(完整)2019年高考文理数学选做题练习

2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）含详细答案一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合M={x|−4<x<2}，N={x|x2−x−6<0}，则M∩N=()A. {x|−4<x<3}B. {x|−4<x<−2}C. {x|−2<x<2}D. {x|2<x<3}2.设复数z满足|z−i|=1，z在复平面内对应的点为(x,y)，则()A. (x+1)2+y2=1B. (x−1)2+y2=1C. x2+(y−1)2=1D. x2+(y+1)2=13.已知a=log20.2,b=20.2,c=0.20.3，则()A. a<b<cB. a<c<bC. c<a<bD. b<c<a4.古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是√5−12(√5−12≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是√5−12.若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26cm，则其身高可能是()A. 165cmB. 175cmC. 185cmD. 190cm5.函数f(x)=sinx+xcosx+x2在[−π,π]的图象大致为()A. B.C. D.6.我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“”，下图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是()A. 516B. 1132C. 2132D.11167.已知非零向量a⃗，b⃗ 满足|a⃗|=2|b⃗ |，且(a⃗−b⃗ )⊥b⃗ ，则a⃗与b⃗ 的夹角为()A. π6B. π3C. 2π3D. 5π68.下图是求12+12+12的程序框图，图中空白框中应填入()A. A=12+AB. A=2+1AC. A=11+2AD. A=1+12A9.记S n为等差数列{a n}的前n项和．已知S4=0，a5=5，则()A. a n=2n−5B. a n=3n−10C. S n=2n2−8nD. S n=12n2−2n 10.已知椭圆C的焦点为F1(−1,0),F2(1,0)，过F2的直线与C交于A，B两点.若|AF2|=2|F2B|，|AB|=|BF1|，则C的方程为()A. x22+y2=1 B. x23+y22=1 C. x24+y23=1 D. x25+y24=111.关于函数f(x)=sin|x|+|sinx|有下述四个结论：①f(x)是偶函数②f(x)在区间(π2,π)单调递增③f(x)在[−π,π]有4个零点④f(x)的最大值为2其中所有正确结论的编号是()A. ①②④B. ②④C. ①④D. ①③12.已知三棱锥P−ABC的四个顶点在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，∠CEF=90°，则球O的体积为()A. 8√6πB. 4√6πC. 2√6πD. √6π二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.曲线y=3(x2+x)e x在点(0,0)处的切线方程为________．14. 记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若a 1=13，a 42=a 6，则S 5=________．15. 甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束).根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”.设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4：1获胜的概率是 ．16. 已知双曲线C ：x 2a 2−y2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若F 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，F 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅F 2B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，则C 的离心率为三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.设(sinB −sinC)2=sin 2A −sinBsinC ． (1)求A ；(2)若√2a +b =2c ，求sin C ．18. 如图，直四棱柱ABCD −A 1B 1C 1D 1的底面是菱形，AA 1=4，AB =2，∠BAD =60°，E ，M ，N 分别是BC ，BB 1，A 1D 的中点． (1)证明：MN//平面C 1DE ；(2)求二面角A −MA 1−N 的正弦值．19. 已知抛物线C ：y 2=3x 的焦点为F ，斜率为32的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x轴的交点为P ．(1)若|AF|+|BF|=4，求l 的方程；(2)若AP⃗⃗⃗⃗⃗ =3PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，求|AB|．20.已知函数f(x)=sinx−ln(1+x)，f′(x)为f(x)的导数．证明：)存在唯一极大值点；(1)f′(x)在区间(−1,π2(2)f(x)有且仅有2个零点．21.为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得−1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得−1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X．(1)求X的分布列；(2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，p i(i=0,1，…，8)表示“甲药的累计得分为i时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则p0=0，p8=1，p i=ap i−1+bp i+cp i+1(i=1,2，…，7)，其中a=P(X=−1)，b=P(X=0)，c= P(X=1).假设α=0.5，β=0.8．(i)证明：{p i+1−p i}(i=0,1，2，…，7)为等比数列；(ii)求p4，并根据p4的值解释这种试验方案的合理性．22.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为{x=1−t21+t2y=4t1+t2(t为参数).以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2ρcosθ+√3ρsinθ+11=0．(1)求C和l的直角坐标方程；(2)求C上的点到l距离的最小值．23.已知a，b，c为正数，且满足abc=1.证明：(1)1a +1b+1c≤a2+b2+c2；(2)(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3≥24．答案和解析1.【答案】C【解析】【分析】本题考查了一元二次不等式的解法和交集的运算，属基础题．利用一元二次不等式的解法和交集的运算即可得出．【解答】解：∵M={x|−4<x<2}，N={x|x2−x−6<0}={x|−2<x<3}，∴M∩N={x|−2<x<2}．故选C．2.【答案】C【解析】【分析】本题考查复数的模、复数的几何意义，属基础题．由z在复平面内对应的点为(x,y)，可得z=x+yi，然后根据|z−i|=1即可得解．【解答】解：∵z在复平面内对应的点为(x,y)，∴z=x+yi，∴z−i=x+(y−1)i，∴|z−i|=√x2+(y−1)2=1，∴x2+(y−1)2=1，故选C．3.【答案】B【解析】【分析】本题考查了指数函数和对数函数的单调性运用，属基础题．由指数函数和对数函数的单调性易得log20.2<0，20.2>1，0<0.20.3<1，从而得出a，b，c的大小关系．【解答】解：a=log20.2<log21=0，b=20.2>20=1，∵0<0.20.3<0.20=1，∴c=0.20.3∈(0,1)，∴a<c<b，故选B．4.【答案】B【解析】【分析】本题考查简单的推理和估算，考查运算能力和推理能力，属于中档题．充分运用黄金分割比例，计算可估计身高．【解答】解：头顶至脖子下端的长度为26cm，说明头顶到咽喉的长度小于26cm，，由头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比是√5−12可得咽喉至肚脐的长度小于√5−12=√5−1≈42cm，由头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是√5−12，可得肚脐至足底的长度小于26+52√5−1√5−12≈110，即有该人的身高小于110+68=178cm，又肚脐至足底的长度大于105cm，可得头顶至肚脐的长度大于105×√5−12≈65cm，即该人的身高大于65+105=170cm，故选B．5.【答案】D【解析】【分析】本题考查了函数图象的作法及函数的奇偶性，解题关键是奇偶性和特殊值，属基础题．由f(x)的解析式知f(x)为奇函数可排除A，然后计算f(π)，判断正负即可排除B，C，从而可得结果．【解答】解：∵f(x)=sinx+xcosx+x2，x∈[−π,π]，∴f(−x)=−sinx−xcos(−x)+x2=−sinx+xcosx+x2=−f(x)，∴f(x)为[−π,π]上的奇函数，因此排除A；又f(π)=sinπ+πcosπ+π2=π−1+π2>0，因此排除B，C，故选D．6.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查概率的求法，考查古典概型、组合的应用，考查运算求解能力，属于基础题．基本事件总数n=26=64，该重卦恰有3个阳爻包含的基本个数m=C63=20，由此能求出该重卦恰有3个阳爻的概率．【解答】解：在所有重卦中随机取一重卦，基本事件总数n=26=64，该重卦恰有3个阳爻包含的基本个数m=C63=20，则该重卦恰有3个阳爻的概率p=mn =2064=516．故选A．7.【答案】B【解析】【分析】本题考查了平面向量的数量积和向量的夹角，属基础题．由(a⃗−b⃗ )⊥b⃗ ，可得(a⃗−b⃗ )⋅b⃗ =0，进一步得到|a⃗||b⃗ |cos<a⃗,b⃗ >−b⃗ 2=0，然后求出夹角即可． 