2-3-1提公因式、公式法(一).讲义教师版

课题：因式分解之提取公因式法和公式法知识精要：一、因式分解的概念1、定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式．2、因式分解和整式乘法正好是互逆变换，可通过如下图示加以理解因式分解多项式（和差形式） 整式的积（积的形式）整式乘法二、提取公因式法1、定义：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．即()ma mb mc m a b c ++=++（1）公因式的系数应取各项系数的最大公约数；（2）字母取各项的相同字母，而且各字母的指数取最低次数．2、步骤：（1）观察；（2）确定公因式；（3）将公因式提到括号外；（4）将多项式写成因式乘积的形式．3、提公因式法的关键是如何正确地寻找公因式．让学生观察公因式的特点，找出确定公因式的方法：（1）公因式应是各项系数的最大公因数与各项都含有的相同字母的最低次幂的积．（2）公因式不仅可以是单项式，也可以是多项式．4、提取公因式法应注意的事项：（1）提取的公因式应为最大公因式；（2）当某一项被完全提取，该项要用“1”来代替；（3）要使得括号内第一项的系数为正数；（4）要使得括号内每一项的系数为整数；（5）注意符号变换问题．二、公式法1、平方差公式： 22()()a b a b a b -=+-2、完全平方公式：2222()a ab b a b ±+=±3、注意事项：（1）注意公式的结构特点；（2）注意符号；（3）首先想到提取公因式法；（4）注意分解一定要彻底． 精解名题：例1、下列从左到右的变形哪个是分解因式（ C ）A ．223(2)3x x x x +-=+-； B ．()()ma mb na nb m a b n a b +++=+++；C ．221236(6)x x x -+=-；D ．22()22m m n m mn -+=--．例2、多项式3222315520x y x y x y +-的最大公因式是（ C ）A ．5xy ；B ．225x y ；C ．25x y ；D ．235x y ． 例3、把多项式2(2)(2)m a m a -+-分解因式正确的是（ C ）A ．2(2)()a m m -+；B ．(2)(1)m a m -+；C ．(2)(1)m a m --；D ．2(2)()a m m -+． 例4、下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（ A ）A ．22a b -+；B ．22a b --；C ．22a b +；D ．33a b -．例5、若2(3)4x m x +-+是完全平方式，则实数m 的值是（ D ）A ．5-；B ．3；C ．7 ；D ．7或1-．例6、若二项式24x +加上一个单项式后成为一个完全平方式，则这样的单项式共有（ C ）A ．1个；B ．2个；C ．3个；D ．4个．例7、无论x 、y 为任何实数，多项式22428x y x y +--+的值一定是（ A ）A ．正数；B ．负数；C ．零；D ．不确定．例8、下列多项式能用完全平方公式分解因式的是（ B ）A ．22m mn n -+；B ．2()4a b ab +-；C ．2124x x -+； D ．221x x +-． 例9、若3a b +=，则222426a ab b ++-的值为（ A ）A ．12；B ．6；C ．3；D ．0． 例10、已知221x y -=-，12x y +=，则x y -= ．（2-） 例11、已知3x y +=，则221122x xy y ++=__________.（92） 例12、已知2226100x y x y +-++=，则x y +=________.（2-）例13、因式分解：（第（1）-（6）用提取公因式法；第（7）-（22）用公式法）（1）-+-41222332m n m n mn ； （2） 3423424281535a b a b a b -+；解：原式222(261)mn mn m n =--+ 解：原式22222(2512)15a b ab b a =-+ （3）322x x x ()()---； （4）412132q p p ()()-+-；解：原式(2)(31)x x =-+ 解：原式22(1)(221)p q pq =--+（5）3122+++--+-m m m m ax acx abx x a ；（6）3225(2)(2)3(2)(2)n n x y x y ----- 解：原式23()m ax ax bx c x =--++ 解：原式2(2)(2)[5103(2)]n nx y x y =-----（7）2249x y -； （8）3282(1)a a a -+；解：原式(23)(23)x y x y =+- 解：原式2(31)(1)a a a =+-（9）44116a b -； （10）224()25()x y x y --+； 解：原式22(14)(12)(12)a b ab ab =++- 解：原式(73)(37)x y x y =-++ （11）42241128a b a b -； （12）2233(27)4x x --； 解：原式221(2)(2)8a b a b a b =+- 解：原式9(6)(6)4x x =+- （13）31()7()7x y x y ---； （14）222(4)16x x +-； 解：原式1()(7)(7)7x y x y x y =--+--解：原式22(2)(2)x x =+- （15）29124a a ++； （16）229312554a ab b -+； 解：原式2(32)a =+ 解：原式231()52a b =-（17）2244ab a b --； （18）2318248a a a -+；解：原式2(2)a b =-- 解：原式22(23)a a =-（19）42816x x -+； （20）(6)9a a ++；解：原式22(2)(2)x x =+- 解：原式2(3)a =+（21）2()10()25m n m n ++++；（22）2222()6()9()a b a b a b ++-+-；解：原式2(5)m n =++ 解：原式24(2)a b =-例14、已知12a b -=，18ab =，求22332a b ab a b -++的值． 解：∵12a b -=，18ab =， ∴2233221112()()8232a b ab a b ab a b -++=-=⨯=例15、应用简便方法计算。

14.3.1 提公因式法说课稿一、教学目标1.理解提公因式法的基本概念和运用方法；2.掌握利用提公因式法进行多项式的因式分解；3.培养学生的逻辑思维和解决问题的能力。

二、教学重难点1. 教学重点•提公因式法的基本概念和运用方法；•多项式的因式分解。

2. 教学难点•利用提公因式法进行复杂多项式的因式分解。

三、教学过程1. 导入（5分钟）引入提公因式法的概念和意义。

通过举例说明提公因式法的应用场景，如化简分式、求多项式的最大公因式等。

通过这些例子，激发学生对提公因式法的兴趣和学习的动力。

2. 知识讲解（20分钟）2.1 提公因式法的基本概念和运用方法提公因式法是一种将一个多项式表达式分解为两个因式的方法。

通过提取出多项式中的公因式，将多项式分解为乘法形式。

例如，对于多项式7x + 14y，我们可以提取出公因式7，得到7(x + 2y)。

通过提公因式法，我们成功将多项式分解为两个因式。

2.2 多项式的因式分解在提公因式法的基础上，我们可以进一步利用提公因式法进行多项式的因式分解。

例如，对于多项式x^2 - 4，我们可以将其因式分解为(x + 2)(x - 2)。

通过提公因式法，我们成功将多项式分解为两个因式。

3. 实例演练（25分钟）在讲解完提公因式法的基本概念和运用方法后，通过多个实例让学生进行实践操作。

从简单的例子开始，逐渐增加难度，让学生逐步掌握提公因式法的运用技巧。

示例1：将多项式3x + 9分解为公因式和提公因式。

解：3x + 9 = 3(x + 3)示例2：将多项式a^2 - 4a进行因式分解。

解：a^2 - 4a = a(a - 4)示例3：将多项式2x^3 + 4x^2 + 6x进行因式分解。

解：2x^3 + 4x^2 + 6x = 2x(x^2 + 2x + 3)4. 板书总结（5分钟）将提公因式法的基本概念和运用方法进行总结，并通过板书的形式呈现给学生。

