人教版初一数学提公因式法

学习分解因式一是为解高次方程作准备，二是学习对于代数式变形的能力，从中体会分解的思想、逆向思考的作用．它不仅是现阶段学生学习的重点内容，而且也是学生后续学习的重要基础．本章教材是在学生学习了整式运算的基础上提出来的，事实上，它是整式乘法的逆向运用，与整式乘法运算有密切的联系．分解因式的变形不仅体现了一种“化归”的思想，而且也是解决后续——分式化简、解方程、恒等变形等学习的基础，为数学交流提供了有效的途径．分解因式这一章在整个教材中起到了承上启下的作用，提取公因式法和公式法是因式分解的基本而又重要的两种方法．1、因式分解：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也 叫做把这个多项式分解因式．2、因式分解与整式乘法互为逆变形：()m a b c ma mb mc ++++整式的乘积因式分解式中m 可以代表单项式，也可以代表多项式，它是多项式中各项都含有的因式，称为公因式．2、公因式：一个多项式中每一项都含有的因式叫做这个多项式的公因式．3、提取公因式法：多项式ma mb mc ++各项都含有公因式m ，可把公因式m 提到外面，提取公因式法、公式法内容分析知识结构知识精讲模块一：提取公因式法将多项式ma mb mc ++写成m 与a b c ++的乘积形式，此法叫做提取公因式法． 4、提取公因式的步骤： （1）找出多项式各项的公因式． （2）提出公因式．（3）写成m 与a b c ++的乘积形式． 6、提取公因式法的几个技巧和注意点： （1）一次提净； （2）视“多”为“一”； （3）切勿漏1；（4）注意符号：在提出的公因式为负的时候，注意各项符号的改变；（5）化“分”为整：在分解过程中如出现分数，可先提出分数单位后再进行分解 ； （6）仔细观察：当各项看似无关的时候，仔细观察其中微妙的联系，转化后再分解．【例1】 判断下列各式从左到右的变形是否是分解因式，并说明理由．（1）()()22x y x y x y +-=-；（2）()322x x x x x x +-=+；（3）()23232x x x x +-=+-；（4）()()111xy x y x y +++=++．【难度】★【答案】（1）不是；（2）不是；（3）不是；（4）是．【解析】根据等式右边是否与左边相等以及是否为整式乘积表达形式． 【总结】本题主要考查因式分解的定义．【例2】 指出下列各式中的公因式： （1）43224832a a b a b -，，； （2）2318m m a a -，； （3）()()()23369a b a b a b ++-+，，． 【难度】★【答案】（1）24a ；（2）3m a ；（3）3()a b +． 【解析】每一个单项式中都含有的因式叫做公因式． 【总结】本题主要考查公因式的定义．例题解析【例3】 分解因式： （1）2368a a -；（2）322618m m m -+-；（3）2124ad bd d --+． 【难度】★【答案】（1）22(34)a a -；（2）22(39)m m m --+；（3）2(62)d a b -+-． 【解析】（1）232682(34)a a a a -=-； （2）32226182(39)m m m m m m -+-=--+；（3）21242(62)ad bd d d a b --+=-+-．【总结】本题主要考查利用提取公因式法分解因式，注意当第一项的系数是负数时，一般应提出这个负号，并注意其它项的符号的变化．【例4】 分解因式： （1）32228x y x y +；（2）22462a b ab ab --；（3）3121326m n m n m n x y x y x y -+--+． 【难度】★【答案】（1）22(4)x y x y +；（2）2(231)ab a b --；（3）122(326)m n m m x y x x y y --+-． 【解析】（1）3222282(4)x y x y x y x y +=+； （2）224622(231)a b ab ab ab a b --=--；（3）3121122326(326)m n m n m n m n m m x y x y x y x y x x y y -+---+=-+-．【总结】本题主要考查利用提取公因式法分解因式，注意公因式是指每一项中都含有的因式，取相同字母的最低次幂．【例5】 分解因式：23229632x y x y xy ++．【难度】★★【答案】23(423)2xy x x y y ++．【解析】232229363(423)22x y x y xy xy x x y y ++=++．【总结】本题主要考查利用提取公因式法分解因式，注意提取公因式后，剩余的项的项数与原来的项数相同，并且让系数变为整数．（1）()()43x x y x y +-+；（2）()()2343x x y y x -+-；（3）()()()()32522322x y x y -----．【难度】★★【答案】（1）()(43)x y x +-；（2）2()(3)x y x y -+；（3）2(2)(2)(57)x y x ---． 【解析】（1）()()43()(43)x x y x y x y x +-+=+-； （2）原式23224()3()()[43()]()(3)x x y x y x y x x y x y x y =---=---=-+；（3）原式3225(2)(2)3(2)(2)(2)(2)(57)x y x y x y x =--+--=---．【总结】本题主要考查利用提取公因式法分解因式，注意要进行合并．【例7】 把下列各式分解因式： （1）()()68a m n b m n -+- ；（2）()()23m x y n y x -+-；（3）()()22a b x y ab x y -+-；（4）()2a b a b --+ ．【难度】★★【答案】 （1）2()(34)m n a b -+ ；（2）2()()x y m nx ny --+； （3）()()ab x y a b -+；（4）()(1)a b a b ---．【解析】（1）()()682()(34)a m n b m n m n a b -+-=-+； （2）()()()()23232()()m x y n y x m x y n x y x y m nx ny -+-=---=--+； （3）()()22()()a b x y ab x y ab x y a b -+-=-+；（4）()22()()()(1)a b a b a b a b a b a b --+=---=---．【总结】本题主要考查利用提取公因式法分解因式，注意（4）式要先对后两项提取负号，出现公因式之后，在进行分解因式．（1）()()33113510m m a b a b a b b a +----；（2）()()()223222122418ab x y a b y x ab y x -+-+-． 