埃伦费斯特定理

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艾里光束

光束构建自会聚光束，因此着重关注它的自弯曲传输特性，以期望艾里光束在自弯曲的过程中实现能量的自会聚
• The equivalent envelope Gaussian beam (EEGB) defined as the Gaussian beam with full-width at half maximum (FWHM) equal to the diameter of the ring-Airy beam and the equivalent peak contrast Gaussian beam (ECGB), which, in the linear regime, reaches the same peak intensity contrast value at the focus
原理以及计算方法
• 理论：在量子力学框架下，描述微观粒子运动的自由空间薛定谔方程的一维形式是 • • 其中m是粒子的质量，当初始条件输入艾里光波，在演化过程中可以得到一个不扩展并且能够横向自加速的波包解。这是1979年由Berry和Balazs首次在理论上提出的，他们还解释了理论上得到的弯曲轨迹实际上是初始时刻处于不同位置粒子做直线运动得到的轨迹形成的包络，每一点的强度是相应粒子波包在此位置的相干叠加。
Figure 6 | Comparative plot of intensity distributions. Radial intensity distribution of the ring-Airy, EEGB and ECGB used in the simulations.
Figure 1 | Focus shift in the non-linear regime. Focus position as a function of the input power for the ring-Airy beam (black squares) and the two Gaussian beams with equivalent contrast (red dots) and equivalent envelope (blue triangles).

unit8最后版

of gravity
职业：
theolo gist
主要成就： the law
⑵ If I can see a bit farther than some others, it is because I am standing on the shoulders of giants. -------- Newton 译成中文：如果说我比别人看得更远些,那是因为我站在了巨人的肩上. -------- 牛顿
• I think what Einstein was trying to say is basically that every great discovery involves an awful lot of hard work (99% perspiration), and only a very little amount of "flashes of brilliance" (1% inspiration). •
• 灵感（inspiration） • 灵感是指艺术家在创造活动中，由于大脑皮质的高度兴奋，所产生的一种特殊心理状态，是艺术家在抽象思维和形象思维的基础上，意识与无意识的相互作用下，突然激发的情绪特别亢奋，极富创造力的精神状态。
• 创作思维过程中认识飞跃的心理现象。它是一个人在对某一问题长期孜孜以求、冥思苦想之后，通过某一诱导物的启发，一种新的思路突然接通。正常人都可能出现灵感，只是水平高低不同而已，并无性质的差别。灵感具有以下特点：①它以抽象思维和形象思维为基础，与其他心理活动紧密相联。②它具有突发性，且消失得很快。③是创造性思维的结果，是新颖，甚至是独特的。④具有情绪性，灵感降临时，人的心情是紧张的、高度兴奋，甚至陷入迷狂的境地

