人教版因式分解---提公因式法
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因式分解---提取公因式法一、教材分析:(一)教材所处的地位学习因式分解一是为解高次方程作准备,二是学习代数式恒等变形。
它是在学生学习了整式运算的基础上提出的,事实上,它是整式乘法的逆向运用,与整式乘法运算有密切的联系。
同时也是后续学习分式化简、解方程、解不等式等内容的基础,因此,分解因式这一章在代数部分起到了承上启下的作用。
另外,分解因式体现了“化归”、“整体”以及“逆向”的数学思想,是数学学习的重点。
根据《课标》的要求,介绍最基本的4种分解因式的方法,而运用提公因式法分解因式,作为本部分内容的起始课,具有重要的意义。
(二)说教学目标知识与技能目标理解因式分解的意义;掌握提公因式法,并能够运用提公因式法进行因式分解。
过程与方法目标经历探索提公因式法分解因式的过程,提高学生的观察分析能力、判断能力以及计算能力,同时渗透化归、整体的数学思想。
情感与价值观目标体验运用数学知识解决问题的成就感;引导学生养成积极思考、独立思考的良好学习习惯,同时培养学生合作交流的团队精神。
二、重点、难点分析:本着数学新课程标准的要求,在吃透教材基础上,我确定了以下教学重点和难点:教学重点:找出多项式的公因式,并运用提公因式法分解因式。
教学难点:迅速找出多项式的公因式。
三、教法分析学生是学习的主体,教师是学习的组织者、引导着、合作者。
因此在教学过程中,我以激发学生积极性、主动性、凸显学生主体地位为出发点,采用启发式教学法。
具体地,我将通过引导发现、实例探究、讲练结合等教学过程,让学生积极主动地参与到教学活动中,经历完整的知识形成过程,从而使学生“知其然”,还“知其所以然”。
四、说学法有这样一句话--“现代的文盲不是不懂字的人,而是没有掌握学习方法的人”,因而,我在教学过程中特别重视学法的指导。
让学生从“学会”向“会学”转变,成为学习的真正的主人。
这节课主要采用自主探索、合作交流结合的研讨式学习方式。
学生思考问题,获取知识,掌握方法,同时培养学生动手、动脑、动口的能力,使学生真正成为学习的主体.五、教学过程设计六、板书设计八、结束语本节课我根据初二年级学生的心理特征及其认知规律,采用直观教学和活动探究的教学方法,放手让学生自主探索的学习,主动地参与到知识形成的整个思维过程,力求使学生在积极、愉快的课堂气氛中提高自己的认识水平,从而达到预期的教学效果。
第十四章整式的乘法与因式分解14.3 因式分解14.3.1 提公因式法一、教学目标【知识与技能】1.了解因式分解的意义,以及它与整式乘法的关系,掌握因式分解的概念;2.能确定多项式各项的公因式,会用提公因式法把多项式分解因式.【过程与方法】经历从分解因数到分解因式的类比过程,感受因式分解在解决问题中的作用.【情感、态度与价值观】培养学生有条理的思考、表达与交流的能力,培养积极的进取意识,体会数学知识的内在含义与价值.二、课型新授课三、课时1课时四、教学重难点【教学重点】因式分解的概念;提公因式法分解因式.【教学难点】正确理解因式分解的概念,准确找出公因式.五、课前准备教师:课件、三角尺、直尺等.学生:直尺、练习本、铅笔、钢笔或圆珠笔.六、教学过程(一)导入新课我们知道,利用整式的乘法运算,可以将几个整式的积化为一个多项式的形式,反过来,能不能将一个多项式化成几个整式的积的形式呢?若能,这种变形叫做什么呢?(出示课件2)(二)探索新知1.创设情境,探究提公因式法分解因式教师问1:请同学们先完成下列计算,看谁算得又准又快.(1)20×(-3)2+60×(-3);(2)1012-992;(3)572+2×57×43+432.学生回答:如下:解:方法一:(1)20×(-3)2+60×(-3)=20×9-180=180-180=0;(2)1012-992=10201-9801=400;(3)572+2×57×43+432=3249+4902+1849=8151+1849=10000.