【难度】★★【答案】（1）13225()(2)m a b a b a b --+；（2）26()(24)ab x y b ab abx aby -+-+． 【解析】（1）原式()()33113510m m a b a b a b a b +-=-+-13225()(2)m a b a b a b -=-+；（2）原式()()()223222122418ab x y a b x y ab x y =-+-+- 26()[24()]ab x y b ab ab x y =-+--26()(24)ab x y b ab abx aby =-+-+．【总结】本题主要考查利用提取公因式法分解因式，注意公因式是指每一项中都含有的因式，取相同字母的最低次幂．【例9】 分解因式：()()93168a x yb y x -+-． 【难度】★★【答案】3(32)16a b -．【解析】原式()()93168a x yb x y =---3()(32)16x y a b =--． 【总结】本题主要考查利用提取公因式法分解因式，注意提取公因式后，剩余的项的项数与原来的项数相同，并且让系数变为整数．【例10】 分解因式：()()()222224168xy z x y z xyz z x y xy z x y +----+--． 【难度】★★【答案】228()(3222)xy x y z yz xz yz z y +---+-．【解析】原式()()()222224168xy z x y z xyz x y z xy x y z =+--+--+- 28()[32()]xy x y z yz z x y z y =+--+--228()(3222)xy x y z yz xz yz z y =+---+-．【总结】本题主要考查利用提取公因式法分解因式，注意准确找出公因式．【例11】 先化简再求值：()()()2y x y x y x y x +++--，其中2x =-，12y =． 【难度】★★ 【答案】-1．【解析】原式2()()x y y x y x =++-- 2()x x y x =+-xy =．把122x y =-=，代入，可得原式1=-． 【总结】本题先提取公因式再计算，使得整个计算过程变得简单．【例12】 已知3210x x x +++=，求100999897x x x x +++的值． 【难度】★★ 【答案】0．【解析】原式1009998979732(1)x x x x x x x x =+++=+++，再把3210x x x +++=代入，得原式=0．【总结】本题一方面考查公因式的概念，另一方面考查整体代入思想的运用．【例13】 试说明：一个三位数字，百位数字与个位数字交换位置后，则得到的新数与原数之差能被11整除． 【难度】★★ 【答案】见【解析】．【解析】设这个三位数为10010a b c ++，其中a c 、为1-9之间的整数，b 为0-9之间的整数， 交换百位数字与个位数字后可得新三位字为10010c b a ++， 所以1001010010999911(99)c b a a b c c a c a ++---=-=-，∵99c a -是整数，∴11(99)c a -能被11整除．【总结】本题一方面考查利用提取公因式分解因式，另一方面考查整除的概念．【例14】 已知：2b c a +-=-，求()()2222122233333a a b c b c a b c b c a ⎛⎫--+-+++- ⎪⎝⎭的值． 【难度】★★★【答案】83【解析】原式222()()()333a a b c b a b c c a b c =--------222()()()33a b c a b c a b c =----=--．因为2b c a +-=-，所以2a b c --=，所以原式28433=⋅=． 【总结】本题一方面考查利用提取公因式分解因式，另一方面考查整体代入思想的运用．【例15】 化简下列多项式：()()()()23200611111x x x x x x x x x ++++++++++．【难度】★★★ 【答案】2006(1)x +．【解析】原式22005(1)[1(1)(1)(1)]x x x x x x x x =+++++++++ 222004(1)[1(1)(1)(1)]x x x x x x x x =+++++++++2006(1)x =+．【总结】本题主要考查利用提取公因式法分解因式．1、平方差公式：()()22a b a b a b -=+-①公式左边形式上是一个二项式，且两项的符号相反； ②每一项都可以化成某个数或式的平方形式；③右边是这两个数或式的和与它们差的积，相当于两个一次二项式的积． 2、完全平方公式： ()2222a ab b a b ++=+()2222a ab b a b -+=-①左边相当于一个二次三项式；②左边首末两项符号相同且均能写成某个数或式的完全平方式； ③左边中间一项是这两个数或式的积的2倍，符号可正可负；④右边是这两个数或式的和(或差)的完全平方，其和或差由左边中间一项的符号决定．【例16】 把下列各式分解因式：（1）2119x -；（2）22114100m n -； （3）422591616x y -+． 【难度】★【答案】（1）111133x x ⎛⎫⎛⎫-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭；（2）1111210210m n m n ⎛⎫⎛⎫-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭；（3）()()221535316x y x y --+． 【解析】直接利用平方差公式进行因式分解．【总结】本题主要考查利用平方差公式进行因式分解，注意对公式的准确运用．模块二：公式法例题解析知识精讲【例17】 把下列各式分解因式：（1）214a a --- ；（2）22269x y xyz z -+．【难度】★【答案】（1）212a ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭；（2）()23xy z +．【解析】（1）214a a ---2222111()[()]()422a a a a a =-++=-++=-+；（2）222269(3)x y xyz z xy z -+=-．【总结】本题主要考查利用完全平方公式分解因式．【例18】 分解因式：（1）()()2222a b a b +--；（2）()()227216a b a b --+；（3）()()2294a b c d a b c d +++--+-． 【难度】★★【答案】（1）8ab ；（2）(36)(112)a b a b -+；（3）(55)(55)a b c d a b c d ++++++． 