主成分分析(数学建模)

数学建模之主成分分析法

主成分分析

主成分分析的主要目的是希望用较少的变量去解释原来资料中的大部分变量，将我们手中许多相关性很高的变量转化成彼此相互独立或不相关的变量。通常是选出比原始变量个数少，能解释大部分资料中的变异的几个新变量，即所谓主成分，并用以解释资料的综合性指标。

1、主成分分析的应用

（1）我国各地区普通高等教育发展水平综合评价。

（2）投资效益的分析和排序等。

2、主成分分析法的步骤

①对原始数据进行标准化处理

用12,,,mxxxL表示主成分分析指标的m个变量，评价对象有n个，ija表示第i个评价对象对应于第j个指标的取值。将每个指标值ija转化为标准化指标ija%，即

,(1,2,,;1,2,,)ijjijjaainjms%LL

式中：11njijian，211()1njijjisan

相应地，标准化指标变量为

,(1,2,,)jjjjxxjms%L

②计算相关系数矩阵R

()ijmmRr

1,(,1,2,,)1nkikjkijaarijmn%%L

其中：1,iiijjirrr，ijr是第i个指标和第j指标之间的相关系数。

③计算相关系数矩阵的特征值与特征向量

解特征方程0RI，得到特征值(1,2,,)iimL12,0mL；再求出相对应的特征值i的特征向量(1,2,,)iuimL，其中12(,,,)TjjjmjuuuuL,由特征向量组成的m个新的指标变量为

11112121212122221122mmmmmmmmmmyuxuxuxyuxuxuxyuxuxux%%%L%%%LM%%%L

其中：1y为第1主成分，2y为第1主成分，⋯，my为第m主成分

④选择p（p≤m）个主成分，计算综合评价值。

（1）计算特征值(1,2,,)jjmL的信息贡献率和累积贡献率

2011高教社杯全国大学生数学建模竞赛

承诺书

我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.

我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。

我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的,如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。

我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。

我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）：C

我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：139C01

所属学校（请填写完整的全名）：浙江工贸职业技术学院

参赛队员(打印并签名)：1.郑济明

2.王庆松

3.朱松祥

指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：王积建

日期：2012年9月10日

赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）： 2011高教社杯全国大学生数学建模竞赛

编号专用页

赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：

赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：

评

阅

人

评

分

备

注

全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：

全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：

脑卒中发病环境因素分析及干预

摘要

关键词：一、问题重述

21世纪人类倡导人与自然和谐发展，环境因素成为影响健康的重要因素。脑卒中（俗称脑中风）就是与环境因素紧密相关且威胁人类生命的疾病之一。这种疾病的诱发已经被证实与环境因素有关，其中与气温和湿度存在着密切的关系。对脑卒中的发病的环境因素进行分析，其目的是为了进行疾病的风险评估，对脑卒中高危人群能够及时采取干预措施，也让尚未得病的健康人，或者亚健康人了解自己得脑卒中风险程度，进行自我保护。同时，通过数据模型的建立，掌握疾病发病率的规律，对于卫生行政部门和医疗机构合理调配医务力量、改善就诊治疗环境、配置床位和医疗药物等都具有实际的指导意义。

