随机变量X 的数学期望()μ=X E ，方差()2σ=X D ，则由切比雪夫不等式，有{}≤≥-σμ3X P 1/97．设121,,,,+n n X X X X 是来自正态总体()2,σμN 的样本，记∑==ni i X nX 11， ()∑=--=ni iXX n S 12211，则统计量1n X Sμ+-服从___t____分布，自由度为 n-18．已知总体X 的概率密度为()1,01()0,x x f x θθ⎧+<<=⎨⎩其他1θ>-设n X X X ,,,21 为X 的样本，则参数θ的矩估计量为ˆθ= ˆθ=211X X--9．设随机变量X 的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤-+-<=1,111,16751,0)(x x x x x F则==}1{2XP ____ 3/8_10．随机变量X 在区间[]1,2-上服从均匀分布，随机变量1,00,01,0X Y X X >⎧⎪==⎨⎪-<⎩则Y 的方差()D Y = 8/9二 、（10分）设有来自A 、B 、C 三个地区考生报名表各10份、15份和25份，其中女生的报名表分别为3份、7份和5份，今随机地抽取一份报名表。

2021年全国高考数学一轮复习知识巩固AB卷（理科）专题13 统计、统计案例与概率（A卷）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．2019年夏季来临，某品牌饮料举行夏季促销活动，瓶盖内部分别印有标识“谢谢惠顾”、A B C标识的饮料数量之比标识B“再来一瓶”以及标识C“品牌纪念币一枚”，每箱中印有,,为3：1：2，若顾客购买了一箱（12瓶）该品牌饮料，则兑换“品牌纪念币”的数量为（）A．2 B．4 C．6 D．82．一般来说，一个班级的学生学号是从1开始的连续正整数，在一次课上，老师随机叫起班上8名学生，记录下他们的学号是：3、21、17、19、36、8、32、24，则该班学生总数最可能为（）A．39人B．49人C．59人D．超过59人3．某工厂利用随机数表对生产的600个零件进行抽样测试，先将600个零件进行编号，编 从中抽取60个样本，如下提供随机数表的第4行到第6行：号分别为001,002,,599,60032 21 18 34 29 78 64 54 07 32 52 42 06 44 38 12 23 43 56 77 35 78 90 56 4284 42 12 53 31 34 57 86 07 36 25 30 07 32 86 23 45 78 89 07 23 68 96 08 0432 56 78 08 43 67 89 53 55 77 34 89 94 83 75 22 53 55 78 32 45 77 89 23 45若从表中第6行第6列开始向右依次读取3个数据，则得到的第6个样本编号（）A．522B．324C．535D．5784．新高考方案规定，普通高中学业水平考试分为合格性考试（合格考）和选择性考试（选择考）．其中“选择考”成绩将计入高考总成绩，即“选择考”成绩根据学生考试时的原始卷面分数，由高到低进行排序，评定为A、B、C、D、E五个等级．某试点高中2018年参加“选择考”总人数是2016年参加“选择考”总人数的2倍，为了更好地分析该校学生“选择考”的水平情况，统计了该校2016年和2018年“选择考”成绩等级结果，得到如下图表：针对该校“选择考”情况，2018年与2016年比较，下列说法正确的是（ ） A ．获得A 等级的人数减少了 B ．获得B 等级的人数增加了1．5倍 C ．获得D 等级的人数减少了一半D ．获得E 等级的人数相同5．已知某样本的容量为50，平均数为70，方差为75．现发现在收集这些数据时，其中的两个数据记录有误，一个错将80记录为60，另一个错将70记录为90．在对错误的数据进行更正后，重新求得样本的平均数为x ，方差为2s ，则（ ） A ．270,75x s =<B ．270,75x s =>C ．270,75x s ><D ．270,75x s <>6．学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽取了一个容量为n 的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在[)50,60的同学有30人，则n 的值为（ ）A ．100B ．1000C ．90D ．9007．某公司新发明了甲、乙两种不同型号的手机，公司统计了消费者对这两种型号手机的评分情况，作出如下的雷达图，则下列说法不正确的是（ ）A ．甲型号手机在外观方面比较好B ．甲、乙两型号的系统评分相同C ．甲型号手机在性能方面比较好D ．乙型号手机在拍照方面比较好8．某企业的一种商品的产量与单位成本数据如下表：产量x （万件） 14 16 182022单位成本y （元/件）12107a3若根据表中提供的数据，求出y 关于x 的线性回归方程为ˆ 1.1528.1yx =-+，则a 的值等于（ ） A ．4.5 B ．5C ．5.5D ．69．