【解析】（1）原式(22)(22)248a b a b a b a b b a ab =+-+++-=⋅=；（2）原式[724()][724()]a b a b a b a b =--+-++(36)(112)a b a b =-+3(2)(112)a b a b =-+；（3）原式[3()2()][3()2()]a b c d a b c d a b c d a b c d =+++--+-++++-+-(55)(55)a b c d a b c d =++++++．【总结】本题主要考查利用公式法因式分解，注意分解一定要彻底．【例19】 分解因式 （1）3312x x -；（2）2654a b b -；（3）()()3922x y x y ---．【难度】★★【答案】（1）3(2)(2)x x x -+；（2）6(3)(3)b a a -+；（3）(2)(361)(361)x y x y x y ----+． 【解析】（1）原式23(4)3(2)(2)x x x x x =-=-+；（2）原式26(9)6(3)(3)b a b a a =-=-+；（3）原式2(2)[9(2)1](2)(361)(361)x y x y x y x y x y =---=----+．【总结】本题主要考查利用公式法因式分解，注意先提取公因式再利用公式的解题技巧．【例20】 分解因式：4416168125m n -． 【难度】★★【答案】2222111116()()9595m n m n -+．【解析】原式44222211111116()16()()81259595m n m n m n =-=-+． 【总结】本题主要考查利用公式法因式分解，注意先提取公因式再利用公式的解题技巧．【例21】 把下列各式分解因式： （1）229991001-；（2）22119910022⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【难度】★★【答案】（1）-4000；（2）-200．【解析】（1）229991001(9991001)(9991001)2000(2)4000-=+-=⨯-=-；（2）2211111199100(991001001(200)200222222⎛⎫⎛⎫-=-+=-⨯=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【总结】本题主要考查利用平方差公式进行巧算．【例22】 把下列各式分解因式： （1）2(2)10(2)25x y y x -+-+；（2）3241616m m m -+-．【难度】★★【答案】（1）2(25)x y --；（2）24(2)m m --．【解析】（1）原式22(2)25(2)25(25)x y x y x y =--⋅-+=--；（2）原式224(44)4(2)m m m m m =--+=--．【总结】本题主要考查利用完全平方式进行因式分解．【例23】 分解因式：()()222248416x x x x ++++．【难度】★★ 【答案】4(2)x +．【解析】原式224(44)(2)x x x =++=+【总结】连续运用两次完全平方公式，本题主要考查学生是否彻底分解因式．【例24】 把下列各式分解因式： （1）()222224x y x y -+；（2）()()22114m n mn --+．【难度】★★【答案】（1）22()()x y x y --+；（2）(1)(1)mn m n mn m n ++-+-+． 【解析】（1）解法一：原式222222(2)(2)()()xy x y xy x y x y x y =--++=--+，解法二：原式2242242222242()()()x y x x y y x y x y x y =---=--=--+；（2）原式222221(2)m n mn m mn n =++--+ 22(1)()mn m n =+--(1)(1)mn m n mn m n =++-+-+．【总结】本题主要利用拆开再组合的原理进行了分解因式．【例25】 分解因式：1144n n n x x x +--+． 【难度】★★ 【答案】12(2)n x x --．【解析】原式1212(44)(2)n n x x x x x --=-+=-．【总结】本题主要考查含字母指数的因式分解，注意先提取公因式，再利用完全平方公式进行分解．【例26】 已知()222410a b a b +--+=，求()20062a b +的值．【难度】★★ 【答案】1【解析】∵()222241(2)2(2)1a b a b a b a b +--+=+-++2(21)0a b =+-=，∴210a b +-=，即21a b +=． ∴20062006(2)11a b +==．【总结】本题主要考查利用公式法进行因式分解，以及利用整体代入思想求代数式的值．【例27】 证明：两个连续奇数的平方差能被8整除． 【难度】★★ 【答案】【解析】设较小的奇数的为21(0)k k +≥其中k 是正整数，则另一个奇数为23k +， 则22(23)(21)(2321)(2321)8(1)k k k k k k k +-+=+--+++=+． ∵8(1)k +能被8整除， ∴两个连续奇数的平方差能被8整除． 解法二：此题也可以直接完全平方公式展开．【总结】本题一方面考查利用公式法分解因式，另一方面考查整除的概念．【例28】 利用分解因式证明：712255-能被120整除． 【难度】★★★ 【答案】详见【解析】【解析】解法一：原式27121412121211(5)5555(251)2451205=-=-=-=⋅=⋅， 解法二：原式766655252525(251)242560025120525=-=-=⋅=⋅=⋅⋅，∴712255-能被120整除．【总结】本题主要考查利用因式分解来说明整除性．【例29】 已知乘法公式：（1）()()43223455a b a a b a b ab b a b +-+-+=+；（2）()()43223455a b a a b a b ab b a b -++++=-．利用或者不利用上述公式分解因式：86421x x x x ++++． 【难度】★★★【答案】432432(1)(1)x x x x x x x x ++++-+-+． 【解析】解法一：利用上述公式：原式22423222225255432432432432(1)[()()()1](1)()11(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x -++++=--=-+-=+-+-+-+-++++=+-=++++-+-+解法二：不利用上述公式：原式4226426242264242232432432(1)222(1)(2)(1)()(1)(1)x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x =++---++=++-++=++-+=++++-+-+【总结】主要本题主要考查学生对于新的乘法公式在因式分解中的应用．