【解答】 解：∵(a ⃗ −b ⃗ )⊥b ⃗ ，∴(a ⃗ −b ⃗ )⋅b ⃗ =a ⃗ ⋅b ⃗ −b ⃗ 2=|a ⃗ ||b ⃗ |cos <a ⃗ ,b ⃗ >−b ⃗ 2=0， ∴cos <a ⃗ ,b ⃗ >=|b⃗ |2|a ⃗ ||b⃗ |=12，∵<a ⃗ ,b ⃗ >∈[0,π]，∴<a ⃗ ,b ⃗ >=π3，故选B ． 8.【答案】A【解析】【分析】本题考查了程序框图的应用问题，是基础题．模拟程序的运行，由题意，依次写出每次得到的A 的值，观察规律即可得解． 【解答】解：模拟程序的运行，可得： A =12，k =1；满足条件k ≤2，执行循环体，A =12+12，k =2；满足条件k ≤2，执行循环体，A =12+12+12，k =3；此时，不满足条件k ≤2，退出循环，输出A 的值为12+12+12，观察A 的取值规律可知图中空白框中应填入A =12+A ． 故选A ． 9.【答案】A【解析】【分析】本题考查等差数列的通项公式以及前n 项和公式，关键是求出等差数列的公差以及首项，属于基础题．根据题意，设等差数列{a n }的公差为d ，则有{4a 1+6d =0a 1+4d =5，求出首项和公差，然后求出通项公式和前n 项和即可． 【解答】解：设等差数列{a n }的公差为d ， 由S 4=0，a 5=5，得 {4a 1+6d =0a 1+4d =5，∴{a 1=−3d =2， ∴a n =2n −5，S n =n (−3+2n−5)2=n 2−4n ，故选：A ．10.【答案】B【解析】【分析】本题考查了椭圆的定义以及方程、余弦定理，属中档题．根据椭圆的定义以及余弦定理列方程可解得a=√3，b=√2，可得椭圆的方程．【解答】解：∵|AF2|=2|BF2|，∴|AB|=3|BF2|，又|AB|=|BF1|，∴|BF1|=3|BF2|，又|BF1|+|BF2|=2a，∴|BF2|=a2，∴|AF2|=a，|BF1|=32a，则|AF2|=|AF1|=a，所以A为椭圆短轴端点，在Rt△AF2O中，cos∠AF2O=1a，在△BF1F2中，由余弦定理可得cos∠BF2F1=4+(a2)2−(32a)22×2×a2=4−2a22a，根据cos∠AF2O+cos∠BF2F1=0，可得1a +4−2a22a=0，解得a2=3，∴a=√3，b2=a2−c2=3−1=2．所以椭圆C的方程为：x23+y22=1，故选B．11.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查与三角函数有关的命题的真假判断，结合绝对值的应用以及利用三角函数的性质是解决本题的关键，属于中档题．根据绝对值的应用，结合三角函数的性质分别进行判断即可．【解答】解：f(−x)=sin|−x|+|sin(−x)|=sin|x|+|sinx|=f(x)，且f(x)的定义域为R，则函数f(x)是偶函数，故①正确；当x∈(π2,π)时，sin|x|=sinx，|sinx|=sinx，则f(x)=sinx+sinx=2sinx为减函数，故②错误；当0≤x≤π时，f(x)=sin|x|+|sinx|=sinx+sinx=2sinx，由f(x)=0，得2sinx=0，即x=0或x=π，由f(x)是偶函数，得在[−π,0)上还有一个零点x=−π，即函数f(x)在[−π,π]有3个零点，故③错误；当sin|x|=1，|sinx|=1时，f(x)取得最大值2，故④正确，故正确是①④，故选C．12.【答案】D【解析】【分析】本题考查多面体外接球体积的求法，是中档题．设∠PAC=θ，PA=PB=PC=2x，EC=y，根据余弦定理以及勾股定理证明三条侧棱两两互相垂直，即可求外接球O的体积．【解答】解：设∠PAC=θ，PA=PB=PC=2x，EC=y，因为E，F分别是PA，AB的中点，所以EF=12PB=x，AE=x，在△PAC中，cosθ=4x2+4−4x22×2x×2=12x，在△EAC中，cosθ=x2+4−y22×2x，整理得x2−y2=−2，①因为△ABC是边长为2的正三角形，所以CF=√3，又∠CEF=90°，则x2+y2=3，②，由①②得x=√22，所以PA=PB=PC=√2，所以PA2+PB2=4=AB2，即PA⊥PB，同理可得PA⊥PC，PB⊥PC，则PA、PB、PC两两垂直，则球O是以PA为棱的正方体的外接球，则外接球的直径为√2+2+2=√6，所以球O的体积为．故选D．13.【答案】y=3x【解析】【分析】本题考查了利用导数研究曲线上某点的切线方程，属基础题．对y=3(x2+x)e x求导，可将x=0代入导函数，求得斜率，即可得到切线方程．【解答】解：∵y=3(x2+x)e x，∴y′=3(2x+1)e x+3(x2+x)e x=3e x(x2+3x+1)，∴当x=0时，y′=3，∴y=3(x2+x)e x在点(0,0)处的切线斜率k=3，∴切线方程为：y=3x．故答案为y=3x．14.【答案】1213【解析】【分析】本题主要考查等比数列前n项和的计算，属于基础题．根据等比数列的通项公式，建立方程求出q的值，结合等比数列的前n项和公式进行计算即可．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，由a42=a6，得(a1q3)2=a1q5，即q6a12=q5a1，解得q=3，则S5=13(1−35)1−3=1213，故答案为1213．15.【答案】0.18【解析】【分析】本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．甲队以4：1获胜包含的情况有：①前5场比赛中，第一场负，另外4场全胜，②前5场比赛中，第二场负，另外4场全胜，③前5场比赛中，第三场负，另外4场全胜，④前5场比赛中，第四场负，另外4场全胜，由此能求出甲队以4：1获胜的概率．【解答】解：甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，第六场一定是甲胜，甲队以4：1获胜包含的情况有：①前5场比赛中，第一场负，另外4场全胜，其概率为：p 1=0.4×0.6×0.5×0.5×0.6=0.036，②前5场比赛中，第二场负，另外4场全胜，其概率为：p 2=0.6×0.4×0.5×0.5×0.6=0.036，③前5场比赛中，第三场负，另外4场全胜，其概率为：p 3=0.6×0.6×0.5×0.5×0.6=0.054，④前5场比赛中，第四场负，另外4场全胜，其概率为：p 4=0.6×0.6×0.5×0.5×0.6=0.054，则甲队以4：1获胜的概率为：p =p 1+p 2+p 3+p 4=0.036+0.036+0.054+0.054=0.18． 故答案为：0.18． 16.【答案】2【解析】【分析】本题考查双曲线的简单性质，是中档题．由题意画出图形，结合已知可得F 1B ⊥OA ，可得一条渐近线方程的倾斜角为，从而可得，进而求出离心率．【解答】 解：如图，∵F 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，且F 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅F 2B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0， ∴F 1B ⊥F 2B,F 1A =AB ， ∴OA ⊥F 1B ，则△AOF 1≌△AOB ， 则，所以一条渐近线的斜率为，所以e =c a =√1+b 2a 2=2，故答案为：2．17.【答案】解：(1)∵△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．设(sinB −sinC)2=sin 2A −sinBsinC ．则sin 2B +sin 2C −2sinBsinC =sin 2A −sinBsinC ， ∴由正弦定理得：b 2+c 2−a 2=bc ， ∴cosA =b 2+c 2−a 22bc=bc 2bc =12，∵0<A <π，∴A =π3．(2)∵√2a +b =2c ，A =π3，∴由正弦定理得√2sinA +sinB =2sinC ， ∴√62+sin(2π3−C)=2sinC ，即√62+√32cosC +12sinC =2sinC ，即√62+√32cosC −32sinC =0， 即sin(C −π6)=√22，，则，∴C −π6=π4，C =π4+π6， ∴sinC =sin(π4+π6)=sin π4cos π6+cos π4sin π6=√22×√32+√22×12=√6+√24．【解析】本题考查了正弦定理、余弦定理，属于中档题． (1)由正弦定理得：b 2+c 2−a 2=bc ，再由余弦定理求出A ．(2)由已知及正弦定理可得：sin(C −π6)=√22，可解得C 的值，由两角和的正弦函数公式即可得解．18.【答案】(1)证明：如图，过N 作NH ⊥AD ，连接BH ，则NH//AA 1，H 是AD 中点，且NH =12AA 1， 又MB//AA 1，MB =12AA 1，∴四边形NMBH 为平行四边形，则NM//BH ，由H 为AD 中点，而E 为BC 中点，∴BE//DH ，BE =DH ，则四边形BEDH 为平行四边形，则BH//DE ， ∴NM//DE ，∵NM ⊄平面C 1DE ，DE ⊂平面C 1DE ， ∴MN//平面C 1DE ；(2)解：以D 为坐标原点，以平面ABCD 内垂直于DC 的直线为x 轴，以DC 所在直线为y 轴，以DD 1所在直线为z 轴建立空间直角坐标系，则N(√32,−12,2)，M(√3,1，2)，A 1(√3,−1,4)，NM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(√32,32,0)，NA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(√32,−12,2)， 设平面A 1MN 的一个法向量为m⃗⃗⃗ =(x,y,z)，由{m ⃗⃗⃗ ⋅NM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =√32x +32y =0m⃗⃗⃗ ⋅NA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =√32x −12y +2z =0，取x =√3，得m ⃗⃗⃗ =(√3,−1,−1)， 又平面MAA 1的一个法向量为n ⃗ =(1,0,0)， ∴cos <m ⃗⃗⃗ ,n ⃗ >=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗|m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=√3√5=√155． ∴二面角A −MA 1−N 的正弦值为√105．【解析】本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解空间角，是中档题．