2020中考数学复习微专题：最值(“胡不归”问题)

2020年中考复习专题：“胡不归”问题在前面的最值问题中往往都是求某个线段最值或者形如PA+PB最值，除此之外我们还可能会遇上形如“PA+kPB”这样的式子的最值，此类式子一般可以分为两类问题：(1)胡不归问题；(2)阿氏圆.本文简单介绍“胡不归”模型【故事介绍】从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家，根据“两点之间线段最短”，虽然从他此刻位置A到家B之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭.邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归?胡不归?”(“胡”同“何”)而如果先沿着驿道AC先走一段，再走砂石地，会不会更早到家?【模型建立】如图，一动点P在直线MN外的运动速度为V1，在直线MN上运动的速度为V2，且V1＜V2，A、B为定点，点C在直线MN上，确定点C的位置使ACV2+BCV1的值最小【问题分析】AC V2+BCV1=1V1(BC+V1V2AC)，记k=V1V2，即求BC+kAC的最小值【问题解决】构造射线AD使得sin∠DAN＝k，CHAC=k，CH＝kAC.将问题转化为求BC+CH最小值，过B点作BH⊥AD交MN于点C，交AD于H点，此时BC+CH 取到最小值，即BC+kAC最小.【模型总结】在求形如“PA+kPB＂的式子的最值问题中，关键是构造与kPB相等的线段，将“PH+kPB”型问题转化为“PA+PC”型.而这里的PB必须是一条方向不变的线段，方能构造定角利用三角函数得到kPB的等线段.【2019长沙中考】如图，△ABC中，AB＝AC＝10，tanA=2，BE⊥AC于点E，D是线段BEBD的最小值是上的一个动点，则CD+√55【2019南通中考】如图，平行四边形ABCD中，∠DAB=60°，AB＝6，BC=2，P为边CD上PD的最小值等于的一动点，则PB+√32【2014成都中考】如图，已知抛物线y＝k8(x+2)(x-4)(k为常数，且k>0)与x轴从左至右依次交于A，B两点，与y轴交于点C，经过点B的直线y＝−√33x+b与抛物线的另一交点为D.(1)若点D的横坐标为-5，求抛物线的函数表达式(2)在(1)的条件下，设F为线段BD上一点(不含端点)，连接AF，一动点M从点A出发，沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F，再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D后停止，当点F的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时最少?【2018重庆中考】抛物线y=−√66x2−2√33x+√6与x轴交于点A，B(点A在点B的左边)，与y轴交于点C.点P是直线AC上方抛物线上一点，PF⊥x轴于点F，PF与线段AC交于点E;将线段OB沿x轴左右平移，线段OB的对应线段是O1B1，当PE+12EC的值最大时，求四边形PO1B1C周长的最小值，并求出对应的点O1的坐标。

专题10 最值模型---胡不归问题最值问题在中考数学常以压轴题的形式考查，可将胡不归问题看作将军饮马衍生，主要考查转化与化归等的数学思想。

在各类考试中都以高档题为主，中考说明中曾多处涉及。

本专题就最值模型中的胡不归问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

在解决胡不归问题主要依据是：①两点之间，线段最短；②垂线段最短。

【模型背景】从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家．根据“两点之间线段最短”，虽然从他此刻位置A 到家B 之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭．邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？看到这里很多人都会有一个疑问，少年究竟能不能提前到家呢？假设可以提早到家，那么他该选择怎样的一条路线呢？这就是今天要讲的“胡不归”问题.【模型解读】一动点P 在直线MN 外的运动速度为V 1，在直线MN 上运动的速度为V 2，且V 1<V 2，A 、B 为定点，点C 在直线MN 上，确定点C 的位置使21AC BCV V的值最小．（注意与阿氏圆模型的区分）V 12V 1驿道砂石地ABCV 2V 1MNCBA1）121121=V AC BC BC AC V V V V ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，记12V k V =，即求BC +kAC 的最小值. 2）构造射线AD 使得sin ∠DAN =k ，CHk AC=，CH =kAC ,将问题转化为求BC +CH 最小值. 3）过B 点作BH ⊥AD 交MN 于点C ，交AD 于H 点，此时BC +CH 取到最小值，即BC +kAC 最小．【解题关键】在求形如“P A +kPB ”的式子的最值问题中，关键是构造与kPB 相等的线段，将“P A +kPB ”型问题转化为“P A +PC ”型．（若k >1，则提取系数，转化为小于1的形式解决即可）。

