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分支定界法演示课件

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第六章 分支限界法.ppt

第六章 分支限界法.ppt
得到的解 继续搜索
13
单源最短路径问题
1. 问题描述
下面以一个例子来说明单源最短路径问题：在下 图所给的有向图G中，每一边都有一个非负边权。要 求图G的从源顶点s到目标顶点t之间的最短路径。
14
单源最短路径问题
1. 问题描述
下图是用优先队列式分支限界法解有向图G的 单源最短路径问题产生的解空间树。其中，每一个结 点旁边的数字表示该结点所对应的当前路长。
// 取下一扩展结点
i++;}
// 进入下一层
}
26
装载问题
3. 算法的改进
结点的左子树表示将此集装箱装上船，右子树 表示不将此集装箱装上船。设bestw是当前最优解； ew是当前扩展结点所相应的重量；r是剩余集装箱 的重量。则当ew+rbestw时，可将其右子树剪去， 因为此时若要船装最多集装箱，就应该把此箱装 上船。
（2）回溯求解TSP也是盲目的（虽有目标函数，也 只有找到一个可行解后才有意义）
7
解空间树的动态搜索
分支限界法首先确定一个合理的限界函数，并根据限 界函数确定目标函数的界[down, up]； 然后按照广度优先策略遍历问题的解空间树，在某一 分支上，依次搜索该结点的所有孩子结点，分别估算 这些孩子结点的目标函数的可能取值（对最小化问题， 估算结点的down，对最大化问题，估算结点的up）。 如果某孩子结点的目标函数值超出目标函数的界，则 将其丢弃（从此结点生成的解不会比目前已得的更 好），否则入待处理表。
A->E->Q->M
21
单源最短路径问题
Dijakstra算法和分支限法在解决该问题的异同：
优先队列式分支限界法的搜索方式是根据活结点的优先级确 定下一个扩展结点。结点的优先级常用一个与该结点有关的 数值p来表示。最大优先队列规定p值较大的结点点的优先级 较高。在算法实现时通常用一个最大堆来实现最大优先队列， 体现最大效益优先的原则。类似地，最小优先队列规定p值 较小的结点的优先级较高。在算法实现时，常用一个最小堆 来实现，体现最小优先的原则。采用优先队列式分支定界算 法解决具体问题时，应根据问题的特点选用最大优先或最小 优先队列，确定各个结点点的p值。

5.2 分支界定解法PowerPoint 演示文稿

5.2 分支界定解法PowerPoint 演示文稿
12
已完成的求解过程和所得到的计算结果可用框 图来表示，见下图。
x2≤3
B
x1=2.25 x2=3.75 y=41.25
x2≥4
UB=41.25 LB=0
B1 x1=3 x2=3 y=39
B2 x1=1.8 x2=4 y=41
UB=41 LB=39
13
3.定界：由图可知。界为max { 39，41 } = 41。于是
4
③如果相应线性规划有最优解， 但不符合原整数规划问题的整数条件， 则这个最优解不是原整数规划的最优解，
记此最优值为原整数规划问题Z*的上界, 然后, 用观察法求出下界， 转入第二步。
5
第二步：
主要特征是分支。 具体作法： 从相应线性规划的最优解中， 任意选择一个不满足原整数规划整数条件
的决策变量xj=bj
x2 4
x1 1
x1, x2 0
5 x 1 9 x 2 45
B21
x1 x2 6
x2 4
B22
x1 2 x1, x2
0
解B21得：最优解（x1，x2）=（1，4），最优值ymax=40. 解B22得: B22无可行解。
14
至此，已完成的求解过程和所得到的计算结果运用 框图来表示，如图所示：
UB=14 LB=14
22
例2：A问题为
MaxZ=40x1+90x2 9x1+7x2≤56 7x1+20x2 ≤70 x1,x2≥0 x1,x2 都为整数
B问题为 MaxZ=40x1+90x2 9x1+7x2≤56 7x1+20x2 ≤70 x1,x2≥0
23
问题B
Z=356
x1=4.81 ,x2=1.82 Z=356

