2024年冀教版九年级上册教学第二十四章 一元二次方程一元二次方程的应用

第1课时几何问题

课时目标

1.经历用一元二次方程解决几何问题的过程,进一步认识方程模型的重要性.

2.能根据几何问题中的数量关系列出一元二次方程,体会方程是刻画现实世

界的一个有效的数学模型.3.在实际应用过程中,提高学生分析问题、解决问题的能力,进一步增强数学

的抽象能力和应用意识.

学习重点

列一元二次方程解决与几何图形面积有关的应用题.

学习难点

在几何问题中找到等量关系,根据实际意义检验结果的合理性.课时活动设计

复习导入1.三角形,正方形,长方形,平行四边形的面积公式是什么呢?

答:S三角形=12×底×高,S正方形=边长×边长,S长方形=长×宽,S平行四边形=底×高.

2.解一元二次方程的方法有哪些?

答:直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法.3.列方程解应用题的一般步骤是什么?

答:审、设、列、解、验、答.4.列方程解应用题的关键是什么?

解:读懂题意,找到题目中的等量关系.

设计意图:通过复习有关面积的公式及列方程解应用题的步骤,为本节课的

探究活动作铺垫.

情境导入

你能求解本章第1节“做一做”的问题吗?

一个长为10m的梯子斜靠在墙上,梯子的顶端A处到地面的距离为8m.如果

梯子的顶端沿墙面下滑1m,那么梯子的底端B在地面上滑动的距离也是1m吗?

设梯子的底端B在地面滑动的距离为xm,已得到方程x2+12x-15=0.请解这个方程,

并给出问题的答案.

设计意图:创设实际问题的导入,回顾本章起始内容,让学生感受建模思想

在与几何有关的实际问题中的应用,培养学生的运算能力和应用意识.

探究新知

例1如图,某学校要在校园内墙边的空地上修建一个长方形的存车处,存车

处的一面靠墙(墙长22m),另外三面用90m长的铁栅栏围起来.如果这个存车处的

面积为700m2,求这个长方形存车处的长和宽.

学生独立思考,师生共同解答.1.本题中有哪些数量关系?

2.如何理解“存车处的一面靠墙(墙长22m),另外三面用90m长的铁栅栏围起

来”?3.如何利用已知的数量关系选取未知数并列出方程?

4.解方程并得出结论,对比几种方法各有什么特点?

解法一:设长方形的长为xm,则宽为(90-2x)m,

得方程x(90-2x)=700.

整理,得2x2-90x+700=0.解得x1=35,x2=10.

当x=35时,90-2x=20;当x=10时,90-2x=70.

由于墙长22m,所以长方形宽70m不合题意,即x=10不合题意,舍去.

答:这个长方形存车处的长和宽分别是35m和20m.

解法二:设长方形靠墙的一边的长为xm,

得方程x·90−2=700,

整理,得x2-90x+1400=0.

解得x1=70,x2=20.

由于墙长22m,∴x1=70不符合题意,应舍去.

当x=20时,90−2=90−202=35.

答:这个长方形存车处的长和宽分别是35m和20m.

比较上述两种解法可知,解法二较简便,正确找出等量关系,设出未知数是求

解实际问题的关键.

例2已知一本数学书的长为26cm,宽为18.5cm,厚为1cm.一张长方形包书

纸如图所示,它的面积为1260cm2,虚线表示的是折痕.由长方形相邻两边与折痕

围成的四角均为大小相同的正方形.求正方形的边长.

教师引导学生分析,学生思考,并回答下列问题:

分析:题中的等量关系是包书纸的长×宽=1260cm2,设正方形的边长为xcm,

则包书纸的长为(18.5×2+1+2x)cm,包书纸的宽为(26+2x)cm,则可列方程为(18.5×2+1+2x)(26+2x)=1260.

解:设正方形的边长为xcm,根据题意,得(26+2x)(18.5×2+1+2x)=1260.

整理,得x2+32x-68=0.

解这个方程,得x1=2,x2=-34(不符合题意,舍去).

答:正方形的边长是2cm.

方法点拨:用一元二次方程解决几何问题,主要集中在几何图形的面积问题.这类问题的面积公式是等量关系.如果是规则图形,那么直接运用面积公式列方程

即可;如果图形不规则,应割或补成规则图形,找出各部分面积之间的等量关系,再

运用规则图形的面积公式列出方程.

设计意图:从实际问题引入,根据学生已有知识经验,自主探究、小组交流,

在教师的引导下,找出问题的等量关系列方程解决问题,充分体现建模思想在解决

实际问题的重要性,提升学生分析问题、解决问题的能力.

巩固练习1.已知一个直角三角形两直角边的和是12,斜边长是10,求这个直角三角形两

直角边的长.

解:设其中一条直角边的长为x,则另一条直角边的长为12-x,

根据题意,得x2+(12-x)2=102.

整理,得x2-12x+22=0.

解这个方程,得x1=6+,x2=6-.

当x=6+时,另一条直角边的长为6-,

当x=6-时,另一条直角边的长为6+,且都符合题意.