【最值原理】两点之间线段最短及垂线段最短。

2020重庆中考复习数学几何最值专题训练十三（含答案解析）---胡不归和阿氏圆问题例1、（2019•定远县二模）如图：在矩形ABCD 中，AB ＝1．BC ＝，P 为边AD 上任意一点，连接PB ，则PB +PD 的最小值为（ ） A ．+B ．2C ．D ．练习：1、如图，在菱形ABCD 中，∠DAB ＝60°，AB ＝4，点M 为菱形ABCD 对角线AC （不含A 点）上的任意 一点，则BM +AM 的最小值为 ．MACBD2、（2019•南通）如图，ABCD Y 中，∠DAB ＝60°，AB ＝6，BC ＝2，P 为边CD 上的一动点，则PB +PD的最小值等于 ．例2、（2019秋•金牛区校级期中）如图，已知Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠BAC ＝30°，延长BC 至D 使CD ＝BC ，连接AD ，且AD ＝4，点P 为线段AC 上一动点，连接BP ．则2BP +AP 的最小值为 ．练习：（2016秋•武侯区期末）如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，延长BC至D使CD＝ BC，连接AD．若E为线段CD的中点，且AD＝4，点P为线段AC上一动点，连接EP，BP．则EP+AP 的最小值为 ；2BP+AP的最小值为 ．例3、如图，在△ACE中，CA＝CE，∠CAE＝30°，⊙O经过点C，且圆的直径AB在线段AE上．设点D是线段AC上任意一点（不含端点），连接OD，当AB＝8 时，则CD+OD的最小值为 ．练习：1、如图，AB是⊙O的直径，CE切⊙O于点C交AB的延长线于点E．设点D是弦AC上任意一点（不含端点），若∠CEA＝30°，BE＝4，则CD+2OD的最小值为（ ）A．2 B． C．4 D．42、（2015秋•天河区期末）如图，在△ACE中，CA＝CE，∠CAE＝30°，⊙O经过点C，且圆的直径AB在线段AE上．设点D是线段AC上任意一点（不含端点），连接OD，当AB＝8时，则CD+OD的最小值为 ．3、（2018秋•新罗区校级月考）如图，在△ACE中，CA＝CE，∠CAE＝30°，⊙O经过点C，且⊙O的直径AB在线段AE上．设点D是线段AC上任意一点（不含端点），连接OD，当CD+OD的最小值为 时，则⊙O的直径AB的长为 ．4、（2015•内江）如图，在△ACE中，CA＝CE，∠CAE＝30°，⊙O经过点C，且圆的直径AB在线段AE上．设点D是线段AC上任意一点（不含端点），连接OD，当CD+OD的最小值为6时，则⊙O 的直径AB的长为 ．例4、（2019•长沙）如图，△ABC中，AB＝AC＝10，tan A＝2，BE⊥AC于点E，D是线段BE上的一个动点，则CD+BD的最小值是（ ）A．2 B．4 C．5 D．10例5、（2019•路桥区一模）如图，在扇形OCD 中，∠COD ＝90°，OC ＝3，点A 在OD 上，AD ＝1，点B 为OC 的中点，点E 是弧CD 上的动点，则AE +2EB 的最小值是 ．例6、如图，在Rt △ABC 中，∠ABC=90°，BC=4，AB=6，在线段AB 上有一点M ，且BM=2.在线段AC上有一动点N ，连接MN ，BN.将BMN ∆沿BN 翻折得到BM N '∆.连接AM '、.CM '则223CM AM ''+的最小值为例7、（2018秋•惠山区校级期中）问题提出：如图1，在等边△ABC中，AB＝12，⊙C半径为6，P为圆上一动点，连结AP，BP，求AP+BP的最小值．（1）尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图2，连接CP，在CB上取点D，使CD＝3，则有＝＝，又∵∠PCD＝∠BCP，∴△PCD∽△BCP，∴＝，∴PD＝BP，∴AP+BP＝AP+PD．请你完成余下的思考，并直接写出答案：AP+BP的最小值为．（2）自主探索：如图3，矩形ABCD中，BC＝7，AB＝9，P为矩形内部一点，且PB＝3，AP+PC的最小值为 ．（3）拓展延伸：如图4，扇形COD中，O为圆心，∠COD＝120°，OC＝4，OA＝2，OB＝3，点P 是上一点，求2P A+PB的最小值，画出示意图并写出求解过程．练习：1、（2019•清江浦区一模）问题提出：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝4，CA＝6，⊙C半径为2，P为圆上一动点，连结AP、BP，求AP+BP的最小值．（1）尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图2，连接CP，在CB上取点D，使CD＝1，则有＝＝，又∵∠PCD＝∠BCP，∴△PCD∽△BCP．∴＝，∴PD＝BP，∴AP+BP＝AP+PD．请你完成余下的思考，并直接写出答案：AP+BP的最小值为 ．（2）自主探索：在“问题提出”的条件不变的情况下，AP+BP的最小值为 ．（3）拓展延伸：已知扇形COD中，∠COD＝90°，OC＝6，OA＝3，OB＝5，点P是上一点，求2P A+PB的最小值．2、（2019•宝鸡模拟）问题提出：（1）如图①，已知线段AB和BC，AB＝2，BC＝5，则线段AC的最小值为 ；问题探究（2）如图②，已知扇形COD中，∠COD＝90°，DO＝CO＝6，点A是OC的中点，延长OC到点F，使CF＝OC，点P是上的动点，点B是OD上的一点，BD＝1．（i）求证：△OAP～△OPF；（ii）求BP+2AP的最小值；问题解决：（3）如图③，有一个形状为四边形ABCD的人工湖，BC＝9千米，CD＝4千米，∠BCD＝150°，现计划在湖中选取一处建造一座假山P，且BP＝3千米，为方便游客观光，从C、D分别建小桥PD，PC．