费斯汀格法则原文

费斯汀格法则原文费斯汀格法则（Feistel cipher）是一种对称加密算法，由IBM 的霍恩费斯特·费斯汀格（Horst Feistel）于1973年设计。

该算法通过将明文分为两个部分并进行多轮迭代加密来实现加密过程。

费斯汀格法则的具体步骤如下：1. 将明文分为两个长度相等的部分，分别为L0和R0。

2. 进行多轮迭代加密，每轮加密过程中，通过应用一个函数f()来对右侧部分进行加密，并将结果与左侧部分进行异或运算。

3. 在每轮迭代中，左侧部分的值将变为右侧部分的值，右侧部分的值将变为左侧部分异或运算的结果。

4. 在最后一轮迭代结束后，将左侧部分和右侧部分交换位置，得到加密后的密文。

费斯汀格法则的主要特点之一是其可逆性。

由于每轮加密过程中都使用相同的加密函数，并且异或运算是可逆的，所以解密过程只需要将加密过程中的每轮加密过程逆转即可恢复原始明文。

费斯汀格法则的安全性主要依赖于加密函数f()的设计和密钥的选择。

1. 加密函数的设计要求是非线性并具有扩散效应。

这意味着加密函数的输出应该对输入的细微变化非常敏感，且每一位的变化都能影响到输出的多个位，从而使得密文中的每一位都有可能受到明文中所有的位的影响。

2. 密钥的选择应当是随机的，并且能提供足够的安全性。

一个好的密钥应当具备高度的不可预测性和不可重现性，使得攻击者无法通过已知的密文和明文对来推导出密钥的值。

费斯汀格法则的优点有：1. 加密和解密过程的设计简单，易于实施。

2. 执行速度较快，特别适用于硬件实现。

3. 可以通过增加轮数来增加安全性。

然而，费斯汀格法则也存在一些缺点：1. 对密钥的保护要求较高。

一旦密钥泄漏，就会导致所有的加密信息被破解。

2. 非线性函数的选择和实现相对复杂，容易引入安全漏洞。

3. 对输入数据的长度有限制，如果超出了系统的处理能力，可能导致加密过程异常。

总而言之，费斯汀格法则是一种经典的对称加密算法，具有简单、快速和可逆的特点。

一些冷门定律

一些冷门定律
以下是一些相对冷门的定律：
1. 二八定律（Pareto's Law）：它认为，80%的结果常常由20%的因素决定。

这个观察结果被广泛应用在各种领域，比如企业中的销售额大部分来自于少数的客户，学习中80%的知识可
以通过20%的时间学得等等。

2. 罗森法则（Rosen Law）：它是关于情感关系中的一种观察
定律，该定律指出，情侣关系中一方倾向于迅速提出关系正式发展或解除的要求。

也就是说，一方会更早地决定是否进一步发展或结束关系。

3. 洛伦兹定律（Lorenz Law）：它是指在某个系统中，随着系
统的变化和时间的推移，初始条件的微小变化可能会导致系统的巨大变化。

这个定律常用于描述混沌理论和非线性动力学中的现象。

4. 哥顿法则（Gordon's Law）：它是对于汽车工程的一个定律，它指出，一个车辆的最高速度是其发动机马力的平方根乘以
0.1。

这个定律可以用来估计一个车辆的最高速度，尽管它的
实际使用范围有限。

5. 德鲁克定律（Drucker's Law）：由管理学家彼得·德鲁克提
出的这个定律指出，企业的最大资产不是物质资源，而是人才。

他认为，企业的成功与否取决于有效地利用和发展人才。

这些定律虽然不太为人所熟知，但它们在特定的领域和学科中有一定的应用和解释力。

150定律

150定律150定律(Rule Of 150)[编辑]什么是150定律?罗宾·丹巴是一名人类学家，他研究了各种不同形态的原始社会，并发现在那些村落中的人。

大约都在150 名左右，人们把他的研究理论称之为" 150 人定律"。

现在我们许多人都远离村庄生活，但是却没有脱离这个概念：罗宾让一些居住在大都市的人们列出一张与其交往的所有人的名单，结果他们名单上的人数大约都在150名。

[编辑]150定律操作实务一些其他对经济和军事团体的研究显示，人们在多出这一数字的团体中合作的效率会有所降低，人数太多不能进行有效的交流。

这一理论也显示出，当个体的生活圈子过于狭小时就会感到孤独。

作为个体我们需要他人的协助来发挥潜能。

许多人把生活视为一种长途旅行。

他们在途中只选择需要的人和事，这其中包括朋友、家庭和事业。

这是一种狭隘的生活观念，也是在他们工作称心、变得富有后还是感到不幸福的原因。

不是作为一名孤独的旅行者，而是你自己村落的首领，应用" 150 人定律"我们会看到事物的不同。

你对村落生活的方方面面都要负责，一份好工作会帮助你这个村的"经济发展"，同时也要注意你这个村落的文化生活与社会关系的和谐。

也许你的村子是一处富饶之地，但是每个人都住在高墙之内不和邻人交往。

在这里走上一圈儿，发现它是一个空荡荡的村干。

也许因为大家都忙于工作。

也许大家闲散着什么都没做。