方法二:(1)20×(-3)2+60×(-3)=-3×[20×(-3)+60]=1-3×[-60+60]=0;(2)1012-992=(101+99)(101-99)=200×2=400;(3)572+2×57×43+432=3(57+43)2=1002=10000.教师问2:上边两种方法,哪一种简单呢?学生回答:方法二简单.教师讲解:在上述运算中,大家或将数字分解成两个数的乘积,或者逆用乘法公式使运算变得简单易行,类似地,在式的变形中,有时也需要将一个多项式写成几个整式的乘积形成,这就是我们从今天开始要探究的内容——因式分解.(板书课题)教师问3:如图,一块菜地被分成三部分,你能用不同的方式表示这块草坪的面积吗?(出示课件4)学生回答:方法一:m(a+b+c);方法二:ma+mb+mc教师问4:m(a+b+c)=ma+mb+mc是整式的乘法,那么ma+mb+mc=m(a+b+c),你猜想是什么呢?学生回答:因式分解.教师问5:请同学们运用整式乘法法则或公式填空:(出示课件5)(1) m(a+b+c)= ____________________ ;(2) (x+1)(x–1)=___________________;(3) (a+b)2 = ______________________.学生回答:(1) m(a+b+c)= ma+mb+mc ;(2) (x+1)(x–1)=x2-1;(3) (a+b)2 = a2+2ab+b2.教师问6:根据等式的性质填空:(1) ma+mb+mc=( )( )(2) x2–1 =( )( )(3) a2 +2ab+b2 =( )2学生回答:(1) ma+mb+mc=( m)( a+b+c )(2) x2–1 =( x+1)( x-1)(3) a2 +2ab+b2 =( a+b)2教师问7:比一比,这些式子有什么共同点?学生讨论后回答:左边是多项式,右边是多相式的乘积.教师总结:(出示课件6)把一个多项式化为几个整式的乘积的形式,像这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解,也叫做把这个多项式分解因式.教师问8:你认为因式分解与整式乘法有什么关系?(出示课件7)学生思考回答,师生共同解答如下:因式分解与整式乘法是互逆变形关系,整式乘法是一种运算,而因式分解是对多项式的一种变形,不是运算.教师问9:x2–1 = (x+1)(x–1)有何特征呢?学生回答:左边是多项式,右边是几个整式的乘积例1:下列从左到右的变形中是因式分解的有( )(出示课件8)①x2–y2–1=(x+y)(x–y)–1;②x3+x=x(x2+1);③(x–y)2=x2–2xy+y2;④x2–9y2=(x+3y)(x–3y).A.1个B.2个C.3个D.4个因式分解是积的形式,①是和的形式,所以不是因式分解,②是因式分解,③是整式的乘法,④是因式分解.故选B.答案:B.总结点拨:因式分解与整式乘法是相反方向的变形,即互逆运算,二者是一个式子的不同表现形式.因式分解的右边是两个或几个因式积的形式,整式乘法的右边是多项式的形式.教师问10:再观察下面问题中的第(1)题和第(3)题,你能发现什么特点?(1)x2+x=________;(2)x2-1=________;(3)am+bm+cm=________.学生独立思考后回答:发现(1)中各项都有一个相同的因式x,(3)中各项都有一个相同的因式m.教师问11:观察下列多项式,它们有那些相同的因式?(出示课件10)pa+pb+pc,x2+x学生回答:前者的相同因式为p,后者的相同因式为x。
《因式分解——提公因式法》教案
一、教学目标
㈠、知识与技能:(1)使学生了解因式分解的意义,理解因式分解的概念。
(2)认识因式分解与整式乘法的相互关系——互逆关系,并能运用这种关系寻求因式分解的方法。
㈡、过程与方法:(1)由学生自主探索解题途径,在此过程中,通过观察、类比等手段,寻求因式分解与因数分解之间的关系,培养学生的观
察能力,进一步发展学生的类比思想。
(2)由整式乘法的逆运算过渡到因式分解,发展学生的逆向思维能力。
(3)通过对分解因式与整式的乘法的观察与比较,培养学生的分析问题能力与综合应用能力。
㈢、情感态度与价值观:让学生初步感受对立统一的辨证观点以及实事求是的科学态度。
