《线性代数》—行列式的定义和性质

行列式与行列式的性质行列式是线性代数中的一个重要概念，它在矩阵理论、线性方程组的求解以及向量空间的性质研究等方面都起到了至关重要的作用。

本文将从行列式的定义、性质以及应用等方面进行论述，以便更好地理解和应用行列式。

一、行列式的定义行列式是一个方阵所具有的一个标量值，它可以用来描述方阵的性质和特征。

对于一个n阶方阵A=[a_ij]，其行列式记作det(A)或|A|，其中i和j分别代表矩阵中的行和列。

二、行列式的性质1. 行列式与矩阵的转置对于一个方阵A，其行列式与其转置矩阵的行列式相等，即det(A)=det(A^T)。

这个性质可以通过矩阵的定义和性质进行证明。

2. 行列式的可加性对于两个n阶方阵A和B，有det(A+B)=det(A)+det(B)。

这个性质可以通过行列式的定义和矩阵的性质进行证明。

3. 行列式的乘法性质对于一个n阶方阵A和一个标量k，有det(kA)=k^n*det(A)。

这个性质说明了行列式与矩阵的数乘之间的关系。

4. 行列式的行交换性对于一个n阶方阵A，如果将其两行进行交换，那么行列式的值会改变符号，即det(A)=-det(A')，其中A'是A进行行交换后的矩阵。

5. 行列式的行倍性对于一个n阶方阵A，如果将其某一行乘以一个非零标量k，那么行列式的值也会乘以k，即det(kA)=k*det(A)。

三、行列式的应用1. 线性方程组的求解行列式可以用来求解线性方程组的解，通过行列式的性质可以得到线性方程组是否有唯一解、无解或者有无穷多解。

2. 矩阵的可逆性一个n阶方阵A可逆的充要条件是其行列式不等于零，即det(A)≠0。

这个性质可以用来判断一个矩阵是否可逆。

3. 矩阵的秩矩阵的秩可以通过行列式的概念来定义，对于一个n阶矩阵A，其秩r等于其非零子式的最高阶数。

行列式的性质可以帮助我们计算矩阵的秩。

4. 矩阵的特征值与特征向量矩阵的特征值与特征向量可以通过行列式的性质来计算，特征值是一个标量，特征向量是一个非零向量，它们满足A*x=λ*x，其中A是矩阵，x是特征向量，λ是特征值。

行列式的性质与运算法则行列式是线性代数中的一个重要概念，它在矩阵运算中起着至关重要的作用。

行列式的性质和运算法则是我们学习和应用行列式的基础，本文将围绕这一主题展开阐述。

一、行列式的定义和基本性质行列式是一个数，它是一个方阵中元素的一种特殊组合。

对于一个n阶方阵A，它的行列式记作det(A)或|A|，其中n表示方阵的阶数。

行列式具有以下基本性质：1. 方阵A的行列式等于其转置矩阵A^T的行列式，即det(A) = det(A^T)。

2. 对调方阵A的两行（或两列），其行列式的值不变，即行列式具有行对换性质。

3. 如果方阵A的某一行（或某一列）的元素全为0，则行列式的值为0。

4. 行列式的值与方阵的行列式的值成正比，即如果一个方阵的某一行（或某一列）的元素都乘以一个常数k，那么行列式的值也将乘以k。

二、行列式的运算法则行列式的运算法则包括加法法则、数乘法则、乘法法则和转置法则。

1. 加法法则对于两个n阶方阵A和B，它们的行列式之和等于行列式分别取和的结果，即det(A + B) = det(A) + det(B)。

2. 数乘法则对于一个n阶方阵A和一个数k，方阵A的行列式乘以k等于行列式乘以k的结果，即det(kA) = k^n * det(A)。

3. 乘法法则对于两个n阶方阵A和B，它们的乘积的行列式等于行列式分别取乘积的结果，即det(AB) = det(A) * det(B)。

4. 转置法则对于一个n阶方阵A，它的转置矩阵A^T的行列式等于原方阵A的行列式，即det(A^T) = det(A)。

三、行列式的应用行列式的应用广泛，它在线性代数、微积分、几何学等领域都有重要的应用。

1. 判断方阵的可逆性一个n阶方阵A可逆的充要条件是其行列式不等于0，即det(A) ≠ 0。

利用这一性质，我们可以通过计算方阵的行列式来判断其可逆性。

2. 求解线性方程组对于一个n元线性方程组，我们可以将其系数矩阵表示为一个方阵A，并将常数项表示为一个列向量b。

行列式的性质及求解方法行列式是线性代数中的一个重要概念，具有广泛的应用领域，例如矩阵求逆、线性方程组的解法、空间向量的叉积等。

在本文中，我们将探讨行列式的性质及其求解方法。

一、行列式的定义及性质1.1 行列式的定义对于一个$n$阶方阵$A=[a_{ij}]$，定义它的行列式为：$$\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\\\end{vmatrix}=\sum_{\sigma \in S_n}(-1)^{\mathrm{sgn}(\sigma)}a_{1\sigma(1)}a_{2\sigma(2)}\cdotsa_{n\sigma(n)}$$其中，$\sigma$是$n$个元素的全排列，$S_n$表示$n$个元素的置换群，$\mathrm{sgn}(\sigma)$表示$\sigma$的符号，即$(-1)^k$，其中$k$为$\sigma$的逆序数。