(1)过N 作NH ⊥AD ，证明NM//BH ，再证明BH//DE ，可得NM//DE ，再由线面平行的判定可得MN//平面C 1DE ；(2)以D 为坐标原点建立空间直角坐标系，分别求出平面A 1MN 与平面MAA 1的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角A −MA 1−N 的正弦值．19.【答案】解：(1)设直线l ：y =32x +t ，A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，由题意可得F (34,0)，故|AF |+|BF |=x 1+x 2+32， 因为|AF|+|BF|=4， 所以x 1+x 2=52， 联立{y =32x +t y 2=3x，整理得9x 2+12(t −1)x +4t 2=0，由韦达定理可知，x 1+x 2=−12(t−1)9，从而−12(t−1)9=52，解得t =−78，所以直线l 的方程为y =32x −78．(2)设直线l ：y =32x +m ，A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)， 由AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =3PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，可得y 1=−3y 2， 联立{y =32x +m y 2=3x，整理得y 2−2y +2m =0，由韦达定理可知，y 1+y 2=2，又y 1=−3y 2，解得y 1=3,y 2=−1， 代入抛物线C 方程得，x 1=3,x 2=13， 即A (3,3)，B (13,−1)，故|AB |=√(3−13)2+(3+1)2=4√133．【解析】本题考查了抛物线的定义，考查直线与抛物线的位置关系，属于中档题．(1)根据韦达定理以及抛物线的定义可得．(2)由AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =3PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，可得y 1=−3y 2，由韦达定理可得y 1+y 2=2，从而解出A 、B 两点坐标，使用弦长公式计算即可．20.【答案】证明：(1)f(x)的定义域为(−1,+∞)， 令f′(x )=ℎ(x)=cosx −11+x ， ℎ′(x )=−sinx +1(1+x)2，令g(x)=−sinx +1(1+x)2，则g′(x)=−cosx −2(1+x)3<0在(−1,π2)恒成立， ∴ℎ′(x )在(−1,π2)上为减函数，又ℎ′(0)=1，ℎ′(π2)=−1+1(1+π2)2<−1+1=0，由零点存在定理可知，函数ℎ′(x )在(−1,π2)上存在唯一的零点x 0，结合单调性可得，f′(x )在(−1,x 0)上单调递增，在(x 0,π2)上单调递减， 可得f′(x )在区间(−1,π2)存在唯一极大值点； (2)由(1)知，当x ∈(−1,0)时，f′(x )单调递增， 则f′(x )<f′(0)=0，则f(x)单调递减； 当x ∈(0,x 0)时，f′(x )单调递增， 则f′(x )>f′(0)=0，f(x)单调递增； 由于f′(x )在(x 0,π2)上单调递减， 且f′(x 0)>0，，由零点存在定理可知，函数f′(x )在(x 0,π2)上存在唯一零点x 1，结合单调性可知， 当x ∈(x 0,x 1)时，f′(x )单调递减，则f′(x )>f′(x 1)=0，故f(x)单调递增； 当x ∈(x 1,π2)时，f′(x )单调递减， 则f′(x )<f′(x 1)=0，f(x)单调递减． 当x ∈(π2,π)时，cosx <0，−11+x <0， 于是f′(x )=cosx −11+x <0，f(x)单调递减， 其中f(π2)=1−ln(1+π2)>1−ln(1+3.22)=1−ln2.6>1−lne =0，f(π)=−ln(1+π)<−ln3<0． 于是可得下表：结合单调性可知，函数f(x)在(−1,π2]上有且只有一个零点0，由函数零点存在性定理可知，f(x)在(π2,π)上有且只有一个零点x2，当x∈[π,+∞)时，f(x)=sinx−ln(1+x)<1−ln(1+π)<1−ln3<0，因此函数f(x)在[π,+∞)上无零点．综上，f(x)有且仅有2个零点．【解析】本题考查利用导数求函数的极值，考查函数零点的判定，考查数学转化思想方法，考查逻辑思维能力，难度较大．(1)f(x)的定义域为(−1,+∞)，求出原函数的导函数，令f′(x)=ℎ(x)=cosx−11+x，进一步求导，得到ℎ′(x)在(−1,π2)上为减函数，结合ℎ′(0)=1，ℎ′(π2)=−1+1(1+π2)2<−1+1=0，由零点存在定理可知，函数ℎ′(x)在(−1,π2)上存在唯一得零点x0，结合单调性可得，f′(x)在(−1,x0)上单调递增，在(x0,π2)上单调递减，可得f′(x)在区间(−1,π2)存在唯一极大值点；(2)由(1)知，当x∈(−1,0)时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x∈(0,x0)时，f′(x)> 0，f(x)单调递增；由于f′(x)在(x0,π2)上单调递减，且f′(x0)>0，，可得函数f′(x)在(x0,π2)上存在唯一零点x1，结合单调性可知，当x∈(x0,x1)时，f(x)单调递增；当x∈(x1,π2)时，f(x)单调递减．当x∈(π2,π)时，f(x)单调递减，再由f(π2)>0，f(π)<0.然后列x、f′(x)与f(x)的变化情况表得答案．21.【答案】(1)解：X的所有可能取值为−1，0，1．P(X=−1)=(1−α)β，P(X=0)=αβ+(1−α)(1−β)，P(X=1)=α(1−β)，(2)(i)证明：∵α=0.5，β=0.8，∴由(1)得，a=0.4，b=0.5，c=0.1．因此p i=0.4p i−1+0.5p i+0.1p i+1(i=1,2，…，7)，故0.1(p i+1−p i)=0.4(p i−p i−1)，即p i+1−p i=4(p i−p i−1)，又∵p1−p0=p1≠0，∴{p i+1−p i}(i=0,1，2，…，7)为公比为4，首项为p1的等比数列；(ii)解：由(i)可得，p8=(p8−p7)+(p7−p6)+⋯+(p1−p0)+p0=p1(1−48)1−4=48−13p1，∵p 8=1，∴p 1=348−1，∴p 4=(p 4−p 3)+(p 3−p 2)+(p 2−p 1)+(p 1−p 0)+p 0=44−13p 1=1257．由计算结果可以看出，在甲药治愈率为0.5，乙药治愈率为0.8时，认为甲药更有效的概率为p 4=1257≈0.0039，此时得出错误结论的概率非常小，说明这种试验方案合理．【解析】本题主要考查数列的应用，考查离散型随机变量的分布列，属于难题． (1)由题意可得X 的所有可能取值为−1，0，1，再由相互独立试验的概率求P(X =−1)，P(X =0)，P(X =1)的值，则X 的分布列可求；(2)(i)由α=0.5，β=0.8结合(1)求得a ，b ，c 的值，代入p i =ap i−1+bp i +cp i+1，得到(p i+1−p i )=4(p i −p i−1)，由p 1−p 0=p 1≠0，可得{p i+1−p i }(i =0,1，2，…，7)为公比为4，首项为p 1的等比数列；(ii)由(i)可得，p 8=(p 8−p 7)+(p 7−p 6)+⋯+(p 1−p 0)+p 0，利用等比数列的前n 项和与p 8=1，得p 1=348−1，进一步求得p 4=1257，即可求解． 22.【答案】解：(1)由{x =1−t 21+t 2y =4t 1+t 2(t 为参数)，得{x =1−t 21+t 2y 2=2t1+t2, 两式平方相加，得x 2+y 24=1(x ≠−1)，∴C 的直角坐标方程为x 2+y 24=1(x ≠−1)，由2ρcosθ+√3ρsinθ+11=0，得2x +√3y +11=0，即直线l 的直角坐标方程为2x +√3y +11=0．(2)设与直线2x +√3y +11=0平行的直线方程为2x +√3y +m =0，联立{2x +√3y +m =04x 2+y 2−4=0,得16x 2+4mx +m 2−12=0． 由Δ=16m 2−64(m 2−12)=0， 得m =±4，∴当m =4时，直线2x +√3y +4=0与曲线C 的切点到直线2x +√3y +11=0的距离最小， 即为直线2x +√3y +4=0与直线2x +√3y +11=0之间的距离√22+3=√7．【解析】本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程化为普通方程，考查直线与椭圆位置关系的应用，训练了两平行线间的距离公式的应用，是中档题．(1)把曲线C 的参数方程变形，平方相加可得普通方程，把x =ρcosθ，y =ρsinθ代入2ρcosθ+√3ρsinθ+11=0，可得直线l 的直角坐标方程．(2)写出与直线l 平行的直线方程为2x +√3y +m =0，与曲线C 联立，化为关于x 的一元二次方程，利用判别式等于0求得m ，转化为两平行线间的距离求C 上的点到l 距离的最小值．23.【答案】证明：(1)分析法：已知a ，b ，c 为正数，且满足abc =1．要证1a +1b+1c≤a2+b2+c2；因为abc=1．即证：abca +abcb+abcc≤a2+b2+c2；即证：bc+ac+ab≤a2+b2+c2；即证：2bc+2ac+2ab≤2a2+2b2+2c2；即证：2a2+2b2+2c2−2bc−2ac−2ab≥0，即证(a−b)2+(a−c)2+(b−c)2≥0；∵a，b，c为正数，且满足abc=1．∴(a−b)2≥0；(a−c)2≥0；(b−c)2≥0恒成立；当且仅当：a=b=c=1时取等号．即(a−b)2+(a−c)2+(b−c)2≥0得证．故1a +1b+1c≤a2+b2+c2得证．(2)已知a，b，c为正数，且满足abc=1．(a+b)为正数；(b+c)为正数；(c+a)为正数；(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3≥3(a+b)⋅(b+c)⋅(c+a)；当且仅当(a+b)=(b+c)=(c+a)时取等号；即：a=b=c=1时取等号；∵a，b，c为正数，且满足abc=1．a+b≥2√ab；b+c≥2√bc；c+a≥2√ac；当且仅当a=b，b=c，c=a时取等号；即：a=b=c=1时取等号；∴(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3≥3(a+b)⋅(b+c)⋅(c+a)≥3×8√ab⋅√bc⋅√ac=24abc=24；当且仅当a=b=c=1时取等号；故(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3≥24.得证．故得证．【解析】本题考查基本不等式的运用，分析法和综合法的证明方法，属于中档题．(1)利用基本不等式和“1”的运用可证；(2)利用综合法可证．。

