位似图形的性质

- 1 - 位似图形的定义及性质

什么是位似图形？位似图形（IsomorphicGraphs）是由同一类图形组成的图，它们的全部节点及边都相同，但是它们的外形可能不太一样。位似图形的定义主要指的是一种同构的连通图，它们之间的节点和边都是相似的。准确来说，这些图形之间的数量和结构是相同的，只是它们的外形不同。

位似图形的研究可以追溯到1890年，当时首先由荷兰数学家安德森威尔金斯提出。它是一种独特的结构，可以通过某种形式从一个图中转换到另一个图，而且，只要这两个图是位似图形，它就能够完全保持它们之间的联系。

从数学上来看，位似图形可以被表示为一对有向图。它们中可能包含一个或多个节点和一个或多个边，这些边可以有不同的方向。两个位似图形的关系可以用一个分析函数来表示，这个函数的输入是一对图，而输出是一个布尔值，如果给定的两个图形是位似图形，它就会返回一个真值，反之亦然。

位似图形的性质是相当有用的，特别是在研究图论的早期，位似图形的研究有助于数学家们理解图论中的基本概念以及图结构之间的联系。它也帮助人们发现更多有关任意给定图结构的细节，例如有关它的节点数量、边数量、节点之间的关系等等。

位似图形的研究也是一个重要的工具，它帮助数学家们研究不同图论结构之间的关系。例如，研究人员可以比较两个不同的图形，看看它们之间有何不同，从而发现它们之间的联系，从而给出更深入的 - 2 - 结论。

另外，位似图形在算法和机器学习方面也有很多应用，它们可以帮助计算机程序发现图形之间的关系，并找出有用的特征以及对它们进行分类。有时，它们甚至可以帮助计算机解决复杂的问题，比如解决最短路径问题。

总的来说，位似图形的定义和性质有助于数学家们更好地理解图结构之间的联系，从而发现更多有用的信息。它们也有许多应用，例如在计算机程序，机器学习，以及算法研究方面。

《位似》同步习题

玉龙县太安中学 木华梁

一、选择题

1．下列说法正确的是（ ）．

A．相似的两个五边形一定是位似图形

B．两个大小不同的正三角形一定是位似图形

C．两个位似图形一定是相似图形

D．所有的正方形都是位似图形

考查目的：考查位似图形的概念．

答案：C．

解析：位似图形是相似图形的特例，相似图形不一定是位似图形，故答案应选择C．

2．两个位似多边形一对对应顶点到位似中心的距离比为1∶2，且它们面积和为80，则较小的多边形的面积是（ ）．

A．16 B．32 C．48 D．64

考查目的：考查位似图形的概念和性质．

答案：A．

解析：位似图形必定相似，具备相似形的性质，其相似比等于一对对应顶点到位似中心的距离比．相似比为1∶2，则面积比为1∶4，由面积和为80，得到它们的面积分别为16，64．故答案应选择A．

3．如图，以点A为位似中心，将△ADE放大2倍后，得位似图形△ABC，若S1表示△ADE的面积，S2表示四边形DBCE的面积，则S1∶ S2=（ ）．

A．1∶2 B．1∶3 C．1∶4 D． 2∶3 考查目的：考查位似图形的性质和画法．

答案：B．

解析：位似图形必定相似，具备相似形的性质，△ADE与△ABC相似比为1∶2，则面积比为1∶4，所以△ADE与四边形DBCE的面积比为1∶3，故答案应选择B．

二、填空题

4．如图，五边形ABCDE与五边形A′B′C′D′E′是位似图形，且位似比为1∶2．若五边形ABCDE的面积为17 cm2，周长为20 cm，那么五边形A′B′C′D′E′的面积为________

cm2，周长为________ cm．

考查目的：考查位似图形的概念和性质．

位似图形导学案

一、导学

1.课题导入：

观察：在日常生活中，我们经常见到下面所给的这样一类相似的图形，它们有什么特征呢？

这就是这节课要研究的问题.（板书课题）

2.学习目标：

⑴知道位似图形以及相似与位似的关系，能说出位似图形的性质.