1.2 行列式的性质- 行列式的值不变性行列式的值只与矩阵的元素有关，而与矩阵的行列变换或线性组合无关。

- 互换矩阵的两行或两列，行列式变号将矩阵的两行（列）互换，则该行列式的值取相反数。

- 矩阵的某一行（列）乘以一个数$k$，行列式的值乘以$k$将矩阵的某一行（列）乘以一个数$k$，则该行列式的值乘以$k$。

- 矩阵的某一行（列）加上另一行（列）的k倍，行列式不变将矩阵的某一行（列）加上另一行（列）的k倍，行列式的值不变。

- 方阵的行列式等于其转置矩阵的行列式$$\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\\\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}a_{11} & a_{21} & \cdots & a_{n1} \\a_{12} & a_{22} & \cdots & a_{n2} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_{1n} & a_{2n} & \cdots & a_{nn}\\\end{vmatrix}$$二、行列式的求解方法2.1 按定义计算法按照上述定义，计算行列式涉及到全排列的遍历与逆序数的计算，这种方法虽然理论上可行，但计算量较大，不适用于较大的矩阵。

行列式一、 行列式的定义对于n 阶方阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nn n nin n a a a a a a a a a A 22222111211， （11—2—1）与之相联系的一个数，表示成nnn ninna a a a a a a a a22222111211， （11—2—2）称为一个n 阶行列式或A 的行列式，记为A 或A det 。

在行列式中，ij a 也称为元素。

为了规定行列式的值，我们引入下面的概念。

定义 1 在方阵（11—2—1）中，划去元素ij a 所在的第i 行和第j 列，余下的()21-n 个元素按原来的排法构成的一个1-n 阶行列式nnj n j n n ni j i j i i n i j i j i i n j j a a a a a a a a a a a a a a a a1,1,1,11,11,11,1,11,11,11,111,11,111+-+++-++-+----+-，称为元素ij a 的余子式，记为ij M 。

()ij ji M +-1称为元素ij a 的代数余子式，记为ij A 。

例1 在四阶方阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----132********33112 中，第2行第3列的元素5的余子式是12420131223--=M 。

而其代数余子式为()321+-乘它的余子式M ，即12420131223---=A 。

定义2 一阶行列式只有一个元素，其值就规定为这个元素的值。

n 阶行列式（2≥n ）的值规定为它任意一行的各元素与对应的代数余子式的乘积之和。

用符号表示，就是()∑∑=+=-==nj ij ij ji nj ij ij M a A a A 111。

上式称为行列式按第i 行展开。

可以证明，这个值与展开时所用的行是没有关系的（见例3）。

例2 用定义展开二阶行列式22211211a a a a 。

解 按第1行展开。

因为()222211111a a A =-=+，()212121121a a A -=-=+，于是得这个行列式的值为2112221112121111a a a a A a A a -=+。

同济大学线性代数第六版行列式的定义与性质行列式是线性代数中的一个重要概念，广泛应用于各个领域。

在同济大学线性代数教材的第六版中，对行列式的定义和性质进行了详细的介绍和讲解。

本文将按照该教材的要求，对行列式的定义和性质进行论述，以便帮助读者更好地理解和掌握这一概念。

一、行列式的定义在同济大学线性代数第六版中，行列式的定义如下：给定一个n阶方阵 A = (a[i][j])，其中1≤i, j ≤ n，我们定义A的行列式为Det(A)，记作|A|。

对于一阶方阵来说，其行列式即为该方阵的唯一元素。

对于二阶方阵来说，其行列式的计算公式为：Det(A) = a[1][1]·a[2][2] -a[1][2]·a[2][1]。

对于三阶及以上的方阵，行列式的计算通过递推公式进行。

二、行列式的性质同济大学线性代数第六版还介绍了行列式的一系列性质，我们将逐一进行论述。

性质1：互换行（列）则行列式变号行列式Det(A)中，如果将A中的两行（列）进行互换，则行列式的值会发生变号。

性质2：行/列与常数相乘，则行列式乘以相应的常数行列式Det(A)中，如果将A的某一行（列）的所有元素都乘以一个常数k，则行列式的值也会乘以k。

性质3：行/列成比例，则行列式为0行列式Det(A)中，如果A的某行（列）的元素之间成比例，则行列式的值为0。

性质4：两行（列）相同，则行列式为0行列式Det(A)中，如果A的两行（列）完全相同，则行列式的值为0。

性质5：行列式的任意一行（列）可以表示为其他行（列）的线性组合行列式Det(A)中，任意一行（列）可以表示为其他行（列）的线性组合。

性质6：行列式的行（列）元素交换，行列式变号行列式Det(A)中，如果将A的两行（列）进行交换，则行列式的值会发生变号。

除了以上性质，同济大学线性代数第六版中还介绍了更多关于行列式的性质，这里不再一一列举。

三、行列式的应用行列式在线性代数中具有广泛的应用。

行列式的基本概念===========行列式是线性代数中的基本概念之一，它是一个由矩阵元素构成的数学表达式。

本篇文章将详细介绍行列式的定义、性质、运算、应用、发展历程、相关问题与技巧以及在数学中的地位与价值。

1. 行列式的定义--------行列式是由一个方阵的元素构成的数学表达式。

它可以看作是矩阵的一种性质，用于求解线性方程组、判断矩阵是否可逆等。

行列式的定义如下：设A是一个n阶方阵，即A是一个n行n列的矩阵，A的行列式记作det(A)，并且满足以下性质：1. 交换律：det(A)=det(AT)，其中AT为A的转置矩阵。