已知建桥PD每千米的造价是3万元，建桥PC每千米的造价是1万元，建桥PD和PC的总造价是否存在最小值？若存在，请确定点P的位置并求出总造价的最小值，若不存在，请说明理由．（桥的宽度忽略不计）答案解析例1、（2019•定远县二模）如图：在矩形ABCD 中，AB ＝1．BC ＝，P 为边AD 上任意一点，连接PB ，则PB +PD 的最小值为（ ） A ．+B ．2C ．D ．解：如图，连接BD ，在矩形ABCD 中，AB ＝DC ＝1．BC ＝，∴tan ∠DBC ＝＝，∴∠DBC ＝30°，作∠DBN ＝∠DBC ＝30°，过点D 作DM ⊥BN 于点M ，BN 交AD 于点P ． ∴∠MDB ＝60°，∵AD ∥BC ，∴∠PDB ＝∠DBC ＝30°，∴∠MDP ＝30°，∴PM ＝PD 此时BP +PD ＝BP +PM 最小，最小值为BM 的长，∵∠MBD ＝∠CBD ，∠BMD ＝∠C ＝90°，BD ＝BD ，∴△BMD ≌△BCD （AAS ），∴BM ＝BC ＝∴PB +PD 的最小值为．故选：C ．练习：1、如图，在菱形ABCD 中，∠DAB ＝60°，AB ＝4，点M 为菱形ABCD 对角线AC （不含A 点）上的任意 一点，则BM +AM 的最小值为 2．MAC BDMACBD E解：连接BD ，作BE ⊥AD 于E ，当B 、M 、E 在同一条直线上时，BM +ME 的值最小； ∵四边形ABCD 是菱形，∠DAB ＝60°，∴△ABD 是等边三角形，BE 是AD 边上的中线，∴AE ＝DE ＝AB ＝2， ∵∠DAC ＝30°，∴ME ＝AM ，∴BM +AM 的最小值BE ＝＝2；Y中，∠DAB＝60°，AB＝6，BC＝2，P为边CD上的一动点，则PB+PD 2、（2019•南通）如图，ABCD的最小值等于 3 ．解：如图，过点P作PE⊥AD，交AD的延长线于点E，∵AB∥CD ∴∠EDP＝∠DAB＝60°，∴sin∠EDP＝∴EP＝PD∴PB+PD＝PB+PE，∴当点B，点P，点E三点共线且BE⊥AD时，PB+PE有最小值，即最小值为BE，∵sin∠A＝＝∴BE＝3例2、（2019秋•金牛区校级期中）如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，延长BC至D 使CD＝BC，连接AD，且AD＝4，点P为线段AC上一动点，连接BP．则2BP+AP的最小值为 4 ．解：如图中，作PF⊥AD于F，BF′⊥AD于F′，交AC于P′．∵∠P AF＝30°，∠PFPFA A＝90°，∴PF＝P A，∴2BP+AP＝2（PB+P A）＝2（PB+PF），∴当B、P、F共线时，即BF′⊥AD时，PB+PF最短，最小值为线段BF′，在Rt△DF′B中，∵∠D＝60°，DB＝4，∴EF′＝EB•sin60°＝2，∴2BP+AP的最小值为4，练习：（2016秋•武侯区期末）如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，延长BC至D使CD＝ BC，连接AD．若E为线段CD的中点，且AD＝4，点P为线段AC上一动点，连接EP，BP．则EP+AP 的最小值为 ；2BP+AP的最小值为 ．解：①如图1中，作PF⊥AB于F，EF′⊥AB于F′，交AC于P′．∵∠P AF＝30°，∠PFPFA A＝90°，∴PF＝P A，∴PE+P A＝PE+PF，∴当E、P、F共线时，即EF′⊥AB时，PE+PF最短，最小值为线段EF′，在Rt△EF′B中，∵∠B＝60°，EB＝3，∴EF′＝EB•sin60°＝，∴EP+AP的最小值为． ②如图2中，作PF⊥AD于F，EF′⊥AD于F′，交AC于P′．∵∠P AF＝30°，∠PFPFA A＝90°，∴PF＝P A，∴2BP+AP＝2（PB+P A）＝2（PB+PF）， ∴当B、P、F共线时，即BF′⊥AD时，PB+PF最短，最小值为线段BF′，在Rt△DF′B中，∵∠D＝60°，DB＝4，∴EF′＝EB•sin60°＝2，∴2BP+AP的最小值为4．例3、如图，在△ACE中，CA＝CE，∠CAE＝30°，⊙O经过点C，且圆的直径AB在线段AE上．设点D是线段AC上任意一点（不含端点），连接OD，当AB＝8 时，则CD+OD的最小值为 ．解：作OF平分∠AOC，交⊙O于F，连接AF、CF、DF，如图2所示，则∠AOF＝∠COF＝60°．∵OA＝OF＝OC，∴△AOF、△COF是等边三角形，∴AF＝AO＝OC＝FC，∴四边形AOCF是菱形，∴根据对称性可得DF＝DO．过点D作DH⊥OC于H，∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC＝30°，∴DH＝DC•sin∠DCH＝DC•sin30°＝DC，∴CD+OD＝DH+FD．根据两点之间线段最短可得：当F、D、H三点共线时，CD+OD =DH+FD最小，∵OF＝OA＝4，∴此时FH＝DH+FD＝OF•sin∠FOH＝4×＝6，即CD+OD的最小值为6． 练习：1、如图，AB是⊙O的直径，CE切⊙O于点C交AB的延长线于点E．设点D是弦AC上任意一点（不含端点），若∠CEA＝30°，BE＝4，则CD+2OD的最小值为（ ）A．2 B． C．4 D．4解：如图，作OF平分∠AOC，交⊙O于F，连接AF、CF、DF，∵CE切⊙O于点C，∴∠OCE＝90°， 又∵∠CEA＝30°，∴∠AOC＝120°，则∠AOF＝∠COF＝∠AOC＝（180°﹣60°）＝60°． ∵BE＝4，∴2OC＝OB+BE，即2OC＝OC+4，则OC＝4，即圆的半径为4，∵OA＝OF＝OC，∴△AOF、△COF是等边三角形，∴AF＝AO＝OC＝FC，∴四边形AOCF是菱形，∴根据对称性可得DF＝DO．