分支限界法(课堂PPT)

分支限界法(课堂PPT)
与回溯法不同的是，分支限界法首先扩展解空间树 中的上层结点，并采用限界函数，有利于实行大范围 剪枝，同时，根据限界函数不断调整搜索方向，选择 最有可能取得最优解的子树优先进行搜索。所以，如 果选择了结点的合理扩展顺序以及设计了一个好的限 界函数，分支界限法可以快速得到问题的解。
分支限界法的较高效率是以付出一定代价为基础的，其 工作方式也造成了算法设计的复杂性。首先，一个更好的限 界函数通常需要花费更多的时间计算相应的目标函数值，而 且对于具体的问题实例，通常需要进行大量实验，才能确定 一个好的限界函数；其次，由于分支限界法对解空间树中结 点的处理是跳跃式的，因此，在搜索到某个叶子结点得到最 优值时，为了从该叶子结点求出对应的最优解中的各个分量， 需要对每个扩展结点保存该结点到根结点的路径，或者在搜 索过程中构建搜索经过的树结构，这使得算法的设计较为复 杂；再次，算法要维护一个待处理结点表PT，并且需要在表 PT中快速查找取得极值的结点，等等。这都需要较大的存储 空间，在最坏情况下，分支限界法需要的空间复杂性是指数 阶。
➢ 依次从表PT中选取使目标函数取得极值的结点成为 当前扩展结点，重复上述过程，直至找到最优解。
分支限界法需要解决的关键问题
➢ 如何确定合适的限界函数。（提示：计算简单，减 少搜索空间，不丢解）
➢ 如何组织待处理结点表。（提示：表PT可以采用 堆的形式，也可以采用优先队列的形式存储。各有什 么特点？）
例如：对于n=3的0/1背包问题解空间树
1 1
2
1
0
0
9
1
0
3
1
0
4
5
6
1
0
7
8
Hale Waihona Puke 101011 12

运筹学课件第三节分支定界法

运筹学课件第三节分支定界法
算法改进
针对不同问题的特点，分支定界法在算法实现上 不断进行优化和改进，以提高求解效率。
3
理论分析
分支定界法的理论分析涉及算法的收敛性、复杂 度等方面，为算法的改进提供了理论支持。
分支定界法的发展趋势
混合整数规划问题求解
随着混合整数规划问题的广泛应用，分支定界法在求解这类问题 上的研究逐渐成为热点。
理论深化与完善
进一步深化分支定界法的理论分析，完善算法的理论体系。
应用拓展
拓展分支定界法的应用领域，解决更多实际问题。
THANKS
感谢观看
运筹学课件第三节分支定界法
contents
目录
• 分支定界法的概述 • 分支定界法的算法原理 • 分支定界法的实现过程 • 分支定界法的案例分析 • 分支定界法的优缺点分析 • 分支定界法的前沿研究与展望
01
分支定界法的概述
分支定界法的定义
分支定界法是一种求解整数规划问题 的算法个子问题的解的 界，来逐步逼近最优解。
03
分支定界法的实现过程
问题建模与参数设定
确定决策变量
根据问题的具体情况，确定决策 变量，并为其设定合适的取值范
围。
定义目标函数
明确问题的目标，将其表示为一个 数学表达式，以便进行优化。
约束条件
根据问题的限制条件，建立相应的 约束条件。
建立搜索树与初始化
建立搜索树
根据问题建模的结果，建立一个 搜索树，用于表示问题的解空间 。
的获取概率。
优化分支策略
02
通过改进分支策略，减少算法产生的分支数量，降低算法的复
杂度和计算量。
引入智能搜索策略
03
将智能搜索策略（如遗传算法、模拟退火等）与分支定界法结

