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数学建模中的主成分分析法

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Science&TechnologyVision科技视界全国大学生数学建模竞赛袁已经成为许多高校学生课外科技活动的重要项目袁人们也越来越关注数学建模竞赛遥数学规划尧微分方程尧图论等是较为常见的建模方法遥而近年来袁越来越多的数据处理题目出现在数学建模竞赛当中袁数据处理的任务是降低数据的维数袁保留数据的有用信息遥主成分分析法作为一种主要的数据处理方法袁能够提取变量信息袁减少分析的维度袁使问题变得更简单尧直观遥因此袁尽快掌握主成分分析法的基本知识袁显得尤为迫切遥下面介绍主成分分析法的基本知识袁利用主成分分析法的思想方法建立数学模型遥1主成分分析的基本思想和数学模型1.1主成分分析简介主成分这个概念由美国统计学家KarlPearson在1901年提出袁当时只是进行了非随机变量的讨论遥是从多指标分析出发袁运用统计分析原理与方法提取少数几个彼此不想关的综合性指标而保持其原指标所提供的大量信息的一种统计方法遥1933年Hotelling则将此概念推广到了随机变量中遥主成分分析的原理袁是以较少数的综合变量取代原有的多维变量袁使数据结构简化袁把原指标综合成较少几个主成分袁再以这几个主成分的贡献率为权数进行加权平均袁构造出一个综合评价函数遥作为一种多指标分析方法袁在综合评价函数中袁各主成分的权术为其贡献率袁它反映了该主成分包含原数据的信息量占全部信息量的比重袁这样确定权术是客观尧合理的袁它克服了某些评价方法中人为确定权术的缺陷袁这种方法的计算比较规范袁便于在计算机上实现遥1.2主成分分析基本思想在许多实际问题中袁为了全面系统的反应问题袁我们通常用多个变量来刻画某一事物袁但由于这些变量间具有较强的相关关系袁变量间存在大量的重复信息袁直接用它们分析问题时袁往往会引起极大的误差遥因此人们希望用较少的新指标代替原来较多的旧变量袁同时要求这些新指标尽可能的反应原来的信息遥一般来说袁主成分与原始变量之间的关系院渊1冤各主成分都是原始变量的线性组合遥渊2冤主成分的个数远小于原始变量的个数遥渊3冤各主成分之间互不相关遥渊4冤主成分保留了原始变量的绝大部分信息遥1.3主成分分析的模型假设有n个样本袁有p个观测指标渊p约n冤袁得到原始数据矩阵X=渊X1袁X2袁噎袁Xp冤袁其相关系数矩阵为R遥数学上通常的做法是将原来p个指标做线性组合袁作为新的综合指标遥记这些新的综合指标为Z1袁Z2袁噎袁Zk遥最经典的方法就是用方差来表示遥Z1袁Z2袁噎袁Zk这些新指标之间互不相关袁且方差递减遥因此袁计算相关系数矩阵的特征值为姿1逸姿圆逸噎逸姿p袁向量l1袁l圆袁噎袁lp为相应的单位特征向量袁则第i个主成分为Zi=li'X渊i=1袁2袁噎p冤一般是按累计贡献量的大小取前k个袁多数情况下前几个主成分已代表了原来指标的大部分信息遥2主成分分析法的计算步骤主成分分析法做多指标评价的基本步骤如下院渊1冤对原来的p个指标进项标准化袁Zij=xij-xjsj遥i=1袁2袁噎袁n袁j=1袁2袁噎袁p曰渊其中袁n为样本个数袁p为原始指标的个数袁x为原始指标样本值袁s为样本标准差遥冤渊2冤根据标准化后的数据矩阵求出相关系数矩阵R遥渊3冤求出相关系数矩阵R的特征根姿和特征向量l袁以及贡献率姿i/pi=1移姿i渊4冤确定主成分F1袁F2袁噎袁Fk遥渊5冤计算综合评价值F=渊姿1/pi=1移姿i冤F1+渊姿2/pi=1移姿i冤F2+噎+渊姿k/pi=1移姿i冤Fk3利用Spss进行主成分分析的实例在进行多指标评价时袁由于要求评价结果客观尧全面袁就需要从各个方面用多个指标进行测量袁但这样就使得观测指标间存在信息重叠袁同时还会存在量纲尧累加时如何确定权重系数等问题遥为此袁就可以使用主成分分析法进行信息的浓缩袁并解决权重的确定问题遥本文以全国各市城镇单位就业人员工资水平这一问题来说明主成分评价的用法遥这里引用的是2012年山东省各市按行业分城镇单位就业人员平均工资这一数据袁希望对各地市工资水平给出分析与评价遥数据源自叶山东省统计年鉴2013版曳遥在Spss软件中打开文件之后袁操作步骤如下院渊员冤选择野分析冶寅野降维冶寅野因子分析冶选项遥渊2冤依次选中变量并点向右的箭头按扭遥渊3冤在野描述冶对话框中袁选中野相关系数冶选项组组中的野系数冶复选框遥渊4冤在野抽取冶对话框中袁选中野因子固定数量冶输入数字5遥渊5冤在野得分冶对话框中袁选中野显示因子得分系数矩阵冶遥渊6冤单击野确定冶按钮遥得到输出结果表1遥表员公因子方差