师生总结【习题1】 观察下列从左到右的变形：（1）()()3322623a b a b ab -=-；（2）()ma mb c m a b c -+=-+；（3）()22261266x xy y x y ++=+；（4）()()22323294a b a b a b +-=-．其中是因式分解的有__________（填括号）． 【难度】★ 【答案】（3）【解析】根据等式右边是否与左边相等以及是否为整式乘积表达形式． 【总结】本题主要考查因式分解的定义．【习题2】 分解因式： （1）22242x y xy xy -++；（2）23364xy x y xy -+-；（3）423322222452790x y z x y z x y z -++． 【难度】★【答案】（1）2(21)xy x y ---；（2）2(364)xy x y --+；（3）22229(5310)x y z x z x ---． 【解析】每一个单项式中都含有的因式叫做公因式． 【总结】本题主要考查利用提公因式法分解因式．【习题3】 分解因式： （1）2292416x xy y -+；（2）2844a a --． 【难度】★【答案】（1）2(34)x y -；（2）24(1)a --． 【解析】（1）22292416(34)x xy y x y -+=-；（2）2228444(21)4(1)a a a a a --=--+=--．【总结】本题主要考查利用完全平方公式进行因式分解．随堂检测【习题4】 分解因式： （1）()()x a b y a b +++；（2）()()222a x y b x y ---； （3）()()233x y y x --+-；（4）()()()2x a b y b a a b -+---．【难度】★★【答案】（1）()()a b x y ++； （2）(2)(2)x y a bx by --+；（3）2()(3)x y x y --+-；（4）()(2)a b x y ---．【解析】（1）原式()()a b x y =++； （2）原式(2)(2)x y a bx by =--+；（3）原式()()2323()(3)x y x y x y x y =----=--+-；（4）原式()()()2()(2)x a b y a b a b a b x y =-----=---．【总结】本题主要考查利用提取公因式法分解因式．【习题5】 不解方程组2631x y x y +=⎧⎨-=⎩，求代数式()()237323y x y y x ---的值．【难度】★★ 【答案】6【解析】∵23227(3)2(3)(3)(762)(3)(2)y x y y x x y y y x x y x y ---=--+=-+，∴2(3)(2)166x y x y -+=⋅=．【总结】本题一方面考查利用提取公因式法分解因式，另一方面考查利用整体法求解．【习题6】 求代数式的值：()()()()()()22322132212123x x x x x x x -+--+++-，其中23x =-．【难度】★★ 【答案】-4．【解析】原式(32)(21)[(32)21]x x x x x =-+----3(32)(21)x x =--+．当23x =-时，原式2213(32)(21)12()4333=-⨯-⨯--⨯+=⨯-=-．【总结】本题一方面考查利用提取公因式法分解因式，另一方面考查利用整体法求解．【习题7】 分解因式：()()()()()322x x y z y z a x z z x y x y z x y x z a +-+-+--+----． 【难度】★★【答案】()2()x x y z xz ax z yz ya +---++．【解析】原式()()()()()322x x y z y z a x z x y z x y x y z x z a =+-+--+--+--- ()()()2[]x x y z x y z a z y x z a =+-+-----()2()x x y z xz ax z yz ya =+---++．【总结】本题主要考查利用提取公因式法分解因式，注意提取公因式时符号的变化．【习题8】 分解因式 （1）()()222391x x +--；（2）()()2222223553a b a b --+-． 【难度】★★【答案】（1）5(6)x x -；（2）2216()()()a b a b a b +-+． 【解析】（1）原式(2333)(2333)5(6)x x x x x x =++-+-+=-；（2）原式22222222(3553)(3553)a b a b a b a b =---+-+- 2222(22)(88)a b a b =----2216()()()a b a b a b =+-+．【总结】本题主要考查利用平方差公式分解因式，注意分解一定要彻底．【习题9】 分解因式： （1）()222224a b a b -+；（2）()()()222244m n m n m n +--+-；（3）()()2121m m p q q p +--+-．【难度】★★★【答案】（1）22()()a b a b -+-；（2）2(3)n m -；（3）21()(1)(1)m p q p q p q ---+--． 【解析】（1）原式2222222222(2)()(2)(2)()()ab a b ab a b ab a b a b a b =-+=++--=-+-；（2）原式22()4()()4()m n m n m n m n =+--++-2(22)m n m n =+-+2(3)n m =-；（3）原式21221()[()1]()(1)(1)m m p q p q p q p q p q --=---=--+--． 【总结】本题主要考查对提取公因式法和公式法分解因式的两种方法的综合运用．【习题10】 已知2244241a ab b a b ++--+=2m ，试用含a 、b 的代数式表示m ． 【难度】★★★ 【答案】21m a b =+-．【解析】∵222244241(2)2(2)1(21)a ab b a b a b a b a b ++--+=+-++=+- ∴21m a b =+-．【总结】本题主要考查利用公式法分解因式的思想，综合性比较强．【习题11】 若a 、b 、c 为ABC ∆的三边长，且()()()()a b b a b a a c a b a c -+-=-+-，则ABC ∆按边分类，应是什么三角形？ 【难度】★★★ 【答案】等腰三角形．【解析】∵()()()()a b b a b a a c a b a c -+-=-+-， ∴()()()()0a b b a c a a b -----=． ∴()()0a b b a c a ---+=． 