2. 结合律：对于任意的常数k，det(kA)=k^n * det(A)。

3. 单位元：当A为n阶单位矩阵I时，det(I)=1。

2. 行列式的性质--------行列式具有以下性质：1. 如果矩阵A中有两行或两列相等，则det(A)=0。

2. 如果矩阵A是一个对称矩阵，那么它的行列式等于它的主对角线上的元素的乘积减去副对角线上的元素的乘积。

即det(A)=a11*a22*...*ann - a12*a21*...*ann+a1n*a2n*...*an-1,n-1。

3. 如果矩阵A是一个埃尔米特矩阵（即AT=A），那么它的行列式等于它的特征值的乘积。

即det(A)=a11*a22*...*ann * a12*a21*...*ann+a1n*a2n*...*an-1,n-1。

4. 如果矩阵A是一个可逆矩阵，那么它的行列式不等于零。

即det(A)!=0。

5. 如果矩阵A是一个正定矩阵，那么它的行列式大于零。

即det(A)>0。

6. 如果矩阵A是一个负定矩阵，那么它的行列式小于零。

即det(A)<0。

7. 如果矩阵A是一个半正定矩阵，那么它的行列式大于等于零。

即det(A)>=0。

8. 如果矩阵A是一个半负定矩阵，那么它的行列式小于等于零。

即det(A)<=0。

线性代数计算行列式行列式是线性代数中的一个重要概念，用于刻画矩阵的性质和运算。

行列式可以看做是一个线性变换对体积的放缩比例，它可以用来描述矩阵的可逆性、线性相关性、多项式方程的根等。

本文将从行列式的定义、性质、计算方法以及一些应用等方面详细介绍线性代数中行列式的相关知识。

首先，我们来定义什么是行列式。

给定一个n阶矩阵A = [a_ij]（其中i表示行数，j表示列数），则A的行列式记作，A，或det(A)，它是一个标量，表示一个n维线性变换的放缩比例。

根据矩阵的行列数不同，行列式可以分为一阶行列式、二阶行列式、三阶行列式等。

一阶行列式就是一个数本身，即，a，=a。

二阶行列式的计算公式如下：，A，=a_11*a_22-a_12*a_21三阶行列式的计算公式如下：，A，=a_11*a_22*a_33+a_12*a_23*a_31+a_13*a_21*a_32-a_13*a_22*a_31-a_11*a_23*a_32-a_12*a_21*a_33根据行列式的定义，我们可以推导出一些重要的性质：1. 行列式与转置：对于任意的n阶矩阵A，有det(A) = det(A^T)。

2. 行列式的性质：如果A的行元素全为0，则det(A) = 0。

如果A的两行元素相同，则det(A) = 0。

如果A的行元素与另一行元素成比例，则det(A) = 0。

3. 行列式的性质：行列式的值不变，当交换A的两行或两列的顺序时。

即det(A) = det(A')，其中A'是A的两行或两列交换后得到的矩阵。

4. 行列式的性质：如果A的行元素加上行元素的k倍得到B，则det(B) = det(A)。

有了这些性质，我们可以通过行列式的性质进行计算，并进行一些变换，使得计算行列式的过程更加简单。

下面，我们来介绍一些行列式的计算方法：1.二阶行列式的计算：根据二阶行列式的计算公式，直接计算即可。

2.三阶及以上的行列式的计算：一般采用代数余子式和按行展开的方法。

行列式的性质与计算行列式是线性代数中的基本概念之一，它是一个非常重要的工具，在数学和许多其他领域中都有广泛的应用。

行列式的性质和计算是学习线性代数的基础之一。

一、行列式的定义行列式是由n个数字aij(i=1,2,n;j=1,2,n)组成的矩形表格，通常用大写字母D表示。

这些数字按照一定的规则排列，形成一个n阶方阵。

行列式D的值是一个与方阵有关的唯一的数，它反映了方阵线性变换的性质。

二、行列式的性质1.行列式的行和列具有相同的地位，因此行列式的性质可以按照行或列来描述。

2.交换两行或两列的位置，行列式的值不变。

即，如果i≠j，那么Dij=Dji。

3.行列式的某一行或某一列中所有元素的公因子可以提取出来，提取后剩余的元素按照原来的相对位置排列组成的行列式与原来的行列式相等。

即，如果k为常数，那么Dk=kD。

4.行列式中两行或两列对应元素相同，行列式的值为零。

即，如果i=j，那么Dij=0。

5.行列式可以按照某一行或某一列展开，展开后得到的行列式与原来的行列式相等。

6.行列式可以按照主对角线进行展开，展开后得到的行列式与原来的行列式相等。

7.行列式可以按照某一行或某一列进行递推展开，展开后得到的行列式与原来的行列式相等。

8.行列式可以按照某一行或某一列进行递归展开，展开后得到的行列式与原来的行列式相等。

三、行列式的计算行列式的计算是线性代数中的基本技能之一，也是解决许多问题的关键步骤。

下面介绍几种常见的计算方法：1.利用定义计算根据行列式的定义，我们可以直接计算行列式的值。

对于n阶方阵A，其行列式的定义为D=a11A11+a12A12+.+anAn，其中Aii是元素aij的代数余子式。

利用这个公式，我们可以直接计算任意一个n阶方阵的行列式。

2.利用性质计算利用行列式的性质，我们可以简化行列式的计算。

例如，根据行列式的交换律，我们可以将两行或两列交换位置；根据行列式的倍数律，我们可以将一行或一列乘以一个常数；根据行列式的零律，我们可以将一行或一列中所有元素设置为零；根据行列式的展开律，我们可以将行列式按照某一行或某一列展开等等。