作者简介院刘佳渊1986要冤袁女袁山东淄博人袁从事高等数学教学尧数学建模竞赛指导等工作遥数学建模中的主成分分析法ThePrincipalComponentsAnalysisofMathematicalModeling刘佳(淄博职业学院袁山东淄博255314)揖摘要铱本文通过介绍主成分分析法的基本知识袁使学生在短时间内了解在数学建模中怎样利用主成分分析的思想尧方法建立数学模型作一个初步的探讨遥揖关键词铱主成分分析曰数据分析曰累计贡献率揖Abstract铱Byintroducingthebasicknowledgeofthprincipalcomponentanalysismethod,sothatstudentsinashortperiodoftimetotounderstandtheuseofthought,themethodofprincipalcomponentanalysistoestablishthemathematicalmodelforapreliminarydiscussionofhowinmathematicalmodeling.揖Keywords铱Principalcomponentsanalysis曰Dataanalysis曰Thecumulativecontributionrate初始提取农林牧渔1.000.838采矿业1.000.842

制造业1.000.796电力尧燃气及水的生产供应业1.000.834建筑业1.000.830批发和零售业1.000.890223.com.cn. All Rights Reserved.科技视界

Science&TechnologyVision科技视界提取方法院主成分分析表2解的总方差

提取方法院主成分分析表3成分矩阵

提取方法院主成分已提取5个主成分解的总方差这一表格显示了各主成分解释原始变量总方差的情况袁这里选取5个主成分时累计方差贡献率达到了85.713%袁因此选取前5个主成分可以代表各地市工资水平遥表3给出了主成分系数矩阵袁可以说明主成分在各变量上的载荷袁从而得到各主成分的表达式院F1=0.442x1-0.517x2+0.609x3+噎+0.883x17+0.820x18+0.938x19F2=-0.115x1+0.211x2-0.309x3+噎+0.157x17-0.147x18+0.055x19F3=-0.519x1+0.586x2+0.097x3+噎+0.183x17+0.183x18+0.002x19F4=0.599x1+0.413x2-0.482x3+噎+0.095x17-0.032x18-0.178x19F5=-0.036x1+0.129x2+0.426x3+噎+0.099x17-0.174x18-0.060x194各地市职工平均工资水平综合评价与得分将17个地市的数据带入主成分表达式可得各地市的5的主成分得分遥再利用各因子的方差贡献率作为相应因子的权术可得17个地市的职工平均工资水平的综合得分公式F=52.096/85.713F1+11.289/85.713F2+9.056/85.713F3+8.130/85.713F4+5.142/85.713F5各地市平均工资水平得分最高的前3个地区如表4所示遥表源本文选择的5个主成分集中了原始变量的85.713%的信息袁效果较好遥2012年