即()()0a b b c --=．∴a b b c ==，，∴△ABC 是等腰三角形．【总结】本题利用因式分解的思想，判断出a 、b 、c 的关系，提取公因式时注意符号．【作业1】 下面从左到右的变形哪些是因式分解？（1）()23632x xy x x y -=-；（2）()()225525x y x y x y -+=-；（3）()()2222a b c a b a b c -+=+-+；（4）221xy x y x xy y x y ⎛⎫++=++ ⎪⎝⎭．【难度】★ 【答案】（1）【解析】根据等式右边是否与左边相等以及是否为整式乘积表达形式． 【总结】本题主要考查因式分解的定义．【作业2】 分解因式： （1）22624a x ax +；（2）223mn m n m n -+-； （3）29363m n mn n -+-；（4）322443151020x y x y x y -+-．【难度】★【答案】（1）原式=6(4)ax a x +；（2）原式=2(1)mn mn m --+； （3）原式=23(3121)n m m --+；（4）原式=22225(324)x y x y x y --+．【解析】根据提取公因式的方法进行因式分解． 【总结】本题主要考查利用提公因式法分解因式．课后作业（1）()2211a b b b b -+-+-；（2）()()()3x a b y b a b a -+---； （3）()()23x a b y b a ---；（4）()()()262x y x y x y +--+．【难度】★★【答案】（1）原式=2(1)(1)a b b ---；（2）原式=()(3)a b x y --+；（3）原式=2()()a b x ay by -+-；（4）原式=4()(2)x y x y ++．【解析】（1）原式()2221(1)(1)(1)a b b b b b b a =-+--+=-+-； （2）原式()()()3()(3)x a b y a b a b a b x y =---+-=--+； （3）原式()()232()()x a b y a b a b x ay by =-+-=-+-；（4）原式()()2()[3]2()(24)4()(2)x y x y x y x y x y x y x y =++--=++=++【总结】本题主要考查利用提取公因式法进行因式分解，注意分解因式一定要彻底．【作业4】 利用因式分解计算： （1）23.98 3.98 3.97-⨯；（2）81031010⨯-．【难度】★★【答案】（1）0.0398；（2）-9700000000．【解析】（1）原式 3.98(3.98 3.97) 3.980.010.0398=⨯-=⨯=；（2）原式88910(3100)97109.710=⋅-=-⨯=-⨯．【总结】本题主要考查利用公式法进行简便计算．（1）()()222169m n m n --+；（2）()()224252m n m n -++-．【难度】★★【答案】（1）3(1114)(54)m n m n -++；（2）3(78)(4)m n m n --． 【解析】（1）原式(21313)(21313)m n m n m n m n =----++ (1114)(1512)m n m n =--+3(1114)(54)m n m n =-++；（2）原式(51022)(51022)m n m n m n m n =-++--- (78)(312)m n m n =--3(78)(4)m n m n =--．【总结】本题主要考查利用平方差公式进行因式分解，注意分解一定要彻底．【作业6】 分解因式：（1）211216m m -+；（2）()()()()222232333x x x x ++++++．【难度】★★ 【答案】（1）21(4)16m -；（2）22(6)x x ++． 【解析】（1）原式2211(168)(4)1616m m m =-+=-；（2）原式2222(33)(6)x x x x =+++=++．【总结】本题主要考查利用完全平方公式进行因式分解，（2）中注意整体思想的运用．【作业7】 分解因式：（1）()()()22x x y y y x --+-； （2）2222x y z yz ---．【难度】★★★【答案】（1）2()()x y x y -+；（2）()()x y z x y z --++．【解析】（1）原式222()()()()()()()x x y y x y x y x y x y x y x y =---=--+=-+；（2）原式22()()()x y z x y z x y z =-+=--++．【总结】本题主要考查公式法以及提取公因式法的综合运用，分解时注意进行观察．【作业8】 分解因式：（1）()222224x y x y +-；（2）4281181x x -+；（3）()()3528m n n m -+-．【难度】★★★【答案】（1）22()()x y x y -+；（2）22(31)(31)x x -+； （3）32()(122)(122)m n m n m n --++-． 【解析】（1）原式222222(2)(2)()()x y xy x y xy x y x y =+-++=-+；（2）原式22222(91)[(31)(31)](31)(31)x x x x x =-=+-=-+；（3）原式()()3528m n m n =---322()[14()]m n m n =--- 32()(122)(122)m n m n m n =--++-． 【总结】本题主要考查利用公式法进行因式分解，综合性较强，注意符号的变化．【作业9】 分解因式：（1）42222244a x a x y x y -+；（2）()()()()12341x x x x +++++．【难度】★★★【答案】（1）222(2)x a y -；（2）22(55)x x ++．【解析】（1）原式2222222(2)[(2)](2)a x xy x a y x a y =-=-=-；（2）原式22(54)(56)1x x x x =+++++222(5)10(5)25x x x x =++++22(55)x x =++． 【总结】本题主要考查对因式分解的理解，综合性较强，（2）中注意整体思想的运用．【作业10】 试说明：无论x 、y 为何值，2241293035x x y y -+++的值恒为正．【难度】★★★【答案】见【解析】【解析】∵222241293035(4129)(93025)1x x y y x x y y -+++=-++-++22(23)(35)1x y =-+-+．又22(23)0(35)0x y -≥-≥，，∴22(23)(35)11x y -+-+≥， ∴2241293035x x y y -+++的值恒为正．【总结】本题主要考查完全平方公式的运用，注意任何一个实数的平方都是非负数．。