Ｓｃｉｅｎｃｅ＆Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ　Ｖｉｓｉｏｎ　科技视界　科技・探索・争鸣　数学建模中的主成分分析法　Ｔｈｅ　Ｐｒｉｎｃｉｐａｌ　Ｃｏｍｐｏｎｅｎｔｓ　Ａｎａｌｙｓｉｓ　ｏｆ　Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ　Ｍｏｄｅｌｉｎｇ　刘佳　（淄博职业学院，山东淄博２５５３１４）　【摘要】本文通过介绍主成分分析法的基本知识，使学生在短时间内了解在数学建模中怎样利用主成分分析的思想、方法建立数学模型　作一个初步的探讨　【关键词】主成分分析；数据分析；累计贡献率　【Ａｂｓｔｒａｃｔ］Ｂｙ　ｉｎｔｒｏｄｕｃｉｎｇ　ｔｈｅ　ｂａｓｉｃ　ｋｎｏｗｌｅｄｇｅ　ｏｆ　ｔｈ　ｐｒｉｎｃｉｐａｌ　ｃｏｍｐｏｎｅｎｔ　ａｎａｌｙｓｉｓ　ｍｅｔｈｏｄ，ＳＯ　ｔｈａｔ　ｓｔｕｄｅｎｔｓ　ｉｎ　ａ　ｓｈｏｒｔ　ｐｅｒｉｏｄ　ｏｆ　ｔｉｍｅ　ｔｏ　ｔｏ　ｕｎｄｅｒｓｔａｎｄ　ｔｈｅ　ｕｓｅ　ｏｆ　ｔｈｏｕｇｈｔ，ｔｈｅ　ｍｅｔｈｏｄ　ｏｆ　ｐｒｉｎｃｉｐａｌ　ｃｏｍｐｏｎｅｎｔ　ａｎａｌｙｓｉｓ　ｔｏ　ｅｓｔａｂｌｉｓｈ　ｔｈｅ　ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ　ｍｏｄｅｌ　ｆｏｒ　ａ　ｐｒｅｌｉｍｉｎａｒｙ　ｄｉｓｃｕｓｓｉｏｎ　ｏｆ　ｈｏｗ　ｉｎ　ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ　ｍｏｄｅｌｉｎｇ．　【Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ］Ｐｒｉｎｃｉｐａｌ　ｃｏｍｐｏｎｅｎｔｓ　ａｎａｌｙｓｉｓ；Ｄａｔａ　ａｎａｌｙｓｉｓ；Ｔｈｅ　ｃｕｍｕｌａｔｉｖｅ　ｃｏｎｔｒｉｂｕｔｉｏｎ　ｒａｔｅ　全国大学生数学建模竞赛．已经成为许多高校学生课外科技活动　的重要项目，人们也越来越关注数学建模竞赛。数学规划、微分方程、　图论等是较为常见的建模方法　而近年来．越来越多的数据处理题目　出现在数学建模竞赛当中．数据处理的任务是降低数据的维数．保留　数据的有用信息。主成分分析法作为一种主要的数据处理方法，能够　提取变量信息．减少分析的维度，使问题变得更简单、直观。因此，尽快　掌握主成分分析法的基本知识．显得尤为迫切。下面介绍主成分分析　法的基本知识．利用主成分分析法的思想方法建立数学模型　１　主成分分析的基本思想和数学模型　１．１主成分分析简介　主成分这个概念由美国统计学家Ｋａｒｌ　Ｐｅａｒｓｏｎ在１９０１年提出．当　时只是进行了非随机变量的讨论．．是从多指标分析出发．运用统计分　析原理与方法提取少数几个彼此不想关的综合性指标而保持其原指　标所提供的大量信息的一种统计方法　１９３３年Ｈｏｔｅｌｌｉｎｇ则将此概念推广到了随机变量中。主成分分析　的原理．是以较少数的综合变量取代原有的多维变量．使数据结构简　化．把原指标综合成较少几个主成分．再以这几个主成分的贡献率为　权数进行加权平均．构造出一个综合评价函数　作为一种多指标分析　方法．在综合评价函数中．各主成分的权术为其贡献率，它反映了该主　成分包含原数据的信息量占全部信息量的比重．这样确定权术是客　观、合理的．它克服了某些评价方法中人为确定权术的缺陷，这种方法　的计算比较规范．便于在计算机上实现　１．２主成分分析基本思想　在许多实际问题中．为了全面系统的反应问题．我们通常用多个　变量来刻画某一事物．但由于这些变量间具有较强的相关关系．变量　间存在大量的重复信息．直接用它们分析问题时．往往会引起极大的　误差。因此人们希望用较少的新指标代替原来较多的旧变量，同时要　求这些新指标尽可能的反应原来的信息。　一般来说．主成分与原始变量之间的关系：　（１）各主成分都是原始变量的线性组合。　（２）主成分的个数远小于原始变量的个数。　（３）各主成分之间互不相关。　（４）主成分保留了原始变量的绝大部分信息　１＿３主成分分析的模型　假设有ｎ个样本，有Ｐ个观测指标（ｐ＜ｎ），得到原始数据矩阵ｘ＝　（　．．　：，…，　），其相关系数矩阵为　。数学上通常的做法是将原来Ｐ　个指标做线性组合，作为新的综合指标。记这些新的综合指标为ｚ１，　Ｚ２，…，磊。最经典的方法就是用方差来表示。