2019年高考数学函数图象 文理通用一．选择题（共40小题）1．函数4()|41|x x f x =-的图象大致是( ) A ． B ．C ．D ．2．已知22(2)(2sin 1)(4)f x x ln x =-，则数()f x 的部分图象大致为( )A ．B ．C ．D ． 3．x 为实数，[]x 表示不超过x 的最大整数，()[]f x x x =-，若()f x 的图象上恰好存在一个点与2()(1)(20)g x x a x =+--剟的图象上某点关于y 轴对称，则实数a 的取值范围为( )A ．(0,1)B ．1(1,)4--C ．1(0,1)(1,)4--D ．1(0,1](1,]4--⋃ 4．函数sin31cos x y x=+，(,)x ππ∈-图象大致为( ) A ． B ． C ． D ．5．函数()cos sin f x x x x =-，[x π∈-，]π的大致图象为( )A ．B ．C ．D ．6．函数1(1)y ln x x =-+的图象大致为( ) A ． B ． C ． D ．7．函数(1)cos ()1x x e x f x e -=+的部分图象大致为( ) A ． B ．C ． D ．8．函数1()(1)x x e f x x e +=-（其中e 为自然对数的底数）的图象大致为( ) A ． B ． C ． D ．9．函数2()(1)f x ln x x =+-的图象大致是( )A ．B ．C ．D ．10．函数2()sin cos f x x x =+的部分图象符合的是( )A ．B ．C ．D ．11．将函数()f x 的图象沿x 轴向左平移1个单位长度，得到奇函数()g x 的图象，则()f x 可能是下列函数中的哪个函数？( )A ．1()1f x x =+B ．11()x x f x e e --=-C ．2()f x x x=+ D ．2()log (1)1f x x =++ 12．函数sin y x x π=-的大致图象是( )A ．B ．C ．D ．13．如图，在直角坐标系xOy 中，边长为1的正方形OMNP 的两个顶点在坐标轴上，点A ，B 分别在线段MN ，NP 上运动．设PB MA x ==，函数()f x OA BA =，()g x OA OB =，则()f x 与()g x 的图象为( )A ．B ．C ．D ．14．函数2()sin f x x x x =+的图象大致为( )A ．B ．C ．D ． 15．函数2(1)21ln x y x x +=-+的部分图象大致是( ) A ． B ． C ． D ．16．如图，一高为H 且装满水的鱼缸，其底部装有一排水小孔，当小孔打开时，水从孔中匀速流出，水流完所用时间为T ．若鱼缸水深为h 时，水流出所用时间为t ，则函数()h f t =的图象大致是( )A ．B ．C ．D ．17．函数3()cos f x x x x =-的大致图象为( )A ．B ．C ．D ．18．已知函数2|1()|23x f x x e x -=--+，则()f x 的大致图象是( )A ．B ．C ．D ．19．函数()f x =( ) A ．B ．C ．D ． 20．函数1(1)y x ln x =-+的图象大致为( ) A ． B ． C ． D ．21．函数2()(41)x f x x x e =-+的大致图象是( )A ．BC ．D ．22．已知函数()f x 的图象如图所示，则()f x 的解析式可能是( )A ．||()cos x f x e x =B ．()||cos f x ln x x =C ．||()cos x f x e x =+D ．()||cos f x ln x x =+23．函数1()sin 1x f x x ln x -=+的大致图象为( ) A ． B ．C ．D ．24．函数3()||y x x ln x =-的图象是( )A ．B ．C ．D ．25．函数||sin 2()2x x f x =的图象大致为( )A ．B ．C ．D ．26．函数2()()x f x x tx e =+（实数t 为常数，且0)t <的图象大致是( )A ．B ．C ．D ．27．函数2()(2)||f x x ln x =-的图象为( )A ．B ．C ．D ．28．函数()1ln xf x x =+，的图象大致是( ) A ． B ．C ． D ．29．函数()cos sin f x x x x =-在[3x π∈-，3]π的大致图象为( )A ．B ．C ．D ． 30．函数233()sin ()22f x x x x ππ=-剟的图象大致为( ) A ． B ．C ．D ．31．函数2||8x y ln x =-的图象大致为( ) A ． B ． C ． D ．32．反映函数2()||f x x x -=-基本性质的图象大致为( )A ．B ．C ．D ．33．函数433()x xf x x --=的大致图象为( ) A ． B ． C ． D ．34．函数2()22x x f x x -=--的图象大致为( )A ．B ．C ．D ．35．函数()|1||1|f x ln x ln x =+--的大致图象为( )A ．B ．C ．D ．36．函数11x y lnx -=+的图象大致为( ) A ． B ． C ． D ．37．设函数2()1xx xe f x e =+的大致图象是( ) A ． B ．C ．D ． 38．函数()||cos f x x x =的部分图象为( )A．B．C．D．39．函数()sin2cosf x x x x=+的大致图象有可能是() A．B．C．D．40．函数1()()cosf x x xx=+在[3-，0)(0⋃，3]的图象大致为()A．B．C．D．参考答案一．选择题（共40小题）【解答】解：4()()()|41|x x f x f x f x --=≠≠--， 故()f x 为非奇非偶函数，故排除A ，B ．当x →+∞时，()0f x →，当x →-∞时，()f x →+∞，故排除C ，故选：D ．【解答】解：2(2)cos2(2)f x xln x =-，令2x t =，则2()cos f t t lnt =-，(0)t ≠2()cos f x xlnx ∴=-，(0)x ≠．cos y x =为偶函数，2y lnt =为偶函数，2()cos f x xlnx ∴=-，(0)x ≠．为偶函数．排除B ，C ．当(0,1)x ∈时，cos 0x -<，20lnx <．所以当(0,1)x ∈时，()0f x >，排除A ．故选：D ．【解答】解：设()h x 与()g x 关于y 轴对称，则2()()(1)h x g x x a =-=--，(02)x 剟．()f x 的图象上恰好存在一个点与2()(1)(20)g x x a x =+--剟的图象上某点关于y 轴对称，可以等价为()f x 与()h x 在[0，2]上有一个交点，①当0a <时，()f x 与()h x 图象如图：当()h x 与()f x 在[1，2]的部分相切时，联立()h x 与()f x 在[1，2]的部分2(1)1y x a y x ⎧=--⎨=-⎩， 得2320x x a -+-=，由△0=得，14a =-， 当1a -…时，()h x 始终在1y =上方，与()f x 无交点．故此时1(1,)4a ∈--． ②0a =时，有两个交点，不成立．③当0a >时，()f x 与()h x 图象如图：要使()f x 与()h x 在[0，2]上有一个交点，需满足：(0)0(2)(0)1h h h ⎧⎨=⎩……，即(0a ∈，1]． 综上，1(0,1](1,]4--⋃． 故选：D ．【解答】解：函数sin31cos x y x =+满足sin3()()1cos x f x f x x--==-+，函数为奇函数，排除A ， 由于3sin2()121cos 2f πππ==-+，sin ()031cos 3f πππ==+，2sin 2()0231cos 3f πππ==+ 故排除B ，C故选：D ．【解答】解：()cos sin (cos sin )()f x x x x x x x f x -=-+=--=-，函数()f x 是奇函数，图象关于原点对称，排除A ，C()cos sin 102222f ππππ=-=-<，排除B ， 故选：D ．【解答】解：由于函数1(1)y ln x x=-+在(1,0)-，(0,)+∞单调递减，故排除B ，D ， 当1x =时，120y ln =->，故排除C ，故选：A ．【解答】解：(1)cos()(1)cos ()()11x x x x e x e x f x f x e e ------==-=-++， ∴函数()f x 为奇函数，故排除B ，D ，当x →+∞时，()0f x →，故排除C ，故选：A ．【解答】解：当0x >时，1x e >，则()0f x <；当0x <时，1x e <，则()0f x <，所以()f x 的图象恒在x 轴下方，排除B ，C ，D ， 故选：A ．【解答】解：代0x =，知函数过原点，故排除D ．代入1x =，得0y <，排除C ．带入0.0000000001x =-，0y <，排除A ．故选：B ．