运筹学 第三节 分支定界法

运筹学 第三节 分支定界法

的子集，这两个子问题的最优解的目标函数值都不会比原
线性规划问题的最优解的目标函数值更大。如果这两个问
题的最优解仍不是整数解，则继续选择一个非整数的变量，
继续将这个子问题分解为两个更下一级的子问题。这个过
程称为“分支（Branch）”。
精品课件
运筹学教程
每一次分支得到的子问题最优解的目标函数值，都小于 或等于分支前问题的最优解的目标函数值。非整数解的 最大值作为新的上界。
意图），并设最优解位于C。如
果这个最优解中所有的变量都
是整数，则已经得到整数规划
的最优解。如果其中某一个变 量Xr不是整数，则在可行域中 X2
除去一块包含这个最优解但不 E
包含任何整数解的区域
DC
Ir<Xr<Ir+1（其中Ir是变量Xr
的整数部分），线性规划的可
行域被划分成不相交的两部分，
分别以这两部分区域作为可行
Z=4
精品课件
运筹学教程
不同的搜索策略会导致不同的搜索树，一般 情况下，同一层的两个子问题，先搜索目标 函数比较大的较有利（如果是极小问题，则 应先搜索目标函数值小的较为有利）。这样 可能得到数值比较大的下界，下界越大被剪 去的分支越多。
分支定界算法对于混合整数规划特别有效， 对没有整数要求的变量就不必分支，这将大 大减少分支的数量。
X1 ，
运筹学教程
说明: 1、在B121,B122 的可行域中不可能存在比以上所求解 的2个最优解更好的解。 2、目标函数值maxZ=4作为IP规划的最优解的目标函 数的一个界限（MAX,下界;MIN,上界）；
求极小问题时，LP问题的解是IP问题的下界。每次分支后的子 问题最优解的目标函数值都大于或等于分支前的最优值。如分 支中得到整数解，则最小的整数解为上界。如分支的目标函数 值大于上界，则停止分支。

算法讲稿5分枝定界法

算法讲稿5分枝定界法

Q.Delete(Ew); // 取下一扩展结 点
15
四、构造最优解
为了在算法结束后能方便 地构造出与最优值相应的 最优解，算法必须存储相 应子集树中从活结点到根 结点的路径。为此目的， 可在每个结点处设置指向 其父结点的指针，并设置 左、右儿子标志。
找到最优值后，可以根据 parent回溯到根节点，找到 最优解。
for (int i = 0; i <= n+1; i++) grid[i][0] = grid[i][m+1] = 1; // 左翼和右翼
for (int i = 0; i < NumOfNbrs; i++) {
}
}
11
6.3 装载问题
一、问题描述 二、队列式分支限界法 三、算法的改进 四、构造最优解 五、优先队列式分支限界法
12
一、问题描述
有 的一轮批船共，个其集 中装 集箱 装要 箱装i的上重2量艘为载w重i，量且分∑别wi为≤CC1+1和C2 C2 装载问题要求确定是否有一个合理的装载方案可将
优先队列式分支限界法：
[A] B, C => B(45), C(0) [B, C] D, E => E(45) [E, C] J, K => K(45) [1, 0, 0] [C] F, G => F(25), G(0) [F, G] L, M => L(50), [0, 1, 1] M(25) [G] N, O => N(25), O(0)
在优先队列式分支限界法中，一旦有一个叶结 点成为当前扩展结点，则可以断言该叶结点所 相应的解即为最优解。此时可终止算法。
17
6.4 布线问题

