第3章 立体的投影
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第3章பைடு நூலகம்立体的投影
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第3章 立体的投影
3.1 平面立体 3.2 回转体 3.3 切割体 3.4 相贯体 3.5 基本体、切割体和相贯体的尺寸标注
3.1 平面立体
棱柱 棱锥
3.1.1 棱柱
棱柱是由两个底面和若干棱面围成的平面立体。若棱柱的 棱线与底面倾斜，则该棱柱称为斜棱柱；若棱柱的棱线与底面 垂直，则该棱柱称为直棱柱；若一个直棱柱的上、下底面均为 正多边形，则该直棱柱称为正棱柱 。
3．圆球切割体的投影
已知半球切槽后的立体图，求其三面投影面。
①求P面截切后的交线
②求Q面截切后的交线
注意： 求截交线的投影时，首先根据截平面和圆柱轴线的位置关系，判
断截交线的形状，然后利用在圆锥表面上取点的方法来作图。取点时， 应先取特殊位置的点，再取一般位置的点，最后顺次连接各点即可。
3.4 相贯体
相贯体的分类和基本性质 求相贯体线的方法 相贯体简化画法 两圆柱正交时相贯线的变化规律 相贯线的特殊情况
3.4.1 相贯线的分类和基本性质
根据相贯两立体类型的不同，相贯体可分为两平面立体相 交、平面立体与回转体相交，以及两回转体相交三类 。
相贯线 相贯线
相贯线
➢ 共封有闭性：由于相立贯体线 的是 表两 面相 是交 封立 闭体 的表 ，面 而的 相共 贯有线线是，立也体是表其面表之 面间的分交界线线，。因因此此相，贯相线贯一线般上是的封点闭是的立。体但表在面特的殊共情有况点下和为两平立面 体曲表线面或的直分线界。点。
正三棱柱
1．棱柱的投影
画正六棱柱的投影时，应首先画出各投影的中心线，然后 画出六棱柱的水平投影，即正六边形，最后画它的正面投影和 侧面投影 。
注意： 将基本体进行投射时，为了画图及读图的方便，通常需将其放平和
摆正。其中，放平是指让基本体的底面平行于某个投影面；摆正是指在 放平的基础上，让其余各面尽可能平行或垂直于投影面。
2．圆锥切割体的投影
已知圆锥被一正垂面截断，试求作该圆锥切割体的三视图。
① 求椭圆长、短 轴上点的投影
② 椭圆上其他点的投影
注意： 求截交线的投影时，首先根据截平面和圆柱轴线的位置关系，判
断截交线的形状，然后利用在圆锥表面上取点的方法来作图。取点时， 应先取特殊位置的点，再取一般位置的点，最后顺次连接各点即可。
已知圆球面上一点A的正 面投影a'，求作该点的水
平投影和侧面投影
① 求点A所 在的纬圆
②在纬圆的投影 上求点的投影
3.3 切割体
截交线的基本性质 平面切割体的投影 回转体切割体的投影
3.3.1 截交线的基本性质
➢ 共有性：因为截交线既属于截平面，又属于基本体表面，所 以截交线是截平面和基本体表面的共有线。 ➢ 封闭性：因为任何基本体表面都是封闭的，而截交线又是截 平面和基本体表面的交线，所以截交线所围成的图形一定是封 闭的。
3.3.2 平面切割体的投影
1．棱柱切割体的投影
求平面切割体的投影，就是求切割体截交线的投影，即求 截平面与平面立体表面的交线的投影 。
已知正六棱柱 被正垂面和侧 平面所切割， 求其侧面投影
2．棱锥切割体的投影
已知条件
已知一正三棱锥被一正垂面斜切，
且正面投影已知，求其水平投影 。
3.3.3 回转体切割体的投影
辅助素辅线助法纬圆法
3.2.3 圆球
1．圆球的投影分析和画法
圆球的三面投影均为与该圆球直径相等的圆。画圆球的三 面投影时，首先画出各圆的中心线，然后画出三个等直径的圆 即可 。
2．圆球表面上点的投影
由于圆球面均无积聚性，因此除了转向轮廓线上的点可直 接求出外，圆球表面上的其他点均需用辅助纬圆法才能求出。
1．圆柱切割体的投影
根据截平面与圆柱轴线相对位置的不同，圆柱切割体截交 线的形状有圆、椭圆和矩形三种。
已知圆柱体被正垂面P 所截，试求作该切割体的三面投影。
注意： 求截交线的投影时，首先根据截平面和圆柱轴线的位置关系，判断
截交线的形状，然后利用在圆柱表面上取点的方法来作图。取点时，应 先取特殊位置的点，再取一般位置的点，最后顺次连接各点即可 。