[编辑]150定律的启示许多人认为幸福是在竞争中获胜，胜者得到好的工作、美满的家庭和大把的钞票，败者就该沦为不幸。

罗宾的定律告诉我们，平衡的人事关系才会带给你幸福的生活。

这也有助于我们考虑该如何对待他人。

在充满竞争的社会中，依据人们的工作种类或者赚钱的多少来评判一个人成功与否是很简单的事情。

但事实上我们每个人都是自己的一村之长，这个工作并不容易，需要赢得尊重。

150定律还告诉每一人身后，大致有150名亲朋好友。

对量子力学做出杰出贡献的人和事

仰的物理学家。多年后，居里夫人的孙女嫁给了郎之万的孙子。
经典量子力学照片
世界上绝无仅有的照片：在一幅照片里集中了如此之多、水平如此之高的人类精英。
玛丽亚· 斯克沃多夫斯卡-居里（波兰语： Marie Skłodowska-Curie，1867年11月7日－ 1934年7月4日），通常称为玛丽· 居里（法语： Marie Curie）或居里夫人（MadameCurie），波兰裔法国籍女物理学家、化学家。她是放射性现象的研究先驱，是获得两次诺贝尔奖的第一人及唯一的女性，也是唯一获得二种不同科学类诺贝尔奖的人。玛丽· 居里是巴黎大学第一位女教授。 1995年，她与丈夫皮埃尔· 居里一起移葬先贤祠。玛丽· 居里的成就包括开创了放射性理论，放射性的英文Radioactivity是由她命名的，她发明了分离放射性同位素的技术，以及发现两种新元素钋（Po）和镭（Ra）。在她的指导下，人们第一次将放射性同位素用于治疗癌症。 1891年追随姐姐布洛尼斯拉娃至巴黎读书。她在巴黎取得学位并从事科学研究。她是巴黎和华沙‚居里研究所‛的创始人。1903年她和丈夫皮埃尔· 居里及亨利· 贝克勒共同获得了诺贝尔物理学奖，1911年又因放射化学方面的成就获得诺贝尔化学奖。她的长女伊雷娜· 约里奥-居里和长女婿弗雷德里克· 约里奥-居里于1935年共同获得诺贝尔化学奖。
故事：父子诺贝尔奖
1927年，乔治.汤姆逊著名的约瑟夫.汤姆逊的儿子，证明了电子的波动性。戴维逊和汤姆逊分享了1937年的诺贝尔奖金。有意思的是，J.J.汤姆逊因为发现了电子的粒子性而获得诺贝尔奖， G.P.汤姆逊却推翻了老爸的电子是粒子的观点，证明电子是波而获得同样的荣誉。历史有时候，实在富有太多的趣味性。相似的科学豪门，也不是绝无仅有：居里夫人和她的丈夫皮埃尔居里于1903年分享诺贝尔奖(居里夫人在1911年又得了一个化学奖)。他们的女儿约里奥居里(Irene Joliot-Curie)也在1935年和她丈夫一起分享了诺贝尔化学奖。 1915年，William Henry Bragg和William Lawrence Bragg父子因为利用X射线对晶体结构做出了突出贡献，分享了诺贝尔物理奖金。大名鼎鼎的尼尔斯玻尔获得了1922年的诺贝尔物理奖。他的小儿子，埃格玻尔(Aage Bohr)于1975年在同样的领域获奖。卡尔塞班(Karl Siegbahn)和凯伊塞班(Kai Siegbahn)父子分别于1924和1981年获得诺贝尔物理奖。

埃伦费斯定理

It is often said that Ehrenfest’s theorem shows that expectation values obey the classical dynamical laws. This slogan is not quite true. In particular, the expectation value of position does not necessarily obey Newton’s second law. A true version of Newton’s second law for the expectation value would read
Harmonic Oscillator: Deﬁnitions, the Hamiltonian We now begin a survey of key properties of one of the workhorse models of quantum
mechanics: the simple harmonic oscillator (SHO). This model is useful because it is analytically quite tractable, it illustrates a wide variety of quantum mechanical features both
and use the time independence of the state vector to obtain (exercise)
d2 dt2 X (t) = F (t), where F is the force. This result is Ehrenfest’s theorem.