重点标记提公因式法的关键步骤和注意事项，以便后续复习和巩固。

提取公因式和公式法4种压轴题型全攻略【考点导航】目录【典型例题】 (1)【考点一因式分解的概念辨析】 (1)【考点二提取公因式法的应用】 (2)【考点三公式法因式分解的应用】 (2)【考点四提取公因式法和公式法的综合应用】 (3)【过关检测】 (4)【典型例题】【考点一因式分解的概念辨析】【例题1】下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（）【答案】A【分析】根据因式分解的定义逐个判断即可．【详解】解：A. 从左至右的变形属于因式分解，故本选项符合题意；B.从左至右的变形不属于因式分解且计算错误，故本选项不符合题意；C. 从左至右的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；D.从左至右的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；故选：Ａ．【点睛】本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义（把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解）是解此题的关键．【变式1】下列各式由左边到右边的变形中，属于因式分解的是（）【答案】A【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式的积的形式，可得答案． 【详解】解：A 、把一个多项式转化成几个整式的积的形式，是因式分解，故符合题意；B 、没有把一个多项式转化成几个整式的积的形式，不是因式分解，故不符合题意；C 、是整式的乘法，不是因式分解，故不符合题意；D 、没有把一个多项式转化成几个整式的积的形式，不是因式分解，故不符合题意；故选：A ．【点睛】本题考查了因式分解的意义，掌握因式分解是把一个多项式转化成几个整式的积的形式是解题关键．A ．2a b +B ．2a b −+C ．a b －－D ．2a b －【答案】A 【分析】将2212a b ab −−提取公因式12ab æö÷ç-÷ç÷çèø，据此即可求解．【详解】解：()2211222a b ab ab a b −−=−+故选：A【点睛】本题考查提公因式法分解因式．用每一项除以公因式即可得到剩下的因式组成．【考点二 提取公式法的应用】【例题2】 把多项式2(2)(2)m a m a −+−分解因式等于（ ）A ． 2(2)()a m m −+B ． 2(2)()a m m −−C ． (2)(1)m a m −−D ． (2)(1)m a m −+【答案】C【分析】用提取公因式法即可进行因式分解．【详解】2(2)(2)m a m a −+−， 22)(2)(m a m a =−−−，(2)(1)m a m =−−．故选：C ．【点睛】本题主要考查了用提取公因式法进行因式分解，熟练掌握提取公因式的方法和因式分解的定义是解题的关键．【变式1】已知3ab =−，2a b +=，则22a b ab +的值是（ ）A ．6−B ．6C ．1−D ．1【答案】A【分析】先将22a b ab +因式分解，再把3ab =−，2a b +=代入计算即可． 【详解】解：∵3ab =−，2a b +=，∴()22326ab a a b ab b ==++−⨯=−，故选：A ．【点睛】本题主要考查了因式分解，求代数式的值，解题的关键是正确找出各项的公因式进行因式分解．【变式2】计算()()2022202322−+−所得结果是（ ） A ．20222B ．20222−C ．20232D ．40452 【答案】B【分析】先逆用同底数幂的乘法，再根据有理数的乘方运算和乘法分配律进行计算即可． 【详解】解：()()2022202322−+− ()()()20222022222=−+−⨯−()()2022212=−+−⎡⎤⎣⎦20222=−故选：B【点睛】本题考查了同底数幂乘法的逆用、有理数的乘方的意义以及乘法分配律的运用，熟练掌握乘相关运算法则是解题的关键．【变式3】若()23A a m n a m an ⋅+=+，则代数式A 的值为（ ） A ．aB ．nC ．2aD ．mn【答案】A 【分析】提出公因式，可得()32a m an a a m n +=+，即可求解．【详解】解：∵()32a m an a a m n +=+，()23A a m n a m an ⋅+=+，∴代数式A 的值为a ．故选：A【点睛】本题主要考查了多项式的因式分解，熟练掌握多项式的因式分解方法——提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法，并会结合多项式的特征，灵活选用合适的方法是解题的关键．【考点三 公式法因式分解的应用】【例题3】把()22214a a +−因式分解得（ ） A ．()2214a a +−B ．()2214a a +−C ．()()2211+−a aD ．()221a − 【答案】C 【分析】利用平方差公式和完全平方公式解答即可.【详解】解：()()()()()222222214121112a a a a a a a a ==−+−++−++；故选：C. 【点睛】本题考查了多项式的因式分解，熟练掌握平方差公式和完全平方公式是解题的关键.A ．()()5a b a b ++B ．()()5a b a b −+C ．()()5a b a b +−D ．()()5a b a b −− 【答案】D【分析】依照例题，根据完全平方公式、平方差公式解答．【详解】a2-6ab+5b2=a2-6ab+9b2-4b2=(a -3b)2-(2b)2=(a -3b+2b)(a -3b -2b)=(a -b)(a -5b)；故选：D ．【点睛】本题考查了综合运用公式法分解因式，掌握完全平方公式、平方差公式是解题的关键．【变式2】小李在计算2023202120232023−时，发现其计算结果能被三个连续整数整除，则这三个整数是（ ）A ．2023，2024，2025B ．2022，2023，2024C ．2021，2022，2023D ．2020，2021，2022 【答案】B【分析】先提取公因式，然后利用平方差公式因式分解，即可得到答案．【详解】解：2023202120232023−20212=2023(20231)⨯−2021=2023(20231)(2023+1)⨯−⨯2021=202320222024⨯⨯∴能被2022，2023，2024整除，故选B ．【点睛】本题考查因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键．【考点四 提取公因式法和公式法的综合应用】A ．我爱学B ．爱思考C ．思数学D ．我爱数学 【答案】D【分析】先将()()225151a x b x −−−因式分解，结合所对应汉字即可求解． 【详解】解：()()225151a x b x −−− =()()251x a b =−−()()()511x x a b =+−− ∵5，a b −，1x +，1x −，21x −，a ，分别对应下列六个字；我，爱，数，学，思，考，∴结果中一定有“我”，“爱”，“数”，“学”，∵根据代数式的书写规则，“5”一定在最前面，∴“我”在最前面，对照四个选项可知，只有D 选项正确．故选：D ．【点睛】本题考查因式分解，且与现实生活联系创新，正确分解确定每个因式所对应的汉字为解题关键．【答案】C【分析】原式各括号利用平方差公式变形，约分即可得到结果．【详解】原式111111111111111111112233445566⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=−⨯+⨯−⨯+⨯−⨯+⨯−⨯+⨯−⨯+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，13243546572233445566=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯，1726=⨯， 712=，故选：C ．【点睛】本题考查的是平方差公式，掌握运算法则和平方差公式是解题关键．【变式2】若a +b =1，则222a b b −+的值为（ ）【答案】D【分析】把222a b b −+进行变形，代入a+b=1，计算，再次代入即可求解． 【详解】解：222a b b −+()()2a b a b b=+−+2a b b =−+a b =+ 1=故选：D【点睛】本题考查了对式子变形求解，熟练掌握平方差公式是解题关键，本题也可以把a+b=1变形为a=1-b ，代入求值．【变式3】计算：2222222212345699100−+−+−++−．．．【答案】5050−【分析】根据平方差公式因式分解即可求解．【详解】解：原式＝()()()()()()()() 1212343456569910099100−++−++−++⋅⋅⋅+−+()123499100=−++++⋅⋅⋅++10150=−⨯5050=−．【点睛】本题考查了平方差公式因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键．【过关检测】一．选择题1.下列因式分解正确的是（）【答案】A【分析】利用提公因式法，公式法对各项进行因式分解，即可求解．【详解】解：A、()()22224222121a a a a a−+=−+=−，故本选项正确，符合题意；B、()21a ab a a a b++=++，故本选项错误，不符合题意；C、()()22422a b a b a b−=+−，故本选项错误，不符合题意；D、()()()3322a b ab ab a b ab a b a b−=−=+−，故本选项错误，不符合题意；故选：A【点睛】本题主要考查了多项式的因式分解，熟练掌握多项式的因式分解方法——提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法，并会结合多项式的特征，灵活选用合适的方法是解题的关键．2．下列因式分解错误的是（）【答案】B【分析】分别把各选项分解因式得到结果，逐一判断即可．【详解】解：A 、()241644x x x x −+=−−，因式分解正确，故本选项不符合题意； B 、()222222221n n x y x y x y x −−=−，故B 因式分解不正确，故本选项符合题意；C 、422161(41)(41)x x x −=+−()()2(41)2121x x x =++−，因式分解正确，故本选项不符合题意；D 、2211()44ax ax a a x x −+−=−−+，212a x ⎛⎫=−− ⎪⎝⎭，因式分解正确正确，故本选项不符合题意； 故选B ．【点睛】此题考查了因式分解，主要应用了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．3.计算()()2022202122−+−所得的结果是（ ）A ．－2B ．2C ．－20212D ．20212 【答案】D【分析】直接找出公因式进而提取公因式再计算即可．【详解】解：(-2)2022+(-2)2021=(-2)2021×(-2+1)()20212=−−20212=，故D 正确．故选：D ．【点睛】本题主要考查了因式分解的应用，正确找出公因式、提取公因式是解题关键．4．计算（﹣2）2005+3×（﹣2）2004的值为（ ）A ．﹣22004B ．22004C ．（﹣2）2005D ．5×22004【答案】B【分析】根据因式分解的提公因式法进行求解即可．【详解】解：()()()()20042004020052042233222=−⨯−+=−+⨯−；故选B ． 【点睛】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．【答案】B【分析】先根据平方差公式把每个括号内的式子分解因式，进一步计算乘法即得答案．