过点D作DH⊥OC于H，∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC＝30°，∴DH＝DC•sin∠DCH＝DC•sin30°＝DC，∴CD+OD＝DH+FD．根据垂线段最短可得：当F、D、H三点共线时，DH+FD（即CD+OD）最小，此时CD+2OD＝2（DH+FD），∵FH＝OF•sin∠FOH＝OF＝2，∴CD+2OD＝2（DH+FD）＝2FH＝4，故选：D．2、（2015秋•天河区期末）如图，在△ACE中，CA＝CE，∠CAE＝30°，⊙O经过点C，且圆的直径AB在线段AE上．设点D是线段AC上任意一点（不含端点），连接OD，当AB＝8时，则CD+OD的最小值为 ．解：作OF平分∠AOC，交⊙O于F，连接AF、CF、DF，如图2所示，则∠AOF＝∠COF＝60°．∵OA＝OF＝OC，∴△AOF、△COF是等边三角形，∴AF＝AO＝OC＝FC，∴四边形AOCF是菱形，∴根据对称性可得DF＝DO．过点D作DH⊥OC于H，∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC＝30°，∴DH＝DC•sin∠DCH＝DC•sin30°＝DC，∴CD+OD＝DH+FD．根据两点之间线段最短可得：当F、D、H三点共线时，CD+OD =DH+FD最小，∵OF＝OA＝4，∴此时FH＝DH+FD＝OF•sin∠FOH＝×4＝2，即CD+OD的最小值为2． 3、（2018秋•新罗区校级月考）如图，在△ACE中，CA＝CE，∠CAE＝30°，⊙O经过点C，且⊙O的直径AB在线段AE上．设点D是线段AC上任意一点（不含端点），连接OD，当CD+OD的最小值为 时，则⊙O的直径AB的长为 ．解：作OF平分∠AOC，交⊙O于F，连接AF、CF、DF，则∠AOF＝∠COF＝60°．∵OA＝OF＝OC，∴△AOF、△COF是等边三角形，∴AF＝AO＝OC＝FC，∴四边形AOCF是菱形，∴根据对称性可得DF＝DO．过点D作DH⊥OC于H，∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC＝30°，∴DH＝DC•sin∠DCH＝DC•sin30°＝DC，∴CD+OD＝DH+FD．根据两点之间线段最短可得：当F、D、H三点共线时，CD+OD =DH+FD最小，此时FH＝OF•sin∠FOH＝OF＝4，则OF＝8，AB＝2OF＝16．∴当 CD+OD的最小值为 时，⊙O的直径AB的长为16．4、（2015•内江）如图，在△ACE中，CA＝CE，∠CAE＝30°，⊙O经过点C，且圆的直径AB在线段AE上．设点D是线段AC上任意一点（不含端点），连接OD，当CD+OD的最小值为6时，则⊙O 的直径AB的长为 ．解：作OF平分∠AOC，交⊙O于F，连接AF、CF、DF，如图，则∠AOF＝∠COF＝∠AOC＝（180°﹣60°）＝60°．∵OA＝OF＝OC，∴△AOF、△COF是等边三角形，∴AF＝AO＝OC＝FC，∴四边形AOCF是菱形，∴根据对称性可得DF＝DO．过点D作DH⊥OC于H，∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC＝30°，∴DH＝DC•sin∠DCH＝DC•sin30°＝DC，∴CD+OD＝DH+FD．根据垂线段最短可得：当F、D、H三点共线时，DH+FD（即CD+OD）最小，此时FH＝OF•sin∠FOH＝OF＝6，则OF＝4，AB＝2OF＝8．∴当CD+OD的最小值为6时，⊙O的直径AB的长为8．例4、（2019•长沙）如图，△ABC中，AB＝AC＝10，tan A＝2，BE⊥AC于点E，D是线段BE上的一个动点，则CD+BD的最小值是（ B ）A．2 B．4 C．5 D．10方法一：如图，作DH⊥AB于H，CM⊥AB于M．∵BE⊥AC，∴∠AEB＝90°，∵tan A＝＝2，设AE＝a，BE＝2a，则有：100＝a2+4a2，∴a2＝20，∴a＝2或﹣2（舍弃），∴BE＝2a＝4，∵AB＝AC，BE⊥AC，CM⊥AB，∴CM＝BE＝4（等腰三角形两腰上的高相等）） ∵∠DBH＝∠ABE，∠BHD＝∠BEA，∴sin∠DBH＝＝＝，∴DH＝BD，∴CD+BD＝CD+DH，∴CD+DH≥CM，∴CD+BD≥4，∴CD+BD的最小值为4．通过三角形相似或三角函数证得BD＝DM，方法二：作CM⊥AB于M，交BE于点D，则点D满足题意．满足题意．通过三角形相似或三角函数证得从而得到CD +BD ＝CM ＝4．故选：B ．例5、（2019•路桥区一模）如图，在扇形OCD 中，∠COD ＝90°，OC ＝3，点A 在OD 上，AD ＝1，点B为OC 的中点，点E 是弧CD 上的动点，则AE +2EB 的最小值是 2 ．解：如图，延长OC 至F ，使得CF ＝OC ＝3．连结EF ，OE ，∵，∠EOB 为公共角，∴△OBE ∽△OEF ，∴，∴2BE ＝EF∴AE +2BE ＝AE +EF ，即A 、E 、F 三点共线时取得最小值.即由勾股定理得：AF ＝＝. 例6、如图，在Rt △ABC 中，∠ABC=90°，BC=4，AB=6，在线段AB 上有一点M ，且BM=2.在线段AC上有一动点N ，连接MN ，BN.将BMN ∆沿BN 翻折得到BM N '∆.连接AM '、.CM '则223CM AM ''+的最小值为2373.例7、（2018秋•惠山区校级期中）问题提出：如图1，在等边△ABC 中，AB ＝12，⊙C 半径为6，P 为圆上一动点，连结AP ，BP ，求AP +BP 的最小值．