Weierstrass定理

Weierstrass 定理定理设],[)(b a C x f ∈, 则对任何0>ε，总存在一个代数多项式)(x p ，使ε<-∞||)()(||x p x f在],[b a 上一致成立。

定义： n 阶伯恩斯坦多项式定义为∑=--=n k k n k k n n x x n k f C x f B 0)1()())(( 其中)!(!!k n k n C kn -=为二项式展开系数。

引理1设10=h ，x h =1，22x h =，则00h h B n =，11h h B n =，2221h n x x n n h B n →+-=引理2 伯恩斯坦算子n B 是一个正线形算子。

即n B 满足线形性：)()()(g B f B g f B n n n βαβα+=+正性：对任何0≥f ，0≥f B n推论设g f ≤||，则g B f B n n ≤||引理3 设],[)(b a C x f ∈，则对任何0>ε，存在常数C 使2)(|)()(|y x C y f x f -+<-ε证明：首先],[)(b a C x f ∈，则)(x f 在],[b a 上一致连续。

即对任何0>ε，存在0>δ，使得当δ<-||y x 时， ε<-|)()(|y f x f 另外，函数2)(|)()(|y x y f x f --是一个在紧集}||],,[|),{(δ≥-∈y x b a y x y x 、连续的函数，取 2)(|)()(|max y x y f x f C --= 则对任何],[b a y x ∈、，2)(|)()(|y x C y f x f -+<-ε。

Weierstrass 定理的证明：不妨设]1,0[],[=b a ，以下证明0||||→-∞f B f n 。

首先设y 是任意一个固定的数。

由引理3，对任何0>ε，存在常数C ，使)2(2/)(2/|)()(|222y xy x C y x C y f x f +++=-+<-εε根据引理1、2，我们知道 )21(2/))(2/(|)())((|222y xy n x x n n C y x C B y f x f B n n +-+-+=-+<-εε特别，令y x = (2/)21(|)())((|2222ny y C y y n y y n n C y f y f B n -+=+-+-+<-εε 取4C N ε≥，则当N n >时， ε<-|)())((|y f y f B n由于y 是任意一个固定的数，N 的选取与N 无关。

量子力学21-24力学量随时间的演化与对称性

不确定关系：若两个力学量A和B不对易，则一般来说ΔA和ΔB不能同时为零，即A,B , 不能同时测定（特殊态例外), 或者说，它们不能有共同本征态；
推论：如果体系有一守恒量F，而体系的某条能级并不
简并，即对应某个能量本征值简并即对应某个能量本征值E只有一个本征态只有个本征态 ΨE，则ΨE必为F 的本征态。
Hψ (t ) ,ψ k (ψ k ,ψ (t )) 复共轭项 i 1 (ψ (t ), ) Hψ k )(ψ k ,ψ (t )) 复共轭项 i Ek 2 (ψ (t ), ) ψ k ) 复共轭项 0 i
结论：如果力学量A不含时间，若不含时间若[A, H]=0(即为守恒量)，则则无论体系处于什么状态，A的平均值和测值概率均不随时间变化。
例题1 判断下列说法的正误 (1) 在非定态下，力学量的平均值随时间变化(错) (2) 设体系处在定态，则不含时力学量测值的概率不随时间变化(对) (3)设哈密顿量为守恒量，则体系处在定态（错）设哈密顿量为守恒量则体系处在定态（错） (4) 中心力场中的粒子处于定态，则角动量取确定的数值（错） (5) ( ) 自由粒子处于定态，则动量取确定值（错）（能级是二重简并的） (6)一维粒子的能量本征态无简并（错）（（一维束缚态粒子的能量本征态无简并）束缚态态并）证明：对于属于能量E的任何两个束缚态波函数有则
4. 经典与量子力学中的守恒量间的关系 (1) 与经典力学中的守恒量不同，量子力学中的守恒量不一定取确定的数值. 若初始时刻体系处于守恒量A的本征态，则体系将保持在该本征态此态对应的量子数将伴随终生因此守将保持在该本征态。此态对应的量子数将伴随终生，因此守恒量的本征态对应的量子数称为好量子数。 (2) ( ) 量子体系的各守恒量并不量子体系的各守恒量并不一定都可以同时取确定值。定都可同时取确定值。 5 守恒量与定态 5. (1) 定态是体系的定态是体系的一种特殊状态种特殊状态，即能量本征态，而守恒量则即能量本征态而守恒量则是一种特殊的力学量，与体系的Hamilton量对易。 (2) 在定态下一切力学量的平均值和测值概率都不随时间改变；而守恒量则在一切状态下的平均值和测值概率都不随时间改变