【详解】解：原式=111111111111111111115566779999100100⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫−⨯+⨯−⨯+⨯−⨯+⨯⨯−⨯+⨯−⨯+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=46576898100991015566779999100100⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ =41015100⨯ =101125． 故选：B ．【点睛】本题考查了多项式的因式分解和有理数的简便运算，属于常考题型，熟练掌握分解因式的方法是解题关键．6．多项式316a a −因式分解的结果是（ ）A ．()24a a −B ．()24a a +C ．()()44a a +−D ．()()44a a a +− 【答案】D【分析】先提取公因式，然后按照平方差公式因式分解即可得到答案．【详解】解：()()()32161644a a a a a a a −=−=+−，故选：D ．【点睛】本题考查了提公因式法和平方差公式法进行因式分解，掌握提取公因式法、平方差公式是解题的关键．二. 填空题【答案】()(21)x y a −−【分析】运用提取公因式法进行因式分解即可．【详解】解：()()2()(21)a x y x y x y a −−−=−−，故答案为：()(21)x y a −−．【点睛】本题主要考查提公因式法因式分解，掌握提公因式法分解因式的方法是解题的关键．【答案】30【分析】将所求式子提取公因式ab ，再整体代入求值即可．【详解】解：∵3a b +=−，10ab =−，∴()()2210330a b a a b a b b =+=⨯+−−=．故答案为：30． 【点睛】本题考查代数式求值，因式分解．利用整体代入的思想是解题关键．【答案】()()16x y x y −−−【分析】提公因式分解因式即可．【详解】解：()()216x y y x −+− ()()216x y x y =−−− ()()16x y x y =−−−故答案为：()()16x y x y −−−． 【点睛】本题考查利用提公因式分解因式等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．【答案】()21ax x −【分析】先提取公因式，再利用完全平方公式，即可解答．【详解】解：322ax ax ax −+，()221ax x x =−+，()21ax x =−，故答案为：()21ax x −．【点睛】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的几种方法是解题的关键． 11．如图，点B 在线段AC 上()BC AB >，在线段AC 同侧作正方形ABMN 及正方形BCEF ，连接AM 、ME 、EA 得到AME △．当1AB =时，AME △的面积记为1S ；当2AB =时，AME △的面积记为2S ；当3AB =时，AME △的面积记为3S ；则20202019S S −= ．【答案】40392【分析】连接BE 发现，无论正方形BCEF 怎样变，△AME 面积都与△AMB 相等，因为都是以AM 为底，以AM 到BE 之间的距离为高．【详解】连接BE ，∵在线段AC 同侧作正方形ABMN 及正方形BCEF ，∴BE ∥AM ．∴△AME 与△AMB 同底等高．∴△AME 的面积=△AMB 的面积．∴当AB=n 时，△AME 的面积为2n 1S n 2=，当AB=2019时，△AME 的面积为220191S 20192=⨯． 当AB=2020时，△AME 的面积为220201S 20202=⨯． ∴()22202020191202020192S S −=⨯−()()1=2020-2019202020192+ 4039=2 故答案为：40392【点睛】本题考查等面积法在几何题中的应用，善于发现BE 始终平行AM 是本题关键．【答案】20212【分析】利用提公因式法提公因式2021(2)−，即可得结果． 【详解】解：2021202220212021(2)(2)(2)(12)2−+−=−⨯−=． 故答案为：20212．【点睛】本题考查了因式分解－提公因式法的应用；找出公因式是解题的关键，注意符号．【答案】4000 【分析】先利用平方差公式把每一个因数化为两个因数的积，约分后可得余下的因数，再计算乘法，从而可得答案．【详解】解：2222111111......112319992000⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫−−−− ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ =111111111111......111122331999199920002000⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫−+−+−+−+ ⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ =1341998200019992001...223319991999200022000⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ =1200122000⨯=20014000故答案为：20014000．【点睛】本题考查的是有理数的乘法运算，运用平方差公式对有理数进行简便运算，掌握以上知识是解题的关键．【答案】2【分析】把22020分成()2200119+，利用完全平方公式展开，计算即可．【详解】2222020200119200119−−⨯222(200119)200119200119+−−=⨯22222001220011919200119200119+⨯⨯+−−=⨯2200119200119⨯⨯=⨯2=．故答案为：2．【点睛】本题主要考查了利用因式分解对有理数进行简便运算，熟练应用完全平方公式是解题关键．【分析】所求式子提取公因式变形，再利用完全平方公式化简，将a+b 与ab 的值代入计算即可求出值．【详解】3223a a b ab b +++=22()()a a b b a b +++ =22()()a b a b ++ =2()()2a b a b ab ⎡⎤++−⎣⎦=3×（9+2×2）=39，故答案是：39．【点睛】此题考查了因式分解的应用，将所求式子进行适当的变形是解本题的关键．【答案】-2021055【分析】运用平方差公式对原式进行分解因式，通过提取公因式对原式进行计算即可解答.【详解】解：12-22+32-42+52-62+…+20092-20102=（1-2）（1+2）+（3-4）（3+4）+（5-6）（5+6）+…+（2009-2010）（2009+2010）=－(1+2+3+4+5+6+…+2009+2010)= －(2011×1005)= －2021055.故答案为－2021055.【点睛】本题考查了用平方差公式和提取公因式进行因式分解，将原式进行化简是解题的关键.【答案】1【分析】根据完全平方公式和平方差公式可以解答本题．【详解】40352﹣4×2017×2018＝（2017+2018）2﹣4×2017×2018＝20172+2×2017×2018+20182﹣4×2017×2018＝（2017﹣2018）2＝（﹣1）2＝1，故答案为1．【点睛】本题考查因式分解在有理数的运算中的应用，熟练掌握完全平方公式以及平方差公式的结构特征是解题的关键.三、解答题 18．先阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：例11(1)(1)(1)(1)(1)ax ax ax ax ax ax ax ax +++=+++=++2(1)ax =+；例2221(1)(1)(1)(1)(1)ax ax ax ax ax ax x ax ax α+++++=++++22(1)(1)ax ax ax =+++2(1)(1)ax ax =++3(1)ax =+．(1)例2分解因式的方法是________，共应用了________次．(2)若分解因式：220201(1)(1)...(1)ax ax ax ax ax ax ax ++++++++，则需应用上述方法________次，结果是________．(3)分解因式：23200320041(1)(1)(1)...(1)(1)x x x x x x x x x x x −−−+−−−+−−+−．【答案】(1)提取公因式，2(2)2020，2021(1)ax +(3)()20051x −【分析】（1）根据分解过程即可填空；（2）将多项式提公因式即可进行因式分解；（3）按照上面规律分解，注意符号的变化规律．【详解】（1）解：根据分解过程，可知例2分解因式的方法是提取公因式，共应用了2次；（2）220201(1)(1)...(1)ax ax ax ax ax ax ax ++++++++()()2202011(1)...(1)ax ax ax ax ax ax =+++++++ ()220201(1)...(1)ax ax ax ax =+++++... 2021(1)ax =+∴应用了2020次，结果是2021(1)ax +；（3）23200320041(1)(1)(1)...(1)(1)x x x x x x x x x x x −−−+−−−+−−+−()223200320041(1)(1)...(1)(1)x x x x x x x x x =−−+−−−+−−+−3320032004(1)(1)...(1)(1)x x x x x x x =−−−+−−+−420032004(1)...(1)(1)x x x x x =−−+−−+−...()20051x =−【点睛】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 19．（1）若100799611A =⨯⨯，119951008B =⨯⨯，求A B −；（2）证明5799449999⨯+⨯−能被100整除．【答案】（1）132；（2）证明见解析【分析】（1）先提取公因数11，再把1007996⨯化成()()1001.5 5.51001.5 5.5+⨯−，把9951008⨯化成()()1001.5 6.51001.5 6.5+⨯−，进而利用平方差公式进行求解即可；（2）把原式提取公因式99，进而得579944999999100⨯+⨯−=⨯，由此即可证明结论．【详解】解：（1）∵100799611A =⨯⨯，119951008B =⨯⨯，∴A B −100799611119951008=⨯⨯−⨯⨯()()()()111001.5 5.51001.5 5.51001.5 6.51001.5 6.5=⨯+⨯−−+⨯−⎡⎤⎣⎦()()2222111001.5 5.51001.5 6.5⎡⎤=⨯−−+⎣⎦()()11 6.5 5.5 6.5 5.5=⨯+⨯−11121=⨯⨯132=； （2）5799449999⨯+⨯−()9957441=⨯+−99100=⨯， ∵99100⨯能被100整除，∴5799449999⨯+⨯−能被100整除．【点睛】本题主要考查了因式分解在有理数简便计算中的应用，熟知因式分解的方法是解题的关键．【答案】(1)214(2)2(3)1120(4)40000【分析】（1）根据提公因式法进行计算即可求解；（2）根据平方差公式将分母化简即可求解；（3）根据平方差公式化简括号内的，然后根据有理数的乘法进行计算即可求解；（4）根据完全平方公式进行计算即可求解．【详解】（1）原式21.4 2.321.4 2.721.45=⨯+⨯+⨯()21.4 2.3 2.75=⨯++21.410=⨯214=； （2）原式=()()1000075257525+−=1000010050⨯2=；（3）原式11111111(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)2233441010=+⨯−⨯+⨯−⨯+⨯−⨯⋯⨯+⨯− =3142531192233441010⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=111210⨯=1120；（4）原式22195219555=+⨯⨯+2195()5=+2200=40000=．【点睛】本题考查了利用提公因式法、完全平方公式与平方差公式进行简便计算，熟练掌握乘法公式是解题的关键．。