相关变量的散点图如图所示，现对这两个变量进行线性相关分析，方案一：根据图中所有数据，得到线性回归方程，相关系数为；方案二：剔除点，根据剩下数据得到线性回归直线方程，相关系数为．则（ ）A ．B ．C ．D ．10．为了判断高中生选修理科是否与性别有关．现随机抽取50名学生，得到如下列联表：根据表中数据，得到的观测值()22501320107 4.84423272030K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯，若已知，，则认为选修理科与性别有关系出错的可能性约为（ ） A ．B ．C ．D ．11．甲、乙两人各写一张贺年卡随意送给丙、丁两人中的一人，则甲、乙将贺年卡都送给丁的概率为（ ） A ．12B ．13C ．14D ．1512．函数()()22846f x x x x =-++-≤≤，在其定义域内任取一点0x ，使()00f x ≥的概率是（ ） A ．310B ．23C ．35D ．45第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．某公司对2019年14月份的获利情况进行了数据统计，如下表所示：月份x 123 4利润y /万元5 6 6.58利用线性回归分析思想，预测出2019年8月份的利润为11.6万元，则y 关于x 的线性回归方程为__________．14．在西非肆虐的“埃博拉病毒”的传播速度很快，这已经成为全球性的威胁，为了考察某种埃博拉病毒疫苗的效果，现随机抽取100只小鼠进行试验，得到如下列联表：参照附表，在犯错误的概率最多不超过______(填百分比)的前提下，可认为“该种疫苗有预防埃博拉病毒感染的效果”． 参考公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++15．从集合中随机选取一个数记为，从集合中随机选取一个数记为，则直线不经过第三象限的概率为_____．16．如图，在边长为2的正方形中，以的中点为圆心，以为半径作圆弧，交边于点，从正方形中任取一点，则该点落在扇形中的概率为_____．三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）本市摄影协会准备在2019年10月举办主题为“庆祖国70华诞——我们都是追梦人”摄影图片展．通过平常人的镜头记录国强民富的幸福生活，向祖国母亲的生日献礼．摄影协会收到了来自社会各界的大量作品，打算从众多照片中选取100张照片展出，其参赛者年龄集中在[25,85]之间，根据统计结果，做出频率分布直方图如图：（1）根据频率分布直方图，求这100位摄影者年龄的样本平均数x和中位数m（同一组数据用该区间的中点值作代表）；（2）为了展示不同年龄作者眼中的祖国形象，摄影协会按照分层抽样的方法，计划从这100件照片中评出20个最佳作品，并邀请作者参加“讲述照片背后的故事”座谈会．①在答题卡上的统计表中填出每组应抽取的人数；年龄[25,35)[35,45)[45,55)[55,65)[65,75)[75,85]人数②若从较年轻的前三组作者中选出2人把这些图片和故事整理成册，求这2人至少有一人的年龄在[35,45)的概率．18．（12分）国家学生体质健康测试专家组到某学校进行测试抽查，在高三年级随机抽取100名男生参加实心球投掷测试，测得实心球投掷距离（均在5至15米之内）的频数分布表如下（单位：米）：规定：实心球投掷距离在[)9,13之内时，测试成绩为“良好”，以各组数据的中间值代表这组数据的平均值ξ，将频率视为概率．（1）求ξ，并估算该校高三年级男生实心球投掷测试成绩为“良好”的百分比；（2）现在从实心球投掷距离在[)5,7，[)13,15之内的男生中用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取3人参加提高体能的训练，求：在被抽取的3人中恰有两人的实心球投掷距离在[)5,7内的概率．19．（12分）已知某商品每件的生产成本x （元）与销售价格y （元）具有线性相关关系，对应数据如表所示：（1）求出y 关于x 的线性回归方程y bx a =+；（2）若该商品的月销售量z （千件）与生产成本x （元）的关系为221z x =-+，[2,10]x ∈， 根据（1）中求出的线性回归方程，预测当x 为何值时，该商品的月销售额最大．附：121()()()niii nii x x y y b x x ==--=-∑∑，a y bx =-．20．（12分）随着教育信息化2．0时代的到来，依托网络进行线上培训越来越便捷，逐步成为实现全民终身学习的重要支撑．最近某高校继续教育学院采用线上和线下相结合的方式开展了一次300名学员参加的“国学经典诵读”专题培训．为了解参训学员对于线上培训、线下培训的满意程度，学院随机选取了50名学员，将他们分成两组，每组25人，分别对线上、线下两种培训进行满意度测评，根据学员的评分(满分100分)绘制了如下茎叶图：（1）根据茎叶图判断学员对于线上、线下哪种培训的满意度更高?并说明理由；（2）求50名学员满意度评分的中位数m，并将评分不超过m、超过m分别视为“基本满意”、“非常满意”两个等级．①利用样本估计总体的思想，估算本次培训共有多少学员对线上培训非常满意?