【解答】解：函数()f x 是偶函数，图象关于y 轴对称，(0)sin0cos01f =+=排除C ，22()sin cos sin 02424f ππππ=+=>，排除A ，D ， 故选：B ．【解答】解：A ．将函数()f x 的图象沿x 轴向左平移1个单位长度得到12y x =+，图象关于原点不对称，不是奇函数，不满足条件． B ．将函数()f x 的图象沿x 轴向左平移1个单位长度，得到x x y e e -=-，则此时函数为奇函数，满足条件． C ．将函数()f x 的图象沿x 轴向左平移1个单位长度，得到211y x x =+++，(0)1230f =+=≠，则函数不是奇函数，D ．将函数()f x 的图象沿x 轴向左平移1个单位长度，得到2log (2)1y x =++，定义域关于原点不对称，不是奇函数，故选：B ．【解答】解：()sin (sin )()f x x x x x f x ππ-=-+=--=-，则函数()f x 是奇函数，图象关于原点对称，排除B ，C ，当x →+∞，()f x →+∞，排除A ，故选：D ．【解答】解：由已知可得(1,)A x ，(,1)B x ，[0x ∈，1]，则(1,1)BA x x =--，(1,)OA x =，(,1)OB x =，所以2()1(1)(1)f x OA BA x x x x ==-+-=-，()2g x OA OB x ==，故选：A ．【解答】解：函数2()sin f x x x x =+是偶函数，关于y 轴对称，故排除B ， 令()sin g x x x =+，()1cos 0g x x ∴'=+…恒成立，()g x ∴在R 上单调递增，(0)0g =，()()0f x xg x ∴=…，故排除D ，当0x >时，()()f x xg x =单调递增，故当0x <时，()()f x xg x =单调递减，故排除C ． 故选：A ．【解答】解：当2x =时，f （2）330441ln ln ==>-+，故排除C ， 当12x =时，3132()401224lnf ln ==>，故排除D ， 当x →+∞时，()0f x →，故排除B ，故选：A ．【解答】解：函数()h f t =是关于t 的减函数，故排除C ，D ，则一开始，h 随着时间的变化，而变化变慢，超过一半时，h 随着时间的变化，而变化变快， 故对应的图象为B ，【解答】解：函数33()cos()()cos ()f x x x x x x x f x -=----=-+=-，则函数()f x 是奇函数，图象关于原点对称，排除C ，D ，33()cos ()()022222f πππππ=-=-<，排除B ， 故选：A ．【解答】解：由题意知2|12|1()|2323|x x f x x e x x x e --=--+=-+-，223y x x =-+对称轴为1x =，|1|x y e -=对称轴为1x =，所以知()f x 的对称轴为1x =，排除B ，D ． 代特殊值3x =得0y <，排除C ，选A ．故选：A ．【解答】解：1(0)02ln f ==，排除C ，Df （1）11)0ln e e -=<+，排除B 故选：A ．【解答】解：f （1）1012ln =>-，排除C ，D ， 由10(1)y x ln x ==-+，则方程无解，即函数没有零点，排除B ， 故选：A ．【解答】解：当0x <时，2410x x -+>，0x e >，所以()0f x >，故可排除B ，C ； 当2x =时，f （2）230e =-<，故可排除D ．故选：A ．【解答】解：由图可知()02f π>，故可排除A ，B ； 对于||:()cos x C f x e x =+，当(0,1)x ∈时()0f x >，故可排除C ．故选：D ．【解答】解：111()sin sin sin ()111x x x f x x lnx ln x ln f x x x x --+--=-=-==-+-+，则函数()f x 是偶函数，图象关于y 轴对称，排除A ，C ，f （3）1sin302ln =<，排除B ，【解答】解：3()()||()f x x x ln x f x -=--=-，函数是奇函数，图象关于原点对称，排除B ， 函数的定义域为{|0}x x ≠，由()0f x =，得3()||0x x ln x -=，即2(1)||0x ln x -=，即1x =±，即函数()f x 有两个零点，排除D ， f （2）620ln =>，排除A ，故选：C ．【解答】解：||||sin(2)sin 2()()22x x x x f x f x ----===-，函数()f x 是奇函数，图象关于原点对称，排除A ，B ， ||44sin(2)14()0422f ππππ⨯==>，排除C ， 故选：D ．【解答】解：由()0f x =得20x tx +=，得0x =或x t =-，即函数()f x 有两个零点，排除A ，C ， 函数的导数22()(2)())[(2)]x x x f x x t e x tx e x t x t e '=+++==+++，当x →-∞时，()0f x '>，即在x 轴最左侧，函数()f x 为增函数，排除D ， 故选：B ．【解答】解：22()(2)||(2)||()f x x ln x x ln x f x -=--=-=，则函数()f x 是偶函数，图象关于y 轴对称，排除A ，D ，当x →+∞时，()f x →+∞，排除C ，故选：B ．【解答】解：||||()()1||1||ln x ln x f x f x x x --===+-+，则函数()f x 是偶函数，图象关于y 轴对称，排除B ，D f （1）0=，则f （e ）1011lne e e ==>++，排除A ， 故选：C ．【解答】解：()cos sin (cos sin )()f x x x x x x x f x -=-+=--=-，函数()f x 是奇函数，图象关于原点对称，排除B ，D()cos sin 0f πππππ=-=-<，排除C ，故选：A ．【解答】解：因为233,()sin ()22x f x x x f x ππ--=-=-剟，所以()f x 为奇函数，图象关于原点对称，排除A ，C ， 又因为()333222x f x f πππ⎛⎫- ⎪⎝⎭时剟?，排除B 故选：D ．【解答】解：函数的定义域为{|0}x x ≠， 则22()()||||()88x x f x ln x ln x f x --=--=-=，则函数()f x 是偶函数，图象关于y 轴对称，排除B ， 当x →+∞时，y →+∞，排除A ，2222()2088e e f e lne =-=-<， ∴函数在0x >时，存在负值，排除C ，故选：D ．【解答】解：函数22()||()||()f x x x x x f x ---=---=-=，则()f x 是偶函数，排除C 且在(0,)+∞上是增函数，排除B 、D ，故选：A ．【解答】解：443333()()x x x xf x f x x x -----==-=-，则()f x 是奇函数，则图象关于原点对称，排除A ， f （1）183033=-=>，排除D ， 当x →+∞，3x →+∞，则()f x →+∞，排除C ，故选：B ．【解答】解：2()22()x x f x x f x --=--=，则()f x 是偶函数，排除C ，f （3）1798088=--=>，排除A ， f （5）112532703232=--=--<，排除D ， 故选：B ．【解答】解：()|1||1|(|1||1|)()f x ln x ln x ln x ln x f x -=--+=-+--=-，即()f x 是奇函数， 图象关于原点对称，排除A ，C ，f （2）3130ln ln ln =-=>，排除B ，故选：D ．【解答】解：当x →+∞时，y →+∞，排除D ，由0y =得101x lnx -=+，得10x -=，即1x =， 即函数只有一个零点，排除A ，B ，故选：C ．【解答】解：f （1）201e e =>+，排除D ，122(1)011e ef e e ----==-<++，排除B ，C 故选：A ．【解答】解：()||cos()||cos ()f x x x x x f x -=--==，则函数()f x 是偶函数，图象关于y 轴对称，排除A ，B ，1()cos 33362f ππππ==>，故排除D ， 故选：C ．【解答】解：()sin(2)cos()sin2cos ()f x x x x x x x f x -=--+-=+=，则函数()f x 是偶函数，排除D ， 由()2sin cos cos 0f x x x x x =+=，得cos (2sin 1)0x x x +=， 得cos 0x =，此时2x π=或32π， 由2sin 10x x +=得1sin 2x x =-， 作出函数sin y x =和12y x=-，在(0,2)π内的图象，由图象知两个函数此时有两个不同的交点， 综上()f x 在(0,2)π有四个零点，排除B ，C ，故选：A ．【解答】解：11()()cos()()cos ()f x x x x x f x x x-=---=-+=-，函数是奇函数，图象关于原点对称，排除B ，D ，f （1）2cos10=>，排除C ，故选：A ．。