线性代数讲义-01行列式第一章行列式第一节行列式的定义.一排列的逆序数将数n ,,2,1 按照某个顺序排成一行, 称为一个n 阶排列. 记作n p p p 21. 共有!n 种不同的n 阶排列.按照从小到大的顺序称为标准顺序. 而排列n 12称为标准排列.定义1.1 如果在一个排列中, 某两个数的先后顺序与标准顺序相反, 则称有一个逆序. 这个排列的逆序的总数称为该排列的逆序数.在n 阶排列中, 标准排列的逆序数最小, 等于0. 而排列1)1( -n n 的逆序数最大, 等于2/)1(-n n .定义1.2 如果一个排列的逆序数是奇数(偶数), 则称其为奇排列(偶排列).例如, 共有6个三阶排列, 其中123, 231, 312是偶排列, 而132, 213, 321是奇排列.定义 1.3 在排列中, 将任意两个数对调, 其余数不动, 这种产生新排列的过程称为对换. 将两个相邻的数对换, 称为相邻对换.定理1.1 一个排列中的任意两个数对换, 排列改变其奇偶性.证如果这两个数相邻, 进行对换时, 只改变这两个数的先后顺序. 因此, 逆序数或者增加1, 或者减少1. 即进行相邻对换时, 奇偶性改变.考虑排列n k i i i p p p p p ++11, 其中1>k . 为完成i p 与k i p +的对换, 其余数不动,可按照下面方式进行. 先将i p 与1+i p 对换, 再将i p 与2+i p 对换, 继续进行, 直至i p 与k i p +相邻. 在这个过程中, i p 逐渐向后移动, 而其他数的先后顺序不变. 如此共进行1-k 次对换, 得到排列n k i i i p p p p p ++11. 然后将k i p +与i p 对换, 再将k i p +与1-+k i p 对换, 继续进行, 直至k i p +向前移动到1+i p 的左边为止. 此时恰好得到排列n i i k i p p p p p 11++.如此又进行k 次相邻对换. 总计进行12-k 次相邻对换, 因此, 必然改变奇偶性.如果用定义计算一个排列的逆序数, 需要观察任意一对数的先后顺序, 比较繁琐. 考虑n ,,2,1 的一个排列n p p p 21, 任取一个数i p , 如果有i t 个比i p 大的数排在i p 的前面, 则称i t 是i p 的逆序数. 所有数的逆序数的和就是排列的逆序数.例1.1 求排列32514的逆序数.解按照上面的方法, 得逆序数为513010=++++.例1.2 设1>n , 求证: 在n 阶排列中, 奇排列与偶排列各占一半.证将一个奇排列中的数1与2对换, 产生一个偶排列. 反之, 将一个偶排列中的数1与2对换, 产生一个奇排列. 如此建立奇排列与偶排列之间的一一对应. 因此, 在n 阶排列中, 奇排列与偶排列的个数相等.二行列式定义以前学过二阶与三阶行列式:2112221122211211a a a a a a a a -=;333231232221131211a a a a a a a a a 322113312312332211a a a a a a a a a ++=312213332112322311a a a a a a a a a ---. 为了将他们推广, 首先研究三阶行列式的结构. 行列式中的数ij a 称为它的元素. 其中元素321,,i i i a a a 组成行列式的第i 行, 元素j j j a a a 321,,组成行列式的第j 列, 元素332211,,a a a 组成行列式的主对角线. 每个元素有两个下标. 第一个是行标i , 表示该元素属于第i 行. 第二个是列标j , 表示该元素属于第j 列.在形式上, 三阶行列式是一个数表. 而实质是其元素的一个多项式. 这个多项式由六项组成, 每项包含三个元素的乘积. 这三个元素分别属于不同的行, 不同的列. 现在每一项中元素的行标组成标准排列, 则其列标恰组成所有的三阶排列. 而且, 如果列标排列是奇排列, 则前面是负号. 如果列标排列是偶排列, 则前面是正号. 于是, 可以将三阶行列式写作333231232221131211a a a a a a a a a ∑-=321321)1(p p p t a a a , 其中t 是列标排列321p p p 的逆序数, 求和遍及所有三阶排列.按照三阶行列式的结构进行推广, 得到n 阶行列式的定义. 定义1.4 称111212122212n n n n nna a a a a a a a a∑-=n np p p t a a a 2121)1(为n 阶行列式, 其中t 是列标排列n p p p 21的逆序数, 而求和遍及所有n 阶排列.常将行列式简记作D . 如果需要明确行列式的阶, 则将n 阶行列式记作n D .一个n 阶行列式有!n 项. 当1>n 时, 其中正项与负项各占一半.与三阶行列式类似，n 阶行列式也是其元素的多项式. 因此, 如果行列式的元素都是数, 则行列式也是数. 如果行列式的元素是某些字母的多项式, 则行列式也是这些字母的多项式.注意一阶行列式||11a 与数的绝对值的符号相同, 但意义不同. 作为行列式2|2|-=-,而作为数的绝对值2|2|=-. 因此必须用文字严格区分这两种不同对象.例1.3 求四阶行列式中包含元素23a 的所有负项.解在四阶排列中, 数3在第二个位置的共有6个. 其中的奇排列为1324, 2341与4312. 于是, 四阶行列式中包含元素23a 的负项为44322311a a a a -, 41342312a a a a -, 42312314a a a a -.当n 较大时, n 阶行列式中的项很难一一列举. 不过, 如果一个行列式的许多元素等于0, 则不等于0的项数将大大减少.例1.4 求证：行列式1112122200n n nna a a a a a nn a a a 2211=.证为了得到非零项, 在第n 行中只能取nn a . 此后不能再取第n 列的其他元素. 因此,在第1-n 行只能取1,1--n n a . 继续这个讨论可得: 行列式只有一个正项nn a a a 2211.在这个行列式中, 主对角线下面的元素都等于0, 称为上三角行列式. 类似定义下三角行列式, 且有相同结果.例1.5 求证: 行列式12,1100000n n n a a a -11,212/)1()1(n n n n n a a a ---=.证仿照例1.4的推理, 这个行列式也只有一个非零项. 当该项的行标组成标准排列时, 它的列标排列为1)1( -n n . 逆序数为2/)1(1)2()1(-=++-+-n n n n .例1.6 求证：行列式000000044434241343332312111=a a a a a a a a a a .证因为行列式的每一项需要在前两行取不同列的元素，所以行列式的每一项都至少包含一个等于0的元素. 因此该行列式等于0.前面将行列式中每项的行标组成标准排列, 由列标排列的逆序数决定符号. 现在考虑列标组成标准排列时的情形.定理 1.2 行列式111212122212n n n n nna a a a a a a a a∑-=n p p p s n a a a 2121)1(. 其中s 是行标排列n p p p 21的逆序数.证行列式定义中的一般项为n np p p ta a a 2121)1(-. 