相空间--刘维尔定理热力学.

第九章 系综理论1.教学内容（1） 相空间 刘维尔定理； （2） 微正则分布（3） 微正则分布的热力学公式 （4） 正则分布（5） 正则分布的热力学公式 （6） 实际气体的物态方程 （7） 固体的热容量（8） 液4He 的性质和朗道超流理论 （9） 伊辛模型的平均场理论 （10） 巨正则分布的热力学公式 （11） 巨正则分布的简单应用 2.本章重难点（1） 本章重点是正则分布、正则分布、巨正则分布的热力学公式； （2） 本章难点是实际气体的物态方程及固体的热容量 1. 例题例题 1 证明在正则分布中熵可表为∑-=ss skS ρρln 其中sE s e Zβρ-=1是系统处在s 态的概率 解证: )ln (ln ββ∂∂-=Z Z k S 多粒子配分函数)1(1ss E s E e Z e Z ββρ--=⇒=∑)2(ln ∑∑---=∂∂k E kE k kkee E Zβββ由(1)知[]s s s s s E Z E Z E Z esρβρβρβln ln 1;ln ln +=-+=-⇒=-代至(2)得[]∑∑+=+=∂∂ss ss s s Z Z Z ρρββρρββln 1ln 1ln ln 1ln ;于是∑-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-=s s s k Z Z k S ρρββln ln ln 例题2 试用正则分布求单原子分子理想气体的物态方程，内能和熵解证：()222121;iz iy ix Ni s sE p p p mE eZ s++==∑∑=-β 符号∏=i iz iy ixdp dp dpdp符号∏=iiiidzdy dx dq()()2/33)(232332!!!!1222122212222N NNNp p p m N N p p p m NNp p pN m h N V Z dp e h N V dpeh N Vdpdq e hN Z z y x Ni iziy ix Ni iziy ix m⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⇒⎥⎦⎤⎢⎣⎡=∑=∑=⎰⎰⎰∞+∞-++-∞+∞-++-++-==βπβββ利用式（9.5.3）VNTkV Z Z Z P =∂∂=∂∂=⇒βββ1ln 1类似求S U ,例题3 体积内盛有两种组元的单原子混合理想气体，其摩尔数为1n 和2n ，温度为T 。

刘维尔定理有界整函数必为常数题目一、刘维尔定理简介刘维尔定理（Liouville"s theorem）是经典统计力学与哈密顿力学中的关键定理。

该定理断言相空间的分布函数沿着系统的轨迹是常数。

这意味着，给定一个系统点，在相空间游历过程中，该点邻近的系统点的密度关于时间是常数。

这一定理以法国数学家约瑟夫·刘维尔命名，同时也是辛拓扑与遍历论中的有关数学结果。

二、整函数与有界性整函数是指从复数域射到复数域，并且在整个复数域上都是全纯函数的函数。

全纯函数是复分析中的中心概念，它不仅代表着复可微，而且可以证明，全纯函数必然无穷可微，是解析函数。

有界性是指在复平面上，对于任意复数，其模长都小于等于一个正数。

在刘维尔定理中，如果一个整函数在整个平面上有界，那么它必定是常数。

三、刘维尔定理的证明刘维尔定理的证明运用了整函数与解析函数的关系。

首先，整函数必然是解析函数，所以我们考虑一个整函数f(z)。

我们可以将其解析展开为：f(z) = a0 + a1z + a2z^2 + ...+ anz^n其中，ai是系数。

接下来，我们考虑f(z)关于原点O的柯西积分公式：f(z) = ∫(f(w)dw)/(z - w)将f(z)的解析展开代入柯西积分公式，并取积分路径为以0为圆心，半径为|z|的圆，我们可以得到：ai = ∫(aiω^n dw)/(z - ω)其中，ω= e^(it)，t∈[0, 2π]。

进一步观察上式，我们可以发现，当z趋近于0时，aiω^n也趋近于0，因此，ai必为常数。

四、皮卡定理与刘维尔定理的关系皮卡定理（Picard"s theorem）是复分析中的一个著名定理。

它表明，如果一个整函数在复平面上存在两个相异的复数，这两个复数都不属于该函数的值域，那么这个整函数是常数函数。

与刘维尔定理相比，皮卡定理的条件更加严格，但它也提供了判断整函数是否为常数的一种方法。

五、刘维尔定理在实际应用中的例子1.经典统计力学与哈密顿力学中的应用：刘维尔定理在经典统计力学与哈密顿力学中起着关键作用。

《热力学·统计物理》课程教学大纲课程名称：热力学·统计物理课程编码：学时：72 学分：4开课学期：第四学期课程类别：学科平台课程课程性质：必修课适用专业：应用物理学先修课程：力学、热学、原子物理，高等数学一、课程的性质、目的与任务热力学与统计物理是研究物质热现象和热运动规律理论的物理课程。

它是微观理论研究和宏观应用之间的一座桥梁，前者采用宏观的研究方法，后者采用微观的研究方法。

两种方法相辅相成，取长补短。

本门课程的学习内容主要有：热力学的基本规律；均匀物质的热力学性质；单元系的相变；多元系的复相平衡和化学平衡；；近独立粒子的最概然分布；玻耳兹曼统计；玻色统计和费米统计；系综理论；。