整数规划-割平面法-分枝定界法18页PPT

整数规划-割平面法-分枝定界法18页PPT

在求解实际问题中，割平面法经常会遇到收敛很慢的情
况，但若和其它方法，如分枝定界法，联合使用，一般能收 到比较好的效果。
§3 分枝定界法
分枝定界法是求解整数规划的常用算法，既可用来解全部变量 取值都要求为整数的纯整数规划，又可用以求解混合整数规划。
该算法的基本思路是：先不考虑整数限制，求出相应的线性规 划的最优解，若此解不符合整数要求，则去掉不包含整数解的部分 可行域，将可行域D分成D1、D2两部分（分枝） ，然后分别求解这 两部分可行域对应的线性规划，如果它们的解仍不是整数解，则继 续去掉不包含整数解的部分可行域，将可行域D1或D2分成D3与D4两 部分，再求解D3与D4对应的线性规划，……，在计算中若已得到一 个整数可行解X0，则以该解的目标函数值Z0作为分枝的界限，如果 某一线性规划的目标值Z≤ Z0 ，就没有必要继续分枝，因为分枝（ 增加约束）的结果所得的最优解只能比Z0 更差。反之若Z＞ Z0 ，则 该线性规划分枝后，有可能产生比Z0 更好的整数解，一旦真的产生 了一个更好的整数解，则以这个更好的整数解目标值作为新的界限 ，继续进行分枝，直至产生不出更好的整数解为止。
所以有
x1-x3=3/4-3/4x3-1/4x4
因而有切割方程： 3/4x3+1/4x4 ≥ 3/4
即
3x3+x4 ≥3
引入松弛变量x5，得方程 -3x3-x4+x5=-3
将新约束方程加到原最优表下面（切割），求得新的最优解如下 ：
由于x1，x2的值已是整数，所以该题经一次切割已得最优解： x1=1，x2=1，最优值：Z※=2
46
10
x1
x1=4.81，x2=1.82，Z0=356（见图） 该解不是整数解。选择其中一个

分支界法-PPT课件

分支界法-PPT课件

贵有恒何必三更眠五更起，最无益 只怕一日曝十日寒 与君共勉
9
6.2 单源最短路径问题
while (true) { // 搜索问题的解空间 for (int j=1;j<=n;j++) if(a[enode.i][j] < Float.MAX_VALUE && enode.length+a[enode.i][j] < dist[j])
装箱i的重量为Wi，且
w c c
i 1 i 1
n
2
装载问题要求确定是否有一个合理的装载方案可将这个集装箱装上 这2艘轮船。如果有，找出一种装载方案。 容易证明：如果一个给定装载问题有解，则采用下面的策略可得到 最优装载方案。 (1)首先将第一艘轮船尽可能装满；
(2)将剩余的集装箱装上第二艘轮船。 贵有恒何必三更眠五更起，最无益
贵有恒何必三更眠五更起，最无益 只怕一日曝十日寒 与君共勉 2
6.1 分支限界法的基本思想
1. 分支限界法与回溯法的不同
（1）求解目标：回溯法的求解目标是找出解空间树中满 足约束条件的所有解，而分支限界法的求解目标则是 找出满足约束条件的一个解，或是在满足约束条件的 解中找出在某种意义下的最优解。 （2）搜索方式的不同：回溯法以深度优先的方式搜索解 空间树，而分支限界法则以广度优先或以最小耗费优 先的方式搜索解空间树。
贵有恒何必三更眠五更起，最无益 只怕一日曝十日寒 与君共勉 4
6.1 分支限界法的基本思想
3. 常见的两种分支限界法
（1）队列式(FIFO)分支限界法 按照队列先进先出（FIFO）原则选取下一个节点为扩 展节点。 （2）优先队列式分支限界法
按照优先队列中规定的优先级选取优先级最高的节点 成为当前扩展节点。

分支定界法

分支定界法
min c x Ax b
s.t.xr br
x 0, x为整数
1. 分枝定界法基本思想续
❖ 分枝方法示意图
1. 分枝定界法基本思想续
❖ 定界
1. 当前得到的最好整数解的目标函数值
2. 分枝后计算松弛的线性规划的最优解
➢ 整数解且目标值小于原有最好解的值则替代原有 最好解
➢ 整数解且目标值大于原有最好解的值则 删除该分 支其中无最优解
➢ 非整数解且目标值小于原有最好解的值则继续分 支
➢ 非整数解且目标值大于等于原有最好解的值则删 除该分支其中无最优解
2. 分枝定界法计算步骤
2. 分枝定界法计算步骤-例题
❖
例3.3.1
minZ
( x1
x2 )
s.t.44
x1 x1
2x2 2 x2
1 11
2x2 1
x1x2 整数
例x3.(33,5.) 1z 解 4答 0
T0
z z 3x52xz(2,1()1,332.2)5xx((xPP2))(21.25,12) (2Px) (P1 ) (xP(x)P1) 3 x 无解(2,x32) 2无z 解(P )72 5 1 5 13 T T 1 3 115 T 2 3 12 1 6 2 2 T 2 4
1. 分枝定界法基本思想ห้องสมุดไป่ตู้
分枝
最优值比界坏
舍弃
最优解为整数 最优值比界好
最优解为非整 数最优值比界好
分 枝 边界
1. 分枝定界法基本思想续
0
N
I
B1N
cB B1b B 1b
xr br Z
br xr br 1
1. 分支定界法基本思想续
❖ 分枝的方法 min c x