对换它的两个元素, 该项中的元素乘积n np p p a a a 2121不变. 考虑该项前面的符号. 原来的符号是t)1(-, 其中t 是行标组成标准排列时, 列标排列的逆序数. 经过对换两个元素, 根据定理 1.1, 其行标排列与列标排列同时改变奇偶性. 然而, 行标排列与列标排列的逆序数之和不改变奇偶性. 继续这个过程, 使列标组成标准排列. 由于标准排列的逆序数等于0, 此时行标排列的奇偶性与原来列标排列的奇偶性相同. 即=-s)1(t)1(-.定理1.2说明行标排列与列标排列的地位是相同的. 从定理1.2的证明中还可以看到: 当行标排列与列标排列都不是标准排列时, 行列式的项的符号可以由行标排列与列标排列的逆序数之和的奇偶性决定.习题1-11. 求下列九阶排列的逆序数，从而确定其奇偶性. (1) 135792468;(2) 219786354.2. 选择i 与k 使下列九阶排列(1) 9561274k i 为偶排列; (2) 4897251k i 为奇排列.3. 求证: 用对换将奇(偶)排列变成标准排列的对换次数为奇(偶)数.4. 已知排列n p p p 21的逆序数为k ，求排列11n n p p p - 的逆序数.5. 在六阶行列式中, 确定下列项的符号.(1) 233146521465a a a a a a ; (2) 256651144332a a a a a a .6. 计算下列行列式.(1) 613322131; (2) 0551111115----. 7. 计算下列行列式.(1)00000012,11,11,2222111,11211n n n n n n a a a a a a a a a a ----; (2)nn 0000100200100-.8. 求证: 0000000052514241323125242322211514131211=a a a a a a a a a a a a a a a a . 9. 设一个n 阶行列式至少有12+-n n 个元素等于0，求证：这个行列式等于0.第二节行列式的性质用行列式定义计算一般的高阶行列式非常困难. 而计算三角行列式特别简单. 本节研究行列式的性质, 以寻找简单的计算方法.定义1.5 将行列式D 的行列互换, 而不改变行与列的先后顺序(第一行变成第一列, 第二行变成第二列等等), 所得到的行列式称为原行列式的转置, 记作D '.例如, 行列式613322131的转置是631123321. 性质1.1 行列式的转置与原行列式相等. 即D D ='.证设行列式D 的元素为ij a , 转置D '的元素为ij b , 则有ji ij a b =. 根据定理1.2, 有D '∑-=n np p p t b b b 2121)1(D a a a n p p p t n =-=∑ 2121)1(.注意在行列式中, 行与列的地位是相同的. 因此, 对行列式的行成立的命题, 对列也同样成立.性质1.2 交换行列式的两行(列), 行列式改变符号.证交换D 的第h 行与第k 行产生的新行列式记作hk D . 设hk D 的元素为ij b , 则有kj hj a b =, hj kj a b =,n j ,,2,1 =, 而hk D 的其他行的元素与D 相同. 设n 阶行列式D 的一般项为n k h np kp hp p ta a a a 11)1(-, 其中t 是列标排列n k h p p p p 1的逆序数. 在hk D 的定义中与上面D 的一般项具有相同元素的项为11(1)h k n s p kp hp np b b b b -= 11(1)k h n s p hp kp np b b b b - ,其中s 是列标排列n h k p p p p 1的逆序数. 根据定理 1.1, 这两个排列的奇偶性不同, 因此相应的两项符号相反. 因为hk D 与D 的具有相同元素的项符号都相反, 所以D D hk -=. 推论1.1 如果行列式D 中有两行的元素对应相等, 则0=D .证设行列式D 的第h 行与第k 行相同, 交换这两行产生的行列式记作hk D , 则D D hk =. 然而根据性质1.2, 又有D D hk -=. 于是0=D .性质1.3 用数k 乘以行列式的一行的每个元素，相当于用k 乘以原行列式. 即有111111j n i ij in n njnn a a a ka ka ka a a a111111j ni ij in n nj nna a a a a a k a a a =. 证设n 阶行列式∑-=n i np ip p t a a aD 11)1(, 用数k 乘以其第i 行的每个元素产生的新行列式记作)(k D i , 根据定义, 有)(k D i ∑-=n i np ip p t a ka a )()1(11kD a a a k n i np ip p t =-=∑ 11)1(.这个性质可以看作提取行列式的一行(或一列)元素的公因数.推论1.2 如果行列式D 的某两行的元素对应成比例, 则0=D .证设行列式第h 行的每个元素是第i 行的对应元素的k 倍, 提取第h 行元素的公因数k , 根据性质 1.3, 原行列式等于数k 乘以一个新行列式. 由于这个新行列式中有两行相同, 根据推论1.1, 有0=D .性质1.4 如果行列式的一行的每个元素都是两个数的和，则原行列式等于两个行列式的和. 即有1111111j n i i ij ij in in n njnna a abc b c b c a a a +++111111j n i ij in n nj nna a ab b b a a a =111111j n i ij in n nj nna a a c c c a a a +. 证设n 阶行列式∑-=n i np ip p t a b aD 111)1(,∑-=n i np ip p t a c a D 112)1(,其中只有第i 行不同. 将两个行列式的第i 行求和, 其他行不变产生的新行列式记作)(+i D ,根据行列式定义, 有)(+i D ∑+-=n i i np ip ip p t a c b a )()1(11∑-=n i np ip p t a b a 11)1(∑-+n i np ip p t a c a 11)1(21D D +=.可以将性质1.3看作行列式的数乘运算, 而将性质1.4看作行列式的加法. 行列式的加法与数乘都是对一行进行, 而不是对整个行列式. 此外, 性质 1.4可以推广为: 如果行列式的一行中所有元素都是k 个数的和, 则它等于k 个行列式的和.性质1.5 将行列式的某一行的每个元素加上另一行对应元素的k 倍, 行列式不变. 证设n 阶行列式∑-=n h i np hp ip p ta a a aD 11)1(, 将第i 行的元素加上第h 行的对应元素的k 倍产生的新行列式记作)(k D ih , 根据性质1.4与推论1.2, 有)(k D ih ∑+-=n h h i np hp hp ip p t a a ka a a )()1(11∑-=n h i np hp ip p t a a a a 11)1(∑-+n h h np hp hp p t a a ka a )()1(11D a a a a n h i np hp ip p t =-=∑ 11)1(.