②根据茎叶图填写下面的列联表：并根据列联表判断能否有99．5％的把握认为学员对两种培训方式的满意度有差异?附：()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d-=++++，()20.0100.0050.0016.6357.87910.828P K kk≥．21．（12分）在边长为1的正六边形ABCDEF中，其中心为点O．（1）在正六边形ABCDEF的边上任取一点P，求满足OP在OE上的投影大于12的概率；（2）从A，B，C，D，E，F这六个点中随机选取两个点，记这两个点之间的距离为x，求x大于等于3的概率．22．（12分）某景区的各景点从2009年取消门票实行免费开放后，旅游的人数不断地增加，不仅带动了该市淡季的旅游，而且优化了旅游产业的结构，促进了该市旅游向“观光、休闲、会展”三轮驱动的理想结构快速转变．下表是从2009年至2018年，该景点的旅游人数y（万人）与年份x的数据：第x年 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 旅游人数y（万人）300 283 321 345 372 435 486 527 622 800该景点为了预测2021年的旅游人数，建立了y与x的两个回归模型：模型①：由最小二乘法公式求得y 与x 的线性回归方程50.8169.7y x =+；模型②：由散点图的样本点分布，可以认为样本点集中在曲线bxy ae =的附近．（1）根据表中数据，求模型②的回归方程bx y ae =．（a 精确到个位，b 精确到0．01）． （2）根据下列表中的数据，比较两种模型的相关指数2R ，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测2021年该景区的旅游人数（单位：万人，精确到个位）．回归方程①50.8169.7y x =+②bx y ae =1021()iii y y =-∑ 30407 14607参考公式、参考数据及说明： ①对于一组数据()()()1122,,,,,,n n v w v w v w ，其回归直线w v αβ=+的斜率和截距的最小二乘法估计分别为121()(),()niii nii w w v v w v v v βαβ==--==--∑∑．②刻画回归效果的相关指数22121()1()nii i n ii yy R yy ==-=--∑∑．③参考数据： 5.46235e ≈， 1.43 4.2e ≈．x y u1021()ii xx =-∑()()101iii x x y y =--∑ ()()101iii x x uu =--∑表中1011ln ,10i i i i u y u u ===∑．专题13 统计、统计案例与概率 答 案+解 析第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】B【解析】根据题意，“品牌纪念币一枚”的瓶数占全部瓶数的三分之一，即11243⨯=． 2．【答案】A【解析】因为随机抽样中，每个个体被抽到的机会都是均等的，所以110，1120，2130，3140，…，每组抽取的人数，理论上应均等；又所抽取的学生的学号按从小到大顺序排列为3、8、17、19、21、24、32、36，恰好使110，1120，2130，3140四组中各有两个，因此该班学生总数应为40左右，故选A ． 3．【答案】D【解析】第6行第6列的数开始的数为808，不合适，436，789不合适，535，577，348，994不合适，837不合适，522，535重复不合适，578合适，则满足条件的6个编号为436，535，577，348，522，578， 则第6个编号为578，故选D ． 4．【答案】B【解析】设2016年参加考试x 人，则2018年参加考试2x 人，根据图表得出两年各个等级的人数如下图所示：由图可知A ，C ，D 选项错误，B 选项正确，故本小题选B ． 5．【答案】A【解析】由题意，根据品滚石的计算公式，可得7050806070907050x ⨯+-+-==，设收集的48个准确数据分别记为1248,,,x x x ，则()()()()()2222212481757070706070907050x x x ⎡⎤=-+-++-+-+-⎣⎦()()()2221248170707050050x x x ⎡⎤=-+-++-+⎣⎦， ()()()()()222222124817070708070707050s x x x ⎡⎤=-+-++-+-+-⎣⎦ ()()()222124817070701007550x x x ⎡⎤=-+-++-+<⎣⎦， 故275s <．故选A ． 6．【答案】A【解析】由频率分布直方图可知，支出在[)50,60的同学的频率为0.03100.3⨯=，301000.3n ∴==，本题正确选项A ． 7．【答案】C【解析】从图中可得：甲型号手机在外观方面评分为90，乙型号手机在外观方面评分为85， 故A 正确；甲型号手机在系统方面评分为95，乙型号手机在系统方面评分也为95，故B 正确； 甲型号手机在性能方面评分为85，乙型号手机在外观方面评分为90，故C 错误； 甲型号手机在拍照方面评分为85，乙型号手机在拍照方面评分为90，故D 正确； 故选C ． 