14.3 因式分解(第1课时)一、内容和内容解析1．内容因式分解的概念，提公因式法．2．内容解析因式分解是对整式的一种变形，是把一个多项式转化成几个整式相乘的形式，它与整式乘法是互逆变形的关系．因式分解是后续学习分式、二次根式、一元二次方程、二次函数等知识的基础，是解决整式恒等变形和简便运算问题的重要工具．提公因式法是因式分解的基本方法．通过逆向运用分配律，将多项式中各项的公因式“提”到括号外边，从而把多项式分解为此公因式与多项式剩余部分所组成的因式的积．其中，公因式可以是单项式，也可以是数或多项式．提公因式法分解因式的关键是找准公因式．基于以上分析，确定本节课的教学重点：运用提公因式法分解因式．二、目标和目标解析1．目标(1)了解因式分解的概念．(2)了解公因式的概念，能用提公因式法进行因式分解．2．目标解析达成目标(1)的标志：学生知道因式分解的概念，知道因式分解与整式乘法是互逆变形的关系，能识别某一式子的变形是否为因式分解．达成目标(2)的标志：学生知道公因式就是多项式各项系数的最大公约数和各项都含有的字母及多项式的最低次幂的积；知道公因式可以是单项式、也可以是数或多项式；知道提公因式法分解因式要经历“找出公因式”“提取公因式”两个步骤，提取公因式就是把公因式提到括号外面，括号内的因式即为多项式除以公因式所得的商式，并能按此步骤对多项式进行因式分解．三、教学问题诊断分析因式分解不同于数的计算，是对整式进行变形，学生第一次接触时在理解上会有一定的困难．在对整式乘法的认识还不够深入的情况下，就遇到与之有互逆关系的新情境，学生有时会出现因式分解后又反转回去做乘法的错误，解决此问题的关键是让学生正确认识因式分解的概念，理解它与整式乘法的互逆变形关系．学生在运用提公因式法分解因式的过程中经常遇到的困难是公因式选取不准确，表现在忽视了某些相同的字母或式子，导致提取公因式后的因式中仍然含有公因式．解决此问题的关键是找出多项式各项系数的最大公约数和各项都含有的字母及多项式的最低次幂的积作为公因式．本节课的教学难点：正确理解因式分解的概念、准确找出公因式．四、教学过程设计1．了解因式分解的概念问题1 上一节我们已经学习了整式的乘法，知道可以将几个整式的乘积化为一个多项式的形式．反过来，在式的变形中，有时需要将一个多项式写成几个整式的乘积的形式．请把下列多项式写成整式的乘积的形式：(1)x2＋x＝___________；(2)x2－1＝___________．追问1：根据整式的乘法，你能猜想出问题(1)(2)的结果吗？追问2：在多项式的变形中，有时需要将一个多项式化成几个整式的积的形式，这种式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式．你认为因式分解与整式乘法有什么关系？师生活动：学生观察并独立思考，尝试着写出答案，在教师给出因式分解的概念之后，学生回答因式分解与整式乘法是互逆变形关系．设计意图：通过具体问题的解决，让学生在观察、思考和操作的过程中，了解因式分解的概念，认识其本质属性——将和差化为乘积的式子变形，同时发现因式分解与整式乘法的互逆变形关系，为后续探索因式分解的具体方法做铺垫．练习下列变形中，属于因式分解的是___________(填序号)．(1)a(b＋c)＝ab＋ac；(2)x3＋2x2－3＝x2(x＋2)－3；(3)a2－b2＝(a＋b)(a－b)．设计意图：通过实例辨析，让学生进一步理解因式分解的概念．2．探索因式分解的方法——提公因式法问题2你能试着将多项式pa＋pb＋pc因式分解吗？(1)这个多项式有什么特点？(2)你能将这个多项式因式分解吗？(3)因式分解的依据是什么？(4)分解后的各因式与原多项式有何关系？师生活动：教师提出问题，学生先独立思考，然后学生代表展示求解过程．在回答(1)后，学生能发现这个多项式的各项都有一个公共的因式，教师指出此因式叫做这个多项式各项的公因式．在得出pa＋pb＋pc＝p(a＋b＋c)后，学生发现：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把各个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式．教师指出：这种分解因式的方法叫做提公因式法．设计意图：让学生进一步了解因式分解与整式乘法的关系；了解因式分解的理论依据；了解公因式的概念，初步理解提公因式法分解因式．3．初步应用提公因式法例1把8a3b2＋12ab3c分解因式．师生活动：师生共同分析，并解答问题．此时教师引导学生明白找8a3b2与12ab3c的公因式的基本程序：先找系数8与12的最大公约数，再找出两项字母部分a3b2与ab3c都含的字母a和b，然后找出都含的字母a和b的最低次数，进而选定8a3b2与12ab3c的公因式4ab2．追问1：如果提出公因式4a，得出8a3b2＋12ab3c＝4a(2a2b2＋3b3c)，那么，另一个因式2a2b2＋3b3c是否还有公因式呢？追问2：如果提出公因式4b或4ab，那么，另一个因式是否还有公因式？追问3：在利用提公因式法分解因式时应注意什么？师生活动：教师提出问题，学生独立思考，互动交流，最后达成共识：用提公因式法分解因式时，最后一定要满足各因式中再无公因式．设计意图：通过例题的教学，引导学生：(1)了解提公因式法分解因式的基本程序和步骤；(2)积累找公因式的经验——找到公因式的最简单的方法是找出多项式各项系数的最大公约数和各项都含有的字母及多项式的最低次幂的乘积；(3)知道提公因式法就是把多项式分解成两个因式乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式，另一个因式是由多项式除以公因式得到的；(4)用提公因式分解因式后，应保证含有多项式的因式中再无公因式．例2 把2a(b＋c)－3(b＋c)分解因式．师生活动：学生独立完成，一名学生板书，师生共同交流．设计意图：此例题的公因式是多项式(b＋c)，通过此例题的教学，提高学生对“公因式”的认识——可以是单项式，也可以是多项式，增强对提公因式法分解因式的本质的认识．4．巩固应用提公因式法练习1把下列各式分解因式：(1)ax＋ay；(2)3mx－6my；(3)8m2＋2mn；(4)12xyz－9x2 y2；(5)2a(y－z)－3b(z－y)；(6)p(a2＋b2)－q(a2＋b2)．师生活动：三名学生板书，其他学生在练习本上完成，然后学生互动交流．设计意图：通过具有一定典型性、代表性和层次性的练习题，让学生进一步巩固因式分解的基本方法——提公因式法，积累解题经验．前4题的公因式为单项式，后两道题的公因式为多项式．在前4题中，公因式有的只是一个字母构成的单项式，有的是有两个字母及系数构成的单项式．在后两道题中，一个为直接提公因式，一个需要变形后再提公因式．练习2 先分解因式，再求值：4a2(x＋7)－3(x＋7)，其中a＝－5，x＝3．师生活动：一名学生板书，其他学生在练习本上完成，然后小组交流解题经验，解题过程由学生进行评价．设计意图：使学生进一步巩固因式分解的基本方法——提公因式法，提高对公因式的认识，公因式可以是单项式、也可以是数或多项式，感受因式分解给计算带来的便捷，体会此方法的数学价值．5．归纳小结教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，并请学生回答以下问题：(1)本节课学习了哪些主要内容？(2)因式分解的目的是什么？因式分解与整式乘法有什么区别和联系？(3)提公因式法的一般步骤是什么？应用提公因式法分解因式时要注意什么?设计意图：通过小结，使学生梳理本节课所学内容，使学生进一步理解因式分解、公因式的概念，总结应用提公因式法分解因式的步骤，建立知识之间的联系，促进学生数学思维品质的优化．6．布置作业教科书习题14.3第1题，第4题(1)．五、目标检测设计1．下列变形中是因式分解的是( )．A．x(x＋1)＝x2＋x B．x2＋2x＋1＝(x＋1)2C．x2＋xy－3＝x(x＋y)－3D．x2＋6x＋4＝x(x＋3)2－5设计意图：考查学生对因式分解概念的理解．2．分解因式：(1)14 a3b－21a2b2c；(2)2m(m＋n)＋6 n(m＋n)．设计意图：考查学生运用提公因式法进行因式分解的掌握．3．已知x－y＝3，x＋y＝7，求x(x－y)－y(y－x)的值．设计意图：考查学生运用提公因式法进行因式分解，并进行代数运算的掌握情况．。