2分钟1.5分钟0.5分钟归纳总结拓展提升例：利用因式分解计算22224914.35114.3)2(202120202020)1(⨯-⨯-+分析：(1)中2220212020-可利用平方差公式分解成)20212020()20212020(-⨯+，进而再进行化简运算；（1）中可以先提取共同的因数3.14，再利用平方差公式分解计算.解：2021202120202020)1()20212020(2020)20212020()20212020(2020202120202020)1(22-=--=-⨯++=-⨯++=-+28.6210014.3)4951()4951(14.3)4951(14.34914.35114.3)2(2222=⨯⨯=-⨯+⨯=-⨯=⨯-⨯例：如图，在一块长为a的正方形纸片的四角，各减去一个边长为b的正方形，其中a=1.86，b=0.34，求剩余部分面积.分析：求正方形减去四角后的面积，即用大正方形的面积，减去四个小正方面即可。

先可以列出式子为a2-4b2，若直接带入数值，发现运算量较大，所以可以先将a2-4b2因式分解后，再代入数值运算，可大大简化运算过程。

解：S剩= a2-4b2=(a+2b)(a-2b)把a=1.86，b=0.34带入S剩=(1.86+2×0.34)×(1.86-2×0.34)=2.72×1 =2.72四．归纳总结问题：今天我们主要学了哪些知识？利用平方差公式分解因式：))((22bababa-+=-问题：怎样判断能否利用平方差公式因式分解？利用平方差公式分解需要满足所给多项式能够写成两项平方差的形课后作业式，或者在变形后能够写成两项平方差的形式.平方差公式中的字母a,b可以表示数、单项式或多项式.问题：在运用平方差公式分解因式时，我们应该注意哪些问题？(1)若多项式中有公因式，应先提取公因式，再进一步分解因式；(2)因式分解要彻底，直到不能继续再分解为止.五．拓展提升如图，100个正方形由小到大套在一起，从外向里相间画上阴影，最里面一个小正方形没有画阴影，最外面一层画阴影，最外面的正方形的边长为100cm，向里依次为99cm，98cm，…，1cm，那么在这个图形中，所有画阴影部分的面积和是多少？解：每一块阴影的面积可以表示成相邻正方形的面积的差，而正方形的面积是其边长的平方，这样就可以逆用平方差公式计算了．则S阴影＝(1002－992)＋(982－972)＋…＋(22－12)＝100＋99＋98＋97＋…＋2＋1＝5050(cm2)．答：所有阴影部分的面积和是5050cm2.六．课后作业1.下列所向是能否用平方差公式分解因式？为什么？22222222)4()3()2()1(yxyxyxyx--+--+2.分解因式16)4(4)3(49)2(251)1(422222+----ayyxbaba3.已知x+2y=3, x2-4y2=-15,求x-2y的值和x, y的值.。