8．【答案】B 【解析】1416182022901855x，1210733255a ay ， x y ，在线性回归方程ˆ 1.1528.1yx =-+上， 1.151828.17.4y ，则32=7.45a，解得5a =，故选B ． 9．【答案】D【解析】由散点图得负相关，所以，因为剔除点后，剩下点数据更具有线性相关性，更接近，所以．故选D ．10．【答案】B【解析】由观测值，对照临界值得4．844>3．841，由于P （X 2≥3．841）≈0．05，∴认为选修理科与性别有关系出错的可能性为5%．故选B ． 11．【答案】C【解析】（甲送给丙、乙送给丁）、（甲送给丁，乙送给丙）、（甲、乙都送给丙）、（甲、乙都送给丁）共四种情况，其中甲、乙将贺年卡送给同一人的情况有两种，所以甲、乙将贺年卡送给同一人丁的情况一种， 概率是14，故选C ． 12．【答案】C【解析】由题意，知()00f x ≥，即200280x x -++≥，解得{}0024x x -≤≤，所以由长度的几何概型可得概率为4(2)36(4)5P --==--，故选C ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．【答案】ˆ0.954yx =+ 【解析】设线性回归方程为ˆˆˆybx a =+，因为52x =，518y =， 由题意可得551ˆ288ˆ11.6ˆˆb a b a⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，解得ˆ0.95b =，ˆ4a =，即ˆ0.954y x =+，故答案为ˆ0.954yx =+． 14．【答案】5%【解析】由题意，计算观测值()2210010302040 4.762 3.84150503070K ⨯⨯-⨯==>⨯⨯⨯，参照附表，可得：在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“小动物是否被感染与有没有服用疫苗有关”． 故答案为5%．15．【答案】29【解析】试验发生包含的事件（k ，b ）的取值所有可能的结果有：（﹣1，﹣2）；（﹣1，1）；（﹣1，2）；（1，﹣2）；（1，1）；（1，2）；（2，﹣2）；（2，1）；（2，2）共9种结果．而当00k b <>⎧⎨⎩时，直线不经过第三象限，符合条件的（k ，b ）有2种结果，∴直线不过第三象限的概率29P =，故答案为29．16．【答案】π8【解析】如图，正方形面积，因为，故，所以π4AOM ∠=， 同理π4NOB ∠=，所以π2MON ∠=， 又，∴()212222ππMONS =⨯⨯=扇形． ∴从正方形中任取一点，则该点落在扇形中的概率为8ππ24P ==．故答案为π8．三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【答案】（1）平均数60，中位数4557；（2）①详见解析，②35． 【解析】（1）在频率分布直方图中，这100位参赛者年龄的样本平均数300.05400.1500.15x =⨯+⨯+⨯600.35700.2800.1560+⨯+⨯+⨯=．设中位数为m ，由0.050.10.15(55)0.350.5m +++-⨯=，解得4557m =（或答55．57）． （2）①每组应各抽取人数如下表：②根据分层抽样的原理，年龄在前三组内分别有1人、2人、3人，设在第一组的是a ，在第二组的是1b ，2b ，在第三组的是1c ，2c ，3c ，列举选出2人的所有可能如下：1(,)a b ，2(,)a b ，1(,)a c ，2(,)a c ，3(,)a c ，12()b b ,，11(,)b c ，12(,)b c ，13(,)b c ，21(,)b c ，22(,)b c ，23(,)b c ，12(,)c c ，13(,)c c ，23(,)c c ，共15种情况．设“这2人至少有一人的年龄在区间[35,45]”为事件A ， 则93()155P A ==． 18．【答案】（1）平均值9.77ξ=，百分比62%；（2）0.6． 【解析】（1）根据平均值的定义得92340226681012149.77100100100100100ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=， 因为实心球投掷距离在[)9,13之内时，测试成绩为“良好”，所以40220.6262%100+==． （2）实心球投掷距离在[)5,7，[)13,15之内的男生分别有9，6人，用分层抽样的方法抽取5人，则分别抽取3，2人．从这5人中随机抽取3人参加提高体能的训练的总数为35C 10=，在被抽取的3人中恰有两人的实心球投掷距离在[)5,7的总数为2132C C 6=， 所以在被抽取的3人中恰有两人的实心球投掷距离在[)5,7内的概率为60.610p ==． 19．【答案】（1）ˆ46y x =-；（2）预计当6x =时，该商品的销售额最大为162元．