（1）尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图2，连接CP，在CB上取点D，使CD＝3，则有＝＝，又∵∠PCD＝∠BCP，∴△PCD∽△BCP，∴＝，∴PD＝BP，∴AP+BP＝AP+PD．请你完成余下的思考，并直接写出答案：AP+BP的最小值为．（2）自主探索：如图3，矩形ABCD中，BC＝7，AB＝9，P为矩形内部一点，且PB＝3，AP+PC的最小值为．（3）拓展延伸：如图4，扇形COD中，O为圆心，∠COD＝120°，OC＝4，OA＝2，OB＝3，点P 是上一点，求2P A+PB的最小值，画出示意图并写出求解过程．解：（1）解：（1）如图1，连结AD，过点A作AF⊥CB于点F，∵AP+BP＝AP+PD，要使AP+BP最小，∴AP+AD最小，当点A，P，D在同一条直线时，AP+AD最小，即：AP+BP最小值为AD，∵AC＝12，AF⊥BC，∠ACB＝60°∴CF＝6，AF＝6∴DF＝CF﹣CD＝6﹣3＝3，∴AD＝＝3，∴AP+BP的最小值为3（2）如图，在AB上截取BF＝1，连接PF，PC，∵AB＝9，PB＝3，BF＝1∴，且∠ABP＝∠ABP，∴△ABP∽△PBF，∴∴PF＝AP∴AP+PC＝PF+PC，∴当点F，点P，点C三点共线时，AP+PC的值最小，∴CF＝＝＝5，∴AP+PC的值最小值为5，（3）如图，延长OC，使CF＝4，连接BF，OP，PF，过点F作FB⊥OD于点M，∵OC＝4，FC＝4，∴FO＝8，且OP＝4，OA＝2，∴，且∠AOP＝∠AOP，∴△AOP∽△POF，∴∴PF＝2AP，∴2P A+PB＝PF+PB，∴当点F，点P，点B三点共线时，2AP+PB的值最小，∵∠COD＝120°，∴∠FOM＝60°，且FO＝8，FM⊥OM∴OM＝4，FM＝4，∴MB＝OM+OB＝4+3＝7，∴FB＝＝∴2P A+PB的最小值为．练习：1、（2019•清江浦区一模）问题提出：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝4，CA＝6，⊙C半径为2，P为圆上一动点，连结AP、BP，求AP+BP的最小值．（1）尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图2，连接CP，在CB上取点D，使CD＝1，则有＝＝，又∵∠PCD＝∠BCP，∴△PCD∽△BCP．∴＝，∴PD＝BP，∴AP+BP＝AP+PD．请你完成余下的思考，并直接写出答案：AP+BP的最小值为 ．（2）自主探索：在“问题提出”的条件不变的情况下，AP+BP的最小值为 ．（3）拓展延伸：已知扇形COD中，∠COD＝90°，OC＝6，OA＝3，OB＝5，点P是上一点，求2P A+PB的最小值．解：（1）如图1，连结AD，∵AP+BP＝AP+PD，要使AP+BP最小，∴AP+AD最小，当点A，P，D在同一条直线时，AP+AD最小，即：AP+BP最小值为AD，在Rt△ACD中，CD＝1，AC＝6，∴AD＝＝，AP+BP的最小值为.（2）如图2，连接CP，在CA上取点D，使CD＝，∴，∵∠PCD＝∠ACP，∴△PCD∽△ACP， ∴，∴PD＝AP，∴AP+BP＝BP+PD，∴同（1）的方法得出AP+BP的最小值为BD＝＝．（3）如图3，延长OA到点E，使CE＝6，∴OE＝OC+CE＝12，连接PE、OP，∵OA＝3，∴，∵∠AOP＝∠AOP，∴△OAP∽△OPE，∴，∴EP＝2P A， ∴2P A+PB＝EP+PB，∴当E、P、B三点共线时，取得最小值为：BE＝＝13．2、（2019•宝鸡模拟）问题提出：（1）如图①，已知线段AB和BC，AB＝2，BC＝5，则线段AC的最小值为 3 ；问题探究（2）如图②，已知扇形COD中，∠COD＝90°，DO＝CO＝6，点A是OC的中点，延长OC到点F，使CF＝OC，点P是上的动点，点B是OD上的一点，BD＝1．（i）求证：△OAP～△OPF；（ii）求BP+2AP的最小值；问题解决：（3）如图③，有一个形状为四边形ABCD的人工湖，BC＝9千米，CD＝4千米，∠BCD＝150°，现计划在湖中选取一处建造一座假山P，且BP＝3千米，为方便游客观光，从C、D分别建小桥PD，PC．已知建桥PD每千米的造价是3万元，建桥PC每千米的造价是1万元，建桥PD和PC的总造价是否存在最小值？若存在，请确定点P的位置并求出总造价的最小值，若不存在，请说明理由．（桥的宽度忽略不计）解：问题提出：（1）∵当点A在线段BC上时，线段AC有最小值，∴线段AC的最小值＝5﹣2＝3 问题探究（2）（i）∵点A是OC的中点，DO＝CO＝6＝OP，∴∵CF＝OC，∴OF＝2OC＝2OP， ∴,∴，且∠AOP＝∠FOP,∴△OAP～△OPF；（ii）∵△OAP～△OPF,∴,∴PF＝2AP，∵BP+2AP＝BP+PF∴当点F，点P，点B三点共线时，BP+2AP有最小值，最小值为BF，∴DO＝CO＝6，BD＝1∴BO＝5，OF＝12，∴BF＝＝13问题解决：（3）如图，以点B为圆心，3为半径作圆交AB于点E，交BC于点F，点P为上一点，连接BP，PC，PD，在BC上截取BM＝1，连接MD，过点D作DG⊥CB，∵，且∠PBM＝∠PBC，∴△BPM∽△BCP ∴，∴PC＝3PM∵建桥PD和PC的总造价＝3×PD+1×PC＝3PD+3PM＝3（PD+PM）∴当点P在线段MD上时，建桥PD和PC的总造价有最小值．∵∠BCD＝150°∴∠DCG＝30°，且DG⊥BC∴DG＝DC＝2，CG＝DG＝6，∴MG＝BC+CG﹣BM＝9+6﹣1＝14∴MD＝＝4，∴建桥PD和PC的总造价最小值＝3×4＝12万元。