2019年普通高等学校招生全国统一考试（全国II 卷） 文科数学1.设集合{}1-|>=x x A ，{}2|<=x x B ，则=⋂B A ( ) A. ),1(+∞- B. )2,(-∞ C. )2,1(- D. φ2. 设(2)z i i =+，则z = ( ) A. 12i + B. 12i -+ C. 12i - D. 12i --3. 已知向量(2,3)=a ， (3,2)=b ，则-=a b （ ）B. 2C. D. 504. 生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标.若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为（ ）A.23 B. 35C. 25D. 155. 在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测.甲：我的成绩比乙高. 乙：丙的成绩比我和甲的都高. 丙：我的成绩比乙高.成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为（ ）A ．甲、乙、丙B ．乙、甲、丙C ．丙、乙、甲D ．甲、丙、乙6. 设()f x 为奇函数，且当0≥x 时，()1=-xf x e ，则当0<x 时，()=f x （ ） A. 1--x e B. 1-+x e C. 1---x e D . 1--+x e7. 设,αβ为两个平面，则//αβ的充要条件是( ) A. α内有无数条直线与β平行 B. α内有两条相交直线与β平行 C. ,αβ平行于同一条直线 D. ,αβ垂直于同一平面8. 若123,44x x ππ==是函数()sin (0)f x x ωω=>两个相邻的极值点，则ω=A ．2B. 32C. 1D.129.若抛物线)0(22>=p px y 的焦点是椭圆1322=+py p x 的一个焦点，则=p （ ） A.2 B.3 C.4 D.810. 曲线2sin cos y x x =+在点(,1)π-处的切线方程为( ) A. 10x y π---= B. 2210x y π---= C. 2210x y π+-+= D. 10x y π+-+=11. 已知(0,)2πα∈，2sin 2cos21αα=+，则sin α=（ ）A.15D.512.设F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的右焦点，0为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆222x y a +=交于,P Q 两点，若PQ OF =,则C 的离心率为:A.2B.3C.2D.5 二、填空题13. 若变量,x y 满足约束条件23603020x y x y y +-≥⎧⎪+-≤⎨⎪-≤⎩则3z x y =-的最大值是 .14. 我国高铁发展迅速，技术先进.经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站的高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为 .15. ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .已知sin cos 0b A a B +=，则B = . 16.中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1.则该半正多面体共有 个面，其棱长为 .(本题第一空2分，第二空3分.)三、解答题17.如图，长方体1111ABCD A B C D -的底面ABCD 是正方形，点E 在棱1AA 上，1BE EC ⊥. （1）证明：BE ⊥平面11EB C（2）若1AE AE =,3AB =,求四棱锥11E BB C C -的体积.18.已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，162,2231+==a a a . (1)求{}n a 的通项公式：(2)设n n a b 2log =，求数列{}n b 的前n 项和.19. 某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况，随机调查了100个企业，得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率y 的频数分布表.y 的分组[)0.20,0-[)0,0.20[)0.20,0.40 [)0.40,0.60 [)0.60,0.80企业数22453147（1）分别估计这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例、产值负增长的企业比例； （2）求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）.（精确到0.01） 748.602≈.20. 已知12,F F 是椭圆C ：22221(0,0)x y a b a b+=>>的两个焦点，P 为C 上的点，O 为坐标原点.（1）若2POF ∆为等边三角形，求C 的离心率；（2）如果存在点P ，使得12PF PF ⊥，且12F PF ∆的面积等于16，求b 的值和a 的取值范围.21. 已知函数()(1)ln 1=---f x x x x .证明： （1）()f x 存在唯一的极值点；（2）()0=f x 有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数.四、选做题（2选1）22.在极坐标系中，O 为极点，点00(,)M ρθ0(0)ρ>在曲线:=4sin C ρθ上，直线l 过点(4,0)A 且与OM 垂直，垂足为P .（1）当03πθ=时，求0ρ及l 的极坐标方程；（2）当M 在C 上运动且P 在线段OM 上时，求P 点轨迹的极坐标方程. 23.[选修4-5：不等式选讲]已知 ()|||2|()f x x a x x x a =-+-- （1）当1a =时，求不等式()0f x <的解集： （2）若(,1)x ∈-∞时，()0f x <，求a 得取值范围.2019年普通高等学校招生全国统一考试（全国II 卷 ）文科数学答 案1. 答案：C 解析：{}1-|>=x x A ，{}2|<=x x B ，∴）（2,1-=⋂B A .2. 答案：D 解析：因为(2)12z i i i =+=-+，所以12z i =--. 3. 答案：A 解答：由题意知(1,1)-=-a b ，所以2-=a b .4. 答案：B 解答：计测量过的3只兔子为1、2、3，设测量过的2只兔子为A 、B 则3只兔子的种类有(1,2,3)(1,2,)A (1,2,)B (1,3,)A (1,3,)B (1,,)A B ()()()()2,3,2,3,2,,3,,A B A B A B ,则恰好有两只测量过的有6种，所以其概率为35.5.答案：A 解答：根据已知逻辑关系可知，甲的预测正确，乙丙的预测错误，从而可得结果. 6. 答案：D 解答：当0<x 时，0->x ，()1--=-xf x e ，又()f x 为奇函数，有()()1-=--=-+xf x f x e .7. 答案：B解析:根据面面平行的判定定理易得答案. 8.答案：A 解答：由题意可知32442T πππ=-=即T=π,所以=2ω. 9.答案：D 解析：抛物线)0(22>=p px y 的焦点是)0,2(p，椭圆1322=+p y p x 的焦点是)0,2(p ±， ∴p p22=，∴8=p . 10. 答案：C 解析：因为2cos sin y x x '=-，所以曲线2sin cos y x x =+在点(,1)π-处的切线斜率为2-， 故曲线2sin cos y x x =+在点(,1)π-处的切线方程为2210x y π+-+=. 11. 答案：B 解答：(0,)2πα∈，22sin 2cos 214sin cos 2cos ααααα=+⇒=，则12sin cos tan 2ααα=⇒=，所以cos α==，所以sin α==. 12. 答案：A解析：设F 点坐标为)0,2c （，则以OF 为直径的圆的方程为2222)2⎪⎭⎫⎝⎛=+-c y c x （-----①，圆的方程222a y x =+-----②，则①-②，化简得到c a x 2=，代入②式，求得caby ±=，则设P 点坐标为),2c ab c a （，Q 点坐标为),2c ab c a -（，故cab PQ 2=，又OF PQ =,则,2c cab=化简得到2222b a c ab +==，b a =∴，故2222==+==aaa b a a c e .故选A. 二、填空题 13. 答案：9 解答：根据不等式组约束条件可知目标函数3z x y =-在()3,0处取得最大值为9. 14.答案：0.98 解答：平均正点率的估计值0.97100.98200.99100.9840⨯+⨯+⨯==.15.答案：34π 解析：根据正弦定理可得sin sin sin cos 0B A A B +=,即()sin sin cos 0A B B +=，显然sin 0A ≠，所以sin cos 0B B +=，故34B π=.16.答案：1 解析：由图2结合空间想象即可得到该正多面体有26个面；将该半正多面体补成正方体后，根据对称性列方程求解. 三、解答题 17.答案： （1）看解析 （2）看解析 解答：（1）证明：因为11B C C ⊥面11A B BA ，BE ⊥面11A B BA∴11B C BE ⊥ 又1111C E B C C ⋂=，∴BE ⊥平面11EB C ；（2）设12AA a =则 229BE a =+，22118+a C E =，22194C B a =+ 因为22211=C B BE C E + ∴3a =，∴11111h 3E BB C C BB C C V S -=1363=183=⨯⨯⨯ 18.答案： （1）122-=n n a ； （2）2n解答：(1)已知162,2231+==a a a ，故162121+=q a q a ，求得4=q 或2-=q ，又0>q ，故4=q ，则12111242---=⋅==n n n n q a a .(2)把n a 代入n b ，求得12-=n b n ，故数列{}n b 的前n 项和为22)]12(1[n nn =-+.19. 答案： 详见解析 解答:（1）这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例是14721100100+=， 这类企业中产值负增长的企业比例是2100. （2）这类企业产值增长率的平均数是()0.1020.10240.30530.50140.7071000.30-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯÷=⎡⎤⎣⎦这类企业产值增长率的方差是()()()()()222220.100.3020.100.30240.300.30530.500.30140.700.3071000.0296⎡⎤--⨯+-⨯+-⨯+-⨯+-⨯÷=⎣⎦所以这类企业产值增长率的标准差是28.6020.172040.17100==⨯=≈. 20. 答案： 详见解析 解答:（1）若2POF ∆为等边三角形，则P 的坐标为,22c ⎛⎫± ⎪ ⎪⎝⎭，代入方程22221x y a b +=，可得22223144c c a b+=，解得24e =±1e =. （2）由题意可得122PF PF a +=，因为12PF PF ⊥，所以222124PF PF c +=， 所以()22121224PF PF PF PF c +-⋅=，所以222122444PF PF a c b ⋅=-=，所以2122PF PF b ⋅=，所以122121162PF F S PF PF b ∆=⋅==，解得4b =. 因为()212124PF PF PF PF +≥⋅，即()21224a PF PF ≥⋅，即212a PF PF ≥⋅，所以232a ≥，所以a ≥21. 答案：见解析解答：（1）1()ln (0)'=->f x x x x ，设1()ln =-g x x x ，211()0'=+>g x x x则()g x 在(0,)+∞上递增，(1)10=-<g ，11(2)ln 2ln 022=->=g ， 所以存在唯一0(1,2)∈x ，使得00()()0'==f x g x ，当00<<x x 时，0()()0<=g x g x ，当0>x x 时，0()()0>=g x g x ，所以()f x 在0(0,)x 上递减，在0(,)+∞x 上递增，所以()f x 存在唯一的极值点.（2）由（1）知存在唯一0(1,2)∈x ，使得0()0'=f x ，即001ln =x x ， 00000000011()(1)ln 1(1)1()0=---=---=-+<f x x x x x x x x x ， 22221113()(1)(2)110=----=->f e e e e，2222()2(1)130=---=->f e e e e ， 所以函数()f x 在0(0,)x 上，0(,)+∞x 上分别有一个零点.设12()()0==f x f x ，(1)20=-<f ，则1021<<<x x x ，有1111111(1)ln 10ln 1+---=⇒=-x x x x x x ， 2222221(1)ln 10ln 1+---=⇒=-x x x x x x ， 设1()ln 1+=--x h x x x ，当0,1<≠x x 时，恒有1()()0+=h x h x， 则12()()0+=h x h x 时，有121=x x .22.答案：（1）0ρ=l 的极坐标方程：sin()26πρθ+=；（2）P 点轨迹的极坐标方程为=4cos ρθ(,)42ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. 解析：（1）当03πθ=时，00=4sin 4sin 3πρθ==以O 为原点，极轴为x轴建立直角坐标系，在直角坐标系中有M ，(4,0)A，OM k =，则直线l的斜率3k =-，由点斜式可得直线l：(4)3y x =--，化成极坐标方程为sin()26πρθ+=；（2）∵l OM ⊥∴2OPA π∠=，则P 点的轨迹为以OA 为直径的圆，此时圆的直角坐标方程为22(2)4x y -+=，化成极坐标方程为=4cos ρθ，又P 在线段OM 上，由4sin 4cos ρθρθ=⎧⎨=⎩可得4πθ=，∴P 点轨迹的极坐标方程为=4cos ρθ(,)42ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. 23.答案（1）看解析（2）看解析解答：（1）当1a =时，22242(2),()12(1)22(12),242(1).x x x f x x x x x x x x x x ⎧-+≥⎪=-+--=-<<⎨⎪-+-≤⎩所以不等式()0f x <等价于224202x x x ⎧-+<⎨≥⎩或22012x x -<⎧⎨<<⎩或224201x x x ⎧-+-<⎨≤⎩解得不等式的解集为{}2x x <。