袁山东省各地市职工平均工资水平可以用这5个主成分来代替袁利用这5个主成分来综合评测各地市平均工资水平袁得到排名前三位的是青岛尧济南尧东营遥揖参考文献铱咱员暂司守奎.数学建模算法与应用[M].北京院国防工业出版社袁2011院595-601咱2暂林明海.对主成分分析法运用中的十个问题的解析[J].统计与决策,2007渊16冤院16-18.咱责任编辑院曹明明暂交通运输尧仓储和邮政业1.000.732住宿和餐饮业1.000.891信息传输尧软件和信息技术服务业1.000.884金融业1.000.954房地产业1.000.887租赁和商务服务业1.000.838科学研究和技术服务业务1.000.951水利尧环境和公共设施管理业1.000.855居民服务尧修理和其他服务业1.000.788教育1.000.946卫生和社会工作1.000.856文化尧体育和娱乐业1.000.758公共管理尧社会保障和社会管理1.000.917成份初始特征值提取平方和载入合计方差的%累积%合计方差的%累积%19.89852.09652.0969.89852.09652.09622.14511.28963.3852.14511.28963.38531.7219.05672.4421.7219.05672.44241.5458.13080.5711.5458.13080.5715.9775.14285.713.9775.14285.7136.6873.61489.3277.6183.25292.5808.4772.51195.0909.2871.51296.60210.2421.27197.87311.2001.05098.92312.105.55399.47613.059.30999.78614.026.13999.92515.014.075100.000161.106E-0165.822E-016100.00017-5.999E-018-3.157E-017100.00018-2.090E-017-1.100E-016100.00019-1.729E-016-9.101E-016100.000成份12345农林牧渔.442-.115-.519.599-.036采矿业-.517.211.586.413.129制造业.609-.039.097-.482.426电力尧燃气及水的生产供应业.492-.306.596.057.374建筑业.804.336-.186.160-.105批发和零售业.693.517-.229.041.297交通运输尧仓储和邮政业.568-.555-.037-.311.051住宿和餐饮业.802.229-.283.319.117信息传输尧软件和信息技术服务业.243.875.212-.074.094金融业房地产业.916.201.053-.021.060租赁和商务服务业.837-.316-.094-.014-.172科学研究和技术服务业务.900-.102.249.162-.206水利尧环境和公共设施管理业.703-.382-.248.038.390居民服务尧修理和其他服务业.453-.209.551.459-.153教育.946-.101.002.081-.186卫生和社会工作.883.157.183.095.099文化尧体育和娱乐业.820-.147.183-.032-.174公共管理尧社会保障和社会管理.938.055.002-.178-.060.631.294.158-.510-.430

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数学建模之主成分分析法

数学建模之主成分分析法

数学建模之主成分分析法

主成分分析

主成分分析的主要目的是希望用较少的变量去解释原来资料中的大部分变量，将我们手中许多相关性很高的变量转化成彼此相互独立或不相关的变量。通常是选出比原始变量个数少，能解释大部分资料中的变异的几个新变量，即所谓主成分，并用以解释资料的综合性指标。

1、主成分分析的应用

（1）我国各地区普通高等教育发展水平综合评价。

（2）投资效益的分析和排序等。

2、主成分分析法的步骤

①对原始数据进行标准化处理

用12,,,mxxxL表示主成分分析指标的m个变量，评价对象有n个，ija表示第i个评价对象对应于第j个指标的取值。将每个指标值ija转化为标准化指标ija%，即

,(1,2,,;1,2,,)ijjijjaainjms%LL

式中：11njijian，211()1njijjisan

相应地，标准化指标变量为

,(1,2,,)jjjjxxjms%L

②计算相关系数矩阵R

()ijmmRr

1,(,1,2,,)1nkikjkijaarijmn%%L

其中：1,iiijjirrr，ijr是第i个指标和第j指标之间的相关系数。

③计算相关系数矩阵的特征值与特征向量

解特征方程0RI，得到特征值(1,2,,)iimL12,0mL；再求出相对应的特征值i的特征向量(1,2,,)iuimL，其中12(,,,)TjjjmjuuuuL,由特征向量组成的m个新的指标变量为

11112121212122221122mmmmmmmmmmyuxuxuxyuxuxuxyuxuxux%%%L%%%LM%%%L

其中：1y为第1主成分，2y为第1主成分，⋯，my为第m主成分

④选择p（p≤m）个主成分，计算综合评价值。

（1）计算特征值(1,2,,)jjmL的信息贡献率和累积贡献率

分析化学中主成分分析法应用探讨

分析化学中主成分分析法应用探讨

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分析化学中主成分分析法应用探讨

作者：张丹

来源：《中国科技博览》2013年第17期

[摘 要]随着计算机技术及其应用的发展，作为化学计量学基础的主成分分析方法，在分析化学中应用越来越广泛。尤其在仪器分析中应用较为广泛，本文就主成分分析方法在化学分析及仪器分析中的具体应用进行综述。

[关键词]主成分分析法 分析化学 仪器分析 化学分析

中图分类号：O65文献标识码：A文章编号：1009-914X（2013）17-0139-01

1.主成分分析法

1.1 主成分分析法介绍

主成分分析（principal component analysis） 是将多个变量通过线性变换以选出较少个数重要变量的一种多元统计分析方法，又称主分量分析。由Hotelling于1933年首先提出，主要是利用降维思想，把多指标转化为少数几个综合指标的多元统计分析方法。这些指标是原指标的线性组合，且彼此不相关，它可以在力保原始数据丢失最少情况下，对高维变量空间进行量降维。由原始变量线性组合的主成分，以揭示数据结构特征，提取化学信息。在进行化学变量多元分析的时候，我们用多个变量去描述样本的性质，这些变量也可以称之为特征。对于复杂体系，特征数可能达到成百上千，计算量十分巨大，而且变量之间可能存在关联，即存在冗余。使用主成分分析即可将彼此间具有关联的变量整合成少数几个综合型变量，新得到的变量间不存在关联。