例1.7 求证: 行列式h g i g ih e d f d fe b a c a cb +++++++++i h g f e dc b a 2=. 证先用性质1.4将等式左边分成两个行列式, 再用性质1.5, 得h g i g i h e d f d f e b a c a c b +++++++++h g i g h e d f d e b a c a b ++++++=h g i g i e d f d fb ac a c +++++++ gi g hd fd e a c a b +++=hg gi e d d fb a ac ++++gihd fe a c b =hgie df b a c +ihgf e dc b a 2=. 例1.8 计算行列式4321651005311021.解用性质1.5, 得43216510053110213300651015101021-=3300700015101021-=21700330015101021-=--=.注意用性质将行列式变成三角行列式, 再用定义计算. 这种方法称为消元法.例1.9 计算行列式3111131111311113.解先将下面各行加到第一行, 提取第一行的公因数6，再用下面各行分别减去第一行. 得31111311113111133111131111316666=31111311113111116=4820000200002011116==.注意如果行列式的列和(或行和)相等, 常使用上述技巧.例1.10 计算行列式yyx x-+-+1111111111111111.解用第一列减第二列, 提取x ; 第三列减第四列, 提取y . 再用第二列, 第四列分别减第一列与第三列, 得yy x x -+-+1111111111111111yy y xx x --=110110101101y x xy--=111111010111011yx xy--=1000100001000122y x =.有时需要仔细观察行列式的结构, 才能找到最简捷的方法. 计算行列式时, 往往有多种方法. 应该考察各种路线, 从中选择最佳方案.习题1-21. 求证: bzay by ax bx az by ax bx az bzay bxaz bz ay by ax +++++++++yxzx z y z y x b a )(33+=. 2. 计算行列式efcfbfde cd bdae ac ab---. 3. 计算下列行列式.(1)2222222222222222)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(++++++++++++d d d dc c c c b b b b a a a a ; (2) n222232222222221.4. 求t 的值, 使得行列式226332111=tt .5. 计算下列行列式(1)3214214314324321; (2)121212n n n x mx x x x m x x x x m---.6. 计算行列式01211111001na a a a, 其中021≠n a a a .7. 用两种方法计算行列式ab cc abbc a，从而证明因式分解: ))((3222333bc ac ab c b a c b a abc c b a ---++++=-++.8. 计算行列式111212122212n nn n n na b a b a b a b a b a b a b a b a b ---------, 其中2>n .9. 计算行列式1231110000220000020011n n nn n------.10. 计算行列式aba ba b b a b a ba D n=2，其中未写出的元素都等于0.第三节行列式的展开在本节中研究行列式按照一行或一列展开的公式, 从而可以将一个高阶行列式的计算转化为若干低阶行列式的计算.定义1.6 考虑n 阶行列式111212122212n n n n nna a a a a a a a a∑-=n np p p t a a a 2121)1(. 将行列式的元素ij a 所在的行与列删除(其余元素保持原来的相对位置), 得到的1-n 阶行列式称为元素ij a 的余子式, 记作ij M . 而称ij j i ij M A +-=)1(为元素ij a 的代数余子式.例如，行列式333231232221131211a a a a a a a a a 中元素12a 的余子式为2123123133aa M a a =，而代数余子式为212312123133(1)a a A a a +=-.注意左上角元素11a 的代数余子式11A 取正号, 其余正负相间. 特别, 主对角元素iia 的代数余子式ii A 全取正号.引理1.1 如果一个n 阶行列式D 的第i 行中只有ij a 不等于0, 则这个行列式等于ij a 与其代数余子式ij A 的乘积. 即ij ij A a D =.证先考虑n j i ==的特殊情况. 根据定义, 为了产生非零项, 在行列式D 的第n 行只能取nn a . 于是, 有∑---=nn p n p p t a a a a D n 121)1(21)1( ∑---=121)1(21)1(n p n p p t nn a a a a ,其中t 是列标排列n p p p n 121- 的逆序数, 求和遍及1,,2,1-n 的所有排列121-n p p p . 然而排列n p p p n 121- 与排列121-n p p p 的逆序数相等, 因此, 上式右边的和式为nn p n p p tM a a an =-∑--121)1(21)1( nn nn n n A M =-=+)1(.于是, 有nn nn A a D =.现在考虑一般情况, 设行列式D 的第i 行中只有ij a 不等于0. 将D 的第i 行与第1+i 行交换, 再将所得行列式的第1+i 行与第2+i 行交换, 继续进行, 直到D 的第i 行移到最后一行, 而其他行的上下顺序不变. 在这个过程中, 共进行i n -次交换行. 用同样的方法, 将所得的行列式的第j 列逐步移到最后一列, 而其他列的左右顺序不变. 在这个过程中, 共进行j n -次交换列. 最后得到的行列式记作B , 则在B 的最后一行中只有最后一个元素ij a 不等于0, 而且ij a 在B 中的代数余子式就是ij a 在D 中的余子式ij M . 由前面证明的特殊情况, 有ij ij M a B =. 另一方面, 根据性质1.2, 有D B j n i n )()()1(-+--=, 即B D j i +-=)1(. 于是,有ij ij ij ij ji A a M a D =-=+)1(.定理1.3 对于n 阶行列式D , 有in in i i i i A a A a A a D +++= 2211; nj nj j j j j A a A a A a D +++= 2211.证将行列式D 的第i 行的每个元素改写成n 个数的和, 其中由ij a 改写成的和中的第j 个加数等于ij a , 其他元素等于0. 用性质1.4的推广, 则D 等于n 个行列式的和. 在第j 个行列式的第i 行中, 只有属于第j 列的元素等于ij a , 其他元素等于0.对这n 个行列式分别用引理1.1, 得in in ij ij i i A a A a A a D ++++= 11.