⑵能按要求作一个图形的位似图形，会利用位似作图将一个图形放大或缩小．

3.学习重难点：

重点：位似图形的概念、性质和位似作图.

难点：利用作位似图形的方法将一个图形按要求的比例放大或缩小.

二、分层学习

第一层次学习

1.自学指导

（1）自学内容：P47页第1—3自然段的内容.

（2）自学时间：6分钟.

（3）自学方法：观察、交流和归纳.

（4）自学参考提纲：

①观察：观察下列各组图形中的两个图形，它们有什么特征？

特点：两个图形

； 点所在的 交于一点.

②如果两个相似图形的对应点连线 ，对应边互相 ，那么这样的两个图形叫做位．似图形．．．，这个交点叫做 ，这时我们说这两个图形关于这点．．．．．．．．．．．．．．． .

③在各图形中，位似图形的位似中心与这两个图形有什么位置关系？ .

在各图形中，任取一对对应点，度量这两个点到位似中心的距离，计算这两个距离的比与这两个相似图形的相似比有何关系？ .

④如图，△OAB和△OCD是位似图形，AB与CD平行吗？为什么？

如果AB∥CD, 那么△OAB和△OCD是位似图形吗? 为什么?

2.自学：参考自学提纲展开自学.

3.助学：

（1）师助生： ① 明了学情：了解学生对位似图形定义的两个要素的把握情况.

② 差异指导：根据学情进行指导.

（2）生助生：小组交流研讨.

4.强化：

《图形的位似》教案

教学目标

(一)教学知识点

1.位似图形的定义与性质.

2.复习橡皮筋放大图形的方法.

3.解释用橡皮筋放大图形的原理.

(二)能力训练要求

1.了解图形的位似.

2.能用橡皮筋放出相同形状的图形，体会其中的道理

(三)情感与价值观要求

通过有趣的图形变换激发学生学习数学的浓厚兴趣，让学生感受图形变换的奥妙，体会学习数学的快乐.

教学重点

1.位似图形的定义.

2.用橡皮筋放大图形的原理.

教学难点

体会用橡皮筋放大图形的原理，培养转换思想.

教学方法

观察与实践相结合的方法

在仔细观察的基础上，鼓励学生动手操作，体会生活中实际问题的数学道理，使学生操作与思考相结合.

教具准备

若干个橡皮筋.

投影片两张：

教学过程

Ⅰ.提出问题，引入新课

［师］(放投影片)请同学们观察一组图片，思考下列问题：

1.它们是相似图形吗？

2.图形位置间有什么关系？你能寻找出一些规律吗？

图4－51

［生］它们的形状相同，大小不一，是相似图形.

图形上各组对应点所在直线都经过镜头中心P点，A、B是一对对应点，连结后并延长过点P.这组图与相似图形比较，多了一些特征.

［师］这正是我们今天要学习的内容.

Ⅱ.讲授新课

大家刚才观察到的一组特殊的相似图形，我们叫它位似图形，那么什么叫位似图形呢？请同学们阅读教材135页定义，仔细理解位似图形的要求.

定义讲解：

1.两图形相似

2.每组对应点所在直线都经过同一点.

同时满足上述两个条件的两个图形才叫做位似图形.两条件缺一不可.此时，把这个点叫做位似中心.这时的相似比叫做位似比.

巩固定义做一做.

［师］(放投影片)

下面有三组图形，请同学们观察，并实际操作一下，看它们是否是位似图形.老师请一位同学板演.

图4－52

板演结果：

图4－53

［生］通过测量发现，三组图形的对应边各成比例，所以它们分别是相似图形.但连结后发现：(1)、(3)图形的每组对应点所在直线交于一点.如图O、P，(2)却没有这个特征，这说明(1)中的两个图形与(3)中的两个图形都是位似图形，但(2)中的两个图形只是相似图形而不是位似图形.(1)、(3)的位似中心分别是O、P.