二、教学重点和难点
重点:因式分解的概念及提公因式法。
难点:正确找出多项式各项的公因式及分解因式与整式乘法的区别和联系。
-1)=
个整式的。
因式分解-提公因式法知识点归纳1. 什么是因式分解-提公因式法?因式分解是将一个多项式写成两个或多个不可再因式分解的多项式相乘的形式。
提公因式法是一种常用的因式分解方法,它通过提取多项式中的公因式来简化多项式的表示。
2. 如何进行因式分解-提公因式法?步骤1:提取公因式首先,观察多项式中是否存在公因式,即是否有因子可以整除多项式的每一项。
如果存在公因式,将其提取出来。
例如:2x^2 + 4x = 2x(x + 2)步骤2:判断多项式的可进一步因式分解性质提取公因式后,判断剩余的部分是否还可以进行进一步因式分解。
常见的因式分解性质包括二次平方差公式、差平方公式等。
例如:x^2 - 4 = (x + 2)(x - 2)3. 因式分解-提公因式法的应用因式分解-提公因式法在解决各种数学问题时广泛应用,包括但不限于以下几个方面:3.1. 简化多项式因式分解-提公因式法可以将复杂的多项式简化为更简洁的形式,从而使问题的求解更加方便。
例如:3x^2 + 6x = 3x(x + 2)3.2. 解方程在解方程时,因式分解-提公因式法可以帮助我们找到方程的根。
例如:x^2 - 4 = 0通过因式分解得到:(x + 2)(x - 2) = 0解得x的值为2和-2。
3.3. 求导数在微积分中,因式分解-提公因式法常常用于求函数的导数。
例如:f(x) = x^3 + 3x^2 + 3x + 1可以通过因式分解-提公因式法得到导数:f'(x) = 3x^2 + 6x + 33.4. 求极限在求极限的过程中,因式分解-提公因式法可以帮助我们简化复杂的表达式,使得求解更加便利。
例如:lim(x->0) (x^2 - 4x) / x通过因式分解-提公因式法,可以将上述表达式化简为:lim(x->0) x(x - 4) / x = lim(x->0) (x - 4) = -44. 因式分解-提公因式法的重要性因式分解-提公因式法是数学中的基础操作之一,对于深入理解和解决复杂的数学问题至关重要。
初中因式分解的(例题详解)一、提公因式法.如多项式),(c b a m cm bm am ++=++其中m 叫做这个多项式各项的公因式, m 既可以是一个单项式,也可以是一个多项式.二、运用公式法.运用公式法,即用))((,)(2),)((223322222b ab a b a b a b a b ab a b a b a b a +±=±±=+±-+=-写出结果.三、分组分解法.(一)分组后能直接提公因式例1、分解因式:bn bm an am +++例2、分解因式:bx by ay ax -+-5102练习:分解因式1、bc ac ab a -+-2 2、1+--y x xy(二)分组后能直接运用公式例3、分解因式:ay ax y x ++-22例4、分解因式:2222c b ab a -+-练习:分解因式3、y y x x 3922--- 4、yz z y x 2222---综合练习:(1)3223y xy y x x --+ (2)b a ax bx bx ax -+-+-22(3)181696222-+-++a a y xy x (4)a b b ab a 4912622-++-(5)92234-+-a a a (6)y b x b y a x a 222244+--(7)222y yz xz xy x ++-- (8)122222++-+-ab b b a a(9))1)(1()2(+---m m y y (10))2())((a b b c a c a -+-+(11)abc b a c c a b c b a 2)()()(222++++++(12)abcc b a 3333-++四、十字相乘法.(一)二次项系数为1的二次三项式直接利用公式——))(()(2q x p x pq x q p x ++=+++进行分解。
特点:(1)二次项系数是1;(2)常数项是两个数的乘积;(3)一次项系数是常数项的两因数的和。