中考数学最值——胡不归问题（点在直线上运动）（PA+k·PB型最值）【历史典故】从前，有一个小伙子在外地学徒，当他获悉在家的老父亲病危的消息后，便立即启程赶路。

由于思乡心切，他只考虑了两点之间线段最短的原理，所以选择了全是沙砾地带的直线路径A→B（如图所示），而忽视了走折线虽然路程多但速度快的实际情况，当他气喘吁吁地赶到家时，老人刚刚咽了气，小伙子失声痛哭。

邻居劝慰小伙子时告诉说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？…”。

这个古老的传说，引起了人们的思索，小伙子能否提前到家？倘若可以，他应该选择一条怎样的路线呢？这就是风靡千百年的“胡不归问题”。

【知识储备】①三角形三边关系：两边之和大于第三边；两边之差小于第三边。

②两点之间线段最短。

③连接直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短。

【模型分析】①条件：已知A、B为定点，P为射线AC上一动点。

②问题：P在何处时，BP+nm AP最短（nm＜1）。

③方法：第一步在AC的一侧，PB的异侧构造∠CAE=α，使得sinα=nm 第二步做BH⊥AE，交AC于P，点P就是所求位置，BH就是其最小值。

【模型分析】【问题提出】如图①，已知海岛A到海岸公路BD的距离为AB的长度，C为公路BD上的酒店，从海岛A到酒店C，先乘船到登陆点D，船速为a，再乘汽车，车速为船速的n倍，点D 选在何处时，所用时间最短?个运动过程中用时最少，请求出最少时间和此时点F的坐标。

【巩固训练】练习1：如图，四边形ABCD是菱形，AB=4，且∠ABC=60°，M为对角线BD（不含B点）上BM的最小值为_____。

任意一点，则AM＋12练习2：如图，等腰ΔABC中，AB=AC=3，BC=2，BC边上的高为A0，点D为射线A0上一点，一动点P从点A出发，沿AD-DC运动，动点P在AD上运动速度3个单位每秒，动点P在CD上运动的速度为1个单位每秒，则当 AD= 时，运动时间最短为秒。

专题10 最值模型---胡不归问题最值问题在中考数学常以压轴题的形式考查，可将胡不归问题看作将军饮马衍生，主要考查转化与化归等的数学思想。

在各类考试中都以高档题为主，中考说明中曾多处涉及。

本专题就最值模型中的胡不归问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

在解决胡不归问题主要依据是：①两点之间，线段最短；②垂线段最短。

【模型背景】从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家．根据“两点之间线段最短”，虽然从他此刻位置A 到家B 之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭．邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？看到这里很多人都会有一个疑问，少年究竟能不能提前到家呢？假设可以提早到家，那么他该选择怎样的一条路线呢？这就是今天要讲的“胡不归”问题.【模型解读】一动点P 在直线MN 外的运动速度为V 1，在直线MN 上运动的速度为V 2，且V 1<V 2，A 、B 为定点，点C 在直线MN 上，确定点C 的位置使21AC BC V V 的值最小．（注意与阿氏圆模型的区分）V 1V 2V 1驿道砂石地AB C V 2V 1M N CBA1）121121=V AC BC BC AC V V V V ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，记12V k V =，即求BC +kAC 的最小值. 2）构造射线AD 使得sin ∠DAN =k ，CH k AC=，CH =kAC ,将问题转化为求BC +CH 最小值. 3）过B 点作BH ⊥AD 交MN 于点C ，交AD 于H 点，此时BC +CH 取到最小值，即BC +kAC 最小．【解题关键】在求形如“P A +kPB ”的式子的最值问题中，关键是构造与kPB 相等的线段，将“P A +kPB ”型问题转化为“P A +PC ”型．（若k >1，则提取系数，转化为小于1的形式解决即可）。