【解析】（1）根据题意，5678 6.54x +++==，15172127204y +++==，41515617721827540i ix y=⨯+⨯+⨯+⨯=∑，42222215678174i x =+++=∑，所以414222145404 6.52041744 6.54i ii x y x yb x x--⨯⨯===-⨯-∑∑，所以204 6.56a y bx =-=-⨯=-， 所以y 关于x 的线性回归方程ˆ46yx =-． （2）依题意，销售额2()(221)(46)896126([2,10])f x x x x x x =-+-=-+-∈． 其对称轴为9662(8)x =-=⨯-，又因为()f x 为开口向下的抛物线，故当6x =时()f x 最大， 最大值()836966126162f x =-⨯+⨯-=． 答：预计当6x =时，该商品的销售额最大为162元．20．【答案】（1）对线下培训满意度更高；（2）①84人，②有把握． 【解析】（1）对线下培训满意度更高．理由如下：①由茎叶图可知：在线上培训中，有72%的学员满意度评分至多79分，在线下培训中，有72%的学员评分至少80分．因此学员对线下培训满意度更高．②由茎叶图可知：线上培训满意度评分的中位数为76分，线下评分的中位数为85分．因此学员对线下培训满意度更高．③由茎叶图可知：线上培训的满意度评分平均分高于80分；线下培训的平均分低于80分，因此学员对线下培训满意度更高．④由茎叶图可知：线上培训的满意度评分在茎7上的最多，关于茎7大致呈对称分布；线下培训的评分分布在茎8上的最多，关于茎8大致呈对称分布，又两种培训方式打分的分布区间相同，故可以认为线下培训评分比线上培训打分更高，因此线下培训的满意度更高． 以上给出了4种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分． （2）由茎叶图知798079.52m +==． ①参加线上培训满意度调查的25名学员中共有7名对线上培训非常满意，频率为725， 又本次培训共300名学员，所以对线上培训满意的学员约为73008425⨯=人． ②列联表如下：于是2250(181877)9.6825252525k ⨯-⨯==⨯⨯⨯，因为9.687.879>，所以有99.5%的把握认为学员对两种培训方式的满意度有差异． 21．【答案】（1）13；（2）35． 【解析】（1）OD ，OF 在OE 上的投影为cos cos OD OD OE OF OF OE 〈〉=〈〉,,11cos602=⨯︒=， ∴当P 在线段FE （除点F ）和线段ED （除点D ）上运动时，OP 在OE 上的投影大于12，∴OP 在OE 上的投影大于12的概率2163p ==．（2， 选出的两个点不相邻有9种，（A ，C ），(A ，D )，(A ，E )，(B ，D )，(B ，E )，(B ，F )，(C ，E )， (D ，F )，(C ，F )；六个点中随机选取两个点，总共有15种：（A ，B )，(A ，C )，(A ，D )，(A ，E )，(A ，F )，(B ，C )，(B ，D )，(B ，E )，(B ，F )，(C ，D )，(C ，E )，(C ，F )，(D ，E )，(D ，F )，(E ，F )；(93155P x ∴≥==． 22．【答案】（1）0.11235x y e =；（2）见解析． 【解析】（1）对bxy ae =取对数，得ln ln y bx a =+， 设ln u y =，ln c a =，先建立u 关于x 的线性回归方程，()()()10110219.000.10883iii i i x x u u b x x==--==≈-∑∑， 6.050.108 5.5 5.456 5.46c u bx =-≈-⨯=≈，5.46235c a e e =≈≈，∴模型②的回归方程为0.11235x y e =．（2）由表格中的数据，有30407>14607，即101022113040714607()()i i i i y y y y ==>--∑∑，即10102211304071460711()()iii i y y y y ==-<---∑∑，2212R R <，模型①的相关指数21R 小于模型②的22R ，说明回归模型②的拟合效果更好．2021年时，13x =，预测旅游人数为0.1113 1.43235235235 4.2987y e e ⨯==≈⨯=（万人）．。

2002-2003学年第一学期概率论与数理统计（A ）期末考试试卷答案一．填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分）请将合适的答案填在每题的空中 1．掷两颗骰子，已知两颗骰子的点数之和为6，则其中有一颗为1点的概率为________． 解：两颗骰子的点数之和为6共有5种可能情况：()()()()()1,5,2,4,3,3,4,2,5,1，而其中有一颗为1点有两种可能：()()1,5,5,1，因此所求概率（条件概率）为52． 应填：52． 2．设二维随机变量()Y X ,的联合密度函数为()()⎩⎨⎧<<<<--=其它042,206,y x y x k y x f 则=k ________． 