本节课我们开始学习因式分解的方法，在学习中同学们需要正确理解因式分解的意义，了解因式分解与整式乘法的区别．首先要理解因式与公因式的概念，进而掌握因式分解两种方法——提取公因式法和公式法．重点会运用两种方法进行分解因式，并养成首先运用提取公因式法分解的习惯，并熟记平方差公式和完全平方公式．难点是提取公因式法需要注意公因式的符号问题，理解公式法分解因式实质上是乘法公式的一种逆向运用．能够熟练结合两种方法进行分解因式．1、因式分解的概念：（1）把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式．（2）因式分解和整式乘法正好是互逆变换，可通过如下图示加以理解：因式分解多项式（和的形式 整式的积（积的形式）整式乘法因式分解（一）内容分析知识结构模块一：提取公因式法知识精讲2、因式、公因式的定义（1）几个整式相乘，每个整式叫做它们的积的因式．例如式子6ab中，6、a、b就是6ab 的因式．（2）一个多项式中每一项都含有的因式叫做这个多项式的公因式．例如，在多项式+-中都含有因式m，则m就是这个多项式的公因式．ma mb mc3、确定公因式的方法（1）确定系数的公因数——多项式中各项系数的最大公约数（系数都为整数）．（2）确定字母的公因式——多项式中各项都含有的相同字母的最低次幂．（3）确定的各项系数的最大公约数和各项都含有的相同的字母的最低次幂的乘积就是这个多项式的公因式．4、提取公因式法（1）如果一个多项式的各项含有公因式，那么可以把该公因式提取出来，作为多项式的一个因式，提出公因式后的式子放在括号里，作为另一个因式，这种分解因式的方法叫做提取公因式法．（2）提取公因式的步骤：“一找、二提、三去除”一找：第一步要正确找出多项式中各项的公因式；二提：第二步将所找出的公因式提出来；三去除：第三步当提出公因式后，直接观察剩下的另一个因式，即为提出公因式后剩下的另一个因式．5、注意事项（1）如果多项式的首项是负数时，一般先提出“—”号，使括号内的第一项系数是正数．（2）利用提取公因式法分解因式是，一定要“提干净”．（3）注意避免出现分解因式的漏项问题，一般提取公因式后，括号里的多项式项数应与原多项式的项数一致．（4）多项式的公因式可以是数字、字母，也可以是单项式，还可以是多项式．【例1】 填空：（1）单项式22233221284a b c a b a b c -，，应提取的公因式是_______； （2）多项式2226a b ab c -应提取的公因式是________；（3）()()22921()()b a x y a b y x -----应提取的公因式是_________；（4）多项式32234812a b a b ab -+提取公因式后，另一个因式是_______________； （5）多项式2963x xy x --+提取公因式后，另一个因式是_______________； （6）24()3()x x y y x ---提取公因式()x y -后，另一个因式是_________________． 【难度】★【答案】（1）224a b ； （2）2ab ； （3）23()()a b x y --； （4）2223a ab b -+； （5）321x y +-； （6）3x y +． 【解析】略．【总结】本题考察了公因式的概念．【例2】在下列等式右边的括号前填上“+”号或“－”号，使等式成立．（1）()22____()a b b a -=-；（2）()33____()a b b a -=-； （3）()22____()a b a b --=+；（4）()33____()a b a b --=+； （5）()23231(2)____(1)(2)a b a b --=--； （6）()1(2)____(1)(2)x x x x --=--． 【难度】★【答案】（1）+； （2）－； （3）+； （4）－； （5）－； （6）+． 【解析】略．【总结】本题考察了添括号法则的运用．例题解析【例3】下列各式从左边到右边的变形中，是因式分解的是（）．A .21231(23)x x x x ++=++B .242228=⨯⨯⨯C .11(1)xy xy xy-=-D .221139342a a a ⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭【难度】★ 【答案】D【解析】因式分解：把一个多项式化为几个整式的积的形式，A 选项右侧不是乘积形式； B 选项左侧不是多项式； C 选项右侧出现了分式作为因式；故选择D ． 【总结】本题考察了因式分解的概念．【例4】多项式22(1)n a a n -≥提取公因式后，另一个因式是（）． A .n aB ．1n a -C .211n a --D .221n a --【难度】★ 【答案】D【解析】原式=222(1)n a a --，故选择D ． 【总结】本题考察了提公因式法分解因式．【例5】把33244239a b a b -分解因式的结果是_________________．【难度】★ 【答案】232(6)9a b a b -．【解析】原式=232(6)9a b a b -．【总结】本题考察了提公因式法因式分解．【例6】（1）如果24,3x y xy +==，那么222x y xy +的值是____________；（2）多项式25(2)2(2)a b a a b +-+的值等于15，且3103a b +=，则2____a b +=．【难度】★★【答案】（1）12；（2）5． 【解析】（1）原式=(2)12xy x y +=；（2）由已知得：(2)[5(2)2]15a b a b a ++-=，即(2)(310)15a b a b ++=3103a b +=，25a b ∴+=．【总结】本题考察了提公因式法进行因式分解．【例7】把下列各式因式分解（1）332154530a b a b ab -+-；（2）323432224164896a b c a b c a b c +-；（3）22643ax x a -+-；（4）2()()()()m n p q n m q p -----；（5）3(4)(4)(4)x x y x y x y --+-+； （6）2(1)(1)(1)p q r q r q q r -+--+-+--； （7）112n n n x x x +--+（n 为大于1的整数）；（8）21214612n n n n n x y x y x y ++--+（n 是大于2的整数）． 【难度】★★ 【答案】见解析．【解析】（1）原式=2215(32)ab a b a --+； （2）原式=2222216(36)a b c ac a b c +-； （3）原式=22(96)3ax x a --+；（4）原式=2()()()()m n p q m n p q --+--()()[1()]m n p q m n =--+- ()()(1)m n p q m n =--+-；（5）原式=3(4)(4)(4)(4)(7)x x y x y x y x y x y -++-=-+ （6）原式=2(1)(1)(1)p q r q q r q r -+--+-++- =(1)(1)q r p q q r +---++- =(1)(q r -+-（7）原式=12(2)n x x x --+；（8）原式=21222(236)n n n x y x y x y ---+； 【总结】本题考察了提公因式法因式分解；【例8】利用简便方法计算：（1）5.781247 5.78 5.7841⨯+⨯+⨯；（2）2017201651010⨯-．【难度】★★【答案】（1）578； （2）20174.910⨯． 【解析】（1）原式=5.78(124741)578++=； （2）原式=2016201710(501) 4.910-=⨯． 【总结】本题考察了提公因式法在简便运算中的应用．【例9】已知关于x 的二次三项式22x mx n ++因式分解的结果是()1214x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，求m n 、的值．【难度】★★【答案】1124m n =-=-，．【解析】由已知得：212(21)()4x mx n x x ++=-+，22112224x mx n x x ∴++=--，∴1124m n =-=-，．【总结】本题考察了因式分解的概念．【例10】试判断181920555++能否被31整除． 【难度】★★ 【答案】能．【解析】原式=182185(155)531++=⨯，能被31整除． 【总结】本题考察了提公因式法的应用．【例11】已知代数式11111)(11)(1)261220x x x x ++++++++（）（ (1)190x ++（）的值是27， 求x 的值．【难度】★★★ 【答案】29x =．