2019届普通高等学校招生全国统一考试数学练习卷文科数学本卷满分150分,考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题,共60分)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A={1,2,3,4},B={x|x=n2,n∈A},则A∩B=()A.{1,4}B.{2,3}C.{9,16}D.{1,2}=( )2.(-A.-1-IB.-1+IC.1+ID.1-i3.从1,2,3,4中任取2个不同的数,则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是( )A. B. C. D.4.已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的离心率为,则C的渐近线方程为( )A.y=±xB.y=±xC.y=±xD.y=±x5.已知命题p:∀x∈R,2x<3x;命题q:∃x∈R,x3=1-x2,则下列命题中为真命题的是( )A.p∧qB. p∧qC.p∧qD.p∧q6.设首项为1,公比为的等比数列{a n}的前n项和为S n,则( )A.S n=2a n-1B.S n=3a n-2C.S n=4-3a nD.S n=3-2a n7.执行下面的程序框图,如果输入的t∈[-1,3],则输出的s属于( )A.[-3,4]B.[-5,2]C.[-4,3]D.[-2,5]8.O为坐标原点,F为抛物线C:y2=4的焦点,P为C上一点,若|PF|=4,则△POF的面积为( )A.2B.2C.2D.49.函数f(x)=(1-cos x)sin x在[-π,π]的图象大致为( )10.已知锐角△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,23cos2A+cos 2A=0,a=7,c=6,则b=( )A.10B.9C.8D.511.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )A.16+8πB.8+8πC.16+16πD.8+16π12.已知函数f(x)=-,,( ,.若|f(x |≥ax,则a的取值范围是( )A.(-∞,0]B.(-∞,1]C.[-2,1]D.[-2,0]第Ⅱ卷(非选择题,共90分)本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22题~第24题为选考题,考生根据要求作答.二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.13.已知两个单位向量a,b的夹角为60°,c=ta+(1-t)b.若b·c=0,则t= .14.设x,y满足约束条件,--,则z=2x-y的最大值为.15.已知H是球O的直径AB上一点,AH∶HB=1∶2,AB⊥平面α,H为垂足,α截球O所得截面的面积为π,则球O的表面积为.16.设当x=θ时,函数f(x)=sin x-2cos x取得最大值,则cos θ= .三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.(本小题满分12分)已知等差数列{a n}的前n项和S n满足S3=0,S5=-5.(Ⅰ 求{a n}的通项公式;(Ⅱ 求数列-的前n项和.18.(本小题满分12分)为了比较两种治疗失眠症的药(分别称为A药,B药)的疗效,随机地选取20位患者服用A 药,20位患者服用B药,这40位患者在服用一段时间后,记录他们日平均增加的睡眠时间(单位:h).试验的观测结果如下:服用A药的20位患者日平均增加的睡眠时间:0.6 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.3 3.2 3.52.5 2.6 1.2 2.7 1.5 2.93.0 3.1 2.3 2.4服用B药的20位患者日平均增加的睡眠时间:3.2 1.7 1.9 0.8 0.9 2.4 1.2 2.6 1.3 1.41.6 0.5 1.8 0.62.1 1.1 2.5 1.2 2.7 0.5(Ⅰ 分别计算两组数据的平均数,从计算结果看,哪种药的疗效更好? (Ⅱ 根据两组数据完成下面茎叶图,从茎叶图看,哪种药的疗效更好?19.(本小题满分12分)如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB,AB=AA1,∠BAA1=60°.(Ⅰ 证明:AB⊥A1C;(Ⅱ 若AB=CB=2,A1C=,求三棱柱ABC-A1B1C1的体积.20.(本小题满分12分)已知函数f(x)=e x(ax+b)-x2-4x,曲线y=f(x)在点(0, f(0))处的切线方程为y=4x+4.(Ⅰ 求a,b的值;(Ⅱ 讨论f(x)的单调性,并求f(x)的极大值.21.(本小题满分12分)已知圆M:(x+1)2+y2=1,圆N:(x-1)2+y2=9,动圆P与圆M外切并且与圆N内切,圆心P的轨迹为曲线C.(Ⅰ 求C的方程;(Ⅱ l是与圆P,圆M都相切的一条直线,l与曲线C交于A,B两点,当圆P的半径最长时,求|AB|.请考生从第22、23、24题中任选一题作答.注意:只能做所选定的题目.如果多做,则按所做的第一个题目计分.22.(本小题满分10分)选修4—1:几何证明选讲如图,直线AB为圆的切线,切点为B,点C在圆上,∠ABC的角平分线BE交圆于点E,DB垂直BE交圆于点D.(Ⅰ 证明:DB=DC;(Ⅱ 设圆的半径为1,BC=,延长CE交AB于点F,求△BCF外接圆的半径.23.(本小题满分10分)选修4—4:坐标系与参数方程已知曲线C1的参数方程为,(t为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ=2sin θ.(Ⅰ 把C1的参数方程化为极坐标方程;(Ⅱ 求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π).24.(本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲已知函数f(x)=|2x-1|+|2x+a|,g(x)=x+3.(Ⅰ 当a=-2时,求不等式f(x)<g(x)的解集;(Ⅱ 设a>-1,且当x∈-,时, f(x ≤g(x ,求a的取值范围.答案一、选择题1.A ∵B={x|x=n2,n∈A}={1,4,9,16},∴A∩B={1,4},故选A.2.B(-=-=((-=-=-1+i,故选B.3.B 从1,2,3,4中任取2个不同的数,共有(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)6种不同的结果,取出的2个数之差的绝对值为2的有(1,3),(2,4)2种结果,概率为,故选B.4.C 由双曲线的离心率e==可知,=,而双曲线-=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±x,故选C.5.B 对于命题p,由于x=-1时,2-1=>=3-1,所以是假命题,故p是真命题;对于命题q,设f(x)=x3+x2-1,由于f(0)=-1<0, f(1)=1>0,所以f(x)=0在区间(0,1)上有解,即存在x∈R,x3=1-x2,故命题q是真命题.综上, ∧q是真命题,故选B.6.D 因为a1=1,公比q=,所以a n=-,S n=(--=3-=3-2-=3-2a n,故选D.7.A 由框图可知s=,-,-,,即求分段函数的值域.当-1≤t<1时,-3≤s<3;当1≤t≤3时,s=4t-t2=-(t-2)2+4,所以3≤s≤4.综上,s∈[-3,4],故选A.8.C 如图,设点P的坐标为(x0,y0),由|PF|=x0+得x0=3,代入抛物线方程得,=4×3=24, 所以|y0|=2,所以S△POF=|OF||y0|=××2=2故选C.9.C 因为f(-x)=[1-cos(-x)]sin(-x)=-(1-cos x ·sin x=-f(x),所以函数f(x)为奇函数,图象关于原点对称,排除选项B;当x∈(0,π)时,1-cos x>0,sin x>0,所以f(x)>0,排除选项A;又函数f(x)的导函数f '(x =sin x·sin x+(1-cos x ·cos x,所以f '(0)=0,排除D.故选C.评析本题考查对函数图象的识辨能力,考查综合运用所学知识的意识,体现了数形结合的思想方法;难点是判断选项C中f '(0)=0.10.D 由23cos2A+cos 2A=0得25cos2A=1,因为A为锐角,所以cos A=.又由a2=b2+c2-2bccos A得49=b2+36-b,整理得5b2-12b-65=0, 解得b=-(舍)或b=5,故选D.11.A 由所给三视图可知该几何体是一个组合体,下方是底面为半圆的柱体,底面半圆的半径为2,高为4;上方为长、宽、高分别为4、2、2的长方体.所以该几何体的体积为π×22×4+4×2×2=16+8π,故选A.评析本题考查识图能力和空间想象能力以及体积的计算;能正确得出几何体的形状是解题关键.12.D |f(x)|=-,, ( ,,其图象如图.由对数函数图象的变化趋势可知,要使ax≤|f(x |,则a≤0,且ax≤x2-2x(x≤0 ,即a≥x-2对x≤0恒成立,所以a≥-2.综上,-2≤a≤0,故选D.二、填空题13.答案 2解析b·c=b·[ta+(1-t b]=ta·b+(1-t)b2=t|a||b|cos 60°+(1-t)|b|2=+1-t=1-.由b·c=0,得1-=0,所以t=2.14.答案 3解析可行域为平行四边形ABCD及其内部(如图),由z=2x-y,得y=2x-z.-z的几何意义是直线y=2x-z在y轴上的截距,要使z最大,则-z最小,所以当直线y=2x-z过点A(3,3)时,z最大,最大值为2×3-3=3.15.答案解析平面α截球O所得截面为圆面,圆心为H,设球O的半径为R,则由AH∶HB=1∶2得OH=R,由圆H的面积为π,得圆H的半径为1,所以+12=R2,得出R2=,所以球O的表面积S=4πR2=4π×=π.16.答案-解析f(x)=sin x-2cos x=sin(x-φ),其中cos φ=,sin φ=,当x-φ=2kπ+时,f(x)取得最大值,此时x=2kπ++φ,即θ=2kπ++φ,cos θ=cos=-sin φ=-.评析本题考查三角函数的最值问题,考查了运算求解能力;熟练运用三角函数的有关公式是解题关键.三、解答题17.解析(Ⅰ 设{a n}的公差为d,则S n=na1+(- d.由已知可得,-.解得a1=1,d=-1.故{a n}的通项公式为a n=2-n.(Ⅱ 由(Ⅰ 知-=(- (-=---,从而数列-的前n项和为------=-.评析本题考查等差数列的通项公式及前n项和公式,考查了裂项求和的方法,考查了运算求解能力与方程思想.18.解析(Ⅰ 设A药观测数据的平均数为,B药观测数据的平均数为,由观测结果可得=(0.6+1.2+1.2+1.5+1.5+1.8+2.2+2.3+2.3+2.4+2.5+2.6+2.7+2.7+2.8+2.9+3.0+3.1+3. 2+3.5)=2.3,=(0.5+0.5+0.6+0.8+0.9+1.1+1.2+1.2+1.3+1.4+1.6+1.7+1.8+1.9+2.1+2.4+2.5+2.6+2. 7+3.2)=1.6.由以上计算结果可得>,因此可看出A药的疗效更好.(Ⅱ 由观测结果可绘制如下茎叶图:从以上茎叶图可以看出,A药疗效的试验结果有的叶集中在茎2,3上,而B药疗效的试验结果有的叶集中在茎0,1上,由此可看出A药的疗效更好.评析本题考查数据的平均数和茎叶图,考查数据的分析处理能力和应用意识.19.解析(Ⅰ 取AB的中点O,连结OC,OA1,A1B.因为CA=CB,所以OC⊥AB.由于AB=AA1,∠BAA1=60°,故△AA1B为等边三角形,所以OA1⊥AB.因为OC∩OA1=O,所以AB⊥平面OA1C.又A1C⊂平面OA1C,故AB⊥A1C.(Ⅱ 由题设知△ABC与△AA1B都是边长为2的等边三角形,所以OC=OA1=.又A1C=则A1C2=OC2+O,故OA1⊥OC.因为OC∩AB=O,所以OA1⊥平面ABC,OA1为三棱柱ABC-A1B1C1的高.又△ABC的面积S△ABC=,故三棱柱ABC-A1B1C1的体积V=S△ABC×OA1=3.评析本题主要考查直线与平面垂直的判定与性质、线线、线面的位置关系以及体积计算等基础知识,考查空间想象能力和推理论证能力.20.解析(Ⅰ f '(x =e x(ax+a+b)-2x-4.由已知得f(0)=4, f '(0)=4.故b=4,a+b=8.从而a=4,b=4.(Ⅱ 由(Ⅰ 知f(x)=4e x(x+1)-x2-4x,f '(x)=4e x(x+2)-2x-4=4(x+2)-.令f '(x)=0,得x=-ln 2或x=-2.从而当x∈(-∞,-2 ∪(-ln 2,+∞ 时, f '(x)>0;当x∈(-2,-ln 2)时, f '(x)<0.故f(x)在(-∞,-2),(-ln 2,+∞ 上单调递增,在(-2,-ln 2)上单调递减.当x=-2时,函数f(x)取得极大值,极大值为f(-2)=4(1-e-2).评析本题考查导数的运算及几何意义、利用导数研究函数的单调性和极值等基础知识,考查了运算求解能力.21.解析由已知得圆M的圆心为M(-1,0),半径r1=1;圆N的圆心为N(1,0),半径r2=3. 设圆P的圆心为P(x,y),半径为R.(Ⅰ 因为圆P与圆M外切并且与圆N内切,所以|PM|+|PN|=(R+r1)+(r2-R)=r1+r2=4.由椭圆的定义可知,曲线C是以M、N为左、右焦点,2为长半轴长,为短半轴长的椭圆(左顶点除外),其方程为+=1(x≠-2).(Ⅱ 对于曲线C上任意一点P(x,y),由于|PM|-|PN|=2R-2≤2,所以R≤2,当且仅当圆P的圆心为(2,0)时,R=2.所以当圆P的半径最长时,其方程为(x-2)2+y2=4.若l的倾斜角为90°,则l与y轴重合,可得|AB|=2.若l的倾斜角不为90°,由r1≠R知l不平行于x轴,设l与x轴的交点为Q,则||=,可求得Q(-4,0),||所以可设l:y=k(x+4).由l与圆M相切得=1,解得k=±.当k=时,将y=x+代入+=1,整理得7x2+8x-8=0,解得x1,2=-.所以|AB|=|x2-x1|=.当k=-时,由图形的对称性可知|AB|=.综上,|AB|=2或|AB|=.评析本题考查了求轨迹方程的方法、椭圆的定义和标准方程,考查了直线与圆、椭圆的位置关系及弦长计算等基础知识,考查了运算求解能力和推理论证能力,考查了数形结合思想和分类讨论思想.22.解析(Ⅰ 连结DE,交BC于点G.由弦切角定理得∠ABE=∠BCE.而∠ABE=∠CBE,故∠CBE=∠BCE,所以BE=CE.又因为DB⊥BE,所以DE为直径,所以∠DCE=90°,由勾股定理可得DB=DC.(Ⅱ 由(Ⅰ 知∠CDE=∠BDE,DB=DC,故DG是BC的中垂线,所以BG=.设DE的中点为O,连结BO,则∠BOG=60°.从而∠ABE=∠BCE=∠CBE=30°,所以CF⊥BF,故Rt△BCF外接圆的半径等于.23.解析(Ⅰ 将,消去参数t,化为普通方程为(x-4)2+(y-5)2=25,即C1:x2+y2-8x-10y+16=0.将,代入x2+y2-8x-10y+16=0得ρ2-8ρcos θ-10ρsin θ+16=0. 所以C1的极坐标方程为ρ2-8ρcos θ-10ρsin θ+16=0. (Ⅱ C2的普通方程为x2+y2-2y=0.由--, -,解得,或,.所以C1与C2交点的极坐标分别为,,,.24.解析(Ⅰ 当a=-2时,不等式f(x)<g(x)化为|2x-1|+|2x-2|-x-3<0. 设函数y=|2x-1|+|2x-2|-x-3,则y=-,, --,, -,.其图象如图所示.从图象可知,当且仅当x∈(0,2 时,y<0. 所以原不等式的解集是{x|0<x<2}. (Ⅱ 当x∈-,时, f(x)=1+a.不等式f(x ≤g(x 化为1+a≤x+3.所以x≥a-2对x∈-,都成立.故-≥a-2,即a≤.从而a的取值范围是-,.。