解：由()1,=⎰⎰+∞∞-+∞∞-dxdy y x f ，得()()()⎰⎰⎰⎰⎰---=--==+∞∞-+∞∞-422024220626,1dy y x k dx y x k dy dxdy y x f()()[]k dy y y k 84624222=---=⎰所以，81=k ． 应填：813．设总体()2,~σμNX ，()1021,,,X X X 是从X 中抽取的一个样本，样本量为10，则()1021,,,X X X 的联合概率密度函数()=1021,,,x x x g _________________________．解：由于总体()2,~σμNX ，所以总体X 的概率密度函数为()()⎭⎬⎫⎩⎨⎧--=222exp 21σμσπx x f ()+∞<<∞-x ， 并且()1021,,,X X X 是从中抽取的一个样本，即()1021,,,X X X 是简单随机样本，所以样本中的n 个分量n X X X ,,,21 是独立同分布的随机变量，而且其分布与总体分布相同．因此样本()1021,,,X X X 的联合概率密度函数()()()()10211021,,,x f x f x f x x x g =()()()⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧--⎭⎬⎫⎩⎨⎧--⋅⎭⎬⎫⎩⎨⎧--=22102222212exp 212exp 212exp 21σμσπσμσπσμσπx x x ()()⎭⎬⎫⎩⎨⎧--=∑=10122210221exp 21i i x μσπσ ()()⎭⎬⎫⎩⎨⎧--=∑=101225221exp 21i i x μσπσ 应填：()()⎭⎬⎫⎩⎨⎧--∑=101225221exp 21i i x μσπσ． 4．设总体X其中10<<θ是未知参数，()n X X X ,,,21 是从中抽取的一个样本，则参数θ的矩估计量=θˆ__________________．解：()()()()θθθθθθθθθθ232134413122122222-=+-+-+=-⨯+-⨯+⨯=X E所以，()()X E -=321θ．将()X E 替换成样本均值X ，得参数θ的矩估计量为 ()X -=321ˆθ． 应填：()X -321．5．显著性检验是指____________________________________． 解：显著性检验是指只控制犯第Ⅰ类错误的概率，而不考虑犯第Ⅱ类错误的概率的检验． 应填：只控制犯第Ⅰ类错误的概率，而不考虑犯第Ⅱ类错误的概率的检验．二、选择题（本题共5小题，每小题3分，满分15分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内） 1．设随机变量()2,1~-N X ，()2,1~N Y ，而且X 与Y 不相关，令Y aX U +=，bY X V +=，且U 与V 也不相关，则有()A .0==b a ； ()B .0≠=b a ； ()C .0=+b a ； ()D .0=ab ．【 】解：()()bY X Y aX V U ++=,cov ,cov()()()()()()()()Y bD Y X ab X aD Y Y b Y X ab X X a +++=+++=,cov 1,cov ,cov 1,cov再由于随机变量()2,1~-N X ，()2,1~N Y ，而且X 与Y 不相关，所以()2=X D ，()2=Y D ，()0,cov =Y X ． 因此，()()b a V U +=2,cov ．这表明：随机变量U 与V 不相关，当且仅当()()02,cov =+=b a V U ，当且仅当0=+b a ． 应选：()C ．2．对两台仪器进行独立测试，已知第一台仪器发生故障的概率为1p ，第二台仪器发生故障的概率为2p ．令X 表示测试中发生故障的仪器数，则()=X E()A .21p p +； ()B .()()122111p p p p -+-； ()C .()211p p -+； ()D .21p p ．【 】解：由于X 表示测试中发生故障的仪器数，所以X 的取值为2,1,0，并且X 的分布律为所以()()()()()21211221212111110p p p p p p p p p p X E +=⨯+-+-⨯+--⨯=． 应选：()A ．3．若Y X ,ρ表示二维随机变量()Y X ,的相关系数，则“1,=Y X ρ”是“存在常数a 、b 使得{}1=+=bX a Y P ”的()A .必要条件，但非充分条件； ()B .充分条件，但非必要条件； ()C .充分必要条件； ()D .既非充分条件，也非必要条件．【 】解：由相关系数的性质，可知“1,=Y X ρ”是“存在常数a 、b 使得{}1=+=bX a Y P 的充分必要条件． 应选：()C ．4．根据辛钦大数定律，样本均值X 是总体期望()μ=X E 的()A .矩估计量； ()B .最大似然估计量； ()C .无偏估计量； ()D .相合估计量．【 】解：辛钦大数定律指出：设{}n X 是独立同分布的随机变量序列，且()μ=n X E 存在，则对任意给定的0>ε，有01lim 1=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥-∑=∞→εμn i i n X n P ， 即{}0lim =≥-∞→εμX P n这表明，样本均值X 是总体期望()μ=X E 的相合估计量． 