【解析】由已知得：111(1)()272690x ++++= 111(1)()271223910x ++++=⨯⨯⨯ 11111(1)(1)27223910x +-+-++-= 1(1)(1)2710x +-= 解得：29x = 【总结】本题考察了提公因式法的应用．【例12】若多项式()()()()M b a b a c c a b c a =--+--，且234a b c ==，求Mabc的值． 【难度】★★★【答案】112-．【解析】()()()()()()()M b a b a c c a b a c a b a c b c =-----=---， 设233a k b k c k ===，，， 则原式=()(2)()123412k k k k k k ---=-⋅⋅．【总结】本题考察了提公因式法的应用．师生总结观察最后的结果，分解因式与整式乘法有什么区别呢？1、公式法逆用乘法公式将一个多项式分解因式的方法叫做公式法． 2、平方差公式：22()()a b a b a b -=+-运用平方差公式进行因式分解的多项式的特征是： （1）公式左边必须是一个二项式，且符号相反；（2）两项中的每一项必须是某个数或某个式子的平方形式； （3）右边分解的结果应该是这两项的和与它们的差的积；（4）公式中字母“a ”和“b ”既可以表示单独的数字或字母，也可以表示单项式或多项式． 3、完全平方公式：2222()a ab b a b ±+=±运用完全平方公式进行因式分解的多项式的特征是：（1）公式的左边必须是一个三项式，且可以看成是一个二次三项式；（2）其中两项的符号必须是正的，且能写成某两个数或两个式子的平方形式；而另一项的 绝对值必须是前两项中两个数或两个式子的乘积的2倍；（3）右边分解的结果是这两个数或两个式子的和或差的完全平方，其和或差与左边第二项的符号相同；（4）公式中字母“a ”和“b ”既可以表示单独的数字或字母，也可以表示单项式或多项式． 4、补充公式（1）3322()()a b a b a ab b +=+-+ ； （2） 3322()()a b a b a ab b -=-++； （3）3223333()a a b ab b a b +++=+；（4）3223333()a a b ab b a b -+-=- ； （5）2222222()a b c ab ac bc a b c +++++=++．模块二：公式法知识精讲【例13】因式分解()219x --的结果是（ ）．A .()()81x x ++B .()()24x x +-C .()2(4)x x -+D .()()108x x -+【难度】★ 【答案】B【解析】原式=(13)(13)(2)(4)x x x x -+--=+-． 【总结】本题考察了利用平方差公式分解因式．【例14】下列因式分解正确的是（）． A .2244(4)x x x ++=+B .()2242121x x x -+=-C .2296()()(3)m n m n m n --+-=--D .2222()a b ab a b --+=--【难度】★ 【答案】D【解析】A 选项应为：2(2)x +； B 选项不满足完全平方公式，不能因式分解； C 选项应为：22[3()](3)m n m n --=-+；D 选项正确． 【总结】本题考察了完全平方公式因式分解．例题解析【例15】分解因式：（1）2249______a b -=；（2）24______n x -=； （3）()22()_________a b c d +--=； （4）39_______a b ab -=；（5）219_______9a -+=；（6）2258064___________a a -+=；（7）22168____________xy x y ---=； （8）()()269_________a b a b +-++=． 【难度】★ 【答案】见解析．【解析】（1）原式=(23)(23)a b a b +-； （2）原式=(2)(2)n n x x +-； （3）原式=()()a b c d a b c d ++-+-+； （4）原式=2(91)(31)(31)ab a ab a a -=+-； （5）原式=211(811)(91)(91)99a a a --=-+-；（6）原式=2(58)a -；（7）原式=222(168)(4)xy x y xy -++=-+； （8）原式=2(3)a b +-．【总结】本题考察了利用公式法进行因式分解．【例16】请写出6421-的两个因数_____________________． 【难度】★【答案】3216(21)(21)25517531++、、、、、、（任写两个）． 【解析】∵64321684221(21)(21)(21)(21)(21)(21)(21)-=++++++-， 6421∴-的因数是：3216(21)(21)25517531++、、、、、、． 【总结】本题考察了平方差公式分解因式．【例17】利用立方差（和）公式进行分解因式：（1）66a b -；（2）338x y +；（3）523972x x y -．【难度】★★ 【答案】见解析；【解析】（1）原式=33332222()()()()()()a b a b a b a ab b a b a ab b +-=+-+-++； （2）原式=22(2)(42)x y x xy y +-+；（3）原式=2332229(8)9(2)(24)x x y x x y x xy y -=-++． 【总结】本题考察了立方和和立方差公式进行因式分解．【例18】分解因式： （1）()22425()x y x y --++； （2）()44()x y x y +--； （3）()344a b a b +--；（4）2214xy x y --；（5）2()4()4()x m n x n m n m -----．【难度】★★ 【答案】见解析．【解析】（1）原式=[5()2()][5()2()](73)(37)x y x y x y x y x y x y ++-+--=++； （2）原式=222222[()()][()()]8()x y x y x y x y xy x y ++-+--=+；（3）原式=32()4()()[()4]()(2)(2)a b a b a b a b a b a b a b +-+=++-=++++-； （4）原式=22211(441)(21)44x y xy xy --+=--；（5）原式=22()4()4()()(2)x m n x m n m n m n x -+-+-=-+． 【总结】本题考察了利用公式法进行因式分解，注意公式的合理运用．【例19】分解因式： （1）117147m m m a a a +--+；（2）()24(1)a b a b +-+-；（3）()22248(4)16a a a a ++++； （4）()()()212222221025n n nx y x y x y ++---+-．【难度】★★ 【答案】见解析．【解析】（1）原式=12127(21)7(1)m m a a a a a ---+=-； （2）原式=22()4()4(2)a b a b a b +-++=+-； （3）原式=224(44)(2)a a a ++=+；（4）原式=2222222()[()10()25]n x y x y x y ----+ =222()()(5)n n x y x y x y +---．【总结】本题考察了利用公式法进行因式分解，注意公式的合理运用．【例20】利用简便方法计算：（1）2250420172015-；（2）29984-；（3）221515105+⨯+；（4）2219821989898-⨯⨯+．【难度】★★【答案】（1）116； （2）996000； （3）400； （4）10000． 【解析】（1）原式=5045041(20172015)(20172015)4032216==+-⨯； （2）原式=(9982)(9982)996000+-=； （3）原式=2(155)400+=； （4）原式=2(19898)10000-=．【总结】本题考察了因式分解在简便运算中的应用．【例21】计算：222211*********n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---⋅⋅⋅- ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．【难度】★★【答案】12n n+．【解析】原式=111111(1)(1)(1)(1)(1)(1)2233n n-+-+-+=1324112233n n n n-+⨯⨯⨯⨯=112n n+⨯=12n n+． 【总结】本题考察了公式法因式分解在分数运算中的运用．【例22】已知2220162016x x y y -=-=，，且x y ≠，求222x xy y ++的值． 【难度】★★ 【答案】1．