数学人教版九年级上册一元二次方程的应用

1 一元二次方程的应用—面积问题

知识与技能

1.以一元二次方程解决的实际问题为载体，使学生初步掌握数学建模的基本方法.

2.能根据实际问题正确列出一元二次方程解应用题.

3.能够发现，归纳出日常生活、生产或其他学科中可以利用一元二次方程来解决的实际问题，并正确地用语言表述问题及其解决问题.

4.提高分析问题，解决问题的能力。

过程与方法

通过自主探索、合作交流，使学生经历动手实践、展示讲解、探究讨论等活动，发展学生数学思维，培养学生合作学习意识、动手、动脑习惯，激发学生学习热情。

情感态度与价值观，培养学生数形结合的思想。

重点：二次函数的模型的刻画

难点：二次函数的性质的应用

教学过程

教学环节 教 师 活 动 学生活动 设计意图

2

创

设

情

境

引

入

新

课.。

[创设情境 引入新课]

1. 请学生回顾举行的面积公式，并进行两个小题的列方程来巩固矩形的面积公式。

2问:若纸板长为80cm,宽60cm，做成的长方体盒子底面积1500cm2。同学们想一想怎样求剪去的小正方形的边长。

3 把无盖长方体盒重新展开，又会得到原来的长方形纸板，帮助学生从实际问题中提炼出数学问题。

1.学生们动手制作，在长方形纸板的四个角上截去四个大小相同的正方形，然后把四边折起做成一个无盖的长方体包装盒..

2.小组讨论

学生们不难发现截去的正方形的边长就是盒子的高.

从学生熟悉的矩形的面积入手，能迅速激发学生参与学习的兴趣；让学生发现生活中有些实际问题可以通过列一元二次方程来解决，从而顺利地引入新课。

3 4. 这个问题是用一元二次方程来解决的,这正是我们这节课要讲的内容---一元二次方程的应用

板书课题：一元二次方程的应用

[知识准备

承前起后]

5.请学生回答列方程解应用题的一般步骤

生:设、列、解、验、答 3. 学生思考并进行列方程计算以及结合题目中的已知条件，正确决定一元二次方程两个根的取舍.

九年级数学一元二次方程实际应用

大家好！今天咱们来聊聊一个看似有点神秘的数学概念——一元二次方程。不过别担心，咱们不是要搞什么复杂的公式，而是要看看这些方程是怎么在我们生活中派上用场的。你可能会问，这玩意儿跟咱们的日常生活有什么关系呢？其实，关系大着呢！一起来瞧瞧吧！

1. 一元二次方程的基础知识

首先，咱们得了解一下什么是一元二次方程。简单来说，一元二次方程就是形如

( ax^2 + bx + c = 0 ) 的方程，其中 ( a )、( b )、和 ( c ) 是常数，( x ) 是我们要找的变量。听起来有点儿抽象？别急，我们用实际的例子来解释一下。

1.1. 生活中的例子

举个简单的例子吧。如果你家有一个小花园，你想种一排花。假设你种的花每行需要的空间是固定的，而且你还希望每行的花之间有一定的间隔。假设花间距是2米，而你想要种6排花。你想知道需要多长的空间？这时候，一元二次方程就可以帮你计算出这个长度了。

1.2. 小故事

比如说，小明决定在他家花园里种花。他量了一下花园的长度和宽度，然后想要把花园分成几个小区域，每个区域种一种花。经过一番计算，他发现这个问题可以用一元二次方程来解决。经过几次试错和计算，小明终于找到了一种合适的种植方案，这样既美观又实用。

2. 一元二次方程在实际生活中的应用

一元二次方程不仅仅是在数学课上出现，它们其实在很多实际问题中都能找到身影。下面我们来看几个实际应用的例子。

2.1. 解决问题

想象一下，你有一个游泳池，你想在池子里放一个大的浮排。如果浮排的面积是固定的，你又想知道池子里最大能放多大的浮排。这里的“浮排面积”就是我们的一元二次方程中的一个参数，通过计算，你就能得到浮排的最大尺寸了。