通过本门课程的学习，使学生能够掌握这两种研究方法，为今后的进一步学习与研究打下必要的基础。

二、教学内容及基本要求第一章热力学的基本规律教学目的和要求：了解热力学系统的平衡态及其描述、热平衡定律和温度、理想气体的内能和绝热过程、理想气体的卡诺循环、自由能和吉布斯函数理解物态方程、功、热力学第二定律、热容量和焓、热力学温标掌握热力学第一定律、卡诺定律、克劳修斯等式和不等式、熵和热力学基本方程、理想气体的熵、热力学第二定律的普遍表述、熵增加原理的的简单应用教学重点和难点：热力学第一定律和物态方程，克劳修斯等式与不等式，热力学基本方程。

教学方法与手段：传统教学与学生自学相结合第一节热力学系统的平衡状态及其描述第二节热平衡定律和温度第三节物态方程第四节功第五节热力学第一定律第六节热容量和焓第七节理想气体的内能第八节理想气体的绝热过程第九节理想气体的卡诺循环第十节热力学第二定律第十一节卡诺定理第十二节热力学温标第十三节克劳修斯等式与不等式第十四节熵和热力学基本方程第十五节理想气体的熵第十六节热力学第二定律的表述第十七节熵增加原理的简单应用第十八节自由能和吉布斯函数复习与作业要求：完成课后相关习题。

考核知识点：熵增加原理的应用，理想气体的熵。

刘维尔定理内容(一)
刘维尔定理及其应用
1. 什么是刘维尔定理？
刘维尔定理是伟大的数学家刘维尔在19世纪提出的一条重要定理，它描述了随机过程中熵的增加。

熵可以理解为系统的不确定度或混乱
度的度量，刘维尔定理揭示了熵在自然世界中的普遍增加趋势。

2. 刘维尔定理的主要内容
•刘维尔定理表明，在一个孤立系统中，经过一段时间后，系统的熵将不断增加，系统将趋向于更高的混乱度或不确定度。

•刘维尔定理还指出，即使在微观层面上的过程是可逆的，也无法阻止熵的增加。

尽管在短时间内，系统的熵可能会减少，但长期
趋势却是熵增加。

•这一定理在热力学、信息论、统计力学等领域中有广泛应用，被视为自然界中一种普遍现象的数学表达。

3. 刘维尔定理的应用
刘维尔定理在许多领域都有重要应用，以下列举其中几个例子：•热力学：刘维尔定理揭示了热力学中的熵增加趋势，帮助解释了热平衡和热力学过程中的能量转化。

•信息论：刘维尔定理与信息熵密切相关，说明信息传输中的信息丢失以及数据压缩的限制。

•统计力学：刘维尔定理为统计力学提供了基本框架，解释了粒子运动和宏观现象之间的关系，如布朗运动、分子扩散等。

•生态学：刘维尔定理应用于生态系统分析中，帮助解释生物多样性和能量流动等生态现象。

•社会学：刘维尔定理的思想被应用于社会系统的研究，如群体行为、市场力学等。

4. 总结
刘维尔定理是一条描述系统熵增加的重要定理，揭示了自然界中系统混乱度或不确定度增加的普遍趋势。

它在热力学、信息论、统计力学、生态学和社会学等多个领域都有重要应用。

该定理的理解和应用为我们解释和探索自然界中各种现象提供了有力的工具。

第一章概念1.系统：孤立系统、闭系、开系与其他物体既没有物质交换也没有能量交换的系统称为孤立系；与外界没有物质交换，但有能量交换的系统称为闭系；与外界既有物质交换，又有能量交换的系统称为开系；2.平衡态平衡态的特点:1.系统的各种宏观性质都不随时间变化；2。

热力学的平衡状态是一种动的平衡,常称为热动平衡;3.在平衡状态下，系统宏观物理量的数值仍会发生或大或小的涨落；4.对于非孤立系，可以把系统与外界合起来看做一个复合的孤立系统，根据孤立系统平衡状态的概念推断系统是否处在平衡状态.3.准静态过程和非准静态过程准静态过程：进行得非常缓慢的过程，系统在过程汇总经历的每一个状态都可以看做平衡态。

非准静态过程，系统的平衡态受到破坏4.内能、焓和熵内能是状态函数.当系统的初态A和终态B给定后，内能之差就有确定值，与系统由A到达B所经历的过程无关;表示在等压过程中系统从外界吸收的热量等于态函数焓的增加值。

这是态函数焓的重要特性克劳修斯引进态函数熵.定义:5.热容量：等容热容量和等压热容量及比值定容热容量：定压热容量:6.循环过程和卡诺循环循环过程（简称循环）:如果一系统由某个状态出发，经过任意一系列过程，最后回到原来的状态，这样的过程称为循环过程。

系统经历一个循环后,其内能不变。

理想气体卡诺循环是以理想气体为工作物质、由两个等温过程和两个绝热过程构成的可逆循环过程。

7.可逆过程和不可逆过程不可逆过程：如果一个过程发生后，不论用任何曲折复杂的方法都不可能使它产生的后果完全消除而使一切恢复原状。

可逆过程:如果一个过程发生后，它所产生的后果可以完全消除而令一切恢复原状.8.自由能：F和G定义态函数：自由能F，F＝U－TS定义态函数:吉布斯函数G,G=U-TS+PV，可得GA－GB－W1定律及推论1.热力学第零定律－温标如果物体A和物体B各自与外在同一状态的物体C达到热平衡,若令A与B进行热接触，它们也将处在热平衡.三要素：（1）选择测温质；(2）选取固定点；（3)测温质的性质与温度的关系。