2019年高考数学试题及答案word版一、选择题（本题共8小题，每小题4分，共32分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的。

）1. 若函数f(x)=x^2-4x+m，且f(1)=-3，则m的值为多少？A. 0B. 2C. 5D. 32. 已知等差数列{an}的首项a1=1，公差d=3，求该数列的第5项a5。

A. 13B. 16C. 19D. 223. 计算三角函数值：sin(π/6) + cos(π/3)。

A. 1B. √3/2C. √2D. 24. 已知圆C的方程为(x-2)^2 + (y+1)^2 = 9，求圆C的半径。

A. 1B. 2C. 3D. 45. 若直线l的方程为y=2x+3，且点P(1,2)在直线l上，则直线l的斜率是多少？A. 1/2B. 2C. 3D. 46. 已知复数z=3+4i，求|z|的值。

A. 5B. √7C. √13D. √257. 计算定积分∫(0到1) (x^2 - 2x + 1) dx。

A. 0B. 1/3C. 1D. 2/38. 已知向量a=(2, -1)，b=(1, 3)，求向量a与向量b的数量积。

A. 1B. 3C. 5D. 7二、填空题（本题共4小题，每小题4分，共16分。

）9. 若函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6，求f'(x)。

________________。

10. 已知双曲线C的方程为x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1，且双曲线C的渐近线方程为y=±(b/a)x，求双曲线C的离心率e。

________________。

11. 计算二项式展开式(1+x)^5的第3项。

________________。

12. 已知抛物线y=x^2-4x+4，求抛物线的顶点坐标。

________________。

三、解答题（本题共3小题，共52分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

）13. （本题满分12分）已知函数f(x)=x^3-3x^2+2，求证f(x)在区间[1,2]上单调递增。

2019年普通高等学校招生全国统一考试（数学）文及答案本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分．第I 卷1至2页．第II 卷3至9页．共150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）直线01)1(=+++y x a 与圆0222=-+x y x 相切，则a 的值为 （A ）1,1- （B ）2.2- （C ）1 （D ）1-（2）复数3)2321(i +的值是 （A ）i - （B ）i （C ）1- （D ）1 （3）不等式0|)|1)(1(>-+x x 的解集是（A ）}10|{<≤x x （B ）0|{<x x 且}1-≠x （C ）}11|{<<-x x （D ）1|{<x x 且}1-≠x （4）函数xa y =在]1,0[上的最大值与最小值这和为3，则a ＝ （A ）21 （B ）2 （C ）4 （D ）41 （5）在)2,0(π内，使x x cos sin >成立的x 的取值范围是（A ）)45,()2,4(ππππ （B ）),4(ππ （C ）)45,4(ππ （D ）)23,45(),4(ππππ （6）设集合},412|{Z k k x x M ∈+==，},214|{Z k k x x N ∈+==，则（A ）N M = （B ）N M ⊂ （C ）N M ⊃ （D ）∅=N M（7）椭圆5522=+ky x 的一个焦点是)2,0(，那么=k（A ）1- （B ）1 （C ）5 （D ）5-（8）一个圆锥和一个半球有公共底面，如果圆锥的体积恰好与半球的体积相等，那么这个圆锥轴截面顶角的余弦值是 （A ）43 （B ）54 （C ）53 （D ）53- （9）10<<<<a y x ，则有（A ）0)(log <xy a （B ）1)(log 0<<xy a （C ）2)(log 1<<xy a （D ）2)(log >xy a （10）函数c bx x y ++=2（),0[+∞∈）是单调函数的充要条件是 （A ）0≥b （B ）0≤b （C ）0>b （D ）0<b （11）设)4,0(πθ∈，则二次曲线122=-θθtg y ctg x 的离心率取值范围（A ）)21,0( （B ）)22,21( （C ）)2,22( （D ）),2(+∞ （12）从正方体的6个面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有 （A ）8种 （B ）12种 （C ）16种 （D ）20种第II 卷(非选择题共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线．（13）据新华社2002年3月12日电，1985年到2000年间。

2019年高考数学试题(附答案)2019年高考数学试题是许多学生备战高考的重要参考资料。

在这份试题中，涵盖了数学的各个方面，包括代数、几何、概率与统计等。

这些试题不仅考察了学生对数学知识的掌握程度，也考察了他们的逻辑思维能力和解决问题的能力。

下面我们将对2019年高考数学试题进行详细分析，并附上相应的答案，希望能对广大学生有所帮助。

一、选择题部分。

1. 已知集合$A=\{x | -1\leq x\leq 3\}$，$B=\{x | 2\leq x\leq 4\}$，则$A\cap B$的元素个数为（）。

A. 0B. 1C. 2D. 3。

解析，$A\cap B$表示集合A和集合B的交集，即同时属于A和B的元素组成的集合。

根据题意可知，$A\cap B=\{x | 2\leq x\leq 3\}$，所以$A\cap B$的元素个数为1，故选B。

2. 曲线$y=\ln x$和直线$y=x-2$的交点坐标为（）。

A. (1, -1)B. (1, 1)C. (2, 0)D. (2, 1)。

解析，曲线$y=\ln x$和直线$y=x-2$的交点坐标即为满足方程$\ln x=x-2$的点的坐标。

通过计算可得，当x=2时，$\ln 2=2-2=0$，所以交点坐标为(2, 0)，故选C。

3. 在$\triangle ABC$中，已知$\angle A=30^\circ$，$\angle B=45^\circ$，$AB=4$，则$AC$的长度为（）。

A. $2\sqrt{2}$B. $2\sqrt{3}$C. $3\sqrt{2}$D. $4\sqrt{2}$。

解析，根据正弦定理可知，$\frac{AB}{\sin B}=\frac{AC}{\sin A}$，代入已知数据可得$AC=\frac{4\sin 30^\circ}{\sin 45^\circ}=2\sqrt{3}$，故选B。

4. 设随机变量X的概率密度函数为$f(x)=\begin{cases} kx^2 & 0<x<1 \\ 0 & others \end{cases}$，则k的值为（）。

2019 年6 月浙江高考文理合卷数学选择题部分（共40 分）一、选择题：本大题共10 小题，每小题 4 分，共40 分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知全集U 1,0,1,2,3 ，集合 A 0,1,2 ，B 1,0,1 ，则e U A BA ． 1 B．0,1 C．1,2,3 D．1,0,1,3 2．渐近线方程为x y 0的双曲线的离心率是A．22B．1 C． 2D．2x 3y4≥03．若实数x，y 满足约束条件3x y 4≤0，则z=3 x+2 y的最大值是x y 0≥A ． 1 B．1 C．10 D．12 4．祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出的“幂势既同，则积不容异”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体的体积公式V柱体= Sh，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高．若某柱体的三视图如图所示（单位：cm），则该柱体的体积（单位：cm3）是A ．158 B．162C．182 D．3245．若a 0，b 0，则“a b≤4”是“ab≤4”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件6．在同一直角坐标系中，函数1 1y ，y x a ，且alog ( )( 0 1)的图象可能是x aa 27．设0＜a＜1，则随机变量X 的分布列是则当 a 在（0,1）内增大时，A ．D（X）增大B．D（X）减小C．D（X）先增大后减小D．D（X）先减小后增大8．设三棱锥V–ABC 的底面是正三角形，侧棱长均相等，P 是棱VA 上的点（不含端点）．记直线PB 与直线AC 所成的角为α，直线PB 与平面ABC 所成的角为β，二面角P–AC–B 的平面角为γ，则A．β<γ，α<γB．β<α，β<γC．β<α，γ<αD．α<β，γ<βx, x 09．已知a,b R，函数 3 2f (x) 1 1x (a1)x ax,x≥3 2点，则．若函数y f (x) ax b恰有3 个零A ．a<–1，b<0 B．a<–1，b>0 C．a>–1，b<0 D．a>–1，b>0 10．设a，b∈R，数列{ a n} 满足a1=a，a n+1=a n2+b，b N，则A ．当b= 12时，a10>10B．当b=14时，a10>10C．当b=–2 时，a10>10 D．当b=–4 时，a10>10非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共36 分。