2.2. 购物打折

还有一个常见的应用场景，就是购物打折。比如说，你要买一件原价200元的衣服，现在商店搞了一个“买一送一”的活动，但你只想买一件。假设你能用一元二次方程计算打折后的实际花费，那么你就能准确知道自己能省多少钱。

一元二次方程的应用

【典例1】正月十五是中华民族传统的节日——元宵节，家家挂彩灯、户户吃汤圆已成为世代相沿的习

俗．位于北关古城内的盼盼手工汤圆店，计划在元宵节前用21天的时间生产袋装手工汤圆，已知每袋汤圆

需要0.3斤汤圆馅和0.5斤汤圆粉，而汤圆店每天能生产450斤汤圆馅或300斤汤圆粉（每天只能生产其中

一种）．

（1）若这21天生产的汤圆馅和汤圆粉恰好配套，且全部及时加工成汤圆，则总共生产了多少袋手工汤

圆？

（2）为保证手工汤圆的最佳风味，汤圆店计划把达21天生产的汤圆在10天内销售完毕．据统计，每袋手

工汤圆的成本为13元，售价为25元时每天可售出225袋，售价每降低2元，每天可多售出75袋．汤圆店

按售价25元销售2天后，余下8天进行降价促销，第10天结束后将还未售出的手工汤圆以15元/袋的价格

全部卖给古城小吃店，若最终获利40500元，则促销时每袋应降价多少元？

（1）设总共生产了𝑎

袋手工汤圆，利用这21天生产的汤圆馅和汤圆粉恰好配套做等量关系列出方程即可；

（2）设促销时每袋应降价𝑥

元，利用最终获利40500元做等量关系列出方程即可．

解：（1）设总共生产了𝑎

袋手工汤圆，

依题意得，0.3𝑎

450+0.5𝑎

300=21

解得𝑎=9000

，

经检验𝑎=9000

是原方程的解，

答：总共生产了9000

袋手工汤圆

（2）设促销时每袋应降价𝑥

元，

当刚好10天全部卖完时，

依题意得，225×2×

(25―13)+8

(25―13―𝑥)225+75

2𝑥=40500

整理得：𝑥2

―6𝑥+45=0

Δ=62

―4×45<0

，◆典例分析∴方程无解

∴10天不能全部卖完

∴第10天结束后将还未售出的手工汤圆以15元/袋的价格全部卖给古城小吃店的利润为

(15―13)

9000―2×225―

8225+75

2

𝑥=12600―600𝑥

∴依题意得，225×2×

(25―13)+8

(25―13―𝑥

)225+75

2

𝑥+12600―600𝑥=40500

《一元二次方程的应用》课堂笔记

一、一元二次方程的应用

1.

增长率问题

增长率问题是一元二次方程应用中比较常见的问题，一般可以通过构建一元二次方程来求解。在解题时，需要先找到增长的基础数量和增长次数，然后根据增长率计算未来的数量。

2.

最大最小值问题

最大最小值问题也是一元二次方程应用中比较常见的问题，通常需要构建一元二次方程来解决。在解题时，需要找到相关的条件和限制条件，然后通过配方等方法求出最大或最小值。

3.

利润问题

利润问题也是一元二次方程应用中比较常见的问题，一般可以通过构建一元二次方程来求解。在解题时，需要找到成本价、售价和利润之间的关系，然后通过方程求解利润。

二、一元二次方程的解法

1.

直接开平方法

直接开平方法是解一元二次方程最常用的方法之一，适用于形如x2=p或(nx+m)2=p(p⩾0)的方程。解题时要注意将方程化为标准形式，即先移项，再配方，然后开平方即可得到方程的解。

2.

配方法

配方法也是解一元二次方程常用的方法之一，适用于形如ax2+bx+c=0的方程。解题时要注意先将方程化为标准形式，然后进行配方，最后开平方即可得到方程的解。

3.

公式法

公式法是解一元二次方程最常用的方法之一，适用于所有的一元二次方程。解题时可以直接将方程中的系数代入公式求解，也可以先对原方程进行化简，然后再代入公式求解。

4.

因式分解法

因式分解法也是解一元二次方程常用的方法之一，适用于形如ax2+bx+c=0的方程。解题时要注意先对原方程进行因式分解，将方程转化为两个一次因式的积的形式，然后令每个因式等于零，得到原方程的解。