七年级数学提公因式法知识点初中阶段是我们一生中学习的“黄金时期”。

不光愉快的过新学期，也要面对一件重要的事情那就是学习。

下面小编为大家提供了提公因式法知识点，希望对大家有所帮助。

因式分解------把一个多项式变成几个整式的积的形式;(化和为积) 注意：1、因式分解对象是多项式;2、因式分解必须进行到每一个多项式因式不能再分解为止;3、可运用因式分解与整式乘法的互逆关系检验因式分解的正确*;分解因式的作用分解因式是一种重要的代数恒等变形，它有着广泛的应用，常见的用途有化简多项式和进行简便运算，恰当的运用分解因式，常可以使计算化繁为简。

分解因式的一些原则(1)提公因式优先的原则.即一个多项式的各项若有公因式，分解时应首先提取公因式。

(2)分解彻底的原则.即分解因式必须进行到每一个多项式因式都再不能分解为止。

(3)首项为负的添括号原则.即如果多项式的首项系数为负，应先添上带“-”号的括号，并遵循添括号法则。

因式分解的首要方法—提公因式法1、公因式：一个多项式每项都含有的公共的因式，叫做这个多项式各项的公因式。

2、提公因式法：如果一个多项式的各项含有公因式，可以逆用乘法分配律，把各项共有的因式提出以分解因式的方法，叫做提公因式法。

3、使用提取公因式法应注意几点：(1)提取的“公因式”可以是数、单项式，也可以是一个多项式，是一个整体。

(2)公因式必须是多项式的每一项都有的因式，在提取公因式时，要把这些公共的因式全部找出来，并提到括号外面去，才算完成了提取公因式。

(找最高公因式)(3)对多项式中的每一项的数字系数，在提取时要提出这些数字系数的最大公约数，各项都含有相同的字母，要提取相同字母的指数的最低指数。

提公因式法分解因式的关键：1、确定最高公因式;(各项系数的最大公约数与相同因式的最低次幂之积)2、提出公因式后另一因式的确定;(用原多项式的每一项分别除以公因式)。