【解析】由已知得：22()()0x x y y ---=，即220x y x y --+=， ∴22()0x y x y ---=，即()(1)0x y x y -+-=．x y ≠，2()1x y ∴=+=原式．【总结】本题考察了公式法因式分解的运用．【例23】已知多项式1442a b a b S ++=+-，问：S 是否一定是非负数？请说明理由． 【难度】★★【答案】S 一定是非负数．【解析】222(2)222(2)(22)0a a b b a b S =-⋅⋅+=-≥， ∴S 一定是非负数．【总结】本题考察了完全平方公式分解因式．【例24】已知2222210a ab b a b ++--+=，求22a a b b -+-的值． 【难度】★★★ 【答案】0．【解析】由已知，得：2()2()10a b a b +-++=，即2(1)0a b +-=． 10a b ∴+-=，∴原式=22()()()(1)0a b a b a b a b ---=-+-=． 【总结】本题考察了公式法因式分解的运用．【例25】请观察以下解题过程；分解因式：4261x x -+．解：4242261241x x x x x -+=--+()()()()422222222141(2)1212x x xx x x x x x =-+-=--=-+--以上分解因式的方法称为拆项法，请你用拆项法分解因式：4279a a -+． 【难度】★★★【答案】22(3)(3)a a a a -+--． 【解析】原式=42269a a a --+ =422(69)a a a -+- =222(3)a a --=22(3)(3)a a a a -+--．【总结】本题考察了利用拆项法进行分解因式．【例26】已知多项式()2222224S a b c a b =+--，求：（1）对于S 进行因式分解；（2）当a b c 、、是△ABC 的三边的长时，判断S 的符号．【难度】★★★【答案】（1）()()()()a b c a b c a b c a b c +++--+--； （2）0S <． 【解析】（1）原式=222222(2)(2)a b c ab a b c ab +-++-- =2222[()][()]a b c a b c +---=()()()()a b c a b c a b c a b c +++--+--；（2）由已知得：000a b c a b c a b c a b c ++>+->-+>--<，，，， 0S ∴<．【总结】本题一方面考察了公式法因式分解的运用，另一方面考查三角形三边关系的运用．【习题1】 分解因式：（1）2()()()a a b a b a a b +--+； （2）22(1)1a b b b b -+-+-； （3）22122x y -+； （4）44a b -；（5）3269x x x -+；（6）2243()27()x x y y x ---； （7）2121()()m m p q q p +--+-；（8）()24520(1)x y x y ++-+-．【难度】★ 【答案】见解析．【解析】（1）原式=()()2()a a b a b a b ab a b +---=-+； （2）原式=222(1)(1)(1)(1)a b b b b b b a -+--+=-+-； （3）原式=2211(4)(2)(2)22x y x y x y --=-+-；（4）原式=222222()()()()()a b a b a b a b a b +-=++-； （5）原式=22(69)(3)x x x x x -+=-； （6）原式=2243()27()x x y x y --- =2223()[9()]x y x x y ---=23()[3()][3()]x y x x y x x y -+--- =23()(43)(23)x y x y x y ----； （7）原式=2121()()m m p q p q +---- 212()[()1]m p q p q -=---21()(1)(1)m p q p q p q -=--+--；（8）原式=224()20()25(225)x y x y x y +-++=+-． 【总结】本题主要考察分解因式的综合运用．随堂检测【习题2】 若a ，b ，c 是三角形三边的长，则代数式2222a b c ab +--的值( )．A ．大于零B ．小于零C ．大于或等于零D ．小于或等于零【难度】★ 【答案】B【解析】原式=22()()()a b c a b c a b c --=-+--0,0a b c a b c -+>--<0∴<原式，选择B ．【总结】本题考察了因式分解的运用及三角形三边的关系的运用．【习题3】 已知长方形的长为23x y -，面积为2249x y -，则此长方形的周长为________． 【难度】★ 【答案】8x ．【解析】249(23)(23)x y x y x y -=+-， 23x y ∴+宽为：，2(2323)8x y x y x ∴=-++=周长．【总结】本题考察了利用平方差公式进行因式分解在实际问题中的运用．【习题4】 已知12x y xy -==，，则32232x y x y xy -+的值为___________． 【难度】★ 【答案】2．【解析】原式=222(2)()2xy x xy y xy x y -+=-=． 【总结】本题考察了利用因式分解进行代数式的求值．【习题5】 分解因式：（1）75()()a b b a -+-；（2）61264x y -；（3）22224946a b c d ac bd -+-++；（4）()()222248416x x x x ++++；（5）2222x y z yz ---； 【难度】★★ 【答案】见解析．【解析】（1）原式=75()()a b a b --- =52()[()1]a b a b ---=5()(1)(1)a b a b a b --+--； （2）原式=3636(8)(8)x y x y +-=22242224(2)(42)(2)(42)x y x xy y x y x xy y +-+-++； （3）原式=22(2)(3)(23)(23)a c b d a c b d a c b d +--=++-+-+； （4）原式=224(44)(2)x x x ++=+；（5）原式=22()()()x y z x y z x y z -+=++--．【总结】本题考察了利用公式法进行因式分解，注意公式的准确运用．【习题6】 分解因式：（1）2122()()()2()()n n n x y x z x y y x y z +----+--，n 为正整数； （2）22()()()()()()a b b c a c a b a b a b c a b c ++-+-+--+--； （3）322()()()()()x x y z y z a x z z x y x y z x y x z a +-+-+--+----． 【难度】★★ 【答案】见解析．【解析】（1）原式=22()(22)()()n n x y x y x z y z x y y z ---++-=--； （2）原式=22()()[()()]b c a c a b a b a b +-+-+-- =()()()()b c a c a b a b a b a b a b +-+-++-+-+ =4()()ab b c a a c b +-+-；（3）原式=322()()()()()x x y z y z a x z x y z x y x y z x z a +-+--+--+--- =2()[()()]x x y z x y z a z y x z a +-+----- =2()()x x y z xz ax z yz ay +---++．【总结】本题考察了因式分解的综合运用，注意对恰当方法的选择．【习题7】 不解方程组2631x y x y +=⎧⎨-=⎩，求代数式()()237323y x y y x ---的值．【难度】★★ 【答案】21；【解析】原式=237(3)2(3)y x y x y -+- =2(3)[72(3)]x y y x y -+- =2(3)(2)x y x y -+， ∴原式=2166⨯=．【总结】本题考察了因式分解在代数式求值章的应用．【习题8】 利用分解因式证明：712255-能被120整除． 【难度】★★ 【答案】略．【解析】原式=14121221211555(51)5245120-=-=⨯=⨯， ∴原式能被120整除．【总结】本题考察了因式分解在数整除中的应用．【习题9】 已知 3.43 3.14x y ==，，求221222x xy y ---的值． 【难度】★★ 【答案】50-．【解析】原式=22211(44)(2)22x xy y x y -++=-+，当 3.43 3.14x y ==，时，原式=2110502-⨯=-．【总结】本题考察了因式分解在代数式求值中的应用．