第一章固体中电子能量结构和状态

1.1.2 主要成就 (main achievements) ※ 计算出金属的电导率
a f eE mm
v a t e E
m
J n e v ne2E
2m J ne2E L
2m v
v 1 e E
2m
J ne2 L
E 2m v
1
2m ne2
v L
经典的电导率公式表明，单位体积金属中的自由电子数目愈多，电子运动的自由程愈大，则金属的导电性愈好。
率。
1.2.3 波函数和Schrödinger方程－描述电子的运动状态 ( Wave function and Schrödinger equation )
微观粒子的基本属性不能用经典语言确切描述。量子力学用波函数描述微观粒子的运动状态，波函数所遵从的方程——薛定谔方程是量子力学的基本方程。
平面波描写自由粒子，其特点是充满整个空间，这是因为平面波振幅与位置无关。如果粒子由波组成，那么自由粒子将充满整个空间，这是没有意义的，与实验事实相矛盾。
实验上观测到的电子，总是处于一个小区域内。例如在一个原子内，其广延不会超过原子大小≈1 Å 。
❖电子究竟是什么东西呢？是粒子？还是波？ “ 电子既不是粒子也不是波 ”，既不是经典的粒子也不是经典的波，但是我们也可以说，“ 电子既是粒子也是波，它是粒子和波动二重性矛盾的统一。” 这个波不再是经典概念的波，粒子也不是经典概念中的粒子。
经典自由电子论把价电子看作是公有化的，价电子不属于某一个原子，可以在整个金属中运动，它忽略了电子间的排斥作用和正离子点阵周期场的作用。仿佛把离子实分散地
涂抹成不动而又均匀的正电荷背景，好比电子是能够很自由
地在其中运动的一种“凝胶”。提出这种“凝胶模型”为的

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埃伦费斯特定理[编辑]
量子力学里，埃伦费斯特定理（Ehrenfest theorem）表明，量子算符的期望值对于时间的导数，跟这量子算符与哈密顿算符的对易算符，两者之间的关系，以方程表达为[1]
；
其中，是某个量子算符，是它的期望值，是哈密顿算符，是时间，是约化普朗克常数。

埃伦费斯特定理是因物理学家保罗·埃伦费斯特命名。

在量子力学的海森堡绘景里，埃伦费斯特定理非常显而易见；取海森堡方程的期望值，就可以得到埃伦费斯特定理。

埃伦费斯特定理与哈密顿力学的刘维尔定理密切相关；刘维尔定理使用的泊松括号，对应于埃伦费斯特
定理的对易算符。

实际上，从根据经验法则，将对易算符换为泊松括号乘以，再取趋向于0 的极限，含有对易算符的量子定理就可以改变为含有泊松括号的经典定理。

为，则算符的期望值对于时间的导数为
表明哈密顿算符与时间。

，。

将这三个方程代入的方程，则可得到。

所以，埃伦费斯特定理成立：。

使用埃伦费斯特定理，可以简易地证明，假若一个物理系统的哈密顿量显性地不含时间，则这系统是保守系统。

从埃伦费斯特定理，可以计算任何算符的期望值对于时间的导数。

特别而言，速度的期望值和加速度的期望值。

知道这些资料，就可以分析量子系统的运动行为。

保守的哈密顿量[编辑]
思考哈密顿算符：。

假若，哈密顿量显性地不含时间，，则
，
哈密顿量是个常数
为的粒子，移动于一维空间．其
;
其中，为位置，是，。

由于，位置的期望值对于时间的导数等于速度的期望值：。

这样，可以得到动量的期望值。

动量的期望值对于时间的导数[编辑]
应用埃伦费斯特定理，。

由于与自己互相交换，所以，。

又在坐标空间里，动量算符不含时间：。

所以，。

将泊松括号展开，。

在量子力学里，动量的期望值对于时间的导数，等于作用力的期望值。

，，则可得到一组完全的量子运动方程：
，。

这组量子运动方程，精确地对应于经典力学的运动方程：
，。

这经典极限是什么呢？标记为。

设定。

开于：。

由于，，。

这近似方程右手边的第二项目就是误差项目。

只要这误差项目是可忽略的，就可以取经典极限。

而这误差项目的大小跟以下两个因素有关：
一个是量子态对于位置的不可确定性。

另一个则是位势随着位置而变化的快缓。