中考最值专题--“胡不归模型”【模型识别】从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家．根据“两点之间线段最短”，虽然从他此刻位置A到家B之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭．邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？…”（“胡”同“何”）而如果先沿着驿道AC先走一段，再走砂石地，会不会更早些到家？【模型建立】如图，一动点P在直线MN外的运动速度为V1，在直线MN上运动的速度为V2，且V1<V2，A、B为定点，点C在直线MN上，确定点C的位置使的值最小．【问题分析】【问题解决】构造射线AD使得sin∠DAN=k，即CH/AC=K，CH=kAC．将问题转化为求BC+CH最小值，过B点作BH⊥AD交MN于点C，交AD于H点，此时BC+CH取到最小值，即BC+kAC最小．【模型总结】在求形如“PA+kPB”的式子的最值问题中，关键是构造与kPB相等的线段，将“PA+kPB”型问题转化为“PA+PC”型．而这里的PB必须是一条方向不变的线段，方能构造定角利用三角函数得到kPB的等线段．【掌握重难点】1．“胡不归”之情景再现，模型识别2．本质：“两定一动”型——系数不为1的最值问题处理3．三步处理：①作角；②作垂线；③计算胡不归最值模型典例讲解胡不归模型 巩固训练1．如图，ABC △在平面直角坐标系中，AB =AC ，A （0，22），C （1，0），D 为射线AO 上一点，一动点P 从A 出发，运动路径为A →D →C ，点P 在AD 上的运动速度是在CD 上的3倍，要使整个过程运动时间最少，则点D 的坐标应为（ ）A .），（20B . ），（220C . ），（320D . ），（422．如图，菱形ABCD 的对角线AC 上有一动点P ，BC =6，∠ABC =150°，则P A +PB +PD 的最小值为__________．3. 如图，在ACE △中，CA =CE ， CAE =30°，⊙O 经过点C ，且圆的直径AB 在线段AE 上． （1）试说明CE 是⊙O 的切线；（2）若ACE △中AE 边上的高为h ，试用含 h 的代数式表示⊙O 的直径AB ； （3）设点D 是线段AC 上任意一点（不含端点），连接OD ，当21CD +OD 的最小值为6时，求⊙O 的AB 的长．4. 如图，已知抛物线(2)(4)8ky x x =+−（k 为常数，k >0）与x 轴从左至右依次交于点A 、B ，与y 轴交于点C ，经过点B 的直线b x y +−=33与抛物线的另一个交点为D ． （1）若点D 的横坐标为－5，求抛物线的函数关系式；（2）在（1）的条件下，设F 为线段BD 上一点（不含端点），连接AF ，一动点M 从点A 出发，沿线段AF 以每秒1个单位的速度运动到F ，再沿线段FD 以每秒2个单位的速度运动到D 后停止，当点F 的坐标为多少时，点M 在整个运动过程中用时最少？5. 如图，抛物线n mx x y ++=221与直线321+−=x y 交于A 、B 两点，交x 轴于D 、C 两点，连接AC 、BC ，已知A （0，3），C （3，0）．（1）抛物线的函数关系式为____________________，tan ∠BAC =__________；（2）设E 为线段AC 上一点（不含端点），连接DE ，一动点M 从点D 出发，沿线段DE 以每秒一个单位的速度运动到E 点，再沿线段EA 以每秒2个单位的速度运动到点A 后停止，当点E 的坐标是多少时，点M 在整个运动过程中用时最少？6．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c的图像经过点A（－1，0），B（0，－3），C（2，0），其中对称轴与x轴交于点D．（1）求二次函数的表达式及其顶点坐标；1的最小值为__________．（2）若P为y轴上的一个动点，连接PD，则PDPB+27. 已知抛物线）)(1)(3(≠−+=axxay，与x轴从左至右依次相交于A、B两点，与y轴交于点C，经过点A 的直线bxy+−=3与抛物线的另一个交点为D．（1）若点D的横坐标为2，则抛物线的函数关系式为____________________；（2）在（1）的条件下，设点E是线段AD上一点（不含端点），连接BE，一动点Q从点B出发，沿线段BE以每秒1个单位的速度运动到点E，再沿线段ED以每秒332个单位运动到点D停止，问当点E的坐标为多少时，点Q运动的时间最少？。