应选：()D ．5．设总体X 服从参数10=λ的泊松（Poisson ）分布，现从该总体中随机选出容量为20一个样本，则该样本的样本均值的方差为()A . 1； ()B . 5.0； ()C . 5； ()D . 50．【 】解：由于总体服从参数10=λ的泊松（Poisson ）分布，所以()10==λX D ．又从该总体中随机选出容量为20一个样本，则若令X 是其样本均值，则()()5.02010===n X D X D ． 应选：()B ．三．（本题满分10分）某学生接连参加同一课程的两次考试．第一次考试及格的概率为p ，如果他第一次及格，则第二次及格的概率也为p ，如果他第一次不及格，则第二次及格的概率为2p． ⑴ 求他第一次与第二次考试都及格的概率． ⑵ 求他第二次考试及格的概率．⑶ 若在这两次考试中至少有一次及格，他便可以取得某种证书，求该学生取得这种证书的概率． ⑷ 若已知第二次考试他及格了，求他第一次考试及格的概率． 解：设{}该学生第一次考试及格=A ，{}该学生第二次考试及格=B ． 则由题设，()p A P =，()p A B P =，()2p B A P =． ⑴ ()()()2p A B P A P AB P ==．⑵ ()()()()()()()21212p p p p p A B P A P A B P A P B P +=-+=+=． ⑶ ()()()()()()23212p p p p p p AB P B P A P B A P -=-++=-+=⋃． ⑷ ()()()()p pp p p B P AB P B A P +=+==12212．四．（本题满分10分）设顾客在某银行等待服务的时间X （单位：分钟）是服从5=θ的指数分布．某顾客在窗口等待服务，若等待时间超过10分钟，他便离开．⑴ 求某次该顾客因等待时间超过10分钟而离开的概率．⑵ 若在某月中，该顾客来到该银行7次，但有3次顾客的等待时间都超过10分钟，该顾客是否有理由推断该银行的服务十分繁忙． 解：由于随机变量X 服从5=θ的指数分布，所以X 的概率密度函数为()⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-00515x x ex f x． ⑴ {}{}135335283.05110102105105==-==≥=-+∞-∞+-⎰e e dx e X P P x x分钟顾客等待时间超过 ⑵ 设Y 表示该顾客在一个月内等待时间超过10分钟的次数，则()2,7~-e b Y ．所以，()()()048494457.013423237=-==--e eC Y P ．这表明，()3=Y 是一个小概率事件，由于小概率事件在一次试验中是几乎不可能发生的，现在发生了．因此该顾客有理由推断该银行的服务十分繁忙． 五．（本题满分10分）一射手进行射击，击中目标的概率为p ()10<<p ，射击直至击中2次目标时为止．令X 表示首次击中目标所需要的射击次数，Y 表示总共所需要的射击次数． ⑴ 求二维随机变量()Y X ,的联合分布律．⑵ 求随机变量Y 的边缘分布律．⑶ 求在n Y =时，X 的条件分布律．并解释此分布律的意义． 解：⑴ 随机变量Y 的取值为 ,4,3,2；而随机变量X 的取值为1,,2,1-n ，并且(){}次第次，第二次命中目标在第一次命中目标在第n m P n Y m X P ===, 2211p q p q p q n m n m ----=⋅=， （其中p q -=1） ()1,,2,1;,4,3,2-==n m n ．⑵ ()()()221122111,p q n p q n Y m X P n Y P n n m n n m --=--=-======∑∑，() ,4,3,2=n ． 即随机变量Y 的边缘分布律为()()221p q n n Y P n --== () ,4,3,2=n ．⑶ 由于()()()()111,2222-=-=======--n p q n p q n Y P n Y m X P n Y m X P n n 因此在n Y =时，X 的条件分布律为 ()11-===n n Y m X P ()1,,2,1-=n m 这表明，在n Y =的条件下，X 的条件分布是一个“均匀”分布．它等可能地取值1,,2,1-n ．六．（本题满分10分）一食品店有三种蛋糕出售，由于售出哪一种蛋糕是随机的，因而一只蛋糕的价格是一个随机变量，它取1元、2.1元、5.1元各个值的概率分别为3.0、2.0、5.0．某天该食品店出售了300只蛋糕．试用中心极限定理计算，这天的收入至少为395元的概率． （附表：标准正态分布()x Φ的数值表：解：设k X 表示该食品店出售的第k 只蛋糕的价格()300,,2,1 =k ，则k X 的分布律为所以，()29.15.05.12.02.13.01=⨯+⨯+⨯=k X E ，()713.15.05.12.02.13.012222=⨯+⨯+⨯=k X E ， 所以，()()()[]0489.029.1713.1222=-=-=k k k X E X E X D ．