Ｚｌ，Ｚ２，…，五这些新指标　之间互不相关，且方差递减。　因此．计算相关系数矩阵的特征值为Ａ，≥Ａ　≥…≥Ａ　，向量ｆ．，ｆ　，　…．ｆ。为相应的单位特征向量，则第　个主成分为　Ｚ／＝ｌ　Ｘ（ｉ＝１，２，。。　）　一般是按累计贡献量的大小取前ｋ个．多数情况下前几个主成分　已代表了原来指标的大部分信息　２主成分分析法的计算步骤　主成分分析法做多指标评价的基本步骤如下　（１）对原来的ｐ个指标进项标准化，　＝垃。　Ｊ　ｉ＝１，２，…，ｎ，ｊ＝ｌ，２，…，Ｐ；（其中，ｎ为样本个数，Ｐ为原始指标的　个数，　为原始指标样本值，ｓ为样本标准差。）　（２）根据标准化后的数据矩阵求出相关系数矩阵Ｒ。　（３）求出相关系数矩阵Ｒ的特征根Ａ和特征向量ｚ．以及贡献率　０　ｉ　（４）确定主成分　，　，…，　。　（５）计算综合评价值　Ｐ　Ｐ　Ｐ　（Ａ　／∑Ａ　）Ｅ＋（Ａ　／∑Ａ　）　＋…＋（Ａ　／∑Ａ　）　３利用Ｓｐｓｓ进行主成分分析的实例　在进行多指标评价时，由于要求评价结果客观、全面．就需要从各　个方面用多个指标进行测量．但这样就使得观测指标间存在信息重　叠，同时还会存在量纲、累加时如何确定权重系数等问题。为此．就可　以使用主成分分析法进行信息的浓缩．并解决权重的确定问题　本文　以全国各市城镇单位就业人员工资水平这一问题来说明主成分评价　的用法。　这里引用的是２０１２年山东省各市按行业分城镇单位就业人员平　均工资这一数据．希望对各地市工资水平给出分析与评价　数据源自　《山东省统计年鉴２０１３版》。　在Ｓｐｓｓ软件中打开文件之后，操作步骤如下：　（１）选择“分析”一“降维”一“因子分析”选项　（２）依次选中变量并点向右的箭头按扭　（３）在“描述”对话框中．选中“相关系数”选项组组中的“系数”复　选框。　（４）在“抽取”对话框中，选中“因子固定数量”输入数字５。　（５）在“得分”对话框中，选中“显示因子得分系数矩阵”　（６）单击“确定”按钮。　得到输出结果表１　表１公因子方差　初始　提取　农林牧渔　１．０００　８３８　采矿业　１．Ｏ００　．８４２　制造业　１．Ｏｏｏ　．７９６　电力、燃气及水的生产供应业　１．Ｏ００　．８３４　建筑业　１．ｏｏＯ　８３０　批发和零售业　１．ｏ０Ｏ　８９０　作者简介：刘佳（１９８６一），女，山东淄博人，从事高等数学教学、数学建模竞赛指导等工作。　ｓｃｉｅｎｃｅ＆Ｔｅｃｈｎ。ｌ。ｇｙ　Ｖｉｓｉ。ｎ科技视界Ｉ　

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数学建模中的主成分分析法

作者：刘佳

来源：《科技视界》2014年第15期

【摘要】本文通过介绍主成分分析法的基本知识，使学生在短时间内了解在数学建模中怎样利用主成分分析的思想、方法建立数学模型作一个初步的探讨。

【关键词】主成分分析；数据分析；累计贡献率

【Abstract】By introducing the basic knowledge of th principal component analysis method,so

that students in a short period of time toto understand the use of thought, the method of principal

component analysis to establish the mathematical model for a preliminary discussion of how in

mathematical modeling.

【Key words】Principal components analysis；Data analysis；The cumulative contribution rate

全国大学生数学建模竞赛，已经成为许多高校学生课外科技活动的重要项目，人们也越来越关注数学建模竞赛。数学规划、微分方程、图论等是较为常见的建模方法。而近年来，越来越多的数据处理题目出现在数学建模竞赛当中，数据处理的任务是降低数据的维数，保留数据的有用信息。主成分分析法作为一种主要的数据处理方法，能够提取变量信息，减少分析的维度，使问题变得更简单、直观。因此，尽快掌握主成分分析法的基本知识，显得尤为迫切。下面介绍主成分分析法的基本知识，利用主成分分析法的思想方法建立数学模型。