1.2 主成分分析法分析的主要步骤

（1）列出指标数据矩阵X；

（2）计算X的协方差矩阵S；

（3）计算协方差矩阵S（或相关矩阵R）的特征值·和特征向量L（即指标X的系数）；

（4）计算贡献率和累计贡献率，并据以确定主成分（即综合指标y1）的个数，建立主成分方程；

主成分分析法数学推导方法的研究

主成分分析法数学推导方法的研究

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主成分分析法数学推导方法的研究

作者：杨美佳

来源：《读写算》2013年第34期

【摘要】通过主成分分析法，人们实现了使用较少的变量对资料中的多项变量进行替代，并将较多相关性高的变量进行转化，成为互相不存在相关性的独立变量。通过主成分分析法的使用，实现降维，方便人们对资料进行理解和分析，节省了时间，提高了效率。

【关键词】主成分分析法 数学推导方法 研究

主成分分析法又叫做主分量分析以及主成分回归分析法。其能够降低数据集维数，从而实现各个指标间相关性的消除。主成分分析法具有指标权重确定的特点，其作用和效果也得到了更多人的关注和认可，这也使其在多个领域中得到了应用，逐渐发展成为特色多指标评价方法。其广泛出现在社会领域、经济领域、管理科学领域以及自然科学领域等范围中。在目前，大多数人在对主成分分析法进行应用的同时，对其原理以及推导过程缺乏认识和了解。本文就对主成分分析法数学推导方法进行了以下的分析和研究，从而加深人们对主成分分析法的认识。

1.主成分分析法概念

所谓主成分分析法是一种数学变化的方法，其能够将特定的相关变量进行线性变换，从而转换成彼此不相关的变量，并将这些转换后的变量结合方差的数值从大到小进行排列。数学变换过程中，变量总方差固定不变，则第一变量的方差最大，因此成为第一主成分；其次第二变量的方差次大，因此成为第二主成分。第一变量与第二变量之间不存在相关性。继续推论，可以得出，每个变量存在一个主成分。

主成分分析的主要目的是将一个存在大量相关变量的数据集维数进行降低处理，从而将数据集转换成为仅有少数新的综合变量的线性组合，从而让多个变量转换成少数互不相关的独立变量，并对原始变量蕴含的信息进行最大程度反映。

2.推导方法

设定一个向量x，其主要由p个随机变量组合而成，随机变量之间的方差、变量之间的协方差或者相关性结构存在意义。然而除了p相对较小或者结构简单的情况，其他情况下对计算x的方差以及变量之间的协方差或者相关系数难度十分大。因此需要使用维数低于p派生变量将其代替。这组新的变量保存有原始变量方差、协方差以及相关性信息，称之为主成分。

数学建模层次分析法

数学建模层次分析法

实验报告

实验报告

课程名称： 数学模型与实验

课题名称： 层次分析法

专 业： 信息与计算科学

姓 名：

班 级：

完成日期： 2016 年 6月 22 日

姓名

评分 《数学的模型与实验》实验报告

实验报告

一、实验名称

层次分析法

二、实验目的

人们在进行社会的、经济的以及科学管理领域问题的系统分析中，面临的常常是一个由 相互关联、相互制约的众多因素构成的复杂而往往缺少定量数据的系统。

在这样的系统中，人们感兴趣的问题之一是：就 n 个不同事物所共有的某一性质而言， 应该怎样对任一事物的所给性质表现出来的程度（排序权重）赋值，使得这些数值能客观地反映不同事物之间在该性质上的差异？

层次分析法为这类问题的决策和排序提供了一种新的、简洁而实用的建模方法。它把复杂问题分解成组成因素，并按支配关系形成层次结构，然后用两两比较的方法确定决策方案的相对重要性。

三、实验原理

运用层次分析法解决问题，大体可以分为四个步骤：

1. 建立问题的递阶层次结构；

（1）将决策问题分为三层，最上面为 目标层，最下面为 方案层，《数学的模型与实验》实验报告

中间是 准则

层或指标层；

（2）通过相互比较确定各准则对于目标的权重，及各方案对于每一准则的权重；

（3）将方案层对准则层的权重及准则层对目标层的权重进行综合，最终确定方案层对目标层的权重。

2. 构造成对比较矩阵 ；

3. 层次单排序及一致性检验；

判断矩阵一致性检验的步骤如下：

(1) 计算一致性指标 C.I.：

(2) 查找平均随机一致性指标 R.I.；

(3) 计算一致性比例 C.R.：