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空间
X1
X
到第
2
i
个坐标空间
X
i
投射.
证明:
若 f :Y (X1 X2) 连 续 , 由 定 理 4.1.7 知 pi : X1 X 2 Xi 也 是 连 续 映 射 , 因 此 对 i {1, 2}, pi o f : Y X i是连续映射.
显然由前面说明可知 B B ,由 B 是基可知 B 是 T 的一个基,因此 S 是 T 的一个子基.
课题：第四章 相对拓扑空间 内容：§4.1 乘积拓扑空间X×Y
重点：度量乘积拓扑空间的性质 难点：度量乘积拓扑与度量拓扑乘积
的一致性
§4.1 乘积拓扑空间X×Y
例 4.1.1 由于实数空间 R 有一个基由所有的开区
拓扑学课件(3)
§4.1 乘积拓扑空间X×Y
在这一章我们学习通过已知的拓扑空间构造新
的拓扑空间常用的几种方法. 设 X 和 Y 是两个拓扑空间,我们已经定义了两个
集合的笛卡尔乘积.我们可通过多种方式定义其上的 拓扑.下面我们介绍一种由 X,Y 上拓扑决定 X×Y 上拓 扑的一种标准方法,先学习一个定理.
间构成,故由定理 4.1.2 可见笛卡尔积 R2=R×R 上的乘
积拓扑有一个基,其成员由 R2 中的所有开长方形构成,
即 B={(a,b)×(c,b)|a<b,c<d,a,b,c,d∈R}是 R2 上乘积拓
扑的一个基.
定理 4.1.4 设( X1, 1),( X 2, 2 ),是两个度量空间, 令 X= X1 X 2 , 定 义 : X X R 对 x= (x1, x2 ) ,
则将
X1
X
作为
2
T 1
, T 2
的拓扑积空间和将
X1
X
作为
2
度量积空间时所生成的两种拓扑是一致的.
证明:度量 : X 2 R 如定义 4.1.2 所定义,首先我
们验证对于任意 x= (x1, x2 ) X 2和任意 0,我们有:
B1 (x1, 2 ) B2 (x2, 2 ) B (x, ) B1 (x1, )B2 (x2, ).
2
2
对于任意 y=( y1, y2) B1 (x1,
2 2
)
B2
(
x2
,
2 ), 2
有 1(x1, y1)
2 2
,
2
(
x2
,
y2
)
2 ,
2
§4.1 乘积拓扑空间X×Y
因而 (x, y) 12 (x1 y1) 22 (x2 y2 ) 因此 y=( y1, y2 )∈B (x, ).从而:
是 X 2中的闭集,则称 f 是一个闭映射.
定理 4.1.7
设
X=
X1
X
是拓扑空间
2
(
X 1 , T1 )
, (X2,T2)
的 拓 扑 积 空 间 , 则 对 于 每 个 i {1,2}, 投 射
pi : X1 X2 X i是一个满的,连续的,开映射.
§4.1 乘积拓扑空间X×Y
证明:显然, pi 是一个满射,又对于 X i 中的每一个 开集U i , pi1(Ui )是 X 的一个子基的元素,因此 pi1(Ui )是 X 中 的 开 集 , 从 而 pi 是 连 续 的 .现 设 B T1 T2, 它 是 X1 X 2上拓扑积空间的一个基.设 U 是拓扑积空间的
y=( y1, y2) X , (x, y) 22 (x2 y2 ) 12 (x1 y1) ,则称 为笛卡尔积 X1 X2的积度量,并称度量空间(X,)是
两个度量空间的度量积空间.
这样,对于两个度量空间 ( X1, 1) 和 ( X 2, 2 ),我们
有两种方式给出笛卡尔积 X1 X2上的两种拓扑,其一
xi Bi Ui (i 1, 2).
§4.1 乘积拓扑空间X×Y
因 此 ,x= (x1, x2 ) B1 B2 U1 U2 W . 从 而 对
x=(x1, x2 )W ,存在 B1 B2 ∈B1 B2 使得 x= (x1, x2 )
B1
B2
W
,从而由引理
2.2.4
知
B1B2
是
X1
X
上乘
B {B (x,) | x (x1, x2 ) X 2 , 0} .
§4.1 乘积拓扑空间X×Y
因此
X1
X
上
2
T 1
和
T 2
的乘积拓扑有基:
B1 B2={ B1 (x1, ) B2 (x2, ) | (x1, x2) X 2 , 1 0, 2 0 },
其余由读者自己完成.
三种拓扑的基成员之间关系如
§4.1 乘积拓扑空间X×Y
例 4.1.2 拓扑积空间到它的坐标空间的投射可以
不是闭映射.
考虑二维欧氏空间 R2 到它的第一个坐标坐间 R 的投射 p1 :R2 R, p1(x1, x2 ) x1,显然,集合
F {(x1, x2 ) R2| x1 x2=1} 是 R2 中的一个闭集,但 p1(F) R -{0} 不是 R 中的闭 集.如图 4.1.2.