分支定界

分支定界

5 x1 7 x2 35 4 x 9 x 36 1 2 s.t . x2 2 x1 , x2 0
5 x1 7 x2 35 问题 B 2 ： 4 x 9 x 36 1 2 s.t . x2 3 x1 , x2 0
5 x1 7 x2 35 s.t . 4 x1 9 x2 36 x , x 0, 全部为整数 1 2
解 :step1
确定与整数规划问题（记为问题 A）对应的松
弛线性规划问题 (记为问题 B)：
max z 2 x1 3 x2
5 x1 7 x2 35 s.t . 4 x1 9 x2 36 x , x 0 1 2
i 1, 2, , p
则约束条件组可表示为
n aij x j bi Myi , i 1, 2,, p j 1 p yi p q i 1 y 0,1; i 1, 2,, p i
例 3.4.2 固定支出问题 考察 n 种产品的产品计划问题。假定生产某种产品 j 就 发生单位可变成本 c j ，另外，不管产品 j 生产多少，还需 支出固定成本 k j ，但若不生产产品 j 也就无需支出固定成 本。因此，如何制定产品计划，使得总生产成本最小。
step2 先求出问题 B 的解，用单纯形方法得 问题 B 的最优解为：
x1 3
12 17
,
x2 2
6 17
,
* z0
14
8 17
step3
用观察法找问题 A的—个整数解，一般可取
x1 0, x2 0 ，进行试探，求得其目标函数值 z 0 ，以 z * 表示问题
A 的最优目标函数值；这时有 0 z* 14 8 step4

分支定界法PPT课件

分支定界法PPT课件

x2
51 14
2 x1
x2
1 3
x1, x2 0且取整数
其松弛问题的最优解为：20A21 （3/2，10/3）
2
因X1=3/2, 所以IP问题的最优解中x1的取值范围一定满 足x1≤1（区域1）或x1≥2（区域2），如下图所示。
A(3 2 ,10 3)
区域1
１
区域2
x1
２３
2021
3
⑴ 分支
z 61 14 z0
LP21
S21 x1 33 / 14, x2 2
z0 61 / 14
LP22 S22 无可行解
x1 2
x2 3
z4 z 4 S211
LP211
x1 2, x2 2
z0 4
2021
LP212
S212 x1 3, x 2 1
z0 4
返回
7
2021
8
第三节 分支定界法
一、分支定界法步骤 二、示例
2021
1
一、分支定界法步骤
使用范围：纯整数、混合整数规划。 基本思想：求松弛问题最优解，逐步缩小可域。
１、求解松弛问题的最优解，若非整数解，转２。
２、分支与定界。下面我们先通过示例来了解一下第2 步的思路。例：max Z x1 x2
x1
9 14
无整数解，在Z≥0的情况下，令 z 0
2021
4
⑶ 比较与剪枝
若上界等于下界，则停止；否则，剪去小于下 界的分支，对于大于下界的分支继续重复步骤２ （优先分支函数值较大者）。
二、示例
例３ 用分枝定界法求解
max Z x1 x2
x1
9 14
x2
51 14