正四棱锥
1．棱锥的投影
画正三棱锥的投影时，先画出底面的各个投影，再画出 锥顶的各个投影，然后连接各棱线即得正三棱锥的三面投影。
2．棱锥表面上点的投影
组成棱锥的表面可能是特殊位置的平面，也可能是一般位 置的平面。凡属特殊位置表面上的点，其投影可利用平面投影 的积聚性直接求得；对于一般位置表面上的点，可通过在该面 作辅助线的方法求得。已知三棱锥表面上点M和点N的正面投影，试
求作这两点的水平投影和侧面投影
圆柱 圆锥 圆球
3.2 回转体
3.2.1 圆柱
1．圆柱的投影分析和画法
在画圆柱的投影时，首先应画出中心轴线的投影，然后画 出反映底面实形的投影，最后画出其他两个投影 。
2．圆柱表面上点的投影
圆柱表面上点的投影，可根据圆柱的积聚性求出。 例如，已知圆柱面上点M和点N的正面投影m'和n'，试求作 该两点的水平投影与侧面投影 。
2．棱柱表面上点的投影
求作棱柱表面上点的投影时，应首先确定该点在棱柱的哪 个表面上，然后利用棱柱面的积聚性来求点的投影。判定点的 可见性时，若平面可见，则该平面上点的同面投影可见。
已知正六棱柱表面上点M的水平投影及点N的正 面投影，试求作这两点的另外两面投影
3.1.2 棱锥
棱锥是由一个多边形底面和若干个具有公共顶点（锥顶） 的三角形围成的平面体。若一个棱锥的底面为正多边形，且 锥顶在底面的投影位于正多边形的中心，则该棱锥称为正棱 锥。
3.4.2 求相贯线的方法
1．表面取点法
已知两圆柱正交，求作
作图时，首先应相根贯据体两的立三视体图的相交情况分A析E 相贯C 线的大致 形状，然后依次求出特殊位置点和一般位置点的投影，接着判 别其①可求见特性殊，位置最点后的将投影求出的各点用光滑的曲线顺次连接。
3.2.2 圆锥
1．圆锥的投影分析和画法
将圆锥的轴线垂直于H面放置，其水平投影为反映圆锥底 面实形的圆，正面投影和侧面投影均为全等的两个等腰三角形。 其中，等腰三角形的底边是圆锥底面的投影，两腰为转向轮廓 线的投影 。
2．圆锥表面上点的投影
圆锥底面具有积聚性，其上的点可以直接求出；圆锥面没 有积聚性，其上的点需要用辅助线法才能求出。
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第3章 立体的投影
3.1 平面立体 3.2 回转体 3.3 切割体 3.4 相贯体 3.5 基本体、切割体和相贯体的尺寸标注
3.1 平面立体
棱柱 棱锥
3.1.1 棱柱
棱柱是由两个底面和若干棱面围成的平面立体。若棱柱的 棱线与底面倾斜，则该棱柱称为斜棱柱；若棱柱的棱线与底面 垂直，则该棱柱称为直棱柱；若一个直棱柱的上、下底面均为 正多边形，则该直棱柱称为正棱柱 。
3．圆球切割体的投影
已知半球切槽后的立体图，求其三面投影面。
①求P面截切后的交线
②求Q面截切后的交线
注意： 求截交线的投影时，首先根据截平面和圆柱轴线的位置关系，判
断截交线的形状，然后利用在圆锥表面上取点的方法来作图。取点时， 应先取特殊位置的点，再取一般位置的点，最后顺次连接各点即可。
3.4 相贯体
相贯体的分类和基本性质 求相贯体线的方法 相贯体简化画法 两圆柱正交时相贯线的变化规律 相贯线的特殊情况
3.4.1 相贯线的分类和基本性质
根据相贯两立体类型的不同，相贯体可分为两平面立体相 交、平面立体与回转体相交，以及两回转体相交三类 。
相贯线 相贯线
相贯线
➢ 共封有闭性：由于相立贯体线 的是 表两 面相 是交 封立 闭体 的表 ，面 而的 相共 贯有线线是，立也体是表其面表之 面间的分交界线线，。因因此此相，贯相线贯一线般上是的封点闭是的立。体但表在面特的殊共情有况点下和为两平立面 体曲表线面或的直分线界。点。
正三棱柱
1．棱柱的投影
画正六棱柱的投影时，应首先画出各投影的中心线，然后 画出六棱柱的水平投影，即正六边形，最后画它的正面投影和 侧面投影 。
注意： 将基本体进行投射时，为了画图及读图的方便，通常需将其放平和
摆正。其中，放平是指让基本体的底面平行于某个投影面；摆正是指在 放平的基础上，让其余各面尽可能平行或垂直于投影面。
2．圆锥切割体的投影