人教版数学七年级上册《提公因式法》教案一. 教材分析《提公因式法》是初中数学七年级上册的教学内容，主要让学生掌握提公因式法的基本概念、方法和应用。

通过学习，使学生能够熟练运用提公因式法分解因式，为后续学习整式的乘法、因式定理等知识打下基础。

二. 学情分析学生在小学阶段已经接触过简单的因式分解，但对提公因式法的概念和应用还不够了解。

因此，在教学过程中，需要从学生已有的知识出发，通过实例演示、分组讨论等方式，引导学生逐步掌握提公因式法的方法。

三. 教学目标1.知识与技能：使学生掌握提公因式法的基本概念、方法和应用。

2.过程与方法：通过实例分析、小组讨论等，培养学生的动手操作能力和合作意识。

3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的逻辑思维能力。

四. 教学重难点1.重点：提公因式法的基本概念、方法和应用。

2.难点：如何引导学生发现和运用提公因式法分解因式。

五. 教学方法1.实例演示：通过具体的例子，让学生了解提公因式法的基本概念和应用。

2.小组讨论：分组让学生讨论如何运用提公因式法分解因式，培养学生的合作意识。

3.练习巩固：布置适量的练习题，让学生在实践中巩固提公因式法。

4.拓展延伸：引导学生思考提公因式法与其他数学知识之间的联系，提高学生的综合素质。

六. 教学准备1.教学PPT：制作含有详细讲解、实例演示和练习题的PPT。

2.练习题：准备适量的练习题，包括基础题和提高题。

3.教学工具：黑板、粉笔、投影仪等。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个简单的例子，引入提公因式法的基本概念。

例如，展示一个二次多项式，让学生尝试将其分解因式，从而引出提公因式法。

2.呈现（10分钟）利用PPT，详细讲解提公因式法的方法和步骤。

通过多个实例，让学生了解如何运用提公因式法分解因式。

3.操练（10分钟）让学生分组讨论，尝试运用提公因式法分解给定的多项式。

教师巡回指导，解答学生遇到的问题。

4.巩固（10分钟）布置适量的练习题，让学生在实践中巩固提公因式法。

因式分解的常用方法一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c)二、运用公式法.在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：（1）(a+b)(a -b) = a 2-b 2 ---------a 2-b 2=(a+b)(a -b)；(2) (a ±b)2 = a 2±2ab+b 2 ——— a 2±2ab+b 2=(a ±b)2；(3) (a+b)(a 2-ab+b 2) =a 3+b 3------ a 3+b 3=(a+b)(a 2-ab+b 2)；(4) (a -b)(a 2+ab+b 2) = a 3-b 3 ------a 3-b 3=(a -b)(a 2+ab+b 2)． 下面再补充两个常用的公式：(5)a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；(6)a 3+b 3+c 3-3abc=(a+b+c)(a 2+b 2+c 2-ab -bc -ca)；例.已知a b c ，，是ABC ∆的三边，且222a b c ab bc ca ++=++， 则ABC ∆的形状是（ ） A.直角三角形 B 等腰三角形 C 等边三角形 D 等腰直角三角形三、分组分解法.（一）分组后能直接提公因式分解因式1、bc ac ab a -+-22、1+--y x xy（二）分组后能直接运用公式分解因式：ay ax y x ++-222222c b ab a -+-分解因式：y y x x 3922--- yz z y x 2222---综合练习：（1）3223y xy y x x --+ （2）b a ax bx bx ax -+-+-22（3）181696222-+-++a a y xy x （4）a b b ab a 4912622-++-（5）92234-+-a a a （6）y b x b y a x a 222244+--四、十字相乘法.（一）二次项系数为1的二次三项式直接利用公式——))(()(2q x p x pq x q p x ++=+++进行分解。

初一因数分解的方法因数分解在初一数学里可是个很重要的内容呢。

一、提公因式法。

就像从一群东西里找出大家都有的东西拿出来一样。

比如说，对于式子3x+6，3就是公因式呀。

你看，3x可以写成3乘以x，6可以写成3乘以2，那把3提出来，就变成3(x + 2)啦。

这就像是从一堆糖果里，把相同颜色的糖果先挑出来放一边一样有趣。

再比如4x² - 8x，4x就是公因式，提出来就得到4x(x - 2)。

二、公式法。

1. 平方差公式。

这个公式是a² - b²=(a + b)(a - b)。

就像一个大正方形减去一个小正方形，然后可以把它拆成两个长方形哦。

比如说9x² - 16，9x²就是(3x)²，16就是4²，那按照公式就可以分解成(3x + 4)(3x - 4)啦。

是不是很神奇，就像变魔术一样，把一个式子变成了两个式子相乘。

2. 完全平方公式。

有两个完全平方公式呢。

a²+2ab + b²=(a + b)²，a² - 2ab + b²=(a - b)²。

如果式子是x²+6x + 9，你看x²就是a²，9就是b²，6x正好是2ab（这里a 是x，b是3），那这个式子就可以分解成(x + 3)²。

就像把一些小积木拼成了一个完整的正方形一样。

三、分组分解法。

这个方法就像是给一群小伙伴分组一样。

比如说ax + ay + bx + by，我们可以把有相同字母的分成一组，就是(a(x + y)+b(x + y))，然后再把(x + y)提出来，就得到(a + b)(x + y)啦。

因数分解其实就像玩拼图游戏，你要找到合适的块儿（方法），把式子拼出它该有的样子。

只要多做几道题，就会越来越熟练啦，就像玩游戏升级一样，慢慢地你就会成为因数分解的小能手哦。