因此，30021,,,X X X 是独立同分布的随机变量，故()()()()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-<--=⎪⎭⎫ ⎝⎛≥∑∑∑∑∑∑======3001300130013001300130013951395k k k k k k k k k k k k X D X E X D X E X P X P ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⨯⨯-<⨯⨯--=∑=0489.030029.130********.030029.130013001k k X P ()0183.09817.0109.2109.20489.030029.130013001=-=Φ-=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛<⨯⨯--=∑=k k X P ．七．（本题满分10分） 设总体X 的密度函数为()()⎩⎨⎧≤>=+-cx cx x c x f 01θθθ． 其中0>c 是已知常数，而1>θ是未知参数．()m X X X ,,,21 是从该总体中抽取的一个样本，试求参数θ的最大似然估计量． 解：似然函数为()()()()()121111+-=+-====∏∏θθθθθθθn n n ni i n i i x x x c x c x f L所以，()()∑=+-+=ni ixc n n L 1ln 1ln ln ln θθθθ．所以，()∑=-+=ni i x c n nL d d 1ln ln ln θθθ．令：()0ln =θθL d d ，即0ln ln 1=-+∑=n i i x c n nθ， 得到似然函数的唯一驻点cxnni iln ln 1-=∑=θ．所以参数θ的最大似然估计量为cXnni iln ln ˆ1-=∑=θ．八．（本题满分10分） 设总体()21,~σμNX ，总体()22,~σμN Y ，()m X X X ,,,21 是从总体X 中抽取的一个样本，()n Y Y Y ,,,21 是从总体Y 中抽取的一个样本．并且随机变量n m Y Y Y X X X ,,,,,,,2121相互独立．记21S 是样本()m X X X ,,,21 的样本方差，22S 是样本()n Y Y Y ,,,21 的样本方差．再设()()21122212-+-+-=n m S n S m S W证明：2W S 是2σ的无偏估计．解：由于总体()21,~σμNX ，()m X X X ,,,21 是从总体X 中抽取的一个样本，所以()()1~12221--m S m χσ．又由于总体()22,~σμNY ，()n Y Y Y ,,,21 是从总体Y 中抽取的一个样本，所以()()1~12222--n S n χσ．所以，()()()()()222122212211111σσσσσ-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅=-m S m E S m E Sm E ， ()()()()()222222222221111σσσσσ-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅=-n S n E S n E S n E ． 所以， ()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-+-=21122212n m S n S m E S E W()[]()[]22211121S n E S m E n m -+--+=()()[]2221121σσσ=-+--+=n m n m 所以，()()21122212-+-+-=n m S n S m SW是2σ的无偏估计．九．（本题满分10分）检验某批矿砂中的含镍量，随机抽取7份样品，测得含镍量百分比分别为：67.2 33.3 69.3 01.3 98.3 15.3 69.3假设这批矿砂中的含镍量的百分比服从正态分布，试在05.0=α下检验这批矿砂中的含镍量的百分比为25.3．（附表：t 分布的分位点表：()9432.1605.0=t ()4469.26025.0=t ()8946.1705.0=t ()3646.27025.0=t解：设X 表示这批矿砂中的含镍量的百分比，则()2,~σμNX ．25.3:0=μH ()25.3:1≠μH由于总体方差未知，故用检验统计量n SX T 25.3-=当0H 成立时，()1~25.3--=n t n SX T ．由于显著性水平05.0=α，7=n ，所以()4469.26025.0=t ．因此检验的拒绝域为()⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥-=4469.225.3:,,,7211n sx x x x W由样本观测值，得36.3=x ，455668007.0=s 所以，4469.2638694486.0745*******.025.336.325.3<=-=-n sx 所以，不拒绝0H ，可以认为这批矿砂中的含镍量的百分比为25.3．。