已知圆锥被一正垂面截断，试求作该圆锥切割体的三视图。
① 求椭圆长、短 轴上点的投影
② 椭圆上其他点的投影
注意： 求截交线的投影时，首先根据截平面和圆柱轴线的位置关系，判
断截交线的形状，然后利用在圆锥表面上取点的方法来作图。取点时， 应先取特殊位置的点，再取一般位置的点，最后顺次连接各点即可。
已知圆球面上一点A的正 面投影a'，求作该点的水
平投影和侧面投影
① 求点A所 在的纬圆
②在纬圆的投影 上求点的投影
3.3 切割体
截交线的基本性质 平面切割体的投影 回转体切割体的投影
3.3.1 截交线的基本性质
➢ 共有性：因为截交线既属于截平面，又属于基本体表面，所 以截交线是截平面和基本体表面的共有线。 ➢ 封闭性：因为任何基本体表面都是封闭的，而截交线又是截 平面和基本体表面的交线，所以截交线所围成的图形一定是封 闭的。
3.3.2 平面切割体的投影
1．棱柱切割体的投影
求平面切割体的投影，就是求切割体截交线的投影，即求 截平面与平面立体表面的交线的投影 。
已知正六棱柱 被正垂面和侧 平面所切割， 求其侧面投影
2．棱锥切割体的投影
已知条件
已知一正三棱锥被一正垂面斜切，
且正面投影已知，求其水平投影 。
3.3.3 回转体切割体的投影
辅助素辅线助法纬圆法
3.2.3 圆球
1．圆球的投影分析和画法
圆球的三面投影均为与该圆球直径相等的圆。画圆球的三 面投影时，首先画出各圆的中心线，然后画出三个等直径的圆 即可 。
2．圆球表面上点的投影
由于圆球面均无积聚性，因此除了转向轮廓线上的点可直 接求出外，圆球表面上的其他点均需用辅助纬圆法才能求出。
1．圆柱切割体的投影
根据截平面与圆柱轴线相对位置的不同，圆柱切割体截交 线的形状有圆、椭圆和矩形三种。
已知圆柱体被正垂面P 所截，试求作该切割体的三面投影。
注意： 求截交线的投影时，首先根据截平面和圆柱轴线的位置关系，判断
截交线的形状，然后利用在圆柱表面上取点的方法来作图。取点时，应 先取特殊位置的点，再取一般位置的点，最后顺次连接各点即可 。
正四棱锥
1．棱锥的投影
画正三棱锥的投影时，先画出底面的各个投影，再画出 锥顶的各个投影，然后连接各棱线即得正三棱锥的三面投影。
2．棱锥表面上点的投影
组成棱锥的表面可能是特殊位置的平面，也可能是一般位 置的平面。凡属特殊位置表面上的点，其投影可利用平面投影 的积聚性直接求得；对于一般位置表面上的点，可通过在该面 作辅助线的方法求得。已知三棱锥表面上点M和点N的正面投影，试
求作这两点的水平投影和侧面投影
圆柱 圆锥 圆球
3.2 回转体
3.2.1 圆柱
1．圆柱的投影分析和画法
在画圆柱的投影时，首先应画出中心轴线的投影，然后画 出反映底面实形的投影，最后画出其他两个投影 。
2．圆柱表面上点的投影
圆柱表面上点的投影，可根据圆柱的积聚性求出。 例如，已知圆柱面上点M和点N的正面投影m'和n'，试求作 该两点的水平投影与侧面投影 。
2．棱柱表面上点的投影
求作棱柱表面上点的投影时，应首先确定该点在棱柱的哪 个表面上，然后利用棱柱面的积聚性来求点的投影。判定点的 可见性时，若平面可见，则该平面上点的同面投影可见。
已知正六棱柱表面上点M的水平投影及点N的正 面投影，试求作这两点的另外两面投影
3.1.2 棱锥
棱锥是由一个多边形底面和若干个具有公共顶点（锥顶） 的三角形围成的平面体。若一个棱锥的底面为正多边形，且 锥顶在底面的投影位于正多边形的中心，则该棱锥称为正棱 锥。
3.4.2 求相贯线的方法
1．表面取点法
已知两圆柱正交，求作
作图时，首先应相根贯据体两的立三视体图的相交情况分A析E 相贯C 线的大致 形状，然后依次求出特殊位置点和一般位置点的投影，接着判 别其①可求见特性殊，位置最点后的将投影求出的各点用光滑的曲线顺次连接。
3.2.2 圆锥
1．圆锥的投影分析和画法
将圆锥的轴线垂直于H面放置，其水平投影为反映圆锥底 面实形的圆，正面投影和侧面投影均为全等的两个等腰三角形。 其中，等腰三角形的底边是圆锥底面的投影，两腰为转向轮廓 线的投影 。
2．圆锥表面上点的投影
圆锥底面具有积聚性，其上的点可以直接求出；圆锥面没 有积聚性，其上的点需要用辅助线法才能求出。