《分支限界法》课件

《分支限界法》课件
分支限界法
目 录
• 分支限界法概述 • 分支限界法的算法流程 • 分支限界法的实现细节 • 分支限界法的优化策略 • 分支限界法的应用案例 • 分支限界法的总结与展望
01
分支限界法概述
定义与特点
定义
分支限界法是一种用于解决约束满足 问题的算法，它将问题空间进行分支 ，并在每条分支上设置限界，通过搜 索满足约束条件的解来找到最优解。
02
分支限界法的算法流程
初始化
设定求解目标
明确问题的求解目标，如寻找最小化或最大化的 解。
设定节点优先级
根据问题的特性，设定节点优先级，优先级高的 节点将优先被扩展。
设定界函数
根据问题的特性，设定界函数以评估节点的界限 ，即当前节点的解的优劣。
扩展节点
01
选择当前优先级最高的节点进行 扩展。
02
问题依赖性强
分支限界法的效率和效果很大程度上依赖于 问题的特性，对于某些问题可能效果不佳。
参数调整困难
该方法涉及多个参数设置，如分支宽度、限界深度 等，调整不当会影响算法性能。
需要经验积累
分支限界法的应用需要一定的经验积累，对 于新手来说可能存在一定的学习门槛。
分支限界法的研究方向
算法优化
针对不同类型的问题，研究如何优化分支限 界法，提高算法效率和求解质量。
生产调度问题
要点一
总结词
分支限界法在生产调度问题中能够处理多种约束和优化目 标。
要点二
详细描述
生产调度问题是一个复杂的优化问题，旨在安排生产计划 以满足市场需求和资源限制。分支限界法通过将问题分解 为多个子问题来处理多种约束和优化目标，通过设置优先 级和界限来控制搜索过程，从而在可接受的计算时间内得 到最优解或近似最优解。
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51 14
2 x1
x2
Hale Waihona Puke 1 3x1 , x 2 0 且取整数
其松弛问题的最优解为：A（3/2，10/3）
2
因X1=3/2, 所以IP问题的最优解中x1的取值范围一定满 足x1≤1（区域1）或x1≥2（区域2），如下图所示。
A(32,103)
区域1
１
区域2
x1
２３
3
⑴ 分支
假设松弛问题中 xi bi 不是整数，则构造两
第三节 分支定界法
一、分支定界法步骤 二、示例
1
一、分支定界法步骤
使用范围：纯整数、混合整数规划。 基本思想：求松弛问题最优解，逐步缩小可域。
１、求解松弛问题的最优解，若非整数解，转２。
２、分支与定界。下面我们先通过示例来了解一下第2 步的思路。例：max Z x1 x 2
x1
9 14
x2
个约束条件 xi bi 及 xi bi 1
分别加入松弛问题中得到子问题LP1与LP2，即 两个后继问题，并求解之。
⑵ 定界
就没有分支的线性规划问题而言,以最优目 标函数值中的最大者为上界，以符合整数条件 的各子问题中目标函数值最大者作为下界，若
无整数解，在Z≥0的情况下，令 z 0
4
⑶ 比较与剪枝
x1 2
x2 3
z4 z 4 S211
LP211
x1 2, x2 2 z0 4
LP212
S212 x1 3, x 2 1
z0 4
返回
7
8
x1 1
x1 2
LP1
S1
x1 1, x 2 7 / 3 z 0 10 / 3
LP2
z 41 9
S2
x1 2, x 2 23 / 9 z 0 41 / 9
z0
x2 2
x2 3
z 61 14 z0
LP21
S21 x1 33 / 14, x2 2
z0 61 / 14
LP22 S22 无可行解
５ zDz21 6/14
４
A(32,103)
zEz2114 zFz2124
３
B(1,7 3)
C(2,239)
２
D(3314,2)
１
E(2,2) s2
F(3,1) s212
s1
s21
０
１s211 ２
３
x1
6
LP0
z 29 6
S x1 1.5, x 2 10/3 z 0 29 / 6 z 0
若上界等于下界，则停止；否则，剪去小于下 界的分支，对于大于下界的分支继续重复步骤２ （优先分支函数值较大者）。
二、示例
例３ 用分枝定界法求解
max Z x 1 x 2
x
1
9 14
x2
51 14
2 x1
x2
1 3
x 1 , x 2 0 且取整数
5
x2
zBz1 m1/a0 3x zCz24/1 9