应注意这里使用的记号 T1 T2 和第一章中笛卡
尔积记号 T1 T2 的区别与联系.
§4.1 乘积拓扑空间X×Y
一般地,集族
U1 U2 , V1 V2 ∈ T1 T2 , U1 U2 U V1 V2 是 图 中 的阴影部分,一般地,它 不再是 T1 T2 的元素,但 它是乘积空间 X1 X2中 的开集,鉴于这个原因,我们将 T1 T2 中的元素叫做 乘积空间中的方块开集或标准开集.
y ( y1, y2 ) X ,
2
(x, y) 22 (x2 y2 )2 12 (x1 y1)2 =
i2 (xi yi ) ，
i1
则 是 X 上的度量.
证明由读者自行完成.
§4.1 乘积拓扑空间X×Y
定义 4.1.2 设( X1, 1), ( X 2, 2 ),是两个度量空间,
令 X= X1 X 2 ,定义 : X 2 R ,使得对于 x= ( x1, x2 ) ，
§4.1 乘积拓扑空间X×Y
定 理 4.1.8 设 X= X1 X 2 是 两 个 拓 扑 空 间 (X1,T1) , (X 2, T2 ) 的拓扑积空间,Y 也是一个拓扑空间,
则映射 f :Y (X1 X2) 连续当且仅当对于每一个
i {1,2},复合映射 pi o f : Y Xi连续.其中 pi是拓扑积
(2) 对 于 U1 U2 , V1 V2 B , 及 (x1, x2 ) ∈ (U1 U2) I (V1 V2),由于(U1 U2 ) I (V1 V2 )=(U1 I V1) (U2 I V2 );必 有 x1 ∈ U1 I V1, x2 ∈ U2 I V2 , 以 及 U1 V1 T1 , U2 V2 T2 , (x1, x2 ) ∈ (U1 I V1) (U2 I V2 ) (U1 U2 ) I (V1 V2 ).
§4.1 乘积拓扑空间X×Y 因 此 对 于 A X1, B X 2, 我 们 有 A B = p11( A)
I p21(B).从而有下面的定理: 定 理 4.1.3 设 X= X1 X 2 是 两 个 拓 扑 空 间
(X1,T1) , ( X 2 T2) 的拓扑积空间,令 T 为 X 的拓扑，Ti 为 X i 的拓扑(i=1,2),则 X 的子集族
由它们的诱导拓扑
T 1
,
T 2
所生成的积拓扑空间
X1
X
2
是可度量的,而且定义 4.1.2 中的 就是它的一个度量,
其诱导拓扑T 恰好是 X1 X 2上的积拓扑.
第二十二课时
课题：第四章 相对拓扑空间 内容：§4.1 乘积拓扑空间X×Y 重点：有关乘积拓扑空间映射的性质 难点：连续映射，开映射，闭映射的
B1 (x1,
2 2
)
B2
(
x2
,
2 2
)
B
(
x,
)
另一包含关系由读者自己完成.
其次,由于( X1, 1), ( X 2, 2 ) ,( X , ) 是度量空间,因
此其上的诱导拓扑 T1 ,T2 ,T 分别有基:
B1 {B1 (x1, 1 ) | x1 X ,1 0} .
B2 {B2 (x2 , 2 ) | x2 X , 2 0}
是将度量空间视为拓扑空间时, X1 X2上的乘积拓
扑,(即拓扑 T 和 T 的乘积拓扑).另一是将度量空间
1
2
(X , )(见定义 4.1.2)看作拓扑空间时, X1 X 2上的拓
扑是由度量 诱导的拓扑T .
§4.1 乘积拓扑空间X×Y
下面这个定理说明这两种拓扑是一致的.
定理 4.1.5 设( X1, 1),和( X 2, 2 )是两个拓扑空间,
2
积拓扑的一个拓扑基.
在定义 1.3.5 中,我们给出了笛卡尔积 X1 X 2向第 i(i 1,2)个坐标集投射 pi的定义,所谓映射
pi : X1 X 2 Xi 是 一 个 投 射 是 指 对 任 意 (x1, x2 ) ∈ X1 X 2 , Pi (x1, x2 ) xi ,(i 1,2) ,不难验证,在投 射 pi : X1 X 2 X i 中,对于 A X1, 有 p11( A) A X 2 , 投 射 p2 : X1 X 2 X 2 中 对 于 B X 2, 有 p21(B) X1 B.
首先,B1B2 T1 T2 ,因此 B1B2 是乘积拓扑空
间的一个开集族,其次设
W
是X1
X
上的任意一个开
2
集,对 x∈W,由于 T1 T2 是空间 X1 X 2的一个基,因此
存在 U1T1 ,U2T2 使得 x=(x1, x2 ) U1 U2 W ,又 Bi