注意用定理 1.3, 可以将一个n 阶行列式的计算转化为n 个1-n 阶行列式的计算. 不过, 当行列式的阶数较大时, 计算量仍然相当大. 除非在行列式中有很多元素等于0. 联合使用消元与按照一行(列)展开, 常能得到最简捷的计算路线.例1.11 计算行列式500134267002430.解先按照第四行展开, 得50013426700243043032(1)5006241+=-321018006=-=-.有时用数学归纳法计算n 阶行列式是比较方便的. 不过此时需要行列式n D 与1-n D ,2-n D 之间的关系.例1.12 求证: 000100010000001n a b ab a b ab a b D a b ab a b+++=++b a b a n n --=++11. 证计算可得ba b a b a D --=+=221, b a b a b ab a D --=++=33222. 设命题对于1-n 阶与2-n 阶行列式成立.考虑n 阶行列式, 按第一行展开, 得0001000100000001n a b ab a b ab a b D a bab a b +++=++00100()0001a baba b a b a b ab a b++=+++1000000001ab a b ab a bab a b+-++21)(---+=n n abD D b a b a b a n n --=++1 1.例1.13 求证: 123222212311111231111nn nn n n n nx x x x D x x x x x x x x ----=∏<-=ji i j x x )(. 解当2=n 时, 有122x x D -=. 设命题对于1-n 阶行列式1-n D 成立. 考虑n 阶行列式n D , 从下边开始, 下面一行减去上面一行的1x 倍, 得123222212311111231111nn nn n n n nx x x x D x x x x x x x x ----=2131122133112222213311111100()()()0()()()n n n n n n n n x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ------=------232131122223111()()()n n n n n nx x x x x x x x x x x x ---=---111312)())((----=n n D x x x x x x ∏<-=ji i j x x )(.与前面的例题不同, 这里不是下面各行减去第一行, 而是下面一行减去其上面一行. 当然现在必须从第n 行开始, 逐行向上做.这个行列式称为范德蒙行列式. 易见, 当n x x x ,,,21 两两不同时, 范德蒙行列式不等于0. 这个性质产生了范德蒙行列式的许多应用.例1.14 求证: 211212212221212n n n n n na a a a a a a a a a D a a a a n a ++=+)1(!12∑=+=nk kka n .解当1=n , 2111a D +=. 设命题对于1-n 阶行列式1-n D 成立. 考虑n 阶行列式n D , 按照最后一行分成两个行列式的和, 得21121221222121200n n n n n na a a a a a a a a a D a a a a n a ++= +++21121221221200n na a a a a a a a a a n++= 211212212221212n nn n na a a a a a a a a a a a a a a +++ 21121122122121112112(1)n n n n n a a a a a a a a a a n a a a a n a -----++=-+110002nn na a a a +=21)!1(nn a n nD -+-211[(1)!(1)]n k k a n n k -==-+∑2(1)!n n a +-)1(!12∑=+=nk k ka n .推论 1.3 行列式的任意一行(列)的元素与另一行的元素的代数余子式的乘积之和等于零. 即当j i ≠时, 有02211=+++nj ni j i j i A a A a A a ; 02211=+++jn in j i j i A a A a A a .证只证第一个等式. 反向用定理1,3, 则nj ni j i j i A a A a A a +++ 2211等于一个n 阶行列式. 这个行列式的第i 行与第j 行相同, 根据推论1.1, 该行列式等于0.习题1-31. 计算行列式11312111311021---=D 的第二行所有元素的余子式与代数余子式.2. 计算行列式0000000000000000n x y x y x D x y yx =.3. 求证: 11211000010000000001n nn n x x x D xa a a a a +----=-n n n n a x a x a x a ++++=--1110 .4. 求证: 210001 210001200100021012n D n ==+.5. 设常数c b a ,,两两不等, 解方程01111 )(33332222==x c b a x c b a x c b a x f .6. 求证: 12322221231231111nn n n n n nn n n nnx x x x D x x x x x x x x ----=∑∏=<-=nk k ij j i x x x 1)(.7. 求证: 1231111111111111111n na a D a a ++=+++=∑=ni i n aa a a 12111 , 其中021≠n a a a .补充材料一拉普拉斯展开前面是行列式按一行或一列展开. 这个结果可以推广为按若干行展开.行列式中任意k 行与k 列交叉处的元素, 按照原来相对位置组成的k 阶行列式称为原行列式的一个k 阶子式k D . 删除这k 行与k 列得到的k n -阶行列式k M 称为k 阶子式k D 的余子式，而=k A ∑-+hh h j i )()1(k M 称为k D 代数余子式. 其中h h j i ,是k D 所在的行标与列标. 命题设||A 是n 阶行列式, 任意取其中的k 行,n k <<0, 则行列式等于这k 行中所有k 阶子式与其代数余子式的乘积之和.证明略.注意这个命题称为行列式的拉普拉斯展开. 展开时有kn C 项, 每项是一个k 阶子式与其代数余子式的乘积.例1 求证：行列式aba ba b b a b a b a D n=2n n b a b a )()(-+=.证按照第一行与第n 2行展开，得)1(2222)(--=n n D b a D . 用这个递推式即可得到所需结果.例2 求证:nnk n nkn nk k k k k k kk k k a a a a a a a a a a a a1,1,11,1.11,111110000++++++kk k k a a a a 1111=nnk n n k k k a a a a 1,,11,1++++ 证按照前k 行展开.注意由于右上角的元素都等于0，左下角的元素对行列式没有贡献. 当然, 如果左下角的元素都等于0, 也有类似结果.。