中考数学专题复习几何最值之胡不归知识精讲从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家。

由于着急只考虑到了"两点之间线段最短"，虽然从他此刻位置A到家B之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着"胡不归？胡不归？"看到这里很多人都会有一个疑问，少年究竟能不能提前到家呢？假设可以提早到家，那么他该选择怎样的一条路线呢？这就是今天要讲的“胡不归”问题.将这个问题数学化，我们不妨设总时间为，则，由可得，提取一个得，若想总的时间最少，就要使得最小，如图，过定点A在驿道下方作射线AE，夹角为，且，作DG⊥AE于点G，则，将转化为DG＋DB，再过点B作BH⊥AE于点H，，则就是我们要找的点，此时DG＋DB的最小值为BH，，综上，所需时间的最小值为，B路线回家，或许还能见到父亲的最后一面.解决此类问题的一般方法：第一步：将所求的线段和改写成的形式；第二步：构造一个角，使得；第三步：过目的地作所构造的角的一边的垂线，该垂线段的长度就是所求的最小值；第四步：计算.例1：如图，P为正方形ABCD对角线BD上一动点，若AB＝2，求AP＋BP＋CP的最小值.【解析】连接AC，作∠DBE＝∠30º，交AC于点E，过点A作AF⊥BF，垂足为F，如图所示：在Rt△PBF中，∵∠PBF＝30º，的最小值即为线段AF的长。

在△ABF中，∵∠BAE＝45º，∠ABE＝75º，∴∠AEB＝60º，解得，∴AP＋BP＋CP.例2：如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，△COD关于CD的对称图形为△CED.（1）求证：四边形OCED是菱形；（2）连接AE，若AB＝6.①求sin∠EAD的值；②若点P为线段AE上一动点（不与点A重合），连结OP，一动点Q从点O出发，以1个单位每秒的速度沿线段OP匀速运动到点P，再以1.5个单位每秒的速度沿线段PA匀速运动到点A，到达点A后停止运动，当点Q沿上述路线运动到点A所需要的时间最短时，求AP的长和点Q走完全程所需的时间.【解答】（1）见解析；（2【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD，∵AC与BD交于点O，且△COD、△CED关于CD对称，∴DO＝OC，DO＝ED，OC＝CE，∴DO＝OC＝CE＝ED，∴四边形OCED是菱形；（2）①设AE交CD于点K，∵四边形OCED是菱形，∴DE∥AC，DE＝OC＝OA，∴，又∵AB＝CD＝6，∴DK＝2，CK＝4，在Rt△ADK，。

中考数学经典几何模型之胡不归最值模型(解析版)在数学中，经典几何模型是考试中经常出现的题型之一。

其中，胡不归最值模型是一种常见的最值问题。

这类问题通常涉及到形如“PA+kP”的式子，可以分为两类问题：胡不归问题和阿氏圆问题。

胡不归问题的故事源于一个少年外出求学，得知父亲病危后，他立即赶回家。

虽然他所在的位置到家的路上有一片砂石地，但他仍然义无反顾地走了这条路。

当他到家时，父亲已经去世了，他深感悔恨并痛哭流涕。

邻居告诉他，父亲在临终前一直念叨着“胡不归？胡不归？……”（“胡”同“何”）。

这个故事启发我们思考如何求解“PA+kP”型问题中的最值。

以胡不归问题为例，我们需要求解一个动点P在直线MN 外的运动速度为V1，在直线MN上运动的速度为V2，且V1<V2，A、B为定点，点C在直线MN上，确定点C的位置使得AC+BC的值最小，即求BC+kAC的最小值。

为了解决这个问题，我们可以构造射线AD使得sin∠DAN=k，即CH=kAC。

这样，我们可以将问题转化为求BC+CH最小值，过B点作BH⊥AD交MN于点C，交AD于H点，此时BC+CH取到最小值，即BC+kAC最小。

在解决“PA+kP”型问题时，关键是构造与kP相等的线段，将“PA+kP”型问题转化为“PA+PC”型。

而这里的P必须是一条方向不变的线段，方能构造定角利用三角函数得到kP的等线段。

举个例子，如图所示，在△ABC中，AB=AC=10，tanA=2，BE⊥AC于点E，D是线段BE上的一个动点，则CD+BD的最小值为5.这个问题的关键在于处理“CD+BD”的式子，考虑tanA=2，△ABE三边之比为1:2:5，sin ABE⊥AB交AB于H点，则DH=BD/5.通过构造HD，我们可以将问题转化为求CD+CH的最小值，其中CH=kAC，k=sin∠DAN=BD/5.过B点作BH⊥AD交MN于点C，交AD于H点，此时BC+CH取到最小值，即CD+BD的最小值为5.综上所述，胡不归最值模型是一类常见的最值问题。

几何最值之胡不归知识精讲
从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家。

由于着急只考虑到了"两点之间线段最短"，虽然从他此刻位置A到家B之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着"胡不归？胡不归？"
看到这里很多人都会有一个疑问，少年究竟能不能提前到家呢？假设可以提早到家，那么他该选择怎样的一条路线呢？这就是今天要讲的“胡不归”问题.
将这个问题数学化，我们不妨设总时间为，则，
由可得，提取一个得，
若想总的时间最少，就要使得最小，
如图，过定点A在驿道下方作射线AE，夹角为，且，
作DG⊥AE于点G，则，
将转化为DG＋DB，
再过点B作BH⊥AE于点H DG＋DB的最小值
为BH，
，
综上，所需时间的最小值为，
B路线回家，或许还能见到父亲的最后一面.
解决此类问题的一般方法：
第一步：将所求的线段和改写成的形式；
第二步：构造一个角，使得；
第三步：过目的地作所构造的角的一边的垂线，该垂线段的长度就是所求的最小值；
第四步：计算.
例1：如图，P为正方形ABCD对角线BD上一动点，若AB＝2，求AP＋BP＋CP的最小值.
【解析】连接AC，作∠DBE＝∠30º，交AC于点E，过点A作AF⊥BF，垂足为F，如图所示：。