初中数学全等三角形知识点总结及复习

全等三角形知识点总结及复习

一、知识网络

对应角相等性质对应边相等边边边 SSS全等形全等三角形应用边角边 SAS判定角边角 ASA角角边 AAS斜边、直角边 HL作图 角平分线性质与判定定理

二、基础知识梳理

（一）、基本概念

1、“全等”的理解 全等的图形必须满足：（1）形状相同的图形；（2）大小相等的图形；

即能够完全重合的两个图形叫全等形。同样我们把能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。

！

全等三角形定义 ：能够完全重合的两个三角形称为全等三角形。（注：全等三角形是相似三角形中的特殊情况）

当两个三角形完全重合时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角。

由此，可以得出：全等三角形的对应边相等，对应角相等。

(1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；

(2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角；

(3)有公共边的，公共边一定是对应边；

(4)有公共角的，角一定是对应角；

(5)有对顶角的，对顶角一定是对应角；

2、全等三角形的性质

（1）全等三角形对应边相等；（2）全等三角形对应角相等；

3、全等三角形的判定方法

（1）三边对应相等的两个三角形全等。

（2）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。

（3）两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。

（4）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。

，

（5）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。

4、角平分线的性质及判定

性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等

判定：到一个角的两边距离相等的点在这个角平分线上

（二）灵活运用定理

1、判定两个三角形全等的定理中，必须具备三个条件，且至少要有一组边对应相等，因此在寻找全等的条件时，总是先寻找边相等的可能性。

2、要善于发现和利用隐含的等量元素，如公共角、公共边、对顶角等。

3、要善于灵活选择适当的方法判定两个三角形全等。

…

（1）已知条件中有两角对应相等，可找：

①夹边相等（ASA）②任一组等角的对边相等(AAS)

（2）已知条件中有两边对应相等，可找

①夹角相等(SAS)②第三组边也相等(SSS)

（3）已知条件中有一边一角对应相等，可找

①任一组角相等(AAS 或 ASA)②夹等角的另一组边相等(SAS)

（三）经典例题

例1. 已知：如图所示，AB=AC，，求证：.

#

例2. 如图所示，已知：AF=AE，AC=AD，CF与DE交于点B。求证：。

例3 .如图所示，AC=BD，AB=DC，求证：。

例4. 如图所示，，垂足分别为D、E，BE与CD相交于点O，且

求证：BD=CE。

~

例5：已知：如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD、CE⊥AB于E，且∠B+∠D=180。

求证：AE=AD+BE

分析：从上面例题，可以看出，有时为了证明某两条线段和等于另一条线段，可以考虑“截长补短”的添加辅助线，本题是否仍可考虑这样“截长补短”的方法呢由于AC是角平分线，所以在AE上截AF=AD，连结FC，可证出ADC≌AFC，问题就可以得到解决。

证明（一）：

在AE上截取AF=AD，连结FC。

# 在AFC和ADC中

AFADACAC已作已知公共边12 ∴AFC≌ADC（边角边）

∴∠AFC=∠D（全等三角形对应角相等）

∵∠B+∠D=180（已知）

∴∠B=∠EFC（等角的补角相等）

在CEB和CEF中

%

BEFCCEBCEFCECE已证已知公共边90

∴CEB≌CEF （角角边）

∴BE=EF

∵AE=AF+EF

∴AE=AD+BE（等量代换）

证明（二）：

在线段EA上截EF=BE，连结FC（如右图）。

小结：在几何证明过程中，如果现成的三角形不可以证明，则需要我们选出所需要的三角形，这就需要我们恰到好处的添加辅助线。

】

（四） 全等三角形复习练习题

一、选择题

1．如图，给出下列四组条件：

①ABDEBCEFACDF，，；②ABDEBEBCEF，，；

③BEBCEFCF，，；④ABDEACDFBE，，．

其中，能使ABCDEF△≌△的条件共有（ ）A．1组 B．2组 C．3组 D．4组

2.如图，DE，分别为ABC△的AC，BC边的中点，将此三角形沿DE折叠，使点C落在AB边上的点P处．若48CDE°，则APD等于（ ）

3.如图（四），点P是AB上任意一点，ABCABD，还应补充一个条件，才能推出APCAPD△≌△．从下列条件中补充一个条件，不一定能．．．．推出APCAPD△≌△的是（ ）

,

A．BCBD B．ACAD C．ACBADB D．CABDAB

A．42° B．48° C ．52° D．58°

！

1题图 2题图

4.如图，在△ABC与△DEF中，已有条件AB=DE，还需添加两个条件才能使△ABC≌△DEF，不能添加的一组条件是( )

&

C

A

D P B

图（四）

(A)∠B=∠E,BC=EF（B）BC=EF，AC=DF

(C)∠A=∠D，∠B=∠E（D）∠A=∠D，BC=EF

5．如图，△ABC中，∠C = 90°，AC = BC，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，

若AC = 10cm，则△DBE的周长等于( )

A．10cm B．8cm C．6cm D．9cm

6． 如图所示，表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（ ）Ａ．1处 Ｂ．2处 Ｃ．3处 Ｄ．4处

)

4题图 5题图

7．某同学把一块三角形的玻璃打碎了3块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那

么最省事的方法是（ ）A．带①去 B．带②去 C．带③去 D．带①②③去

8．如图，在RtABC△中，90B ，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC

于点E．已知10BAE，则C的度数为（ ）

A．30 B．40 C．50 D．60

9．如图，ACBACB△≌△，BCB=30°，则ACA的度数为（ ）

#

A．20° B．30° C．35° D．40°

10．如图，AC＝AD，BC＝BD，则有（ ）

A．AB垂直平分CD B．CD垂直平分AB

1题图C．AB与CD互相垂直平分 D．CD平分∠ACB

8题图 10题图

11．尺规作图作AOB的平分线方法如下：以O为圆心，任意长为半径画弧交OA、OB于C、D，再分别以点C、D为圆心，以大于12CD长为半径画弧，两弧交于点P，作射线OP，由作法得OCPODP△≌△的根据是（ ）A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS

12.如图, ∠C=90°,AD平分∠BAC交BC于D,若BC=5cm,BD=3cm,则点D到AB的距离为( )A. 5cm B.

3cm C. 2cm D. 不能确定

（

13．如图，OP平分AOB，PAOA，PBOB，垂足分别为A，B．下列结论中不一定成立的是A

D

C E B

8题EDCBA] ①②

#

6题图

；

ABCDC A

B

B [

（

）A．PAPB

B．PO平分APB C．OAOB D．AB垂直平分OP

14.如图，已知ABAD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定ABCADC△≌△的是（ ）

A．CBCD B．BACDAC∠∠ C．BCADCA∠∠ D．90BD∠∠

·

11题图 12题图

二、填空题

1.如图，已知ADAB，DACBAE，要使 ABC△≌ADE△，可补充的条件是

（写出一个即可）_______________．

2.如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=BC,AD平分∠BAC交BC于D,DE⊥AB于E,且AB=5cm,则△DEB的周长为

________

3.如图，BACABD，请你添加一个条件： ，使OCOD（只添一个即可）．

…

4.如图，在ΔABC中，∠C=90°∠ABC的平分线BD交AC于点D,若BD=10厘米，BC=8厘米，DC=6厘米，则点D到直线AB的距离是__________厘米。

.

'

1题图 2题图 3题图 4题图

5.观察图中每一个大三角形中白色三角形的排列规律，则第5个大三角形中白色三角形

有 个 ．

@

第1个第2个第3个A

C E B D

D

O C

B A ABCDA

B C D

[ O

13题图 B A

P

O D ！ C A

B

ABCDE