答:两条直角边的长分别是6+,6-.

2.如图,有一块长80cm,宽60cm的长方形硬纸片,在四角各剪去一个同样的

小正方形,用剩余部分做成一个底面积为1500cm2的无盖长方体盒子.求剪去的

小正方形的边长.

解:设剪去的小正方形的边长为xcm,则无盖长方体盒子的长为(80-2x)cm,宽

为(60-2x)cm.

根据题意,得(80-2x)(60-2x)=1500,

整理,得x2-70x+825=0.

解得x1=15,x2=55(不合题意,舍去).答:剪去的小正方形的边长为15cm.

设计意图:通过练习,让学生进一步巩固所学知识,加深对所学知识的理解,

提高综合运用能力.

课堂8分钟.

1.教材第48页练习第1题,习题A组第1,2题,习题B组第1,2题.

2.七彩作业.教学反思

第2课时变化率问题

课时目标

1.会根据具体问题,找到变化率问题中的等量关系.

2.能根据变化率问题中的数量关系列出一元二次方程并求解,并能根据问题

的实际意义检验结果的合理性.3.培养学生分析问题、解决问题的能力,进一步增强应用数学的意识.

学习重点

列一元二次方程解决变化率问题.

学习难点

在实际问题中找等量关系列方程.课时活动设计

探究新知

探究1用一元二次方程解决增长率问题

随着我国汽车产业的快速发展以及人们经济收入的不断提高,汽车已越来越

多地进入普通家庭.据某市交通部门统计,2010年底,该市汽车保有量为15万辆,

截至2012年底,汽车保有量已达21.6万辆.若该市这两年汽车保有量增长率相同,

求这个增长率.

教师引导学生分析,设年增长率为x,回答以下问题:(1)2011年底比2010年底增加了15x万辆汽车,达到了15(1+x)万辆.

(2)2012年底比2011年底增加了15x(1+x)万辆汽车,达到了15(1+x)2

万辆.(3)根据题意,列出的方程是15(1+x)2=21.6.

(4)解方程,回答原问题,并与同学交流解题的思路和过程.

学生独立思考后,小组合作交流,完成解答并展示,教师点评并规范解题步骤.

解:设年增长率为x,根据题意,得15(1+x)2=21.6.

解方程,得x1=0.2,x2=-2.2(不符合题意,舍去).

答:这个增长率为20%.

拓展问题:如果增长率不变,2013年底,该市汽车保有量达到多少万辆?

学生独立思考并解答,教师补充.

解:如果增长率不变,到2013年底该市汽车保有量为21.6×(1+20%)=25.92(万

辆).

探究2用一元二次方程解降低率问题

某工厂工业废气年排放量为300万立方米.为改善城市环境质量,决定在两年

内使废气年排放量减少到144万立方米.如果第二年废气减少的百分率是第一年

废气减少的百分率的2倍,那么每年废气减少的百分率各是多少?

分析:1.题目中的已知量和未知量分别是什么?(已知量:工业废气年排放量为300万立方米和两年内使废气年排放量减少到144万立方米;未知量:每年废气减

少的百分率)2.未知量之间的数量关系是什么?(第二年废气减少的百分率是第一年废气减

少的百分率的2倍)3.如何设未知数?(设第一年废气减少的百分率为x,则第二年废气减少的百分

率为2x)4.题目中的等量关系是什么?(工业废气年排放量300万立方米减少两次之后

=144万立方米)

5.如何根据等量关系列出方程?(300(1-x)(1-2x)=144)

6.你能求解方程,写出正确答案吗?

学生独立思考后,小组合作交流,完成解答并展示,教师点评并规范解题步骤.

解:设第一年减少的百分率是x,则第二年减少的百分率是2x.

由题意,得300(1-x)(1-2x)=144

整理化简,得50x2-75x+13=0.

解得x1=0.2,x2=1.3(不符合题意,舍去).

故x=0.2.

答:第一年减少的百分率是20%,第二年减少的百分率是40%.

归纳总结:如果增长(或降低)率中的基数为a,平均增长(或降低)率为x,则

第一次增长(或降低)后的数量为a(1±x),

第二次增长(或降低)后的数量为a(1±x)2,

……

第n次增长(或降低)后的数量为a(1±x)n.其中增长取“+”,降低取“-”.

设计意图:将分析问题的过程分解成小问题的形式,采用层层递进的方式分

析,通过学生自主探究、小组合作交流,建立一元二次方程模型解决增长(或降低)

率的问题,降低了学习难度,逐步培养学生分析问题、解决问题的能力.

典例精讲

建大棚种植蔬菜是农民致富的一条好途径.经过市场调查发现:搭建一个面积

为x(公顷)的大棚,所需建设费用(万元)与x+2成正比例,比例系数为0.6;内部设备

费用(万元)与x2成正比例,比例系数为2.某农户新建了一个大棚,投入的总费用为4.8万元.请计算该农户新建的这个大棚的面积.(总费用=建设费用+内部设备费