【习题10】 求代数式的值：22(32)(21)(32)(21)(21)(23)x x x x x x x -+--+++-， 其中23x =-．【难度】★★ 【答案】4-．【解析】原式=22(32)(21)(32)(21)(21)(32)x x x x x x x -+--+-+- =(32)(21)(3221)x x x x x -+---- =3(32)(21)x x --+，当23x =-时，原式=43(4)(1)43-⨯-⨯-+=-．【总结】本题考察了因式分解在代数式求值中的应用．【习题11】 化简下列多项式：()()()()23201611111x x x x x x x x x ++++++++++．【难度】★★★ 【答案】2016(1)x +．【解析】原式=232016(1)(1)(1)(1)(1)x x x x x x x x x ++++++++++ =232015(1)[1(1)(1)(1)(1)]x x x x x x x x x ++++++++++ =2232014(1)[1(1)(1)(1)(1)]x x x x x x x x x ++++++++++=2015(1)(1)x x ++ =2016(1)x +． 【总结】本题考察了因式分解的综合运用．【习题12】 已知2244241a ab b a b ++--+=2m ，试用含a 、b 的代数式表示m ． 【难度】★★★【答案】(21)m a b =±+-．【解析】化简得：22(2)2(2)1a b a b m +-++=，即22(21)a b m +-=， 所以(21)m a b =±+-．【总结】本题考察了因式分解的运用．【习题13】 已知：2b c a +-=-，求22221()()(222)33333a a b c b c a b c b c a --+-+++-的值． 【难度】★★★ 【答案】83．【解析】原式=222()()()333a a b c b c a b c b c a --+-+++-=222()()()333a a b c b a b c c a b c --------=2()()3a b c a b c ----=22()3a b c --，2b c a +-=-，∴原式=228233⨯=．【习题14】 若a ，b ，c 为正数，且满足444222222a b c a b b c c a ++=++，那么a b c 、、之 间有什么关系？ 【难度】★★★ 【答案】a b c ==．【解析】化简得：4442222220a b c a b a c b c ++---=，则2222221[()()()]02a b a c b c -+-+-=． 222a b c ∴==， ∵a ，b ，c 为正数， a b c ∴==．【总结】本题考察了因式分解的应用，综合性较强，注意认真分析．【作业1】把多项式223436129m n m n n --+分解因式时，应提取的公因式是（）．A .226m n -B .26n -C .223m n -D .23n -【难度】★ 【答案】D 【解析】略【总结】本题考察了公因式的概念．【作业2】因式分解221448x y xy --+的结果是（）．A .()()12124(2)x x y y x +---B .21(22)x y --C .()()122122x y x y +--+D .()()122122x y x y ++--【难度】★ 【答案】C【解析】原式=22214(2)14()(122)(122)x xy y x y x y x y --+=--=+--+，选择C ； 【总结】本题考察了利用公式法进行因式分解．课后作业【作业3】已知2x y +=，求221122x y xy ++的值．【难度】★ 【答案】2．【解析】原式=222111(2)()42222x xy y x y ++=+=⨯=．【总结】本题考察了因式分解的应用．【作业4】若关于x 的多项式()()24217x ax b --+可提取公因式21x -，且3a b -=，a b 、为整数，则_________a b ==，．【难度】★ 【答案】2， －1．【解析】设2a k b k ==-，， 则：2()3k k --=，解得：1k =， 21a b ∴==-，． 【总结】本题考察了利用提公因式法进行分解因式．【作业5】分解因式： （1）34xy xy -；（2）3222524261352xy z xy z x y z -++；（3）22()()a x y b y x -+-；（4）22(5)2(5)(3)(3)m n n m n m n m +-+-+-；（5）22229()6()()a b a b a b ++-+-．【难度】★★ 【答案】见解析．【解析】（1）原式=2(4)(2)(2)xy y xy y y -=+-； （2）原式=224213(214)xy z y x z ---；（3）原式=22()()()()()x y a b x y a b a b --=-+-； （4）原式=22[(5)(3)]16(2)m n n m m n +--=-； （5）原式=22(33)4(2)a b a b a b ++-=+．【总结】本题考察了因式分解的综合运用，注意方法的合理运用．【作业6】用合理方法计算：（1）201720161.11010⨯-； （2）10595⨯； （3）221.25141258.6⨯-⨯． 【难度】★★【答案】（1）201710； （2）9975； （3）－9000． 【解析】（1）原式=20162016201710(1.1101)101010⨯-=⨯=； （2）原式=(1005)(1005)10000259975+-=-=；（3）原式=22221.2514 1.2586 1.25(1486) 1.25100(72)9000⨯-⨯=-=⨯⨯-=-． 【总结】本题考察了因式分解在简便运算中的运用．【作业7】已知9692a b ==，，求222669a ab b a b -+-++的值． 【难度】★★ 【答案】1．【解析】原式=22()6()9(3)a b a b a b ---+=--， 当9692a b ==，时，原式=1．【总结】本题考察了因式分解在代数式求值中的应用．【作业8】已知22106210x xy y x ++-+=，求()20102x y +的值．【难度】★★ 【答案】1．【解析】由已知得：222(96)(21)0x xy y x x +++-+=，即22(3)(1)0x y x ++-=． 3010x y x ∴+=-=，， 解得：13x y ==-，，1∴=原式． 【总结】本题考察了因式分解在代数式求值中的应用．【作业9】当x a b y a b =-=+，时，求代数式()222222()x y x y +--的值．【难度】★★【答案】224()()a b a b -+．【解析】原式=22222222()()x y x y x y x y ++-+-+ =224x y ，当x a b y a b =-=+，时， 原式=224()()a b a b -+． 【总结】本题考察了因式分解的应用；【作业10】因式分解：()139()nn a b b a +---． 【难度】★★★ 【答案】见解析．【解析】（1）当n 为偶数时，原式=13()9()3()(133)n n n a b a b a b a b +-+-=-+-； （2）当n 为奇数时，原式=13()9()3()(133)n n n a b a b a b a b +---=--+． 【总结】本题考察了因式分解的应用，注意对n 的分类讨论．【作业11】证明：当n 为整数时，3n n -的值必定是6的倍数． 【难度】★★★ 【答案】略．【解析】原式=2(1)(1)(1)n n n n n -=+-．11n n n -+、、为相邻三个自然数，则必有一个数为偶数，一个数为3的倍数，3n n ∴-必定是6的倍数．【总结】本题考察了因式分解在数的整除中的应用．【作业12】先阅读下列解题过程，然后完成后面的题目．分解因式：44x+．解：4422222+=++-=+-x x x x x x4444(2)422（．=++-+22)(22)x x x x以上解法中，在44x+的中间加上一项，使得三项组成一个完全平方式，为了使这个式子的值与44x+的值保持不变，必须减去同样的一项．请用上述方法分解下列各式：（1）4224x y+．++；（2）4464x x y y【难度】★★★【答案】（1）2222x y xy x y xy(84)(84)-+-+x y xy x y xy()()+++-；（2）2222【解析】（1）原式=422422=+--2222()()x y xy x y xyx y x y=+++-；()x x y y x y2++-22222（2）原式=442222x y x y--(8)16++-=22222166416x y x y x y=2222-+-+．x y xy x y xy(84)(84)。