矩阵的行列式行列式是线性代数中的一个重要概念，它在代数方程、矩阵计算和向量空间等方面都有广泛应用。

本文将介绍行列式的定义、性质和应用，并且重点解释行列式的计算方法。

一、行列式的定义行列式是一个方块矩阵中用一对竖线“| |”括起来的一个特殊代数表达式，可表示为：│a11 a12 … a1n││a21 a22 … a2n││ … … … … ││an1 an2 … ann│行列式的值可以用“det(A)”来表示，其中“A”为一个n阶方阵，即A 是一个n×n的矩阵，而“n”为行列式的阶数。

二、行列式的性质行列式具有以下几个重要的性质：1. 行对换的性质：如果行列式中交换了两行的位置，行列式的值会变号。

2. 列对换的性质：如果行列式中交换了两列的位置，行列式的值会变号。

3. 行成比例的性质：如果行列式中有两行成比例，行列式的值为零。

4. 元素乘法的性质：如果行列式中某一行的元素都乘以同一个数k，那么行列式的值也要乘以k。

5. 行列式具有可加性：如果行列式中某一行的每个元素都加上对应的另一行的元素，行列式的值保持不变。

这些性质是行列式计算的基础，可以通过这些性质来简化行列式的计算过程。

三、行列式的计算方法行列式的计算主要有两种方法：代数余子式法和按行（列）展开法。

1. 代数余子式法：代数余子式法是行列式计算的常用方法。

它通过选定行或列，将行列式展开为该行（列）上的元素与其对应的代数余子式的乘积之和，即：det(A) = a11A11 + a12A12 + … + a1nA1n其中，A11、A12、…、A1n就是a11、a12、…、a1n的代数余子式。

2. 按行（列）展开法：按行（列）展开法是行列式计算的另一种方法。

它通过选定一行（列），展开为该行（列）上的每个元素与对应的代数余子式乘积之和的形式，即：det(A) = a11C11 + a12C12 + … + a1nC1n其中，C11、C12、…、C1n就是a11、a12、…、a1n的代数余子式。

行列式的性质及应用知识点总结行列式是线性代数中一个重要的概念，对于矩阵运算和求解线性方程组等问题具有重要的应用价值。

本文将对行列式的性质及其在实际问题中的应用进行总结，以帮助读者更好地理解和应用这一概念。

一、行列式的定义和性质1. 行列式的定义行列式是一个与方阵相关的标量，在实际运算中通常用大写字母表示。

对于一个n阶方阵A = (a_ij)，其行列式记作det(A)或|A|，其中a_ij代表矩阵A的第i行第j列的元素。

2. 行列式的性质（1）行列互换性：如果交换矩阵的两行（列），行列式的值不变，即|A| = -|A' |，其中A'是A行列互换后的矩阵。

（2）行列式的倍乘性：如果矩阵A的某一行（列）的元素分别乘以同一常数k，那么行列式的值也相应地乘以k，即|kA|=k^n|A|。

（3）行列式的加性：如果有两个矩阵A和B，它们唯一的区别是其中某一行（列）不同，那么这两个行列式的和等于另一个行列式，即|A+B|=|A'|+|B|。

（4）行列式的三角形性质：如果矩阵A是一个上（下）三角矩阵，那么它的行列式等于对角线上各元素的乘积，即|A| = a_11 * a_22 * ... *a_nn。

二、行列式的应用1. 矩阵的逆行列式在求解矩阵的逆时起到关键作用。

如果一个n阶方阵A存在逆矩阵A^-1，那么有A * A^-1 = I，其中I是单位矩阵。

利用行列式的性质，我们可以通过求解行列式的值来判断矩阵是否可逆，即当|A| ≠ 0时，矩阵A可逆。

2. 线性方程组的求解行列式也可以应用于求解线性方程组。

对于一个有n个未知数和n 个方程的线性方程组，可以使用Cramer法则来求解，其中每个未知数的值等于其对应行列式除以总行列式的值，即x_i = |A_i| / |A|，其中A_i是将方程组中第i个未知数对应的列替换为方程组右侧的常数列得到的矩阵。

3. 矩阵的秩行列式还可以用于求解矩阵的秩。

矩阵的秩是一个衡量矩阵线性无关性的指标，它表示矩阵的行（列）向量组的最大线性无关组的向量个数。